正交规范化公式

ok。

我今天给大家讲一下这个施密特的生肖化到底是怎么来的啊？我们来看阿尔法和贝特内机，就是阿尔法膜乘以贝特膜再乘以 costco。 那这个时候呢，我们来看画一个阿尔法项链和一个贝特项链。我们现在呢，令阿尔法一等于贝特一，那么 ob 项链 他实际上是等于这样，是等于这个 oa 项链再乘以 q 三 c， 他再乘以单位项链，也就是阿尔法二的膜再乘以 q 三 c， 他再乘以这个单位项链。 把分子分母同时乘以阿尔法一的膜，是不得到这个结果。而分子呢，恰好是阿尔法一和阿尔法二做内机，分母呢，恰好是贝塔一和贝塔一做内机。我们来看，由于贝塔二项量和贝塔一项量是垂直的，所以说贝塔二项量呢，实际上是等于阿尔法 二项量减去 ob 项量，我们把 ob 项量带到里面去，是不是整理出来施密特征交化的第二个结论，以此类推，我们可以推出其他结论，各位同学一定要学会这个故事。

大家好，今天呢，我们继续研究正焦化问题，今天介绍的事情是标准正焦鸡，其实啊，在三维空间中，我们已经有过标准正焦鸡了，并且在前面一段时间我们讲过标准鸡 或者叫做鸡，那什么叫做标准正焦鸡呢？标准正焦鸡应该满足什么条件呢？哎，这是今天我们要谈的一个问题。为了提出标准正焦鸡，我们先给出一个词，叫正焦项链组。如果有一个项链组里面的项链啊，俩俩垂直， 当然这里的项链一定是飞零的，一个飞零的项链组里面的项链，俩俩都是垂直的，那我们就称这样的项链组叫做正胶项链组，这个很简单，是不是？哎，里面不 能有零限量，因为零限量与任何限量都垂直啊，这都没有用了，因此我们要非零限量啊。有了非零限量，那比如说， 比如说下面有三个非零项链，二法一、二法二、二法三，他是否能够构成正销销量组呢？能够构成这个正销销量组，那就是看他们互相垂直呗。我们看二法一与二法二、二法一 与阿尔法三，阿法二与阿尔法三的内机呀，都是零，真的就互相垂直的，所以这三个项链就构成了一个正胶项链组啊，这 支持我们。那如果有一个项链组，只有一个项链，他跟别的也没有什么垂直问题，是不是？那他也叫正交项链组，这是我们给出这个项链组的问题。 有了这个关系啊，我们就可以做一点运算，说 a 是一个反对称矩阵，什么叫反对称矩阵？ a 的转至等于负 a， a 的转折等于负 a 的时候， a 级叫做反对称，反对称针有一个特点，对角线上的元素都是零， x 呢，是一个 n 为列项量， a 是一个 n 接反对称针。如果 a x 等于 y， 证明 x 以外啊是正焦的， x 以外正焦的就证明他垂直，证明他垂直，就证明他的内机等于零啊。所以我们给出 x 以外的内机 内积就是横向量乘以列向量， x 转至是个横向量， y 是一个列向量， 那 x 转至乘以这个，那我们把 y 替换一下吧，把 y 一替换，就变成了 x 转至 a x a， x 的转至 x 乘以外 x 以外的内积，外与 x 的内积。确确实实啊，我们可以把它得到得到，可是这个里面有转至了，我们得把转至去掉。 a 到转至等于负 a， 为什么呢？因为 a 是一个反对认证。我们看看这个式子啊， x 与 y 的内机， y 与 x 内机应该是 相等的呀，但是你现在发现没有，差个符号了，他差个符号，哪一个数跟自己的相反数相等呢？只有零哎，只有零跟自己的数相反相等。所以呀，我们说这个 x 以外的那个内机 就应该等于零， x 以外的内积等于零，那不就是说明 x 与外正交了吗？这就是一个性质。好，我们看看正交销量组还有哪些信息。 首先我们给出，如果阿尔法一、阿法二、阿法三到阿尔法 s 是个量量正焦的菲林的项链组，那么这些正胶的项链构成的项链组一定是 线性无关的，简称正交必无关。哎，我们经常说五个字五个字的连续必有极限，可倒必连续， 连续必可击，是吧？连续必有剑啊，这些都是五个字，五个字的，我们也是正交必无关。为什么？哎，这个题简单一点好说， 怎么去好说呢？因为假设他是线性相关的，假设他是线性相关，那是存在这一组不全为零的数，能让这个得零啊。现在呢，我们如果能证明这些栏目的只能是零， 那他就是血型无关的，对吧？哎，所以我们就做内机变化，用阿尔法爱与这个项链做内机。阿尔法爱与他做内机与零 项链做的机当然是零了，可是我们把这展开，发现这一展开的话，分解成这样的 s 个内机，这些啊，因为都是正胶的，所以都是零，只剩下这个阿尔法爱与阿尔法爱的内机了。 阿尔法爱是非零项链，那他的内机也非零，所以啊，就得到这个拉姆达爱一定是零。每一个阿尔法爱做内机都能让这个拉姆达爱是零，所有的拉姆达爱都是零了，所以 要想这个让他等于零的话，只能这些拉门达是零，因此这些阿尔法就是血性无关的，是不是？哎，就得到了这个关系了。这个简单的记住一个事情，就是正交的向上 两两正焦的香料组必然是线性无关的，那线性无关的香料组是不是正焦的呢？那当然，这也不一定，可是不一定能不能解决这个问题呢？有有方法。

