2024江西数学几何

做完这套试卷，你就可以考上重点高中了！江西省二零二四年中考亚军四。今天我们讲亚军四的最后一题，二十三题压轴题。呃， 平时的亚洲题啊，要么是二字函数，要么是几何题的探究题。好，今天这个样境四呢，他就是一道几何的探究题啊，这个题目是有一定的难度的。 好，我们看到余图，在三角形 a 比 c 中，角 b、 c 等于九十度， a、 c 等于 b c， a c 等于 b c 角 b c a 等于九十度。很显然，三角形 a、 b、 c 是等腰直角三角形，对吧？角 a 等于四十五度，角 a、 b、 c 等于四十五度。好，这期搞清楚。首先这里得到， 但是等腰直角三角形 d、 e 分别是 a、 b、 b、 c 的终点， d 是 a、 b 的终点， e 是 b、 c 的终点。那么就是说 d、 e 呢，是三角形 a、 b、 c 的中位线， d、 e 平行于 a、 c 且等于 a、 c 的一半，那么 a、 c 等于 b、 c， 所以 d、 e 呢？等于 b、 c 的一半也是可以得到的 啊。而且这个 e 呢，还是 b、 c 的终点好，继续看，下面说 p 是 d e 上一个动点， p f 垂直于 c， p 于 p 什么意思呢？ p 在 d 上运动，然后有 p c 和 p f 这两条线呢？是垂直的角 f， p c 等于那个九十度。好，题目第一个 从特例出发，当 p ree 重合的时候啊，看到这个图，当 p ree 重合的时候，那么 f 与 d 重合了啊，这个时候 p f 就是 d e， 这个 p c 呢？ 呃，就是 b、 c 离半。刚才我们说了 d、 e 是平行 a、 c 且等于 a、 c 离半的，而 a、 c 是等于 b、 c 的，那就说 d、 e 是等于 b c 离半等于 c。 所以第一个这个数量关系 p f 等于 cp 啊，很容易 pf 等于 cp。 好，接着说探究，当 p r、 f 不重合的时候，比如说图一，那么这个 p c c 等于 p f， 这个结了还成立吗？请给出判断并说明理由。我们说 p c 等于 p f， 呃，从插响上来讲，应该还是成立的。通常江西的题目给我们一个引路的作用，对吧？从特点来看，对吧？刚才这里说 p， 呃，叫做 p f 等于这个 c p， 那么这个 p f 等于 c p， 我们插响是 p f， 要点 c b 从哪里正起呢？您看到这个题目上他给了我们一个 p b 连起来的 啊，我们看到这个 p b， 呃，刚才我们说这个 d、 e 啊，是平行 a c、 e 的，并且等于这个 a c d 半的。要知道这个角 a、 c、 b 是直角，所以角 角 d e、 b 也是直角， e 是 b c 的终点，也就是说 d e 啊，是 b c 的中垂线， 而中程线上的点 p 到线段的两端距离相等，那就说 pc 是等于 pb 的啊， pc 等于 pb 的好 p， 要要证明 pf 等于 pc， 我们就来看到 pf 等于 pb 吗？我们看到这个角是一百三十五度， 因为这个 d e、 b 啊，很显然，这是直角，这是四十五度。呃，所以这个 d e、 b 就是等腰直角三角形角 e d b 等于四十五度。 所以，所以什么呢？所以这个角 p f d 和角 f p d 加起来等于四十五度。 我们这里平时做题目时候，我们经常有个一线三等角啊，你看呢？这个是直角， 这是直角，这里是直角，所以那么这个角 p f p d 加上角 c p e 等于九十度。 角 p c e 加角 c p 就是，也就是九十度，所以这个里有个什么呢？角，哎，角 f， p d 啊，是等于角 p c e 的，而角 p c 是等于角 p b e 的，为什么呢？刚才有 p c 等于 p b 等边对等角，所以说这个角等于这里的，我们看到这两个角加起来四十五度啊。角 p b e 加角 p b d 等于角 f p d 加角 p f d 都是四十五度，你看这两个加起来四十五度，这 两加就四除，而这个角等于它等于它，所以这两个角相等，也就是角 p f b 等于角 p b f 等。角对等比 p f 等于 p b。 刚才 p b 等于 p c， 所以 p f 等于 p c。 我呢，这里再讲一个解题思路啊。刚才我们这个当 p ree 重合的时候， p f 等于 c p， 当 p ree 不重合的时候，伊顿的结了还是成立的 啊。理由，大家可以把我这个这个理由截屏截下来看啊。