数学基础训练二次根式答案八年级上册

好，我们来看昨天给大家留的这几道题。第一个说不是直角三角形的，三边的比一比根号二比根号三，那没问题，一比根号一，比二比根号三也没问题， 九四十四一也没问题，但是这说了个角度之笔，三四五那肯定不行啊，所以答案四 d 咱都不用算了啊。 然后第二个呢，有它，那么这是根号下 a 的平方的 a 的绝对值，是吧？所以我会有 a 减二的绝对值，加上一减 a 的绝对值，然后我们再取它 大于小于二，大于小于二负的，那就是二减 a 大于小于二，后面也是负的，加上 a 减一，所以结果二减一一，答案选二 b， 这个给初三那天做了一下，还有好多人做错呢。第三题呢，是咱们启动练 颜色上的一道啊，但是有些人不做，你肯定做不了。呃，这里呢，来看，甲分母有理化跟 a， 减跟 b， 然后觉得没毛病，这里面关键的就是这个甲是不对的啊，为什么说甲不对呢？因为他这并没有说 a 不等于 b， 如果万一，何必相等了，你同乘的是个零就没有意义了，所以加是错的。而乙呢，是把它写成了根据二次根式的性质， 先开方再平方，相当于什么也没干，对吧？所以把 a 等于根号 a 的平方， b 等于根号 b 的平方，写了平方差公式，所以二对的。那么答案呢，就是四 d 假错以对啊，只有乙是正确的。呃，大家做的这个题的时候，注意一下，第四题，三角形分别是这个面积， 那其实这个是需要你先用购物定理逆定理搞一下，他是一个直角三角形哎，并且能能知道呢，一条边是根号二，一条直角边就是二，因为根号二的平方是二，二的平方是四，加起来是根号六，加起根号六的平方，所以面积的话就是二分之一， 乘以二，乘以根号二，就等于根号二，所以答案是二 b。 第五题，如图，在直角三角形中，终点终点中位线，终点终点中位线，那么对角线又互相垂直。 其实有 e、 d 平行且等于 b， c、 m 平行等于二分之一， b， c、 m、 n 平行等于二分之一。 b、 c 一组对边平行且相等平行。四边形，对角线互相垂直的平行四边形菱形， o， b 等于 等于六， ocob 等于八， oc 等于六， bc 等于十六八十，那么 m 等于五四五二十。答案选二 b。 有的人没有学四边形的啊，这个题可以先不做空下 四边形没学的可以先空下啊。这个是又用又用勾股定理又用。呃，中位线又用平四边形，特殊平四边形正菱形啊， 由一，那分母不为零，所以 x 不等于一， x 呢，还得大于。看这个，这个要满足好几个，咱们把它写出来，首先是二， x 加一大等零， 然后 x 大等零，然后一减根号 x 又不等于零，合到一块呢，上面是 x 大等负的二分之一， 第二个是 x 大等零，后面呢是 x 不等于一。那你合到一块就是 x 大等零且 x 不等于一。他们三个都要满足啊，都要满足。 呃，第七个，这个就是比较简单的了，上面一看有意义，那 x 肯定等于二分之一，这我就不多说了，对吧，因为他有大等零，他有大等零 等于二分之一的前面是零，另外外等于四啊。往后一带，那就是二分之一的四次方，加上四的算数平方根就等于十六分之一，加上二等于十六分之三。十三 在实数范围的因式分解，这是 a 方哎，后面是减三，二乘以三乘以 a 方，再加上九，那就是 a 方减三的完全平方。 如果没有这几个字，那我到此就结束了。这是因为有了它，所以不能结束呢。因为 a 方三，三是根号三的平方，所以就是 a 加根号三的平方，乘以 a 减根号三的平方，再往开放，这才到最简的 好，看清楚实数范围内。如果没有说这的话就好说说了，这你得往后再算啊。 以下呢计算第一个，根号二十四是二倍根六减原式我不写了啊。二倍根六减去二分之根号二，根号八十一是根号八分之一是二倍根号二分之一，也就是四分之根号二，再减去根号六， 那结果就是根号六减去四分之，这是二分之根号二，二分之根号二，四分之二，四分之三，四分之三倍根号二， 根号二十七，三倍根三，加上根号三减一。后面这要注意负指数密啊，是三分之一分之一，所以加三减一，结果就变成了四倍根号三，四倍根号三加一。 第十题，这个计算题他应该不算是太难啊，应该不算是太难，让你求 d、 e 的长，所以我们把 d、 e 连起来， 把 d 连起来，当然虚线啊。 