立体几何求空间角的求法

异地几何中，你真的会用限量法吗？还在困惑页面直线距离吗？还在困惑线面角吗？ 今天这个视频教你从底层思考，用下梁法，三步通通搞定点心面间的六种距离，三种角度 立体几何作为高考数学大题中承上启下的部分，每年让多少英雄折戟沉沙，其中点、线、面三者之间错综复杂的关系形成了立体几何的空间感。 接下来就开始了我们的探索之旅。首先建立一个空间指导，叫做 c 上面随机的点 m n， 怎么求他们之间的距离呢？如果用购物定理做两个直角三角形，标出他们的直角边，抽离出来， 红色斜边可以由 google 定义得出。 再用一次勾股定理可以得出另一条随便， 也就是我们所要求的距离，但不会觉得太复杂吗？如果我们以下面角度去思考， 连接 m n 向量， m n 向量等于末坐标减出坐标， m n 长度等于 m n 向 线的摩长，那么一步得出距离，可见向量法的便捷。 点线距离 a 为直线外一点， m n 为直线上两点。我们先以结法思考， 难道要用两点距离公式算出三边长度，再用解散型算出高线吗？那真是想想都难算。 现在我们用下列法去思考，既然要确定点线距离点和线又该如何确定呢？点当然可以用坐标确定，但我们直线还是用 m n 两点去确定吗？ o 我们可以用直线上一点以及直线方案项量去确定 方向。向量，顾名思义是要确定直线方向的，坐标是要确定直线位置的，两者结合就确定住了直线方向向量怎么算？末坐标减出坐标不同，实现两个因素不可能全相同， 这时候我们连接 a、 b 向量， a 向量就是方向量来控制方向， a、 b 向量就是用来控制点与线的位置。那我们距离和这两条向量究竟是什么关系呢？可以看出，我们距离就相当于是要把 a、 b 这条位置向量去搬正。 怎么搬正？用限量投影想象一下，一轮太阳在你头上，可以时时刻刻将你本身投到地面，也就是我们的影子， 也可以说我们要求的距离也就是我们位置相当的影子。那方向向亮是干嘛的呢？谁来告诉你太阳光的光线到底朝哪边？只有与方向向亮贡献的光线投出来的影子才是距离。 再确定一下距离与投影的关系，因为向量公线可以有两个方向，所以距离等于投影的绝对值。回到下面距离上，得出位置向量 a、 b。 但我们要算投影的项量，并不好求，怎么办？我们可以先投另一条直角边，再用歌舞定理得出距离 投影，式子如下， 然后再用一次购物定理可以得出距离与投影的关系。有了这个思路，接下来将是一马平川。点面距离，平面上找到一点 连接，形成点与面的位置项链，这时候平面没有发的项链，该用什么确定方向呢？ 那就是用法限量来控制平面方向距离正好就是 a、 b 向量在法限量上投影的绝对值。 具体公式不用去记，理解原理你会发现很难忘掉。线线距离，先看平行直 线间的距离，两条直线上各取一点，形成位置向量，没有法向量，那就找方向向量向投影，再用购物定理算距离。 对于 e 面直线有什么不同呢？ 那就是方向向量有两个，所以可以类似于找法向量，我们可以找到同时垂直于两条方向向量的向量。 接下来算投影，算距离解决。 线面距离连接找发像量 投影。面面距离连接找法向量算投影。所以点线面之间六种距离计算不过如此。三步间隙找向量算投影。 然后是角度问题，先来线线角，我们难道要平移找三角形，再用余弦定理一算角度吗？不用 找到两条直线方向向量，思考向量如何求角求扩散影有，因为向量夹角范围是零到拍 空间，直线窄窄范围是零到二分之拍，所以两者之间关系是， cosine 渐渐减 角等于 cose 两项链角角的绝对值。线面角，先找到平面法向量与直线发展向量， 这两者与线面角又是什么关系呢？可以看出，当两者角角为锐角时，线面角等于九十度，减两项量角角。 当两者夹角为钝角时，线的角等于两项的夹角减九十度。结合起来看， satin 切圆角等于 satin 九十度，减两项的夹角，或者等于 satin 两项的夹角减九十度，也就等于 call saying 两项量假假的绝对值。这也是为什么考试中喜欢考理求斜面角的腮影值。二面角， 我们将两法相量与两条交线的垂线平移到一个平面中， 可以看出二面角等于一百八十度，减两法向量角角。当某条法向量反向时，二面角等于两向量角角。 所以总的来看， corsine 二面角的绝对值就等于 corsine 两法相连角角的绝对值。 再回归下九种计算， 两点距离限量算磨长点线距离投影加勾股点面距离算投影平行线算投影加勾股页面直线算投影 线面距离算投影面面距离算投影。要问我投影怎么算，数字如下，不用记最后的数字，理解并记住最关键的， 投影等于 a b 相量的摩长。请 cosine 两相量夹角 线弦角算方向向量角角线面角算方向向量与法向量角角二面角 算量法限量加角。要问我角度怎么算，我们是用限量点击去推导， 至此我们会发现九种计算不过如此。三不足矣，间隙找项链算投影或夹角。

如果你的立体几何不是次次满分，赶快收藏这个视频，因为立体几何本质上和语文默写一样简单。先说基础，高中立体几何无非是线面关系，线面角二面角三个内容，线面关系非常清晰，自然证明步骤就在图边，不用感谢我。 一、平面外一条直线和另一平面平行，那线面就平行。在图中，如果 l 平行 ab， 且 l 不属于 ab， 那 l 就平行于平面派。二、两条相交直线和另一平面平行，那面面就平行。 在图中，如果 l 一平行平面派， l 二平行平面派，并且 l 一 l 二在平面套上交于欧点，那套就平行于派。三、如果一条直线和平面上相交的两条直线垂直，那线面就垂直在图中。如果直线 l 垂直于 a b， 并且垂直于 a c， 且 a b 和 a c 交于 a 点，那 l 就垂直于平面派。四、这时如果再有一个平面过该直线，那就面面垂直在图中。如果 l 垂直于派，并且 l 属于平面 to， 那平面派就与平面 to 垂直。 立体几何分小题和大题两种，这二十分基本是送你做填空选择。记住一句口诀，线面角最小，二面角最大。这两句话的背后其实是三余弦定理和三正弦定理。看下面两张图就一目了然， 他们背后的本质就是简单的勾股定理和余弦定理，你不需要记住，因为根本考不到。做简答题记住一个模板，首先，千万千万千万别用几何法，原因很简单，要是你结果算错，你就是一分 不得。既然要间隙，下面的模板一定全文背诵，考试就是比谁默写快。第一步，正确的建立空间直角坐标系，占一分。第二步，写出图中关键点的坐标，占两分。第三步，设平面法向量并得出正确结果，占三分。 第四步，列写下面角公式占一分。第五步，带入数据，得出正确结果，占两分。 就算你小学数学不过关，结果不慎算错，扣两分足矣。只要基础掌握，记住一句口诀，一个模板横扫高考立体几何完全不在话下。两分钟结束，我们按时下课。

同学们好，今天我们来学习第九章立体几何本章的知识结构。 在本章之中，我们要学习平面的基本性质，空间直线，空间直线与平面，空间平面还有几个体，助追求极其简单的组合体。在空间直线中，我们要学供面直线 和一面直线。公面直线之中，我们要学两种位置关系，平行垂直啊，平行和相交，相垂直是相交的一种基本性，这个一种特殊形式。空间 直线与平面之中，我们要学习直线与平面垂直，直线与平面平行，直线与平面所成的角，这是一个重点，经常在这一块出题考察。还有空间平面， 空间平面里头，我们要学两个平面平行，两个平面垂直以及两平面相交所称的二面角。 在猪追球体以及简单几何体里边呢，我们要注意他们的结构特征，以及他们面积和体积的计算。好， 本章之中的这个命题趋势，在往年的真题中基本保持在三道，主要涉及的这个考点呢，有线面之间的关系及其夹角，一面直线 以及他们所称的角，还有这个两个平面的夹角也是一个经常考的题目。还有呢，就是助追求及其简单组合体的结构特征，以及面积表面积和体积的计算。 好，那么我们来学习今天的第一件内容，平面的基本性质，这一张内容之中呢，我们的课本上头所涉及到的知识点非常少，而且呢，很多知识点他是一笔带过，没有给出基本的结论以及性质，所以他在学习过程之中呢，做好笔记 啊，我们课本上没有给出的基本性质和概念，大家要把它记下来。知识点。一点，直线与平面的位置关系，这个非常简单，一个点在一条直线上，我们记做 a 数 属于爱了，不再就记为 a， 不属于爱了。一个点在平面内，我们记为 a， 属于阿尔法平面，他不在这个平面内，我们记为 a， 不属于阿尔法平面。 一条直线在平面内，我们记为 l， 包含于阿尔法，一定注意，这里就不能再用属于了， l 是也是一个集合， l 是一条直线，直线上有很多点，那么这些点所组成的并不是一个 一个元素啊，他要记为一个集合，所以是两集合之间的关系，是 l 包含于二法， 那么他如果不在的话，我们即为 l， 不包含于二法。这个呢，非常简单哈，我们一笔带过，那么下来呢，有平面的基本性质，这是一个非常重要的内容，我们在我们的课本上没有给出这些基本基本功力哈，大家要把它做笔记。 公民。一、如果一条直线上有两点在同一平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内，那么也就说，如果我们要确定一条直线在一个平面内，我们只要能证明这条直线上的两个点在这个平面内，我们就可以确定出来这条直线在这个平面内。 好，这是公里一，公里二、如果两个不重合的平面有有一个公共点，那么他有一条过这个公共点的公共直线，也就是说两个平面相交，肯定交于一条直线， 那么既然他有一个公共点，那他就不光单纯只有这一个公共点，那他肯定是有一条线的，有一条相交线，这条相交的线呢？他肯定是要过这个公共点的。