X=11/y-1怎么解

只要三步，如何手持任意的 nonx 啊？今天我们一个小小的立体举例啊， nonc， 第一步啊，记住 no are 的词， 约等于零点六九三，零点六九。第二步，画减。如何画减呢？把 no on e c 画成分数的形式啊，他可以写成 no on e c 除以十乘以二乘以五，可以写成 no on e c 除以十，加上 no on 五 加上二二，而这个二五可以化解成二五除以四加上二二四，也就是说，他可以化解成二二一四一除以十，加上二五 除以四，加上三倍的 non 二啊！看这个啊，大家就能够明白，要化解成两个连续整数相除的形式啊，为什么要画点成这样呢？看第三步就明白了， non n 加一除以 n， 当 n 比较 大的时候，他是等于二除以二人加一的，把这个带入的颜色 是等于二除以二十一，加上二除以九，加上三乘以零点六九啊，约等于二点三九啊，我们用计算器按一下，看看他等于多少。 noec 等于二点三九七啊，还是比较精确的，这， 这并不是特例啊，其他的数，比如说乱三十四也否要求啊，第一步，记熟的话就可以忽略掉啊，从第二步开始啊， nor 三十四化解 nor 三十四等于 nor 一十七乘以二，等于 nor 一十七除以十六乘以一，十六乘以二，等于把 nor n 加一除以 n 等于二除 除以二加一带入进去啊，就等于二除以三十三加上五乘以零点六九啊，就等于三点五啊，我们看一下准不准啊？ no 三十四等于三点五二， 还是非常的准的啊，同理啊，我们还可以计算 non 拍的字啊，过程是这样的啊， 而其中的 nor 三可以写成 nor 三除以二加上 nor 二，而 nor 五也可以写成 nor 五除以四加上 nor 二的平方，同样的，用 nor 可以估计这两个字啊。 最后求助的结果是，一点一四约等于一点一四，那这到底是一个什么原理呢？大家可以截屏一下，看一下推导过程啊，实际上就是胎的展开啊。 ok， 关注我，让学习变得更有趣一点。

最近看到一位有水平的名科出了这样一道有趣的题目啊。一二三四五六七八九乘以 x 加上一等于 c y， 要求整数 x y 啊。一位老师分享了一种有趣的结法，在这里和大家分享一下啊。大家也可以暂停挑战一下，能不能把 x y 给解出来啊。 我们看该如何解决这问题啊。首先看这个方程到底有多少组解。再来看该如何求解啊。 假设我们求出了一组解，是他的一组解，那么他肯定有其他的解。为什么这么讲啊？因为一二三四五六七八九乘以 c 等于 c 乘以一二三四五六七 八九。而且如果这个数乘以 n 的话，这个数乘以 n 的话，他们同样相等啊。好同学可能会说啊，这不是废话吗？但是应用到他的减里面，不是一句废话。我们可以这样写啊，一二三四五六七八九乘以 x 零 加上 e 等于 c， y 零是他的 e 组解。那么 x 零加上十一 n， 这边 y 零加上一二三四五六七八九 n， 他们还是一样的，肯定也相当。所以说啊，这个就相当于新的 x 一，这个就相当于新的外衣啊。 x 一外衣是整数，他们满足。一二三四五六七八九 十一加一等于十一万一啊。这是另外一组解啊。所以一旦确定了一组解，我们就可以求出他的通解。 注意啊，这里有一个前提啊，这个 c 和这个复制，如果不复制的话，可以处于他们的最大工业数啊，得到相应的数。 ok， 明白了。有一组解，就有无数组解。我们再来解一下这个方程啊。解这个方程用到了辗转相处法， 关注我的老同学肯定都看过辗转相处法，知道他怎么回事。那么解这个方程跟辗转相处法有什么关系呢？之前辗转相处法不只是用在化解里面吗？和这个方程到底有什么关系啊？实际上，辗转相处法可以证明一个比较有趣 去的定理，叫陪数定理啊。什么叫陪数定理呢？举一个他的特例啊，这个两个数负一二三四五六七八九 x 加上 cy 等于我们要解除 xy。 这个数和十一是复制的，复制， 因为十一是字数，他除以十一，余数是五啊。关于十一的倍数的特点，在之前的视频中曾经分享过，感兴趣的同学可以去看一下啊。有了这个前提，我们肯定可以找到整数减 xy， 满足要求啊，满足他们的合等。一。 这是陪属定理的一个特例啊。在这里我们只简单的介绍一下有这样一个定理，根据陪属定， 你确定他有减。而根据陪数定理的证明方法，我们可以把他的结给求出来。证明方法实际上就是辗转相处法。怎么辗转相处呢？移到一边是负一二三四五六七八九 x 加上 cy 等于 我们可以用一二三四五六七八九辗转相处啊，减去一十一，乘以一一二二三三 试试啊。这个是怎么得来的？是用它除以一十一得来的啊。余数是多少呢？余数是五。这就是他叫辗转相处的原因啊。这个系数 是这个处于这个得到的。找到一个五，新的五肯定跟原来的系数互织啊。 我们要探究他跟原来的两个系数的关系，最好和一十一角，因为这个数字太大了啊。找小的数字两个相比较，五能不能够构成一十一呢？不行啊，按照辗转相处法的原理，十一减去五，乘以一个相应的倍数啊。一十一除以五得二于一吗？所以是乘以二 等于一。现在我们就把一配出来了啊。好多人说这个一是配出来的，但是这个一跟这个有什么关系呢？实际上认真思考我们就会发现啊，这个五实际上是可以用一二三四五六七八九和一是一表示的。 把它带进去，不就变成了只有一十一、一二三四五六七八九和他们的系数的四字了吗？把它 话讲一下，实际上最终是负二乘以一，二三四五六七八九，加上一十一乘以二二四四六六八九，他是等于一的啊。大家可以用计算器来验算一下， 负二乘以一二三四五六七八九， 加上一 c 乘以二二四四六六八九等于 一啊。没有错啊！点赞过万，下一期将分享如何用无穷地降法证明陪属定理啊！ ok！ 更多的有趣的数学问题可以翻看我的合集和订阅我的正能量，关注我，让学习变得更有趣点！