a， b 等于四，嗯， b， c 等于八， b， c 等于八，然后折叠之后，折叠之后和它重合，和它重合之后，我们先能求出 a、 e， 这题就结了。因为 a， e 等于 e c， 我说 e， c 是 x， 这就是 x， 这就是八减 x。 那么我们猜一个啊，老师怎么算的？猜一个，其实你自己算也行，八减 x 的平方加上四的平方等于 x 方。这个题比较简单的啊，那么 x 等于五 是吧？三四五 s 等于五的话，这是四，这是四，所以 d e 就等于根号下 d c 方加上 e， c 方五五二十五，四 c 十六，根号四十一 就可以了。因为昨天有的教回来干了个啥搞笑的事啊？他算出这个五了，算出这个五，他觉得有四有五，所以那边就是三，然后嘎给我写了个三教回来了，你想想能行吗？你的斜边比直角边还要短，所以做的时候细心点啊。

我们一起来看一下我这写的这几个二字跟式。我们先看一下左面这一列根号二的平方等于什么呀？根号二的平方我们知道，就是等于根号二乘以根号二，那根号二乘以根号二，就是等于二，对吧？那这个很简单呢，根号五的平方呢？就是等于五，那根号十的平方呢？就是等于十。哎，左面这一列我们看完了，再来看右边这一列 根号下二的平方，那就知道等于根号四，根号四又等于二，那我们来看这个根号下负五的平方。那你们说这个式子我们应该先算什么呢？我是应该先把负五的平方算出来呢？还是应该先开这个根号呢？ 好，我们是不是应该先把负的平方算出来？那也就是说他等于根号下负五的平方等于二十五。哎，根号二十五，那根号二十五，二十五正好是五的平方吗？那他就等于五了。好，那我们再来看一下这个，是的，根号下负十的平方，跟上面这个的步骤是一样的，对吧？我们应该 先把负十的平方算出来，那也就是根号下一百，根号一百，那就应该等于十。好了，那我们来看一下左右这两类二字根式。我为什么要讲这个内容呢？我们一起来分析一下。好，我们先看左边这一列，左边这一列的格式是不是比较统一呀？ 那是什么格式呢？哎，我们是不是都可以给他写成根号 a 的平方？好，但是注意了，如果我把它都归纳成为用这个字母 a 归纳成为这样的一个形式出来的话，这里面有一个要注意的地方，就是 a 的取值范围有限定吗？ 有没有限定？你会发现 a 等于二， a 等于五， a 等于十都没问题， a 等于零也没问题，但 a 能等于负一能等于负二负五负十吗？是不是 a 不能为负呀？因为他在根号下呢，所以说对于这个式子来讲，还有一个限定，就是 a 大于等于零。好了，那我们来看那根号 a 的平方，根据我们刚才总结的，根号二的平方等于二，根号五个平方等于五，根号十个平方等于十，那根号 a 的平方等于什么呢？那就应该等于的是 a 了，对吧？好，这是第一列，这个二次根是我们总结出来的一个结论。那我们再来看右边这个， 根号价二十平方，根号价负五的平方，根号价负十的平方，那我要是再来给他做一个总结的话，我们是不是可以写成根号价 a 的平方，对吧？那好，那我们来看一下他应该等于什么？首先我们先来想一个问题，这个式子跟前面这个式子一样，也需要对 a 进行一个曲折的限定吗？ 用，用给他限定吗？不用，对不对？你看我这里面 a 等于二，这里面 a 等于负五，这里面 a 等于负十，是不是我 a 可正可负呀？为什么这里的 a 就能取负呢？为什么？ 哎，因为他这有一个平方，对吧？不管你是正是负还是零，只要遇到我平方，我通通给你变成了非负的，那我只要是非负的，我放在根号下面就是有意义的，对吧？这是没有问题的。好，那我们来看一下根号下 a 的平方，这里的 a 取任意时数，取全体时数以后，这个式子应该等于什么呢？ 我们看第一个例子里面， a 等于几？ a 是不是对的？等于二，当 a 等于二的时候，最后的结果为二，但是呢，当 a 等于负的时候，最后的结果反而变成了五， a 等于负十的时候，最后的结果也变成了十。 那也就是说，当我 a 取正数的时候，我原来的结果是不是就是 a 呀？但是呢，当我 a 去复数的时候，你会发现我最后的结果变成了 a 的相反数。哎，那这样的规律有没有激发起同学们对以前知识的一个回顾呢？或者你 你有没有想起来以前我们学的哪个知识跟他还挺像的呀？谁？ a 是绝对值对吧？我们说当 a 大于等于零的时候， a 的绝对值就等于本身，当 a 小于零的时候， a 的绝对值就等于他的相反数，那我们看这是不也是一样的？ 