定理三、 功力三，不再同意直线上的三点确定一个平面， 这就是我们确定平面的方法哈。不在同一直线上的三个点是可以确定一个平面的。好， 根据公里三斗，没有三条推论过一条直线和这条直线外一点，尤其只有一个平面，这就是确定平面的四种方法 啊。怎样来确定一个？一个平面就可以用这个四种方法来确定不在同一直线上的三个点，来确定一条， 确定一个平面。那过直线和直线外一点，那么两点确定一条直线，这为什么把它叫做推论呢？我们说三条不在同一直线上的点可以确定一个平面，那么这三条三个点呢？其中两个点我们是可以确定一个平面，确定一条直线，那么这 条直线和直线外的这一个点是不是可以确定一个平面？好，推了。二，过两条相交直线，有且只有一个平面。两条相交直线啊，这个很容易理解，推了。三过两条平行直线，有且只有一个平面。 那么也就是说我们要确定一个平面有四种方法。第一个呢，是在不在同一平面上的三个点 啊？不在同一直线上的三个点可以确定一个平面。第二个呢，是过直线以及直线外一点可以确定一个平面。第三个呢，是过两条相交直线，可以确定一个平面。第四个是过两条平行直线，可以确定一个平面。 好，这是确定平面的四种方法，大家要牢记好，这就是我们第一节的这个 基本的知识点，下面我们来看一下第一节的例题。第一，在空间中，下列说法不正确的是。 a。 若三条直线相交于一点，则这三条直线共面。 b。 四条平行直线，最多可以确定六个平面。 c。 同一平面的两条垂线一定共面， 同一平面的两条垂线一定共变的。若两个平面由一个公共点，则他们有无数个公共点， 我们要选择不正确的，我们一一来看。 a 档，两条香蕉直线确定一个平面，但第 三条直线不一定在这个平面内，所以这个 a 答案是错误的啊，三条相交直线交于一点，则这三条直线共变，这个错的很明显，你比如说两条直线，他们已经共变了啊，那么第三条直线， 那比如说和这两条是垂直关系啊，如果你有空间感的话，你比如说这样的话，我们可以确定出来 啊，他这样子，那这样的话就形成一个空间的图形，他是不可以供面的啊，所以这个呢，是错误的。 所以选 a 答案 bcd， 他都是对的。四条平行直线，最多可以确定六个平面。四条平行直线 啊，你就像我们的这个什么呢？ 像我们的正方体一样，对吧？啊？像正方体一样，正方体，你像这个上边的 啊，这是一个，这是一个，这是一个，这是一个。那么他们所确定出来的平面哈，上下左右前后是吧？是不是可以确定出来六个平面最多可以确定六个平面哈， 虽然说同一平面的两条垂线一定共变，同一平面内的两条垂线，那都已经在同一平面内了，他肯定是共变的吧，对不对 啊？还有呢，说在同一平面内，两条直线如果垂直，那他肯定是相交关系，那两条相交直线是不是可以确定一个平面啊？地达呢？说两个，若两个平面 有一个公共点，那他肯定是有一条公共直线的，对吧？有一条橡胶线，这条橡胶线上他是不是就有无数个公共点？所以应该选 a。 答案 好对，这些基本概念大家清楚。例二，已知三角形 abc 三个顶点都在平面阿尔法外， 分别延长 abbcac， 教平面阿尔法于 pqr 三点，纠正 pqr 三点贡献。我们来看一下这个给个图哈， 这个没有给图哈，我们来画一个图，看一下 平面 abc， 他这个空间的三角形 abc， 然后呢，他说分别延长 abbc 和 ac 三个啊，他们分别延长之后呢？他相交于平面阿尔法云点 pqr。 那比如说我们这里有一个平面啊， 然后呢，他们分别香蕉， 这个图不太好画哈， 我们把这个三角形的画的 稍微画的歪一点啊，然后把这个平面呢？ 这是这是 ab 哈， abc， 他们三个都要和这个平面的有焦点啊，都和这个平面要有焦点，那么这样的话，我们这个图其实画的还不够大，我们把这个面画的大一点，因为面他也是一个可以无限延伸的。 好，我们画一个大概，这是 p 点，这是 abacbc， 这是 q 点，这是 r 点，我们要证明这个 pqr， 他们三个呢？在 同一直线上啊，三点弓箭，那么怎么证明呢？很简单， abc 是不是一个平面呢啊？ abc 是一个平面， abc 是个平面，那么 他和这个平面，我们下面所得到这个平面，我们记为平面阿尔法，他和平面阿尔法是不是他会有一个公共点，比如说 ab 和这个平面交于点 p， 那他就和这个平面的肯定有一条公共直线，那么这条公共直线已经过了 p 点了呢？他肯定要过这个 r 和 q 点啊，用这种思路去证明啊，因为点 a 在这个平面 abc 之内，点 b 在平面 abc 之内，点 c 呢，也在平面 abc 之内， 所以直线 ab 啊，直线 ab， 他就在这个包含于 平面 abc 这个地方呢，我们没有打完整啊，包含于平面 bc， 他是不是也包含于平面 abc， 平面直线 ac 呢？他也包含于平面 abc， 因为点 p 呢，在直线 ab 上，点 q 在直线 bc 上，点儿呢，也在直线 ac 上，所以点 pqr 是不是在平面 abc 之内 啊？因为他都是延长出来的，所以这三个点他在这个平面 abc 之内，又因为 pqr， 他是不是又属于我们刚画出来这个平面阿尔法，所以 pqr 和 abc 与平面阿尔法的交线，那么既然是交线，那他肯定是两条，两个平面相交的话，他肯定是相交一条直线的，这样的话就可以证明出来 pqr 他们三点贡献 啊，这是他空间解析空间几何他们的证明方法，用这种方法来证明 啊，就先证明 pqr 他在 abc 平面内，在根据延长关系，我们又可以确定出来 pqr 他也在平面阿尔法之内，所以这样的话就可以确定出来 pqr 和啊，这个 abc 平面和阿尔法平面，他们两个相交，相交于一条直线，那相交于直线，那这三个点 既在 abc 之内，又在阿尔法之内，是不是就说明 pqr 他在这两个平面的交线上，那交线呢，肯定是贡献的啊，从这种思路去证明。好，我们来看第二节内容空间的平行关系。 支点一，这打的有点问题啊，直线与直线的位置关系直线与直线位置关系，除过我们在初中阶段学的平相交和平行之外呢，还有一种叫做意面， 香蕉直线，很简单，两个直线有一个公共点的，就叫香蕉平行，直线是在同一平面内，没有公共点的，两条直线成为平行。那么意面呢，就是既不在同一平面内啊，又没有公共点，不在任何 一个平面内，并且呢，他们没有公共焦点，所以称为一面直线。这个我们在这个教室里头有很多的哈，或者说你的房间里头有很多类似的这个直线，比如这个正方体哈，这条直线 什么他系为 l， 他和这条直线啊，把他系为 m， 那么 m 和 l 这两条直线的走势大家可以想象啊，他肯定一个是朝这边方向走，一个是朝这边方向走，那很显然这两个他就属于一面直线。就这种一面关系，大家要能够理解。 平行公里，也就我们这里所给的公里字，平行于同一条直线的，两条直线平行，那么这个公里呢，他是 不用考虑是否在同一平面内的，只要是平行于同一条直线的，不管他是否在同一平面内，他都是平行的。 第二个呢，是直线与平面的平行啊，直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系里头呢，有这么几种，一个是直线在平面内 啊，直线它包含于平面、直线与平面平行，直线与平面相交这三种位置关系。直线在平面内很简单，就是直线它啊，所有的点都在平面内， 我们说直线可以无限延伸，那么平面他也是可以无限延伸的。直线与平面相交，直线和平面有唯一一个公共点，你如果要证明一个直线和一个平面相交，那你只需要正出他 只有一个公共焦点就可以。直线与平面平行直线与平面呢，他没有公共点，那就是平行关系。 直线与平面平行的判定直线与平面平行的定义就是，若直线挨了与平面阿尔法没有公共点， 那么就称为他们俩平行，那么他们的判定怎么来判定呢？平面阿尔法外的一条直线 l 与平面阿尔法内的一条直线 m 平行， 则直线 l 与平面阿尔法平行。也就是说我们把直线与平面的平行呢，可以转化为直线与直线的平行，那直线与直线平行也不是说随便找一条直线平行就可以，比如说这里呢，有一个平面阿尔法，这里有个直线 a， 那么我只要能够证明直线 a 和 平面阿尔法内的 b 直线它是平行的，那首先呢，我就要先证明 a 平行于 b 啊，并且呢，还得再说明一下 b 是不是包含于阿尔法，这样的话，我就可以得出什么结论呢？ a 平行于 平面二法。好，所以采用这种思路去证明一条直线和一个平面平行，那么直线与平面平行的性质， 一支 l 与一支直线 l 与平面二法平行，且经过直线 l 的平面贝塔与平面二法相交于直线 m， 则直线 l 与直线 m 平行。什么意思呢？一个 l 直线的，他和平面 二法是平行的，那么经过直线 l 的平面与贝塔是与与平啊，经过直线 l 的平面贝塔，就比如说我们来画一个哈， 这是个平面阿尔法，他的里边呢，有个直线啊，啊，平面有一条直线，我们给个直线 l， 直线 l 呢，是这样的， 他和这个平面阿尔法是平行关系，那么经过这个直线 l 的平面贝塔，比如我们这里再来一个贝塔 啊，这个平面杯坛呢，他经过这个直接癌了， 并且呢与这个二法还相交啊，相交于什么呢？相交于 m 直线这条直线我们记为 m， 胶线呢，是 m， 那么这个 l 和 m 什么关系呢？那就 l 他肯定是平行于 m 的 啊，既然他们相交了，并且他们的交线呢？这个直线 l 呢？他和阿尔法平行，那么经过直线 l 的平面贝塔，他和直和这个平面二法他是平行的，所以我们就可以确定出来， l 和胶线是平行的，也就是说线面平行就可以得出线线平行 啊，线面平行可以推出线线平行，这是他的一个性质。