每日一题极限基础

好，各位同学，那么今天这个题是我们必须要掌握的一道题，那原因是因为说有这个 e 的 x 分之一形式，有这个带有绝对值的形式 啊，这个题很经典啊，你到哪都离不开他，来我们看看啊，慢慢的品味一下。说求极限 x 区向于零的时候，你看这个形式，这个形式别的先不说，你应该看到这里面带有绝对值， 朋友们学极限应该非常清楚这个 x 去零指的是什么，指的是 x 等于零吗？不是， 注意了，这个 x 区域零指的是无限接近，但不等于听到没有，但不等于。那么想看，既然是无限接近，但不等于，那我就想了，哎，你 x 区域零就一个字母啊，是不是意味着 左边轴，一尾左边轴，那我这地方是个零，无限接近于 x， 哎，无限接近于零，能上面区域零吗？能这样，这个方向是趋向于吗？那肯定不行， 因为他是一维的，你只能是水平方向。好，那无限接近但不等于，那，那就两个方向喽，一个是从左边，一个是从右边，对不对？无限接近但不等于 看出来吗？好，那既然这样的话，我发现啊，这边呢，是 x 这个小于零的情况，这边是 x 大于零的情况，对不对？那 x 大零和 x 小于零，这个 x 绝对值不同啊，它的表达不一样啊，对不对？它不是分段函数吗？哎，我们知道是吧？ x 绝对值等于多少？ x 大等于零的时候直接去掉绝对值， x 小于零的时候，它等于负 x， 是不是？那 现在由于左右零的左右两侧，他的表达是不一样的，因此从这个角度来说，你在做这个极限的时候就应该把它拆成是左极限和右极限，听到吗？分成是左右两侧，这个分极限来处理好，这是第一个角度啊， 另外一个角度也是我们需要注意的，来，我们慢点啊，这个题学完一遍以后再也不需要再花时间在上面了。再看第二个，就这个 x 分之一，大家都知道说在 x 趋向于零的时候 说 x 分之一是趋向于无事纳，这个没有什么问题。呃，没有什么值得值得这个这个吗？呃，多加思考的地方，但是当你这个东西变成次密，那就另外一回事了，你看你看，你比如说这个时候我再问你说 e 的 x 分之一，你能说这等于无事纳吗？ 你能说五十三吗？那绝对不行，你知道吧？你这样写就错了。哎，为什么大家知道？ 你要知道易的我们不严格的写，听我说啊，叫不严格的写，没有这么表达的啊，只是示意啊，主要是示意。 那 e 的负无情等于多少？是不等于一分之一的正无情次密对不对？那那一分之一是不是比一小比零大？这个结果等于多少？等于零是吧？那不严谨啊，我就举个大，举个例子给大家看一下。那如果这段正无情呢？哎，那如果是正无情的话，易的正无情，一个大于一的数他的正无情次方，那是不是正无情呢？ 所以说这个地方给重物情还是给负物情有讲究，不是乱来的他们。那你这个地方是不是得详细分开了？ x 区域零，那这个地方等于五十，那那这种分析的过程肯定不够用啊， 对不对？所以说我们是需要更详细的进行分析，比如说 y x 趋向于零，负的时候，那 x 分之一区多少？ 他确实是趋向于无声大，但是你要知道他是从小于零的方向趋向于零，也就是说 x 总是小于零的，那你 x 分之一也是小于零的，对不对？那你趋向于无声大，应该是一个父亲， 明白了吗？应该是个负误情。好，如果 x 趋向于零，正使的是指的是从零的右侧区域零的话，那么 x 分之一也应该是趋向，又不是大，这个符号呢？应该是大于零的符号，应该取指的是什么？指的是正误性，趋向于正误性。 哎，无成大只是一种符号，它表示很大很大，无限大，对不对？好了，那么接下来我们接着就可以细写了。请问 e 的 x 分之一取多少来？是不是不一样了？ 哎，记好啊。嗯，我们刚开始准备考研的同学，这个地方一定要记好。那 x 趋向于零，负的时候他趋向于负无情，那这个地方趋向于负无情，这个地方不就去零了吗？他趋向于负无情，这不趋零了吗？而另外一个，这在这种情况下，那异的 x 分之一不就趋向于正无情了吗？你看， 从零的两侧趋向于的时候，我们所带来的结果是差距很大的，对不对？不能凭感觉做的啊。因此，这个题要怎么办？分左右极限，听到了吗？他们，好，我们来一块看一下啊，来一块看一下这个题 详细解出来啊，这个地方一定很重要，把它记下啊。好，来，开始。那么分析完了，我们就开始完整的把它做出来解。就是你在 学学习极限这个章节的时候，如果学完极限这个题还不会做，那说明你这个复习是没有效率的，不行的，知道吧，你就不要再往后走了，好吧，因为你很多东西都没掌握。来接 我们写这样一个极限啊，说 x 趋向于零负时，这这写二，加上 e 的 x 分离。你看，因为每一部分的极限都存在，我们有一个叫极限的四则运算法则，是不是 x 分之四加上，我先把它抄一遍，然后我再画，简陋。 好，那么这里面呢？相当于在零处的左极限，那它等于谁呢？非常简单，同学们，我先把符号断去，由于是 x 趋向于零，负指的是 从零的左侧，从零的左侧趋向于零，知道吧？