八年级上册数学第一章公式

上课之前先欣赏一部电影，大家都有看过终结者吗？终结者是美国著名科幻电影系列，著名电影杂志电影周刊在评选二十世纪最值得收藏的一部电影时，此片以最高票数位居第一。 这是一个未来的世界，天下已经由机器人来操控，机器人想要完全占有这个世界，把人类赶尽杀绝，然而却遇到了顽强抵抗的人类精英。康纳。 机器人在行动之前都有复杂的公示程序，转化为简单的指令，从而形成目标。公示法能够有效地把一个多项式进行因式分解， 从而轻松的解决问题。我们一起来看 a 平方减 b 平方有什么特点呢？你能将它分解因式吗？ 这个多项式是两个数的平方差的形式，由于整式的乘法与音式分解是方向相反的变形， 把整式乘法的平方差公式 a 加 b 的和乘 a 减 b 的差等于 a 平方减 b 平方的等号两边互换位置就得到 a 平方减 b 平方等于 a 加 b 的和乘 a 减 b 的差。 几两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的七，趁热打铁花花老师考考大家。分解因式一，四 x 平方减九在 在一中四 x 平方等于二 x 的平方，九等于三平方，四 x 平方减九等于二 x 平方减三平方。即可用平方叉公式分解因式四， x 平方减九等于二 x 加三的和乘二 x 减三的叉。 二 x 加 p 的平方减 x 加 q 的和的平方。在二中把 x 加 p 和 x 加 q 各看成一个整体，设 x 加 p 等于 m， x 加 q 等于 n， 则原是化为 m 平方减 n 平方， x 加 p 的和的平方。减 x 加 q 的和的平方等于中过号 x 加 p 的和，加 x 加 q 的和乘中过 号 x 加 p 的和，减 x 加 q 的和等于二 x 加 q 加 q 的和，乘 p 减 q 的差。 三 x 四四方减 y 四四方。对于三 x 四四方， y 四四方可以写成 x 平方的平方减 y 的平方的平方的形式， 这样就可以利用平方差公式进行一十分解了。 x 四次方减 y 四次方等于 x 平方加 y 平方。乘 x 平方减 y 平方的差等于 x 平方加 y 平方的和乘 x 加 y 的和乘 x 减 y 的差。 四、 a 的三次方 b 减 ab。 对于四 a 的三次方， b 减 ab 有公音式 ab 应先提出供音室在 在进一步分解。 a 的三次方， b 减 ab 等于 ab 乘 a 平方减一的差等于 ab 乘 a 加一的和乘 a 减一的差。 多项式 a 平方加二， ab 加 b 平方与 a 平方减二， ab 加 b 平方有什么特点呢？你能将他们分解因式吗？这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的两倍，这恰是两个数的和或差的平方。 我们把 a 平方加二， ab 加 b 平方和 a 平方减二， ab 加 b 平方这样的式子叫做完全平方式。利用完全平方公式，可以把形如完全平方式的多项式因式分解，把整式乘法的完 完全平方公式， a 加 b 的和的平方等于 a 平方加二， ab 加 b 平方， a 减 b 的平方等于 a 平方减二， ab 加 b 平方的等号两边互换位置就得到 a 平方加二， ab 加 b 平方等于 a 加 b 的和的平方， a 平方减二， ab 加 b 平方等于 a 减 b 的差的平方，即两个数的平方和，加上或减去这两个数的 g 的两倍，等于这两个数的和或差的平方。 分解因是一、十六 x 平方加二，十四 x 加九。在一中，十六 x 平方等于四 x 平方等于四 x 平方，九等于三平方，二、十四 x 等于二乘四 x 乘三。所以十六 x 平方加二，十四 x 加九是一个完全平方式，即十六 x 平方加二，十四 x 加九等于四 x 平方加二乘四 x 乘三加三平方等于四 x 加三的和的平方。 二，负 x 平方加四 x y 减四， y 平方等于负的 x 平方减四 x y 加四， y 平方等于负的中括号， x 平方减二乘 x 乘二， y 加二 y 的平方等于负 x 减二 y 的差的平方。 三、三 ax 平方加六， axy 加三 ay 平方。三。中有供应室，三 a 应先提出供应室在进一步分解。三、 ax 平方加六， axy 加三， a y 平方等于三 a 乘 x 平方加二 x y 加 y 平方的和等于三 a 乘 x 加 y 的和的平方。 四、 a 加 b 的平方减十二乘 a 加 b 的和加三十六等于 a 加 b 的平方。减二乘 a 加 b 的和乘六加六的平方等于 a 加 b 减六的平方。 可以看出，如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。 简单总结一下平方差公式， a 平方减 b 平方等于 a 加 b 的和，乘 a 减 b 的差，即两 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的几完全平方公式二， a 平方加减二 ab 加 b 平方等于 a 加减 b 的平方 及两个数的平方和和加上或减去这两个数的鸡的两倍等于两个数的和或差的平方。你们都记住了吗？怎么样？同学们，我们本节课程到这里就结束了。

闭上眼睛，想象一下，二零二三年，这是你已经十八岁了，坐在高考的考场上， 正做着数学试卷，望着试卷上的最后一道数学题，抓二挠三，懊悔不已，内心的痛苦只有你自己能体会。你已经估摸好了，大概还差三分，就能超过自己心仪的复旦大学的录取分数线。 此时，你只需要在答卷上写上一个公式，你就能如愿，因为这个数学公式就是三分。 你对上帝许了一个愿望，求求你，如果时光可以倒流，我一定好好学习数学，一定好好去公示上帝说好的满足你的愿望。于是嗖的一声，你睁开眼睛一看，回到了今天。这一次，你打算怎么度过接下来的学习时光？ 要知道，数学公式不仅重要，而且多，这些公式可别指望老师教你，记住，师傅带进门，修行靠个人来，我们集中精神开始记忆。 两个数的和或差的平方等于他们的平方，和加上或减去他们的积的两倍，这就是完全平方公式， 即 a 加 b 的和的平方等于 a 的平方。加二， ab 加 b 的平方或 a 减 b 的叉的平方等于 a 的平方。减二， ab 加 b 的平方。怎么快速理解这两个公式呢？ 可以利用几何图形来理解这两个完全平方公式。 a 加 b 的和的平方实际上是编程为 a 加 b 的正方形的面积。以 ab 为借，将正方形的面积分成四小块，四小块的面积分别为 a 的平方、 ababb 的平方。大正方形的面积就等于四个小方形的面积。 即有 a 加 b 的和的平方等于 a 的平方。加 ab 加 ab 加 b 的平方等于 a 的平方。加二 ab 加 b 的平方。 a 减 b 的叉的平方，实际上是左下角边长为 a 减 b 的正方形的面积， 他的面积正好是大正方形面积减去左上右下两个长方形的面积和右上小正方形的面积，而右上小正方形的面积为 b 的平方，左上角长方形的面积就等于上方长方形的面积减去右上小正方形的面积 为 ab 减 b 的平方。同理，右下长方形的面积也为 ab 减 b 的平方，而大正方形的面积很容易看出为 a 的平方，所以，有 a 减 b 的差的平方等于 a 的平方。减去 ab 减 b 的平方的差，再减去 ab 减 b 的平方的差， 再减 b 的平方等于 a 的平方。减二 ab 加 b 的平方。