今天我们学习一道一次不定方程的问题啊，求方程七 x 加十一， y 等于九，它的一个整数解。对于这种整系数的 二元一次不定方程，他是他的一个整数解问题啊，是这个奥数学习中啊，他一个典型的问题，他的通用形式呢？是 a x 加 b， y 等于 c 啊，其中 a 乘以 b 是不等于零的，这样的这个形式是 注意 abc。 如果都是整系数的时候，这种问题呢？他是这个奥数学习中典型的一套一类问题，同学们一定要学会如何去修剪。听完本奖之后呢，我想大家都能够 知道如何去求解。对于这样的问题啊，他的一个所有整数解该怎么求呢？其实关键问题啊，是求得一组特 特解。所谓特解，就是能满足条件的一组特殊解。我只要能求出一个解来，我就可以把它问题解清楚。一个解，那我假设一个解是 x 零 y 零，如果我求解出来，解释 x 零 y 零，那么通解是怎么写呢？那么其实通解的形式啊，就是 x 等于 x 零， 减去 b t， y 等于 y 零，减去加上 a t。 注意这里 t 为整数。 这个式子，我如果求出任何任意一组特写 x 零 y 零，那么通解就可以写成这样一个式子，作为一个通解形式。那么所以问题的关键就在于我们如何把特解求解出来。这组特解怎么求解呢？其实常用的方法有两。 第一个观察法，直接观察观察。如果我能观察出一足且满足这个世子，那么我就已经得到特写了，然后通结写出来就结束了。那么如果不行，如果世子比较复杂，像这个世子，我一眼肯定看不出答案。那么我们就通过另外一个思路， 就是本题的一个思路，把一个未知数表示成为另外一个未知数的代出式。然后根据整数的一个特性，因为是整数解，我通过整除特性来确定特解。 所以呢，我们就以这个题目为例进行一下判断。七 x 加十一， y 等于九啊。有同学肯定肯定问 我把哪一个式子表 x 表示成 y 的形式，还是 y 表示成 x 代数式呢？注意这里有一个小的技巧，就是一般选取这个小的这个系数啊，作为一个表示。那我们这里呢，七比较小，那我们就 可以表示成为七。 x 是等于九，减去十一， y 除以七的，可以表示成为这样一个形式啊。这里选择七，是因为七可以很快的把这个式子啊 变为这个分母为七的系数。如果你取一个很大的系数啊，有时候不不一定能判断，而且不利于你后面的一个继续处理好，我们继续往下写。这里呢，可以写成七，再减去十四， y 再加上三， y 加二，对不对？那么除以七，那么写下来就是 一减去二 y 再加上七分之三， y 加二。因为我们所有的 xy 都是整数解，那么 x 是这样一个式子，这是整数，那么这个分式啊，必然也是一个整数，对不对。 那么其实我们就可以观察一下我们能不能直接看出答案，有些可能思维比较敏捷，可以一下子判断出来。 当 y 等于四的时候，哎，就是问题的写三四一十二十二加二十四，对不对，就是问题的写。那么如果你这样能判断出来，判断出来的话，那就可以直接得到问题答案。如果你不能判断出，我们可以继续往下写，那么可以另三 y 加二退七等于 u， 这样写之后我 u 也是一个整数，对不对？我只要最后判断优势整数就行了。那么继续写。那么这个式子就可以变化成为七， u 减去三， y 是等于二的， 那么这个又是一个二次一一元二次的二元一次 的一个不定方程，对不对？那么我们就可以继续写。那么我可以把它画成 y 等于七， u 减二除以三的形式，那么这个形式七 u 可以写成两 u， 再加上三分之 u 减二。 注意啊，这里 y 必须也是整数，对不对？那么后面这个式子也是需要是整数。这个式子是整数的话，是不是很容易判断出来？那么是不是当 u 等于二最简单又等于二的时候，这项就是零，那么 y 是等于四的对不对？可以推导出来 二得四，那么这个时候 x 是等于带，带回进去， x 是等于负，对不对？ 这样的话，我们就可以把这个问题求解出来。 当 y 等于四， x 等于负五，就是它的一组特写。那么它的通解该怎么写呢？通解的形式我们知道 x 等于负五， 我只要减去啊 b， 这边是系数是十一，对不对？注意交叉。这里写 y 的系数对不对？ y 减去 y 的系数乘以 t， y 呢是等于啊四，再加上 x 的系数七乘以 t， 这里呢 t 为整数。这就是问题的解。 这样我们就得到了问题的通解，就是这样一个 式子。回顾一下解题过程，这里呢提供了两种解法，一种呢，其实就是通过我们的这个变形法， 通过变形法呢，把一个式子表示成为，另外把一个位置数表示成为另外一个代数式，一个位置数的代数式，然后通过整出来进行分析，然后可以得到哦， 如果一步不行可以得到，通过两步，如果数字非常之大，这个系数啊非常复杂，甚至可以用三次四次逐步把这个次数，把这个数字啊降低，然后得到问题的解，直到你直接能看出问题答案。然后呢，通过通解的写法可以把问题直接写出来。 第二种方法呢，其实他是利用了一个取角的方法，如果你要观察能够得到结果，那么我们就会更方便便捷一点。所以本题的要点呢是把一个未知数啊表示成为另外一个 呃未知数的代入式来确定通解，确定一个特解，确定完特解之后，我们就会迅速把通解的形式给他写出来了。特解形式确定完之后呢，我们就可以确定通解的形式。 好，这样的话，对于整系数这个依次不定方程，他的一个整数解问题我们就完全讲完了，你学会了吗？