我们来看第十八题，第十八题是一个二次行的题，二次行的题呢，实际上的核心呢，还是我们这个 求特征值和特征相量的一个题，他说要找一个正交变换，把它变成一个标准型 正交变换。啥意思？要变换就是你本来啊，有一个 x， 你要找出 x 和 y 的一个关系，这就是一个正交变换， 就是找这样一个关系， xxxxxxx 列项量，完事另外一组列项量啊，完一，完二，完三 啊，那么他俩之间呢，是一个正交变换，屁呢，一定是个正交矩阵，那这个时候呢，我们就来找屁， 首先把 f 写成矩阵的形式，就是 x 一 x 二 x 三， 那这边就是啊，这是这边就是二一二零零，把这个负四拆成一半，你一半，我一半零零，那就是 x 一 x 二 x 三， 这乘出来。我们来看一下第前面这个矩阵啊，只有一行一行乘三列，这是三行乘三列，这是三行乘一列，这俩一乘就变成了一乘三的，这俩再一乘，哎，这是啊，这是 这三乘一啊，这俩一乘就变成一乘一了啊，你二字琴就是一个一乘一的啊，所以说没有错。那么这个时候呢， 我们就要对这样一个矩阵，我们把它称为 a 啊，我们下一步就说 f 啊，就等于 x 转至乘 a 乘 x， x 是啥？ x 就是我们说的 一个列项量， x 一 x 二 x 三啊，就是这样有关系，现在剩下的就是对 a 矩阵， a 用我们前面学的知识把它变成对角矩阵，所以我们先来求他的特征值， 这是球 a 的特征值的特征，方程组对角线减那么大。 好，那么这个呢？嗯，零比较多，所以说呢，我们很快能求出那么的一等于零，那么的二等于一，那么的三等于四。哎，这个过程呢，我们又省略了， 这个很快的能够求出来三个特征值，分别是零一四是不像相互不同的，那这个时候我们分别来求，当那么的一等于零时，那就是解这个方程组， 那解这个方程组，那就是他的细数矩阵就是二零负二零一，零负二零二， 第一行把第三行削成零了，同时第一行再除一个二出来，就变成幺零负一零幺零零零零。哎，那么这个方程组的 限行无关的解项量可以找到一个，那就是 x 三，要取一的话， x 一必须取一， x 二指的是六，那这就是他的一个项链。我们继续来看，当那么的二等于一时，那我们就要写 a 减一， x 的解对方式，组队要向前一，那么他的系数区分就是一零负二零零零负二零一， 第一行就是幺零负二，车上 二加进来就变成零了，变成零了，乘上一个正二加进来，那这个地方呢，就变成了 负十，负三除以负三变成一一六，把这个二变成零，所以最后的结果是幺零零零零幺。哎，那么这样一个 方程组好的同学就又不会了啊。这个方程组实际上呢，没有对 x 二任何要求，但是 x 一不能胡乱变，必须等于零， x 三也必须得，那 x 二取几呢？最简单，取一不要取零，取零是零限量就不对了。最后一个， 当那么的三等于四的时候，要解释， a 减四亿等于零，组对角线减四就是负二零负二， 组对角线减四是零负三，零负二，零负二。 好，那么我们一化解，你变成幺零幺零幺零，那么他对应的限行无关的，仅限量 x 三，如果取一的话， x 一取负一， x 二只能取。这个时候呢，我们三个练相量 就写出来了，下一步就来构造振焦矩阵，振焦矩阵要求这三列是单位响亮，所以我们一说 p 就等于 单位换，他的长度是二，那就是根号了，根号二，根号二分之一，零，根号二分之一， 他的长度，哎，刚好是他的长度依然是根号二，根号二分之负一零根号二分之正义啊，这三个项链显然是两两垂直的，那我的屁就找出来了， p 着出来以后呢，我们就可以啊，带到这个等式里。 f 你不是等于 x 转至乘 a 乘 x 吗？你又知道 x 啊？ x 就等于 p 乘 yx 和 y 的关系就是一个正交变换的关系。把这个 x 带进去，那我们得到 f 就等于 p y 的转至乘 a， 再乘上一个 p y， 我们把它啊括号展开，就是 y 转至乘上一个 p 转至乘 为陈皮陈白。我把这当成一个整体，就是我们啊，前一张啊，就前一个知识点学的特征值，特征项量的真教化问题， 他的转痣就是他的力，因为他是个正焦阵，那这的结果刚好是个对角阵。哎，刚好是个对角阵，对角阵的特征值啊，对角阵元素是多少呢？就是我们刚刚求的三个特征值，零幺四啊，零幺四，所以他最后的结果就是 零倍的为一方，加一倍的为二方，再加上四倍的为三啊。哎，这道题就讲到这里。

