高数函数图像生成器

由于老师课上提问叫找到黑板上画的图形对应的函数，我就构造了一个图像一模一样的函数，就是这个积分。 然后我就突发奇想，测试一下目前主流图形计算器绘制它的速度，这是今天要用到的仪器，由于某些机型绘制速度较慢，后续视频有加速处理。测试开始。 prime 八点二秒完成， cg 五零六十一点八秒完成。 inspire 一百四十九点八秒完成。

大家好，今天我们介绍一下怎么用 pcl 来绘制函数图像，用 bccl 来绘制函数图像非常简单，比如说我们要绘制这两个函数的图像，首先第一步我们先设置自辨量 x， 比如说从负十到十之间，我们可以设置补偿为零点五，首先是负十，然后 然后我们可以向下 啊，头痛，这样我们就设置了 字面量 x， 从负十到十不长为零点五，然后设置外一的字 万一等于 s 方，然后我们再 设置 y 二字， y 二等于三 x， 然后我们选定单元格 啊这两个单元格，然后双击，在鼠标成四字箭头的时候双击这样自动填充。下一步我们再选中 数据，选中数据，然后选择插入闪电图，选择这种 带平滑带平滑线的三点图，这样函数图像就会出现了， 这就是我们啊，这就是我们绘制函数图像的方法。好，今天我们就讲到这里，好，再见。

没有华丽的拍摄，只有慢慢的干货，每天一节高数课，期末考试不挂科。今天磊哥带大家来看函数图形的描绘，这个东西不太重要，但是你得 知道，好，我们来看一下他的步骤，你按步骤去画图就可以了。第一步，确定 fx 的订阅啊，及他的一些对称性，周期性，还有机油性啊，这样的话，我们，嗯，比如说欧韩说我们可以只画一半啊，另一半用那个对称来画就可以了。第二步，去求 f 一街道，二街道，并求出一街道和二街道为零和不存在的点啊。第三步，求间接线。第四步，列表判断增减和凹凸区间，并求出机制和拐点。第五步，确定某些特殊的点，描绘函数的图像。而在这里头最重要的就是这个求间接线，我们在注意求 求肩心线的时，求肩颈线的时候啊，如果有水平的肩颈线啊，那就没有斜的肩颈线，没有间断的点，就没有牵直的肩颈线啊，在这里大家注意一下。好了，我们来看一个例题 啊，我们要去画出这个的图像啊。第一步，订阅无穷大到无穷大。第二步，一街道啊，一街岛的话， 很快求出来，他等于零算出两个，一个是负的三分之一，一个是一二解倒啊，再领他等于零算出三分，这没有间断点，还没有间断点，没有间断点的话，那就没有牵直的间接线。 好，那我们来看一下啊，如果 x 第三步，求接近线，去进无穷大的时候啊，去进无穷大。我们来看一下 x 看原函数， x 取进无穷大啊，原函数是他啊，那这个取经无穷大了，那我们就 可以推出没有水平的间接线啊，没有间断点呢？没有牵直的间接线，好了再来看啊，斜接近线，外 bx 啊，外 bx 是这个样子的，嗯，当这个雷梅塔 x 去进入熊大的时候 啊，我们会发现他就是无穷大啊，这样的话，我们就没有斜近近线好了。这样的话啊，列表，列表的话，第一行啊，第一行的话他有四行，第一行是 x 的范围，第二行是一节导，第三行是二节导啊，第四行是函数。 好，那我们来看一下，这跟高中是一样的，跟高中是一样的啊，服务从大到负的三分之一啊，这是一个三分之一啊，那负的三分之一到三分之一，三分之一，三分之一到一 一，一到无穷大。这跟高中那会球最值那个步骤是完全一样的啊，然后在这些区间里头啊，我四个区间里头，我们去判断 一阶倒数和二阶倒数的正负。有，我们知道一阶倒判断单调性，二阶倒判断凹凸性啊，这个一阶倒二阶倒的正负很简单啊，磊哥在这里就不说了，这个很简单啊，完了以后我们判断出来了以后一阶倒大于零啊，单调低增，二阶倒小于零，单调低见。 小鱼岭单钓地界，大鱼岭单钓地增一岛判断单钓性，二岛判断凹凸性。二岛啊，小鱼鳞，小鱼鳞凸的，小鱼鳞凸的，大鱼鳞凹的，大鱼鳞凹的。那我们来看啊，你先增大哦，后减小极大 啊，那我们再来看这个点啊，倒二阶倒出现了一夫一症啊，那他必然是拐点，拐点啊，第三个啊，你先先减小，先减小，然后再去增大啊，那这个点就是绩效 好了，这样的话我们来确定某些特殊的点，那特殊点就敷三分之一啊，三分之一和一啊，我们去算一下这几个点的函数值啊，算出来了以后啊，我们在这个坐标系里头啊，秒点绘图就可以了啊，从敷胸大到敷三分之一的时候啊，是凸的，凸的增大啊，要画成凸的样子 啊，凸的增大啊，增大到这个负三分之一，然后到负三分之一到三分之一的时候啊，减小凸的减小啊，所以这块画成凸的，凸的减小三分之一到一，凹的减小，所以这块的话拐点凹的减小 啊，一到无穷大凹的增大啊，好了，图像就画起来了，今天就跟大家分享到这里。