哈喽，大家好，我是三乐学院的梦歌老师。今天在讲题之前给大家唱一首歌，你们试试听一下是啥？这是我小时候我爸妈经常唱的歌。 好，我记得我之前考研的时候 有那么一节的内容啊，就是关于改革开放，然后我就听着这首歌做人那些题，我感觉自己仿佛置身于那种建国伟业当中。好，我们来看题，在 正有理数的范围内解方程。正有理数。好，那么这是莫斯科的奥林匹克竞赛体。好，我们来看 x y 次方等于 y 的 x 次方。好，我们来解。 首先呢，我们要知道 x 不等于一，我们试想一下，如果 x 等于一的话，左边就是一， 那么右边也是一，这时候 x 和 y 就都等于一了，那么和 x 小于 y 是矛盾的，所以说 x 不等于一。 那么我们看这个式子，这个式子我们通常方法是两边同时取对数，就是 loin x y 四方等于 lying y 的 x 方， l e x 的 y 次方就等于 l e y 的 x 次方。好，这时候我们把这个式子给他 写出来的话，就是 y 的 lawying x 等于 x 的 lawying y。 好，这时候呢，我们把 ling 放在一边，字母放在一边，那 ling y b ling x 就等于，那么 ling y 乘以 x b y。 好， 那么写到这一步，我令他等于一加 t， t 大于零。为什么呢？因为 t 我们的这个数呢？是正数，正有理数，所以 t 大于零。好，那么我们再来看有 除了这个式子后，那 low in one， low in one 就等于 x 倍的 e 加 t。 好， y 呢？就等于 x 倍的一加题， l e y 等于。哦， l e y 等于 l e x 倍的一加题。对，都是 l e， 我们就都写 l e n。 然后这时候呢，我们把 二式中的 y 等于这个数给他带到一式中，我们来看一下。那么 lawying x 背的一加 t 呢？就等于 lawying x low in x 背的一加 t， 他是这样的，等于 low in x 背的一加 t。 这时候呢，我们把左右给它展开， 那么这个展开之后，他就是 lawying x 加上 lawying e 加 t。 右边的呢，是 lawying x 加上 t 背的 lawying x。 左右呢 lowing x， 我们给他两边抵消掉，然后两边同时取一个 e 的 lowing， 因为 e 的 lowing 的话，就可以出现 把烙印去掉了，所以两边取 e 的烙印，这边就变成了一加 t。 那么这个我们看 t 的 lawying t 背的捞印 x， 它又可以写成 lawying x t 四方对 不对？去 e 的话，那就是 xt 次方。好。这时候呢，我们来看， 我们把 x 给他求出来。 x 怎么求呢？两边同时 t 分之一次方一下，是不是 x 这个 t 次方就消失了，那就是一加 t 的 t 分之一次方就等于 x。 好。这时候呢，我们的 x 就解出来了。 再把 x 等于这个式子呢，带入二式中， x 等于这个式子。带入二式中，我们就可以得到 y 呢，是等于 一加 t 的 t 分之一乘以一加 t， 那就是一加 t 的 t 分之一加一。 好。所以呢， y 是等于这个数， x 呢，是等于这个。那么 xy 关于 t 的这个含餐变量我们就求出来了。所以这道题的正确答案呢，就是 x 等于一加 t 的 t 分之一次方。完了，等于一加 t 的 t 分之一加一次方。好，这道题呢，就讲到这了，我们下次再见。

好，我是小罗老师，咱们来看一下这道题。若 x 的绝对值等于六， y 的绝对值等于十一，然后 x 加 y 的绝对值呢？不等于 x 加 y。 求 x y 的值。首先啊，我们前面的话，这个大家都比较知道，就是因为我们 x 的绝对值等于六，然后呢， y 的绝对值等于十一，那么所以呢，我们可以得到 x 呢，他应该是等于正负六， y 呢，也应该是等于正负十一。那么再往后的话，就是因为我们 x 加 y 的绝对值，他是不等于 x 加 y 的啊。其实这个地方的话，很多同学搞不懂啊， x 加 y 不等于 x 加 y。 其实你这样子去想吧，你替换一下。比如说 x 加 y 为 a， 那就是 a 的绝对值啊，不等于 a。 什么情况？我们 a 的绝对值，他应该是有三种情况的啊。 a 的绝对值，他应该是有三种情况。 第一种，等于 a 的话，那说明你的 a 大于零，那么第二一个呢，等于零的时候呢，那么说明你的 a 是等于零的。第三种呢，如果说等于负 a 的时候呢？那说明你的 a 是小于零的是吧？那这个地方意味着 x 加 y 不等于 x 加 y 的绝对值，不等于 x 加 y 的话，那也就意味着 咱们这个呃 x 加 y， 他一定是小于零的。所以说你的 x 加 y， 他应该是怎么样小于零，然后他小于零的话，那你来看一下。那么所以说呢，你的这个 x 他只能联系 x 等于六的时候，你的 y 的话是等于负十一。那么通过这个呢，可以解得，咱们这个 x 加 y 就是六减十一，也就是等于负五。嗯，不对啊，他不是求 x 加 y 啊，差点我又犯错了，他求的是什么？ x y。 所以说你的这个 x y 的话，也就是等于负的六十六。那还有一种情况呢，就是你的 x 等于负六的时候呢，你的 y 呢？是等于负十一的。 那么通过这个呢？嗯，可以解的这个 xy 呢，其实就是等于六十六啊。也就是这个题呢，他答案就是 正负六十六。他为什么不能等于这个 y 啊？他绝对不能等于十一。如果说这个 y 等于十一，不管你的 x 区正六还是负六，他们两个相加，他都不满足这个小于零。好吧。好了，那这个题的话，咱们就讲到这里。