这样两数之和以及两数之差的完全平方公式就得到证明了。 当然，这两个公式我们也可以通过多项式的乘法推倒出来。考试中可以通过口诀，手平方尾平方机的两倍在中央左边符号两倍前来记住完全平方公式，比如， a 加三 b 的和的平方。根据口 口诀，手平方是 a 的平方，尾平方是三 b 的平方，鸡的二倍。二乘 a 乘三 b， 在中央左边符号二倍前加在二乘 a 乘三 b 前，即有 a 的平方。加二乘 a 乘三 b 加三 b 的平方 等于 a 的平方。加六 ab 加九 b 的平方。又比如，三 m 减二 n 的差的平方。 根据口诀，手平方是三 m 的平方，尾平方是二 n 的平方基的二倍。二乘三 m 乘二 n， 在中央左边符号二倍前 减号在二乘三 m 乘二 n 前，即有三 m 的平方。减二乘三 m 乘二， n 加二， n 的平方等于九 m 的平方减十二 m， n 加 加四 n 的平方。最后总结一下完全平方公式， a 加 b 的和的平方等于 a 的平方加二 ab 加 b 的平方和 a 减 b 的差的平方等于 a 的平方减二， ab 加 b 的平方 可以通过球几何图形的面积来证明，或者用多项式的乘法推倒出来。可以通过口诀手平方尾平方机的二倍在中央 左边符号二倍前来记住这两个完全平方公式怎么样，你都学会了吗？观看完整版课程，关注花花老师！

同学们好，我是北京八中的董昭霞老师。我们这一节课对整治的惩罚和殷实分解进行全招复习。 本章类比数的乘法学习了整式的乘法。整式的乘法主要包括密的运算性质，单项式的乘法、多项式的乘法。其中还学习了它的特殊形式乘法公式。 利用除法是乘法的命运算，学习了简单的除法，我们还学习了因时分解这种与整式乘法方向相反的变性。我们这节课主要来复习整式的乘法，因 是分解的具体内容，我们下节课来复习。蜜的运算性质在整式的运算中有着重要的作用，我们下面来看一道例题， 判断下面的计算对不对，如果不对，应该怎样改正。 第一小题， a 的平方乘 a 的三次方等于 a 的六次方。我们要判断这道题是否正确，我们就要明确这道题使用的是什么法则，它的具体内容是什么。 这道题使用的是同底数密的乘法法则，同底数密相乘，底数不变，指数相加，所以 这个计算是错误的。正确的是 a 的平方乘 a 的三次方等于 a 的二加，三次方等于 a 的五次方。 第二小题， b 的四次方的三次方等于 b 的七次方。这道题使用的是 b 的乘方法则，理数不变，指数相乘，所以这个计算是错误的。 正确的是 b 的四次方的三次方等于 b 的四乘，三次方等于 b 的十二次方。 第三小题， a 的十次方除以 a 的平方等于 a 的五次方。这道题使用的是 是同底数密的除法法则，同底数密相除，底数不变，指数相减，所以这个计算是错误的。 正确的是 a 的十次方除以 a 的平方等于 a 的十减二次方等于 a 的八次方。 第四小题，负二 ab 的平方记得三次方等于负八 a 的三次方， b 的六次方。 这道题使用的是鸡的成方法则等于把鸡的每一个因式分别成方，再把所得的蜜相乘 负二 ab 的平方记得三次方等于负二的三次方， a 的三次 次方， b 的平方的三次方等于负八 a 的三次方， b 的六次方。所以这道题的计算是正确的。 我们小结一下这道题。首先我们要明确法则，同底数密的乘法法则用符号表示为， a 的 m 次方乘 a 的 n 次方等于 a 的 m 加 n 次方 b 的乘方法则 a 的 m 次方的 n 次方等于 a 的 mn 次方。 同底数密的除法法则 a 的 m 次方除以 a 的 n 次方等于 a 的 m 减 n 次方。积的乘方法则 ab 积的 n 次方 方等于 a 的 n 次方 b 的 n 次方。这几个法则在使用时容易混淆，所以我们在使用法则时要明确法则和具体内容。 密的运算法则不仅可以正用，也可以利用。下面我们一起来看一道例题。 一至十的 m 次方等于五十的 n 次方等于三，求十的二 m 加三次方的值，下面我们一起来分析一下这道题。 要想求十的二 m 加三次方的值，如果利用条件我们求出来 m n 的值带入就可以，这道题就可以解决了。但是就我们现在的职生 而言是求不出来的。那么我们观察所求职的代数式与已知条件之间有什么特点呢？ 他们都是密的形式，并且底数相同，十的二 m 加三次方，他的指数是相加的形式。我们学过的密的运算法则中，哪一个法则有指数相加呢？ 我们不难想到同底数密的乘法法则，利用就可以得到， a 的 m 加 n 次方等于 a 的 m 次方乘 a 的 n 次方。 所以十的二 m 加三次方等于十的二 m 次方乘 十的三次方。而十的二 m 次方和十的三次方的指数是相乘的形式。我们想到密的乘方法则， 利用就可以得到， a 的 m n 次方等于 a 的 m 次方的 n 次方也等于 a 的 n 次方的 m 次方。所以十的二 m 次方等于十的 m 次方的平方， 十的三次方等于十的 n 次方的三次方。这样我们这道题就可以解决了，下面我们一起来整理一下思路。十的二 m 加三次方等于十的二 次方乘十的三 n 次方等于十的 m 次方的平方乘十的 n 次方的三次方。 将十的 m 次方等于五，十的 n 次方等于三带入圆式等于五的平方乘三的三次方等于二十五乘二十七等于六百七十五。 巩固练习，计算零点一二五的十六次方乘负八的十七次方。下面我们一起来分析一下这道题。 这道题的运算有乘法，有乘方，按照运算顺序，我们要先算乘方，再算乘法，但是他们的指 数比较大，所以计算起来比较复杂。所以我们再来观察一下这个式子，发现两个底数虽然不同，但是他们的乘积等于负一，我没想到积的成方法则， 利用就可以得到 a 的 n 次方， b 的 n 次方等于 abg 的 n 次方， 我们要使用这个利用，那么它的特点是指数相同，所以我们要将负八的十七次方转化为负八的十六次方的形式， 所以负八的十七次方等于负八的十六加一次方。利用同底数密的乘法法则， a 的 m 加 n 次方等于 a 的 m 次方，乘 a 的 n 次方就等于负八的十六次方乘负八。那么这道题就可以解决了，我们下面一起整理一下思路。 零点一二五的十六次方乘负八的十七次方等于零点一二五的十六次方乘负八的十六次方乘负八，等于零点一二五于负八。机的十六次方乘负八， 等于负一的十六次方乘负八。我们知道负一的十六次方等于一，所以就等于负八。 调节一下，我们在使用蜜的预算法则的利用时，要抓住公式的特点，利用同底数密的乘法法则，要注意指数相加。利用密的乘方法则，它的特点是指数相乘。 利用同底数密的除法法则，它的特点是指数相减。利用积的乘方法则，公式的特点是指数相同。我们复习了密的预算法则之后，我们一起来看一道例题。 若定义一种新运算， a 星 b 等于二， ab 减 b 方，求 x 星 x 与二外的合。这道题定义了一种新运算，两 数做星运算，他的运算法则是什么呢？二 ab 减 b 方，也就是等于两数乘积的二倍于后一个数的平方的差，关键是确定 ab 这两个数。我们下面来看一下这道题的解题过程。 因为 a 星 b 等于二， ab 减 b 方，所以 x 星 x 与二外的合， 也就是 a 等于 x， b 等于 x 加二 y， 带入就可以得到二 x 乘 x 加二 y 的和减 x 加二 y 和的平方。这样新运算就转化为我们 学过的整治运算。我们来看这道题的运算有加减乘乘方。按照运算顺序，我们要先算乘方，再算乘法，最后算加减， 而乘方和乘法互不影响。