哎，从零的左侧趋向零，所以说他始终是比零小的， 时针是比零小一的 x 分之四，那么既然是比零小的，那我 x 绝对值去掉绝对值，要保证整个的符号不变，是不是应该形成这样 能看出来吗？你这样的话，因为 x 比零小，所以负的 x 才比零大嘛，和这地方不是对应上了吗？是不是？好了，接下来我们使用极限的四则运算法则啊，这里面可能会有点使用的，这个法则可能会有点多，混合使用， 看到没有混合使用，因为这个极限存在，这个极限存在，这个极限存在，所以说我们将除法运算法则 和加减法运算法则混在一起使用，等于二倍的。你们看到的很多答案啊，这个地方都是跳步的， x 取向于零负， e 的 x 分之一 比上一，加上 limit x 去一点符。等你熟练之后，就不要像我这么啰嗦了啊，减去 x 去零负三， x b 上 x， 我们学过第一类重要极限，我们知道不管说 x 去零负还是去零重，这个极限就等于一，对不对，是不等于一 好了。而 x 区域零负的时候，刚刚已经分析了刚刚已经分析了我们这部分啊，这部分它是区域零的，那这部分呢？也是区域零一样的呀， x 区域零负的时候， x 分 四，不是需要负情吗？是不是所以这个地方也是区域零？那么我们就可以大胆的写了，因为极限都存在，应该等于二加零比上一加零，那就是二减去这个极限值，这等于一啊，好，不要高用太早，这只是左侧极限。同理，我们来看看右侧极限， x 去向零证的时候， x 去向零证的时候 e 的 x 分之一，然后写慢点，别着急，一一加上 e 的 x 分之四，一开始不要着急。老师，我一天看五张是吧？你看十张有什么用？对不对？你最后没有掌握， 没有，没有意义啊，我们和自己比，自己知道自己学的怎样，就脚踏实地啊。好了，那么 x 去零正指的是指的是从零的右侧去向雨，听到吗？从零的右侧去向雨，那既然是从零的右侧去向雨，我还给你画个图，那这是零哎，从右侧无限接近，但是不等于吧， 是吧，从零的右侧去相遇，那这个时候 x 是不是比零大呀？无限接近但不等于吗？那他比零大是不是绝对就可以直接去掉了？ limit， 好，这里面又讲究了啊， x 区域零中二，加上 e 的 x 分之一次米，比上一加上 e 的 x 分之四次米，是不是直接绝对值就可以去掉了。 好了，同学们，到了地方之后我又要给你详细写了，我们知道 x 去向零证的时候，这个地方又是第一类重要极限的一部分，是不是直接极限了？多少 一没问题，但是这个呢，你还可以说啊，这极限符号放上来，极限符号放下来还能这么干吗？错了啊， 不行。极限的除法运算法则告诉我们，要想把极限符号放上面，放下面必须要保证他极限存在的这个前提。 你保证他极限存在吗？你 x 区上领证的时候， x 分之一区上一正不行，对不对？ e 的 x 分之一区上多少正不行？这个极限呢？又不是那极限不存在，你这个时候往里带是不是不合适啊？是不是不合适啊？好，那同学们，那我们怎么办？ 我们今天暂时不讲取大头，暂时不讲取大头思想。所以说呢，先老老实实解，等到后面我们提到取大头思想，提到啊，呃，就有些题，个别题碰碰到这个取大头思想的时候，我再简单提一下，那我不妨怎么办呢？老师，他是无情大 不会做了，你哪能不会，对不对？你稍微耐心点看， x 趋向于零正的时候，我虽然说我虽然说直接不能忘了带，但是我发现这个式子我可以化简呢，好在这个时候就要学习化简的技巧了啊，怎么做呢？对，这个式子上下同时除以最大的那个，哪个最大？ 你看，这是 g 的 x 分之一次面，那它是它的四次面啊，是不是我最大，因此我上下同时除以 e 的 x 分之四厘米。那么既然是除以，那放在分子是不是变成可以变成负的了？好，加上，那这个式子呢？又 e 的 x 分之一，再减去 x 分之四，负的 x 分之三。 好了，我们的笔上一加上 a。 不不不是喽， e 的是上下同时除以， 是吧？是，是，这个吧。好，再加一，这不得了吗？非常的简单。好，后面这个极限呢？我们这么写的， x 趋向，要领证的时候，你必把它彻底搞透了啊，然后一遍过以后，看到类似题，或者看到与这个题相关的题目，都可以快速的搞定了，学习。不要来第二遍。 好，我们看看。那么到这里之后，这个节能以及而而我们这部分 x 去去向零正的时候，那这个地方，这个地方不是趋向于负无情吗？对不对啊？这不是零吗？这不是零吗？这不是零吗？对不对？ 哎，三个，这都为零，这个为零，这为一，所以是最终结果，应该等于按照极限的四的运算法则啊，应该是这部分的极限除以这个极限加一，对不对？所以是零，比上一等于零，所以前面极限等于零，后面极限呢？等于一， 零加一等于几？哎，你发现个什么问题了？你发现我左侧和右侧的极限都等于一，对不对？好，这就设到一个极限极限存在的创号图片了。说一个函，一个函数，他的极限存在创号图片是什么？就是左极限等于右极限，知道吧？