闵可夫斯基几何

今天要介绍的这位大佬可就厉害了，爱因斯坦是二十世纪物理学界的顶峰人物，任谁见了他都得恭敬三分，可今天的主人公呢？敢破口大骂爱因斯坦是懒驴，还骂的爱因斯坦一点脾气都没有，你可能会想，这个人是不是无脑狂喷呢？ 会议他可是当时公认的比爱因斯坦更懂相对论的人，他关于相对论的论文，就连爱因斯坦也看不懂，爱神不会的地方还要专门来请教他，而广义相对论的提出，他在其中有着一半的功劳。爱因斯坦之所以能够走上物理研究的道路，希尔伯特之所以能够走上数学研究的道路， 都和这个人有着千丝万缕的联系。然而这个人的名字你可能都没有听说过，今天就让我们来了解一下二十世纪科学界的终极隐藏大佬，民客 民可夫司机于一八六四年出生于俄国的亚里克索塔斯，在家中排行老三，他的父亲是当地一个赫赫有名的大老板。 如果不出意外啊，米可夫斯基将会继承老爹的遗产，享尽荣华富贵，可天有不测风云。米可夫斯基八岁那年，他们一家人被沙皇政府迫害，于是逃到了普鲁士的哥尼斯堡，在那里的一处小河边安了家。 哥尼斯堡是当时欧洲的重要学术中心之一，沙皇的这一杆直接给世界的未来赶出一个企业家，一个医学家，一个数学家，甚至是一次物理学的革命。 米可夫司机家中有三兄弟，当中老大继承了父亲的商业基因，成为了一个成功的商人，为家族赚的盆满钵满，二哥后来成为了医学家，发现了胰岛素和糖尿病之间的关联，被 为胰岛素之父。而老三米可夫斯基的故事可就更厉害了，刚刚淘到哥尼斯堡，父亲就把年幼的米可夫斯基送入了当地的学校。可能是觉得一二年级没有什么压力，学习内容太简单了，于是直接让米可夫斯基上了三年级。 对于这种安排，米可夫司机觉得非常的不适应，你怎么能把我送进三年级呢？这不是小看人吗？三年级课堂上的所有数学题目，米可夫司机几乎看一眼就会了，其他人只要有什么数学问题都来请教他，他马上就可以给你搞定。米可夫司机不仅像是一台能解决任何数学问题的超强计算机， 更像是一台数学老师的专属复读机。老师课上讲了什么，他在课下给别人讲解的时候，甚至可以一次不差的完整的复述出来。当然，拥有如此超强的记忆力，在文化领域里也不会差了。那时的他书读了莎士比亚 歌德喜乐的文学著作，由于超强的记忆力，歌德的福士德他几乎可以全篇背诵，原本读八年才能毕业的大学预科学校，他五年半就全学完了。而且啊，米可夫司机和希尔伯特从小就是同学，两人从小关系便非常好。 米可夫斯基比希尔伯特小了两岁，但却比他早一年毕业。后来他们二人都去往了当地的哥尼斯堡大学读书，友谊也持续了一生。 进入了大学，米可夫司机完全没有改掉读中小学时开挂的特性，反而开的更狠了，他居然把一个全球数学家都没有成功解出来的数学难题给三下五除二解决了，这是咋回事呢？ 话说那年呢，法国向着全球数学家放榜的一个问题，请证明任何一个正整数都可以表示成五个平方数之和。这个题目很容易理解，但往往是这种题目 明显的数学问题证明起来是最棘手的。就像费马大定理，题目一看就懂，可是成功证明他人类却花了将近四百年。法国科学界公布了他们的问题之后，一众数学家都想成为那个解决问题的人，可却都纷纷败下阵来。 米可夫司机觉得这道题目非常有意思，于是主动接榜。最后他写了一篇长达一百四十页的论文，成功将这个问题给解决了。米可夫司机最后又在这一百四十页的论文上继续深入，最终得到了著名的米可夫司机约化理论和米可夫司机原理， 顺手开创了突体几何这个新领域。一八八三年，法国科学院正式宣布，在全世界众多数学家当中，最终获得奖项的是十八岁的少年民可夫司机。一个十八岁的孩子，解决了全世界数学家都没有解决的问题，这简直太逆天了， 整个数学界都知道了，哥尼斯堡有民可夫司机这样的一位数学天才。民可夫司机之所以能够如此逆天，和他的生活习惯是分不开的。在平日的大学生活当中，他都在干什么呢？ 他对各种玩乐都没有兴趣，就觉得数学有意思，每天的下午五点都和希尔伯特相约在学校的一个苹果树下讨论数学问题， 而且还专门讨论那种最前沿的。在与米可夫斯基的交谈当中，希尔伯特也收获了许多。若干年后，希尔伯特也成为了一名伟大的数学家。回忆起当初与米可夫斯基每天的交流，他讲到，我没想到啊，那些经历竟然会把我带的这么远。 希尔伯特终其一生都非常崇敬米可夫斯基，将其视为自己努力的榜样。两年后，米可夫斯基在哥尼斯堡直接取得了博士学位，接连去了波恩大学、哥尼斯堡大学、 苏黎市联邦工业大学担任教师。他在几期数论、代数、几何等多个领域当中都做出了非常重要的贡献，把高斯的二次行理论扩展到了多变量的情形，还在数论当中引入了格林等概念，丢翻土笔记也是他最早提出的概念。 凭借这些成就，他就已经足够继承当时世界顶尖数学家的行列了。历史上大部分的著名科学家都不太会给学生讲课，而米可夫司机是个例外。在教书育人这方面，米可夫司机同样也是成果非然。 米可福斯基的数学课以幽默风趣而著称，学生们在私下都称米可福斯基为数学诗人。数学界的莫扎特与那些站在讲台上就开始宣读教案的老师不同，在课堂之上，米可福斯基特别在意 教师与学生们之间的互动，有时候学生在下面提出了什么奇奇怪怪的问题，他也非常乐意放下教案，为学生们主动解答。关于米可夫斯基的讲课，其中就有这样一则的故事，在一次拓普课上，一位学生问道米可夫斯基， 为什么四色猜想一直都没有被证明呢？米可夫随即听到了这个问题之后，马上就放下了教案，自信满满的说道，这是因为四色猜想太简单了，那些厉害的数学家都不愿意花时间去研究这么简单的问题，你们不信我下课前就可以把它证明出来。 