大家好，我们来看一下这个微分方程啊，这里因为因为这个正向函数的变量啊，他是这样的，所以我们用一个变量代换一下，代进去以后， 那么右撇他就等于这一个了，那这里就变成了三音右的平方，所以变成这个以后啊，啊那那那那这个就可以就可以分离变量了，对不对？这个右撇写成 du bdx 嘛，所以写写成了以后，这个就就变成这个，变成这个解出来就是这个样子。 我们看这个方程啊，这个首先可以分离变量啊，算出来解出来是这个样子。然后第二种呢，他可以把这个这个进行变量代换啊，变成这个样子，然后同样解出来是这个。那这个我们发现呢， 这个通解的形式啊，好像不一样，对吧？啊，其实我们可以自己去变一下他，这个还是一样的哈。 那我们再看一个实际应用题，这个放射性元素衰变速度，衰变速度，那就是啊， d m b d t 了，同时呢，它跟这个这个胃衰变的原子的这个含量， 这个 m 成正比，太，而且知道这个这个这个初始条件。这个我们根据 根据这个题目的意思，我们把这个微分方程写出来，这个 d m b d t 表示衰变，衰变速度嘛，它跟这个 m 啊成正比。那为什么这个那么大，等于等于零，要加一个负号呢？ 因为它是衰变，是减少对吧？不是增加。你如果没有这个符号，那证明这个是增加呀， 所以这个加个负号，然后根据初始条件，这个很容易解出来，解出来就这个把初始条件带进去，就是这个样子 啊，这个是相应的内容。小结这里有一个注意的地方，这个通结，它不一定是方程的全部结哈。这个就像我们前面那个方程一样，如果用用这种形式来表示通结，它就不包括这个 y 等于零这个结对吧？ 就像这个方程一样，这个是通解，但是他不包括这个前面这个解啊，可分离变量的啊。这个求解方法等等啊。解微分方程有这些 步骤啊，这里有两个练习，这个呢，可以我们可以对他进行分离变量。这个呢，可以把它变成这个样子解出来。

准备好，我们接着讲二元一次方程组的问题。关于 x y 的二元一次方程组，他的解为 x 等于一， y 等于二。 那么观察这个方程主呢？你会发现他虽然是 x 和 y 是未知数，但是呢，他还有参数，你看 a 一、 a 二， b 一、 b 二，那么有四个参数。 如果说你想通过把 x 和 y 带到远方存储里面去，把 a 一 a 二解出来， b 一 b 二解出来是解不出来的，对不对？所以说这种方法是不可行的， 但是人家也没有让我们解，是让我们求一个新的方程组的解，对不对？那么新的方程组呢？我们观察和原来的方程组 有什么关系呢？很明显，你看我们看左边这里系数都一样，完全一样，只不过右边这里变成负二，加上 a 一，这里呢变成四，加上 a 二，就是同时这里加了一个 a 一，这里加了一个 a 二的问题吗？ 那么这样的话，我们可以把先把这个方程啊换一下，将它把形式写成和圆了一样啊，写写成一样，那么先把这个 a 一移过去对不对？ 一过去，那么就变成 a 一倍的 x 减一对不对，对吧？因为你提提出一个 a 一来嘛，就是 x 减一嘛，加上 b 一万， 那么等于负二对吧？然后这里是 a 二倍的，同样把这个 a 二移过去啊，提出一个 a 二来，就是 x 一加三，这里应该是减了对不对啊？同学注意啊，我们减去 b 二 y， 那么要等于多少呢？等于四。 这样子的话，同学们注意了。你看在这个方程里面，你看这个方程组，新的方程组和原来的方程组区别在哪里呢？无非就是这里的 x， 我们用这里用 x 减一代换掉了，对不对？所以你如果你这里的 x 一 x 减一呢？就相当于是这里的 x 对不对？所以也就是说原来的是 x 解出来 x 的原因。现在这个方程组呢，你现在就变成了是 x 减一等于一吗？对不对？ 那么原来自己是无爱，和这里的无爱一模一样的对不对？一模一样的，所以其实就是无爱的女儿们。 那么这样子的话，我们就可以得到新的方程组的解，就是 x 等于二， y 呢？等于二。好了，我们体验上答案 x 等于二， y 呢，等于二。好，那么这样子的话就可以了。

连接组标号是 vip 小 d 幺幺，小 d 幺幺。这个连接组标号大 y 小弟摇摇，小弟摇摇。高压侧一般是用大写字母来表示，就是大腕带大写的。低压侧一般用小写的小弟。这个大腕，他代表高压侧，他的心形界限。 这个 a 呢，是代表他中性线，有引出，他有引求哇，表示他是星星。连接 a 硬 a 代表他的中硬点，有引出 啊。爱应呢，就指这个，这个爱应是他中意点，中意点有引出。你看这个引出来了吧，引出来他直接就接地了，看到吗？直接接接地了。这个就是爱应。这个小地，他代表地下侧是三角形的接线。这个十一呢，就是 低压色电压之后，高压色电压三百三十度，或者也可以这么说是低压色电压超前，高压色电压 三十度。也可以这么讲，但是一般的都是就是用这个坐标号数字乘以三十度，就是低压测电压，智扣高压测电压的一个相比较。