我们可以同时计算二 x 乘 x 加二 y 的和是单项式乘多项式， 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 实际上转化为单项式与单项式相乘，把他们的系数同底数密分别相乘。 对于指在一个单向式里含有的字母，则连同它的指数作为鸡的一个因式。所以二 x 乘 x 加二外的和，就等于二 x 方加四 xy， x 加二 y 合得平方，符合完全平方公式的特征， a 加 b 合得平方等于 a 方加二 ab 加 b 方， 所以就等于减括号， x 方加四 s， y 加四 y 的平方的和， 去括号合并同类项就得到 x 方，减是外方。同学们，这道题还有其他的方法吗？ 我们再来观察一下这个式子，我们发现有公因式 x 加二 y， 我们提取公因式 x 加二 y， 剩下的式子是二 x 减 x 加二 y 的和 区括号和平同类项就得到 x 加二 y 的和乘 x 减二 y 的差 符合平方叉公式的特征， a 加 b 的和乘 a 减 b 的差等于 a 方减 b 方， 所以就等于 x 方减是外方。由此我们不难发现，不仅可以利用整式的乘法进行 化减，也可以利用分解因式达到化减的目的，巩固练习，先化减再求值。 ab 加二的和乘 ab 减二的差减括号， a 方 b 方减四， ab 的差除以 ab， 其中 a 等于负三， b 等于二十一分之一。我们一起来分析一下这道题。按照题目要求先化解，所以我们先来观察一下这个代数式， 他的运算有加减、乘除，按照运算顺序，我们要先算乘除，最后算加减。我们下面看一下这道题的解题过程。 ab 加二的和乘 ab 减二的差符合平方差公式的特征，就等于 a 方 b 方减四， a 方 b 方减 cb 的差除以 ab 是多项式除以单项式， 多项式除以单项式。先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加， 实际上就转化为单向式相除。把细数与同底数密分别相除，作为商的因式。对于旨在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式， 所以就等于减 ab 减四的差。去括号，合并同类项，就得到 a 方 b 方减 ab 加 a 等于负三， b 等于二十一分之一，代入 a 方， b 方利用积的成方就可以得到原式等于 ab 积的平方减 ab。 我们发现 ab 是以整体形式出现的，经过计算， ab 等于负七分之一带入，计算出结果就得到四十九分之八。当然我们也可以提取公因是 ab， 剩下的式子是 ab 减一，将 ab 等于负七分之一带入，就可以计算出结果了。 小结一下，对于整式运算，首先我们要明确运算顺序，有括号，要先算括号里的，然后再先乘方，再乘除，最后加减。 其次，明确运算法则，整式的运算法则，单向式的乘除法是关键。 新定义的运算法则一般转化为我们学过的运算法则。 在运算中我们要正确的使用乘法公式，我们需要要掌握的是平发差公式 和完全平方公式。好，下面我们一起再来看一道例题。 如图一，是一个长微四臂宽为 a 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个回形的正方形。 第一小题观察图二，请写出 a 加 b 和的平方 a 减 b 差的平方 ab 之间的数量关系。 结合图二，我们来分析一下这道题。图二中 a 加 b 正好是大正方形的 边长，所以 a 加 b 和的平方就是大正方形的面积。 那么 ab 呢？ a 是长方形的长， b 是长方形的宽，所以 ab 是长方形的面积。 那么 a 减 b 差的平方呢？我们再来看图二，发现中间阴影部分是个小正方形，他的边长是 a 减 b， 所以 a 减 b 差的平方就是中间阴影部分小正方形的面积。 那么这三者之间有什么关系呢？我们来看图二。大正方形 是由中间阴影部分的小正方形和四个长方形组成，所以大正方形的面积等于中间阴影部分小正方形的面积，再加上四个长方形的面积， 所以 a 加 b 和的平方就等于 a 减 b， x 的平方加四 ab。 第二小题应用根据一中的结论，若 x 加 y 等于五 x， y 等于四分之九，求 x 减 y 的值。 一中的结论是， a 加 b 和的平方等于 a 减 b 差的平方加 cb， 因为 s 加 y 等于五 x， y 等于四分之九，带入就可以得到五的平方等于 x 减 y 差的平方加四乘四分之九， 经过计算就可以得到 x 减 y 差的平方等于十六、第一小题中的 ab 分别是长方形的长和长方形的宽，他们都是非负数。 而第二小题中的 x， y 是任意时数，所以 x 减 y 等于正负四。 第一小题中的结论不仅可以通过图形之间的面积关系得到，也可以通过完全平方公 是得到。我们把下面两个完全平方公式分别计为式子一、式子二，我们要想得到 a 加 b 和的平方与 a 减 b 差的平方和 ab 之间的关系， 只要消去 a 方加 b 方就可以了。由一减二就得到了 a 加 b 和的平方。减 a 减 b， x 的平方等于是 ab。 当然由一是加二是，我们也可以得到一些变形的柿子。我们通过一是和二是能够得到一些变形的柿子，也可以通过单独的一是和二是得到一些变形的柿子。 通过这些关系是 a 加 b， a 减 b， aba 方加 b 方。知道两个量就可以求其他的两个量。 下面我们归纳总结。我们这节课复习了整式的惩罚，相信同学们有了比较清晰的认识。 对于运算问题，我们要明确法则，理清顺序。在使用运算法则时，既可以正用，也可以逆用，既可以直接用，也可以变形用。 请同学们课下完成课后作业。好，同学们，我们这节课就上到这，同学们再见！

各位同学们好，我是来自北京市第八中学的窦博。前面我们已经学习了整式乘法中的平方差公式和完全平方公式。上节课我们学习了因式分解中的提供音式法， 本节课我们将在上节课的基础上继续探究因式分解的方法。首先请同学们跟我回顾一下，什么叫做因式分解呢？ 把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形就叫做因式分解。我们知道因式分解和整式乘法之间的关系是互为逆运算的关系。那么我们已经学习过什么因式分解的方法呢？上 节课我们已经学习了提公因式法，提公因式法要求我们先找到公因式，其次提出公因式，它的本质就是分配率的逆运算。 同学们还记得在整式乘法中的平方差公式吗？没错，就是 a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 方减 b 方。 那前面我们说过，由 a 加 b 乘以 a 减 b 到 a 方减 b 方的变形属于整式乘法。 现在我将这两侧交换位置交换了之后，也就是由 a 方减 b 方到 a 加 b 乘以 a 减 b， 也就是由多项式转化成了几个整式乘积的形式，那么这种变形就叫做因式分解。 所以我们得到了形如 a 方减 b 方的因式分解方法，也就是 a 方减 b 方，等于 a 加 b 乘以 a 减 b。 那它的本质实际上就是在利用平方差公式进行因式分解。 用文字语言来描述就是两个数的平方差等于两个数的和与这两个数差的积。 那么同学们想一想，满足什么样的结构时才能够利用平方差公式因式分解呢？我们来分析一下。 