好指点四呢，是平面与平面平行， 我们要正两条，两个平面平行，他的方法呢，有很多种，平面平与平面平行的定义，若两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。那在判定的时候怎么判定呢？就是说，如果我们要证明两个平面平行，怎么平，怎么判定呢？若一个平面内 有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。好，这是个平面阿尔法，这里呢有一个平面贝塔， 我现在要证明这个平面贝塔和平面二法平行啊，你这个平面二平面贝塔里边呢，有很多线，那我要去证明两个平面平行，它的方法非常复杂啊，可能一一时半会摸摸不着头脑，但是呢，我在这个平面贝塔内找两条 香蕉直线，一个直线 a， 一个直线 b。 我如果能证明 a 平行于二法也能平，也能证明 b 平行于二法。而且呢， 这个 a 他包含于贝塔， b， 他也包含于贝塔，而且 a 和 b 是不是他还相交啊？直线 a 和直线 b 相交于 啊，这个点 a 他们有焦点，那这样的话，我有这些条件，我就可以证明出来，阿尔法他平行于贝塔，两个平面平行 好，所以这样说的话，大家可能能听听得更清楚一点。也就是说，如果我们要证明两个平面平行，我只要证明这个贝塔内有两条直线，一个是 a， 一个是 b， 你首先 先得说明这个 a 和 b， 他是在贝塔内的，而且呢，我要知道这个 a 和 b， 他们两个是相交直线啊，相交交点的为 a。 然后呢，我又能证明这个 a 直线呢？他和平面阿尔法是平行的， 壁纸线和平面阿尔法他也是平行的。如果满足所有的条件，我就可以证明出来，阿尔法平面和贝塔平面他们两个是平行，关系好，这是他的判定定理。那么我们来看他的性质， 平面平行，他的性质有两条，第一个，若两个平面平行 啊，若两个平行平面同时与第三个平面相交，则两条交线平行， 我们画一下， 这是个平面 a， 平面二法哈， 这是个平面贝塔，然后呢，我们有第三个平面 啊，他们呢，和这两个平面的相交，相交于两条之间，一个直线 a， 一个直线 b， 那么 a 和 b 他就肯定怎么样， a 就可以平行于 b 啊，这就是我 我们的平面平行的两条。第一条基本性质，就如果阿尔法平面和贝塔平面呢平行，然后呢，他和第三个平面蛤蟆平平面呢？相交啊，他们有两条交线 a 和 b， 那既然阿尔法和贝塔他是平行关系， 那么那么这个 a 直线和 b 直线他肯定是平行关系，我们就可以用面面平行的去推出线线平行。 第二个性质，若两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行 啊，我们就可以用面面平行推出线面平行。也就是说，如果阿尔法和贝塔平行，那么阿尔法里头我们随便在哪里找一条线，他都和这个贝塔直，和贝塔平面的是平行关系。好 像这些基本性质，我们在后边的证明题里边呢，都会经常用到啊，所以大家一定要牢记好，那么我们来看例一， 如图，九杠一损失的空间四边形 abcdefgh 分别是 abbccd 第一的终点纠正四边形 efgh 是平行四边形，这个非常简单哈， 我们要证明平行四边形，我们可以用一边平行且相等啊，一组对面平行且相等来证明。那既然是一个空间四边形，但是呢，由于 h、 f、 g 四个点的都是重点， 那就可以确定出来 eh 平行且等于二分之一 bhbd 啊，原因是什么呢？中位线对吧？啊？中位线。那么同样的道理，我是不是也可以证明 fg 平行且等于二分之一比例？ 不管他是空间还是平面，只要平行且等于同一条直线，那是不是就可以说明 eh 平行且等于 fg 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这样的话就可以正出这个四边形，就是一个平行四边形。 好，这是他的证明方法，非常简单啊，大家可以去参照一下看下例二，如图九杠三所致。在正方体 abcdaebecede 中， efg 分别是 aebaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaeaaaaa。 重点求证， 平面 efg 平行于平面 bdce。 好，我们可以鉴定出来这三个点他是三条边的终点 啊，三条龙的终点。那么我们要证明这个平面他和 我们所给定的这个平面 b d c e 这个平面平行他的证明方法。我们刚说了两个平面要证明平行，怎么正呢？要证明这两个平面内的两条相交直线 啊，要证明这两这个平面内的两条相交直线和另外一个平面内的两条直线平行，那就可以确定出来他是平行关系。那么 怎么来证明？很简单，我们如果把 b 一第一给它连起来， 那么就可以证明 ef 是不是平行且等于二分之一 b 一第一啊，而 b 一第一和谁平行呢？ b 一第一和 b d 平行， 那是不是就说明了 e f 是不是平行 b d 对吧啊？ e f 平行 b d 啊？倒一下， e f 平行 b e d e e e d e 呢？又平行 b d 是不是就说明 e f 平行 b d 啊？ 好，这是第一个，另外一个呢？再转化一下，我们又知道这个 eg 它是两边重点，那我同样也可以把这个边给它连起来啊，把 ab 一连起来，那就可以确定出来 ge 平行于 a b 一啊。 a b 一和谁平行呢？ a b 一和对面的这个 c e d 一也是平行关系啊， c e、 d 他们两个也平行，所以呢，就可以确定出来 g e 是不是平行于 c e d， 对吧？而且我们又知道这个 e f 是不是他和这个 eg 是不是香蕉与点翼啊？他们两个有焦点，那就说明了这个面里边的两条香蕉直线 和这个面和我们要证明的这个面里边的两和和他们的两条两条啊边的分别平行啊，那平行，那就可以说明这个面 他和这啊，和这个 c e d b 里边的这个和整个这个面是平行的啊，因为 e f 平行于他里边的一条线，那他就和这个面平行 啊，这一他平行，这个面里面的一条线他是不是也和这个面平行？又因为这个 ef 和 eg 呢是相交关系，是不是就可以说明这两个面是平行关系吧？ 对吧？啊？一个面里面的两条香蕉直线和另外一个面分别平行，那是不是就可以证明出来他和这个面平行？好，这是他的基本思路。大家来看一下他的解题方法。 连接哈，我们刚说了连接两个两条线嘛，哈，连接一个 b 啊， b 一第一再连接一个 abcaab 一，对吧？啊？连 之后呢，我们就可以根据中一线得出平行，然后呢再推推出啊，这个面呢，他和这个直线和整个面平行， 从而得出一个面内的两条线条直线和另另外一个面平行，那他就和这两个面，他就和另外一个面是平行关系，这用到的就是我们面面平行的判定定理。 好，我们来看第三设直线 lm 和平面阿尔法贝塔。下面条件能得出阿尔法平行贝塔的是什么？ lpl 包含与阿尔法啊，这是真包含啊， m 真包含啊，这是包含包含于啊，包含于，这打的有点不完整啊， l 包含于阿尔法， m 包含于阿尔法，且 l 平行于贝塔， m 呢，也平行于贝塔， 这可不可以呢？ 我们说这个呢， 他有一个前提条件啊，也就是说这个 l 和 m 他们是否平行啊 啊？ m 和 m 的关系没有给，但 m 和 m 他们就只有两种关系，他们要么平行啊，要么相交。平行也可以说明，相交其实也可以说明哈，但是平行是可以说明的啊，但是相交的话也就不一定了 啊，香蕉不一定。为什么说我们，我们说这个平行啊，香蕉是肯定可以证明的，但是平行他就不一定。为什么呢？比如说这种情况， 我们稍微画的严谨一点哈， 推一个平面阿尔法， 这是一个平面杯塔哈，然后呢，他们两个先交一条直线，那你比如说我们这里有一个 个 l 直线，这里有一个 m 直线， l 和这是贝塔啊，这贝塔内的两条直线，贝塔内的两条直线，一个 l 和阿尔法平行， m 和阿尔法也平行，那你看这个平面贝塔和阿尔法他们是不是相交关系啊？ 他得不出来平行。所以为什么我们说一定是两条香蕉直线啊，一个平面内的两条香蕉直线和另外一个平面平行，才能得出这两个平面平行，对吧？ 所以这个内胆呢，他是不能选的啊，有一定的迷惑性，虽然他们两条直线啊，两条直线的都和另外一个平面内的两条和和另外一个平面平行， 但是没有告诉这两个直线他们的位置关系啊，必然的说， l 包含于二法 m 包含于二法 l 平行于 m， 哎，这个呢， l 平行 m， 他说告诉这两条直线是平行的，哎，这个也不能说明，对吧？ l 垂直于二法 m 垂直于二法 l 平行 m， l 平行阿尔法 m 平行贝塔， l 平行 m， 那你看一下他要选哪个呢？所以这个 c 答案是正确的哈， c 答案呢，我们可以判断出来，如果他们两个是垂直关系 啊， l 和阿尔法垂直， m 和 l， m 和 l 平行，你看啊， l 他 垂直阿尔法 m 垂直贝塔， l 和 m 是平行关系，那肯定可以得出这两个平面是平行的，对吧？ 它垂直于阿尔法，它垂直于贝塔啊，这两条直线呢，是平行关系， m 和 m 是平行关系，是不是说明了这两个平面它是垂直关系啊？ 啊，这是，这个可以选 c 答，其他的都是有问题的。好，我们来看第三节的内容，空间的垂直关系。 要说空间垂直关系呢，首先我们先得从直线与直线垂直谈起， 直线与直线垂直很简单，就是两条直线锁成角，是直角，那么就可以确定出来这两个直线是垂直的，但是呢，这里呢，就和我们平面集合里面的垂直有一定的区别， 两条直线垂直在平面集合之中，两条直线垂直，必须是相交关系才可以垂直，但是在空间之中呢，两条直线垂直，他不一定就是相交垂直，还有一种呢，叫做意面垂直 啊，一面垂直，一面垂直，也就是说这里一条直线啊，这里有一条直线， 他们两个哎，各走各的路啊，互不干扰。