我在这里再说一遍，我们这里我写了角一等于角二，因为我们可以得到 d e 是 b c 的中垂线，所以 p c 等于 p b 等边对等角， 角一等于角二，而角四加角一呢，是等于角四加，角三等于九十度的，为什么呢？因为这个角 c， p f 等于九十度。好，大家看到角三是角四的，如角，角一是角四的，如角，角一等于角二，所以角三等于角一等于角二， 而角二加。这里我写角六，角二加角六等于四十五度，角三加角五等于四十五度。角三等于角二，所以角五等于角六等角对等边，所以 p f 等于 pb 啊，刚才有 pb 等于 pc， 所以 pf 等于 pc。 我这里啊，又简单的写了一种，如果咱们在这个 e c 上取 e g 等于 e p 的话，那我们就得到 g p e 是等于直角三角形，在三角形 f p d 和 p c g 这个三角形当中啊，我们刚才说了这个 d e 啊，是等于这个 c e 的，我们刚才这里 e g 等于 e p 的话，那么留下了 c g 就等于 d p， 哎，我们就会知道，这个角 f d b 等于一百三十五度，等于角 p g c 也等于一百三十五度，并且这个角一等于角，二就是角 f p d 等于角 p c e 你看 asa 啊， asa， 所以三角形 f p d 前等于三角形 p c g 所以 p f 等于 c p 啊，那么不同的同学有不同的方法，那么刚才我这里根据一线三等角，但是这边呢，我没用。 呃，我在想着这边坐车就感觉到好像有点不大好坐啊，所以我后来换成这边的啊，这样呢，看明白了吗？啊，这样的也可以坐的出来。 好，我们继续看到这道题。第三，当 f 为 a a d 的终点的时候，插响 c p 与 a e 的关系， a e 没连起来，把 a e 连起来并给予证明，比给予证明。 还有当 af 比 ad 等于一比 k 的时候，加 pc 等于角 bae 的时候，求 k 的值。哎呀，一时半会都没看懂啊。下面我通个图来说，这里加了一这条题，就是 f 是 ad 的终点， 那这个关系里面他没有说数量和位置，所以我们就要考虑两种关系，谁呢？ c p 与 a e。 好，现在看到我这里的这个图形 c p 与 a e， 当 f 为 a d 的终点的时候， 其实你认真去画图，感觉到 p e 好像是 d e 的终点，如果 p e 是 d， e， e 的终点，那这就很好办了啊。您看呢？在 a， d， e 中， a， l 不是 a， a， d 的终点， p 现在还不知道啊。 假如说 p 是 d， e 的终点的话， f d 啊， f p f p 叫平行 a， e 啊，并且等于 a， e， d 八。哦，我们刚才已经证明了这个 p c 等于 p f 的， 所以如果有这类重点，那我们就有了 p f 是平行 a， e， 那就是 c， p 是垂， 也就是 a e， 并且 c e， p 等于二分之 a， e 好 c e， p e 等于二分之 e， c， e p 乘着 a， e 啊，当 f a d 的终点时候，我们就有这个结论。哎呀，刚才我们说什么呢？说这个，如果 p 是 d， e 的终点，可是现在的问题是 p 不知道是不是 d， e 的终点呢 啊，所以我们把 p h， d 的中连正出来。哎呀，这题很难做啊。好，我们连接 c， f， c， d。 哎，这里我写的是很容易证明。 a， c， d， a， c， d 是等腰直角三角形，这个 c、 d 也是等腰直角三角形，对吧？因为 a， c、 b 已知等腰直角三角形 d， 呃，是 a、 b 的终点，等腰在底边的高， 里面的中线互相重合，对吧？这个四十五度，这个四十五度啊，这个是直角，这边等于这边，所以 a， c， d 等于二直角三角形， d， c 也是等于二直角三角形。那么这样呢？我们就知道，角 c， a， d 四十五度， 这个角 c， d， e， 这角也是四十五度啊，这个角四十五度，这角四十五度。嗯，还有什么呢？还有这个角 a， c， d 啊，也是四十五度。 呃，在已知里有这个 p c。 呃，我们在前面，我们证明了。这个 p c 等于 p f 啊，前面我们证明了 p c 等于 p f， 所以这个，呃，这里直角是已知的，所以这其实它这个 f p c 也是等于啊，直角 三角形，那就是说我们得到角 a， c， d 等于角 f， c， p， 于是我们得到什么呢？