米可夫司机马上拿起粉笔在黑板上正面起来，可是他一直证明到了下课铃响也没把这个问题解决，让场面一度陷入尴尬。他在离开教室之前给学生们打了个保票，说自己下节课之前肯定能把这个问题给成功解决。可结果呢？下堂课的时间到了，米可夫司机还 还是没成功。其实他完全没有预估到四次猜想究竟有多难，直到一九七六年，科学家们才靠着计算机历时一千二百个小时使用穷局法才证明了这个猜想。所谓的穷局法就是把所有的可能性全部试一遍，最后确定出来这个猜想是对的。而靠着数学推演证明这个猜想， 一直到今天也没有数学家能做到。下节课的时间到了，学生们都期望听到米可夫斯基将四次猜想成功证明的消息。 女子夫司机一踏进教室门，一道闪电划过天空，米老师借色对学生们开玩笑说，哎，看来上天都看不下去我的骄傲自大呢， 我的伟大证明失败了，惹的同学们捧腹大笑啊。林克夫司机用他的亲身经历对学生们说明的，无论走到了什么地位，都千万不要骄傲自大，在要求严谨的数学领域，更不要随意给别人打保票，当时喊 只能证明四次，猜想自己就是一个反面教材。米可夫司机在课堂上就是这么一个有趣的人，有无数的学生因为米可夫司机的讲课而踏入了科学研究大门。然而他这一生最最重要的一位学生，正在他讲课的时候偷偷溜到外边开心快活呢。 这位学生的名字叫做二伯特爱因斯坦。 爱因斯坦在大学时期对物理学有着远大的抱负，期望将来能够成为一个名垂青史的大物理学家。可是他对数学却没有多大兴趣，他觉得自己的数学知识只需要能够满足基本的物理表达就足够了，学多了没有用。他的物理成绩非常好，可是综合成绩却是次次垫底。 根据学校的要求，爱因斯坦要在一个学期内完成民可副司机九个门类的数学课，可爱因斯坦一节都不想听，总是 把课撬了出去溜达。对于爱因斯坦这样的表现，米可夫斯基曾怒骂爱因斯坦是懒驴。虽然米老师嘴上这骂他，但是他也看得出来爱因斯坦对物理学的兴趣，平日里他也不乏对爱因斯坦进行一些思想上的引导。有一次，年轻的爱因斯坦向他的老师米可夫斯基请教道， 如何才能在科研方面做出杰出的贡献，在科学史上留下自己的足迹呢？民可夫司机觉得光是嘴上的说教没有意义，于是将爱因斯坦带到了一个建筑工地里边，让他在刚刚铺好还没有完全凝固的水泥地上踩一脚，这一脚踩下去，马上就在水泥地上留下了一个深深的脚印。 接着米可夫司机说到，只有在崭新的他人尚未涉足的领域当中行进，才能留下自己的足迹。而那些年过已久已经被无数人踩过的地面，要想留下足迹就非常困难了。 做学问也是这样，要去寻找那些他人未曾涉足的领域，一直重复前人道路是永远都不会有收获的。米可夫司机没有料想到那个综合成绩次次倒数的学生居然真的在毕业之后实现了当初的愿望。 那个孩子在专利学就业时提出了震惊世界的狭义相对论，不只是踏入了一个前任未曾设计的新领域，而且在当初牛顿铺下的水泥地上又盖了一层水泥，让无数的科学家能够再次留下足迹。 米可夫司机知道这件事情之后，可谓是又惊讶又开心，同时也深感当初自己对爱因斯坦的了解太少了。于是他开始对自己学生的成果进行了一番仔细研究，成为了当时世界上为数不多能够完全理解侠义相对论的人。米可夫司机看到爱因斯坦的理论非常精彩，但是数学表达 却极其粗糙。早知如此，当初爱因斯坦在逃污数学课的时候，自己拼了这条老命一定把他揪回来，只恨当初没下去手。为了弥补当初的过错，米克夫斯基决定亲力亲为。 爱因斯坦没写出来的东西我帮他写，主打的就是一个终身学徒制和一对一的辅导。他在相对论的理论当中，将时间这一坐标和三维空间坐标进行了结合，由此构成了一种四维空间，后来人们将他称为是米可夫司机空间。 现在许多人对于四维空间理解就是三维的空间加上一维的时间，这个认知实际上就来源于米可夫司机的理论。 在相对论刚刚问世的时候，很多人都无法理解这些超越性的理论。为了能够让世人了解到爱因斯坦的贡献，米克夫斯基在各种科学会议上发表演讲，发挥出了多年来积攒下来的教学经验，为听众们深入浅出的 讲解相对论，让更多人认识到了这个理论是何等重要，爱因斯坦是何等的伟大，真正做到了带着刺激的学生从科研入门走向了名垂青史民。可夫斯基的数学能力太过于高深了，他为爱因斯坦的狭义相对论所撰写的论文，就连爱因斯坦也看不懂。爱因斯坦终于明白了 自己当年逃的那几节数学课，如今的自己居然真的要加倍偿还很多的物理学知识，如果没有高深的数学理论作为支撑，是建造不起来的。 从那段时间开始，恩斯坦开始恶补自己的数学，于是潜心修写了七年弥漫几何，一九一五年， 爱因斯坦根据自己老师在狭义相对论当中提出来的数学形式，以及这些年来学到的几何知识，将狭义相对论扩展到了广义相对论，从此变革了时间、空间与物质的概念， 给物理学带来了新一轮的革命。应该说相对论体系的出现，米可夫斯基在当中都有着极其重要的贡献，我想就算把广义相对论的功劳分一半给米可夫斯基，爱因斯坦都会非常赞成。 在广义相对论诞生之后，爱因斯坦想必会好好的感谢自己的老师吧。没错，爱因斯坦对米可福斯基充满了感激，然而这份感激他的老师却永远都收不到了。 正当米可夫斯基也迎来自己事业的高峰期的时候，厄运降临在了这位大科学家的头上。一九零九年一月十二日，米可夫斯基的急性阑尾炎突然发作。这种病症在现在治疗非常简单， 可是在那个没有青霉素等消炎药的时代，一次阑尾炎可能就是致命的。民可夫司机经抢救无效，事实去世时年仅四十五岁。民可夫司机的好友 已经成为大数学家的希尔伯特赛，听说米可夫司机的死讯后，竟止不住悲伤，在大学课堂上嚎啕大哭了起来。他从小就是我最亲密可靠的朋友，他以特有的宽容与真诚一直支持着我。尽管我们已经阴阳两隔，但他的精神永远活在我的心中， 我将带着这份精神继续前进。在科研的道路上，爱因斯坦终其一生都非常怀念米可夫斯基，他将米可夫斯基看作是自己走上科研道路的引路人，如果没有他，自己就不会站到二十世纪物理学界的顶峰。 当年老的爱因斯坦谈起自己的人生经历的时候，常常会提到自己的老师民可夫司机，称颂民可夫司机是一位出类拔萃的老师， 终其一生，他都做了一名优秀的朋友，优秀的老师，优秀的学者。尽管他的一生非常短暂，但他为世界所留下的东西却将永世长存。