但是如果把一条直线去平移啊，平移平移到同一平面内的话，他们两个有垂直关系，那么这两条 一面直线的他也是垂直关系。所以在空间之中的两条直线垂直，他不一定非得相交啊，不一定非得相交。所以这这里要纠正一个概念，垂直不等于相交 啊，垂直不等于香蕉。所以一定要把你的这个 初中的这个思路，平面几何里边的这个思路呢，要调整过来啊，不能用初中平面几何的思路去解决立体几何，这样的话，你的思路永远都转换不过来，很多的问题可能非常难以理解。 好。第二个呢，是直线与直线垂直的判定，直线与直线垂直的判定定理非常简单，就是直线和 平面，直线和直线锁成角是九十度，就可以确定出来他是垂直的。直线与平面垂直的定义我们后边会给出。好，我们来看一下直线与平面垂直的定义， 如果一条直线与一个平面锁成角啊，平面内的所有直线都垂直，那么称这条直线与这个平面垂直。一个平面二发 一个直线 l， 那么他和这个平面啊，直线如果和这个平面内的所有直线都垂直， 那他就和这个平面垂直，那这样说的话，那是不是显得特别复杂？你要去判断一个直线和这个平面垂直，那你 得证明他和这个平面内的所有真相都垂直啊，那这怎么证明啊？这就没办法证明了，对不对啊？那怎么办呢？我们象征性的啊，把它难度降低一点。我们来看他的判定定理， 如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，因为他已经在这个平面内的，并且相交两条相交之前是不是确定一个平面，他确定出来的这个平面就是这个平面二法， 对吧？所以我们在去判定两条啊，一个直线和一个平面垂直的时候，不需要去证明这条直线和这个平面内所有的直线都垂直，只需要证明这个直线 和这个平面内的两条相交直线垂直即可啊。只要找这平面内的两条相交直线，一个 a， 一个 b， l 和 a 垂直， l 的也和 b 垂直，那么这样的话，我就可以确定出来 l 他和这个平面阿尔法垂直，这就行了。再看 还有个判定定理二，如果两条平行直线中有一条直线于一个平面垂直， 那么另一条直线也与这个平面垂直，也就说垂直于同一个平面的两两条直线平行啊，这是他的，他的逆顶里。那么正着说呢，就是说一个直线垂直于平面阿尔法， 另外一个直线的也也垂直。呃，另外一个直线的和这个直线的它是平行关系，这 a 垂直于平面阿尔法， 而 b 呢，和这个 a 它是平行的，那么说明 b 它也垂直于这个平面二法啊。也就描述简单一点就是若 a 平行，若 a 垂直于平面二法，且 b 平行于 a， 那么则 b 垂直于平面二法，好，这是他的判定定理二，那么直线与平面垂直的性质。如果两条直线垂直于同一个平面， 如果两条直线垂直同一个平面，那么这两条直线平行。这就我们刚所说到的这个判定定理二的一个逆定理啊，如果 a 垂直于平面二法， b 呢，他也垂直于平面二法，那么就可以确定出来， a 平行于 b， 好，这是直线与平面垂直的一些基本性质以及判定定理。那么平面与平面垂直的方法怎么来确定呢？ 首先先看他的定义，若两个平面所乘的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。也就说，如果我们来确定啊，比如这是一个平面阿尔法啊，我们来画一个平面贝塔 啊，他们这两个平面，他所乘的二面角是九十度啊，所乘夹角是九十度，所以这两个值，两个平面呢，他就是垂直的，那么他们的判定定理是什么呢？若一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面垂直，一个平面经过了另一个平面的一条垂线， 好，这是平面阿尔法，这是平面贝塔，这个平面阿尔法呢，它经过了平面贝塔的一条垂线 l， 那我就可以这样来证明，我们先证明 l 垂直于贝塔，而且 l 呢，它还包含于阿尔法， 所以就可以确定出来阿尔法垂直于贝塔。这样来证明啊，我们用线面垂直呢，去证明面面垂直、平面与平面垂直的性质。若两个平面垂直， 则其中一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，垂直于一个平面的交 线的啊，其中一个平面内垂直于胶线的直线垂直于胶线，这是胶线哈，垂直于这条胶线的直线呢，他就和这个贝塔式垂直关系， 我们用面面垂直可以推出线面垂直好，所以这是平面与平面垂直的判定，判定，一定记住啊，判定，我们先证明一条直线和这个平面垂直，并且这条直线的在这个平面二反内，这就是基本思路， 一面直线锁成的角，一面直线锁成角，就是我们把一面直线给他平移到同一个顶点处啊，平移到同一顶点处所得到的这个夹角 c 塔就叫做 一面直线锁成的角，一面直线锁成角呢，他在我们写弧度，有些同学看不懂的话，我们写这个角度，他大于零度，小于等于九十度，在零度到九十度之间，在一面直线锁成角的范围呢，就是零度到九十度之间， 直线与平面锁成角，直线和平面锁成角，非常简单，我们就把直线和平面啊，在平面内的找一个他的摄影， 这是一个直线，这是一条，这是一条直线，这是一个平面啊， 那么我们要去找他和这个平面的锁成角，首先在直线上随便任意找一点，我们去做这个 平面的垂线啊，做平面的垂线，然后呢把垂足和他的焦点连起来，这里呢就会有个假角，这个角呢就是直线和平面所成的角 啊，我们叫做直线和其他和和其在平面内摄影所称的角。摄影是什么呢？就是做垂线 啊，然后呢垂足与焦点之间的这个夹，这这条线段呢，就叫做摄影，所以这是直线，这是他的摄影。直线和摄影之间的夹角，就是直线和平面所撑的角。好， 平面，平面的垂线与平面组成的角啊，平面的垂线与平面形成角， 若一条直线与一个平面垂直，则这条直线与平面所长角都是二分之派啊，如果一个直线他和这个平面是垂直关系呢？他肯定和这个平面内的所有直线都是呈九十度夹角。 平面内的直线与平面平行的直线，平面内的直线或与平面平行的直线与平面存成角，平面内的直线和平面存成角，那他肯定零度了 啊，那如果平面与直线是这个平面和直线是平行关系，他们所成角呢？也是零度，这是零啊，零度直线与平面所成角的取值范围就是 零度到二分之派。零度到九十度之间，平面与平面锁成角，叫做二面角，我们要找这个二面角，怎么找呢？比如说我们画一个二面角， 这两个面啊，两个面的夹角怎么找？我们找的时候过这个同一个面 啊，过这个面，他们过两个面的焦点，那过两个面的胶线上，在两个面胶线上取任一点 a， 大写吧，用 a 来表示，我们过 a 呢，去做这个垂线，做胶线的垂线在两个面内呢，各自去做这个面的啊，做这两个面胶线的垂线， 只要这两边都是垂直关系，那么这个地方我们所得的这个角就叫做这个直线的，而这个两个面的夹角叫做叫做他们的二面角，我们即为阿尔法杠 l 杠杯，他 啊，这就是他们的夹角，二面角的平面角， 两个面所成的角呢，叫二面角，那么你要去算他，是不是我们要把它转化到这个平面结合里面来算的啊？因为在平面，在这个 立体结合之中呢，我们就要要去算，它是非常复杂的，所以我们把它转化到这个平面结合里面来算，所以就得到了这个我们我们找的方法，就刚才所说到的，我们在棱上任意取一点，然后在两个平 内呢，去做他们两条两个面内做这个过这个焦点的一个射线，做两条射线啊，垂线做两条垂线，然后这两条垂线所称的角呢，就叫做这两个面的夹角， 他基为 c 塔，这个 c 塔值在零到派之间，也就零度到一百八十度之间。好，二面角的平常，二面角的平面角的常见画法哈，我们这里给了一些另一法，我们就直接取一个点 啊，去做两个面，在两个面内的分别去做垂线，还有一个呢是这个 三锤线啊，三锤线定理，三锤线定理法，这里做 做一个垂线，这里做一个垂线，然后在这里再做一个垂线啊，过这个 a 点的做这个平面贝塔的一个垂线，这里的话，我们就可以得到一个三角形，直角三角形，在这个直角三角形中，我们根据直角三角形的相关方法去做出他们的甲，这个 啊，算出这个阿尔法脚是可以的。第三个叫做垂面法，垂面法我们就做出一个平面啊，一个平面的分别和这两个面是垂直的， 然后呢根据这个平面之内的这个夹角，我们去求他也是可以算出来，那么具体问题具体分析，我们要根据不同题目所给的已知条件呢，去灵活运用这三个方法。 好，我们来看一下这个第一已知平正方体， a b c d a e b e c e d 一、求意面直线 a e b 和 b e c 他们所称的夹角，我们来画一下这个正方体， 注意正方体的标记方法， 画的时候我们把看不见的线呢，用虚线来画 一个面，我们用 aabcd 来表示，那上边锁定的这个点呢？我们就 abcde 第一来表示， 这样的话，我们就能找到他所给定的这个一面直线是什么？ a e b a e b 这条线 aeb 和 b e c b e c b e c 这两条直线，他们所称的夹角是多少度？ 这个呢，我们没法算啊，不好算的话，我们去找他的平行线把他，那我们至少是不是需要把他放到一个平面内去进行计算， 那么必须要让他们有个公共顶点，那么他的方法有很多，比如说我们把 a e b 给他平移， 放到这个位置去，对吧？啊？放到这个位置，放这个位置的话，因为 a b 和 c d e d e c 他们是平行关系啊，那这样的话，我再给 他连一个第，第一第一把这个给他连起来，那么这样的话得到了一个三角形，第一第一 c， 三角形，第一第一 c， 那么这个是个什么三角形呢？他是个等边三角形 啊，为什么是等边三角形？你看啊，因为这是个什么啊？正方体，正方体，他每个面的对角线是不是都是相等的？ 