所以说，根号价 a 的平方实际上等于什么？实际上就等于的是 a 的绝对值，那至于 a 的绝对值等于什么，是哪一种情况，那你再去按照去绝对值的方法去给他讨论去。你这只需要牢牢的记住，根号下 a 的平方等于 a 的绝对值，而根号 a 的平方等于 a， 那么这个数字里面还要注意一下， a 的取值范围是有限定的。 好，那讲到这，其实我想你就知道我们今天准备要跟谁随古拜了，是要跟谁说再见，是不是就是要跟跟号说再见呀？我们也就是利用二次跟式的性质来对 含有根式又含有平方预算的这样式子进行一个化解。好，我们把刚才讲的这个知识点做一个总结，那也就是说根号 a 的平方等于 a， 你一定要注意，这里面的 a 是大于等于零的， 但是根号下 a 的平方就等于 a 的绝对值，那至于我 a 的绝对值到底是等于 a 还是等于负 a， 那你再去用去绝对值的思路对他进行分类讨论。 好，那我们来看下这道题目，如果根号下二 a 减一的平方等于一减二 a， 那么他问我们 a 的取值范围。好，那我们刚才说了，公式是这样写的，对吧？根号下 a 方等于什么来着？ 一定要牢牢的记住，根号下 a 方等于 a 的绝对值，大家一定要把这个点记住，还是我说的，你先把根号给它画成含绝对值的式子，然后你再去去绝对值，那我们来看啊，这是我们说的公式 对不对？那在这道题目中，公式里的 a 在这道题目中具体是谁啊？哎，我们看公式的 a 在这道题题中是二 a 减一，对不对？ 好的同学们在这也要注意一点啊，这块的 a 跟这的 a 不是一回事，这是一个代数的思想，对吧？我们说这是一个公式，我这里面的 a 可以代表很多很复杂的东西，只不过在这道题里面具体体现为二 a 减一，那我们发现二 a 减一跟一减二是什么关系？ 二 a 减一跟一减二 a 是相反数，对吧？也就是说原来这个式子我们可以给他画成二 a 减一的绝对值，那我们发现二 a 减一的绝对值等于他的相反数，一减二 a 的话，那也就是告诉我们原来的这个数是正还是负呀？ 哎，他是不是应该二 a 减一，应该怎么着？拒绝对值的指示，这是我们初一上学的知识，那也就是二 a 减一应该小于等于零。那这同学们一定要 注意一下，我的绝对值等于他相满数的时候，我是可以取到零的，这个零不要丢掉。好，了解，这个不能是很简单就会觉得 a 小于等于二分之一，那所以这道题选择第二个 b 选项好了，那做完这道题，你是否对这个公式得到了一个巩固呢？ 好，我们再来回顾一下啊，同学们，想想我们今天内容，你只要把这两个狮子牢牢记住就可以了，根号 a 的平方，它等于什么来着？就等于 a， 而且这里面注意， a 是要非负的大于等于零的，这是第一个公式。第二个公式就是根号下 a 方，一定要记住，它是等于 a 的绝对值。 这两个式子里面 a 的取值范围的差别以及做化减结果的差别一定要牢固的掌握，因为这是一个非常容易出错的地方，同学们一定不要忘了，这应该是加一个绝对值的。好，下面 进入我们今天的金题竞讲。好，我们先来看一下这个第一小题，他说已知 a 大于负一小于零，让我们化解一下 a 加一的绝对值，减去根号下 a 的平方。好，那我们拿到这道题，你先不要着急去化解， 先干嘛呀？要我说，你先把他给整理一下对吧？那我们说根号加 a 方等于什么来着？根号加 a 方等于什么？等于 a 吗？ 等于什么呀？注意，我再强调一遍，根号下 a 方等于 a 的绝对值，对吧？那我们来看，也就是说这个式子我们可以给它变形成什么样？那就是前面 a 加一的绝对值，你先别管他，再减去后面什么 a 的绝对值。 好，有了这个，我们接着往下看， a 大于负一小于零， a 在负一和零之间，那么这个时候 a 加 一是正是负呢？想想 a 在负一和零之间的话， a 加一怎么着？ a 加一肯定是一个大于零的，对吧？这是我们不等式学的知识。你看 a 大于负一，那么 a 加一一定要大于零，那 a 加一为正的话，它的绝对值肯定等于本身，所以这就等于 a 加一。那我们再往后看 a 的绝对值， 那我们看 a 这块小于零，那 a 的绝对值等于什么？就应该等于它的相反数，也就是负 a， 所以就是减去负 a， 那也就是说减负 a 等于加上 a， 那也就变成了二 a 加一。