哎，你比如说 我 x 趋向于 x 零正 f x 这个极限等于 x 零负 f x 啊，左侧极限等右侧极限等于个定制 a 的话，那么这个时候我们才能说 x 趋向于 x 零的时候， f x 的极限等于 a。 明白没有？同们，因为你这个极限里面自带两个方向，左侧极限和右侧极限，听到吗？所以说他所极限存在的创造体验就应该是左右极限相同，明白吧？因此啊，现在 我已经得到了左侧极限和右侧极限的结果，都是一样的，好增上值。 看似是一道简单题，其实涵盖了很多信息，是吧？极限 limit， 当 x 趋向于零的时候， 二，加上 e 的 x 分之一次密，一，加上 e 的 x 分之四次密好，再加上 三， x 比上 x 的绝对值，最终的极限就等于一了，同学们，明白没有？好，那么这个题做一个简单的总结，一定要一定要注意啊，一定要注意。呃，两个关键点，第一个，以后但凡遇到像这种极限啊，你比如说 啊，像这个式子，说 x 分之一的，说 x 区域零，或者说告诉你是分子，是比如说 x 减去 x 零分之一的，是吧？哎，比如说这个，这个地方换成比如，换成这个样子了，而极限呢？而这个地方的极限呢，是 x 区相于 x 零的。切记，只要是出现类似这样的情况，记住，分左右。 听到吗？一般情况分左右啊，一般情况分左右。在什么情况下？在私密当中，一般来说都要分左右，这是第一。第一个啊，你可以记在笔记本上。第二个，但凡在做极限的时候发现带有绝对值了，记住，分左右。 听到吗？分左右，但我绝对知道要分左右，另外还有一些特殊的也要分左右。我给你举个例子，比如说 x 趋向于无声大的时候，问你，阿克探检的 x 的极限，一样的啊，分左右，因为阿克探检的 x 在 x， 你看它图形啊，是吧？在 x 趋向于正物型的时候，往这边走的时候，它是曲线，是趋。贴近于什么？贴近于 y 等于二分之 pa。 也就是说 x 趋向于正物型的时候， x 趋向正位型的时候，它是趋多少的？它是趋向于二分之帕的，但是 x 趋向于负型的时候，那这个地方趋于多少？趋向于负的二分之帕也要分左右。这个呢，就与我们说的呃，所学的 基本出动函数，他的图像是有关系的。哎，这个都是在前期积累的好吧，是函数这一块我们不可能说这么细致的完全提到啊，只能通过题目。哎，牵扯到一些思想。好，同学们，这是我们今天的每日一题，做好积累。明天的每日一题，我们再见。

不考研的同学可以划走了，考研的同学留下来。下面呢，我们来看这个函数极限的题目。那我们首先注意到它的分子呢？这个函数呢，其实它是一个密子函数的一个形式。也就说我们要做一个密子函数转换。密子函数 f x， 它的 g x 密。那这个函数呢，我们给它化成密字函数，也就是以 e 为底的指数部分呢，是 g x 乘以洛音 f x。 那之后呢，我们要做一下指数差啊，也就是 e 的 a 次密减去 e 的 b 次密。那我们把 e 的 b 次密呢，给它提出来，就是 e 的 b 次密乘以 e 的 a 减， b 次密再减一啊。 下面呢，我们来解这道题啊。解留题色。那么原极线原式，它就等于 limit x 区于零的右侧。那么分子呢？先做一下密字函数转换，就是 e 的 x 乘以落引 x me 减去 e 的 x 乘以落引 s n x me。 比上分母呢， 我们用一下等价五角。那么我们知道在 x 零的时候，烙印一加 x 等价于 x， 那这就是 x 方乘以 x。 那我们做一下指数差等于 limit x 零的右侧。我们提取个 e 的 x 乘以烙印三 x， 那这是 e 的 x。 这是烙印谁啊？ x 比上三 x， 再减一比上 x 的三次方。那我们注意到 x 区零的右侧的时候， x 乘以 low in c x。 那这个极限呢？它是零的极限。下面呢，我们来看这部分 limit x 区于零的右侧， x 乘以 low in x。 我们把它改写一下，等于 limit x 零的右侧。这是烙印三眼 x 比上 x 分之一。那我们注意到这个分子和分母呢，它是无穷比无穷型。所以说我们用一下萝卜的法则，它就等于 limit x 区于零的右侧，这是三眼 x 分之和三眼 x 比上负的 x 方分之一，那它的极限呢？就是 零了。其实我们就知道这部分呢，他的指数部分的极限是零，那就是一的零次密。那我们又注意到，在 x 区域零的时候，这部分他也区域零。所以说我们可以用等加工小，那就等于 limit x 零的右侧。这是一乘以谁啊？ x 乘以烙印 x 比三 x， 我们给他写成一加 x 比三 x， 再减一比上 x 三次方。那么在 x 区域零的右侧的时候，我们注意到这部分极限呢，是零，我们再用一下等加工小，它就等于零。 limit x 零的右侧，那就是 x 乘以三 x 分之 x x， x 比上 x 三次方。那下面呢，我们知道 x 三 x， 它等价于六分之一 x 三次方。 xx 啊，它等价于 x， 那我们就给它写成它等于 limit x 零的右侧，这是 x 乘以，这是六 六分之一 x 三次方比上 x， 再比上 x 三次方，那它的极限呢？就等于六分之一。那这样的话，我们把这个题呢就介绍完了。