这是上底面的对角线，这是右右侧面的对角线，这个呢是后面的对角线，三个都是对角线，又是正方体，所以每个正方形的对角线，他们的长度是相等的，所以这个三角形是个正三角形，所以他们所称的假角呢，都是六十度啊，所以我就得 到了这个第一 c 角，第一 cb 一这个角他就等于多少度，等于六十度，那么这个角他就可以代表什么呢？可以代表我们这里所要的这个 ab 和 bec 所乘的夹角， 所以这两个锁成夹角就是六十度。好，所以通过转化我们很容易可以得出这个夹角六十度，我们用弧度制来表示三分之派。 好，所以大家一定注意，我们要灵活去转化啊，灵活，灵活运用，灵灵灵活转化 啊，那么这里我们给出的这个图，他是把 b， e、 c 给他平移到这边来，一样的道理啊，一样的道理，我们刚才是把这个呢 啊，把这个 a、 e、 b 给他平移到后边去，对吧？啊，不管怎么平移，他都是可以得到一个等边三角形的。好，这个题就这样， 再看第二正方体 abcdabcd 中求证 acac 一，垂直于平面 bda 一，大家注意，正方体是我们这一块经常出题的一个 出题的一个考点哈，因为正方题大家比较熟悉，而且呢出题难度呢不会太大，所以如果出正方题的题，大家一定要会做，不要把它放弃掉 啊。正方体的出出来的题呢，难度都不是太大的，我们大概画一个图还是一样，我们把这个看不见的面的 给他用虚线要标一标，这样的话我们就可以把所有八个点点全部都能标出来。 abcdaebe c e d 一，我们要的是 a c e a c e a c e 是一条体对角线，它垂直于平面 b d a e b d b d a e 也就是说这个体对角线，他和这个和这个面的他是垂直关系。好，我们这里画的这个图不明显，我们看一下下面给那个图哈看，注意， ac 一是这条线啊，要和我们所给出来的这个画的这个面要和这个面垂直，要和这个面垂直。我们说一条直线要和一个面垂直，怎么，怎么证明呢？ 怎么证明一条直线和这个面垂直呢？他只要能证明这条直线和这个面内的两条相交直线垂直，是不是就可以啊？好，那么我们来看一下，我们连接 ac 啊，把 ac 连起来，把 bd 也连起来， ac 和 bd 都连起来啊，因为 cc 一找 ccec 啊， c 一 cc 一呢，垂直于平面 abcd 这条直线他肯定垂直 里面啊，对不对？所以 cce 是不是垂直于 bd 啊啊？ cc 一垂直于底面，他就垂直于底面里边所有的直线，所以他就垂直于 bd， 又因为 bd 垂直于 ac 啊， bd 他和 ac 是垂直关系， 找 bd 和 ac， 因为他是什么呢？他是不是正方形啊？正方形的对角线是不是互相垂直啊？所以这里给出说 bd 和 ac 垂直 啊， bd 和 ac 垂直，因为 ac 和 cc 一相交于点 cac 是这条线和 cc 一相交于点 c， 所以 b d 是不是垂直于平面 acce 啊？ bd 就垂直于平面， acce 和这个就垂直了。这条直线一旦和这个平面垂直，那就说明什么呢？说明他和这个平面内的所有直线都垂直，对吧？所以就可以确定出来 ace 是不是和 bd 垂直啊 啊？ ace 他就和 bd 垂直，也就是 bd 垂直于 ace 这条直线，同理可得。 ace 是不是又垂直于 aed 啊？证明方法和我们上面那个方法一样，也可以证明他 啊，这个 a d 他和这个平面垂直啊，同理可得。所以这样的话，我就可以得出 ace 即垂直于 b d， 又垂直于 a、 e、 d， 而这个 b d 和 a e d 怎么样呢？它是相交直线，那这个说明了 ace 这条直线是不是垂直于两条相交直线啊？那它就垂直于这两条相交直线所形成的这个面， 那么就说明 ac 一他就垂直于 bda 一，好，这是证明他的这个一条直线和一个平面垂直的基本方法。 好，我们今天的这个例子呢，就举这么多啊，只有我们课本上还有很多的其他的例子，大家可以在课本上看一看啊，有什么问题大家可以及时问。 今天的课呢，我们就先讲到这里，下去之后大家把我们本章的这个课堂啊课本上的同步练习题自己先做一做，我们下节课呢给大家来讲解这个同步练习题。好，同学们再见。

大家好，今天我们来学习高中数学新教材必修二第八章立体几何出布。今天我们来看第一节内容，基本立体图形。这一节我们主要认识一些常见的几何题，那么首先我们看相关的概念。 第一个问题，空间几何体的相关概念。什么是空间几何体呢？我们知道在我们现实生活中存在着各种的物体，他们占据着空间的一部分， 如果我们只考虑这些物体的形状和大小，我们注意形状和大小，而不考虑其他因素， 那么我们把这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体，这是空间几何体的概念。我们日常接触到的常见的像足 球啊，篮球等，他们如果只考虑形状和大小，他们称为球体。还有其他的几个体，如长方体、正方体等，这些我们原来都见过的，这是我们日常生活中见到的一些几个体。我们看什么是多面体。 第二个概念，多面体的概念，一般的有若干个平面、多边形围成的几何体，我们把它叫做多面体。 多面体的面围成多面体的各个多边形，就叫做多面体的面。多面体的棱，两个面的公共边叫做多面体的棱。 桌面体的顶点，扔一扔的公共点就叫做桌面体的顶点，这是顶点面以及扔的相关概念。 我们来看这样一个图形。 好，我们来看一下这样一个图形对应的一些概念。 在如图所示的这个图形，他就是多面题，我们看他的面 有面 abc， 这是其中一个面，有 acd、 bcd 和 abd， 他一共有四个面，因此呢，我们把这个几个题，他就叫做四面题，我们看他的棱有 ab 啊， a、 d、 a、 c、 c、 d、 b、 d 和 b c 一共六条棱。我们再看他的顶点啊，有 a、 b、 c、 d， 一共四个顶点，这是多面体的棱面和他的顶点的概念。 好，我们看多面体，多面体呢，是有平面多边形围成，注意这里边的多边形，他包括他内部的平面部分， 多面体呢，至少有四个面，刚才我们看到图形就是面数最少的多面体，他叫做四面体， 各个面相同的正多边形的多面体叫做正多面体。而正多面体呢，其实在我们生活中只有一下五种，有正四面体，正六面体就是我们所说的正方体， 正八面起、正十二面起和正二十面起。这些正多面起呢，他是存在的，是有限的。我们再看旋转起的概念，什么是旋转起呢？ 首先是一个一条平面曲线，包括直线绕着他所在的平面，在平面内的一条定直线，让他旋转所形成的曲面叫做旋转面， 封闭的旋转面所围成的几何体就叫做旋转体，这条定直线我们把它叫做旋转体的轴。 好，我们来看一下这个相关的一些概念。这个平面图形呢，我们注意他可以是平面图形，也可以是 啊，也就就是可以是平面多边形啊，也可以是圆或者其他的曲线。 常见的旋转体我们看有以下几种。第一个我们看他是由一个矩形绕着他的一条边旋转而形成的，这是一个旋转体，就是我们所说的圆柱。 第二个是有一个直角三角形绕着他的一条直角边旋转一周所形成的，这叫圆锥。 第三个是由一个直角梯形绕着他的一条直角边旋转而形成的啊，我们把他这个圆台， 最后一个是由一个半圆绕着他的直径旋转所形成的， 我们实际上得到是一个球。哎，这个我们常见的旋转体，我们看棱柱的概念，什么是棱柱？ 龙柱呢？他一般有两个面是互相平行的，其余各面呢，都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行。注意，这句话要求相邻两个四边形的公共边 互相平行。由这些面所围成的多面旗，我们把它叫做棱柱，我们看棱柱的 一些相关的元素。注意，在个棱柱定义之后，我们把这两个互相平行的面叫做棱柱的底面。所以呢，棱柱他有两个 底面，他们是全等的多边形，起于个面呢，叫做棱柱的侧面啊，他们也都是平时变形。相邻侧面的公共边叫做他的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 注意，我们知道棱柱呢有两个面互相平行，有两个面互相平行的，并不表明他的其他的面不能互相平行。比如长方体，他就是棱柱的一种特殊情况， 他呢有三组对面都是互相平行的，其中任一组对面都可以作为底面，这是长方体，他的特殊性。所以我们说有两个面互相平行，也可能有更多的面互相平行。好，我们来看一个棱柱的 集合起。好，我们现在看一个棱柱对应的这样一个图形， 我们看他的两这两个面黄颜色，这两个面是互相平行的多边形。对于这两个面呢，他不仅是互相平行，而且是全等的多边形。 我们这样的棱柱呢，追这边是他的侧面，这个黄色的这两个面叫做底面，像 a 一 ab 一 b， 这叫侧棱， 这叫超能 abcdef， 还有 abcdeef ef 一，这叫顶点，这是他的一些相关的元素。我们一般情况下，写这个 棱柱的时候，这样来写，棱柱， a、 b， c， d， e， f， 横杠 a， e b， e c e d e e f 一，我们这样表示他这里边的底面，侧面侧棱，我们可以看一下还有顶点，这是概念， 两个底面互相平行且圈倒，这是他的一个性质。然后各个侧面都是平行四边形，这是另外一个性质， 各侧棱互相平行且全倒。注意他们的侧棱，他们的关系平行且向挡，因为这是平时言行，这很容易理解。 那么有两个面互相平行，其余面都是平行四边形的多面体是不是一定是能住呢？ 答案是否定的。我们这个棱柱呢，还要根据棱柱的定义去看他到底是不是棱柱。我们看这样一个图形， 他满足两个面互相平行，这个面和下面互相平行，其余各面你看他也都是平时变形，但是这个图形明显他不是龙柱。所以我们判断一个几何题是不是龙柱，还要紧扣龙柱的定义， 这是棱柱。