武忠祥构造辅助函数

函数极限呢，他次别量可以去向无穷，也可以去向有限制，所以函数极限有两种。 由于函数极限里边 x 去向无穷，这个极限呢，他跟我们狩猎的极限非常类似，所以我们首先看自备量去向无穷的时候的极限， 那自备量去向无穷的时候，极限一个就是 x 取向正无穷， f 也有为极限。讲的通俗一点 就是当这个自变量 x 无限增大的时候，这个函数值和一个长数要多接近有多接近，几何直观上呢，应该可以这样来表示啊，你看 啊，假如说这个呢，是 y 等于 a， 嗯，这是 a， 那么另外呢， y 等于 fx， 这就是 y 等于 fx， 当 x 去向于正无穷的时候，这个函数之还有个长数要多近有多近，那么就说 x 去向正无穷， f e a 为极限。当然数学上的严格表述，那就是 对任意给电的意思上大一点，存在一个大 x， 当这个小 x 大于这个大 x 以后， 相应点上，函数值和这个长数之差的绝对值可以小于事先给定的一部分。实际上大家注意 一啊，我们在前面讲的数列的极限，我们不是讲说 n 去下雨无穷的时候， a n 以 a 为极限， 那实际上大家注意这个数列呢？那实际上这个数列 an 可以看作一个谁整标函数， 也就是说你看这个给一个下标对应一个值，给一个下标对应一个值，所以数列呢，实际上可以看作一个特殊的函数， 那么所以呢，这个 a a n 以 a 为极限，那实际上也可以看作是 n 取消有无穷的时候，这个 f n 以 a 为极限，那这样以来，大家大家看这个定义就是完全类似的。那你看 我们在那个地方表述的时候，那就是对任意给的意思呢？我们那呢是存在一个大恩，当谁当小恩大于这个大恩的时候， 这样呢？是 an 减 a 的绝对值，实际上也就是 fn 减 a 的绝对值小于一次，所以这个函数极限跟这个数列极限这个灯也是完全类似的。 那实际上如果从几和上看的话是这样子，你看数列实际上是个整标函数， 那就是说他的字变量只取正转数啊一，然后二三啊，嗯，他只取正转数，那 a 一呢？也就是 f 一 市场，也就是这个值， a 二呢，那就是 f 二， a 三就是 f 三，那 a n 就是 f n， 所以这个数列实际上就自变量支取正正数。而我们现在函数呢，那就是这个自变量取任意正式数。 那这个时候呢，大家看这两个之间有什么关系？就是 n 去向无穷的时候，那这个 fn 也有为极限， 这是数列，这是函数极限。区别就在于这个字变量是取任意的这个证实数，而这个呢，对数列来讲，他这个字变量只取正整数，所以这就是特殊，这是一般。那他这 看如果 x 去向政务权 f 也有危机险，那这个一般当然能推谁特殊。但是反之 这个数列 n 取消无权， f 也有为极限，能不能推出 f x 也有为极限呢？不行，就是特殊，不能推。一般。因为你这个字辈的支取特殊值， 比如说我们 f x， 比如说等于赛营的派 x， 那这个时候呢，大家看这个 f n 就等于是 f n 就等于赛影的 n 派，它虽然是等于零的，那么所以呢，你看这个 f n 它是有极限零的，但是呢，这个 f x， 你这个 x 去向无穷的时候，这个呢，他实际上是在正负一之间整到，这个是不存在的， 这就是函数极限和数列极限之间关系。那我们在求数列的极限的时候，我们知道这个有一个方法，就是关于函数极限这个落配套法则不能用， 那所以呢，我们有时候处理这种数列极限的时候，就考虑相应的函数极限， 因为这个函数极限带 a， 这个数列极限一定带 a， 为什么要考虑函数极限？函数极限可以用诺贝塔啊，这就是这个节呢的一个应用，这就是自变量去向正无穷， f 也有极限。对于函数极限呢， 这个字面的 x 不但可以去向正无穷，他也可以去向谁富无穷。那这个定义呢？跟上面是类似的，假到通俗一点，这个地方 x 是要抽风大，那这是 x， 去向富无穷，就是要抽风小。所以你还在表示的时候， 就这不一样，都是存在大 x， 这呢是小 x， 大与大 x 就是小 x 冲和他，这呢是小 x， 小与负 x， 这就是 x 充分小。 那么另外呢，这个字面上缺少无穷的极限，还有一种，还有哪一种呢？就是一个是政务穷，一个富穷，这是两个单侧，这呢是 x 缺少无穷。不写正，不写富。那么 大家注意，这个不写正，不写负是指的什么？是指的知识者，就是说这个 x 呢，趋向于无穷， 这个呢就约定为谁啊？约定为 x 的绝对值，去向谁正无穷，就是两边同时考虑， 所以你看他这个定义就是对任意给定义，不是存在一个大 x， 当 x 的绝对值大于大 x， 实际上就是两边同时考虑， 那这就是自变量取消与无穷的时候。这个地方有三种，一个是趋向正无穷，一个取消复古穷，一个呢是绝对值取消无穷，他们都是自变量取消无穷的时候的极限，那么他们三者有什么关系呢？