中考数学六种尺规作图方法

哈喽，同学们，我是你们的悠悠老师，今天我们一起来学习一下近几年的中考热点之一的指挥作图。指挥作图主要是考察同学们的动手操作能力，那么这九种基本的作图法呢？同学们必须得掌握啊！今天悠悠老师带大家一起来解锁 视频，可能会有点长，全部都是干货，我们接下来从第一个开始指挥做图。一、做一条线段等于已知线段，已知线段 a 求做线段 ab 等于 a， 先做一条射线 ao， 以线段 a 的长度为圆的半径，以 a 点为圆心做壶，壶与 ao 交于 b 点，则线段 ab 就是索求线段 a 的长度，使规做 二做线段的垂直平分线，以至线段 ab 求做 ab 的垂直平分线。以 a 点为圆心，以大于二分之一 ab 的长度为圆的半径做弧， 再以同样的长度为圆的半径，以 b 点为圆心做壶，两壶交于 c 点， d 点连接 cd， 则直线 cd 就是线段 ab 的垂直平分线。 十、规做图三，做角的平分线与直角 aob 求做角 aob 的角平分线，以欧点为圆心，以任意长度为半径做弧，两胡交 oaob 于地点和易点， 在以大于地翼二分之一长度为半径，以地点为圆心做弧，在以同样的长度以一 一点为圆心做壶，两壶交于 c 点，连接 oc， 则射线 oc 就是角 aob 的平分线。指挥作图四、做一个角等于一只角，一只角 aob 求做角 apopeippe 等于角 aob。 先做一条射线 opace， 再以点欧为圆心，以任意长度为半径做壶，两壶交欧。 aob 与地点和一点，以欧一的长度为半径，以欧撇点为圆心做壶，壶交欧 c 与地撇点， 再以 oe 为圆的半径，以 b 撇点为圆心做壶，两壶交于 a 撇点连接 apo 撇，则 apo b 撇就是所求的角 aob。 时规作图五，经过直线，上一点做已知直线的垂线。已知点 p 是直线 ab 上一点求做直线 cd 经过点 p， 且 cd 垂直于 ab， 以 p 点为圆心，以任意长度为半径做壶，两壶交 ab 于 mm， 再以 m 点为圆心，以大于二分之一 mn 的长度为半径，再以同样的长度为半径，以 n 点为圆心做壶， 两壶交于 c 点连接 cp， 则直线 cd 经过点 p 且垂直于 ab， 使规做图六，经过直线弯一点 做已知直线的垂线。已知直线 ab 及直线外易点 p 求奏直线 cd 经过点 p， 且 cd 垂直于 ab， 以 p 点为圆心，以任意长度为半径做弧， 两壶交 ab 于 mn 点，以 m 点为圆心，以大于二分之一 mn 的长度为半径做壶。 再以同样的长度为半径，以 n 点为圆心做壶，两壶交于 f 点连接 pf， 则直线 cd 经过点 p， 且垂直于 ab。 尺规做图七，以至三边做三角形，以至线段 abc， 求做三角形 abc， 使 ab 等于 ac 等于 bbc， 等于 a 做一条射线 ao， 以线段 c 的长度为圆的半径，以 a 点为圆心做弧胡交 ao 于 b 点，则线段 ab 等于 c， 在于线段 b 的长度为圆的半径，以 a 点为圆心 做壶，以线段 a 的长度为半径，以 b 点为圆心做壶，两壶交于 c 点连接 acbc， 则线段 ac 等于 bbc， 等于 a 十、规奏图八，以至两边及加角做三角形。已知线段 ab 和角贝塔求做三角形 abc， 使角 a 等于角贝塔， ab 等于 aac 等于 b。 先做 一条射线 ao， 再以 o 点为圆心，以任意长度为半径做胡。两胡交角的加边与 n， n 点，以 o， n 的长度为半径，以 a 点为圆心做胡。胡交于 ao 与 n 撇点， 再以 m， n 的长度为半径，以 n 撇点为圆心做壶，两壶交于 n 撇， 连接 amp， 则角 a 等于角贝塔。 以线段 b 的长度为半径，以 a 点为圆心做壶，再以线段 a 的长度为半径，以 a 点为圆心做壶。两壶分别 教育 b 点 c 点连接 b， c 得 ab 等于 aac 等于 b。 尺规做图九，以至两角及加边做三角形，以至角二范角北塔。线段 n 求做三角形 abc 十角 a 等于角二范角 b 等于角北塔， ab 等于 m， 先做一条射线 ao， 以线段 m 的长度为半径，以 a 点为圆心做弧 胡椒射线 ao 与 b 点，则线段 ab 等于 m。 以 p 点为圆心，以任意长度为半径做胡。