哈喽各位老铁，今天还是讲擦洗啊，因为之前有的朋友说我这个擦洗的步骤稍微有点繁琐了，那我们就今天就把这个思路啊给重新理一下，看一下这个到底繁不繁琐。首先我们要准备一条 啊，这个一选曲面边界，这个大家都知道啊，接触点也是可以的，然后我们把这个边界转换一下，转换成他的引导线啊，这个扩大之后的参考线作为他的引导线，把两头一山统一一下方向， 好，统一方向之后我们对这个参考线进行修剪啊，这个时候要注意了，你修剪的时候啊，一定要顺着他的这个油微方向去修剪， 这样的话我们后期做出来的辅助面啊，也会非常的光顺，如果你想追 求正交啊，那你这一步就要做的比较好啊，可以看到我分割的地方啊，都是跟他这个趋势啊，是垂直的，好按照这个规律继续往下分。 好的最后一步的时候呢啊，要注意啊，按照这个趋势啊，一次性把它分出来。好，这一步要注意了，要把它拉出来，这样的话分割的话才不会出现问题 啊，然后我们把那个多余的线段给删掉， 然后我们对这个线段进行 修颜和点分布，这样有助于我们补出来的面啊，有助于面更光顺一点。 然后呢我们对这个线进行补面操作啊，这个过程也是可以自动的啊，但是现在并没有自动，我手动给大家演示一下啊，可以看到这个面的油微线啊，此时已经是非常的光顺了， 所以说用这样的面去擦洗他，出来的效果也是非常光顺的 好，这样一个一个补下去，这个方法呢基本上适用于所有的擦洗情况啊， 基本上就没有不适用的，所以以后碰到要擦洗的，大家就可以无脑的用这个方法去做 好，可以看到这个面上的油微线了，他都是很顺的。最后我们把这个面的方向统一一下， 统一完之后我们运行啊一键擦洗，以这个辅助面去做投影，跟我们用那个 ps 软件做辅助面，出来的效果可以说是啊一模一样，甚至说是有过之而无不及， 他出来一个面的时候，他会停一下啊，让我们观察这个啊牛逼是否是正常的，如果我们牛逼错了，那我们就改一下， 对的话就点恢复好，点击恢复， 我们等待这个道路计算完成，计算完之后呢，我们去合并一下道路啊，把这些道路合并成一条，这就是我们最终的差距道路了 啊。好的，我们先反正一下啊，这个跳刀有一点点跳刀，后面再说 这个啊脚有一点加密了，相信大家看过之前视频的都知道，为什么他会有一点加密 啊，这个可以说是非常的 接近镇焦了， 加密大家也知道原因了啊，这里我就不不过多岁数了， 我们稍微仿真一下。最后再给大家介绍一下为什么中间会有跳刀， 这个跳刀是不影响不影响刀路的啊，不是那种从东跳到西，从南跳到北啊，这个不会说产生刀痕，他只是同一个区域重复走了两刀， 所以我们把它现在把它删掉的话，它这个跳刀就没了，选中它删掉一刀它就没了啊，这个当然也是可以自动删的，今天我就演示给大家看，非常完美，下期视频再见。

我们上次讨论了关于施密特正交化的问题，我们说施密特正交化的主要任务是将一些不正交的项量给变成正交的。做到这一点的办法就是首先构建一个小的子空间，然后利用投影算符将其他项量投影到正交补空间上面去，每次投影出去一个， 把它作为机扩充原本的子空间。有人会说是将这个项链中不正焦分量剪掉，这不能说是错的，只能说看待这个事情的方式有些区别。总而言之，这个方法很有用， 我们可以对一些向量进行正交化。有人可能会说施密特正交化没用，那是因为思维局限在考研的三阶矩阵上。我甚至还看到有人说告别施密特正交化的说法，我不知如何评价，希望今天的讨论能改变大家的看法。我们来讨论一个无穷为的线性空间。多项是空间， 其中的元素都是多项式，显然构成一个线性空间。遇到这样一个空间，我们希望能给他加上合适的内机结构，这样我们才能进行进一步的研究。那么什么样的内机是合理的呢？说到函数内机，我们瞬间就会想到积分， 那么积分线是什么呢？当然，多项式之间的成绩积分肯定不能是正负无穷，因为出来的数不是有限的，并没有什么意义。一个合理的想法是 将上下线改成有线的竖，另一方面，不论上下线是多少，都可以换圆伸缩移动。所以我们在选择有线区间的时候就有很高的自由度。一个合理的选择是从负一到一， 看起来就很人畜无害，选择这样一个区间的原因有两个，一个是前面说过的有限区间可以伸缩，而一和负一是最简单的。另一个原因是这个区间是关于原点 对称的，这样可以更方便的利用其有函数的特性。定义了内机以后，我们似乎就有很多可以做的了，比方说我们可以用内机定义范数，每个机的范数可以计算，也就是说 x 的 n 次方的膜是逐渐减小的。另一方面， 我们也可以定义两个史量之间的距离底。这个东西一般称作度量，不用算我们也知道 f m 和 f n 的度量是在不断减小的，似乎这就让他成为了一个柯西序列。 事实上， f n 这个序列的两个词序列是柯西序列，并且分别收敛到两个不同的不连续函数上面去。 这个问题我们先不关注，还是先考虑正交化的事情。首先做一下标记， x 的密，用 f 下标来做记号，所以密函数可以转化成 f 的序列了。接下来是施密特正交化的苦力活。第一个项料是一单位， 对话一下就是第一个机项量正交话第二个，想想 q 作用上去得到什么？这里用到了奇函数，然后归一话，第二个也不难算。接着正交话第三个，很明显计算变得复杂了， 但是依然是机械的，我们得到了第三个正交的项量。到这里我们停一下，想一下我们得到了什么。很明显，通过施密特正交化手续，我们将 e x x 平方变成正交的。因为每次都只是加进去一个密次，所以 e 零和 f 零， e 一和 f 一、 e 二和 f 二的密次是相等的，正交化手续没有改变密次，只是将他们进行混合。其次，我们发现其函数对应的依然是其函数，偶函数对应的依然是偶函数，这又是为什么呢？这就要回到 f 作为基石后的内计问题了。