a 方减 b 方等于 a 加 b， 乘以 a 减 b， 左侧 a 方减 b 方是即将要被分解的多项式，它首先是两项，其次这两项的符号相反， 再其次他能够写成平方之差的形式。那公式的右边呢？公式的右边是我们因式分解的结果，他可以写成两个数的和与这两个数差的乘积。 满足平方差公式的结构，就可以利用公式进行因式分解。注意这里的 a、 b 不光代表数字字母，当然也可以代表单项式和多项式。 下面我们来判断一下能否利用平方差公式因式分解。那刚刚我们说到，如果能够利用公式分解的话，需要满足三个特点，两项一号，并且能够写成平方差的形式。我们来利用这三个特点逐一验证。 第一题，外方减四十九，显然它是两项一号，并且能够写成外方减七的平方，因此它可以利用公式。 第二题呢，外方减二， x 方也是两项，也是一号，但是他却无法写成两项的平方之差的形式，因此他不可以利用公式分解。 第三项。第三题， x 方加四，虽然是两项，但是他们的符号相同，因此不可以利用平方差公式因式分解。 第四题呢，四分之一倍的 p 加 q 的平方减九，也是两项，并且一号，而且它能够写成平方叉的形式，也就是二分之一倍的 p 加 q， 六的平方减去三的平方，因此它可以利用公式。你能说出第五题和第六题吗？第五题中两项，但是符号相同，因此不可以利用公式。而第六题呢？ 我们看到这个题非常容易出错，首先我们需要先把它进行化解，化解之后得到的结果为 a 方加 b 方，那显然这两项符号相同，因此不可以利用公式。 所以我们看到这里能够利用平方差公式因式分解的是第一题和第四题， 下面就请同学们尝试利用平方差公式因式分解吧。首先我们先来看第一题四 x 方减九，我们看到这里有两项 并且一号，而且他能够写成两项的平方差的形式，也就是二 x 的平方减去三的平方。 利用公式得到两个数的和与这两个数差的乘积，也就是二 x 加三乘以二 x 减三，那这样我们就分解完成了。 再来看第二小题， x 加 p 的平方减去 x 加 q 的平方，这里它也是两项而且一号，而且我们发现它是两个多项式的平方之差。 那这样我们可以先把这个多项式看成一个整体，也就是先设 x 加 p 等于 m， x 加 q 等于 n， 那么这两项的平方之差就可以写成 m 的平方 减去 n 的平方，那利用平方差公式因式分解得到 m 加 n 乘以 m 减 n， 那接下来我们再把 mn 代入得到结果。 经过合并同类项以后，我们可以得到结果为 r x 加 p 加 q 乘以 p 减 q， 那这是我们因式分解之后得到的结果， 下面我们来练习一下吧。请同学们看一看下列各式中，因式分解错误的是哪个选项，我们来逐项的分析一下。先来看 a 选项， 负零点零一 n 方加上九分之四 m 方。为了方便我们可以利用加法交换率将这两项先交换一下位置 等于九分之四 m 的平方减去零点零一 n 的平方。经过我们观察，它满足平方差公式因式分解的解条件，所以我们可以将它写成平方之差的形式，也就是三分之二 m 的平方减去零点一 n 的平方。 利用公式分解得到三分之二 m 加零点一 n 乘以三分之二 m 减零点一 n， 对比 a 项的结果，发现他分解是正确的。 再来看 b 选项， x 的三次方加 x， 那我们首先观察到这个选项中两项中有公音式 x， 因此提出公音式后，剩余音式为 x 方加一。那这个音式里虽然是两项，但是符号相同， 因此我们没有办法利用平方叉公式分解，那么此时到这里分解就结束了，因此它的分解结果为 x 乘以 x 方加一， 所以 b 选项的分解也是正确的。再来看一下 c 选项，我们可以先把它写成平方之差的形式， 也就是 a 方减去 bc 的平方，那利用公式分解得 a 加 bc， 乘以 a 减 bc， 对比结果， c 项的分解是没有问题的。 那四 d 选项呢？我们来看一下负十六 a 方加一。首先我们可以利用加法交换率将这两项交换一下位置，进而写成平方之差的形式，也就 就是一的平方减去四 a 的平方。利用公式分解得到的结果为，一加四 a 乘以一减四 a。 那对比一下四 d 选项的结果，我们发现四 d 选项的分解是错误的，因此分解错误的选择 d 选项。 接着我们来尝试分解这两个小题吧。 第一题， x 的四次方减 y 的四次方。首先这道题里也是两项，而且它们的符号相反， 它可以写成平方之差的形式，也就是 x 方的平方减去外方的平方，那么利用平方差公式可以得到 x 的平方加外方，乘以 x 平方减外方。那么分解到这里，我们的分解就结束了吗？同学们看到 x 方减外方这个式子非常的眼熟，它可以继续利用平方差公式分解， 那么分解得到结果就是 x 方加 y 方乘以 x 加 y， 乘以 x 减 y。 所以同学们注意，当我们进行第一次分解，分解结束时，发现某一个因式没有分解完全，仍需要继续进行分解。 再来看第二个小题， a 的三次方， b 减去 a b。 首先我们观察这两项，这里有公因式，它的公因式应该是 a b， 那么我们可以 先提出公因式 ab， 提出以后得到剩余因式为 a 方减一。我们可以发现 a 方减一，依旧可以利用平方叉公式进行因式分解，分解之后得到 a 加一，乘以 a 减一。 所以最后我们的分解结果为 a， b 乘以 a 加一，再乘以 a 减一。检查一下，我们的分解确实已经彻底了，那么此时分解结束了。 由此我们总结一下音式分解的步骤。首先我们需要先观察多项式中是否有公音式，如果有公音式的话，则先提取公音式，再进行下一步的分解。在提取公音式后，我们继续观察剩余音式。 如果剩余因式中有两项写着两项一号，而且它能够写成平方之差的形式，那么我们就可以利用平方差公式继续分解因式。 注意，这里我们需要检查一下每个因式是否分解完全，也就是将每个因式分解到不能再继续分解为止。 下面我们做个练习，尝试巩固一下前面所学的知识吧。先来看第一题，负八十一 b 的平方加 a 的平方。 首先他满足利用平方差公式因式分解的特点，我们可以先把这两项交换一下，位置写成 a 的平方减去八十一 b 的平方，那么 他可以写成平方之差的形式，也就是 a 的平方减去九分之一 b 的平方。利用公式分解得到 a 加九分之一 b 乘以 a 减九分之一 b。 那这是一种分解的方法，请同学们想一想，你还有其他的办法把它因式分解吗？ 我们来看一下，还可以先把负八十一分之一作为系数提取出来，那么剩余因式就是 b 方减去八十一 a 方， 剩余因式仍然满足利用平方差公式因式分解的特点，所以我们继续分解得到负八十一分之一乘以 b 加九 a， 再乘以 b 减九 a， 那么这两种 分解方法呢？都是正确的。再来看第二小题，五 a 加上二 b 的平方减去九 a 的平方， 很显然他也满足公式的特点，五 a 加二 b 可以看成一个整体，那么他是平方叉的形式，所以我利用公式分解，得到五 a 加二 b， 加上三 a 乘以五 a 加二 b 减去三 a， 继续合并同类项以后，得到八 a 加二 b 乘以二 a 加二 b， 那这样的分解结果就已经结束了吗？ 我们来看一下，第一个因式中，八 a 和二 b 中仍然有公共的系数。第二个因式中，二 a 和二 b 也有公共的系数，此时并没有分解完全，所以我们需要把公共的因素提取出来，也就是二倍的四 a 加 b， 再乘以一个二倍的 a 加 b， 最后化减结果为四倍的四 a 加 b， 乘以 a 加 b。 检查一下我们的化建结果，每个音式都已经分解完全了。 再来看一下第三小题， a 加 b 的三次方减去四倍的 a 加 b。 