两胡交于 nn， 以 pn 为半径，以 a 点为圆心做壶。壶交 ao 与 n 撇点，再以 n， n 的长度为半径，以 n 撇点为圆心做壶，两壶交于 m， 撇点 连接 am 撇，则角 a 等于角 f， 同样以 q 点为圆心，以任意长度为半径做胡。两胡交于 g， h 点，以 q， h 为半径， 以 b 点为圆心做弧胡交。 ao 于 h 撇点，再以 gh 为半径， 以 h 撇为圆心做壶。两壶交于锯撇点连接 b， 锯撇点至 c 点，则角 b 等于角北塔。 好啦，以上就是持规作读的九种基本作读法，如果不是很熟练同学，语语老师建议反复观看，直到熟练为止好吗？拜拜！

这样的问题具体化，如果让你用指挥作图做出这样的一个图形，你该怎么做？ 是不是觉得有点困难呢？别担心，下面会以最直观、最生动的画面来给你一一讲解五种基本指挥作图的做法，让你真正做到融会贯通，成为一个作图高手。 好了，下面开始正式讲解。先来看最基础的，做一条线段等于已知线段， 那么肯定会有同学说，老师，这个很简单呢，我用尺子直接量取线段的长度就能做出来， no no no！ 这个是步行地，因为指挥作途中，尺子是无刻度的直尺，它的作用只有两个，一是用来画出任意的线段，也可视为 射线或直线。二是用来连接两个点，形成线段，肯定是不能直接量取地。好了，一起来看看具体做法。 第一步，先做出一条射线，如画面中的射线 op。 第二步，在已知线段上，将圆规的针尖固定在线段的一个端点，再将圆规的笔尖与线段的另一端点重合， 这样就取得了线段的长度 a。 然后呢，在前面做出的射线 op 上，以 o 为圆心， a 为半径画弧， 与涉县 op 交于一点，记做 a。 那么 oa 就是我们要做的线段，是不是觉得很简单呢？这个做图的关键点就 故事，利用圆规截取等长线段，你学会了吗？线段学会了，那接下来就来做一个角等于已知角吧！你可能会说，那么麻烦干嘛，用量角器量一下不是很简单吗？ 哈哈，可是人家给出的要求是吃亏作图没有两脚七刀，我们还是按照要求来做吧。 第一步，先做出一条射线，如画面中的射线 o 撇 a。 第二步，在原始图中，以点 o 为圆心，以适当的长为半径画弧。 记住哦，半竞选的要适当，太长太短都不利于作图画的胡，分别交于角阿尔法的两边与点 p、 q。 第三步，在 在第一步做出的射线 o 撇 a 中，以 o 撇为圆心，以 o p 长为半径画弧，与射线 o 撇 a 交于一点 m。 第四步，以点 m 为圆心， p q 长为半径画弧，与上一步的弧交于点 n。 第五步，过点 o 撇 n 做射线 o 撇 b。 那么角 b o 撇 a 即为所求的角，是不是也很简单呢？自己多实践几次，很容易就能掌握的，加油哦！ 那么如何利用指挥做一个角的角平分线呢？是不是感觉没有头绪？不要慌了，要明白一点，所有的数学问题都会有一个本质的东西，既然是做角平 分线，那肯定是要做出两个相等的角，那么你从两个相等的角能联想到什么呢？是不是想到了全等三角形的性质？全等三角形的对应角相等，所以做一个角的角平分线，正式利用全等三角形的这一性质。 那你肯定又会问，全等三角形的判定定理好几个呢？该选择哪个呢？好了，我们继续分析。 因为我们正要做出两个相等的角，所以所有跟角相关的判定定理就不用考虑了。而圆规的特点正是画弧 湖上每一个点到圆心的距离都相等，因此我们选择 sss 判定定理。好了，下面我们来进行具体操作。第一， 在所给的图中，以点 o 为圆心，任意长为半径画弧，分别将 o a、 o、 b 与点 m、 n。 第二步，再分别以点 m n 为圆心，大于二分之一， m n 长为半径画弧一定要记得两次画弧的半径要保持一致哦！ 两胡相交于点 p。 第三步，过点 op 做射线， op， 则 op 即为所求的角平分线。到这里，你已经学会三种基本指挥作图的方法。怎么样？是不是感觉棒棒的，一定要多练习哦！ 再来看怎么做线段的垂直平分线。线段的垂直平分线，顾名思义，就 就是一条既平分又垂直已知线段的直线，那他该怎么做呢？具体请看下面的步骤。第一步，分别以所给线段的端点 ab 为圆心，以大于二分之一 ab 长为半径，在线段 ab 的上下两侧画弧， 两胡会有两个焦点。第二步，连接这两个焦点，该直线极为所求的垂直平分线。 