注意看，在一个负平面上，我们用 x 轴来表示实步，用 i 轴来表示虚步，于是乎，一个负数就可以表示为负平面上的一个点。然后，当我们要求一个负数的摩长呢？那就需要把实步和虚步带入到勾股定律里去，于是就得到这么个摩长公式。 不过慢着点，爱因斯坦的数学老师 mink 司机在这里产生了一个疑问，他说了，嗯，不对，徐数就是徐数，凭什么在计算摩长的时候就变成时速了呢？ 你一会识数，一会虚数，那不就是在逗我玩吗？做人呢，就是要主打一个坚定不移，所以干嘛我们不直接这样子来计算摩擦呢？于是闽式几何就这样诞生了，他就是以这个公式来计算距离的几何空间。我们从初中就开始使用的几何空间，叫 做欧吉利德空间，或者说欧式空间。我们在欧式空间里画一个单位圆，哎，他就是这么个样子，在这个圆桌上的任意一个点的坐标就是这样的，因为正弦和余弦正好就符合勾股定律。 那如果我们在闽式空间里画一个单位圆呢？哎，他居然是这么个样子，他是个双曲线 在这个闽式单位源上的任意一个点的坐标呢，就是这样子的，因为双曲正弦和双曲余弦也正好就符合闽式空间的勾股定理。也就是说，在这条双曲线上的点，他们与原点之间的闽式距离居然是相等的，都等于一 好。现在我们来看看这两套公式里的参数。 t 在欧式几何里，这个 t 其实表示的就是角度了，只不过是用弧度来表。 是的，那在闽式集合里，他是不是也表示角度呢？这个呢，就要看你怎么去定义角度这个概念了。 在欧式几何里，我们用弧长除以半径来定义角度，那么在单位圆上呢，角度就等于弧长，非常的简单明了。然而，在闽式几何里，我们需要考虑复数和虚数作为质变量， 所以用旋转角和弧度就不合适了。不过呢，这可难不倒那些有着狂野想象力的数学家们，他们说了，即使是在欧式结合里，我们也不一定要用弧长来表示角度啊。比如我们把一个圆按相等的旋转角切分成相等的扇形，那么角度就可以表示为这些扇形的面积。 具体来说，因为扇形面积等于这么个公式，我们稍微移一下相，就会得到，角度其实就等于扇形面积的两倍。如果我们用这个地 定义来定义闽式空间里的角度呢，那就完全没有问题了。所以在双曲函数里的参数 t 或者说双曲角度就等于这么个形状的面积的两倍。现在两个空间的角度定义和正余弦都有了 背角公式呢，那当然也是有的啦，我们可以对比一下两个空间中的背角公式。哎，长得那也是相当的相似啊。那同样的合差公式以及合差画基和基画合差，那也都有相应的公式了。 有没有感觉到，这个闽式空间和欧式空间非常的相似？正因为这种相似性，所以科学家们又把这个闽式空间叫做伟欧空间。 这里的伪呢，跟伪娘的伪可是不一样的哦，他并没有什么贬低的意思哈，纯粹就是说这两个空间实在是太相似了。嗯，很有意思，不过有朋友要说了，就 这么随随便便定义一个距离公式，然后就建立了这么一整套奇奇怪怪的几何理论，这个事有没有可能是在瞎搞啊？哎，如果你就是这么想的，那么恭喜你，因为爱因斯坦最开始跟你想的是一样的。这里就不得不说一说爱因斯坦和明克夫斯基之间的师生关系了， 这是一对相爱相杀的关系。 mink 司机还在中学时代就已经超越当时欧洲的很多大数学家，在十几岁的年龄就已经获得法国科学院大奖。 很巧的是，未来的数学巨星希尔伯特跟他小时候就住在同一个结局，他们俩可以说是打小就是邻居，这种巧合整个人类历史上也是很少有的啊。 所以希尔伯特小时候最崇拜的人呢，就是明克夫斯基，他想去跟明克夫斯基交朋友，当时他老爸居然还劝他说，人家现在可是获科学院大奖的超级明星， 你不要去自讨无趣了。不过不久之后呢，他们就进入了同一所中学，并且成为了一生的挚友。明克夫斯基后来去苏黎世大学做了数学教授，他的班上有一名很懒散的学生，名字叫做爱因斯坦。 这名学生的数学呢，实在是一般，完全跟不上老师的教学节奏，于是经常在上课的时候睡大觉，作业也不好好做。于是民口司机那是相当的生气，就当着全班同学的面骂爱因斯坦是条懒狗。 后来爱因斯坦毕业之后发表了有关狭义相对论的论文，从而一举成名。明克夫斯基在看到爱因斯坦的论文之后，对希尔伯特说， 哎，这不就是那条懒狗吗？希尔伯特都被整无语了，说人家现在可是物理街最火的大明星，怎么就是条懒狗呢？ mincofsg 于是对自己学生的理论产生了巨大的兴趣，不过他发现按 斯坦使用的数学工具实在是太原始，感觉都上不了台面，于是就借用视频前面说的双曲函数为侠义相对论量身打造了一套闽式几何。 然而爱因斯坦看到后说了啥呢？首先他一开始根本就没看懂，然后他多少还是对那个男狗的评价有点记仇，于是公开评价名师几何。狭义相对论根本就不需要这些花里胡哨的数学理论。直到一年之后，他彻底搞明白了人家名师空间的理论， 这才发现这套理论极其强悍，他不仅把狭义相对论梳理的清清爽爽，而且为广义相对论打下了坚实的基础。 爱因斯坦呢，毕竟是个有格局的人，他于是马上又公开向他的老师道了歉，并且在之后的学术生涯里对闽式几何给出了极高的评价，把它作为相对论的核心理论之一。好了，今天我们了解一下双曲函数与三角 函数之间的相似性，以及闽式空间与欧式空间的相似性。这是数学想象力的一个最好的例子，可以说数学真的并不抽象，恰恰相反，他是一个充满各种疯狂想象力的有趣学科。 下一期视频我们将继续探索那些疯狂的数学空间，感兴趣的朋友请千万别忘了点赞加关注，谢谢大家，拜拜！