函数的图像呢，可以说是很多样的，这个可以是函数的图像，这样也可以，甚至这种歪曲牛八的都可以。哎，函数的图像可以说要多难有多难。有些同学可能又说，耳闻啊，大学中学的这个传说中的高数呢，还得学函数的图像。 听到这啊，有些同学可能就有些伤感了，我明明还只是个可爱单纯的初中生， 为什么不能联系我，要让我学这么难的东西呢？打住吧，别矫情，别害怕。虽然说函数的图像难起来，真的是让成年人都难以招架，不过我们今天要学习的是 最简单的一种纯直线型函数，保证你听完一遍就会老简单了。好，那在正式开始之前呢，希望大家对于上节课的这些知识点是会的， 如果你发现有不会的地方，可以去复习一下 直线型函数，教材里压根没有这个词，我瞎编的，但是很直观嘛，就是说他的函数图像呢，是一条直线。好，我们先不考虑什么函数不函数的， 咱们就说直线，大家想在一个平面内是有无数条直线的，那我们怎么才能描述其中一条呢？我总不能找个人拿小棍比量吧，那太嘚了。再说线要真的很密的话，咱也没有办法拿棍去比量。那我怎么办呢？ 我们知道吧，直线的都是无限长的，也就是说在长度上呢，还真没有什么好区分的了。那有什么办呢？至少来说，我们看这些线 方向是不一样。哎，那我有办法了，方向不一样吗？索性的我就画一条线参考线，为了让大家在视觉上的看着得劲一点，我索性的就画一条纯水平的参考线， 这条参考线呢，肯定会与每一条直线呢有一个夹角，我们就可以通过夹角来区分具体是哪条直线。比如说我找个夹角是三十度的，那肯定是这条嘛，夹角是六十度的，那就是这条呗。哎，你看他就区分开了。 这个招呢，看起来好像是挺完美的哈，但其实一点都不完美。为啥呢？我换个图。好， 这回呢，我找夹角为二十度的，但是你看这可有一二三四，这四条都是二十度的，他们是一种平行线。那你看，所以你用夹角的方式呢，他这四条就区分不开了，那要怎么办呢？ 我们就单看这四条，我想他给你的感觉就是他们的高度不同，但是吧，你说直线本身他是无限长的，他真要延长起来，哪有什么高不高的，都很高，都是无限高。 哎呀，那要怎么办呢？其实我们可以这么做，我们可以在我们的参考线上呢，找一个点过这个点呢，做一条垂线，这条垂线呢，就会与这些个平行线呢都有一个交点，虽然说直线没有高度，但是交点可就有高度了， 我们就能够通过焦点的高度来区分这些平行线了。好，所以你看，我们在有这个参考对象的时候，我们就能够通过直线的倾斜角度，或者说我们以后要经常用的词叫斜率以及呢高度。在这里高度呢，我就打双引号了，因为直线 没有高度一说，这两点呢，来描述平面内不同的直线，你看很好理解吧。好，那我们说回直线型函数，我想有的同学已经察觉到了啊，咱们刚刚做的这个参考对象有点像平面直角坐标系啊， 没错了，还真是这么个事，我们在一个平面直角坐标系当中，要写出一条直线的函数解析式， 虽然不知道怎么写，但是我们知道这个式子呢，他一定有效的能够把倾斜角度以及高度这两个要素呢给体现出来。那具体要怎么做呢？我们分别来看。首先看倾斜角度，提到倾斜角度，我们就不得不提到一个新的概念了， 叫正比例函数。啥是正比例函数呢？你可别想当然的理解为，那就是啊，自变量越大，函数值越大呗，可不是这么回事 啊，我们先不看他的定义，我们直接看他函数图像的特点吧，他的图像呢，简单说就是经过坐标系原点的直线， 不管我这么画这么画还是这么画，怎么画都行，只要经过圆点就行。可以说这一圈啊，你怎么画他都是正比例函数。 但是呢，凡事都有特例嘛，有两条不行，一条呢是跟 x 轴重合的，一条是跟 y 轴重合的，这两条不行。 有同学说，为啥呢？呃，先卖个关子吧，一会再讲。好，所以你看这些函数图像呢，其实他都有一个特点，我呢，直接把对应的解析式呢给大家写上去， 大家来看看有什么特点啊？有聪明的同学一下又反应出来了，正比例函数呢，看起来很简单呢，它的形式无非都是一个 f， x 等于一个数，然后再乘以 x， 没有任何其他花里胡哨的东西啊，没错，就这回事。简单总结一下，就是说剩比例函数呢，它都是这种 fx 等于 kx 这种形式了，但是这里特别强调一下， k 呢，不能等于零，那其中这个 k 呢，咱们叫它比例系数， 也可以叫斜律。