看完了做法后，你知道这个作图的原理了吗？如果还不清楚，那么不妨把两个焦点分别与点 a、 点 b 连接，看看形成的四边形是哪种四边形 好了，你会不会有一种豁然开朗的感觉呢？最后来看怎么过 一点做已知直线的垂线，它分两种情况，一点在直线上，二点在直线外。先来看点在直线上的情况。第一步，以 o 为圆心，任意长为半径画弧，分别与直线交于 ab。 第二步，再分别以点 a、 b 为圆心，以大于二分之一 a、 b 长为半径，在直线的上下两侧画弧，两弧的焦点分别记为 m n。 第三步，连接 mn， 则 mn 即为所求的垂线。到这里，你是不是有种似曾相识的感觉呢？没错，这种做法正是借鉴了垂直平分线的做法。再来看点在 直线外的情况。第一步，在直线易于点 p 的一侧认取一点，即为 m。 第二步，以点 p 为圆心， p m 长为半净化弧，分别与直线交于点 a、 b。 第三步，分别以点 ab 为圆心，以大于二分之一 ab 长为半径，在直线的下面一侧画弧，两弧的焦点即为 n。 第四步，连接 pn， 则 pn 即为所求的垂线。 现在你已经学会了五种基本指挥作图的做法，只要勤加练习，在实践中多总结经验，那么一定会做到融会贯通。加油吧，少年！

同学们好，今天我们来复习指挥作图。 学习目标，一、能用尺规完成五种基本作图，会利用基本作图完成一些相关作图。二、理解作图的步骤和依据，积累几何学习的经验。 三、在设计指挥作图方案的过程中，提高分析和解决问题的能力，发展逻辑思维能力。 提到指挥作图，你想到了什么呢？请自己先回忆一下，然后再来看视频。 在作图工具上，指挥作图要求用无刻度的咫尺和圆规做进行作图。指挥作图的依据是我们学习过的定义、基本事实和定理。 在指挥作图中，我们要了解作图的道理，要保留作图的痕迹。也就是说，我们不仅要掌握指挥作图的程序和步骤，还要知道实施这些程序和步骤的理由，提高逻辑推理能力。 在图形与几何领域，我们学习了五种基本作图，你还记得他们是什么吗？回忆一下，再来看视频。五种基本作图是， 做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角，做已知角的平分线，做已知线段的垂直平分线，过一点做已知直线的垂线。 下面我们逐一回顾。一、做一条线段等于已知线段。 已知线段 a。 如图，求做一条线段等于 a。 做法一，做射线 op。 二，以点 o 为圆心， a 为半径做弧交 op 与点 a 则 oa 为所求做的线段，依据圆上的点到圆心的距离等于半径。 二、做一个角等于已知角，已知角 r 法如图，求做一个角等于角 r 法。 做法一，以角 f 的顶点 o 为圆心，任意长为半径画弧，分别交角 f 的两边与点 pq。 二、画一条射线 opier a 以点 opier 为圆心 op 的长为半径，画胡交 opa 与点 m。 三、以点 m 为圆心 pq 长为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于点 n。 四过点 n 画射 线 o 撇 b， 则角 a o 撇 b 等于角 r 法，依据三边分别相等的两个三角形，全等、全等三角形，对应角相等两点，确定一条直线。 三、做已知角的平分线。已知角 aob， 如图，求做角 aob 的平分线 做法，一、以点 o 为圆心，适当长为半径画弧，交 oa 与点 m 交 ob 与点 n， 分别以点 mn 为圆心，大于二分之一 mn 的长为半径画胡，两胡 在角 aob 的内部相交于点 p。 三、画射线 op， 则射线 op 即为所求依据 三边分别相等的两个三角形，全等、全等三角形对应角相等两点，确定一条直线。 四、做已知线段的垂直平分线。已知线段 ab。 如图，求做线段 ab 的垂直平分线。 做法，分别以点 ab 为圆心，大于二分之一 ab 的长为半径做弧，两胡相交于点 mn 做直线 mn， 则 mn 就 是所求做的垂直平分线。依据与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上两点确定一条直线。 五、过一点做已知直线的垂线。这里我们以点在直线外为例， 已知直线 l 及直线 l y 一点 p， 如图，求做过屁点的直线 l 的垂线。