今天来讲一个数学家敏可夫斯基的小故事。 名可夫司机出生在俄罗斯，不过他的数学研究生涯都是在德国度过的，他是希尔伯特的同事和最亲密的朋友，四十五岁因狼狈破裂而去世，真的很可惜， 宁可副司机也是数学神童，十七岁就发表了一篇长达一百四十页的德文论文，是关于二次型的一般理论， 而他的理论可以解决把一个整数表示为五个完全平方的整数之和，这个可是在当时 悬赏多年的数学难题。也是凭这篇论文，名可夫斯基获得了法国科学院的数学科学大奖。 名可夫司机的天才在于他把几何方面的结论通过想象用到了数论方面，比如说椭圆对应于某些整数式妥球，又对应于其他的数论表达式。 通过这些对应加上严密的论证明，可夫司机竟然把一些几何定理用到了数论上面，还产生了一些非凡的结果， 这对一般数学爱好者来说简直就是天方夜谭。所以说数学有很多用武之地，关键是你敢不敢想， 想到了你又有没有能力把你的想法通过严密的论证，得出别人想不到的结果。宁可副司机在物理学上也有很大贡献， 他的四维洛伦兹斜变成熟，后来被爱因斯坦用到了广义相对论之中。 所以说，铭可夫司机也许是世上少有的真正理解时空关系的人，他的几何直觉天分还用在了解释，后来被命名为麦克思维。铭可夫斯基的电动力学 天才的思想得到了充分的发挥。唯一叫人割办叹息的就是一个小小的阑尾炎，没有注意及时就医，四十五岁，人生就画上了句号。

好，来，我们看这题，我把前面的文言文给简化掉了啊，那现在这个题目其实很简单啊，就是把这个枯木看作一个圆柱体，这个圆柱的高呢，是二十尺，底面的周长是三尺，现在有一个葛藤， 从点 a 一直缠绕而上，绕五周，也就绕五圈之后啊，刚好到达 b 处，问这个葛藤的最短长度是多少尺？这个其实就是我们勾股定理啊，用来解决这个立体几何当中的最短路径问题， 那么我们是要把它转化成平面之间两点，平面上两点之间线段最短来做的啊，所以我们的思路就是把这个圆柱啊，把它的侧面给它展开。哎，先得到这样一个举行，那我们注 一下，如果 a 点在这里，注意 b 点是在这个位置的啊，有同学说，怎么不在正上方啊？你想一想，你再把它回过头卷过去，卷成圆柱以后，那这个 b 点在这个位置，那么他是不是在一条啊，铅垂线上的 啊，就是这个啊，那绕五圈的话啊，我们先从简单的来说，如果是绕一圈的话，那很简单，我们两点之间线段最短，我们直接把展开图以后啊，把 ab 连起来啊，所以这个最短路径其实就是线段 ab， 那你再把这个再把它卷成圆柱状以后啊，这个 ab 就会形成一个螺旋线啊，那如果是绕两圈呢？ 我们看到第三个图啊，其实我只要画两个这样的线段就行了，那需要注意的是啊， cd 两点， cd 两点啊，在同一条水平线上。有同事，你这个画的两圈怎么 啊？这断开了对不对？他不是一根葛藤啊，我这个是展开图啊，你把它卷起来以后看一看啊，卷成圆柱以后， c 点和地点是不是重合的哎，刚好两圈， 这两两圈螺旋线，那其实这个地方就有一个问题了啊，如果是卷两圈最短的话，就是我这个平面展开图里面 ac 加上 bd 这两个线段之和最短吧。 那你怎么说明这个虚线，我这个虚线在什么位置呢？对不对？我虚线可以上下移动， 也就是说我这两圈啊，这两圈隔层他的这个竖直之间的距离可以是调整的，对吧？那同样的，如果是五圈的话 啊，我们要把它分成五段吧，切成五段哎，然后画五个这样的线段啊，所以这题的问问题啊，这个问题难就难在哪里呢？我怎么说明是将它分成五等分，它的高是二十尺， 当然我们可能直观的去猜想啊，二十是平均分成五等分的话，那么这个五个线段之和是最短的，对不对？那怎么去严格证明呢？来，我们看一下啊，也就是说我现在要使得这 五个线段啊，这个 a 这一条啊，这中间的五个斜线段之和最小吧。那我们现在呢，我的思路就是通过平移，类似于我们几何里面的啊，将军硬马平移线段， 哎，我们看一下右边这个图，我把这个第二条线段啊，平移到这个位置，使得这个点 我变成 m 点吧，和这个点恩点重合， 哎，相当于把它平移过来，然后呢，再把这条线段上面的啊，这条平移到这个位置，也使得这两个线段有一个端点，对吧？公公共端点。那同样的啊思路，我们把 这上面的全部平移过来，那我就得到是不是这一段折线啊，一二三四五条折线。好，然后到达 c 点，然后我们发现啊，这个 ac 两点之间的水平距离和数值距离是一个定值，为啥呢？ 我们看一下这个 an， 我这里再标一个 p 点吧， pq 啊， 我们发现这个 nq 是等于 mn 的啊，也就等于三尺原来的这个底面的周长。 那严格，如果要证明的话，我可以证明这两个三角形怎么样全等，因为我是平移的吗？平移得到这样一个平行线，对吧？得到一个平行四边形斜边相的啊，然后 这个同位角啊，又是直角三角形，很容易挣到全等，所以这个 nq 啊，是等于 mn 的，也等于三尺。那同样的思路，我们发现这五条折线，他的水平距离都是 三啊，三尺，所以 ac 之间的水平距离啊，是不五个三啊，也就 ad 啊，他是等于三五十五尺的，而 cd 显然是等于原来枯木的高吧。啊，就是二十尺， 是一个定值。哎，那是一点，其实是固定的，所以的话，要使得这五条折线的和最短，我们根据平面，对吧，两点之间，线段最短，两个定点之间，哎，折大于直，所以当他贡献的时候啊，他取到最小值，最小值就是 a ac 的长度，那我们根据购物定理啊，是很容易算出 ac 的吧。