同学们好，我们来看今天的每日一题，说 x 趋向于正物型的时候，求这一大筐东西的这个极限，你看你这设的好复杂呀，是不是需要注意的就是 x 是趋向于正物型的，它不是趋于零，你不要想着等价无均小怎么去处理 啊。有同学老师难不倒我，这题我可以使用洛北答法则试试呗。同学们，这题洛北答法则，你是不是得落一页 a 四纸啊？ 是不是？那是你，等你做完这个题的时候，人家研究生都毕业了，所以我们正常来说，这种题肯定是有专门的方法的啊，你考研数学就这样吗？每一块都有专门的方法来对应他。 那么接下来这个题呢，我们先说一说，就是在网上，包括我自己都会给的一种解法。好吧，来来看一下这个，哎，这个 技法，首先接线等于 x 区上正无情的时候，哎，那么一大串就突然浓缩成这一点，怎么出来的呢？你想想啊。我们先来分析一下，说 x 区上正无情的时候，你这是正无情了，你这是一一在无情。大面前是不是小到可以忽略？ 那么他呢？这个一，这个一是不是都可以忽略？那分母不就剩个谁了，不是剩个他吗？没问题，那分子呢？这个地方也可以忽略，是吧？那是不是剩个分子剩个他了？ 那这样的话，要 x e 的 x， 这一抵消，不就剩的剩了一个 e 的 x 分之二 x 吗？不是这个式子吗？再来一次路北大法子搞定。 这个答案是没有错的啊，但是我们得知道，万一在考研当中，哎，咱们出一道大题，这是有可能啊，你不能百，你不能百分之百的否定他，那么他就是有可能，那这个时候你以障碍的过程出现的话，这分数扣差不多了， 知道吗？分数就扣差不多了，那我怎么去合理的严谨的去把它做出来呢？而且还不是特别复杂，是不是？这里面就需要给我们同学纠正一个问题了，我们平时所学的这个极限中的取大头思想，记住了啊，并不是忽略 他的本质，曲大头思想的本质并不是直接忽略和丢掉，切记啊，我最怕我们同学就是在其他地方在一起，不知道在哪学的啊，先入为主的思想，然后影响到我们常规的复习，最怕这样的啊，你改变不了了，对不对？ 你根本不了，你按照自己的想法走下去了，好，我们不管那些了，反正你自己要注意啊。那么现在我们该怎么去理解这个东西呢？记住，曲大头的核心思想就是提取，和我们上一个每日一题很像啊，只不过这个地方提取呢，是提取无穷大。 最大哪项？来我们看看正规解法。那么这个对于这个极限式子来说，谁最大？你看，其实曲大头思想就是保留的这部分，就应该是最大的项了， 就这个式子展开之后最大的像是这个，这个式子展开之后最大的像是这个，知道吧，这其实已经是最大像了，那么我们就可以使用曲大头的这个思想，我们不这么做，我可以这么思考，我提取出这个东西来，你看我怎么操作啊？那么对于原式呢，我已经今天偷过懒啊，我全都打出来 来，我对上面的式子呢，我从括号里面提出谁啊？提出来一个 e 的 x， 哎，提出来一个 e 的 x， 就变成这个式子了，看到没有？哎，这个式子看起来还怪怪的，我把这个原式写给你们，写在旁边，好吧，原式这样的 x 趋向于正方形 x， e 的二，不是 e 的 x， 然后是 e 的 x， 二倍的我看看。二倍的 e 的 x 加一， 然后分母是一，加上 e 的 x 加一括外的平方，再乘以 e 的 x 再加一。啊，这没有关系啊，就原极限是这样的 啊，应该是没错的，就这个式我看看，那就它嘛。好了，那现在看看。说这个极限，我们称我们正规的解法，就是完全就是找不到扣分点的解法，是，是怎样呢？是这样的说， 你看啊，我们可以这，这不是元气线吗？那么对于这个分子当中谁最大，就是重开了之后谁是最大的那个。 我说的最大指的是比别人大五十多倍的那种啊，那么很明显，谁知道就是他与二倍的亿的 x 相乘是最大的， 那我干脆就直接从这括号里面提出一个二倍的 e 的 x， 看到没有？哎，前与前面合并了这个了吧，那后面呢，就变成了一加上二倍的 e 的 x 分之一，你就提取就好了，把最大的提出来， 方的对于分母怎么办呢？也提出最大的，那对于这部分最大的就是 e 的 x， 我们提出一个 e 的 x 出去，还剩一个这个是不是？ 那这里面最大是谁？最大的是 e 的二 x， 那我就提出一个 e 的二 x 出去好了，分母就变成了 e 的三 x， 你看 e 的二 x 分之一加它，你看看到没有？ 好了，这一步呢，你看这个式子就是我们刚刚的就是那种接法，那种不严谨的接法，知道吧？这跳步接法好了 以之后呢，我会把这个式子最大的部分单独拿到这里，后半部分呢，这部分你想想看，当你把最大的东西都提出来了，那么剩下的那不就是区域级或者区域非常常熟吗？ 你看这部分呢，是在这里分不？