做法，一、取一点 m， 使 m 和点 p 在直线 l 两旁。 二、以点 p 为圆心， pm 的长为半径做弧，交 f 与点 a 和 b。 三、分别以点 a 和点 b 为圆心，大于二分之一 ab 的长为半径做弧，两弧相交于点 n。 四、做直线 pn， 则直线 pn 就是所求做的垂线，依据与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上两点，确定一条直线 点 p 在直线 l 上的情形，由同学们自己来完成。有了基本作图，我们就可以利用基本作图来完成一些相对复杂的作图。看例一，指挥作图，以 两边及夹角做三角形。首先将问题具体画符号画 已知。如图，线段 m， n 角 r 法，求做三角形 abc， 使角 abc 等于角 r 法， ab 等于 mbc 等于 n。 先画图分析一下，假设三角形 abc 就是所求做的三角形，他需要满足三个已知条件，你将按什么步骤把这个三角形做出来呢？先画线段 ac 可以吗？ 第一步，画线段 ab。 第二步，画线段 bc 可以吗？可见，指挥作图的步骤体现了条件之间的相互制约关系， 是有逻辑性的。老师给出一种做法，一、做角 mbn 等于角 r 法。这里利用了基本作图二。 二、在射线 bm 上截取 b， a 等于 m， 在射线 bn 上截取 bc 等于 n。 这里利用了基本作图一。 三、连接 ac， 则三角形 abc 即为所求。 这道题不难，我们看到了分析在作图前起到的作用，体会了基本作图的使用。下面我们来看立二，请先独立思考，一分钟后再 来看视频。第二的特点是用作图语言给出了一致条件， 我们可以读出点 m， c， d， n 都在以 o 为圆心， o， c 为半径的圆上，并且 c， m 等于 c， d 等于 d， n。 在原凹当中， c， m， c， d， d， n 为弦相等的弦所对的列弧相等，列弧所对的圆心角相等，因此 a 选项正确。 b 选项，若 om 等于 mn， 又元欧中 on 等于 om， 所以 三角形 omn 为等边三角形角 mon 等于六十度，所以角 aob 等于三分之一乘以六十度等于二十度。正确。 c 选项，要判断 mn 与 cd 是否平行连接 cn， 只要看图中标出的这一对内错角是否相等， 而这对内错角在圆中是圆周角，他们所对的弧相等，因此 c 选项正确。 d 选项，图中点 m 和点 n 之间的折线 m c， d， n 的长一定大于连接 mn 两点之间的线段 mn 的长， 所以 mn 小于三倍 cd。 结论，当中错误的是 cd。 熟悉作图语言，结合其他几何知识来解决这道题就没有困难了，下面我们来看立三，请先按下暂停键独立思考三分钟之后继续看视频， 已知直线 l 及直线 lv 一点 a， 求做过 a 点的直线 l 的平行线。 首先我们来思考结论是两直线平行的基本事实和定理有哪些呢？ 你可能想到同位脚相等，两直线平行，内侧脚相等，两直线平行平行，四边形对边 平行，三角形中微线平行于三角形第三边等等。再想一想，如何根据这些基本事实和定理来设计作图方案呢？ 老师给出几名同学的设计过程，请你根据作图过程回答问题。 一、用咫尺圆规补全图形。二、完成证明。并且请你思考他们是如何设计出自己的作图方案的，从而给自己一些借鉴。先来看看小红的做法，请你先完成作图， 做法如图，一、在直线 l 上取点 bc 连接 ab。 二、做角 a、 abc 的平分线 be。 三、以 a 为圆心， ab 长为半径，画弧交射线 be 与点 d。 四、做直线 ad 则 ad 为所求， 请你帮小红完成证明。 盯正一下答案，看来小红是依据内错角相等两直线平行来设计做平行线的，而要使内错角相等，小红使用了角平分线和等腰相要形相关的知识。 再看看小雅设计的做法和证明。如图，在直线 l 上取点 bc 连接 ab 做角 bad 等于角 abc， 且使角 bad 与角 abc 在 ab 的两侧做直线， adad 为所求。 同样是用内错角相等来做平行线，小雅设计的做法可要直接的多了。 小刚是一个很喜欢圆的同学，看看他的设计， 如图，在直线 l 上取一点 o， 以点 o 为圆心， oa 长为半径，画半圆交直线 lo 于 bc， 两点连接 ab， 以点 c 为圆心， ab 长为半径，画弧交半圆与点 d 做直线， adad 为缩球。