我们通过不同 k 的值呢，就能够描述一条直线型函数的倾斜角度。但怎么说呢，这可不是说真正的角度啊，可以说倾斜多少度，多少度多少度。大家刚才也看到了， k 呢，可不是多少度，他就是普普通通的一九里数，所以用 k 来描述倾斜角度，具体有什么规律呢？还真的给大家总结一下。好，我们来看这条线呢，他跟 x 轴的夹角呢，是四十五度哎，这条线呢，他就是 fx 等于 x 的函数图像， 也就是刚才这个结构里 k 的值等于一的情况。我们呢就以他为基准，我们发现了这个开口越大， k 的值越大，但不管 k 的值多大，他都只能无限逼近于跟 y 轴重合，但肯定是重合不上了，也就是说在这一段范围内呢， k 的值呢，是从一到无穷大的。那这里有个小知识点，我们用这个符号呢，来表示一个无穷大的正数， 正无穷。然后下面这段呢，你会发现，他的开口越小， k 的值越小。但是这里需要注意的是，当这条线接近跟 x 轴重合的时候， k 的值他有多小呢？他是接近于零的，但他不会是零，也不会比零小。 好，那 k 为正数的情况呢？呃，基本上就找到了那 k 等于负数的情况，我们来看另一侧 这条呢，就是 fx 等于负 x 的函数图像了，也就是说 k 等于负一。那为了方便观察呢，我们首先看另一侧的夹角，我们发现夹角越大呢， k 的值呢，是越小的，随着开口的不断增大呢， k 的值呢，它无限接近于富无穷。 而开的值越大呢，他的夹角是越小的，随着夹角不断变小，开的值呢，无限接近于零。好，那这段说的比较绕，但是呢，大家从图上来看，呃，应该还是很直观的， 索性呢，还是直接给大家出个小题吧，看看大家理解没有。这里呢，有六个正比例函数，在坐标系上呢，还有六条线哎，这六条线呢，正是这六个函数的图像，但是具体呢，哪条线对应哪个函数，我可没给大家标，所以题目呢，就是帮大家标注一下。 这两条灰色的虚线呢，分别就是 fx 等于 x 以及 fx 等于负 x。 这两个函数的图像呢，是为了辅助大家来做题的。好了，快暂停视频，试着做一做吧。 好，那这道题呢，我特意是用颜色呢把线区分开了，要不然呢，不太好标注，太密了。如果你对刚刚这个图还是非常熟悉的，那这道题是真一点都不难。 好，那这道题也没什么可讲的了，我把这个颜色呢和对应的解析式呢放在这里了，大家对照一下。好，那其实刚才大家学完正比例函数了，我们大理也知道了，究竟该用什么方式来描述我倾斜程度就 y 等于 k， x 嘛，就完事了。好，那接下来我们 要学习的是依次函数，依次函数呢，就是最初给大家说的了，他就是一条直线，那既然他是条直线的话，还得有一个因素，很重要的就是高度。咱们还是直接看例子啊，这里呢是 fs 等于 rs 的图像， 这是 fs 等于二 s 加一的图像，这是 fs 等于二 s 加三的图像，这是 fs 等于二 s 减二的图像。 注意看他们与 y 轴的交点啊，那就分别是一三和负二。哎，所以你看，其实这个规律呢，还是很好找的。如果我们想要描述高度的话，其实就是在刚才正比例函数 fx 等于 kx 后面呢， 我们再加上一个数，加上那个数呢，就是跟 y 轴的焦点所对应的值就行了。那这个值呢，我们用未知数 b 来表示吧。所以你看依次函数的解析式呢，也很简单， 就是 f x 等于 k， x 加 b， 那这里呢，再赘述一下， k 呢代表的是倾斜程度，也就是斜率， b 呢是高度。通过这两个参数，我们就能够用一次函数来描述坐标系上所有的直线了。 好，那讲到这里，相信大家对于正比例函数以及依次函数是什么东西应该有一定了解了，其实大家看正比例函数，他不就是一种特殊的依次函数吗？也就是这个 b 等于零的情况。 好，这里有一些事情呢，需要大家注意，看起来我们学完意思函数了，好像这个意思函数能描述坐标头上的所有直线，但其实不行，有一些线是不行的。 什么呢？大家一定要注意了，与 x 轴或者 y 轴重合的不行，以及与 x 轴或者 y 轴平行的线也不行。用土话 话说，就是纯横着的不行，纯竖着的也不行。那为什么呢？那其实不也是咱们刚刚埋的这个坑吗？为什么依次函数他不能跟 x 平行或者 y 轴平行呢？分别讨论一下。首先呢，是跟 y 轴平行的情况，这样的直线呢，他有个最明显的问题，就是 正常的函数啊，肯定是说你输入进来一个数，处理完之后呢，回给你一个结果，只能是一个结果，你不能反给我两个结果。