啊，这个地方还有一个技巧，对吧？找二十五和二十的最大供应数是五，所以 ad 是五乘以三，那 cd 是五乘以四，那么斜边就是五乘以五，二十五啊，很容易算出来， 那么我们来验证一下，能不能划去为止，一定要验证对不对，能不能得到取等的条件啊？完全可以啊。啊，如果要让这个划去为止，要让他们贡献，也就 n 点， p 点，还有这个点啊，还有这个点，对吧？ 啊，这些点能贡献，怎么样才能使得贡献呢？如果他要贡献的话，我们发现这两个角应该是相等的，那么这两个直角三角形是不是应该全等？这个 pnq 和这个 n a， 我边上 t 吧，哎，如果他们全等就能贡献了吧，因为 nq 他是等于 at 的呀，啊，又是直角三角形， 如果这两个角相等就能贡献，而如果啊全等的话，啊，全等以后他就能贡献，那这个时候 pq 是不是要等于 nt 啊？对应别人要相等啊。那么同样的道理，我们是不是得到 这五段的竖直的，这五个折线的竖直距离也应该相等，也就是说当我把这个原来的枯木啊， 哎，把这个间距分成五等份的时候，然后画五个这样的折线的时候，这个葛藤它的总长度是最小的。那么我们有一个很重要的思想，塑形，结合思想啊 说这个图可以用来证明一个不等式的，我们看一下啊，我们看到左边这个图，我把这个二十尺竖直了，分成五段 abcde。 好， 然后我们发现这五个直角三角形，这个这条直角边是不是都是三啊？都是三，所以呢？这右边的这个五个折线的和不就是斜边之和吗？我们就根据勾股定语，是不是根号下 a 方加上，你看第一个直角三角形三的平方是不是九啊？再加上第二个是根号下是 b 方，加上九。另一条直角边都是九嘛，再加上根号下 c 方加九，再加上根号下地方加酒，再加上根号下一方加酒。哎，这是这五条折线的核是不是要大于等于 ac 的呀？啊， ac 刚刚算算是多少来着， 脑子不好了，给忘了。是不是十五二十五啊，大于等于二十五。什么时候取到等号呢？ abcde 相等的时候。那么我们把这个不等式做一下延伸，就可以得到大名鼎鼎的名可夫斯基不等式。 一看司机啊，应该是俄罗斯的是吧。好，这个不能是这么说的啊，在正数范围内，也就是 abcdef 啊，这些数都是正数根号，像 a 方加 b 方 加上根号下， c 方加地方，再加上根号下一方加 f 方，是大于等于根号下啊。把每一个根号里面前面的三个相加 a 加 c 加一括号的比方，再加上后面相加 b 加 d 加 f 括号的比方，当且减到什么时候取等呢？ abb 等于 cbd 等于一比 f 十取等号。 当然啊，他不一定是三组四组，五组六组啊，证书都可以啊。那我们来验证一下，我们可以通过塑形结合一样的思路啊，你看 a 方加 b 方，想到勾股定理吧。哎，所以我去构造一个这样一个直角三角形，两个直角边分别是 ab， 那同样的，再构造第二组 c 和 d 这样一个直角三角形，注意啊，让这个端点连起来，对吧，攻端点那一样的 ef 啊，当然这些直角边分别要水平和数值 这样相见啊。所以这个不等式的左边就是什么东西呢，你会发现是不是斜边之河啊， 这三个斜边之和而不等式的右边是啥东西啊？ a 加 c 加 e？ a， 我们是不是通过平移的思想把这个 c 平移到这里来，把这个 e 向下平移平移到这里来，所以他实际上就是 ah 吧，哎，更好，里面就是 ah 的平方，加上 根号下一样的 bdf 是平移到右边去，是不就是 bs 的平方？哎，所以我们用这个几何图形就很容易解释了。你看这三条斜边的和，是不是啊？ 大于等于这个 ab 的直大，这个 as 方加 bs 方，根据购物定理，是不是线段 ab 啊？啊，折大于直对不对？那什么时候取到等号呢啊？一样的， 如果要去贡献，对吧？这三条折线斜边要贡献，那贡献的时候啊，是不是让这两个角相等就可以了，就能做到贡献了啊？我边上搅一和搅二， 那这两个直角三角形那就是相似的，就不再是全等了，因为前面的图形他那个我们已经正到了，他水平宽是一样的，对吧？水平方向是一样，所以全等，那这里 a 和 c 他不一定相等啊， 哎，所以他是相似的啊，只要这两个直角三角形相似，那么就能得到角一等于角二，那要满足相似，是不是？我只要让 abc 等于 bbd 啊，或者我改写一下， 是不 abb 等于 cbd 啊？哎，这这两个笔直实际上就是角一的和角二的，什么鱼切直就正切直的倒数了，对不对？哎， bba 等于 dbc 嘛，改写一下，正切直相等，这两个角就相等就贡献啊，一样的，也等于一比 f 的时候。 那这个不等式有什么应用呢？我们可以具体的看一道题啊，三个数是正数，又知道和等于十二，要求这坨的最小值。哎，那我们我们根据前面的 不等式，这一坨啊，我就不写了啊，他是不是应该大于等于什么？四，可以看到二的平方，九十三的平方，十六是四的平方，是不大于等于根号下怎么样？ 括号里面前面这一坨是把哎，每一项第一项的底数相加吧，也叫 a 加 b 加 c， 括号的平方加上，那另一坨是谁的平方呢？就是后面这一项相加，底数相加。注意了啊，四九十六，底数是二 三四，注意是正数啊，这个不等式的使用范围对吧？是正数，那这个值完全可以算出来呀， a 加 b 加 c 是十二啊，就是根号下十二的平方加上根号下九的平方啊，啊，最小是完全可以算出来，但是一定要去验证一下取等的条件啊，根据我们前面的结论，是不是每一组的底数之比要相等啊，也就是 a 比上 四十二啊，他的底数是二，应该等于第二组的 b 比上三，应该等于第三组的 c 比上四吧，而他们的和又等于十二，所以根据这个比例，我可以把 算出来的啊，我可以假设 a 等于二 k， b 等于三 k， c 等于四 k， 因为二比三比四吗？对不对？当然 k 是正数啊，然后一加七八九九个 k 等于十二吧 啊，所以 k 就等于三分之四，那么可以算出 a 等于三分之八， b 等于四， c 呢，等于三分之十六啊，是可以取等的啊，取到这个最小值的。