首先通过观察，我们发现这里有公因式 a 加 b， 把 a 加 b 提取出来以后，剩余因式得到 a 加 b 的平方减去四。那我们知道这一项还可以继续利用 平方叉公式进行因式分解。那最终我们得到的结果为， a 加 b， 乘以 a 加 b 加二，再乘以 a 加 b 减二。 第四小题呢， a 的 m 加一次方，减去 a 的 m 减一次方。这里有公因式吗？很显然，这里有相同字母 a， 相同字母的最小指数应该为 m 减一， 所以它的公因式为 a 的 m 减一次方。那么我们提取出公因式 a 的 m 减一次方后，剩余因式是什么呢？ 提取出公因式后，剩余因式应该为 a 的平方减一。继续我们将 a 的平方减一，利用公式分解得到 a 加一，乘以 a 减一。那最后的结果就是， a 的 m 减一次方，乘以 a 加一，再乘以 a 减一。 通过上面几道小题，我们感受到了提供音式法和音式分解的综合运用。同学们在做题之前，需要先观察一下式子的特点，再来看这道例题。 这道例题是想让我们利用因式分解进行简便计算。 先来看一下第一小题，两千零二十加上两千零二十的平方，减去两千零二十一的平方。通过观察，我们发现后两项是两个较大数的平方之差的， 那直接计算平方很显然是非常繁琐的，所以我们可以先利用平方差公式将后一项进行分解，得到两千零二十，加上两千零二十一，乘以两千零二十，减去两千零二十一。 那么继续计算，通过后面这个括号，结果为负一化减之后得到两千零二十，减去两千零二十，再减去两千零二十一。前面两项消掉了，所以最后的结果就是负的两千零二十一。 第二个小题呢，三点一四乘以五十一的平方，减去三点一四乘以四十九的平方。通过观察，我们发现这里有公因数 三点一四，所以把三点一四提取出来之后，得到三点一四乘以五十一的平方，减去四十九的平方。 同理，这里也可以利用平方差公式进行因式分解，得到三点一四乘以五十一加四十九，再乘以五十一减四十九。通过计算，我们得到最后的结果为六百二十八。 那同学们可以看到这些计算题中也可以利用平方差公式因式分解，在什么情况呢？ 当有两个叫大数的平方之差的形式的时候，我们可以利用公式，这样可以减少计算平方的繁琐，从而提高了计算效率。 请同学们葛老师看这样一道应用问题。如图，在一块长为 a 的正方形纸片，四角各减去一个边长为 b 的正方形，求剩余部分的面积是多少。 此时 a 如果等于一点八六， b 等于零点三四，求剩余部分的面积。 首先，剩余部分的面积就是这部分蓝色的面积，他可以怎么求呢？没错，他可以用大正方形的面积再减去四个小正方形的面积。 大正方形的边长为 a， 所以面积为 a 方。减去四个小正方形的面积也就是四 b 方，所以剩余部分的面积为 a 方，减去四 b 方。直接代入数据。 我们发现计算非常繁琐，所以我们发现这个式子还可以利用平方叉公式分解。不妨我们先把它分解，得到 a 加二 b 乘以 a 减二 b， 继续再带入数值，再进行计算，发现计算会简便一点，那最后，我们得到剩余部分的面积为二点七二。 请同学们想一想，我们本节课学习了哪些知识呢？ 首先，我们学习了利用平方差公式进行因式分解。 a 方减 b 方等于 a 加 b 乘以 a 减 b， a 方减 b 方是要被分解的多项式，它一定要满足三个特点，两项 一号，并且它能够写成平方叉的形式。右边是我们分解的结果，它可以写成两个数的和与这两个数差的乘积。注意，公式中的字母可以表示数，单项式或者多项式。 其次，我们学习了利用平方差公式延时分解的步骤。首先，我们需要观察一下多项式中是否有公因式，如果有公因式的话，则应先提取公因式。 其次，观察剩余音式，如果剩余音式中有两项一号，并且这两项是平方差的形式，则我们可以利用平方差公式进行音式分解。下面请同学们和老师看这样一道拓展问题吧， 如图，一百个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影， 里面是一个小正方形，没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形边长为一百厘米，其次是九十九厘米，九十八厘米一直到一厘米。 那么在这个图形中，所有阴影部分的面积之和是多少？既然要求面积之和，我们不妨先把最外层的一个小正方形阴影部分面积算出来。 那我们知道这个阴影部分面积可以用大正方形的面积减去小正方形的面积，也就是边长为一百的正方形面积减去边长为九十九的正方形面积， 即一百的平方减去九十九平方。那么次外层的面积呢？你会算吗？ 没错，类似的就是边长为九十八厘米的正方形面积减去边长为九十七厘米的正方形面积，也就是九十八的平方减去九十七的平方，以此类推，到最里边，也就是二的平方减去一的平方。 那我们将这些个阴影部分面积加合，得到这个式子，我们发现每一步都是平方之差， 因此可以利用平方差公式进行分解得到，一百加九十九乘以一百减九十九，再加上九十八加九十七，乘以九十八减九十七，一直到哪呢？ 一直加到二加一，乘以二减一。那不难发现，我们这里一百减九十九，九十八减九十七，还有二减一都是等于一的，那么这个式子就可以变形成一百，一直加到一。 小学里边我们学过高斯求和的方法，首项加末项乘以项数除以二，最后的结果是五千零五十，所以最后阴影部分的面积为五千零五十。 这是本节课的课后作业，请同学们将你的课后作业写在导学案上。 本节课就上到这里，谢谢同学们！同学们再见！

又到了学习音师分解新方法的时候了，同学们准备好了吗？话不多说，我们这就开始吧。 先来看个简单的题， x 平方加上三， x 加二，应是分解能得到什么呢？有这样一个口诀，头尾分解交叉相乘，求和凑中。什么意思呢？即左边相乘是左边，右边相乘是右边， 交叉相乘之和为中间。具体操作如下，左边 x 乘 x 等于 x 的平方，右边一乘二为二，中间交叉相乘为中间。 二 x 加 x 等于三 x， 最后按行写成整式乘法的形式， x 加一，乘 x 加二，这样的意识分解就叫做十字相乘法。我们再来 看个题，熟悉一下这个方法。用十字相乘法应式分解， x 的平方加五， x 减六，左边相乘是左边 x 的平方分成 x 乘 x， 右边相乘是右边负六可以分成这几组数相乘分别是，二乘负三、负二乘三， 一乘负六、负一乘六。先来看第一组，当把负六分成二乘负三时是这样的，但是交叉相乘之和负三， x 加二， x 等于负 x 不等于五 x， 显然这样分是不正确的。 再来看第二组，当把负六分成负二乘三时，是这样的，交叉相乘之和三 x 减二， x 等于 x 不等于五 x， 显然这样分也不对。 再来看第三组，把负六分成一乘，负六写成这样，交叉相乘之和负六加 x 等于负五， x 不等于五 x 也是不对的。 最后一组是这样的，把负六分成负一乘六，交叉相乘之和六 x 减 x 等于五， x 等于中间向，所以这个分解正确，那因时分解的结果就是 x 减一，乘 x 加六。 接着来看这道题，对二 x 的平方加三， x 加一，用十字相乘法进行阴式分解，这个式子第一项就不是 x 的平方了， 但不用担心，照样是用刚才的方法把二 x 的平方分成二 x 乘 x。 先写在这一，可以写成是一 乘一，再来检验一下，二 x 加 x 等于三 x， 刚好等于中间项，那这样分解就是正确了。最后写成二 x 加一，乘 x 加一，就大功告成了。 