从积分可以看到，不同奇偶的 f 是正交的，这说明多项式空间可以划分为奇函数和偶函数的两个正交空间，他们的积分别为下标齐和下标偶。既然本来就是正交的， 那么如果我想把 f 一投影进偶函数空间，那就是一件不可能的事情。通俗的来说，施米特正交化是将项量进行混合，但是也只能混合一个子空间中的项量，所形成的结果是，正交化以后， e 里面依然是奇函数和偶函数，那么我们还要继续往下算吗？很显然， 接下去算的内容会越来越多。同时要正交化的史量有无限多，这显然是一个难办的事情。所以我们应该转变我们的思路，用无限对抗无限。具体怎么做呢？我们采用地推的办法去做。首先，我们将正交皈依的记忆除以首相系数，于是得到了 p n 首相系数唯一的 正交多项式。很明显，虽然不归一了，但是 p n 依然是正交机。我们说过，施密特正交化实际上就是扩空间的过程。现在假设我们扩到了 n 次的程度，也就是我们能够用 h n 里面的 n 加一个多项式取展开 n 次多项式。为什么是 n 加一个？因为还有一个常数项吗？ 现在我们考虑一个问题，那就是 x 乘 pn 是什么东西？很明显，他应该是 an 加一次的多项式，然后他手相肯定也是唯一。既然是 an 加一次多项式，那我再扩一次空间，就能用新的空间展开他了。 比如说现在他是这样的，展开系数设为 act， 我们看到 p 零到 p k 加一都上阵了，且手相系数唯一，我们似乎就建立了 p n 的一种地推关系，只要知道 p 零到 p n 就能得到 p n 加一，但是 是我们依然不知道如何下手，因为这些系数 a 我们都不知道，事实上这些系数大多数都是零。 为了理解这件事情，我们很容易想到要利用 pn 的正交性，实际上就是两边做内机，比如说两边对 pk 做内机，做内机就是做积分，我们会看到 x 会从 pn 跑到 pk 上面去，这个事情有什么了不起的呢？当然 换个位置就能得到很不一样的结论。比如说我们明白 x， p， k 实际上也是可以用更小的 p 展开的，那么这个时候就是 p n 和很多正交机的内机， 结果一定为零，两个情况除外。 k 等于 n， e 和 n 的时候，这个内击是有值的，所以前面很长一串球和实际上就剩下来三项。这个其实也是很好想的，乘 x 相当于做了一个线性变换，一个线性变换相当于一个旋转， 我去转一个史量，肯定可以用其他史量线性表出，形成这个线性变换的表示。类似的，我们还可以将 pn 作用上其他的线性变换，比如呈 x 平方，求导积分等等。每种线性变换都会对应一种表示矩阵，因为我们限制的空间是有限位的， 所以矩阵也是有限为的，而这个矩阵怎么确定系数呢？显然就是通过内机。原则上说，每选定一个线性变换，就得到了一种地推式。总而言之， 我们得到了一个二阶地推式，这里的暗和 b、 n 都是 n 有关的数列，只要确定了他们，按照我们前面算出来的一零一一二，就能得到所有的正交化的多项式了。 按照这个说法，我们首先有一些密函数 f， 通过正交化手续会得到正交归一的 e， 将 a 改一下，系数 变成正交不归一的多项式 p， 这里的 p 是满足地推关系的，这个事情看起来就是可行的了。我们稍微选取一下系数，比方说给 p 除以 f 的范数，让 p 和 f 的范数相同，这样做的话， t 的地推关系就像下面这样。前面我们看到地推关系需要确定系数，这个很容易就能用数学归纳法确定。至此， 我们得到了密函数 x 的 n。 四方正交后的多项是 p n， 当然，这个 p n 只需要再除一个范数就是归一的了，为什么非要除以一个根号呢？从地推式上面来看，它能保证 p n 的每一项都是有理的，我们可以写几项看看。另一方面，从地推式我们就能看出， p 一等于一， 相当于让所有的正交多项式都类皈依了。有了地推式，我们就能做很多事情了。比如用 p n 构造密集术，通过 蜜推关系可以得到 f 的表达式，这个分母开根号的函数也叫做 p n 的母函数。而根据拉格朗日繁衍，我们能够得到 p n 的求导表达式，这些简单的代数方面的事情就不多说了，以前讲过很多，我们只想说明，当对蜜函数在负一到一进行施密特正交化以后， 就能得到有这种性质的正交函数 p n。 那么这个 p n 的真正名字是什么呢？是勒让德多项式。我们一般都说勒让德多项式是负一到以上的正交函数组。在数学物理方程中， 我们有时候将函数用勒让德多项式展开，然后对比系数，求解微分方程。我们从更多时候学习勒让德多项式，事先介绍勒让德方程，然后密集数求解，然后再某点断掉，让其成为多项式。当然，这个也是一个超几何方程，顺理成章 章的勒让德多项式可以用超级和函数表示。这个勒让德方程是什么时候遇到的呢？中心立场的薛定鄂方程分离变量出来的。在说薛定鄂方程之前，我们先想想为什么勒让德多项式可以展开函数。首先，勒让德多项式是正交的， 而且是密函数正交化得到的。我们将多项式空间计为 x， 在负一到以上的多项式可以逼近连续函数，而连续函数空间又可以完被划到平方乐贝格可击的函数空间。