那我们从这一块很容易看出这个界， 但是两边考虑，所以这个如果极限等于 a 的话，那这两个单侧都存在，并且都等于 a， 反过来，如果这个和这个都存在，能不能得这个存在呢？我们说不能，而要这两个单侧存在，并且还要怎么样相等才能得他存在， 那在这呢？另外呢，我们要注意一下啊，比如说这个 n 去向于无穷，那这个 n 分之根号 n 发加一， 当时大家都知道这个季节肯定等于谁一啊，这个没有问题，但是这个呢，那如果我们写说 x 区下于无穷，那这是 x， 反正根号 x 发加一，那位同学说那这个接线也是一啊，那我们说说这个接线呢？一，这就是经典的错误，标准的零分， 为什么呢？哎，这个时候就要注意，就是我们高档数学里边写，嗯，取笑于无穷， 没有一本书写去向正无穷，但是这个都约定为 n 是去向一些啊。正无穷，因为 n 是我们这的下标，所以它是正正书，那既然是这样子，这个 n 平方开出来，那就等于 n， 所以这个记性等于一， 但是这呢注意这个 x 去向无穷，你看这个记号跟这个地方的记号身上是类似的，但是含义是不一样，这个是 去向正无穷，这个是 x 绝对值去向正无穷。那么你这个是做的时候，这样做就错了，因为这个呢，你把这个 x， 我们知道你把这个 x 方往出提的时候，这个根号 x 方，他是等于谁？ x 绝对值， 他并不等于 x， 所以这个呢，正确的应该是这样子，那就是如果 x 趋向于正无穷， 然后大家注意，这个下面是 x， 这个平方往出一开，这就是 x， 那这根号里边就是一加谁啊？ x 三分之一，这个就等于是正义。 而如果这个 x 要缺陷于富无穷呢？那这个时候平方开方出来，这就应 是负 x， 那里边呢？就是一加 x 方分之一出 x， 这个就等于负一，所以这个是正一，这个是负一，那这个极限应该是谁啊？应该是不存在。 所以这个举这个简单的例子就是想强调，就是在这个我们数列极限和函数极限里边， 就是 n 去向无穷，和 x 去向无穷用的记号是一样，但是含义是不一样，就是这呢是 n 去向正无穷， 而这呢是 x 的绝对值，去向整球。好，这是次变量去向无穷的时候，函数极限的概念。

那么下面呢，我们再看这个导数概念的第二，英语就是利用导数定义求导数啊，比如说我们来看二零二二年数学二一道十分的大题，他是考这个题目， 他说这个函数 f x 呢？在 x 等于一，这点是可等，然后让我们求证这个极限就等于二，然后 f 一撇一等于什么？ 那么大家注意，像这种只告诉这点可导，然后要求这点导数，那一般应该是用谁定义？ 那么用定义的话，那这个 e g 的导数的定义，我们把它写出来的话，那这个地方呢，我们来看它有两种形式啊，它有两种形式，那么一种形式呢？就是 f e 撇 一，它等于谁啊？就等于这个 f 一加德尔塔 x 减 f 一除以谁啊？德尔塔 x， 那么还有什么形式呢？这当然是就是德尔塔 x 区向内， 那么还有一种呢，那就是 x 趋向于一的时候，底下是 x 减一，上面是谁啊？ fx 减 f 一， 那但是呢，不管是这个还是这个，都会牵扯到 f 一，那 f 一等于谁呢？ 那么大家注意，你看这是商存在分母又趋向零，那我们知道分子一定趋向零，那你看这个题目呢，因为函数可倒可倒必连续，所以这一项的极限应该是 f 一，那么后面 这项呢，应该是减去三倍 f 一，那这个呢？应该是负二倍的 f 一，这个等于零，所以我们可以得到 f 一等于零，那么这样的话，那这个表达的时候，我们可以这样表达啊，就是由提设之啊，由这个提设 我们可以知道谁啊？我们可以知道这个 f 的一是等于零的， 那么知道 f 一等于零以后，我们用这个，那么怎么求出这代的倒数呢？实际上就是在这个地方要把它凑成这代倒数定义的形式， 那么所以呢，那我们来看二就等于等于谁啊？注意这个是趋向一的，那么所以给他减一个 f 一，减个零，他比较容易错 谁凑这个形式，所以我们在这呢就可以把它写成谁啊？ fex 平方，然后减去谁 fe， 因为 fe 等于零， 那么这呢就要凑谁啊？凑这个 e x 方减一，但是人家原来是谁啊？原来是 x 平方，所以我们给这方除一个他乘一个他，这就是 e x 平方，减一， 然后呢再减去后面这个三倍的，然后再一看，这呢是 x 趋向零，那这呢里边就是 f 一加上 赛影平方 x， 它属，它属于这个形式，然后我们给这个地方剪一个 f 一，那么下面呢，就得除以个谁赛影平方 x， 然后这呢 原来是 x 平方，你除除了塞引方，这得乘塞引平方，然后完了以后呢，大家看这个极限等于一，那这个前面这个呢？当 x 趋向零的时候，这就是 f 一撇的一， 那这个呢？因为这个极限也等于一，前面这个呢就等于减去三倍的谁啊？ a 负一撇的一，那这呢就等于负二倍， a 负一撇一，那么这样子我们立马就知道 a 负一撇的一就等于谁啊？