当然，有的同学会问了，右边还可以分成负一乘负一呀，但这样的话，交叉相乘之和就为负三 x 了，不等于中间向，这太明显了，一眼能看出来，不符合要求的就别去尝试了吗？ 再来看一道复杂一点的题，用十字相乘法对二 x 的平方加九 x y 减五 y 的平方进行因式分解，左边二 x 的平方分成 x 乘二 x， 右边负五外的平方可分成外乘负五外或负外 乘五 y。 不知道哪组分解是正确的？那我们先来看看第一组，十字交叉相乘之和，负五 x y 加二 x y 等于负三 x y 不等于九 x y， 显然不正确。 再来看第二组，十字交叉相乘之和五 xy 减二 xy 等于三 xy 不等于九 xy 也不正确。两种情况都不正确，怎么办呢？ 别急，我们把右边的两个数换一下位置再来看看。那第一组就变成了这样，交叉相乘之和， xy 减十 xy 等于负九 xy 不等于九 xy， 还是不对。那第二组就变成了这样，交叉相乘之和负 xy 加十， xy 等于九， 九 x y 刚好等于中间项，于是正确的分解就是这样的了。写成整式相乘的形式就是 x 加五， y 乘二， x 减 y。 最后来总结一下，用十字相乘法分解因式。一句话，左边相乘是左边，右边相乘是右边，交叉相乘之和为中间，之后每一行对应相加，再写成整式成绩的样子就好了。怎么样，你都学会了吗？

这天，阿道走在路上，走着走着，有一块小石头跑到他的鞋子里，但阿道懒得把鞋子脱下来倒石头，所以就用手扶着电线杆，然后把脚在半空中摇啊摇，想要把石头给摇下来。 没想到这个时候，后面突然跑来一个人，用棍子把阿道扶着电线杆的手给打断了。阿道瞬间就痛哭了，大哥，你搞什么呢？为什么要打我？这人此时也很激动， 我以为你触电了呀！阿道的经历也真是让人无语，但是同学们也知道，电线杆是科学家神圣而伟大的发明，可不能随意去触碰的，万一发生触电，那后果也真是不堪设想。借人 这根电线杆开始我们今天的话题吧。从电线杆离地面八米处向地面拉一根钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部六米，那么需要多长的钢索呢？ 同学们都知道，在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就可以确定了，三边之间存在着一种特定的数量关系。 那是怎样一种数量关系呢？来探究下吧。在每小格边长为一厘米的网格纸上画出这样的三个正方形，观察图中的三个正方形， 正方形 a 的面积是边长， a 平方等于二平方等于四。正方形 b 的面积是边长， b 平方等于二平方等于四。而正方形 c 的边长 c 的长度并不知道，但是它的面积可以数出来。上下 下左右两个小三角形各组成了一个小方格，中间四个小方格面积正好是八个小方格，也就是 c 平方等于八， 是对比三个正方形的面积关系，正方形 a 的面积加正方形 b 的面积等于正方形 c 的面积， a 平方加 b 平方等于 c 平方。而边长 abc 组成的图形不就是网格纸上的这样一个直角三角形吗？ 难道在直角三角形中，三边之间存在的特定数量关系就是两直角边的平方和等于斜边的平方吗？ 一组数据不足以证明这样的关系，况且这是一个等腰直角三角形呢？那如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形呢？来观察下网格纸上这样的三个正方形，正方形 a、 bc 三边的长度是不一样的，因此所组成的直角三角形是一般的直角三角形。正方形 a 的偏长 a 为四面积， a 平方等于四平方等于十六。 正方形 b 的边长 b 为三面积， b 平方等于三平方，等于九正方形 c 的边长 c 长度未知。 通过胳膊拼图后得到正方形 c 的面积是三乘四加三乘四加一等于二十五，因此 c 平方等于二十五。通过对比 a 平方、 b 平方 c 平方的关系，十六加九等于二十五， a 平方加 b 平方等于 c 平方。 再次证实了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用 ab 和 c 分别表示直角三角 形的两只脚边和斜边，那么 a 平方加 b 平方等于 c 平方。这个结论就是花花老师今天要讲的重点。通过属方格和割补图形的方式发现勾股定理的定义。 通过勾股定理中直角三角形的三边的数量关系就可以知道从电线杆离地面八米处向地面拉的这条钢索需要多长了？八平方加六平方等于一百等于十平方，因此这条钢索需要十米长。 在直角三角形中任意两条边确定了第三边，通过勾股定理结论也就可以确定了。 比如侦察员阿道在距离公路四百米处进行侦查，发现一辆敌方汽车在公路上飞快的行驶，他赶紧拿出红外线测距仪，测的汽车与他相距四百， 十秒后汽车与他相距五百米。同学们能帮阿道计算出敌方汽车的速度吗？ 根据提议可以画出这样的一个平面图，图中 a 点表示阿道所在的位置，点 c 点 b 表示两个时刻地方汽车的位置。 因为阿道距离公路四百米，因此角 c 是直角。要知道汽车的速度，那就要知道汽车十秒走过的距离，而这段距离可以由勾股定理来得到哦。由勾股定理可以得到， ab 平方等于 bc 平方加 ac 平方 就是五百的平方，等于 bc 的平方加四百的平方，因此 bc 等于三百米。敌方汽车十秒行驶了三百米，那么他一小时行驶的距离就是三百除以十等于三十米每秒，即敌方汽车的速 度为三十米每秒。来总结下吧。勾股定力指的是在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用 ab 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a 平方加 b 平方等于 c 平方。 这个结论可以通过数方格和胳膊图形的方法来证明哦。好了，同学们，我们本节课堂到这里就结束了，观看完整版课程，关注花花老师！

同学们大家好，我是北京市第八中学的张秋怡老师。我们之前学习的平方差公式以及完全平方公式这节课我们整体来复习一下生化公式。 之前在我们学习多项式成多项式的时候，我们发现一些特殊的多项式相乘，可以用公式的形式来简便运算， 我们称之为乘法公式。其中最基本的两个，一个是平方叉公式， a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 方减 b 方。一个是完全平方公式， a 加减 b 的平方等于 a 方加减二， b 加 b 方。 我们现在来对比一下这两个公式。首先，不管是平方叉公式还是完全平方公式，等号左边都是两个多相式相乘的形式， 只不过区别是平方差公式是两个数的和乘以这两个数的差，而完全平方公式是两个相同的多项式相乘， 所以他们得到的结果也并不一样。平方差公式的结果是两个平方的差是一个二小时， 而完全平方公式的结果是两个数平方的和，再加上或减去这两个数成绩的二倍是一个三小时。所以同学们在遇到一些特殊的多项式相乘的时候，我们可以 考虑能否使用乘法公式来简便运算。但是在使用公式的过程中，我们需要区分到底是平方叉公式还是完全平方公式。 下面在我们复习的基础上，我们来运用乘法公式计算两道小题。我们先来看第一小题，计算 x 加 y 加一的和乘 e， x 加 y 减一的差。我们拿到一个算式，首先应该判断这一个算式是怎样的运算， 这个式子应该是两个三项式相乘的运算，那么我们可以直接应用多项式乘以多项式的法则进行运算。