所以其实这道题考察我们的有知识点， 还是这样，对不对？根号加 a 的平方等于 a 的绝对值，你一步一步来去，你先把根号去掉，变成绝对值号，再去用大小关系去绝对值。好，那我们来看第二小技，它如图实数 ab 在数流上的位置 是这样的，在这两个位置上，那让我们化解一下根号下 a 方减去根号 b 的平方，再减去根号下 a 减 b 的平方。好，那我们还是来看一下原式等于什么。 哎，刚才多次强调了根号下 a 的平方等于什么来着，是等于 a 吗？不是，等于的，是 a 的绝对值，对吧？还是我说的，你先把根号变成绝对值，然后再去去绝对值，那么再看根号 b 的平方 a， 你会发现 b 在这个位置， b 是正是负呀？ b 在零的右边，他肯定是正的，对不对？那他是正的。那根号 b 的平方其实就等于 b， 所以直接这变成减 b， 那我们接着再往下看，减去根号下 a 减 b 的平方。那我们知道，我多次强调，根号 a 的平方，他就等于 a 的绝对值，那你说根号下 a 减 b 的平方，他等于什么呢？他就 应该等于的是 a 减 b 的绝对值，对吧？那你把 a 减 b 的绝对值写在这。哎，好了，那我们接着往下看，接着往下，先把根号去掉了，接着再来去绝对值。那你看 a 的绝对值等于什么？ a 在这在原点的左侧， a 正 a 负 a 为负，对吧？ a 为负呢？它的绝对值就应该是它的相反数，所以这是负为负， a 减 b， 再减去 a 减 b 的绝对值。那同学们想想， a 减 b 是正还是负呢？ a 减 b， a 在 b 的左面， a 为负， b 为正。那你注意 a 在 b 的左面， a 是不是肯定小于 b 啊？ a 小于 b， 小的减大的是正，是负，小的减大的肯定永远都是负的，对不对？那既然这是负的的话，那他的绝对值就应该等于他的相反数， a 减 b 的想法数就等于是 b 减 a。 好，这是其实是我们初一的时候学过的一些代数的化减的方法。好，那我们接着来看，这变成负 a 减 b 减 b 加 a， 那负 a 正 a 消掉了，所以最后变成了负二 ba， 这就是最后的。 好，那么这两个小题做完了，那你觉得以后我们遇到这样的题目，应该注意哪些知识点或者方法的运用呢？ 好，我们来看一下。首先我要强调的还是去根号对不对？也就是二次根式的性质，根号加 a 的平方就等于 a 的绝对值，然后根号 a 的平方 就等于 a， 而且注意这里的 a 是非负的，这是第一个这类题型考察点。第二个这类题型考察点就是去绝对值号，那我们说去绝对值也要分两步走，对吧？第一步看绝对值里面的数是正还是负，第二步再来决定是取本身还是相反数， 如果绝对值号里面的数是正的话，那他的绝对值就是本身，如果绝对值号里面的数是负的的话，那么他的绝对值就是他的相反数。 好，我们来看下这道题目，你知 x y 为十数，而且外小于根号下 x 减一，加上根号下一减 x 加三，让我们化解一下外减三的绝对值，减去根号下外方减八万加十六。 哎，那我们发现这道题是不是跟刚才题目比起来就要复杂一些了？刚才的题目中是直接出现根号下 a 的平方或者根号 a 的平方，让我们去给他化解就行，但是这呢并没有这样非常直观的信息，不过不要着急，我们先看看怎么来解决 好。那这样题目我们说啊，通常你要么从已知出发，要么从这个让我们求的这个柿子出发，我们先来看一下，先来看一下求的这个柿子外减三的绝对值，这考察的是一个去绝对值的思路，那去绝对值的思路，我们只要知道外的取值范围以后就好去了，所以我们先不要着急，我们先 把这个去绝对值的这一步骤给他保留下来，也就是外减三的绝对值先放到这，那我们关键来看一下，根号下外方减八外加十六，这个式子怎么来处理呢？ 哎，怎么处理啊？那我们会发现外方减八外加设刚好是一个什么？是一个完全平方式，对不对？那也就是说后面这个式子我们其实可以画成根号下外减四的平方， 哎，对吧？那我们坐到这，坐到这以后，你再想想，我们说根号下 a 方是不是应该等于 a 的绝对值，那公式里的 a 在这道题目中具体是谁呢？应该是外减四，对吧？那所以这其实就变成了外减三的绝对值减去外减四的绝对值。 好，那也就是说我们把这样的一个带根号带绝对值的柿子，最后直接给他转化为一个去绝对值的柿子，也就是说在这我们只要把这个绝对值给他去掉，那么所有的问题就都 ok 了。