至于乐让的函数逼近，则是由两个事情确定的。 第一步的保证是威尔斯特拉斯逼近定理，他告诉我们可以用多项式去逼近连续函数。第二个事情是连续函数完备化以后，在 l 平方上稠密，这就让所有的 f 都有连续函数和他任意接近。所以永乐让得多项式逼近函 数就成为了可能。当然，收敛性仍然是未知的，就像复理业级数一样有限制。这两个条件说明的是勒让得多项是皈依化的函数在 l 平方上面是完全的。我们能说明的是 l 平方在有限区间上有完全规范正交序列，而这个序列可以是勒让德多项式。换句话说，勒让德多项式几乎统治了有限区间上面的函数。如果有一个函数在有限区间上，我就可以断言其可以和勒让德多项式有关。我们以薛定鄂方程为例说明这一点。 中心立场中的薛定鄂方程是这样的，我们知道这种方程的解是二 cit 发的形式，由于 cit 总是含在三角函数里面，而三角函数的值域是负一到一，那么我就可以肯定他的函数解肯定与勒让德多项式有某种关联。这是薛 约定了方程的哈密炖量，其中有拉普拉斯、蒜、氟，他是关于 are sita 发三个变量偏倒的形式。很多人喜欢用蒜这个柿子来水东西，其实只是看着吓人而已。 所以说到底就是要解这个偏微分方程。这个我们都知道怎么解，分离变量就行了，分三次变量，他们分别满足这三个常微分方程。第一个是关于镜像波函数的，后两个是角动量波函数。还是那句话，看起来很可怕， 实际上就是俄罗斯套娃。这三个方程从下往上解就行了。第三个方程很显然是一指数，由于拨函数周期性，所以 m 是整数，得到 m 后就要代入解第二个方程。第二个方程是关于三角函数的，我们用 x 替换一个，将函数变成以 x 为变量的，这就 得到了只有 x 和 y 的方程。我们看到这和我们前面的勒让得方程很像了，当 m 等于零的时候，后面一个分数消失，这个时候就是嘞让得方程。而首先我们由 x 属于负一到一， 已经提前判断出肯定这里的函数外一定与乐让得多项是有关，至少作为一个空间里面的函数，可以用其进行展开或变换得到。而如果 m 不为零，那么得到的结果是连带勒让得方程。 连带勒让的函数很明显就是由乐让的函数变换而来。从这里我们已经明白了体系的性质决定了解的性质。为了更加证实这个说法， 我们再举两个例子。我们前面说过，对于任何有限 b 区间的函数，他都可以变换到负一到一上，那里的基是勒让得多项式。现在我们考虑一个函数的定义域是 a 到正无穷及区间是半无 线的，比如前面的薛定鄂方程里面的镜像函数。很明显，这里的函数不可能与勒让得多项式扯上任何一丝关系了，因为他们隶属于不同的函数空间，不论我们怎么变换区间，都只能将 a 变成零。 那这个时候有没有办法找出多项式进行正交化呢？这件事情看起来是不可能的，实际上是完全可以的。比如我在积分的时候，乘一个衰减的一指数内积就有限了，这个积分里面加的衰减函数。 什么叫做权加权吗？当然还可以这样看，就是以指数乘密函数的正交化。不论怎么说，加入衰减项以后，正交化就很容易了，与前面的过程类似， 奇函数去掉一个一指数就是多项式了，而这个多项式也和前面一样，满足一个地推关系。这个多项式也满足一个微分方程，它的名字就叫做拉 盖尔多项式。我们知道了，拉盖尔多项式从某种程度上来说，构成了零到正无穷的正交皈依机。当然，对于多项式来说，内机的积分要加权的，而对于零到正无穷的函数机，一零一一一二来说，内机就不需要加权。我们依然可以写几项， 他们的共同特点就是在零处的值为一。对于前面的镜像波函数，因为其定义域就是零到正无穷，所以我们认定其与拉盖尔多项是有关。经过变量代换， 我们依旧可以凑出类似拉盖尔方程，所以微分方程的解为拉盖尔多项式求导，相当于对多项式做一个简单的变换。接下来最后一个问题， 如果区间是负无穷到正无穷怎么办？很简单，就用高斯函数来做衰减，这样多项是依旧可以做内机，正交化依旧，结果是 h n 也将 要做鄂米多项式与前面还是一样，鄂米多项式有类似的地推关系，满足鄂米微分方程前面的系数只是让多项式好看一些。我们之前提出过一个问题，那就是为什么邪震子薛定鄂方程的解释鄂米多项式。答案很简单， 我的拨函数定义域就是全实数，那么我的结果一定是与体系相挂钩的，结果就是作为时轴上的正交机，厄米多项是当仁不让的站了出来，这几乎是一件必然的事情，今天分享结束，谢谢大家。