两个三式相乘，我们知道它的结果应该是三乘以三等于九项，那这个时候我们运算的过 过程就会比较复杂，我们能不能通过一些方法来进行简便运算呢？我们再来观察一下这两个三项式，第一个三项是 x 加 v 加一，第二个三项是 x 加 v 减一，我们发现这两个式子中都有 x 加 y 这两项， 而剩下的一个是正一，一个是负一。那么如果我们把 x 加的看到一个整体的话，这个式子就可以写成 x 加 y 与一的和，乘以 x 加 y 与一的差。这个时候他的形式你有没有觉得一些眼熟呢？ 我们发现它就是两数和乘以两数差的形式，那就是和平方差公式 a 加 b 乘以 a 减 b 的形式是一致的，其中 x 加 y 相当于公式中的 a， 而 e 相当于公式中的 b， 所以我们直接应用平方叉光式就可以得到 x 加 y 和的平方减一的平方。 那么这里面我们又发现 x 加 y 和的平方，这一个式子正好满足 a 加 b 和的平方的形式，所以我们接下来再应用两数和的完全平方公式进行计算，就得到了 x 方加二， x y 加外方再减一。 我们再来看第二小题， x x y 减一的差乘以 x 减 y 加一的和。这个算式依旧是两个三项式相乘的形式， 我们依旧可以利用多项式乘以多项式的法则来计算。但是当我们有了第一小问的经验，我们首先来观察一下这两个三项式能不能采取一些方法简便运算呢？ 这两个三项是，一个是 x 加 y 减一，一个是 x 减外加一，我们发现他们同时含有 x， 而剩下的部分外减一和负外加一又互为相反数， 所以我们把第一个式子中的外减一当做一个整体，那么这个式子就可以写成 x 与外减一的和。那么第二个式子我们把负外加一看作一个整体，那他又可以写成什么样的形式呢？我们可以写成 x 与外减 一的差，那么这个式子现在的形式又满足 a 加 b 乘以 a 减 b， 也就是完全平方公式的形式。 此时 x 相当于公式中的 a， 而外减一相当于公式中的 b， 所以我们在直接应用平方叉公式就得到了 x 方减外减一叉的平方。 这时我们又发现这里面外减一叉的平方，他在形式上用满足 a 减 b 叉的平方的形式，那么我们直接拥有两竖叉的完全平方公式就可以计算出结果。 只不过这里面我们需要注意一下 x 方和外减一叉的平方，这两项中间是用减号相连，所以当我们利用完全平方公 是得到结果之后，我们需要在这个结果的外面或上括号之后再去掉括号和副号。一定注意括号里面的各项就都要改变符号，从得到结果为 x 方减外方加二， y 减一。 下面我们来总结一下这两道相题。当我们遇到两个三项式相乘的算式的时候，我们可以先观察一下这两个算式的特征， 如果这两个算式中只含有符号相同的相和符号相反的相，那么这个时候我们就可以利用天括号法则将这两个三相式进行分组，使之满足平方差公式的 结构形式。接下来我们只需要依次使用平方差公式以及完全平方公式进行计算，就可以做到简化运算过程。下面我们再来看一道例题，运用乘法公式进行计算。 第一小题计算 x 加二的和，乘以 x 加四的和再乘以 x 减二的差， 那么首先我们应该先观察一下这一个算式它是一个什么样的运算，很明显这是三个二项式相乘的运算，那么我们可以用的就是利用多项式乘多项式的法则从左到右依次进行运算。 但是如果我们再观察一下这个算式，我们会发现这里面第一项 x 加二与 第三项 x 减二，如果他们俩要相乘的话，就应该满足 a 加 b， 乘以 a 减 b 的结构形式， 那么我们直接去应用平方叉勾式就可以做到简便运算。所以我们利用乘法交换率将第二项和第三项进行交换，就得到了 x 加二的和乘以 x 减二的差，再乘以 x 方加四， 而这里面七前两项正好满足平方叉公式的使用形式。我们直接拥有平方叉公式，就得到了 x 方减四的差，乘以 x 方加四的和， 那么现在这个式子又一次的满足了 a 减 b， 乘以 a 加 b， 也就是平方 方叉公式的结构形式，其中 x 方相当于公式中的 a， 而四相当于公式中的 b， 所以我们再次用用品方叉公式就能得到结构为 x 四四方减十六 第二小题计算 x 加二 y 和的平方乘以 x 减二 y 差的平方， 这个算式是一个平方和乘法的混合运算，那么我们应该先计算哪一项呢？ 很明显，这里面我们要先计算平方，再计算惩罚。并且我们还能发现这两个平方运算， x 加二， x 加二和的平方，满足两数和的平方的运算。 x 减二 y 差的平方是两数差的平方的运算。所以我们可以直接应用完全平方公式对他们分别进行计算，就能得到 x 方加四 x y 加四外方的和，再乘以 x 方减四 x y 再加四外方的和。 这个时候我们得到了两个三项式相乘，那么我们可以直接应用多项式乘，以多项式的法则进行计算。但是我们有了上一道例题的经验，我们可以来观察一下这两个三项式之间有什么相同的部分和不同的部分。 我们发现这两个三项式中， x 方和四外方是相同的，而四 x y 和负四 x y 是相 相法数，于是我们把相同的相放在前，相反的相放在后，这个式子就可以转化成 x 方加四外方，再加四 x y 的和，乘以 x 方加四外方减四 y 四 x y 的差。 那么这个式子有没有一点眼熟呢？如果我们把 x 方加四外方看作一个整体的话，他的形式就应该满足 a 加 b 乘以 a 减 b 的形式， 那么我们又可以应用平方差公式进行简便预算。其中 x 方加四外方相当于公式中的 a， 而四 x y 相当于公式中的 b。 下面直接使用平方差公式，就得到了 x 方加四外 方和的平方减去四 xy 的平方，计算得到结果为， x 四四方减八 x 方，外方再加十六万四四方。 那么我们能不能换另外一个角度再来看这一个算式呢？如果这里面我们把 x 加二 y 和 x 减二 y 看作一个整体的话，这个式子就相当于是两个平方相乘。我们之前学过鸡的乘方， 也就是 a 乘 b 的 n 次方等于 a 的 n 次方乘以 b 的 n 次方。那么反过来， a 的 n 次方乘以 b 的 n 次方，就可以等于 a 乘以 b 的 n 次方。也就是说，如果有两个 b 的指数相同，他们相乘的话， 我们就可以先做乘法，再做乘方。所以这里面我们就可以先做 x 加二 y 乘以 x 减二 y， 之后再把机进行乘方。 那么我们正好发现中国号里面的 x 三二 y 乘 x 减二 y 满足 a 加 b 乘以 a 减 b 的结构形式。这时我们直接拥用平方插功式， 其中 x 相当于公式中的 a， 二 y 相当于公式中的 b， 就可以得到 x 方减四外方差的平方。而这个时候 这个柿子正好满足两数差的平方的运算，所以我们拥有两数差的完全平方公式进行计算， 其中 x 方相当于公式中的 a， 而四外方相当于公式中的 b， 就可以得到结果和方法一是一致的。 我们再来看第三小题， x 加 y 和的平方减去 x 减 y 差的平方。 这道题从形式上看是平方和减法的混合运算，那么很明显，我们应该先做平方运算，再做减法运算， 并且两个平方运算分别是两数和的平方以及两数差的平方的运算，所以我们直接套用完全平方公式就可以得到 x 方加二 x， y 加外方，再减去括号， x 方 减 xy 加外放。这里面需要注意的是，由于这两个平方之间是减号相连，所以我们要在第二个结果外加上括号，下一步去括号合并同类项，得到结果是四 xy。 当然，对于这一个算式，我们还能不能从其他的角度来看呢？