那我们来看一下，要想去绝对值的话，得知道什么呀？ 得知道外的取值范围对不对？你比如说外的取值范围你知道吗？外减三为证，那外减四为证的话，那你直接去掉了，或者是里面谁为证谁为负，都是很好去的。那我们看一下怎么判断外这取值范围呢？那就要利用上面这个条件了， 外小于根号下 x 减一加上根号下一减 x 加三。哎，看到这个式子，同学们有什么想法吗？你来好好观察一下，这个式子里面需要我们关注的点在哪？ 哎，是不是在这啊？你会发现根号下这两个式子刚好是什么关系？刚好互为相反数。 那其实我们在之前讲课的时候就强调过，如果同一个题中，根号 a 和根号负 a 同时出现的话，意味着什么来着？ 意味着 a 等于零。 a， 为什么呀？为什么根号 a、 根号非同时出现在一道题中， a 就会等于零呢？ 因为我们说二次根式他有一个双重非复性，对吧？双重非复性就是说根号里面的这个数必须是非复的，那你想 a 大于等于零，负 a 也大于等于零，那你说 a 只能是谁？ a 只能是零， 所以大家一定要记住这一点，当根号 a 和根号负 a 同时出现在一道题目中的时候，那么 a b 定为零。好了，那我们来看，在这块我们化解一下。现在是 s 减一和一减 x 同时出现在一道题目中，那你说 x 等于几？或者说 s 减一等于几？ m 减一是不是只能为零？也就是说 s 只能为一，那好了，那有这个基础，我们来看一下，那上面这个是的，他为零，他为零，所以其实就是在告诉我们外小于三。好了，那你看已知外小于三了，再让你化解这个是不是非常简单了？你想外小于三，那你说外减三是正还是负呢？ 小的减大的，对吧？小的减大的肯定为负，外减三为负，那他的绝对值就应该等于本身还是相反数等于相反数，外减三的相反数就是三减外。好，那我们再看后面外减四，外小于三，外减四是正是负 是负的，对吧？那外减思维，负它的绝对值应该等于它的相反数，所以这就是四减外。好，那我们接着看三减外减去，四减外化减一下，就是三减外减四加外，那负外 正外一笔消掉，最后变成三减四就等于负一。好，所以最后这道题的化减的结果为负一。 好，那做完这道题了，注意同学们啊，这个，这道题目是二次根式这块一个比较综合的题目，他考察了我们一些二次根式这块的一些关于取值的重点问题。那好，那你觉得我们可以从这道题中总结出来哪一些重要的知识点或者方法呢？ 好，我们来看第一个，我想强调的是，一定不要忘了我们今天讲的主要内容，根号下 a 的平方等于 a 的绝对值，根号 a 的平方就是根号 a 整体的平方等于 a 本身，而且注意这个是 里面 a 一定是非负的。好，这是第一个点，又是我们今天讲的重点，对吧？再一次强调啊。好了，那我们来看第二个需要强调的点是什么呢？就是当根号 a 和根号负 a 同时出现在一道题目中的时候，那么 a 的值一定为零。当然了，在这个环节中还需要考察同学们一方面的能力，就是你对相反数的辨识的能力。 我们说 a 减 b 的相反数是 b 减 a， 那比如说这道题中你要能看出来 x 减一的相反数就是一减 x。 好，那刚才强调的这两点，是我们二次根式这一部分化减内容里面的一个非常非常重要的两点，所以希望同学们下去一定要把它掌握的牢固。

来，八年级的同学们注意了，今天咱们来看一道二次根式的经典例题，这道题目还是看上去非常吓人，但实际上只要你仔细观察，非常的简单，告诉我们，实数 a b 满足了这样的一个方程，求的是 a 的 b 次方 三个非负的式子加和等于 a， 其中有一个是二次根式，那么二次根式自然会对备开方数产生限制， 那么 a 减二一定是大于等于零的，因为 b 减二的平方一定大于等于零，所以咱们不用再去考虑 a 既然是大于等 等于二的，那么 a 减一的绝对值， a 减一就一定是个正数，那么直接把绝对值去掉， a 减一再加上一个根号下 a 减二，再乘 乘以 b 减二的平方，再加上 b 方加一等于 a。 写到这里之后，左右两侧的 a 先被消掉，右侧变成零，这里有个负一，这里有个正一也被消掉了， 剩下了两个非负的式子的和为零，那么这两个式子必须同时为零，也就是说 b 只能是零，而 a 必须是二，那么相应的二的零次方当然是一，大家学会了吗小哥？