这部分是在这里，那很显然在 x 趋向于正部分的时候，那这部分的极限为多少？为零啊？刚刚已经说了，对不对？那这部分呢，这部分是多少去一对不对？ x， 区重型，这不是区重型吗？他不是区零吗？对不对啊？这不也区零吗？这不也区零，这不也区零吗？所以整个这个极限再复杂，那无非就是零的零和一的一个结合呀。 好了，那对这个式子我处理一下，把它切掉，切掉一个一的二， x， 剩下这个式子吧。好，这个极限存在，我们使用极限的除法啊，不是极限的乘法运算法则，等于前面的极限乘以后面的极限，前面的极 线可以使用洛贝达法则，直接为零。后面这个极限呢？刚刚都说了，这个极限存在为零，这个极限，这个极限，这个极限都为零，使用极限的复合运算法则复合的啊，咱们加减法乘，加减乘除都用上，最后直接写结果就好了，因为这块是不需要再细写了， 这个比较简单啊，直接写就好了。所以这块区域一，这块区域零，答案就等于是吧零，是吧？零乘一吗？正规计法应该是这样的，其实你们在后期学习这个只要是涉及到取大头思想的极限题，都记住了啊。 正规借法直接给我提取最大这个项，就是你使用曲大头思想忽略别的部分是吧？保留的这部分，你之前保留的是谁？那么把这部分就给我提出来，剩下的这部分一定是一个，呃，一定是一个有借量。记住啊，一定是有借量， 一般是可以直接处理的。好朋友们，呃，这就是我们今天的每日一题，从中你学到东西了吗？一定要记住啊，一定要记住。这里面的本质思想是什么？好，下一次每日一题，我们再见。

不好的同学可以划走了。我们来看这个含入极限的题目，那这道题呢，我们注意到分子啊，它是一个差的形式，我们要用到一个指数差的技巧，也就是 e 的 a 尺米减去 e 的 b 尺米，那我们把这个 e 的 b 尺米给它提取出来， e 的 b 尺米，它就乘以 e 的 a 减 b 尺米减一。那这样的话，我们根据一些提测条件呢，就可以用等价公选了。我们来看这个题， 牛蹄色，那么圆几线，它就等于 limit x 一，那么写一下密字函数转换，就是 e 的 x 乘以烙印 x， b 减去 x 呢，我们给它写成 e 的 烙印 x， 密比上，这是烙印 x 减 x 加一，那么它就等于用一下指数差的技巧， limit x 去一， e 的烙印 x 乘以，这是 e 的 x 乘以洛亚 x 再减去洛亚 x 再减一，比上洛亚 x 减 x 加一。我们给它整理一下，它就等于 limit x 去一，这是 e 的洛亚 x 乘以 e 的 x 减一，乘以洛阳 x 减一，比上洛阳 x 减 x 加一。那这里面呢，我们要注意，在 x 区的时候，洛阳 x 啊，它是去于零的，那，那这个这部分呢，就可以化成一的零次密，就这部分，它是去于 零的，那我们根据极限的四个运算，就这部分是可以算出来的。我们又注意到，在 x 区域一的时候， x 减一乘以 loft x， 它的极限是区域零的，那我们可以用一下等加五小，比如说它等于 limit x 一，那前面极限呢？这是一乘以谁啊？这是 x 减一乘以 落眼 x 比上落眼 x 减 x 加一。下面呢，我们做一个代换，也就是我们令 x 减一等于 t， 那大家注意，它就等于 limit， 那在 x 区一的时候，那么 t 呢？它是趋于零的，那就可以写成 t 乘以落眼 x 呢？就是一加 t 比上落眼 x 就落眼 一加 t， 那么加上一减 x， 那就减去 t。 我们知道在 t 区域零时烙印一加 t， 它就等价于 t， 那我们知道 t 减去烙印一加 t， 它就等价于二分之一 t 方。那么对于分子和分母呢，我们都用一下等加公小，它就等于 limit t 区域零， 这是 t 乘以 t 比上，这是负的二分之一 t 的平方，那最终的极限呢？就等于负二。这样的话，我们把这个题呢就介绍完了。

各位同学大家好，下面我们来看这样一道题，这是二零一六年数二和数三的一道十分的校极限的题。 首先我们来看类型选择方法，这什么类型？哎，仔细一下呢，这个一，这个零，这一看又是一个一到五种打次方，那么三部曲，然后第一步就是从里边分一， 那么说好分就分，不好分就加一减一，好分不好分呢？ cosine 二这个词 大家知道，这可以写成一减二倍赛乙方，所以呢，这个地方是好分的，那这样的话我们就可以得到啊，原是就等于，等于谁，就等于 x 去向 三零方一，把这个 coce 二 x 写成一减二倍塞引平方 x， 然后加上二 x 塞引的 x， 然后呢，这就是 x， 四方分之一，这个呢就是我们的阿尔法，这就是我们贝塔，所以第二步呢，我们只要算阿尔法乘杯，他的极限 阿尔法是谁呢？阿尔法就是负二倍的塞引平方 x， 然后再加上 二 x 再减 x， 这就是二成长被打就是乘一个 x 半分之一，我们只要算出这个极限等于 a， 原始极限就 e 的 x 八，这个极限如何求呢？ 他当然是个零比零，但是怎么做比较方便？