大家想象一下，假设说我买两瓶矿泉水，结果你让我付三元或五元，那这个钱我怎么付啊？那我到底付三元还是付五元呢？ 所以对于函数来说，你输入进去一个数，只能肯定的得到一个结果。所以你看，如果函数的图像是这种竖着的，可以说他就很过分了，就比如说这条，如果 x 就等于三了，可以说，那我 取到的函数值 fx 可以是任意的数，也就是说是无数个结果。虽然说这条线呢，它也是有意义的嘛，它就是 x 等于三嘛，但是它绝不是函数的图像，那即便是这种图像，它看起来很平滑，但是我们看这段范围之内呢，一个 x， 它是对应两个函数值的， 铁定也不对劲。那这种线呢，或许它有它的 e， 但呢它不是函数的图像，所以说回来竖着的不行， 那横着的呢？也就是说对于一次函数来说， k 等于零的情况呢？ k 等于零不是横着的吗？那这种情况呢，这些线所表示的函数功能呢，都有一个特点，就是说，不管你 x 是几，我函数值呢，横是某个数， 也就是说自变量 x 变化，但是呢， f x 呢，它不是音变量了，它不跟你变了，它是长数了。那这种呢，其实也 属于函数，它叫做长数函数，但是并不在依次函数讨论的范围之内。所以呢，我们说依次函数 y 等于 k， x 加 b 呢， k 不能为零。好了，那这个坑呢，咱就给顺利添上了 好本期视频的最后一个知识点了。我们知道两点就能够确定一条直线，所以从理论上我们肯定能想得到啊， 假如说我在坐标系上给大家两个明确的点，他肯定能连出一条唯一的直线嘛，那这条直线呢，肯定是有一个明确的函数解析式的，理论上是可行的哈。但是如果现在我真给你一个题，哎，我已知两个点呢，是一负二三 四，我就让你求这两个点连成的直线的函数解析四。哎，你能做出来吗？有同学可能有点蒙了，哎呀，那这可咋做呢？但其实啊，很简单，领大家做一遍 就会了。我们知道直线型函数，也就是一次函数，他肯定符合 fx 等于 kx 加 b 这种形式的，我们把 k 和 b 求出来不就完了吗？具体怎么做呢？很简单，就是把这两个点直接往里一带就完事了， 就形成了负二等于 k 加 b， 四等于三， k 加 b， 你看我把这两个四的连立一下，哎，这不就是咱们之前学习过的二元一次方程吗？求解过程呢，咱就不演示了，以前咱都学过，最终求出结果， k 等于三， b 等于负， 你看咱们这个函数解析式呢，就求出来了，就是 fx 呢，等于三 x 减去五。好了，那这集的视频呢，就到这里了。呃，这个名词知识点呢，真的很密，真需要你消化一下。这集视频呢，还是有习题课的，所以我们下期再见吧，拜拜。

另外拿到函数以后，我们还经常要讨论所谓函数值、值域、函数的图像这些内容啊。那么所谓的函数值是一个什么概念呢？ 那我们说跟自变量 x 的取值，当 x 取 x 零对应的瓦埃，就比如说叫就是瓦埃林， 那么这个我爱玲就叫做这个函数在 x 零点处的函数值，就是与自变量的取值 x 零对应的我爱值，也就是我爱玲，这个我爱玲就是函数 住在 x 零点处的函数值，那那么我们通常这两者之间的关系就用 通过这个函数符号建立起来，那在这个等式当中， x 零就是自变量的曲子五二零就是 应变量我爱的取值，也叫函数值啊，函数在 x 取 x 零的时候的函数值。 那举这么一个例子，比如说有这样一个函数， y 等于 f x， 或者说 y 等于二 x 平方，那么在 x 等于三的时候，我们去算对应的 y 值 是十八啊。那么针对这个函数来说，当 x 等于三的时候， 函数值就是十八啊，那 x 等于三时候的函数值是十八，那么三跟十八之间建立起来的关系就是这个样子。 f 三等于十八，那这 那么所有的函数值构成的集合，那就是娃儿的取值。 哎，我爱所有，当 x 在题中没取一个值，就得到一个我爱值， x 再取一个值，又得到一个我爱值，把所有的这些我爱所取的对应的值放到一起，这样 构成的一个竖集，就叫做这个函数的值域。那这个函数的值域呢？我们通常用这么一个符号，你看自变量 x 在丁域笛当中取 x 没取一个值得到一个，按照函数值得到一个娃娃娃也就放进去了，放到这个书籍里面去了。 x 在题当中再取一个值，又得到一个，娃娃娃又放进去了，那把 x 在题当中所有的值都取一遍， 就得到一系列的我爱纸，我爱纸，通通放在一起构成的这么一个集合，就叫做这个函数的值域。 比如说像这样一个函数， 那这个函数它的直域是这样的一些娃儿构成的集合，娃儿是什么呢？