你能证明小刚的做法是正确的吗？ 连接 a、 c 和 d c 因为 a、 b 等于 c、 d， 所以在元欧中胡 a、 b 等于胡 c、 d， 所以叫 a c、 b 等于叫 d a、 c 等弧所对的圆周角相等，所以 ad 平行， l 内错角相等，两直线平行。 以上三名同学同样选择了内错角相等来做平行线，具体思路却各有特色。再来看看用四边形工具做平行线的设计，请按小量的 做法来完成。作图如图，在直线 l 上取两点 b、 c 以点 a 为圆心， b、 c 为半径画弧，以点 c 为圆心， a、 b 为半径画弧。两胡在直线 l 上方相交于点 d 做直线 a、 d、 a、 d 为所求，请你完成证明。 连接 cd， 因为 ab 等于 cd， bc 等于 ad， 所以四边形 abcd 是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以 ad 平行， l 平行，四边形对边平行。

观看数学小品，享受学习快乐！此规作图做已知线段的终点。已知如图，线段 mn， 求做点 o， 使 m o 等于 n o 以 m 点为圆心，以大于 m n 二分之一为半径画弧。 以点 a 为圆心，以同样长为半径画弧。两弧产生了两个焦点，过这两个焦点 画一条直线，直线与线段产生了一个交点，此时 m o 等于 n o。 那么点 o 为什么是线段 m n 的终点呢？现在让我们证明一下。依次连接这四个点， 因为这四段弧半径相同，所以四边形的这四条边相等。因此紫色的四边形是菱形。 菱形的对角线相互垂直并平分，所以点勾是线段 m n 的终点。 观看数学小品，享受学习快乐！已知如图，角 a o b， 求做角 a o b 的平分线。 o p 以点欧为圆心，以印，以长为半径画弧。 呼，与脚的两边产生两个交点 m n 以 m 为圆心，以大于 m n 二分之一为半径画 画。呼， 以点 n 为圆心，以同样长为半径画弧。 两弧产生了一个交点 p， 以 o 点为端点，过点 p 画一条射线， 涉嫌 o p 就是角 a o b 的平分线。那么 o p 为什么是角 a o p 的平分线呢？ 现在让我们证明一下。连接 m p， 连接 n p。 在红色三角形和绿色三角形中， o m 等于 o i， 这是因为弧的半径相同。 m p 等于 n p， 这是因为这两条弧的半径相同。 o p 等于 o p， 这是公共边。 所以红色三角形与绿色三角形全等。依据是 s s s 全等三角形的对应角相等，所以这两个点角相等，因此 op 是角 aob 的平分线。观看数学小品，享受 学习快乐！此规作图做线段的垂直平分线。已知如图，线段 ab 求做 cd 垂直于 aboa 等于 ob。 以点 a 为圆心，以大于二分之一 a、 b 长为半径画弧。 以 b 点为圆心，以同样长为半径画弧。 两弧产生了两个交点，点 c 与点 d， 过点 c 与点 d 划 一条直线， 直线与线段 a、 b 产生了一个焦点 o， 直线 c、 d 就是线段 a、 b 的垂直平分线。 那么为什么 cd 垂直于 a、 b， o a 等于 o、 b 呢？ 接下来让我们证明一下。依次连接点 a、 点 c、 点 b、 点 d， 就构成了一个四边形。因为至四段弧的半径相同，所以 四边形的四条边相等。四条边相等的四边形是菱形，所以绿色的四边形是菱形。菱形的对角线垂直且相互平分， 所以 cd 垂直于 aboa 等于 ob。 观看数学小品，享受学习快乐！词规作图作角等于已知角， 已知如图，角 a、 o、 b 求做角 a 撇 o 撇 b 撇等于角 a、 o、 b 画一条射线 o 撇 b 撇， 以点鸥为圆心，以印长为半径画弧。 弧与角的两边产生两个交点，点 m 和点 n。 以 o 撇为圆心，以同样长为半径画弧， 弧，与射线产生了一个交点 n 撇。用圆规度量点 m 与点 a 之间的距离。 以点 n 撇为圆心，以度量的距离为半径画弧， 两弧产生了一个交点 m 撇。以 o 撇为短点，过 m 撇画一条射线。 角 a 撇 o 撇 b 撇等于角 a、 o、 b。 那么我们做的角为什么等于一只角呢？现在让我们证明一下。连接 m n， 连接 m 撇 n 撇。