诺贝塔肯定不可取，那么大家看这个分子呢，是不是有公因子可以踢出来，那就是可以踢一个二比赛。 听完以后先看这一项，二倍三引提走，剩一个谁 x， 这一项把二倍三引提走，剩一个谁减三引，大家看看这是不是已经做出来了，因为 x 取向零的时候，那我们知道 下面是四方二倍塞引，塞引等价于 x 三，然后呢， x 减塞引等价于谁？六分之 x 三方四方一消六分之二，这不是就三分之一，那这个等于三分之一，然后原是 极限就等于谁啊？一的三分之一，次方，大家看，仍然是三部曲啊，很快就做出来。 但是这个题呢，也有同学会问说，老师，哎，这题不是可以做的很简单，那你这个地方不是趋向一吗？啊，所以他就这样做啊，你看他做的比我简单啊， 然后他说，哎，老师写标准型，那你看， x 取下零，你这个就取下一呀，这一是现成的呀，一加二， x 赛引 x， 然后 x 四方分之一， 然后呢，再算 x 去向零，阿尔法，阿尔法不是二， x 赛引 x 乘上贝塔， x 四方上面赛引等加 x 平方一消，这不就无穷吗？ 所以这个等于意义无穷，所以就等于无穷，得多少分得到分数是他的倒数啊，无穷分之一，无穷分之一就是零啊，这就是标准的零分，经典的错误， 但是是错的，为什么要讲？因为有很多同学有这样的想法，所以这一步就错了。那为什么错呢？大家注意，这是个整体凑极限，那你看，你把这个极限都拿到哪里去啊？拿到这就这一步先算啊，那你注意极限， 这个能不能你想先算哪里就先算哪里啊？不能，我们只讲过就是他是整个式的因子，提前等于费力长度才可以算，他呢，都拿到底数里面去算去了，那这就是经典的错误啊，所以不要犯这样的错误。

同学们好，我是蓝图图老师。从这个视频开始，我们来学习多元函数问题，那么今天这个题呢，是让我们分析一个极限是否存在并给出过程啊，并不是你回答说极限存在，或者说极限不存在就拉倒了啊，人家让你给出过程。 之所以安排这个题啊，是因为这个题他是取路径的一个经典题。 通过这个题呢，我们更加深入的去理解多元函数的极限，这是一方面。另外呢，在我们后期这个学习多元函数的连续问题，多元函数在一个点处，呃，在一个点处的这个片档数问题， 那经常会涉及到他，甚至可谓问题，所以他很经典啊。来我们看下这个题，那是否存在呢？不存在，不存在。我们先来简单的画个图，做一个分析啊。然后呢，我们 在写，首先我们非常清楚一点啊，来做个对比，朋友们，那么一元极限 它就一个资本量，是吧？就 x 区域零，是不是？那现在我说这是 x 轴的话，那么 x 区域零，它在一个维度上，你告诉我它能怎样？它是是不是 只能左右？是不是只能左右？在一维上是不是只能左右，对吧？你从左侧区域，从右侧区域可以说两个方向， 这也就刚好对应到咱们前期这个，呃，学习 e 万数极限的时候，有个左极限右极限这么一说法，对不对？来再看一下二元，这个二元呢，涉及到资本量 a、 x 和 y， 所以说它的维度呢，我们说是 二维啊，二维的折这么细。好了，二维折这么细，里面的点好，比如说零零这个点，来，我们换个颜色啊，就比如说零零这个点，那这个时候问你了，说趋向于零零这个点有多少个方向？你难道还能揪着一维吗？对不对？你现在已经升为了 老师，我知道了，通过你这么一提醒，我非常清晰的明白了。啊，原来是这样的，说上下左右， 那你这格局啊，就有点小了，你看到吗？你告诉我这个点在不在二维空间啊？二维平面在吧，好在他就可以趋向于听到没有？ 所以说这个方向他有无情多个，听到没？哎，都无情多个，这就是多元函数极限就是难理解的一个关键， 因为他无穷多个路径啊，你这地方就两个方向，对不对？我有无穷多个，你说谁难谁麻烦，那自然是我多元 好了，那这个极限我们怎么去解决他呢？那当然是通过路径去否定他 啊，比如说这就是一条路径，是吧？哎，这个地方又是一条路径，那如果说，如果说不同的路径使得我这个极限的结果不唯一就不相同，那这个极限就不存在了，就好比这个这个亿元数极限一样的，我从左侧 趋向于和右侧趋向于，这两个极限不一样，那就可以说我们这个一元数的极限不存在，对不对？你这不是两个路径吗？啊？左右吗？对不对？那么同样的，在我们这个多元多元函数当中啊，也是一样的，哎，你只要找 两条不同的路径，使得你的极限不同不同就好了，就把我否定掉了。好，那么接下来我们就来选路径。 大家会发现啊，这个体验当中 x 方和 y 方都单独放的，这个地方呢，是 x 和 y 相乘，你会想到什么呢？你会想到 y 和 x， 如果相同的时候该多好，那这时候路径就出现了，来，朋友们，我们来看啊。结， 写路径一，我不要写路径一，路径二了是吧，就，就取路径是吧。哎，我们取路径， 嗯， y 等于 x， 那么则咱们这个极限 limit， 我写成上下结构了啊，上下形式 x 去零， y 趋向零， x 和 y 相乘，比上 x 方加 y 方，看看形式啊，立马，哎，就变成什么了。