同学们大家好，今天我们来学习诗密的镇交化。诗密的镇交化的公式看起来有点复杂，但他要完成的操作就比较简单，就是将非镇交机化为镇交机。 比如 x x 二是这个平面里的一组非正焦机，经过市民的正焦化后，就能得到 v 一、 v 二这组正焦机。 下面我们来看看他的具体推倒。先从特殊的二位向量空间 r 平方说起，假设下面有两个项量是 r 平方中的一组非正焦机，我们将其中一个项量对另一个项量进行投影操作后，就能得到 r 平方的一组正焦机， 下面来进行怠速推倒。假设非真胶机为 x c x 二实名特真胶化的第一 就是任选其一作为 v 一，比如选 x 一，这样 v 一就等于 x 一， 然后做出 x 二在 v 一上的投影， x 二一拔，其垂线向亮就是要求的 v 二。 根据项链减法的几何意义可知， v 二等于 x 二减， x 二一拔，而 x 二一拔与 v 一在同一条直线上，因此 x 二一拔等于 k 一。 v 一在这个识字里只有 k 一还不知道，下面就来求解它。因为 v 二与 v 一正交， 所以他们点击为零，将 v 二等于 x 二减 k 一、 v 一带入此事整理一下，这样就求助了 k 一，从而求助了 r 平 方中的一组真胶机，为一为二。需要说明的是，上述推导过程并没有被限制，在二平方中， 它也可以完成在三维空间中的平面上寻找正脚机的任务，比如 x x 二是三维平面中的一组非正脚机，通过市民的正焦化方法就能找到该平面的正脚机和一 v 二。讲完了二维，下面来看看三维的情况。 还是以特殊的三位项链空间二立方为例，假设图中的三个项链是二立方中的一组非正较机，先按照前面二维的做法，将其中任意两个项量正交化，然后像这两个正交项链所章程的空间做垂线，从而得到第三个正交项链， 这样就得到了 r 立方中的一组真胶机。思路讲完了，下面开始具体推倒。假设废真胶机为 c x 二 x 三，将 x c x 二用前面的方法将其正交化为 v 一 v 二。 下面将 x 三向平面做投影，得到其投影项链 x 三一拔 x 三与 x 三一拔的连线极为所求的微三。 为了让同学们看的更清楚，这里将图像旋转一下，因为数值的项链是 v 三，根据项链减法的几何意义可知， v 三为 x 三与 x 三一把之差，也就是 v 三等于 x 三减 x 三一把。 因为 x 三一拔在 v 一 v 二所章程的平面上，所以它是 v 一 v 二的线形组合，也就是 x 三一八等于 k 一 v 一加 k 二 v 二。 为了好看，这里再旋转一下图像，从这个角度看， x 一拔是 v 一 v 二的线形组合就很明显了。将 x 三一拔等于 k 一 v 一加 k 二 v 二带入第三行，就得到了这个柿子。 因为 v 三垂直于整个平面，自然也是垂直于 v v 二，这样我们就得到了 v 三点成 v 一等于零， v 三点成 v 二等于零。 用刚刚二维中同样的计算方法，我们就能计算出 k 一 k 二这部分的具体推导，感兴趣的同学可以查看我们的文字版，将他们带回第三行，这样就取出了 v 三，这就是三维中的史密特镇交化， 将此推广到 n 尾，这样就得到了史密特镇交化的完整表达。

好的同学们，大家好，今天是距离二零二一年十月份自学考试还剩两天的时间啊，也是我们最后一次分享 四幺八四现行代数这一门课程的知识点了。我们今天来分享的是第六章十二次行的一个非常常规以及高频出题的大题啊，叫做利用正交变换法化二次行为标准型的这种例题。 ok， 那么今天我们首先来先回顾一下这个解题的步骤啊，我们先来看第一个，首先作为这种大题啊，给出一个二次形，我们毫不犹豫的要把它的二次形的矩阵写出来。 好，那么这里老师问下大家，二次行矩阵他是一个什么矩阵啊？你不能说他是个方阵啊，那当然是个方阵，二次行矩阵他是一个 十对称矩阵啊。好，那么十对称矩阵一出来，他的正焦相似标准型不就有了相同的概念了吗？所以我们做的变换可以记借助这个正焦变换化二次行为标准型啊。好，第一步画出这个矩阵， 第二步，我们要去把这个十对称矩阵的特征值以及特征值对应的这个特征项链啊，要找到，因为特征值 他就是拼标准型的系数的原料啊，特征值与特征相量，而且对于一个十对称居证来说， 他是不是必然可以相似对角画的，大家想一下是不是？所以呢，我们一定能够去求特征值，特征像样使得他得到一个对角证啊。好，这是第二点， 第三点，这里我们要找的是正焦变化啊，所以这个屁句正，他是一个什么？正，他是一个正焦正啊，正焦正比可逆正他的要求更高啊，正焦正，他要求的是 无论是行还是列的项链组，他必然是正焦的，对不对？所以他的项链必然要求是正焦化的，两两正焦好，除了这个之外呢，每一个项链他必然是标准的正焦项链啊， 也就说他的长度必须要是一，所以我们这里面要去对这个球出来的特征项链要进行两个问题，一个叫做正焦化 对不对？一个叫中焦化，一个叫做单位化啊，这两件事情 必须要去考虑好，那么我们首先来看单位化的啊，正焦化的问题啊，正焦化并不一定要做， 这个地方有的时候特征项链他是正焦的啊，就算出来这个特征项他天然正焦，那么这个时候正焦化就不需要去做， 如果这个特色现在还不正焦的话，我们如何正焦化呢？这也是大家思考的问题啊，也是我们教材上的一个非常重要的问题，叫做利用施密特正焦化法啊，利用施密特 施密特正焦化法，把一个项链以及对应的这些其他的项链给他正焦化啊，好，那么这是两个问题好，除此之外，我们还要做单位化啊，单位化很简单，除以自己的 长度就可以了啊，等会我们用立体来进行演示，那么完成这两件事情之后，我们就能得到一个矩阵，他就是一个正焦矩阵啊，所以我们就可以得到这个 x 等于屁外的正焦关系，把它化二字形为标准形啊，标准形就找到了。 