第五题已知关羽 x、 y 的方程组，三 x 加二， y 等于 m 加一，四 x 加三， y 等于 m 减一。他的解也是方程五， x 减二， y 等于十一的一个解， 要我们求 m 的值。在这个题目当中呢，他在已知条件提供的这个二元一次方程当中 是含有一个 m 这样一个参数的。然后他说这个方程组的几也是后面这个方程几，他用我们求 m 的这个值。 那么这个题目的解题思路我们这样考虑。首先呢，我们使用第一个二元一次方程组，我们解除分别解除 x 和 y 的值。但是你要注意，在这个地方 x 和 y 的值肯定是含有 m 的。然后呢，我们把它带到后面这个方程当中去，那么我们就可以解得 m 这个值。 那么第一步我首先给这两个方向编号， 然后我们来观察一下，在一号方程当中， x 的系数是三，二号方程当中， x 的系数是四，那么我就考虑我把一号方程的左右两边同时乘以三， 那么我们就得到九， x 加六， y 等于三， m 加三。然后这个二号方程呢，我左右两边同时乘以二， 那么我就得到了八， x 加六， y 等于二， m 减二，我把它编成四号。下面我们就可以看到，在三号和四号方程当中， y 的系数都是六，那么我们可以做减法， 我就用三号方程减四号方程，那么就是九， x 减八， s 就等于 x， 六万减六万就等于零。 右边的三 m 减二， m 就等于 m， 三减负二，那么就等于三加二，那么就等于五。 所以我们就求得 x 等于 m 加五。在这个地方我就求得了 x 的值，只是说他这个节里面是含有 m 的。 第二步我把 x 等于 m 加五，我带到一号方程当中去，那么就变成了三乘以括号， m 加五。去括号之后就是三 m 加上十五， 加上二 y 等于 m 加一。然后我就把 y 解出来，我把三 m 和十五都移到右边去，那么我就得到二 y 呢，是等于负 r， m 减十四的，左右两边同时除以二，那么 y 呢？就等于负 m 减七。 所以在这个地方我就求得了方阵主的解为 x 等于 m 加五， y 呢等于负 m 减七。 后面这个就比较简单，那么我就把这一组结带到这个方程。五 x 减二， y 等于 十一当中去。那么我带进来之后就变成了五乘以括号， m 加五减去二乘以括号，负 m 减七等于十一。 在这个地方我们可以看到这就是一个关于 m 的一元一次方程。下一步我们去括号，那么就变成了五 m 加上二十五， 负二乘以负 m， 那么就是正二 m， 负二乘以负七，那么就是正式七。合并同内向五 m 加二 m 就是七 m 二十五加十四，那么就是三十九三十九。一下一过来就变成十一减三十九，那么就等于负二十八。最后一步画 m 的系数为一，左右两边同时除以七， 那么 m 呢？最后就等于复式。第六题已知关于 x y 的二元一次方程组。 p s 加二， y 等于八五， x 减六， y 等于负八， 二 x 加五， y 减十九等于零。有公共解要我们求 p 的值。在这个地方他给了有三个方程，其中第二个和第三个方程只含有这个未知数 x 和 y。 而第一个方程当中呢是含有 p 的，他说这三个方程都有公共计。那么我们根据提议，我可以把第二个和第三个方程，我先把它组合成一个二元一次方程组，通过他们我们来求出 x 和 y 的值。 然后我把求的解带到第一个方程当中去，那么就可以求得 p 的值。那么首先第一步我们一提列出方程组。五 x 减六， y 等于负八，二 x 加五， y 减十九等于零。 这个呢我一下我把副十九移到右边来，那么就变成了二。 x 加五， y 等于十九，那么我就组合成一个二元一次方程组，然后我把它编号。 下面我们就来解这个二元一次方程组。 在这个地方呢，我准备来消去 x。 在一号方程当中， x 的系数为五，二号方程当中 x 的系数为二。 所以首先呢，我把一号方程左右两边同时乘以二，那么就得到十， x 减十二万等于负十六。然后我把二号方程的左右两边同时乘以五， 那么就变成了十。 x 加上二十五万等于九十五。然后我把这两个方程编成三号和四号。现在三号和四号方程当中， x 的系数全部都变为了十。 然后呢，我用四号方程去减三号方程，那么就可以把 x 消掉。那么外呢就是二十五万加上十二万，负负得正吗？那么我们就得到三十七万。九十五 减负十六，那么就是九十五加十六，那么就等于一百一十一。最后一步画外的系数为一，左右两边同时除以三十七，那么最后得到一百一十一除以三十七就等于三。 下一步我把 y 等于三，带到二号方程当中去，那么就是二， s 加十五等于十九。然后我们一下我把十五移到右边来，那么就变成了二， x 等于四。 最后一步，左右两边同时除以二，那么 x 呢？就等于二。最后一步，我把求得的 x 等于二， y 等于三，带到第一个方程当中去，也就是带到 px 加二， y 等于八， 那么带进去之后就是二乘以 p， 那么就是二 p 二乘以三，那么就等于六。 右边的十八，那么我们就得到二 p 加六等于八。然后一下把正六移到右边来，就变成八减六，那么二 p 就等于二。 然后我们画 p 的系数为一，左右两边同时除以二，那么 p 的值呢？就等于一。第七题对于整式 a， x 加 b， 其中 a 和 b 是常数。 当 x 分别等于四、二、一负一的时候，小虎同学依次求得下列四个结果。五、二负一和 其中只有一个是错误的，则错误的结果是哪个呢？在这个题目当中，我们不知道 a 和 b 的值。然后这个小虎同学他一共算了有四次，其中有一次错误的， 那么他要我们判断到底是哪一次是错误的呢？这个题我们是这样做的，我首先把这四个词四、二、一和负一分别带到这个整式当中去， 因为他每次计算都有一个结果。那么我们就可以得到下面这四个方程。当 x 等于四的时候，我们带进来就是四， a 加 b 等于五。当 x 等于二的时候呢，我们就得到 r， 一加 b 等于二。 当 x 等于一的时候，我们就得到 a 加 b 等于负一。当 x 等于负一的时候，那么负负 a 加 b 等于负五，然后我们把它编号一、二、三、四。这个告诉我们其中有一个是错误的， 那么我们怎么去判定呢？那么我们就把这四个方程连立起来去解一下，看一看 a 和 b 他的值到底是多少。 那么这个地方我们怎么解呢？我们首先把一二连立起来，如果我们连立一二，那么我们解一下 a 和 b 的值到底是多少。 在这个地方我们看到这个 b 的系数都是一吗？那么我们可以直接做减法，那么我用一号减二号，那么就是 四， a 减二 a， 那么就等于 二，一 b 减 b 等于零，五，减二等于三， 那么我们就求得 a 的尺是等于一点五的。然后我们把一三连立，同样我们是用一号方程去减三号方程。四 a 减 a， 那么就等于三， ab 减 b 等于零五减负一，那么就等于六， 那么我们就求得三 a 等于六， a 呢，就等于二。然后我们可以求得 b 的值是等于负三的。 然后我们把一号和四号连立，那么我用一减四，那么四负四 a 减负 a， 那么就等于四， a 加 a， 那么就是五 a b 减 b 等于零，五减负，那么就等于十。那么左右两边同时除以二，那么 a 呢？就等于二。然后求得 b 是等于负三的。 在这个地方我们就得到了结果，一号和三号和四号离异之后，求得的词都是 a 等于二， b 等于负三，那么就说明 a 的词本来就是二和负三。但是一二连力之后呢，他求得的只是 a 等于一点五。那么我们判定 这个是第二个方程，这个是有错误的，也就是说当 x 等于二的时候，这个计算结果是不对的。所以第七题我们应该要选 b。