因为这两段弧的半径相同，所以 o m 等于 o 撇， m 撇， o i 等于 o 撇， n 撇。度量的距离相同，所以 m i 等于 m 撇、 n 撇。在红色三角形和绿色三角形中，三边分别相等的两个三角形全等， 所以红色三角形全等于绿色三角形全等。三角形的对应角相等，所以这两个点角相等， 即角 a 撇、 o 撇、 b 撇等于角 a、 o、 b。 观看数学小品，享受学习快乐！词规作图，过直线上的点做直线的垂线，以之。如图。 点 p 是直线 a、 b 上的点，以 p 点为圆心，以任意长为半径画弧 呼，与直线产生两个交点，点 m 和点 n 做线段 m、 n 的垂直平分线，就可以得到过 p 点垂直于直线 a、 b 的直线， 以 m 点为圆心，以大于二分之一 m 长为半径画弧， 以 n 点为圆心，以同样长为半径 画呼 两弧，产生了两个交点，点 c 与点 d 过点 c 与点 d 做一条直线。 直线 c、 d 过点 p， 且垂直于直线 a、 b。 为什么直线 c、 d 垂直于 a、 b 呢？现在让我们一起证明一下。 依次连接点 m、 点 c、 点 a、 点 d。 因为至四段弧的半径相同，所以四边形的四条边相等。因此，红色的四边形是菱形， 菱形的对角线相互垂直并平分，点 p 又是线段 m、 n 的终点，所以直线 c、 d 经过点 p， 且 c、 d 垂直于 a、 b。 观看数学小品，享受学习快乐。此规作图，过直线外一点做直线的垂线。已知如图，直线 a、 b 及外一点 p， 求 做直线 cd， 使 cd 过 p 点，且 cd 垂直于 a、 b。 以点 p 为圆心，以大于点 p 到直线的距离为半径画弧 弧，与直线 a、 b 产生两个交点，点 m 和点 n 做线段 m n 的垂直平分线。以点 m 为圆心，以大于 m n 二分之一长为半径画弧。 以 n 为圆心，以同样长为半径画弧。 who 两弧产生两个交点，点 c 与点 d 过点 c 与点 d 做一条直线。 直线 c、 d 就是要求做的直线 c、 d 过 p 点，且 c、 d 垂直于 a、 b。 为什么直线 a、 b 垂直于 c、 d 呢？ 因为绿色的四边形是菱形，菱形的对角线相互垂直且平分，所以 cd 垂直于 ab。 观看数学小品， 享受学习快乐！此规作图做三角形的外接元。已知如图，三角形 abc 求做三角形的外接元元 o 以 a 点为圆心，以大于二分之一 a、 b 长为半径画弧， 以 b 点为圆心，以同样长为半径画弧。 两弧产生了两个交点，过这两个交点做一条直线， 这条直线就是 a、 b 的垂直平分线。以 b 点为圆心，以大于二分之一 b、 c 长为半径画弧。 以 c 点为圆心，以同样长为半径画弧。 两弧产生了两个交点，过这两个交点做一条直线， 这条直线就是线段 b、 c 的垂直平分线。这两条垂线 产生了一个焦点 o， 一点 o 为圆心，以 o a 长为半径画圆。 我们就做出三角形 a、 b、 c 的外接圆圆 o。 那么这个圆为什么是三角形的外接圆呢？现在让我们证明一下。连接 o a 连接 o、 b， 因为这条直线是 a、 b 的垂直平分线，所以 o a 等于 o b。 连接 o、 c。 因为这条直线是线段 b、 c 的垂直平分线，所以 o、 b 等于 o c。 因此 o a 等于 o b 等于 o c， 所以点 a、 点 b、 点 c， 三点共圆点 o 就是这个圆的圆心。 观看数学小品，享受学习快乐！此规作图做三角形的内切圆。 已知如图，三角形 a、 b、 c。 求做三角形 a、 b、 c 的内切圆。圆 o， 以必点为圆心，以印以长为半径画弧。 呼与脚的两边产生了两个交点，以这个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离二分之一为半径画呼。 再以这个焦点为圆心，以同样长为半径画弧， 两弧产生了一个交点。以 b 点为端点过交点画一条射线， 我们就做出角 a、 b、 c 的平分线。以 c 点为圆心，以印长为半径画弧。 呼。与脚的两边产生了两个交点，以这个交点为圆心，以大于两个交点之间的距离二分之一为半径画呼。 再以这个焦点为圆心，以同样长为半径画弧， 两弧产生了一个交点。以非点为端点，过这个交点 做一条射线， 我们就做直角 a、 c、 b 的平分线。两条角平分线产生了一个交点，点 o 过点 o 做 a、 c 边的垂线段。 以点 o 为圆心，以垂线段为半径画圆， 我们就做出三角形 a、 b、 c 的内切圆。内切圆的圆心，也叫做三角形 a、 b、 c 的内心。