好，那么这个地方来看啊，我们说标准型他没有交叉向啊，只有平方向，那么这个平方向的系数就是由谁来拼成的特征值去拼这个平方向的系数， 所以这是一个非常完整的一个求正交变换或二次性为标准型的四个基本步骤啊。那么我们等会通过这个例题来看一下啊，好的，题目很简单，题目就非常 的明确啊， x c p y 将二次形化为标准型啊，这道题他给出来最终的标准型的结果，他想告诉我们什么？ 这是大家要想一个问题啊，我们刚刚是不是说过了啊，这里面的这些系数啊，他并不是一些随便写的这三个系数啊，他就是我们这个二次行矩阵的什么特征值， 所以这道题啊，他有一个福利，什么福利呢？你不需要通过 love 的一减一的行列式等于零去算这个特征值了，他已经告诉你特征值了啊， 而且这道题他的对应的这个矩阵的那么的一减 a 啊，他算特动值会非常的麻烦，所有同学没有发现这一点啊，当时在考这道题的时候就说算不出来这个特动值是多少啊，题会做， 但是他不知道的是，题目给的这个标准性的结果就提醒你了，不需要去计算，对吧，所以我们直接可以得到他的特征值， ok， 那么我们接下来一起来看一下啊。首先把他的矩阵要写出来，这个很简单 啊，主对角线是平方向啊，把交叉交叉上的这个系数平分到对应的序数序号的位置啊，比如说一二放到第一行第二列，把这个负四一猜变成两个负二，对吧？ 同样的，这个负负四拆到第二行第三列和第三行第二列养也是两个负二啊，所以得到二十行的矩阵， 那么刚刚说了特征值是不是也是已知的，那么的一等于负一，那么的二等于二，那么的三等于五啊，所以这个特征值不需要求了。好，特征值知道，我们接下来去求特征项链之前，大家想一个问题啊，这个二次性矩阵刚刚说是不是一个十对称 矩阵啊？我们说过十对称矩阵他如果有不同的特征值啊，这里我们看到三个特征值不相同，我是非常高兴的啊，因为不同特征值他对应的特征像量必然是天然正焦的，也就说 只要是满足这个十对身居证，你求出来特征值不相同，他的特征销量一定中交，如果不中交就说明你算错了啊， 所以这里我们完全可以避开我非常讨厌的施密特正焦化啊，不需要做正焦化了，题目已经天然正焦，是不是？所以我们只需要去求特征项链以及把他们单位化就可以了啊？好，我们一个来看。 好，那么一般来说啊，求这个特能项链，我们要先把这个拉木的一减 a 啊，超在我们的草稿纸上啊，这个方便我们在里面进行演算。好，第一个拉木的一等于 负一的时候，我们解，其次方程组啊，对吧？那么这里系数据证把负一带入对出等对这个系数据证做出等变化啊，化成你觉得能够快速得到这个结果的都可以啊，没有说一定要像我这样子化成他的这个行最简啊，当然画行最简没有错啊，我们一起来看一下 这里第一行的负一倍往第二行加好，那么这时候零负一二和零二负四是不是成比例了？所以可以把第三行给划掉，然后第二行的一倍往第一行加，得到这个行最减型矩阵，那么还原成同解方程组自由变量是 x 三，那么算出来这个结果是不是应该是 二二幺啊？二二幺，所以记他为阿法一，我们把单位化就可以得到 pe 啊，单位化我们就是除以自己的长度吗？对不对啊？那么阿法一的长度怎么求呢？ 很简单，是不是应该是每一个分量的平方，每一个分量的平方，二的平方 加上二的平方，加上一的平方等于一啊，平方他的和相加开根号，所以这里是四加四加一等于九，九开根号等于三， 所以我们的单位化的结果是除以自己的长度，所以是二二幺除以长度三啊，等于三分之一倍的，你也可以把三分之一盛进去啊，这个没关系。好，那么这是第一个结果啊，同理第二个结果，拉姆达尔等于二的时候，同样的去做 出导航变换，化成一个这样的相对比较简单的方程组的洗漱，我们可以还原了，这里我们就已经 可以得到一个非常简单的啊，因为这个第二列，这个 x 二，他都是二倍的系数，所以此时我们就可以把它还原成同解方能组。另， x 二等于一的时候，可以算出来他的特长限量是负二一二啊， 那么同样的单位化，这里他只是改变了这个正负号和这个顺序啊，一平方相加还是等于九，是不是？ 所以他的长度还是等于三的，那么除以三三分之一倍的他啊，就得到是 p 二的结果，同理，我们求 p 三， 当浪的三等于五的时候，同样的对这个系数据证做出等行变化啊，化成相对比较简单的时候，然后接下来我们进一步的把这个还原成同解方程组，令 x 三等于一，我们就能得到什么呢？一起来看一下啊。如果我们这道题令 x 三等于一的话， 我们是不是能够得到的是 x 一等于几二分之一， x 二等于几等于负一，这样并不好，这样子求出来，特征上才有分数啊，所以我们这里的负值要有一定技巧啊，我这里就不会选择令 x 三等于一了，我会令 x 三等于几啊，大家想， 令 x 三肯定等于二比较好啊，因为你令 x 三等于二的时候，那么这个时候 x 一算出来是应该等于正一啊， 然后 xr 等于负二吧，所以这样子的系数啊，就没有带了，带了分数是吧，所以就更加好算他的长度了，所以我们令 x 三等于二，就可以同样的求出来对应的这个 特征项链，一负二二啊，同样的除以长度等于三分之一倍的一负二二， 好的，那么求出来这个三个特征项链，并且单位化之后啊，其实我们这里可以检查一下。