重要题他说 xy 都是正整数，然后 x 加上 xy 等于五十四。要求 x 加 y 等于多少啊？那像这样的多项式的问题，我们首先要考虑的肯定是分解因式 啊。我们来看一下这个是怎么来分解呢？我们可以先把前面这个 x 给提出来，有个 x 乘以一加上外，再加上外，它应该是等于五十四。 好，这有个一加 y， 这边一个 y。 嗯，如果说这边也是一个 y 加一的话呢？那这个就可以提取公民式了，对吧？所以我们可以考虑我们这里 a k 四乘以一加上外，这边呢我用外再加一个一，那这边左边加，右边也要加一，所以这边等于五十五。 那这有个一加外，我们就可以把它提出来。也就是 x 加上一乘以外，加上一，应该等于五十五。 就是我们看到题里面说啊， x、 y 都是正整数，我们看一下，这两个数乘起来等于五十五，那这两个数肯定也都是正整数。那哪两个正整数乘起来会等于五十五呢？ 否发现一乘以五十五或者五十五乘以一或者十一乘以五 或者五乘以十一，他都等于五十五。但是呢， x 他是正整数，说明他应该是大于等于一的，他再加一肯定是大于等于二，那这个一肯定是不对的，这个也不对。 那么下面十一和五，这边是五和十一。其实很明显，这两个也就是 x y 交换一下顺序。那我们最后要求的是 x 加 y， 所以 x y 的顺序其实我们不关心，那我们就直接删掉一组。我们直接拿这一组来求答案是一样的。 我们可以看一下，那 x 加一，他就等于五，那外加一呢， 就等于十一。所以求出来， x 应该是等于四，外应该是等于十。所以呢， x 加外应该是等于十四。这样题就做出来了。

同学们好，今天呢，我们来做一道九里方程的这个题目。 那么这道题呢，按照我们常规的方法想把它解出来的话，有点难度，你比如说把两边平方吗？他第一数平方好说，第二个数平方好说，他这个几的二倍。那么这 就很麻烦了，就不好搞，再往那一过去，两边平方的话，他还是去不了工号。那么这道题， 那我们就应该来想一下该怎么做。那么这道题呢，实际上我们 要用还原法来解答的话，就要简单的多。你比如说射 根号 x 平方加七十五等于 m， 根号 x 平方加十一 等于 n， 那么现在呢？有上面的是有，我们就可以得到哎， 加减恩的他是等于四，就是这个式子先放在这。那么现在我们再来看， 从这个式子里面看能不能够把根号去掉呢？我们把这个 m 的平方两边一平方，这个帽不就塞掉了吗？是不是 把这个 n 的两边平方，这个不也栽掉了吗？那么现在通过校园的话，那么用这个减这个，那就 s 平方也消化吗？是啊，所以这样这个题 搅拌，那就比如说那就是 m 的平方，他是等于 x 平方加七十五的，那么 n 的平方呢？是等于 x 平方加十一的。 那么这样我们就可以得到 m 的平方减 n 的平方，它体现差，是一个平方差字是我们也可以把它写成 m 加 n 乘以 m 减 n。 那么现在呢？ m 加 a， 我现在不知道，我现在把他要换掉是不是？那也就是 m 加 n 乘以四，他是等于，因为这前面是 m 的平方减他吗？ 那七十五减十一就等于六十四，哎， 因为这这就是这个上面这个式子来的，因为他也可以变成这样的。这里面我们又可以把它转换一下，那就是 m 减 n 已经得到了四，那么这个 m 减 n 用四换掉，那就是 m 加 n 乘以四，就等于六十四。 那这样我们就得到 m 加 a， 他就等于十六。好， 现在 m 加 n 等于十六， m 减 n 等于四，那就是 m 加 n 等于十六， m 减 n 等 等于十四，哎，等于四。我们解答出来是吧，把两个一加，这样 m 就等于十，哎，那么 a 呢？ m 等于十，那么 a 九等于六。好，现在再用 m 也可以，用 a 也可以。我们再直接 在上面去求，那就是啊， x 平方加七十五，是等于因为两 平方吗？给一百。哎，这样呢， x 平方他就等于他一过去就变成二十五，那这样 x 就等于正负五，那就这个 x 就两个值。 你看，虽说写了这么多，但是呢，我们理解起来还是比较容易的是吧。像从这道题， 那么如果不用这个方法，用别的方法去解答的话，那就有相当大的难度。所以这个呢，我们用坏难法哎，一个呢，就是用平方插公式哎， 去把它进行转换。当然这里面啊，因为前面已经得到一个 m 减 n 等于四，那就说只要遇到 m 减， 我们就用四把它换掉是吧。再看这个转换，因为 m 型的那瓶是苹果，叉路上，他可以 别人 m 加 n 乘以 m 减零，但是 m 加一，我可以把它整个当一个位置数是吧？因为 m 减二是四，他是等于六十四的。 哎，因为他这一减呢，不就六十四吗？那么这样就等于十六了，那就是把 m 加 n 等于十六，把 m 减呢，组成一个画面组，我们就可以求出 m 等于是 n 等于六。当然你用 m 也可以求 n， 用 n 也可以求 e、 s， 他是一样的。哎。所以说，不管怎么样的题目，我们只要把我们所学的知识进行荣获贯通， 接他起来就很容易。好。就那些讲到这，同学们，再见。