负一， 那你看这种题呢，就是在考用倒数的定义求倒数，那你看他告诉我们这个极限等于二，那么为了求的这个倒数，那么就把原来这个极限凑成倒数定义的形式，其中 第一项他比较适合凑下面这个形式，而第二项比较适合凑这个形式，那这就是一种传统的做法，实际上呢，大家注意这一题呢，还可以做的，就是我们熟了以后，我们可以做的更简单。 怎么做的更简单呢？你看这地方呢？我们本来这个凑成这个形式以后啊，下面就要除这个乘这个这是传统做法，这是除这个乘这个，但实际上我们还可以做的简单一点。为什么？因为我可以不写这个， 因为什么？因为这个 x 平方它等价于谁啊？ e x 方减一，所以我直接可以用等价代换，把这个 x 平方换掉，换成是这个。对于第二项我也可以不写这个，因为对于第二项的话，你这个分为 x 平方， 你也等价于谁？赛影平方 x 这样子不用乘除，直接等价代换，这样可以做的更简单。但是这种呢，就是利用导数定义，求导数，你看二零二二年数二的话，这是一道十分的大题。

常见函数，注意，像这些函数我们后面也经常会用到啊，所以要受气。一个叫符号函数啊，这是个分段函数，小于零，负一大于零，正一等于零，等于零， 那这个图形画出来身上是这个图形，还有一个呢，就叫取整函数，这个在我们考卷的边界考过啊，这个也经常会用到， 什么叫取整函数？ x 是任意时数，注意是不超过 x 的最大整数，称为 x 的的整数部分， 记住这个 x 加方括号，所以就以后见到 x 方括号就是一个取整函数。怎么定义的不超 s 的最大整数，那么大家想，这个如果是三点八，不超过三点八的最大整数，那应该是谁？应该就是三， 那也就是说，如果他是个正数，所以这个取准叫做通俗点，就是把后面小数部分去掉，所以就剩下一个三，然后呢，注意，如果这头是负的三点八， 这个呢可不等于负三啊，你看是不超过 x， 就是不超过负的三点八的最大整数，大家注意，不超过负的三点八的最大整数应该是负四，而不是负三，因为负三是 已经超过负的三点八啊，所以这个负的三点八取整是负四。 那这个呢，这个取整函数如果把它的图画出来的话，它就是一个阶梯状的，大家看在零一区间，它应该等于零一二区间应该是等于一，所以这是个阶梯的函数， 那么在这呢，由这个定义可以知道啊，这个你看这个取整，这说的是不超过 x， 所谓不超过就是小于等于 x， 所以这个取整它始终是小于等于 x， 但是呢，这个如果给 x 减个一呢？他应该是大于这会，这会出现等号，如果这个 x 此是一个整数，等号就成立，如果不是整数，那这个一定是大于 x。 借一，这就是关于取整函数一个基本不等式。 所以大家记笔记的时候，像这种我们就应该记啊，你看这个是关于取整函数一个重要的一个基本结呢？这个我们就得记啊，这是关于这个取整函数。

看到这样的式子，你会画它的函数图像吗？最后一个函数图像会惊艳到你！一星行线，首先令 x 等于零，可得出点零 a 零，负 a， 再令 y 等于零，得出点 a 零，负 a 零。 再取点二分之 a， 二分之 a， 带入函数，只比函数大，得出图像。在此点下方围凹函数，那么就可以画出函数在第一象限的图像，其他三个象限的图像根据对阵性依次画出。形成线的图像就画好啦。 二、摆线，令 t 等于零，可得点零。零令 t 等于二，派可得点二。 二派 a 零，令 t 等于派，可得点派 a。 二 a。 再求起导数，得出该函数为凸函数，由此可以画出白线的图像。 三星行线另细它等于零，可得点零。零 令系他等于二分之派，可得点零 a 令系他等于派，可得点负二 a 零。 由于 cosic 塔在零道派之间单调递减，则二在零道派之间单调递增，即图向上的点与原点的距离不断增大。 此时可以画出心形线在 x 轴上方的大致图像，由对称性画出心形线在 x 轴下方的图像，心形线的图像就画好了。乖的亲爱的他来看呀！同学们还有哪些不会画的常见函数图像可以写在评论区，我们下期再见！

下面来我们看这道题，是这个问题，他说已知这个混合撇倒数等于一， 然后到 x 等于零的时候， z 等于三 y， y 等于零的时候， z 等于赛眼 x， 则 z 等于什么？知道偏道求函数，怎么求？就像在一元函数，知道导数求函数， 那就用一元，就用积分，不定积分，这就用偏积分。所以你看这是先 x 后外，我就这个时候两边先对外做一个偏积分，那我就可以得到谁偏 z 偏 x 就等于右端对外做偏积分， 那么对外做偏激分一个单，如果这有 x 八 x 的长数，那这样没有再直接出来就是外，然后 拍，注意不对应，这一方是加任意长数，偏于这一方是加任意函数，因为你对外做，所以后面应该加一个谁啊？ fx， 那么这个时候呢？这个 fx 怎么定呢？ fx 不好定，他没有给偏倒数的条件，有同学说再积分往下做能做，但是就比较麻烦， 所以这个地方大家要注意，就是人为的，最好找一个关于 z 对 x 的偏倒数的条件，把范定出来， 但这个怎么定呢？