角 a， c， f 啊，等于四十五度减中间的这个角 f， c， d 啊，这个角 d， c， p， e 呢？也等于这个四十五度减去中间的这角，所以角 a， c， f 等于角 d， c， p， e。 看懂了吗？ 那就是说三角形 a、 c、 f 相似于三角形 d， c， p 两个三角相似的时候，我们看到 a、 c 比上 d， c 是 根号二比一的关系啊。 ac 比例是根号比，所以这个 af 比 dp， 也就是根号二比一的关系，就是 af 比 dp 等于根号二 af 等于 dp 的根号二倍。现在呢，我们由 f 是 a d 的终点，设 a， f 等于 d， f 用一个字母 a 来表示，那么 a， d 等于二 a 了，当然 c， d 也就等于二 a， a， c 呢？ a， c 就等于二 a 的根号二倍二根号而已。 这个 d， e 呢？ d， e 等于 a c 的一半，对吧？重位线嘛，所以 d， e 等于根号而已。好， d， e 等于根号而已。我们现在把 d、 p、 e 看能不能求得出来。 哎，刚才这里有啊， af 比 dp 等根号，所以 dp 等根号二分之 af， 根号二分之 af 就是根号二分之 a 啊，化解呢，就是二分之根号而已。 看明白了吗？你要看明白了，你现在就知道这个 d， p 啊，等于二分之 根号 a， 而 d 呢，是等根号而已，所以 p 是 d 的重点，我们就正出来了啊， p 是 d 的重点，已知 f 是 a， d 的重点，所以 f p 就是三角形 a d 的中位线， 所以 f p 叫平行 a e， 并且等于 a， e， d 半，那么 c p 叫做 a， e， d 半。由于两直线拼音，这里是垂直的，所以，那么这个 p c 呢？也就垂直 a e 了啊，这是直角， 但当然这个我就直接写结果了啊，直接写结果， c p 等于二分之一， c p 垂直于一。 好，你要不明白，您就把这个截图接下来再认真分析。好，天猫下面最后说 a f 比 a d， 如果 f 不一定是终点，这个 a f 比 a d 啊，这可是一份， 这整个是 k 分， k 分，并且现在多了一个条件，叫做角 p c e， p c 等于角 b a e。 好，这里的图没有画出来，那我还是就着这个图跟大家说 啊，就在这个图，哎，叫 p c， e， 哎，刚才讲 p c， e 等于什么呢？等于叫 f p d， 现在加了个已知条件，叫角 p c 等于角 d a， e b， a e 吗？题目上说 b a e 就 d a e， 哎，你看呢？就是这个角啊，等于这个角，注意，这是公共角， 公共角你看懂吗？所以三角形这个叫 f d p f， d p 这个公共角啊，也就一百三十五度， 呃，这个角和 e d， a， 对吧？还是一百三十五度？这个角，呃，这个对应的这两个三就相似了啊，叫 f， d p 相似 e， d， a。 好，看到我这里的过程由刚才 a c， f 与 d c， p 两个三零相似，任由我们得到 a f 比 d p， a f 比 d p 等于这个 a c 比 d c 等根号。二啊，就是当您这个 p 在运动的时候， f 在运动的时候，但是 a f 比 d p 一啊，还是不会改变的， 就是你，你怎么运动，对吧？这个角等于这个角，对吧？这个角四十五度，这角是四十五度，对吧？所以 三角形 a、 c、 f 如三零 d， c， p 这两三相似还是有的，所以 a， c 等于 c， d 的根号二倍，所以 a， f 等于 d， p 的根号二倍。 那么现在我们还是设这个 a， f 等于 a， f 等于 a， 那么则 d、 f 等于多少呢？等于 k a 减 a。 什么叫 k a 呢？刚才说这个 a， d 等于 a， f 的 k， b 啊， 对吧？那么这个为 a， 那么这就为 a 的 k 倍 k a， 对吧？整个 a， d 是 k a， 所以这个，刚才这个 a 是上一题的啊，上一题的，所以这个 l、 d， 那么就应该等于这个 k a 减 a。 好，我们看到刚才我们说了这个三角形 f、 d、 p 相似的三角一叠， f， d， p 相似三角一叠，那就是 f， l， d 比上 d p 等于 e， d 啊，看到这 l， d 比 d， p 等于 e， d 比 d a， e， d 比 d a， l， d 比 d， p 等于 e， d 比 d， a 等于二分的根号。 什么叫二分之一根号二呢？ l， d 比 d， p 等于 e， d 比 d a， e、 d 能看到这个比，这个等于什么呢？就这个比，这个，就这个比这个 你看了就相当于这个等腰，这家在这个直角边比斜边一笔根号，一笔根号就是二分之根号，就是二分之根号。 好，我们现在把它带进去啊，刚才这个如果你要是没看懂的话，你就把这个呃，截屏截下去啊，把这个截屏截下去哪呢？ 对吧？这个 d f 比 d p 啊， k a 减 a 比上 d p， d， p 二分之刚好而已 啊，等于这个二分之根号。哎，通过约分化减，结果 k 算出了二分之三。有时间的关系，我们就说到这为止 啊，如果你不明白，你就把我这个截图截下去了，认真分析。总之，这题目是很难做的 啊，要花比较长的时间去做，但是成绩不好的同学你就不必去听的。呃，如果你要想考重点高中，想考的好的大学，名牌大学的话。嗯，这样的题目你还是要会做的，记得点赞关注哦。

做完这套试卷，你就可以考上重点高中了。江西省二零幺四年中考样卷四下面我们讲样卷四的第十六题，第十六题是一道作图题， 如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度。好，三角形 a、 b、 c 啊，这是直角将三角形 a、 c、 b 绕着一点顺时针形成九十度啊， ac 转到 ad 来了， ab 转到 ae 来了，绕着点顺时针形成九十度，得到三角形 ade。 请仅用无刻度的直尺完成下来做图，保留做作的痕迹。第一个，做角 cad 的角平分线 cad， 很显然，这个 c、 a、 d 啊，在这里形成，呃，甚至的形成九十度，这个 c、 a、 d 就是一个九十度的角。那么把 a、 a、 c、 a、 d 啊，沿着这个地方把它补贴起来，它就是个正方形，而正方形的对角线是平分这个角 c、 a、 d 的，所以第一个很容易把这个第一页跟 b、 c 啊延长到得这个正方形 a、 d、 f、 c 啊，然后呃，连接 a、 f、 a、 f 就平分这里的这个，所以第一题往往是比较好做的。好，我们看到第二题 啊，第二点还是这个图形啊，三角形 a、 b、 c 绕着叠逆时针旋转到 a、 d、 e， 然后向我们做 b、 e 的终点，哎呀， b、 e 的终点，一时半会的就是这个这个正方形，哎呀，就不知道从哪里开始了 哎，所以这一题啊，就有点难。呃，如果你要是想到了，你可能会觉得容易，但是如果没想到的话，那可能就很难，所以平时对于这样的题嘛，多练一练。 呃，我们在世界上呢，可以拿线呢，多画一画啊，这样呢，可能就会找到灵感的啊。那么在这里看到正确的暗示， 呃，第一个呢，他说这个角 c、 a、 d 的角平行线，角平行线呢，是一条射线，而三角形的角平行线呢，是一条线段，所以在这个地方呢，我们最好写上射线啊。刚才我们说， 呃，延长 d、 e 和 b c 到一点 f， 那么很显然这是个正方形， a d， f、 c， 对吧？把这个 a、 f 连起来，呃，我们最好呢把连起来之后稍微延长一点啊，那么这样就得到个射界 a f， 呃，计较 cad 的角平面线 啊。第二个，他说要找这个什么东西呢？找 b e 的中底啊。 啊？第二个是要找 b 的终点， b 的终点呢？哎，刚才如果我们把这个 c、 d 连起来，把 b 连起来，他们的交点呢？其实就是 b 的终点。 呃，当然我们这个有的答案上面，他把这个视线给他做出来，呃，我这里没有做，我觉得做出来不做出来都没有什么关系啊，你做出来就做出来呗，对吧？ 那我们这里呢，怎么来说这个点 f 啊，就是这个 b、 e 的终点呢？我们来看啊，如果我们过这里，做到这里来， 对吧？那么刚才我们得到可以，这里可以得到是一个等腰直角三角形啊， d， 这里到这里，当然我现在没有做啊，我嘴巴上说，那么这个长度那就应该等于 d， 而这个长度就应该等于 bc 了， a、 c， 对吧？而且这两直线平行，很容易证明 f c b 或 f 到这里的那个 e， 对吧？这两个三角角前等三角形， 所以这个 f、 e 等于 f b 啊。当然这道题是个作图题，保留做到的痕迹，他没有叫我们证明。我刚才把这个道理简单的跟大家提一下，但是不同的同学可能会有不一样的方法， 下面我们看到第十七题，第十七题用相同的木棒 拼成的图形，其中第一个木棒用了九根啊，第一个图形用九个木棒，第二个图形用十三根，第三个图形。所以那么第一个图形呢呢？