大家好，今天我们来介绍一下民客服司机不懂事，用来解初中数学的问题。那么首先介绍一下什么是民客服司机不懂事。首先民客服司机的话肯定是一个人名，他是德国数学家。啊，我刚读到的时候还以为是俄国的数学家呢。啊，是德国的， 那么他的一般形式，这个一般形式的话，用到了这样一个求和、累和的符号，高中同学肯定是可以看得懂的。咱们首先举一个例子吧，比如说他说这个指数呢，是要大于一的，就这个位置 大一的话呢，咱就取一个 p 等于二，然后这个 n 的话，因为有累和，咱少写一点吧。 n 等于三的时候，那么展开的话，其实也就是 x 一的平方加上 x 二的平方，加上 x 三的平方， 然后他的话应该写成二分之一次方，但是二分之一次方我们经常是写成根号下的，对吧？这是一样的二次根，是吗？ 然后再加上多少，再加上这个是 y 平方， y 二平方，然后再加上 y 三的平方，他是大于等于多少？后边也是一个累和符号，咱们直接写啊，大于等于二分之一次方，就是根号下 x 一加 y 一， 然后 x 二加 y 二平方，然后 x 三再加上 y 三，括这个平方，就这样一个整体，他的取等条件就我写的这样一个取等条件啊，明克夫斯基不等式，他的取等条件就是 x 一 x 二 x 三， y 一 y 二， y 三是成比例的，也就是说 x 一比上 y 一， x 二比上 y 二， x 三比上 y 三，这样才能够取到等于号。其他任何的时候呢，都是严格的大于号，这个是一般形式，那么我们主要用到 什么形式呢？用的最多的是二元的形式，就是当这个 n 等于二的时候，也就是说这个根号里头啊，或者说这个括号里头呢，有两个元， x 一 x 二 y 一 y 二，对吧？有两组元吧。 那么初中主要用哪种形式呢？用的是这样一个根号下 a 方加 b 方，对吧？然后再加上根号下 c 方加 d 方大于等于，注意是 a 加 c， 再来个 b 加 d 括这个平方开一个根号就可以了， 它的取等条件其实就是弱化版的，简化版的敏口服司机不等式 a、 b， c 等于 b 比 d 的时候能够写到等于号，其他任何时候呢？这个位置都是严格的大于号， 那么我们证明一下吧，初中这个形式还是非常容易证明的，看你想证明。原来这样一个不等式，其实只需要左右两边分别平方，左边平方很简单吧， 平方平方还有个二倍的交叉项，二倍的他乘他，那么右边平方的话，直接把这个根号去掉就行。右边我们再处理一下，把这个括号打开，根据完全平方和公式，对吧？所以说其实这个不等号右侧的话， a 方 c 方 b 方 d 方其实都还是有的，对吧？还有个二倍的 a 乘 c， 二倍的 b 乘 d， 所以你看左边左边是不是有 a 方 b 方 c 方地方右边也有，所以说相同的部分呢？我们就首先划掉了，其次这有个二倍吧，左边这个二倍消掉，右边这个二倍也消掉。所以想要证明这个式子，其实我们只需要画取相同的部分，把二消掉就行了，只需要证明谁啊？ 只需要证明这样一个大于等于号，怎么证明呢？因为他依然有根号，所以还是要平方的，左边平方直接去掉根号，右边平方根据平方和这样一个公式， 对吧？完全平方和 a 方、 c 方的平方，对吧？然后 b、 d 的平方。二、 a、 b、 c、 d 就得出来了，左边肯定是要拆开这个括号的，拆开括号之后就是 a 方乘 c 方， b 方乘 d 方， a 方乘 d 方， 然后 b 方乘 c 方都有，对吧？反正就是两两组合一下拆开，一共是四组嘛，加起来大约等于右边。看了啊， 相同的部分咱们是要消掉的，这部分相同吧，所以咱们就划掉了，左右两边是一样的，直接消。所以其实我们只需要证明这个 b 方 c 方加上 a 方、 d 方大于等于二倍的他就行， 大于等于二倍的，它不就相当于减去二倍的 a、 b、 c、 d 大于等于零。请你仔细观察一下这个形式，你说它是什么东西啊？其实我画横线部分，它完全等价于 b、 c 减去完全平方。差 公式学过吧？减去 a、 d 括注，整体的平方，你说平方是否真的大于等于零呢？肯定是大于等于零的，对吧？好了，数字的平方肯定大于等于零，就这么比了，但是呢，我们还是要研究一下这个取等于号的条件。取等于号的条件呢？非常简单， 看最后一行这个位置就行了，因为我们每一步其实都是等价转化的。什么时候取等于号？显然是 b、 c 减去 a、 d， 只有零的平方才能够等于零，是不是才能取等于号？所以其实等价于 b 乘 c 等于 a 乘 d， 那不就是 a b， b 等于 c 比 d 吗？现在应该清楚取等条件还有证明方法了吧？取等条件咱们也写上当 a 比上 c 啊，等于 b 比 d 的时候，这个时候呢，就是取等于号，其他任何时候都是取不到等于号的， 那么他真的很好用来看一下。可能当你刚看到这道题的时候，这个是初中问题啊，你可能想到的是几和法，我们也复习一下这个几和法。首先根号下，你这个一可以看成一的平方，对吧？这个四的话，我建议你写成这个二的平方， 根号下你看平方加平方，肯定每位同学都是很容易想到勾股定理的，平方加平方等于平方，就是勾三股四减五，对吧？直角三角形的这样一个判断方法。