棱柱的分类。棱柱呢，我们如果按底面的多边形的边数进行分类，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。 刚才我们画的就是六棱柱，就是底面，多边形，是几边的就是几棱柱。我们来看几个常见的图形， 这是三棱柱，这是四棱柱，这是五棱柱，是棱柱的相关的分类，那么棱柱的分类我们还可以按照侧棱与底面的位置关系分为直棱柱和斜棱柱，你看 这个是斜棱柱，嗯，这个斜四棱柱，这个斜三棱柱，这两个都是斜棱柱， 嗯，这个是鞋五让座，他们什么特点呢？侧轮和底面都不是垂直的， 如果侧轮和底面是垂直的，我们通常把它叫做直棱柱。所以呢，按照底面和这个侧轮和底面是否 垂直，我们可以分为支棱柱和斜棱柱。我们常见的长方体其实就是支棱柱啊，我们这里边展示的都是斜棱柱。好，我们再看下棱锥。首先什么是棱锥 能追的定义？我们强调有一个面是多边形，起于各面追这句话，有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的多面体，我们把这个棱锥，这个多边形的面啊，这个多边形，这个面叫做棱锥的底面。注意，这是底面， 有公共顶点的这个三角形呢，我们把它叫做侧面，相邻侧面的公共边叫做侧棱，各侧面的公共顶点叫做侧棱，叫做棱锥的顶点。对， 各侧面的啊，各侧面的公共顶点叫做顶点，这是棱锥他的定义，所以他强调的有一个面是多边形，其余各面都是三角形。 如果只强调这么多，那他是不是人追呢？答案不一定，我们看下面一个，就是注意这里边我们还要加上 有一个公共顶点的三角形，就这句话，你看这个底面，这个侧面也都是三角形，但是呢，他不是有一个公共顶点的，所以他这个不是棱珠，而不是棱锥， 这是棱锥的定义，我们看棱锥的图形，这是一个四棱锥。 好，那么这就是他的侧轮，哎，像 sa、 sbscsd 都是侧轮，这个绿色的这个 abcd 这个面是他底面， 那红色这个，其实这四个面啊，这边四个面都是他的侧面，这个 s 呢，就是他的顶点。 好，这是这个图形中的相关的原数的说明，我们可以看一下他的侧面，侧棱底面顶点，顶点呢，就是这一个 s， 这里面我们需要注意棱椎他的结构特征，第一，仅有一个底面，且是 多边形，这个多边形呢可以是三角形、四边形等等。第二，侧面呢，都是三角形，当然底面也有可能是三角形。第三，各侧面有切，只有一个公共顶点，这个是关键， 这是关于能锥，能锥的分类呢，我们可以按照多边形、底面多边形，他的边数把它分为三棱锥、四棱锥和五棱锥等等，就是底面是几边形，就叫做几层锥。比如这是三棱锥， 这是四龙锥，哎，这个是五龙锥。好了，这是三龙锥，四龙锥和五龙锥底面都变 边形，是几边形，记住了几棱锥，我们看棱台，棱台的定义，刚才我们知道棱锥，我们如果用一个平行于棱锥底面的平面去结棱锥， 我们把底面和洁面之间的，对，这是洁面之间的那一部分，我们就在轮胎 这一部分，我们看这个图，圆棱锥的底面和结面，圆柱棱锥这个底面和上面这个结面叫做他的上下底面，其他各面叫做轮胎的侧面， 相邻侧面的公共边叫做轮胎的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做轮胎的顶点，这是轮胎的相关 改念，注意轮胎的这样一个图形，我们来看一下， 好，这是侧面，他有四个侧面，上下两个是他的底面，上底面，下底面 好，然后 a 片、 b 片、 c 片、 d 片、 abcd 都是他的顶点。注意他一定是有一个人锥，这样用一个平行平面来解得的部分，下式 保留的是洁面和他原来的底面之间这一部分。所以我们如果把轮胎的侧轮延长的话，他们一定要交易，同一个顶点，交 同一点形成龙锥，这是轮胎这样一个图形，我们看相关的元素的说明， 对他的结构特征，上下底面是互相平行且相似的都变形，这里面强调了相似侧面，我们看他的侧面都是梯形， 各二侧轮的延长线注意较一点，因为他是有棱锥结得的。 龙台，我们可以有三龙锥、四龙锥、五龙锥结读的龙台分别叫做三龙台、四龙台、五龙台，实际上就是看他的上下底面是几边形， 我们看这是三轮胎，这是四轮胎，这是五轮胎。 我们注意这个，我们看这个几个题的说法，这是一个六面题，我们看他有几个面，几个面就叫前面题。 哎，所以第一个是正确的六个面。那么这是一个四轮胎吗？不是，因为你看如果我把他的侧轮延长的话，他不能叫一点，所以他不是轮胎。 那么这是不是一个四棱柱呢？我们把这个几颗体注意这样来看，他作为一个底面，背面，那个底面作为一个底面，这两个面是互相 平行且全程的，所以他可以看这个死棱柱，因此三也是正确的啊。同样四和五，我们画这个图也是可以得到的，所以四和五也是正确的。 对，我们观察一个结合体，一定要根据他的定义来判断他是什么样的结合体，注意是需要注意的，我们看关于愣住的结构特征啊。关于愣住的说法。第一个所有的面都是平次变形， 对，这个不一定，因为它的底面可能不是四边形，所以更谈不上是平行。四边形每一个面都不会是三角形，那么这个也不对，因为它的底面有可能是三角形。比如 有三能柱，能柱的定义我们看两平面平行各，并且各侧容也平行，那么这个显然是很正确的。 然后被平面节成的两部分可以都是棱柱啊。当然我们如果用一个平行于底面的平面去截他的话，可以得到两个棱柱，所以四也是正确的。 这是关于棱柱的概念。我们需要注意的是他的定义中两底面互相平行起线的，这是一个。 另外各侧面都是平次圆形，各侧轮互相平行且向挡，我们求解释，看是否有两个面平行且全挡，这样呢是作为底面。

坚挺如面，每日锤炼。今天我要手把手教你写面面脚的计算。咱们第一问前面已经证明了，接着看第二问，求的是面的逼 q、 d， a 这个平面角就是咱们常说的二面角。这两个面是哪两个面呢？就是 b、 q、 d， 还有 a、 q、 d 这两个面。这道题怎么做呢？肯定要建立空间坐标系。 第一问已经找好了终点，第二问直接做就可以了，这是 x， 这是 y， 这是 z。 建立好空间坐标系之后，第二步肯定是写点坐标。这个点坐标从哪写？咱们 答案比较凌乱，我的过程就比较详细，来看看。我先写一鉴定作白细，咱们写一下啊，如图 如图，建立空间坐标系， 所以写点坐标。点坐标写谁呢？写 b， 先写 b， 再写 q， 再写 d， 再写 a， 就这样写，非常非常有顺序。考研哈，来，先 b 点坐标是多少呢？因为长度都给了吗？总共是二。那 b 点是不是他的横坐标应该是二啊？ 重坐标呢？是负一哈，他在歪读的负方向负一，然后他在因为在 xoy 平面，所以他 z 是零， b 点出来了。那 还有第二个点是谁？ q 点？ q 点好写吗？ q 点这个要好好算一算了。为啥呢？你看这个长度，一滴是不是等于一啊？他总共是二吗？一滴是二吗？这是一，这是根号五，根号五的平方减一的平方是等于几啊？二，这是二啊，没问题吧？ 所以说这个 q 点的坐标也很容易写出来，零零二没问题。好，咱们继续往下走。哎，看到第一点坐标，第一点坐标是谁？这是他因为在 y 轴上让他的 x 为零， z 也为零， 那就看他的 y 呗，不就是一吗？这个插头很简单哈。再看 a 点坐标， a 点坐位是多少呢？ a 点坐标也简单， a 点和低点是反向的吧，零负一。 好，四个点出来之后，咱们接下来就写三个项链。哪三个项链呢？ bq， qd 还有 da。 这三个项链写出来就行了，所以 bq 就不用看图像了。 b、 q 项等多少呢？ q 点减 b 点零减二，负二，零减负一，一二减零二。再看 q， d 项链， q， d 项链， 第一减 q， 零减零等于零。还有一个，一减零等于一，零减二，负二。第三个项量， d， a， d， a 项目量 a， 零减零，零负一减一，负二，零减零零三。 三个项链都出来了，接下来准备设他的法项量。设这个法项呢，为 n 一，设他的法项呢为 n 二。挨个去求现在设设面 b， e， q， d 的法项量为 n e x e y e z e。 设好它。然后既然是法项，该不该和这两个项链垂直啊？咱们就选前面两个项链，因为 bq 和 qd 就是， bq 和 qd 就是咱们这个面里面的两个项链嘛，随意选择的哈，肯定是供电的哈， 所以有啥呢？ bq 项链乘以 n， 一项量等于零， q， d 项量 qd 项链乘以 n 一项量也等于零。那 项链相乘，把公式带进去，负二乘以 x 一，那就是一乘以 y 一， y 一二乘以 z 一等于零， q， d 乘以 n 一来他乘以他零乘 x 一，零没了。 y 一乘 y 一负二乘 z 一二倍， z 一等于零。现在两个式子，三个位置数，因此我要取一个直转， 我为啥娶 z 呢？我这是正负的哈，为啥娶 z 呢？你看到我们的目标是不能有分母 法项的呢，取的时候不能出出现分母，因为出现分母的话，后面计算比较麻烦，取之一等于一，所以万一是不是等于二呢？现在带你去试试看，咱们偷偷带 负二对 x 一加上二加上这里多少，这是也是二吗？二乘以一呢？二等于零，负二 x 一等于负四， x 等于 二，你看算出来是非常漂亮的，因此 n 一就等于二，二一，这就是咱们取的那个发项量。 接下来我们准备继续去求 qda 这个平面的发销量，按正常情况来说，也要继续设他的发项量为多少，然后列出这个，然后取出来。 但是你看看 qda， 他是非常特殊的一个平面，他在 yoz 这个平面内啊，因此他的发现了，咱们是可以一眼看出来的，就是一零零，从这里指出来的， 跟 xo 平行的。所以说咱们直接可以写一只一只面修 da 的法项量可取为 n 二等于一零零 啊，直接指出来的，这不用算那么多步骤了。好，两个法相量都有了，那准备写夹角了，所以夹角公式这个是应该大家都记得的。两个法相量相乘除以两个法相量的膜带公式进来。 二二一乘以一零零，然后下面是魔长二方，二方一方，这是一方，下面是三， 上面是二乘以一就是二了。一乘二乘以零，零一乘以零还是零，所以就是三分之二，所以夹角的余弦值是三分之二，我说明白了吗？见题如面，下次再见。