实际上呢，大家注意一下这个条件看，这什么意思啊？本来我们原来是 zxy， 但是呢，这个意思就是说把外用零带进去的时候，他等于谁啊？等于赛野 x， 哎，那我这个两边可以对 x 怎么样？对 x 可以求导呀，那么对 x 求导，我就得到这一撇的 x 的 x 的零就等于谁啊？ cocy x， 你看这就是 zdx 偏倒数的一个条件，那么根据这个条件呢， 就这个里边把外等于零一代应该等于扩散，那么外等于零一代的话，他就是零加 fax， 那这个就应该等于谁？ cocyex， 那我就知道 fan 就等于 cocyex， 那我们就立马知道偏 cpx 就等于外加上 cocyex， 然后再做一次偏激分，这个时候对谁做？对 x 走你，这就是外加 cocyex dx， 然后第一项对 x 做积分，把外当长数，这就是 x 乘外。第二项呢？对 x 做积分，这就是加赛也 x， 然后对 x 的积分，后面又得加 y 的任意函数。普赛外，我现在要定普赛外，根据谁？根据这个条件， 那么根据这个条件， x 等于零一代，等于赛眼外， x 等于零一代，等于赛眼外。 x 用零一代不是就是普赛外，所以普赛外就等于赛眼外， 所以最后的答案就是谁就是 xy， 然后加赛眼 x， 再加谁赛眼外，就在多元里边知道偏倒求函数就是 用偏积分，但是注意这个题，这一步非常关键，就是你偏积分一次以后，这出现一个范，你不定，他再对 x 做积分，后面就非常麻烦，所以在这就需要找一个关于 x 偏倒数的条件， 所以这一步就非常关键，由这个条件，首先得他，得他以后他对 x 球偏倒，得这个条件，得这个条件可以定范，定出范再积分就变得简单。

那么接下来呢，就是复合函数，当然函数符合我们数学上有严格的定义，但是我们复习的时候就是一个定义，数上写的很长，但是一定要抓住这个定义的要点。 实际上你看不关于这个定义啊，是 y 等于 f， u 定义是 d f u 等于 g， x 的定义是 d g， 直语是 r g。 如果这个飞空则称 y 等于 f， g 为 y 等于 f， u 和 u 等于 g x 的复合函数，它的电语是它。 那么从这个定义里边大家要注意啊，就是这有一个要点是个弱啊，就是这个弱，实际上这个定义呢，我们认为要点就是这一条，就是不是说 任何两个函数都可以复合，那到底能不能复合？核心就是这一条，那么这一条是说什么？实际上呢？我们通常把这个讲到通俗的，这个 f 叫做外层函数，这个 g 呢叫内层函数， 两个函数能不能复合，那主要要看谁，这是外层函数的定义语，这是内层函数的直域， 那么就是说只要外层函数定义和内层函数值域的交飞空，他就能符合， 如果这两个胶是个空气，他就不能复合，所以这个定义的要点就是这个他这个 df 与这个 rg 的胶飞空。 所以在这我们讲义上专门强调不是任何两个函数都可以复合。 那比如说我们讲一下解释的意思，一个呢是 y 等于 f， u 等于烙影 u， 这实际上就是 y 层函数。那么另外一个呢，就 u 等于 gx 等于赛眼 s 减一，这就是内层函数。 当然你形式上你可以写这两个复合，但是这两个能不能复合呢？我们说要看外层函数的定义和内层函数的直域，外层这个函数的定于，但是知道是零到正无穷这个开区界， 而内层这个函数的直域，那我们知道这个赛营是应该在负一和正一之间， 然后减一个一呢，所以他的直域是在负二和零之间。那么大家看这个内层这个函数的值域和外层这个函数的定域，这两个的交就是一个谁啊？一个空气，所以就不满足这个要求， 那么所以呢，这两个函数就不能复合啊，如果我们把这个地方呢给他改一下啊，那这个时候呢，那这个就可以复合了。比如说那么这个地方呢？我这个 gx， 我等于谁啊？我等于赛眼 x 加上一，那么这个时候呢，你看这个是负一到正一，然后加上一个一以后，那这个时候呢，他的直域就是零到二，那么这个直 零二和这个定义零到正无穷他们的交就飞空，那所以这个 gx 和这个 fx 就可以复合，所以就是第一两个函，不是任何两个函数都可以复合。 第二什么时候能复合，那能复合就是只要求外层定于一类层直于的交飞空，他俩就可以复合，这就是关于复合函数，这就是我们常见的一类函数复合函数。

这道题是可以直接说答案的吗？你也可以直接说明这个，对，你想 fx 在这点可等，那他就在这一点一定怎么样？连续？由于这个题等于零，那首先就推出谁 f 零肯定等于零，由于他在这点可等 f 零就等于零，那所以呢，这个极限就是 x 去下零的时候， fx 比上 x， 这就是这点导数啊，这个极限就应该怎么样？ 这个集结有个存在，那你说这个集结存在，我说你立马就退出这个集结肯定得以零，为什么你可以写出这个 x 去掉零， fx 除以个谁啊？根号 x 绝对值凑这个用他这个条件，然后后面呢就可以写成 x 分至根号等谁啊？ x 的绝对值，然后呢，你是开发出这个集结等于零，那就这个去加零， 那这个呢？实际上呢，这个地方就立马可以得到这个极限是存在的，所以呢，可以知道这个如果在这个可导，就这个极限要存在的话，立马能推出这个极限一定是存在。