首先我们看自变量，自变量必须大于等于二分之一， 那按照这个函数的表达式，我们一看函数的定律，要大于等于二分之一，那么 x 取 二分之一的时候， y 是零。好， y 等于零，放在这个里边，比如说 x 等于一， x 等于一，放到这个里边去啊，放到这个地方去，那么 y 就等于一， 华 a 等于一，也要放进去啊，又得到一个华 a 值，对 𠲎， x 等于，比如说等于二，那么 x 等于二， 往这一算，我还等于根号三，根号三也在里面，又放进去，所以你看 x 在大于等于二分之一的时候，就可以得到一系列的瓦艾值，把这一系列的瓦艾值通通放进来， 再到一个娃的范围，再到一个娃的数级，或者叫，那么这个娃的数级呢？我们把它通通的表示出来，就是职业，那么我们可以算错，这个范围是 零到正无穷之间的所有数啊，这些这个范围就是我爱的取值范围，也叫函数的值。 好，再看所谓函数的图像，我们说一个函数 x， 每取一个数 x 零， y 就有一个对应的函数值，叫我爱零，那也叫 fx 零， 那么这两个数构成一个数组，这个数组就是平面直角坐标系当中的一个点 啊，那么 x 换一个数取 y， 也就有，一般来说也换一个数，又得到一个平面指教做标系里边的一个点，那么把所有这样的点啊，这放在一起构成了平， 这个就是平面上点的集合，那这个是平面上点的集合，这个平面上点的集合就是要满足 x 在的当中取，然后相应的得到 y， 把 x 跟 y 放在一起以后得到的平面上的点， 这样的一个点的集合，我们把它叫做这个函数的图像 啊，把它叫做，那么如果把这些点在平面直角做标系里边，把他们一个一个的给标出来的话， 一般来说不是绝对的啊，画出来的就是一条曲线，有时候是两条曲线，有时候是好几条 曲线，当然也可能是只有几个点，这也有可能啊，那么一般来说函数的图像呢？我们讨论的函数大部分见到的都是这个 曲线的形式，那我们说这个这段曲线， 这就是函数 y 等于 fx 的图像啊，这个点上面 这一条曲线上面任意的点 x y， 这个 x 就是在定律当中取的 x， y 就是跟 x 相对应的 y 指他们 x 跟 y 共同构成了平面上的这个点，然后 x 换一个地方，又得到 一个 y， 然后 x， y 又得到平面上的一个点，把这样的一系列的点串起来，就得到这样一条线 啊，那么这个 x 的范围在这个里边取悦，所以这个范围叫做定义运娃也只能是在这个范围里边取，这个就是直运 啊，这个这条曲线就是函数的图像，那这就是函数的图像啊？这是函数的图像的来历啊？函数图像的来历。

哈喽，各位哥哥姐姐，弟弟妹妹宝贝同学们，咱们昨天是不是已经总结了那个不定积分的那些公式，以及就是我额额外特地给你们说的 就是那几个重点，那一定要仔细看一下啊。然后咱们今天来讲一下这个呃各种函数图像以及他们的画法以及他们的原理啊。主要是给大家讲一下就呃可能会遇到的，就比如说像那些呃 题里面他可能是只给你一个函函数式，然后你不会画图怎么怎么办等等的这种的。我还是给大家讲一下这些图像的原理，然后就方便大家做题的时候去去用。好吧。 然后第一个我们先来看一下这个星，呃，星形线啊，这个星形线呢，你看他的直角的直角的这个，呃，直角的这个方程是 x 的三分之二次方加 y 的三分之二次方，等于 a 的三分之二次方啊， 这个 a 他就是一个长数，然后这个也就是在他们这几个标红的啊，我给大家标红的这几个顶点，顶点啊，四个角的这个顶点。然后参数方程呢？就是呃， x 等于 a 乘以 cosin cosin c 的三次方，然后 y 等于 a， 呃， a 乘以顺 c 塔的三次方。为什么他是这样的一个算数参数方程呢？这就需要呃牵扯到咱们其中有一个点，就是指吗 a 为的， 然后 c c 它的平方加上 quotan c， 它的平方等于 a 对吧，因为这个地方它等于等于一嘛，对吧？所以呢，它就是用了一个这样的点， 用了一个这样的点啊，然后就导致了呃，咱们跑到这边来去看一下，如果把这个地方，把这个地方正好带入进去 这个式子，你会发现他就相当于化解成了右边这个式子，对吧？然后所以其实呢，它的原理就是次次 cta 的平方加上框子， cta 的平方等于一。然后如果画这个点，那为什么他这个图像是是一个星星这样的一个形状呢？这个时候就要讲一下咱们的函数图像，函数图像啊，就比如现在 甚甚函数啊，画一下，大概就是长这个样子对吧？