所以我们如果用几何法是需要构造 直角三角形，而且不止一个，是两个啊，也就是说有一个直角三角形，他的直角边分别是 a 和多少？ a 和一行，那我就画一下这直角三角形 abc 中，他的直角边是不是 a 和一啊？是的。然后呢，另外一个直角三角形， 在直角三角形 cde 中，他的直角边是不是分别是 b 和二啊？ b 方加二方，所以现在应该清楚了吧，也就是说在图中我们明显可以看到这个 ac 是什么，请你告诉我。注意，都是横平竖直的啊， ab 是垂直的， cd 是垂直的， bc 和 d 都是水平的啊， 那好，其实 a、 c 的长度就是根号下 a 方加上一方，对吧？然后这个 c 一的长度就是 b 方加上二的平方，其实就是加上四。 那么我们看图就知道了呀，圆式等于什么？圆式其实就等于 a c 再加上 c e 啊，图中什么时候 a c 加 c， e 最短？肯定是 a 点 c 点和 e 点三点 贡献的时候才能够得到最小值，对吧？其实也就是直接连接那个 a e 的时候，它这个最小值呢，就是 a e 的长度。那 a e 长度怎么求？都是横边数字的，你把画出来不就行了，我们把这个图形对吧，垂直画出来，画出来之后的话，请告诉我在图中 af 的长度是多少？一加二等于三吧， 然后继续这个 e f 的长度是多少？ a 加 b， 那不就是四吗？勾三股四前五，那其实就是根号下 三的平方，加四的平方原来是五啊，所以他的最值呢，就是五。当然这个题我们只求最小值啊，应该清楚吧。最小值？ 嗯，可能同学要问了，老师，如果你这道题补充这个 a 大于零， b 大于零，我承认你做的是对的，万一这道题你又没有说 a 和 b， 他有可能是负数的情况，对吧？ a 和 b 有可能出现负数的， 好说，其实答案是一样的呀，你看你往左边画这个 c 一点不就行了吗？动点 a， 此是 是个负数吧，比如说是个负一，但是此时这个 b 就变大了呀，你看这个 b 变成多大了，应该清楚了吧，这个时候 这条边才是我们的 b， 这个是二，现在清楚了吧，这个时候肯定不是最小值，所以 a 和 b 你不需要规定范围的，这就是几合法。清楚了啊，比如说 b 这个时候等于五，然后 a 等于负一，不还是满足什么条件？满足 a 加 b 等于四的条件啊，这是几合法？ 如果利用这个民口和司机不等式来求这道题他的最小值的话，就非常容易了。来看好了啊，根号下黑方加一的平方，再加上根号下 b 方加二的平方，大于等于什么？大于等于我直接写 a 加 b 的平方，再加上一加二的平方吧。 a 加 b 显然就是多少四平方加上三 的平方，谁都知道等于五，所以大于等于五。如果要写的话，咱还是要写全什么时候取等于号的？当什么时候当 abb 等于一比二的时候才能够取到等于号，其他时候都是取不到等于号，都是严格的大于号， 清楚了吧。那再来一道更难的问题，还是让你求最小值。怎么求呢？还是三个啊？ a b c 这三个数字加起来等于八。问，你这个地方其实也一样吗？只不过是三个勾股定理而已。我们画图的时候看几何法， 一这个 a c 在图中，你看了他是不是根号下 a 的平方加上一的平方？是啊，然后在图中看了 c e 的长度，是不是根号下 b 方再加上多少，再加上这个二的平方，其实就是加上四啊。 c 点和 e 点他虽然可 运动，但是说 c 点和 e 点他只能怎么样？ c 点和 e 点他只能左右运动，他绝对不能上下运动的啊。点也是。呃，那么如果我们在连接这个 g e 的话，那就是根号下 c 方加上三的平方，你看对吧？直角边是三，直角边是 c， 那斜边就是他了。 所以圆式的话，它其实相当于让你求谁的最小值啊，那就是 a c 加上 c e 再加上 j e， 它的最小值，对吧？那么最小值告诉我怎么求呢？清楚了吧？当什么时候，当这个 a、 c、 e、 j 这四个点贡献的时候，才能够起到最小值，索性咱们就把它画出来，可以吧？看了啊，我们直接连接，现在肯定都会做了啊，直接连接 a j， 连完这个 a j 之后的话，你说 a j 怎么求？ a j 太好求了，利用第四个勾股定理来求不就 可以了吗？在直角三角形 a j h 中， a j 这条边告诉我是多少？一加二加三，原来它是等于六的， 那么这个 j h 这条边它是等于多长呢？请告诉我， j h 这条边，那不就是 a 加 b 加 c？ 哦，原来等于八，一条直角边是六，一条直角边是八，那么就是根号下六方加上多少？加上八方等于十，所以这道题最小值就是十了。 那么讲完这个解和法以后的话，我们主要是研究什么？研究用敏口服司机不等式来解决最小值的问题。注意啊，是最小值好了，怎么解？直接写原式就行啊。 圆式的话，他是等于多少的，咱就直接写了，他是圆式，就这样一个式子，他是大于等于根号下 a 加 b 加 c 的平方，再加一加二加三的平方，对吧？这个四要看成二的平方，九要看成三的平方，那最后咱看一下，那不就是八的平方加上六的平方，原来等于十就是十， 什么时候这个位置去等于？哈，咱也其实应该写一下啊， a 比一等于 b 比二等于 c 比三， 并且满足题干中的 a 加 b 加 c 等于八这样一个条件的时候呢，最终才能够取到等于号，其他时候都是严格的大于号。现在应该清楚民口司机不懂事了吧。分享课堂知识，感受书学之美。我是杨帆老师，下节课再见！