如果我们把 x 加 y 和 x 减 y 都看作整体的话，整个柿子就相当于是两个平方做差， 那么我们把 x 加 y 看作 a， x 减 y 看作 b， 我们就可以把这个形式写成 a 方减 b 方的形式，那么这个形式正好和平方差公式的结果是 一致的。那么我们利用平方叉公式就得到了 a 方减 b 方等于 a 加 b 乘以 a 减 b， 那么原式就应该可以写成 x 加 y 与 x 减 y 的和，乘以 x 加 y 与 x 减 y 的差。 对于每一个中括号，我们去小括号并合并同一项，就得到了二 x 乘二 y， 最后用单项式乘以单项式法则进行计算，得到结果依旧是四 x。 下面我们总结一下这道例题。通过计算这三道小题，我们知道面对整治的混合运算，我们应该首先明确常规的运算方法和顺序，之后再仔细观察算式 的特征，判断该算是能否通过适当的变形转化成乘法公式的结构形式。如果可以，那么下面就可以借助乘法公式进行速算和巧算，从而简化运算过程。下面我们再来看一类问题，先画简，再求指 x 加三 y 合的平方减 x 加三 y 乘 e， x 减三 y， 其中 x 等于三 y 等于负二。我们先来看这一个算式， 它是一个平方乘法和减法的混合运算，那么这里面我们有没有能通过乘法公式来进行简便预算的部分呢？我们可以来观察，整个式子被减号分成了两个部分， 而这两个部分其中第一部分满足两数和的平方的运算，第二部分满足平方差公式的运算。所以针对这两个部分，我们可以分别应用公式来进行计算。 这里面就可以得到 x 方加六 x， y 加九 y 方，再减去括号， x 方减九 y 方， 之后去掉括号和副号，合并同类项，得到最终最简的结果为六 x 万加十八万房。 又因为这里面 x 等于三外等于负二，所以代入数值我们就可以得到原式等于六乘以三 乘以负二，加上十八乘以负二的平方计算，得到最终的结果应该是三十六。 我们再来求两个代数式的纸。第一小题已知 a 加 b 等于二， a 方减 b 方等于六，求 a 减 b 的纸。首先我们来分析一下这道题， 我们知道 a 加 b 以及 a 方减 b 方的纸，我们想要知道 a 减 b 的纸，那么同学们回忆一下，我们学过的哪一个公式是和这三个式子有关的呢？ 很明显， a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 方减 d 方。这个平方插空式正好设计到了这三个式子。其中我们想要知道 a 减 b 的纸，那么通过公式的变形，我们就可以得到 a 减 b 等于 a 方减 b 方，再除以 a 加 b 这个整体。由于这里面我们知道 a 方减 b 方以及 a 加 b 的值，所以我们直接带入就可以得到 a 减 b 的结果。 下面我们来书写一下过程。因为 a 方减 b 方等于六万平方，叉公式又告诉我们 a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 方减 b 方，所以我们就能得到 a 加 b 乘以 a 减 b 等于六。 又一位题目说 a 加 b 等于二，所以 a 减 b 就等于六，除以二等于三。下面我们再来看第二小题。已知 x 减 y 等于 x 乘外等于负八，求 x 方加外方的纸。这里面我们又一只两个式子， x 显外和 x 乘外 要求 x 方加外方的纸。我们再来回忆一下，我们学过的哪一个公式是与这三个式子有关的呢？ 其中两竖叉的完全平方公式我们可以写成 x 减 y 叉的平方等于 x 方减二， x y 加外放。 接下来通过等式的性质一，我们将这个式子进行变形，就可以得到 x 方加外方等于 x 减 y 差的平方，再加上二 x y。 由于这里面我们知道 x 减 y 和 x 乘 y 的值， 所以我们就可以得到 x 方加外方的结果。下面我们来书写一下过程。因为两数差的完全平方公式， x 减 y 差的平方等于 x 方减 r， x y 加外方。 通过公式的变形，我们就可以得到 x 方加外方等于 x 减 y 差的平方，再加上二 x y。 又因为题目给出了 x 减 y 等于六， x 乘 y 等于负八，所以代入数值我们就可以得到 x 方加外方等于六的平方，加二乘以负八等于二十。下面我们再来看一道练习， 已知 a 加 b 和的平方等于七， a 减 b 差的平方等于三，要求 a 方加 b 方的纸。 那么通过刚才立体的经验，首先我们来分析一下这道题，我们如何能从 a 加 b 和的平方以及 a 减 b 差的平方来得到 a 方加 b 方呢？ 这个时候我们就想到了两数和的完全平方公式， a 加 b 和的平方等于 a 方加二， ab 加 b 方 以及两数差的完全平方公式， a 减 b 差的平方等于 a 方减二， b 加 b 方。这两个式子都涉及到了 a 方加 b 方，也就是说我们只要变形这两个式子中的 某一个，就可以得到一个关于 a 方加 b 方的事情。只不过我们要想求 a 方加 b 方的具体数值，就都需要知道一个事词叫 a 乘以 b 的值。 那么我们怎么能通过 a 加 b 和的平方以及 a 减 b 差的平方的纸来得到 a 乘 b 的纸呢？我们再来观察这两个公式， 他们的共同特征是两个柿子的结果都含有 a 方加 b 方。不同的地方在于 a 加 b 和的平方结果中间向是加二 a b， 而 a 减 b 差的平方结果中间向是减二 a b。 所以如果我们把 a 加 b 和的平方减去 a 减 b 差的平方，这个时候我们就可以把 a 方加 b 方这个共同的式子消掉，从而得到 cb。 这个时候我们再带入相应的数值，就可以得到 a 乘以 b 的值，之后再带到这两个公式中的某一个，就可以求出 a 方加 b 方的值。 以下为这道题的解题过程，最后我们来回顾一下这节课的内容。 本节课我们在学习的平方差公式以及完全平方公式的基础上，对公式的综合应用进行了深入研究。 其中，对于平方差公式，我们不仅要会用 a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 方减 b 方，我们还可 需要知道 a 方减 d 方，也可以写成 a 加 b 乘以 a 减 b 的形式。对于完全平方公式，我们不仅要知道 a 加减 b 的平方等于 a 方加减二， b 加 b 方， 我们还要知道 a 方加减二， ab 加 b 方，这样的式子也可以还原成 a 加减 b 平方的形式。并且对于完全平方公式，还有一些常见的变形形式。 对于两数和的完全同框公式，我们还可以变形成 a 方加 b 方等于 a 加 b 和的平方减二 ab。 对于两竖叉的完全平方公式，我们还可以变形成 a 方加 b 方等于 a 减 b 叉的平方加二 ab。 如果 这里面我们把第二个式子带入两数和的完全平方公式，用 a 减 b 叉的平方加 ab 去替换公式中的 a 方加 b 方，我们又可以得到 a 加 b 和的平方等于 a 减 b 叉的平方加四 ab。 于是我们就可以发现 a 加 b、 a 减 b、 a 乘以 b 以及 a 方加 b 方这四个式子而言，如果我们知道其中两个式子的纸，就能得到另外两个式子的纸。 所以通过这一节课的学习，我们知道了当我们遇到一些复杂的整式混合运算的时候，我们首先要观察这个算式的特征，去判断这个算式是否能通过是 当的变形转化成乘法公式的形式。如果可以，那么我们就应用相应的乘法公式进行简便预算，所以同学们一定要会灵活的使用公式，综合的进行计算。 以上为本节课的课后练习，我们这节课就上到这里，同学们再见！