各位同学大家好，下面我们来看这道题。 f x 是二阶可导， 并且呢 f 负 x 等于负的 f x， 那这个呢，我们就知道 f 是一个奇函数， f x 加一等于 f x， 那我们知道他应该是个周期函数，那由于对所有 x 都有这个式的成立，所以这个二阶可导当然是指的这个区间所有点上都二阶可导， 那么另外呢， x 缺下一的时候，这个极写等于一，则下面哪个式子对，那大家注意，这几个式子里边，它主要牵扯到谁啊？还 函数值，还有倒数值，还有二阶倒数值，但是都是整数点上的，那既然牵涉到函数值，一阶倒数值，那首先我们来看 f， f 呢，有提示可以知道 f 是一个 g 函数， f 呢是一个周期函数，那这个时候呢，我们立马知道这函数在零点的值是等于谁啊？是等于零的， 然后呢，你看这个地方还牵扯到谁啊？这个 f 幺零幺，然后还有 f 九十九， f 的一百，由于它是周期函数，那一肯定是个周期，那所以呢，我们可以知道这个 f 负的九十九，那包括 f 的一百包括谁啊？ f 的一零一，这个都应该等于零。好，这是关于横竖值。那么另外呢，就是牵制到一阶倒数， 一级导数，我们知道原来函数是奇函数，求一次导数，他就是偶函数，原来函数以一为周期，求一次导数，仍然以一为周期。 但是这个地方呢，才知道一阶倒数在一百，一百零一，还有九十九，那这个时候呢，我们得知道这个一阶倒数在某一点的值，那这个一阶倒数在哪一点的值我们能知道呢？ 现场我们来看一下这个条件，那这个条件呢？这个等于一，注意 x 是去向一，但是由这个条件我们可以知道，是呀，因为 f 零等于零，它周期是一，所以这个是等于零的， 那这样的话，我们可以给这个地方减一个是 f 一，那么另外呢，三引 x 减一等价，于是 x 减一，这是比如一内的导数的定义啊，所以我们从这个地方呢，就能得到 f 一撇的一是等于一的， 所以这个时候呢，就是首先由这个式子，我们可以得到 f 一撇的一等于一。当然这个条件利用除了用导数定义， 也可以用谁啊？也可以用诺贝塔法字，因为他告诉我们一等于谁 x 趋向一，然后上面呢？ fx， 那下面呢？这个 x 趋向一赛亚 x 减一等价于 x 减一， 由于 f 一等于零，所以这是个零比零，由于它有二阶可导，所以这个地方呢，也可以用诺贝特法则，就是 x， 就像一，上面呢， f 一撇 x， 下面呢一， 由于二阶可导，一阶导函数就连续，所以这个 f 一撇一就等于一，所以由这个得到 f 一撇一等于一，可以用倒数定一，也可以用洛贝塔法则，那得到这个以后呢，注意 哎，这个它也是以一为周期的，那所以呢，我们就可以知道，这个地方确实等于看 f 一撇一百， f 一撇一零一，还有 f 一撇九十九，那这个呢，都应该等于一啊，就是 f 一撇九十九， 应该等于 f 一撇的一百，也等于是 f 一撇的一零一。 好，这是关于一阶倒数值。那么另外呢，这个题目里边还切实到二阶倒数，因为题目告诉我们二阶可倒， 那这个时候呢，我们知道一个可导的偶函数，他求导数应该是个奇函数，那周期函数，可导的周期函数，导函数仍然是 首先函数，那这个时候，既然它是奇函数，那我们立马知道 f 两撇的零是等于零的， 但是他牵扯到不是 f 两撇零。你看两撇九十九，两撇一百，两撇一百，两撇一百， 但是他是周期函数，所以呢， f 两撇零应该等于 f 两撇的九十九，也等于谁 f 两撇的一百。 那好了，这个时候呢，实际上我们就知道了啊，关于它的函数值，所牵扯的几个函数值都是等于谁零的？所牵扯的几个一阶倒数值都是等于一的，所牵扯到二阶倒数值都是等于零。那我们现在看哪个是 是对的？谁想来我们现在看一下，这个 f 九十九，这个是等于零的， f 两撇的一百，这个也是等于零，所以这两个相等是对的。 但是 f 一撇的一零一呢，这个是等于一的，那所以这个是对的啊。其他几个市场，我们仔细看一下， 其他几个都不对。那至于这个题呢，它主要考的知识点是什么？那就是可导的基偶函数，求一次导数，基偶性发生一次变化。另外呢，基函数在零点的值等于零。 还有一个呢，就是可导的周期函数，他的导函数仍然是周期函数。那么另外呢，这 等于一，那这个条件在这用，可以用导数定一，也可以用谁洛贝塔法则。所以这道题考的知识点还是蛮多的，也是一道非常好的一道题目。好，有关这个题呢？我们就讲到这个地方。