然后 cosin， cosin 函数就是长这个样子。 然后这个地方呢，这个地方是二分之派，这个地方是派对吧。然后再假如说我们看第一象限啊，在第一象限我圈的这个第一象限里边，他是不是从我们 零度，先从零度开始看，当他为零度的时候，我们这个地方是不是应该处于一个最什么最大？当他处于零度的时候， 也就是相当于我这个函数图像，我再画一个直角坐标写啊，当他处于零度，也就是平着的时候，我们的 x 是不是最大的？我们 x 最大，是不是就应该去看一下我们这个扣算函数图像，扣算函数图像是不是哎，你看标零的时候，他是不是这个地方是最大的？ 然后所以当他为零的时候，但是这个时候啊，我的外，我的肾，我的肾呢，他就相当于是为零了，对吧？因为我我 y 吗？ y 等于 ab 的 thane， cta 三四方。然后我我角度是零，所以我 cta， 它也是零，对吧？所以我 他为零点的时候，我这个点就在这，然后随着我这个角度不断的往上去升高，哎，不断的去升高。那么 b 有一点就是他的在小于 四十五度的时候，它的什么呢？它的 cosincita 的值， cosincinta 的值一定是大于什么？大于二分之跟二。在等于四十五度的时候，它等于二分之跟二。在大于四十五度的时候 干什么？它是小于二分之跟二对吧？同理，反过来，我 send c， 它也是这样。所以就导致了会有一个最 最有最中间的那个点，他就是二分之跟二和二分之跟二的。就是那个角度， synthetic 和 cotton zert 嘛。所以所以在这个点呢，其其余的任何一个点，要么是 synthetit 大于二分之跟二，要么是 cottnet 大于二分之跟二。只有在这个点最中间的那个 点，导致了他们两个是相当的。所以他这个他这个画的这个图像呢，就是你看必有一点是要有这个弯曲程度，一定是超过了中间这个点的。 然后所以这就是为什么他这个函数图像画出来是一个如星星一般的形状。第一项也这样分析，其他项也是同样的。这样分析啊，只不过是角度 不一样。然后直角的三人方程呢，这个是需要稍微去记一下，然后摆线呢？摆线呢，就更有意思了。摆线呢，它的参数方呢，是 x 等于 ab 的。呃， c 塔 c 塔啊。记住，这个点是 c 塔局，相当于。其实它这个里边就是还还是在跟你说一个字，变量减去一个 c， 就相当于 x 减 c x 这种形式吗？对吧？然后然后那 y 呢？ y 就是 y， 其实就是 x 的倒数。哎，为什么这样理解呢？因为你看啊，这样写下来了， a 位的对吧？ c c 塔 c 塔。它作为一个变量来说的求导是什么？就相当于 x x 求导是不是就是一， 然后减去一个什么 c c 的都说了它是一个变量对吧？ c c 它也就相当于 c x 求导过来是不是变成 cos x， 也就相当于 c c 的求导过来是不是变成 co c 的。 a 位的意见就相当于你记住这个 x， 然后你再记住这个 y， 其实就是它的一个求导就可以了。然后再也是看我们 找角度问题对不对？角度问题那什么时候可以取到 y 的最高值？最高点也就相当于我看 coulson sitter coulson 如何取到 y， 它的它是最高点，也就是我们看 colson set 什么时候是最低的。还是找我们的 cosin set 那个函数图像呗。是不是当它为负一的时候，当它为负 一的时候，这个点是派对吧。所以说他这个点一带入正好是在 x 轴上，也就是此时我们 x 他的他的角度，角度一带入正好就是 a 派。然后所以这个时候他的百线就是就是这样画的，也是通过找角度的方式去给他带入的。 然后还有心形线，心形线呢，就是这个点。也就是我们常常容易忽略的，也就是肉等于二等于什么呢？根号加 x 的平方加外方，它实际上就是什么？ 实际上就是图上的这个点和零点的距离。图上的任意点与零点的距离是不是都应该是钢号加 x， 平方加外方。也就相当于我在这里我再画一个，画一个直角对标系，这个一一。假如说我这个地方是一一对吧，那 他此时的肉是不是就是根号二对吧，就相当于是他是和他的一个距离，和零点之间的任何一个距离。然后越来越多的点开始出现之后，是不是我们就可以你看这些控制的这个点呢？与零点之间的距离，我们只需要把这一点给连起来，是不是就可以判断哎，你看我这个点 是不是，是不是。这样去就可以去构建出来一个函数图像，那与此同时，我们对于新型线来说，他也是这个样子的。 