ok， 这节课我们来讲解一下这个属于意面直线的夹角问题哈，他是怎么去求解的？通常来说呢，呃，这个意面直线呢，他本来就不是在一个平面当中，所以说你想要去求婚的夹角的话，一般正常来说，我们第一步先去平移， 也就是说平移，平移的话通过哪些方式哈，这里边我们也简单说一下，第一个可以通过平移四边形，对吧？第二个也可以通过这个中位线，通过这两种方式去进行平移。平移什么呀？平移到一个共同的一个平面当中去， 也就说把这条线，哎，比如说我平移到最下面来，对吧？通过平移四边形也可以，中位线也可以，这就在一个平面当中，对吧？那么第一步平移，第二步，那就找到这个叫夹角哈，找到一面之间 夹角，那这个就属于我们意面之间的夹角。那你会说老师这边上难道这个不是吗？我们夹角是有曲子范围的哈，两个意面之间的夹角，他的曲子范围是属于零度，零度是开区间，为什么是开区间？ 如果是 b 区间的话，说明两条直线平行平行就不属于一面直线了，对不对？那最大呢？九十哈，最大九十，他不会超过九十的，因为，哎，旁边这个角如果超超过九十的话，我可以看这个锐角嘛，对不对？所以第二步哈找夹角，第三步， 那么就就求这个夹角，那这个夹角怎么求呢？如果哈，他是一个在一个直角三角形当中，那这个夹角应该是非常好求的。通过这个，哎，比如说要求这个角的塞印值啊，或者求这个角角的靠塞印值，那都是非常好求。第一，要么在直角三角形当中， 那就非常好求。第二个在普通三角形当中呢？如果说他只能在普通三角形当中呢？ 那这个怎么求呢？比如说我这么一个普通很普通的这么一个三角形三条边，首先第一步求出来，那求这个加角怎么求？ 我们用余弦定理啊，普通三角形当中，那这个 co 三 e、 c， 他他就有取值范围来了。比如说我假设这个是 a 边，这是 b 边，这 c 边余弦定理就是等于 co 三 e、 c， 他就是等于 a 方加 b 方减， c 方 处于啊 ab 哈，所以这里面会设计两种模型，第一种是在直角三角形当中，第二种是在普通三角形当中，所以是两三个步骤，一、平移。二、找角度。三、在特殊三角形当中，或者实在没办法，那就在普通三角形当中进行余弦定理的一个求解。 好，接下来我们来看两道例题来进行讲解。首先先看第一题，卢图所示，他是一个直三人。注哈，直三人注意味着 回顾下，意味着侧轮垂直于底面，这个叫做直三轮柱，各条轮床均为 a， 均为 a， 那意思他其实是一个什么呀？ 其实是一个什么呀？底面还是一个等边三角形的一个指三人数，其实他还叫做正三人珠，对不对？ d 是 cc 的终点，好在这一面直线 ab 一，这条直线与 bc 直线的夹角，你看 这两个是在意面吗？对不对？所以说我们三步走啊。第一步，平移，平移谁？这里面我们刚刚漏讲了，平移的时候可以 其中一条直线去平移，可以两条直线都去平移，什么意思？比如说我们刚刚说要求这条直线 以及这条直线的夹角，对不对？有的时候呢，你可能你这条直线直接平移下来，可能不太好，不太方便，那这个时候我们可以怎么办哈？我们 我们也可以其他的一个处理方法，比如说我举个例子，我们可能把这条直线平移到这里来，把这条直线呢平移到这里来，也就两条直线，你运动一部分，我也运动一部分，那这个就是所谓的一面直线的夹角，这也是可以的哈， 所以说我们来看这道题目需不需要呢？这道题目其实是不需要的哈，我只是说去讲解一下这个方法，因为这条这道题目当中你只需要这个，把 bc 给它挪到上面来，这是不就是两条红色的，就是在一个平面上呢， 对不对？第一步平移已经完成了，第二步，找角啊，找角，哪个就是角？第二步是不是找这么一个角啊？对不对？这就找角哈，找角度。第三步叫什么呀？找三角形，找什么？三角形，如果有特殊的，那就用特殊的，如果没有特殊的，那就普通的， 那也是 ok 的，也没有问题，是不是这意思啊？你看这里面很明显你要求这两个夹角，那我肯定会想办法去把这条线去给他连起来，这两个端点去留连起来，那我们就看这个三角形，他是不是一个特殊的三角形，因为他要求的仅仅是这个角的鱼线值嘛？是不是这意思啊？ 这是 a， 这是 a， 那这就是根号 a， 这是 a， 这是 a， 这也是根号 a， 所以这大的是一个等腰三角形， d 是根号， d 是 a 的，那想求他的 一个，他不是一个直角三角形，是一个等腰三角形。所以说我们这里边可以直接用鱼线定理，可不可以啊？可以哈，当然我们能不能去做一个垂直呢？这也是可以的，直接去做一个垂直就有三线合一嘛，这个点击为一为终点嘛，所以这个靠山西啊，直接等于什么呀？ 直接等于零边二分之一比上斜边根号二 a， 所以说直接可以求出来四分之根号啊，这是直接很快速的一种方法。当然哈，如果说你用鱼线定理，我也可以这样子哈。第二种啊， 也可以直接直接这个三角形当中我们用鱼弦定理就等于什么呀？ a 方加根号啊， a 括号的平方减去根号二， a 括号的平方对不对？除以二倍的 a 乘以根号 a， 结果 我算出来一模一样哈，两种方式都可以，三个步骤走好，这是第一道例题，我们再讲解一道例题，进行对这个知识点进行一个升华。好，我们来看 这道题目当中，如图，在人长为一的正方体当中， e 为 ab 的终点。好求意面直线夹角的余弦直。好，我们来看啊，先把这两条直线，我先给你加出 第一条直线 b， 第一，第二条直线 c， e 这两条直线在意面，我们一步步走第一步干嘛？ 对不对？平移，没错啊，平移啊，平移，怎么去平移？我们两种方式，第一，我们可以把 c， e 哎， c 一好像要平移的话，只能平移挪到上面来平移 c 平到这来跟他也不再平面，平到这来 也不在平面，所以去去去评一批 c 一的话，好像没那么好，那我们这里边呢？想办法去评一谁啊？去评一这个 b 第一，可能会稍微的好那么一点点哈。 b 第一，我们要想去平移他呢？他是一个体对角线，所以说你想通过平移四边形可能稍微难一点，那么这里面可以利用中卫线的形式，那好，我们来看 你用中卫线在哪呢？我们这样子啊，这里边连接起来，这是一个正方形嘛，这边取一个终点，对吧？这个 e 又是 ab 的终点，所以这条是不是就相当于是中卫线啦？我假如这个点是 f， 好吧， 那 ef 是不是就平行 b 第一啊？对不对？所以说要寻找看去把谁去平移，这个是很重要的一点啊，平移谁，谁 方便平移谁就去平移，对不对？所以这里边我们去平移这个 b 第一，所以这个 ef 和这个 ec 所加的角，这个角就是我们要求的角度，对不对？也就是我们把第二步早角搞定，第三步就什么呀？早 三角形，找三角形，然后呢要求出三边长度哈，那明显你要求这两条线的夹角，那肯定是什么呀？肯定是连接另外两个，也就连接 f 四， 是不是这意思啊？连接他连接 fc 这么一个三角形，他是不是一个直角三角形呢？我不知道，是不是一个等腰呢？我也不知道，那只有什么才知道呢？只有把所有的边长求出来，我们才知道。好，我们去求啊，这门人长是一，这是二分之一，这是一，对吧？ 所以这里面可以求出来，所以求出来二分之根号五哈，勾股定理哈，勾股定理哈，这个 ef 呢？可能你会觉得不好求啊，这边做一个垂直下来，垂直下来应该也是终点连接起来，对吧？ 这是二分之一，这是二分之一，好，我写一下哈，二分之一，二分之一，这就是二分之根号二，这个呢也是二分之一，因为这个点是终点嘛，对不对？ 所以说这个就就可以求出来二分之根号三，哈，二分之根号三。那好，最后一个 fcfc， 同样道理啊，把这个连接起来哈，这个连接起来，这是二分之一。好，另外一个呢？我换一只颜色来取，好吧，这个呢是二分之一，对吧？这个呢？是多少呢？ 这算出来啊，这二分，这一，这是二分之一，对吧？所以这个是二分之根号五，哈，二分之根号五，所以这条是二分之根号五，这条 是二分之一，所以这条可以求出来二分之根号六。那么这么一个三角形的三边，我们去给他画出来这个三角形的三边，因为我们要求的是这个角，对吧？ 这个长度刚刚已经求出来是二分之根号五，这个长度刚刚已经求出来是二分之根号三，这个长度求出来二分之根号六。那这个是不是一个叫做什么呀？ 是不是一个直角三角形啊？我们算一下，他的平方加他的平方，他平方四分之三，他平方四分之五，他平方四分之六，很明显不是一个直角三角形，那我们直接 不用想了。鱼线定理吗？你看他要求的就是鱼线值吗？对不对？鱼线定理，二分之根号三的这个平方，好啊，加上二分之根号五的这个平方，减去二分之根号六的平方，对吧？除以 二倍的二分之根号三，乘以二分之根号五哈。好，我们来算一下，四分三加四分之五，四分之八，减四分之六四分之二，对吧？ 好，下面约掉一个二，所以就是二分之根号十五哈，所以就是十五分之根号十五，哈，这么一个道理哈，这个是可以去算出来的。为什么？你看这个四分之二也就二分之一嘛？上下同约掉一个二分之一 根号十五分之一，也就十五分之根号五，所以答案轻松搞定哈。所以这是关于意面直线的夹角问题。三个步骤走，第一， 平移到后面，第二步，找角度，第三步，找三角形，把三角形的三边长度给我去求出来。如果是一个特殊三角形，那么他的余弦值非常简单，如果呢？他不是，那就用余弦定理去解决，这是第一个知识点。