同学们好，我是福老师，今天给大家继续分享中考税提醒全规了之词，规作图中中线、垂线、垂直免费线这类题型， 那么我们通过这道题给大家说说明。已知三角形 abc， 我们做 bbc 边上的中线 ad， 那么既然是中线，那么肯定要确定第一点，第一点是什么终点，那我们就找到 bbc 的终点在什么地方。那么垂直平飞线 跟我们做中线的做法是一样的，那我们这里只做这条中线给大家说明。首先我们怎么样以 b、 c 为圆心，以大于二分之一 bc 为半径做两条弧， bc 为圆心，在上方加一段弧，下方与交一段， 同样以 c 点为圆形，上面教一段胡，下面也画一段胡与我们第一点的两段胡，是不是就有两个焦点，那么这两个焦点我们连接起来，连接起来之后， 那么这一条线就是 b、 c 的垂直平分线。既然是垂直平分线，那么这一点焦点，那么就是低点，也就是 b、 c 的终点。而我们做中线呢，我们就把 a、 d 再用 a、 d 连接起来就可以了， 那么 a 的就是我们这里需要的中线，而这边这条垂直的线是什么？就是垂直平针线。那么如果说过于 a 点做 一级上的高，那么跟这里做法大同小异，同学们可以下来自己看一下该怎么做。

我们中考必考的起规作读，很多孩子连最基本的圆规作图该如何来做他都不会，今天我们就来教大家如何来利用起规作图，那么起规作图我们用到哪些工具啊？就用到我们这一套考试专用的工具哈，我们知道好的专用工具，我们先拿我们的圆规来做啊， 首先我们把这个圆规张开一定的角度啊，卡在这个点上啊，我们旋转一下，是不是来下面也是旋转一下，下面也是旋转一下，然后在 a 点上也卡着这个点啊，我们也是一样的， 旋转一圈他有一个焦点，看到没有？旋转一点啊，旋转一圈以后发现上面下面各有一个焦点，那这个时候怎么办？我们就要用到我们的二逼铅笔和我们的什么三角板工具，三角板工具就是卡住两个点，卡住两个点，然后 把二笔铅笔刚好一条直线，然后我们就画一条直线啊，那中间有一个焦点， 那么这个点就是我们的终点，很多孩子哈在做这个终点的时候，他随便打一个点，然后连一下，或者是拿尺子啊量一下，中间打个点，如果是这样考试是零分处理的哈，这样考试是零分处理的，所以我们很多家长估计还不知道， 如果你孩子哈没有这套工具的哈，我建议你一定要备用起来，尤其是我们这个圆规，很多孩子哈连圆规都没有，你怎么考试？考试考六分。二笔铅笔是所有的答题卡都要用到的是吧？所以这个标准呢？还有我们的零点五黑色笔芯，都是要买正规的是吧？

前两天发了一个尺规作图的视频啊，但是没有什么人看，也没有什么收藏点赞，但是家长们可能不知道啊，尺规作图是孩子们，尤其是初二初三的孩子们在考试的时候一个遗忘的重灾区。 我们在各种各样的平台上，网站上看到了各种各样的给你去讲难题，讲复杂题，讲大招，讲秘籍， 讲了那么多东西，但是真正让孩子们在考场上丢分的全是这些最基础的东西，孩子们遗忘的也全是这些最基础的东西。指规作图，请把视频务必点赞、收藏保存好， 因为到了考前一定要让孩子看一眼啊，这些东西经常是孩子们到了考前想去看，都不知道从哪去找啊，因为大家都觉得你肯定会，但是全忘了啊，所以今天我来给大家录一条 指规作图做线段的黄金分割点的视频，请一定要保存好好，第一步呢，我们需要先去找一下线段 a b 的终点，从而找出它的一半来 啊，好，以 b 为圆心 a b 啊，就是超出二分之一 a b 的长度为半径，好画弧，然后以 a 为圆心，超出二分之一 a b 的长度，刚才等量长度为半径，画弧好， 两弧相交的交点，我们给他连个线，这样的话，做出来的是 ab 的垂直平分线。那么找着 ab 的垂直平分线呢？其实我们现在最主要的啊，不是找垂直平分线的事，我们要去 啊，做一下它的一半长，也就是说，如果 a b 是两份量的话，我想 找着这个一份量在哪里，好来找着在这个位置我们画一条弧。接下来啊，我需要过点 b 去做 ab 线段的垂线， 那么在这很多同学就会啊，有点蒙了，这该怎么做？