各位二五考研的同学们大家好，从今天开始，吴老师为二五考研的同学开设每日一题这样一个小课堂 开学。这个小课堂的背景是考研，一共是考四门课，那其中政治，英语，数学统考，而专业课是由招生院校自己媒体。 而真正拉开差距，那应该是数学这门课。所以从这个一生讲，考研成败的关键在于数学。 数学呢，第一他的分值高，他是一百五十分，那第二呢，他的内容多，那这位考研数学所考的内容，我们在大学学的 时候啊，是用两年的时间来学的，所以内容特别多。那么另外呢，数学这门课，那他的概念，理论、方法，关键是在于理解，而不是背，所以数学这门课的复习不失于突击， 而他始于什么细水长流。所以对数学的复习，吴老师的建议是早动手，细水长流，循序渐进，才能取得一个好的效果。 所以从今天开始，那吴老师呢，每天带领我们同学做一道高等数学的题目，每天都会有新的收获，每天都会有新的提高，坚持下来，相信我们 自己，相信吴老师考研这个愿望一定能够实现，同学们加油！ 那关于这个每日议题呢，我们给大家做一些具体的介绍。每日议题我们是分三个阶段 啊，第一个阶段呢，就是从今天开始，十一月的十一号到明年的五月十八号，这个第一个阶段，我们叫做超越九十分。 第二个阶段呢，是明年的五月十九号到十月三十一号，这个呢叫超越一百二十分。第三个阶段呢，是明年的十一月的一号到考试的前一天，这 这个呢叫超越一百三十五分，也就是说我们每日一题呢，是分三个阶段，三个阶段每个阶段有不同的要求，那么这三个阶段实际上也就对应我们在考研数学复习的时候的三个阶段， 第一个阶段就是我们的基础阶段，第二个阶段就是强化阶段，第三个阶段就是冲刺阶段。 这个阶段呢，差不多是两百天，所以这个地方呢，差不多是有两百道题。 第二阶段呢，差不多是一百六十天，所以这个地方呢，差不多是有一百六十道题。而第三个阶段呢，差不多是五十天，所以这个地方大概有五十道左右的题目。这样子你坚持下来的话，我们这个地方一共 多少道题啊？因为有四百一十道题，所以希望同学从今天开始每天做一道题，坚持下来，我们一共能够做大概四百一十道高等数学的题。 经过这四百一十道高等数学题目的练习，那吴老师相信你的高等数学的基本概念，基本理论，基本方法，包括解题常用的技巧，那么都应该能够有一个很好的掌握。 所以呢，希望我们同学能够和吴老师一起坚持每天做一道题目，那这样子坚持下来，我们的目标一定能够实现，我们考研的愿望也一定能够实现， 同学们加油。那在这呢，吴老师对自己做一个简单的介绍。吴老师是原西安交通大学数学统计学院一个老师 啊，做这个考研辅导已经有三十多年了，那么也和这个李老师李永乐教授编过一些考研的系列丛书， 那一个呢是六百六十题，还有复习全书，还有整体解析，还有六加二。那么另外呢，吴老师近几年也就高等数学编了一些很考研的参考书， 比如说吴老师的高等数学基础篇，高等数学辅导讲义十七堂课，还有选填题，还有解答题。 那另外呢，吴老师还有一些自媒体，一个呢就是公众号吴忠祥老师，一个就是微博吴忠祥老师。还有就是 b 站考研数学吴忠祥老师， 那其中公众号里边有考研数学每月的复习规划，还有历年整体的电子版，还有我们每日一题的合集的资料。 而微博里边呢，首先有每日一题，就是我们每日一题，每天的题目发布是在微博里边发布。 那么另外呢，这个地方呢，也有一些定期的答疑，还有一些不定期的吴老师的盲盒的这个抽奖，那题目我们 是当天在吴老师的微博里面发布，那这个呢？第二天在这个 b 站上就有这个题目，吴老师的视频讲解。当然吴老师是希望当天在微博里面看到这个题目以后，一定要自己动手做， 就是做出来，做不出来都一定要做，一定要思考，所以你做了以后，然后第二天再来听吴老师的视频讲解，这个时候收获才会满满。 因为你做了以后，如果你自己不会做，那你就要先带着问题去听，我哪里没有想到，我哪个知识点这个不清楚，或者哪个概念我不清楚，其实我们自己做出来了，那我们看一下做的对不对？那跟吴老师 讲解的这个方法，谁的方法好？那这个里边呢，会有更多的收获，所以一定是当天做题，第二天再来听视频讲解，这样子效果非常好。 那么另外呢， b 站里边还有这个吴老师的有关同学们经常犯的一些经典错误的视频讲解，那么另外呢，还有高数的专项视频的讲解。 另外我们这个每日一题，从二次开始，我们增加了一些电子的一些辅助的东西，那除了这个当天发题目第二条有视频讲解，那么另外呢，我们还提供电子版的这个题目相关的知识点， 以及相关知识点的讲解，包括这个题目那分布的一些得分的一些点， 所以这个里面有很多辅助的东西，对我们同学也是很有帮助的。所以呢，就希望大家能够和吴老师一起坚持每天做一道高等数学的题目，那这样子一直坚持下来，那我们的目标一定能够实现 好。下面呢，就看二五考研数学超越九十分每一题第一道题， 那这个题呢，是这样一道题，他说 f x 加一，他的定义域是零 a， 然后则 f x 的定义域是。 大家注意，高等数学研究的对象就是函数，而函数有三个要素，一个就是定义，一个是对应法则，一个是值域。那么这个题呢，就是关于函数定义域的一道题目。 