大家好，这节课我们来学习立体几何中的最值问题，表面距离最短问题，当然就是空间问题，平面化的思想。好，我们来看 相关的理论知识求解。空间几何题表面上的距离最短问题，一般方法是什么呢？将空间几何题表面展开，将立体几何问题 转化为平面几何问题，充分利用平面几何的知识求解。 就是说遇到这种问题的话，我们一个基本的指导思想就是将立体几何问题转化为 为平面几何问题，他的具体的操作办法是什么呢？就是将空间几何体表面展开，这一点至关重要，知道知道思想，还要知道具体的办法， 下面我们来举例进行说明。 好了，我们来看这样一个例题说如图， 长方体 a、 b， c， d， a 撇 b 撇 c 撇 d 撇中 a， b 等于三， a， d 当然和 b、 c 是一样的，等于二， c， c 撇就是这个，这个高是一。 好了说一只蚂蚁从点 a 这里点着表面爬到 ct 点，从这里点表面爬到这里来， 让我们计算一下蚂蚁所爬过的最短距离是多少。 当然这个问题我们容易想到的可能是这样考虑问题，从这里到这来， 然后到这以后这个点呢，和这个点在同一个平面上， 我们知道两点之间怎样呢？线段最短，所以连起来 这样走，这样走，大家想一想， 这是不是最短距离呢？我们说这个距离不是最短距离，但这里边我们可以做到一种启发，什么启发呢？大家想一想，在同一个平面上，两点之间呢？线段是最短的， 那既然是这样的考虑问题的话，我们是不是可以这样考虑，比如说将侧面 a、 a 撇 d 撇 d， 沿着 a 撇地撇进行翻转，让他和平面 a 撇、 b 撇、 c 撇地撇重合到这里来， 那么 a 点就到了这里，那么我们直接这样连接起来， 相当于 蚂蚁从这里爬，爬到这里以后再转过来。但是这样的可以的话，我们也可以考虑这样的方法，把 a、 a 撇 b 撇 b， 沿着 a 撇、 b 撇这条棱进行翻转， 翻转到和 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇这个面重合，就这样， 这是 a 点，然后呢连接 a、 c 品，这里有个焦点，相当于这样爬上来。当然还有一种方法，就是这样，我们把这个面 做一个这样的翻转，让这个面 a 撇 b 撇 b， a 这个面沿着 b 撇 b 翻转，让他和 b 撇 c 撇 c， b 这个面重合，那么 a 点到这里， 然后连接 a、 c 品，相当于蚂蚁从这里爬到这，然后再过来。那么这些方法里边哪个最短呢？只需要我们实际算一算就可以了， 这里面蕴含的思想就是通过展开以后，把空间问题平面化好。我们来看 第一种方法，蚂蚁从 a 到 a 平，再从 a 平到 c 平转过来，爬过的最短距离，这个时候是多少呢？我们来看，因为这个边长 是一，这个边长为三，这个边长为二，显然要求他的话就是个股定理，三的平方再长，二的平方就九加四变好十三，然后再加上这个一，得出这样一个结论。 通过这个我们受到启发，我们来看 第二种办法，如图，将侧面 a、 b、 b 撇 a 撇，以 b、 b 撇为轴，转到于平面 b 撇 b， b 撇 c 撇 c 重合，这两个面重合，那么 a、 c 撇连起来交 b、 b 撇于 n 小于 n 点， 蚂蚁从 a 点到了 n 点，然后再转过来到 cp 点，那么这个时候爬过的最短距离是多少呢？很显然就是这段长度， 我们说这个长度为三，这个长度为二的长度为一。很显然，利用高股定力解决问题，那就是根号二十六。 好，我们来看第三种情况，就是这种情况。如图，将侧面 a、 d、 d、 d 撇 a 撇，以 a 撇、 d 撇为轴，旋转到以平面 a 撇、 b 撇、 c 撇地撇重合，就这样搬过来两个重合，那么 a、 c 撇交 a 撇地撇于 p 点，这个也是 p 点。蚂蚁从 a 到 p 这个，然后再从 p 点到 c 撇点，此时爬过的最短距离是多少呢？ 实际相当于这个长度，加上这里边仍然是高股定理，这个长度为三， 这个长度为一，这个长度为二，很显然这是长度五。长是四，四的平方是十六，再加上二的平方是四，结果呢，等于二倍的根号。 好了，我们来看第四种情况，就是将侧面 a、 b、 b 撇 a 撇，以 a 撇、 b 撇为轴， 转到与平面 a 撇、 b 撇、 c 撇、 d 撇重合，这样反过来，那么 ac 撇交 a 撇、 b 撇与点 m， 这是 m 点。 那么蚂蚁呢，从 a 点出发到这里，再到这里就是最短距离，那么这个最短距离是多少呢？我们来算一下，这个边长为三，这个边长为一，这个边长为二，显然这是三的平方， 再加上三的平方再开方，结果呢，等于三倍的平耗二。那么我们比较刚才所做的这几种方法， 很显然最小的值呢，就是三倍跟号二。综上可知，蚂蚁爬过的最短距离 就是三倍的根号。二、当这个问题的解决完全借助于的知道思想是空间问题平面化， 具体的手段我们是通过翻折，通过展开，然后让他到同一个平面上去，然后把这个问题进行解决。 好了，我们总结一下说，将空间几何体的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间的距离问题进行了转化， 手段呢就是展开图，从而使问题得到解决。这是球空间几何体表面上最短路线的一种常用的方法。球解时要注意什么？要注意分类 讨论思想的应用。比如刚才的问题，我们分四种情况进行了讨论，这个时候要注意分类讨论的思想。好了，这节课我们就讲到这里，谢谢大家。

一分钟掌握一个知识点，关注我，让你的数学学习更轻松。今天我们来看一下空间向量与立体几何。用向量法求谢谢角，首先我们来看一下，那谢谢角就是一面直线所成的角，那一面直线所成的角，我们得知道这个 一面直线所成角的范围 c 他是属于零到二分之派，有二分之派没有零，在这个里面一定要注意，如果有零度的话，他就是，他就不是一面直线了。 那一米直线所成角 set 的求法两种，第一种几何法就是平移，平移到同一个平面，转化为两条相交直线的夹角进行求解。第二个就是坐标法借细，然后我们需要用坐标把两条直线的方向向亮表示出来 来，方向向量 v 一 v 二，然后使用公式进行求解，它的公式就是 causing set， 就等于这两个方向向量的夹角的绝对值。因为我们来想一下，两个方向向量 的夹角可能是锐角，可能是钝角，但是一面直线所称的角只能是零度到九十度，所以 一面直线所乘角的这个余弦值 cosincy， 它只能是正的，所以后边我们需要加上一个绝对值。 那么我们根据这个来看一个例题，我们把这一部分的知识掌握了。首先我们来看一下这个题，平行六面体平行六面体 a， b， c d a， b c d e a a e 垂直于平面 a， b c d 呃 a a， e 垂直平面 a b c d 七 a， b 等于 a， d 等于二。 那我们来看一下 a， a， e 是根号三 b， a， d 是一百二十度， b， a， d 是一百二十度。我们只看第一问 e 面儿直线 a、 e、 b 与 a、 c、 e 所成角的 余选值，那我们来分析一下，首先它是一个平行六面题， a、 b、 a、 d 是二，高是根号三，而且 a、 a 一是垂直于底面的， 那在这个里边我们来看一下。我们要借细的话，首先 a、 a 一垂直于底面，那么 b、 a、 d 是一百二十度，那 b、 a、 d 是一百二十度，那我们想一下呢？ a、 b、 c、 d 肯定就是一个菱形，所以在这个里边我们要连接 a、 c 做辅助线，连接 a、 c 取 b、 c 的终点 e 取 b、 c 的终点 e， 然后连接 a、 e， 那我们来看一下如何去借线。因为 a、 b 等于 a、 c， 所以 a、 e 垂直于 b、 c， 这点儿没有问题吧？ a、 d 平行于，又因为 a、 d 平行于 b、 c， 所以 a、 e 是垂直于 a、 d 的， 又因为 a、 a、 e 垂直于平面 a、 b、 c、 d， 所以以 a 为原点 向量 a、 e 向量 a、 d 向量 a、 a、 e 的方向 为 x 轴 外轴 z 轴的正方向。 借力空间直角坐标系我就不写了，那在这个里面我们来看一下， 这个就是 y 轴 x 轴 z 轴 表示好以后，那我们需要把点的坐标标出来，因为 ab 等于 ac 等于二， aae 为根号三 角 b， a、 d 等于一百二十度，所以 a 一的坐标零零，根号三， b 的坐标根号三负一零， a 的坐标零零零。这个 b 的坐标一定要会求 c 的坐标 c 一的坐标根号三一，根号三。那在这个里边， 我们如果这个 b 点的坐标和 c、 e 的坐标你不好求的话，我们单独的把 x 轴和 y 轴单独拿出来，这是 y 轴，这是 x 轴， y 轴 x 轴，这是 a 点，然后这是 e 点， a、 e 垂直于 a、 d， 然后你看一下 b、 c 的位置在哪儿， 这是 b、 c、 d， 这个角是一百二十度，所以这个角是三十度，所以这个角是六十度，这块儿是垂直的，所以 b 点的坐标就通过这 图我们去把 b 点坐标求出来即可。那所以项量 a、 e、 b 的坐标就是根号三，负一， 负根号三，向量 a、 c 一的坐标就是根号三，一根号三，那所以 cosin a e b 向量 a e b a c e 加角就是向量 a e b 乘向量 a c， e 除以个各自的模， 然后把这个带入就可以了。啊，在这里面我就不细求了，等于负一分子是负一分母是根号七，根号七，所以就是负的七分 之一。那所以翼面直线所乘的角为扣余弦指 cosincit 就是七分之一，在这求的是负七分之一，但是我们只要朕的 cosin c， 它等于七分之一即可。所以在这个里面我们一定要注意，间隙的时候，各个点的坐标一定要写对了。