肉等于什么？等于二，等于根号下 x 平方加 y 方。所以说我们需要找到在假如说在这个是 x 啊，这是 y， 我们没标注。然后在这个函数图像上， 假如说等于零的时候，角度啊，角度开始找角度，因为肉等于 a 倍的什么一减 c t， 它同时等于根号下 x 的平方加 打外方对吧？所以这个时候呢，我们把 c 塔等于零的时候，也就相当于在平着的时候，平着的时候他是不是最大值，因为这个时候当 c 塔等于零的时候，然后他是他是什么？ 它是零啊， c c 大等于零，所以这个时候它正好这个地方就是 a 呗，对吧？随着角度慢慢的增加， 哎，随着角度慢慢的增加，你会发现 syntheta 在逐渐的什么，在逐渐的变大，对不对？所以说我此时这个肉质，它是不是在逐渐的变小？这也就导致了什么呢？导致了我， 你看每一个点都在都在和原来是这么长，现在变成了这么长，这么长，这么长。哎，我们把这些点一连起来，就会发现他成了，成为了一个什么，成为了一个新型的右半部分的这样一个标线。 你看这个点到这个角度为零的时候，这个角度假如说是四十五度的时候，这个角度假如说是八十度，这个角度假如说是九十度，哎，你看 角度为零的时候，他是这么长，四十五度的时候他只变成这么长。哎，你看，这就是通过了我们与这个点之间的这个 这个长度问题与他这个连线的这个长度问题去判断的对吧？然后这就是为什么说我们要记要分析他这个图像的原理，你不能说只知道为什么他这个肉等于 ab 的一减三四道，为什么他就是一颗爱心的形状出现他的原理实际上就是因为 随着角度的变化，他的自身的这个与与与原点的这个距离也在不断的发生变化。然后同理这三个，这三个和第一个的 分析是一模一样的啊。然后还有就是这个博努力双钮线，呃，可能画的有点丑啊，大家理解一下就就行了。还是我们用到了什么？肉等于钢化侠 x 平方加外放，那那肉方等于什么？ x 的平方加 y 的平方 对不对？这个时候分析呢，和那个是一模一样的啊，咱们这个地方是不是什么？咱们这个地方是是肉方对不对？ 然后然后给它转换一下，就给它转换成了这种极坐标的形式。肉方等于 a 方 cousin 二 c， 它 和上面的分析呢，还是一样的。在在什么？在 cosinc 塔，它应该是等于什么的时候，它是最大的。还是找角度为零的时候，咱们可以分析一下 cosinc 塔是这样的一个函数图样对不对？ cosin 二 c 塔，它也 cosin 二 c， 它呢？它是一个什么样的函数图样？就是把这个函数图样呢？这个边界的这个值是不是给缩小了？那原来是二分之派的，那是不是就此时应该是变成四分之派了，对吧？但是它这个顶点的值还是没有发生改变的，在 c 它等于零的时候，它仍然是最大的。 然后分析的时候的也是。我们可以画一个 cosin 二 cta 的喊声图像， cosin 二 cta 的喊声图像去去描述一下，对吧。这个是当 ctacta 为四分之派的时候，它是一个变成零，然后当它变成什么？当它变为了一个负的。 哎，不对，当它变为了什么？当它变为了一个。哦，没有这个这个它，它必须是 四分之派啊，他取不到。对，他取不到。那个什么，因为因为我肉，我肉必须是大于零的，所以我这个点，所以我这个角度问题呢，一定是大于四分之派的，所以他这个切线， 所以它这个切线一定是什么？ y 等于 x 和 y 等于负 x， 这两个是它的切线。因为它的角度啊。注意啊，在双钮线里边，角度一定是什么？ 写错了，角度一定是小于四分 pad 啊，小于四分之 pad 啊，角度一定是小于四分之 pad 啊。记住了， 因为他不可能大于四分之半。一旦他大于四分之半，那么就会导致什么情况发生，就会导致了他的肉，呃，他的肉变成一个负的啊，那这个肉一定是一定是大于零的啊。然后还有堆数罗线，堆数罗线，就是 呀，写错了。对数罗线就是若等于 e， e 的 a sense， 它当 a 小于零的时候，它是一个，这是什么逆时针对吧？然后逆时针还是顺时针，我有点分不太清。这是 这是顺时针啊，当 a 小于零，它是一个顺时针，然后当 a 大于零的时候，它是一个逆时针啊。顺， 然后这是一个逆时针啊，这个点要要注意啊，这个这个分析还是和那个是一样的啊，然后还是 c， 他等于零的时候，去判断一下他这个点啊，他这个点是不是是一对吧。