好，先把路径给你画一下， 这是 x 轴，这是 y 轴，那么 y 等于 x， 在这， y 等于 x。 取这个路径所指的就是啊， x， 袜不是区都区域零吗？这个是不是啊，这不是零零吗？ x 跟袜都区域零，我们是沿着这个路径区域零的啊，沿着这个路径，这呢，看到没有？哎，沿着啊，袜跟 x 这条这条线上，从斜，从上方和和下方去趋向于他，看到了吗？ ok 啊，那么就可以写成是此时啊，就是 x 区域零了， y 和 x 一样吗？好， x 方比上二倍的 x 方等于多少？他们二分之一啊，就是在这条路 上，它的结果是二分之一吧。好，再走，我们再取路径 下面一个，你猜啊，对不对？我取个 y 等负 x 来， y 等负 x。 你这种题很简单，主要是你理解了，你理解不了，你说，你说，你想学习学好，那怎么可能呢？吧。来，同学们，第二条路径出现了，我同样是趋向于零零，但是我，我是什么？我是 y 等于负 x 这个这个路径， 就说我在这条直线上，沿着这这条路跑，哎，往哪跑？往零零这个点跑，这叫路径是不是？那么在这条路径上，我们 这个极限等于多少啊？此时，比如说 x 去零， y 去零，在这种情况下啊， x y 比上 x 方加上 y 方多一个什么了等等。我说在这种情况下， 是不是可以写成是 x 区域零的时候，上面是负的 x 平方，底下是二倍的 x 平方，看明白没有？同学们是不负二分之一，你发现吗？你发现的问题就是不同的路径 使得我们这个极限是不不相同的。你会发现啊，你会发现，有的老师这写的好像不太不太规范啊，有的书上是在这上去标记着路径，可以的， 可以的，你懂这意思就好了吗？你把这个路径写在这上面也可以啊。好，那么接下来我们只要说句话，由于不同路径极限值不同，由于不同路径， 由于不同路径极限值不同，违背了唯一性吗？极限值不同，好 过该极限不存在， 该极限不存在 啊，由于不同路径极限值不同，固该极限值是不是很简单？不过如此嘛，是不是？那么当你熟练之后，同学们啊，当你熟练，你看这个很清晰的啊，很简单。当你熟练之后，有些时候你会发现，老师你这举两条很费劲啊。我有时候发现，我直接来个瓦灯看 x 搞定， 我直接取一个万能 k x， 你这取的世界是是什么？是一个路径足，随着 k 的取值不同，它有无情多种可能对不对？反正都是斜线。 那这样的话，你道理是一样的啊，你取的路径比我路径多，你把这种情况往里带，你会发现最终的极限结果与 k 相关。最终的结果是一个关于 k 的函数，知道吧？是关于 k 的函数。 那就说明一点啊，取不同的直线，那么这个结果会随着 k 的变化而变化，那也叫极限不存在是不是？那极限不唯一吗？不同路径极限不不相同吗？道理是不是一样的？ 好，各位同学，这个题你听明白没？有？听懂的在评论区留言。好，我们下次视频再见。

同学们好，来看今天的每日一题，说 x 区上的零时，哎，这个式子的极限如何去求解？ 对于二次考研同学来说，这个题的难度还是蛮大的啊，但今天我们的讲解应该不会特别难， 等一下你一看就知道了啊。那他们这个题他难在什么地方呢？第一个，他的复杂度上，你看这式子看起来就不是很好看，对不对？如果把这个式子直接换成 x 了，那这个式子你看你就发现没那么难了。所以说第一个是复杂度上，第二就是方法。我们知道极限他分为七种为定型， 七种未定型，而七种未定型多的是专门的方法。哎，说到这个，说到这里，我们提一下，二次考研培训马上就开始了，感兴趣的同学了解一下。好，那么现在这个式子它属于什么呢？你分析一下 x 区上的零时，这个式子是不是区域零？好，区域零。那这个 是是不是趋向又不是。那同样的 x 趋向零是，这是不是区域零？那这个地方是不是区域一烙的这个整体是不是区域零啊？那么他分之一呢？是不是也趋向又不是？那 对的，那这就是我们这个课程当中所提到的无情减、无情形，一般来说，无情减、无情形他分为两大类，记住啊，分为两大类，一练过就会了。分两大类，哪两大类呢？第一种叫分式，分式相减。 哎，像这种分式相减，那一般来说，分式相减的时候，记住，我们要采取合并的方法，合并的方法是第一种，第二种他就不是分式了，哎，他不是分式了，就是说，嗯，你不好合并了是不是？那另外一种方法呢？叫提取， 提取啊，这个提取的思想啊，就是为了构造董家，我跟你讲。好，你看这个时候是不是可以接下来， 那么现在这个题既然我们已经知道了方法，那么无非第二个难点就是复杂度了，不用怕，我们先按照河边的思路往下走一走看看。好吧，现在我把答案已经提前码出来了啊，我觉得每天这样讲的话，稍微速度快些。 我们看一下这个题答案说啊，那么我给这个极限往前写了，其实考试的时候你不要再抄一遍了，你直接写原极限等于 啊，因为我是呃，为了这个讲课效果，所以写在前面了啊。来，那么我们首先第一步就是合并啊，把它俩合并之后，分母相乘，分子做差，这个是没有问题的。