好！书上的第十一题列方程求表中未知数的值。我们会看到表格当中是单价数量，总价可以用到我们四年级学的数量关系。单 单价乘数量等于总价。那么我们在用的时候尽量用人乘法，不要列成除法的方程。好，我们来看墨水。单价 x 数量十二，总价三十一点二，我们就列成方程十二， x 等于三十一点二，两边同时除以十二， x 等于二点六。 钢笔也用单价乘数量等于总价九点六，我也等于四十二，两边同时除以九点六，我还等于五，买了五只。第十二题同样是根据数量关系来列方程并写的，但是呢，他比上面一道题要难一点。我们来看错。 每幅图他的数量关系藏在图中，我们可以看到黄色的是蓝色的四倍，所以我们列的时候可以用蓝色的 x 厘米乘以四等于七十二厘米，简写成 四 x 等于七十二。然后解方程。右边一幅图我们要看清楚了，他是把一杯果汁放在秤上来称，那么他的重量是多少呢？看 箭头所指的是四百到五百的中间，那我们应该是四百五十，杯中两百，果汁中 x 克。那么在这里他的数量关系应该是一个加法，应该是果汁的重量加上杯子的重量等于总重量。所以我们列车一个加法的方程， 两百加 x 等于四百五十，两边同时减二百， x 等于二百五十。第十 三体是一位同学买了一本练习本和三支铅笔，张同学呢，买了八支同样的铅笔，两个人用去的钱同样多，一本练习本的价钱等于多少支钢笔的价钱？ 口答。那么这道题我们可以用等式的性质来做。怎么去想呢？因为两个人用去的钱是同样多的，所以我们可以想，如果第一位同学 少买三支铅笔，那么第二位同学也少买三支铅笔，也就是把他们同时去掉三支铅笔，那他们用的钱还是同样多的。那么按照这个思路，第一位同学少买了三支铅笔，那他就只买了一本练习本，而第二位同学 八减三，相当于他买了五支铅笔。所以我们可以得到答案，一本练习本的价钱等于五支铅笔的。

这是一个比较有趣的解方程啊， s 方乘以 y 等于四个九乘 x 加 y， 要求正准数 xy 啊。大家可以暂停挑战一下如何把正准数 xy 给解出来。 好，我们看看如何解决这问题啊。之所以觉得这个问题难，是因为这个数字太大， xy 比较分散，所以我们把它集中起来，分类一下， 把外移到一边， x 分外减，外等于四个九 x。 这边是 y 乘以 x 方减一，等于四个九， xy 等于四个九， x 除以 x 方减一， x 方减一，可以写成 x 加 e， x 减一。啊。 伸到这里好像无法解下去了，但是考虑到外是整数 x 整数，那么这个除以，这个是整数，有没有比较好讨论的方式呢？我们可以看一下， 四个九等于九，乘以四个一，他是等于三的，平方乘以一十一乘以一百零一。实际上 这人漏写一个一啊，乘以一也是他的因素啊。把酒写成他所有的字，因素相乘。然后再填一个一啊，知道吃个酒的所有因素了。那 那么看看这两个数的特点啊。间隔二，间隔二的整除相乘啊。在他的因素里面，我们可以找到一三间隔二 九一十一减个二，九十九，一百零一减个二。也就是说有三组。我们可以这样写啊， x 减一等于 x 加一三十啊。 x 等于二， y 等于四个六， x 减一等于九， x 加一等于 cx， 等于十，那么 y 等于一零一零。第三组 x 减一等于九十九， y 加一 等于一百零一， x 等于所有三组减。 ok， 更多的有趣的数学问题可以翻看我的合集和订阅我的收藏，关注我，让学习变得更有趣的。

大家好，今天我们来看一道解方程，五 x 方加 x 减 x 倍的根号下五 x 方减一，再减二等于零。这个题目最容易想到的方法啊，就是换元对吧？因为我们看这里有五 x 方，根号下是五 x 方减一。现在呢，我们令 根号下五 x 方减一等于 y。 那原方程呢？我们看一下，可以写成这个五 x 方啊，这里有个减二，我们这样把它写一下，你写成五 x 方 减一啊，减去一哎，然后再减一对吧，还是减二。那么然后加上一个 x， 减去 x， 背的根号下五 x 方减一等于零。好，这样来把它写一下。好，接下来我们给他换过来，用 y 来表示五 x 方减一呢，就是 那因为根号下五 s 方减一是 y， 所以五 x 方减一呢，他就等于 y 的平方啊，两边同时平方，那么这个 方程就可以变成 y 平方减一，加上 x 减去 xy 等于零，对吧？接下来呢，我们利用这个饮食分解啊，解一下方程， y 方减一，可以从 y 加一乘以一个 y 减一。然后这里呢，我们给他提一个负的 x， 括号里就是 y 减 一对吧，等于零。那我们继续提一个 y 减一，就得出来是 y 加一，然后减 x 啊， y 减一乘以 y 加一减 x 等于零。那我们看一下解除 y 呢，是等于一， 或者是 y 等于 x 减一。 好，先来看一下 y 等于一的情况，如果 y 等于一的话，我们直接带入啊求一下，那就是五 x 方减一等于一。这个时候的求说 x 平方是等于五分之二，那 得出 x 一是等于根号五分之二，也就是五分之根号十。 x 二呢，是等于负的五分之根号十。 之后我们可以带入去检验啊，发现这两个根啊，都是圆方程的解啊，没有问题。然后再来看一下 y 等于 x 减一的这种情况。如果说 y 等于 s 减一，那我们带入 好，这是一，这是二。带入以后我们发现五 x 放减一等于，那你平方一下啊，这个 y 平方就等于 x 减一的完全平方。 然后呢，我们给他化解。那么化解完的结果 是这样的，四 x 方加上二 x 减去二等于零，再给他除以二 x 方， 把这个二 x 方加上 x 减一等于零。正好我们观察他可以十字相乘，得到的是二 x 减一，再乘以 x 加一等于零。 这时候呢，我们求出 x 一是等于这个二分之一， 这应该是 x 三了啊，刚才有 x 一， x 二了， x 四呢，是等于负一的。这时候同学们记着要带入 啊，看是不是圆方程的解。经检验呀， x 三是二分之一和 x 等于负一都啊，不是这个圆方程的解。所以呢，我们把这两个根啊都给他舍去。 哎，舍去都要舍去的。那最终的就应该说它原方程的解只有两个，一个是 x 一等于五分之根号十。 x 二呢，等于负的五分之根号十。