首先第一步你要先把 ab 线段做延长好，延出去多长其实无所谓啊，我们简单的做一下延长就可以了。接下来以 b 为圆心，注意任意长度为半径， 来左画一下，右画一下，那么在这画了个什么呢？其实在这画了一个就是点臂，是左右这两个点的什么终点好，然后再以左边焦点啊为圆心画条线，右边焦点 点为圆心，再画一条线，这样大家看到，其实我相当于画的是不是一个等腰三角形啊啊，然后再把这个点跟点臂连起来，并且沿出去。 好，这个时候我就做出来了一条 l 这条线，这条线呢是经过点 b， 且与线段 ab 垂直，然后我们再找到我们刚才大家注意啊，刚才画弧产生的这个点，我们管它叫做点 c， 把这个点跟 a 连起来，那么连完之后大家看啊， a b 是两份量 b c， 现在这就是一份量好斜边的 a c 一二，这就是根号五。接下来马上再以 c 为圆心，而 c b 的长度为 半径，我们再把这个一给他，哎，量过来啊，就是一份量，再给他量过来，这是一个 一份量，那么接下来找着这个点点 d， 好，然后你再把这个点 d 给他，以 a 为圆心量，取 ad 的长度为半径 啊，以 a 为圆心量，取 a d 的长度为半径，给它画下来，往下画，那么此时交 a b 的点 e 就是 a b 的黄金分割点，怎么理解呢？那么假设啊，现在 a b 线段的长度是一，于是 c b 就变成了二分之一，而 a、 c 一比二比刚 号五的比例关系， a、 c 的长度就变成了二分之根号五。而 c、 d 呢，我们刚才量过了，他也是二分之一，此时就会得到 a、 d 的长度等于二分之根号五减一。 于是把 a、 d 的长度量下来啊， a、 e 的长度也等于二分之根号五减一。 那我们都知道啊，黄金分割的黄金分割比就是二分之刚好五减一。在 a、 b 全长是一的情况下， a、 e 二分之刚好五减一点， e 是 a、 b 的黄金分割点。 ok 啦，你掌握了吗？

这个视频咱来讲讲做图，看看怎么用尺规做图，做出线段的垂直平分线。尺规做图自然需要直尺和圆规了，还记得不，这个直尺是没有刻度的，而圆规是用来保证长度一致的。 要做线段的垂直平分线，就来想想垂直平分线是怎么判定的呗。到线段端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上，如果找到两个这样的点，两点连线就是垂直平分线了。那么问题来了，怎么通过尺规找这样的点呢？对了，用圆规，圆规可以保证长度一致， 以这个点为圆心，选一个半径，注意这个长度必须大于线段的一半，然后以他为半径，画个小胡，之后，圆心换到另一端，半径不变，再画个小胡。哎，这个焦点不就满足这两条线段相等吗？ 那还差个点呀！没关系，你刚才画胡的时候，上面来个小胡，下面也来个小胡，另一个圆心的时候也这样，这个焦点 到两端点距离也相等，这不就是俩点了吗？这俩点一连，这条线就是线段的垂直平分线了。值得一提的是，这条线既垂直又平分，所以找终点和做垂直也用这种方法。选一个长一点的半径，然后这么画个胡，再这样一下， 换个圆心，半径不变，再来两个小胡，连接两点，就是垂直平分线，这是终点，这是垂直。这就是指挥。做垂直平分线是不是很简单？那就来个小题目练习一下。说某村计划在一条河边挖一个小水塘，他得到 ab， 两块田地的距离消等。题目要求你用尺规做出，在图中确定水塘的位置。 哎，这个题跟垂直平分线有啥关系呢？你看这个水塘要到 ab， 两块的距离相等。翻译一下，那就要求这个水塘必须在 ab 的垂直平分线上做出这条线，以 a 为圆心，选个半径，这么一画，再这么 一画，然后以 b 为圆心，半径不变，这么一画，再这么一画，最后把两个焦点连起来，这条线上的任何一个点都满足到 a 和 b 距离相等这个要求。 但是哪个点是水塘呢？水塘总得在河边吧？那垂直平分线灯河的焦点，这个点既满足水塘在河边，又满足到 ab 距离相等，就是题目要求的水塘位置了。 以上就是垂直平分线的作图问题，画垂直平分线的方法就是这样画两个胡，再这样画两个胡，连接焦点就可以了。这条线上的任意点到线段端点的距离都一样，用这个性质，你可以解决一些实际问题哦。好了，为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！