然后注意啊，这个地方是角度啊， 角度到数值数，数字，数字的转换。记住记住分析啊，实际上他的角度越大，他他的那个 值不一定是越大的啊。然后还有阿基米德罗线，阿基米德罗线还是 row 等于 a a 倍的 set， 然后这样去分析。然后这个的话就是你看他这个点，就是从从什么从原点开始，然后随着角度，角度如果是 零的话，然后他是怎么样的，然后就分析，然后转圈嘛，角度是零，然后随着角度的增大，然后他会逐渐的增大对吧？然后他这是转了好几圈啊。 然后还有玫瑰线，玫瑰线应该是我们平时能遇到的最呃最多的一类题目了吧，就是最最最多一点的应该是然后他这个点呢，还是就分析的话，当 他为什么样的角度的时候，他这个他这个玫瑰线就是相当于是我这个二，实际上还是 等于什么？根号加 x 的平方，加 y 的平方，比如说我们去找 c 三， c 它在什么情况下它取到一个最大值呢？在什么情况下它会取到一个最大值？那也就是我们去看一下它这个韩文图像啊。 这个点原来是不是应该是二分之派？那他现在是不是应该变成了二分之派？除以三就是 呃，三分之二。呃，不对，写错了，就是六分之派对吧。在六分之派的时候，我这个肾肾值是不是应该取到一个最大值？所以说他这个点与他之间的这样一个关联，这样这样去画的话，是不是应该 能看出来他他这个时候是不是应该和原点的距离，也就是我这个二此时是不是应该最大的。所以他这个玫瑰线呢？就是还是和上面的图像的分析是一样的，看 角度。第一看角度，然后去找什么，第二去看二和角度之间的关联，然后记住了，二等于 row 等于根号下 x 的平方加外方等于与原点的距离， 距离。然后这样去分析就可以了啊。然后就是你多描几个点嘛，可以用描点法去去画。描点法 就是如果你不知道，如果你不知道这个图样怎么画的话，还是和我一样多描几个点画。 set 等于零的时候， set 等于六分之派的时候， set 等于四分之派，然后直到把这个函数图像给画出来 啊。这就是大概给大家讲一下这个函数图像，然后怎么分期，以及他为什么画成这个样子。好吧，就是呃。

这是一道判定初等函数基友性和他的单调性的问题。这类问题我们一般利用定义来确定基友性，利用图像来判定单调性。逐个选项去处理。我们先看 a 选项。 由于 dha 是整个实数集，所以它符合既有限的条件，我们就不进行进一步讨论。 x 平方 f x 就会等于 x 平方减去二， x 减二。很显然，它不等于 f x。 也就是说它不是奥函数。当然了，它其实也不是积函数。所 a 选项就没必要再继续判定它的单调线。 第二个 b 选项 f 负 x 和等于一减去负 x 的平方，所以它是等于一减 x 平方等于 f x。 它是一个偶函数。 因此我们要进一步判断他在负无穷大到正无穷大的单调性。因此，我们可以画一个图，这是一条抛物线， 顶点是零一经过负一零和一零。所以它大致的图形是这样子的。 ok。 所以，显然 f x 在负无穷大到零是单调增加。 因此这显然不是我们要的结果。这也不对。继续我们看一下 c 选项。 c 选项是 f 负 x。 就函数到了一个绝对值或者二分之一的 four x 绝对值次方。 哎，也就是二分之一的绝对值 x 次方等于 f x。 哎，显然。但是哦，函数。那接下来 em 带绝对值又是偶函数。它的图像是关于圆点对称对吧？啊，关于 y 轴对称。因此，我们只需要先画 大于零那一部分，然后对称一下，就可以得到小于零的图像。 x y。 当 x 大于零的时候，它的表达式是二分之一的 x 次方。 因此这是一个底数。二分之一小于一的是经过零一这个点，然后单调底减下来，那跟于 它关于 y 轴对称，就得到了这一边类似的一个图像。因此很显然 f x 在负无穷大到零是单调增加的。 因此我们 c 选项也不是我们要的答案。那么最终哎，其实我们拍出完以后就是 d 选项。 那么第一选项我们最后也再确定一下。 f 负 x 等于 log 二，底数是二，绝对值 for x， 所以是一样是等于 log 二绝对是 x， 也就是 f x。 显然它也是个偶函数。那么头像呢？ 我们在同一个一样，我们先画 y 等于 log 二 x 这个图，再 x 取大于零的部分， 所以它的图像底数是大于一的，所以它图像是单调递增的。它是偶函数，所以它一样对称过来。 因此 f x 在负无穷大到零是单调减少的，符合我们题目的要求，所以是选 d。 这就是这道题的分析过程。