您看到我们这里其实就是一个加四，一二三四，这里加一啊，第二个这里又加一二三四，对吧？ 每多个图形加一个四，所以第五个图形加多就多少呢？那么第五个图形呢？就是我在这里有一个问题啊，呃，我们这个平时的时候，我们把这个图形当第二个图形，那就好理解一点啊， 把某一边作为原始的一，加上四，两个图形加两个四，三个图形加三个四，四个图形加四个四。但是这里的第一个图形呢，是两个五边形啊，所以第五个图形呢？ 第五推应该是有六个、六个四边，六六个这样的五边形，对吧？六个五边形。所以我们这里吸烟能不能把规律给它找出来就好懂一点啊？按照上述的这个规律，那么 是否参加某一个图形共用了二千零二十四个末报呢？存在，你说是第几个图？不存在，你就说明理由。为什么？所以我们看到，呃，第一个图形应该说 我们在第二个基础上，第二个图形在第一个图形上加四，第三个图形在第二个图形上加四，所以第一个图形我们就例如是不变的五加上可变的四，就是五加四。第二个图形五加两个四，第三个图形五加三个四，第五个图形五加五个四， 五加五个四，五十四个二十二十五啊，所以这个二十五啊，那么下面看到我这里的具体的过程啊， 第一个图形是二十五，我开始写成了二十一啊，我开始把它理解是四 a 加一，那么这应该是不要看错了，所以第一个图形是 世上里面有两个五英雄，所以我们应该把这个刚才的这个五当成原始的。如何加四，所以五加四，五加两个四，五加三个四，所以五加 n 个四，所以第 n 个头型是五加一个四。那么第 n 个头型当中能不能有二零二四个魔棒呢？ 呃，我们说不存在某个图形用二零二四个木板，为什么呢？因为当四 n 加五等于二零二四的时候， and 五百零四又四分之三就是五百零四个，哎，最后拼不出来一个完整的。 呃，因为在这里的 m 应该为整数，而这个地方 m 不，不是整数，所以不存在。呃，某一个途径用二零二四个木棒啊，我刚刚开始的时候我都把这个看错了，完了，一定这里是啊，一加 呃，四啊，那么所以这里你一定要给我看明白啊，当你头脑清醒的时候，你就能够把答案很容易的做出来，记得点赞关注哦！

历年的江西八校联考都是难度较大的试卷，这次四月的江西八所重点高中的联考数学卷子依旧很难，但考题质量上乘，比较适合平时成绩较好同学进行陪幼把尖使用。八道单选题里，第二题虽然是三角函数基础题，但部分同学就可能做错，此题也适合使用特质代入排除法。 第四题涉及复数，坐标运算要重视。第五题是一道常规的数型结合，解决零点问题，只是加了绝对值，难度提升了一点。 第六题是一道排列组合的中档题。第七题是一道三角函数计算基础题。去年江苏扬州的考题，近期各地都在加大对三角函数的考察，大家有必要巩固提升对这部分考点的解题能力。第八题关键是读题，读懂题目，这一题就是送分题。 三道多选题里，前两道都是常考题。基础题难度。第十一题是一道正方体的压轴小题，所给的四个选项倒是在控制难度，没有出特别难计算的或者思路特别 难的。想考到一百三十以上的尖字生们，必须不停的提升对这类问题的解答能力。之前发的过例题、几何选填压轴题、十大题型总结的资料，建议抽里面自己薄弱的地方进行学习。三道填空题里，第十三题是一道解三角形基础题型，之前建议大家积累过的使用角平分线定理和正余弦定理解题， 此题是中档难度。第十四题是一道难度较大的函数与不等式的题。此题第一个关键点是要有意识把参数分出来来推导 f 这个函数的取值范围，然后再对按大于或小于负一进行分类讨论。五道解答题里，第十五题只是融入了三角函数，看起来吓人，真正计算起来并不难。 第十六题是一道常规立体几何中档计算量的考题，此题不应该错。第十七题到第十九题，每一道都不容易得满分，难度与计算推倒的复杂度并举。第十七题是一道圆锥曲线的中档题，第一问是送分题，第二问则有多种方法可以考虑，而且计算量各不相同。此问的 第一个关键点是用 p 点的坐标表示出 ptu 乘以 pr， 此处别忘了原密定理。第二个关键点是求 p 点坐标的范围。可以利用直区连理后的判别式计算，也可以利用直线与圆的位置关系计算。这是一道很不错的非常规圆锥曲线题，要十分重视。第十八题和第十九题都是看起来有难度，但做起来就会发现都是以往的老题型。 第十八题是一道概率压轴题，中等难度。第十九题第一问是送分题，第二问是常规的使用倒数探讨方程根的问题，中档难度。第三问是倒数与数列的小结合。首先要使用常用切线放缩把对数部分替换掉，便于计算。这些步骤分还是好拿的。