当然也有同学说，老师你这题很简单哎，你 f x 加一的定义是零 a， 那我立马就得到谁，我立马就得到 x 加一，那不是就大于等于零，小于等于 a， 你问我 x 的等于，那就是 x 在哪？那么这样的我为了得到 x 的范围，那我这个地方呢，只要给两边大家都加一个负一，那我不是就得到 x 应该大于等于负一，而小 等于 a 减一啊，那所以它的定义不是就这样吗？啊，那就是负一到 a 减一，那就选它呀，是不是应该选 a 呢？ 我们说选 a 就是经典的错误，标准的零分。相信这个题如果放在考场上考的话，有很多同学会选 a， 选 a 就错了，错在哪里？小学注意定义于， 什么叫定义？就是这个函数自变量取值的范围，但是这个时候呢，你注意这事上是一个复合函数 f x 加一的一个复合自变量。是谁啊？自变量当然是 x， 而不是 x 加一， x 加一是个中间变量。既然定义是自变量取值的范围，那所以呢，那就应该是 x 应该大于零，小于大于等于零，小于等于 a， 这就是由他的定义，是他，我们知道他的次列章取在这，但是他要问这个函数的定义就这个 x 变化范围，那实际上就是这的 x 加一的变化的范围， x 在这变化，那 x 加一在哪里变化呢？两边大家都加一，那不就得到这个东西，大于等于一而小于等于谁啊？ a 加一，那这个 x 加一变化的范围就应该是这的 x 变化的范围， 也就是这个 f x 定律，所以这个 f x 定律应该是谁？应该是一到 a 加一，所以正题的正确的选项应该是 b。 那么这个题呢，主要考察的是什么？就是对函数定义这个基本概念的理解。有关这个题目的视频讲解，我们就讲到这个地方，同学们再见。

大家好，我是吴老师，我们来看这道题目，如果三倍的 f x 加上 f e p x 大零， f 一是等于一的，则不等式 f x 大于一的，三减三 x 四方的解决是怎样的？ 首先我们来看第一个条件，三倍的 f x 加 f e p x 大零，那么这是既有原函数又有导函数，就是一个比较典型的利用导函数还原原函数 的形式，那么需要用到我们的特殊构造，那么构造的话，这里给大家简单讲一下啊。两个比较常见的构造形式，第一个就是 f x 加上 f e p x 大连。 我们通常构造 g x 等于一的 x 次方乘以 f x， 如果这里有减号的话，我们就是 f x 除以 e x 次方。以前有同学问，为什么呃，不把 f x 除下面啊？因为 f x 你不知道它是否为零，所以我们最好是保险起见，把 e x 方除在下面会好一些。 第二种类型的 f x 加上 x 倍的 f e p x 大连， 那么勾到的话就是 x 倍的 f x， 这个就比较明显的啊。那如果是减一样的 f x 除以 x， 但是他往往出题会出了更加麻烦一点，就会加一个系数， 那就是 n 倍的 f x 加上 f e p x 大零。那么 此时我们构造的话，教大家一个简单方法，就是先不看 n， 那是不是就是 e x 次方乘以 f x， 现在再把 n 填在哪里呢？填在头上啊，填在 e 的 x 次方这个头上，也就填在 e 的头上。同理，我们的 f x 如果也出现这种情况， 那我们填的时候也是把 n 填在 x 的头上，就和 f x 没关系啊，就差他不要动，动前面的啊，动前面的好，有了这个基础之后，我们再来做这个题，明显就知道 g x， 构造的话，应该构造是一的 x 次方乘以 f x， 但是 有系数三，对不对？所以填在前面一的三 x 四八乘以 f x， 好，来看它的问题， f x 大于一的三减三 x 次方，有同学就在你默默地去把它还原，对吧？其实这种题完全没必要还原啊，就先大胆的猜测， 多重题的套路啊，先大胆猜测，再小心的去求证就行了。 怎么猜这呢？就是猜左边应该和 g x 有什么关系，其实肯定就是 g x， 右边一定是 g e， 为什么我那么确定呢？因为左边有 f x 嘛，肯定是 g x， 然后右边的话，只有一个 f 一是一致的，那你只有 g 一才有可能，对不对？好，那么现在 还原回去啊，就求证一下，左边一的三 x 方乘以 f x 大于一的三次方乘以 f 一， f 一是等于一的，那就是一的三次方，那么看看把它除过去 是他吧，那没问题啊，所以 g x 大于 g， 而我们知道导函数啊，是大于零的，说明他是单调递增的，所以我们的 g x 大于 g 一的话， 就可以得到 x 应该是大于一的。再看看题目有没有定义限制，没有把它定义为 r， 所以应该是 x 大于一，那么结果选择 b 选项， 那么这道题目的话，其实并不算一道很难的题目啊，最多算一道中档题。只要大家把这两个常见的形式套路掌握清楚，那么我们在做题的时候啊，要知道他怎么处理这种问题，那这一类题目就迎刃而解了。