各位同学大家好，下面我们来看今天的这个题目。他说假设函数 fx 等于他，他是个分段函数，然后呢要求 f 的反函数 gx 的表达是 给了一个函数，如何求这个函数的法函数呢？那我们说的一般方法就是 那这个时候呢， y 等于 fx 等于他，然后返横数怎么求？实际上就从这个 y 等于一减二 s 方， x 立方反减这个地方，相应的谁啊，把 x 用 y 表示出来， 这就是一个一般方法。那么所以呢，你看他是个分段，所以对分段解啊，这个 x 小于负一的时候，那这个地方呢？就是通过 y 等于一减二 x 平方来反解这个 x。 那么这一环节的话，大家看把一移过去，二除过去开方，那你这个时候在这个地方呢？开方。那这个时候前面到底取正还是取负呢？那因为这个的话 x 是负的，那所以根号才可能是取负，这就是一般方法。 所以呢，你看我们由这个我们怎么得到的啊？首先就是从这个式子反结，那么反结的时候，这一个平方开方，取证还是取付？因为 这个 x 是负的，所以前面取符号。然后完了以后还要注意，那就是说这个 x 用外表示出来了，那你这个时候呢，相应后面得写出对应的外的范围， 那么外的范围呢？要根据这个你看当 x 在这变化的时候，看这个相应的外的曲值。那么注意这个地方呢，当 x 在这变化的时候，那实际上它是一个单调函数， 那么他是单调函数。你看这个 x 如果取消于负无穷，他就是负无穷，那么这个时候呢， x 要等于负一， 往这一带的话，那么这个地方呢是一减二，是负一。所以有这个地方可以知道，当 x 在这变化的时候，对应的 变化的范围就是小于负一，那所以这一段上就解决了。然后呢，这一段是一样的呀，那就是谁啊？那就通过 y 等于 x 立方反解，这一反解 x 就等于谁？ y 的三分之一词法。 然后呢，再看外的气质范围，因为这也是个单调，这是个单调增的。当 x 在这变化的时候，对应的函数值就从负一变到谁啊，八呀，这带等号，这也带等号，所以这就是负一到八。 然后呢，再看这一段，那这个 y 等于他，这个是个单调增的函数。 那所以这个时候呢，我们一反解也好，反解十二分之外加十六，那么它是单到增的，它的最小就是 x 等于二等于二等于八。那么然后呢，就是外大于八，因为他可以取到八到正无穷之间的所有的值。 那就是第一步，从原来函数缓解，那么本来这个就可以了，但是注意我们习惯上 用 x 表示自闭量，所以这个时候啊，我们把这个 xy 怎么样对掉，那么所以我们就可以写出他的反函数 九 y 等于 g x， 那么这个 g x 是谁啊？那就是 x 小于负，一是他，那么 x 大于等于负一，小于八是这个 x k 地方， x 大于八是十二分之 x 加十六。所以我们如果把它总结一下的话，就是知道一个函数求 反横竖，实际上就两步。第一步这个呢，讲的通俗一点就叫反解啊，就通过原来把 x 用外表示出来。 然后第二步呢，就是 x 与 y 怎么样对调，让我们习惯以 x 作为自别的。那么这样子呢，反函数就求出来了。 但是这个地方要注意一个细节，就是说你比如说这个地方反结，反结的时候前面可能有正有负，那你怎么确定是根据原来 x 变化的范围来确定？ 还有一个呢，就是这个时候凡姐出来以后，后面这个范围，那你就要看 x 在变化的时候，整个这个外变化的具体范围是什么，要这个要写对，只要这两个地方把握住，那这就没有问。 所以我们通过这个例子，希望大家学会知道一个函数，他是个具体表达，是要求他的反函数他的一般方法。 好。关于这个题目，我们就看到这个地方。

大家好，我们来看看这样一道题。已知 s 方减，外方加二， y 减六等于零，求 s y 的正整数解啊，这个整数的减。那么这个题目呢？显然呢，考察的是这个音是分解。 那我们把这个已知这个方程啊，先给他进行一下饮食分解。我们看 x 方，这个想到什么呢？同学们看是不是容易想到这个平方差的一个公式对吧。那 x 方减去， 这里有一个外平方啊，我们直接给他写成外平方，呃，减去二 y 对吧？那我们直接给他凑加上一个一就可以了，对吧？加一 等于多少呢？这个移过来，这是五吧对吧？那我们来看这个时候呢，这个直接用平方差公式啊，进行音质分解就可以。 x 方减去， 外方减二，外加一，正好是外减一的完全平方。好，那么接下来我们看，直接给他写成 x 加上 y 减一，乘以 x 减去 y 加一等于五啊。直接给他用这个平方差公式啊。饮食分解。呃，剩下的呢，就是一个讨论了。 那就我们看，因为这个五的话，你就写成一五得五，或者是负一乘以负五对吧。两种情况，那这里的话当然可以互换，一共就应该是四种。 d s 加 y 减一等于一，那 x 减外加一 就等于五。第二种互换的话就是 x 加 y 减一等于五， x 减 y 加一等于一，这里是加一。第三种 x 加外减一等于负一， x 减外加一等于负五。 然后第四种 x 加 y 减 e 等于负， x 减 y 加一等于负 e。 一共四种。我们分别看一下 xy 分别等于多少。 两式相加， y 和负 y 底下负一和 e 地球。而直接就是二， x 等于六， x 应该是等于三的。 s 等于三呢？ y 我们看一下接下是得多少。 三减一是二，那应该是等于负一对吧。三和负一，这是第一种情况。呃，第二种情况咱们继续来看，还是量是相加。呃， y 和负。外底 敲二， x 等于六。这种情况下呢，我们看 x 呢，还是得三的 y 呢？接下是也是三。再来看一下第三种，第三种还是两式相加 二， x 是等于负六。这回 x 是等于负三， x 是负三。我们看一下。负三减一，负四，负一加四。应该歪解一下是等于三的。 好。再来看一下最后一种情况。两式相加二， x 是等于负六还是 x 还是等于负三？呃， x 是负三的话，负五加三是负二，负二加一应该是负一。那 y 呢？应该是，接下是负一。 呃。综上的话，我们看一共有四组结啊，并且每一组结呢都符合题。