好，这里阿法三是一负二二吧，对不对？那我们上面的看一下刚刚写出来的啊，这个阿法二是个负二一二 等于负二一二，还有阿法一呢， 阿法一我们再来看一下啊，阿法一是不是应该是二二幺，对不对？好，那么这里阿法一啊，等于二二幺， 你可以发现没有，属于三个不同特征值的特征，销量是不是必然两两增加，这就是十对称矩阵的一个魅力啊，你随便内积都等于零，可以自己检查一下对不对，所以这样子就说明我 一定是没有算错的啊。 ok， 那么算出来，阿法一，阿法二，阿法三啊，把它单位化好，最后拼这个正焦矩阵， p 的时候，把三个按顺序拼出来，可以得到这个结果啊。好，然后最后把这个正焦变化描述一下啊， x 等于 p， y， x 是三个分量， p 是这个正焦句，正 y 是三个分量。把它写出来 做这个正交变换，我们就可以把这个原有的二次形啊，含有交叉相的二次形化成一个不含交叉相的标准型，所以做正交变换可以化二次形为标准型 啊。那么这就是一个非常典型的第六章这个十二字型的出题的角度啊，有的时候会出二阶，有的时候会出三阶啊，有的时候简单，有的时候会稍微计算量会大一点啊，这个都是呃在考纲内允许的，所以大家要做好这个计算 准备啊，细心耐心的把这道题给好好做出来，难度倒并没有多少啊，按标准去做就可以了。 好的，那么最后的话也祝愿大家啊，在二零二一年的自学考试，十月份的下半年的考试啊，取得优异的成绩啊，也希望大家能够一直保持逢考必过的状态，同学们，再见！

哈喽，大家好呀，欢迎来到复列解析远离小课堂第七节，我们看一下复列变换的学习地图，本节我们将一起了解函数正交。我们先回顾下前几节相关的知识点。在零到二派上， c m， c t， c t 的积分都为零，以及三角函数成绩的变换公式。 所谓函数的正交性是将项链的正交性移植到了函数上。项链的正交性是指假设有两个二维项链， a 等于 x， e y 一， b 等于 x l y 二， 如果他们满足 x e， x 二加上 y 一， y 二等于零，则称这两个二维相量正交。由于本例是二维相量，故只要对应相乘的两组相加等于零即可。 以此类推分为项链需要对应相乘的 n 组相加等于零。因此项链正交相加的组数是根据为数而定的。 项链为数是几，就有几组对应的元素相加。而我们知道函数是一条连续的曲线，它与相量的不同之数在于，无论函数的定义是否为无穷，函数，对应相加的组数都为无限多组。 两个函数正交表示两函数在某一线上的每一组对应点都满足， f 零 g 零加 f 一， g 一加 f 二， g 二加加加，一直加到 fx， g x 等于零。 求函数在某一区间上所有点之和。很自然的就是用积分及上市化为在 a 到 b 上 fx 乘以 gxdx 等于零。 我们一起看一下三角函数的正交性位于不是一般性，我们同时求两个三角函数彼此之间的正交性。根据三角函数成绩的变换公式得提出系数将积分作拆 分得弱， m 等于零，三也零等于零，扩散也零等于一，且根据三角函数满周期积分为零得到。好归纳一下， 结论为，某三角函数与除自身外的其他所有三角函数都镇交。 以上就是本小节的全部内容了， app 做科普视频的宗旨就是好学不累 app 在这里求点赞，求收藏，求转发，那么我们下期再见。

本次我们来学习正焦矩阵。 首先给出正交矩阵的定义，如果方阵 a 满足 a 转制，乘 a 等于单位矩阵，即 a ne 等于 a 转制， 则称矩阵 a 为正交矩阵。关于正交矩阵做以下几点说明，一、因为 a 转制，乘 a 等于 e 等于 a 乘 a 转制， 所以对于正交矩阵 a 对列向量组成立的结论，对航向量组也成立。 二、因为 a 转制，乘 a 等于 e， 两边 取行列式可得， 所以 a 的行列式的平方等于一，这表明正交矩阵的行列式等于正一或负一。 三、若 a 为正交矩阵，则 a 的列向亮度是标准正交向亮度。这是因为若矩阵 a 用列向量来表示，即对 a 做列分块， 则由等式 a 转制成 a 等于单位矩阵可得。 于是我们可以得到如下 n found 等式， 这表明矩阵 a 的个列均为单位向量，而且两两正交，所以其列限量组是标准增交向量组。 根据矩阵的乘法及正焦矩阵的定义，不难验证下列矩阵是正焦矩阵。 我们还可以注意到矩阵 a 的列或航向亮度是正焦的单位向亮度及标准正焦向亮度。 最后讲解两道例题。第一题设列项量， f 为单位项量， 如此定义矩阵 h 证明，一、 h 为对称矩阵。二 h 为正交矩阵。 三、 h 的行列式等于负一，证明过程见演示。 第二个例题，设 a 为十对称矩阵，且满足给定矩阵方程，证明 a 加二， e 为正交矩阵。 对于该题目，我们验证 a 加二，一满足正交矩阵的定义即可。过程如下， 本次内容到此结束。