是二零一四年数学二的一个考题，他说 f x 等于 r， 可弹性的 x， f x 等于 x 乘 f 一撇可 c， 这个要求 x 曲线零的时候， x 方分之可 c 方这个极限。 但这个式子是谁啊？怎么来的呢？身上就是拉格朗日终止定理，因为大家知道 f 零等于谁啊？零啊， 所以这个 f x 就是 f x 减十 f 零，那他给你拉格朗人重定力，就等于 f 一撇可 c 乘上 b 减 a， b 减 a 就是 x， 所以这个可 c 就是拉格朗人重的定力出来那个可 c， 最后要求这个中值与 x 平方之比这个极限。那当然你看出这个，你先得写出这个式子， 得把可 c 表达出来呀。那 f x 等于 ok， 它就等于 x， 这个 f x 等于它实际上就是谁就是 x 等于等于 f 一撇可 c 一加可 c 方分之一乘 x， 这就是你给我的式子，你不是让我求这个极限吗？那我从这个式子是不是可以反解把可 c 方解出来？ 那么大家看，我们解一下可 c 方是不是就等于 x 减阿克三里体除阿克三里体， 你让我求这个极限，那就两边大家同除个 x 平方，同除 x 平方求这个极限，那就比较简单了，大家知道阿克泰宁田等价 x 下面 x 地方， x 减阿克泰宁体等价于三分之 x 地方等价 代换，立马算出这个极限三分之一。这是二零一四年数学二的一道考题，实际上这种就叫做考你这个拉格朗日终止定的一个终值的相关极限。 解的方法是什么？就是根据拉格朗日终止定点，把这个终止可 c 先解出来，你这要平方，我就解个可 c 平方，然后呢？大家除一个谁啊？ x 平方，那就这个极限。

各位同学大家好，下面我们来看这道题，说函数 fx 再 x 等于零，这一点是连续的， 并且呢， h 去向零的时候， f h 的平方除以 h 方记下等于一则 f 零等于零， f 在零点的左倒数存在， f 零等于一 f 在零点的左倒数存在， 那这个呢？说 f 零等于零， f 在零点的右倒数存在，这个说 f 零等于一， f 在零点的右倒数存在。实际上你看这个主要是两个条， 一个是零点连续，一个是这个极限等于一，到底能得到下面哪一个？那么这个题拿到以后啊，首先我们注意到这个条件，这是个商的极限 啊，商的极限存在，并且注意父母又去向于谁啊？零， 那这个时候我们立马得到谁啊，这个分子就去下于谁，去下于零啊，这是一个常用的阶段啊，就是商一旦存在，这个时候呢，从分部去下零，立马得到分子去下零，这是经常会用到一个基本阶段， 那这个时候呢？注意分子的极限等于零，那 h 是区下零的，这个时候，你注意他又是连 连续的，那我根据连续性呢？那我们就知道哦，这个 h 去向零的时候，这个 fh 方极限就应该等于谁啊？ f 零，这用到了连续性， 然后呢，根据双重在分母极限零，分子有极限零，我们又得到分子极限等于零，所以就可以得到 f 零等于零， 然后进一步注意，他问到了左倒数，右倒数，那这个时候呢，大家注意，从这个极限等于一，我们到底能得到什么？ 实际上呢，大家看这个机械等于一，这个时候就可以写出来谁啊，就是 h 去向零的时候，然后这个 f h 的方 减，去谁啊？ f 零，因为 f 零等于零啊，然后除以谁啊？ h 的平方这个极限存在等于一。那么大家注意，如果这个地方呢，没有平方，这是 f h 减 f 零除以 h， 这就是零点导数的定义， 那这个机械等于一，就能推出灵感导数等于一，但是现在呢，因为改成了 h 方， 那么这个时候呢，主要是要注意这个问题。哎，此方固然也是曲线雷， 但是呢，注意他只能去向于谁啊？只能去向林，正从大一里这一片去向林。那么大家注意，当我们的导数电影里边那个德尔台 x， 如果仅仅是 去向领证的话，那我们知道那个机械得到的是谁，那只能得到诱导数存在， 所以呢，就从这个地方，这个极限等于一，我们只能知道谁啊，就只能知道他在零点的这个零点的诱导数存在，并且等于一。 那么所以呢，就这个题，我们最后能得到的结呢？那就是他在零点的这个右倒数存在啊，但是不能得到左倒数存在，因为这个 h 方，他是从大于零的一边去向零的， 所以我们最后的结论就是零点的函数值得于零，而零点的诱导数存在， 所以这个正确的选项应该是 c 选项就是零点函数值等于零，零点诱导数存在。那么这个题呢，主要考的知识点是，一个就是连续的概念， 一个就是商的极限存在，分子去下定，分子一定去下零，还有一个又考到倒数的定义。 当然如果这个题要改造一下的话啊，大家注意，那这个结呢，就又不一样了，怎么改造一下呢？如果我把这个里边的 h 平方我写成负 h 平方， 那么这个时候注意负 h 方他可智能从小于零等于被计较的，所以这个时候就推出 f 零等于零，零点 的左倒数存在。那么如果我把里边呢改成谁呢？这套如果写成 h 的三次方，那么这个时候注意，他既可以计较零阵，也可以计较零负，那他就能推出谁，他就能推出零点的倒数存在。 所以这个地方这些细节需要注意。好，这就是这个题求解的关键。