一个圆点无法代表实际性的物件，二维平面却也没办法展示物体的全旺。三维结构完成了世界的描述，那么四维空间应该如何表示呢？ 这个问题直到二十世纪初才完成了初步的阐述，但更多的是通过数学语言来表达思维空间的状态。该学术问题后来也完善了爱因斯坦的相对论，但作为爱因斯坦的导师，德国数学家赫尔曼明克夫斯基对高维空间的理论解析让他在数学界有着举足轻重的地位。 但在此之前，没人知道四维空间长啥样。其实严格来讲现在也一样，不过有了数学的描述和模型的理解， 如今我们可以从三维世界推演出思维空间在三维世界的投影，正如我们在画纸上画画一样。不过要想证明思维的存在，民克服司机可是费了不少力气。这里 我们不对狭义相对论做出太多的讨论，直接来看看德国的这位数学奇才是如何证明四维空间的。敏可夫斯基时空需要利用到洛伦斯变换，考虑到适当的时间和长度收缩问题，而主要的解决工具为敏可夫斯基图。 从数学结构上看，民葛福斯季度量及派生量还有群论。作为侠义相对论，假设结果的时空流行上看，时空区间表示不变形，因为弯曲的时空是局部洛伦兹。不管是洛伦兹变幻还是侠义相对论，两者都提出了绝对时空的概念。对于事实的观察取决于观察者的参考体系。 因此宁可夫斯基施工在数学中的表达也同样有施工的不变性。但是由于区间的不变性，任何项链的分类在所有通过杜伦兹变换相关的参考系中都是相同的，所以宁可夫斯基的空间是 会有各种不同的项链集合，以此表示该世界的光追时间的方向。空间变化使得敏可夫斯基施工在四个集合中有着不同的结合。施工结合上，敏可夫斯基空间在时间方面存在非常重要的区别。 三 d 空间中，明可夫司机时空有一个额外的位置，其坐标 x 原字之间，从而使距离微分满足公式。 这也是后来我们所说的在思维空间中会有一个时间参考。但这里需要明白的是，时间的存在并不是我们一般意义上理解的时间。 通常来讲，我们所使用的时间是空间中的绝对时间。但铭可夫斯基时空在狭义相对论可以表示为任何惯性参考系。观察时空间隔的不变性，即任何两个事件之间的四地距离。铭可夫斯机时空存在的这种旋转对阵性表达了四维 空间中的变化。相比之下，四维空间的时间作为了额外坐标轴，并与其他三个坐标轴正交。从数学的几何学结构上来看，宁可夫斯基时空以双曲线旋转保留关于曲线的正交性，而欧吉利德图则是通过旋转保持正交行， 而这便是明可夫司机时空中的双曲正交行，后来在狭义相对论里用来定义同时事件的改变。通过各种数学方式的表现，明可夫司机证明了四维空间的表现形式，尽管这和一般物理时空表述不太一样，然而相对论的应用变成了明可夫司机时空的正确性。 由于加入了额外的自由度，因此四维空间中的几何会比三维空间中的几何更加复杂。在三维世界中，一个元可以被挤压成圆柱体，而在四维世界中会出现好几种不同的圆柱状， 最好的证明同样便是克莱因瓶。三位中曲线可以形成结，但曲面就不行，除非他们自相交。不过到了四维空间，曲线的变化形式可以通过在第四个方向上移动来轻松解开。二 d 表面可以在四 d 空间中形成。 那么对于人类来讲，思维空间应该是什么样子？而进入到思维空间的人又会变成什么样子？通过想象和唯独类比，我们最常用的方式便是通过投影来表达高维世界。不过进入到思维空间后，一切都会变得不一样， 三维世界的我们可以很容易的在脑海中想象出不同三个维度的物理形象。要理解四维，我们便可以运用到民可夫斯基时空中的变化。不过四个维度上每个坐标轴都会有一个正方体，因此四个维度乘以两个面，每八个面 形成一个表面。由于维度的增加和运动的变化，思维空间中结构会随着观察者的角度不同发生各种形态上的变化。以人类的视觉来看，没人清楚在这个空间中的物体的真实形态究竟是怎样的。 如果还是无法很好的理解在思维空间里究竟发生了什么，那么看看下面这张图就明白了。由于人类所生活的世界是三维结构，因此我们没办法去真正的认识思维空间，只能从数学图形上去理解。即便如此，仍然会有很多无法理解的结构。 如果正在幻想着进入思维空间的人，现实的情况很可能会非常复杂，因为进入思维空间的人会迅速死去。从课代音频我们就能看出，三维世界的东西在四维空间是不存在的。进入四维空间后，所有物质的原子结构都会变得不同，原子轨道将 会容纳更多电子，所以在这个维度中，部分金属元素会变成气体，比如美。同样的，我们的身体也会发生非常奇怪的变化，身体中所依赖的大部分元素，由于空间维度的变化，三维空间中能够正常运作的功能在这里会失效。 理论上来讲，人会在思维空间中被分解，假设这些人能活着，那么我们可能会看见各个身体碎片在思维空间中运动。事实上，三维空间的生物在四维空间里是没有任何意义。 举个非常简单的例子，画家能够在一张纸上面画出非常真实的人像或者动物，然而二维结构却没办法表现出他们的内脏器官。因此，二维世界中只存在表面，二维中没有理和外的概念。所以二维中的物体如果能够通过某种方式记录到 三维世界中，由于没有三维的支撑，那么他们也会崩溃。类似的概念，以人为例子，由于进入四维后，我们没有四维的手脚以及躯体，那么来自任何一个方向的变化都能够摧毁人体。 面对空间的复杂，电话明可夫司机时空给出了一个合理的解释，利用数学题来表述，这在二十世纪是十分伟大的。 也正是铭可胡思基的研究，让人们认识到时间和空间是一个时空连续，并在思维中融合在一起。不过这样一位数学界的奇才和大师却没能逃离病痛。就在铭可胡思基四十四岁的时候，由于阑尾炎的八朵，让他不得不面对死亡， 由于当时的医疗水平还不够发达，手术治疗无法解决阑尾炎问题，后来他在一九零九年便离开了人世。不过他的学生爱因斯坦却很好的将 民可夫斯基时空带入了自己的理论中，这也是他的伟大之处，即百家之长，最后得到了相对论。或许现实就如同思维空间一般，我们永远也不清楚下一个方向的变化会是什么样子。