好了，同志们，看到没有？你看到没有？从这一步到到最后的结果，中间这个东西叫做什么？同志们， 首先这个地方叫什么？叫做化简处理，也就说你做好一道题，除了说你会方法，你还得注意啊，你还得注意，就是我们的化简 技巧是很重要的，要学习积累，那比如到这里了，你将来该怎么办？那很显然吗？对不对？都到这个地方了，这个相乘的形式能使用等价五最小，你还，你还等待什么对不对？立马操作 x 趋向零时，这个式子很明显等价于 x， 那么同学们这个式子呢？ 如何等价？这个相减肯定不能等价对不对？你不要说老师他等价 x 他就等价，他不要这么干啊，你这么干的话，这下面的过程都不要看了，分扣差不多了啊， 不能在加减法里面使用等价，无论小，就算使用也需要满足一定的条件。好吧，那是满足泰勒展开的条件，消不掉的条件。我们再说啊。 来，那么接下来那这个地方的等价就是一个问题了，来，我用颜色给你标注出来，那么他如该呃，该如何等价呢？哎，竞赛的课程当中，以前我提到 我的啊，在这里我再我再提一下，是这么说的，说说不管他是一个字母还是一个函数，还是一个很复杂很复杂的式子。记住了啊，这个东西只要他趋向于一，我们就可以写成是 烙用框框等于烙用一，加上框框减一，然后在 x 区上啊，在框框区上一这个大前提下，你这个东西是不是区上零的，对不对？他是不是区上零的，所以就可以等价成 框框，简易明白没有？因此你看这一步，我对于这个式子我就可以使用等价无尽想，这不是框框，这整体不是框框吗？等价成框框，简易看明白没有？然后后面呢，就等价成 x， 不要动， ok？ 分子呢？这个时候顺带我就跟着合并了啊，两个闹用相减，不是闹用里面相除吗？哎，我发现，哎呀， 这地方是什么？同志们，你看平时啊，我要不讲课手机也不来信息，我一旦讲课，手机滴滴滴滴开始响了啊，有时候真的是服了，好，不管他写，看好，那这个地方 是不是又是一个趋向于一等级啊？你看框框区域一浪用框框是不等价于？框框减一是等价于啊，不是等于啊，是等价于。那所以这个地方又是区域一的分析一下嘛， x 区域零的时候，他区域一，那再等价，等价乘框框减一，看到没有？好了，此时分母， 我怎么办呢？知道吗？我除了把分子，分子，我懂价了，分母，是不是？我提出了一个 x， 看到没有？哎呀，这种好，太好了，他们 太棒了，你就没注意到吗？他们，你没注意到吗？你说我这样提语之后，我提出一个 x 注，前面是，你看，又来又想一遍，来，往前面提，提出一个 x 注，剩一个一，是吧？那后面这个地方是什么了？ 看到没有？好，你先放这不要动啊，带着一种，带着一个问号在这里，然后继续我对分子进行处理，看到吗？我对分子进行处理之后，合并之后剩个什么？同学们，你看 一加 x 减一，相当于减去 x 加它分至 x 加它，对不对？那分子变成什么了？其实这个式子应该变成这个了，看到没有？ 应该变成是一减啊，不，不应该变成这个了，对不对？应该变成一分分子啊，就这个式子变成了一减根号下 一加 x 方比上它，对不对？变成这个式子了，但是呢，我为了更好的去处理，我把五星小亮同接的放在一起，而这后面这个地方呢，它是 去定制的，哎，这个极限存在区域一，这个极限存在也区域一，对不对？因为这个地方极限区域零可以单独算啊，那这个这里面呢，就使用了 乘呃乘法，呃呃，运算法则是不是？而单独后面这个地方呢，使用的是除法运算法则。好了，后面这个极限去一，前面这个局限呢，我们对这个地方实验一下，等价无中小 单加成负的二分之一 x 平方不就好了吗？所以答案等于负二分之一，对不对？同学们，非常简单啊。好，各位同学，这是我们今天的每日一题，看到没有？全程所使用的方法就是合并、 等价和化减处理。那有同学说，老师这个题可以使用拉格老师中定理，你看我到这一步之后使用拉格老师中定理，其实无所谓， 你这个拉钟，你要你要搞清楚拉钟和泰勒是什么关系，你一展开就发现这个拉格朗的中定理是可以说是泰勒展开，展开到什么程度？展开到一留有一阶的形式， 对，留一阶余项形式，所以说而这个题恰好就是到一阶的时候，刚好够用。所以说你说你使用拉钟，你说你使用泰勒，再说你说你使用董家，无论小，其实最终的本质都是一样的， 所以方法都行，明白吗？他们，好，这是我们今天所说的每日一题啊，明天我们继续。

接下来我们来看一个含有密纸含水的极限，是球极限吧，我们在求极限当中呢，经常会遇到含有秘制含水的极限，那么遇到秘制含水球极限怎么办呢？那么这个题就离不开换底公式，那么这个题的话呢，我们看一下啊，首先的话呢，是两大项长期的极限， 知道不知道，鸡就是商，商就是鸡啊，所以可以把乘机变成什么呢？商的形式，它其实可以写成 x 取向零，这个位置是一个二加上一个 cocyxb 三破起来的 x 次减一，比上一个 x 的三次，那么到这以后，这个极限很显是个什么类型啊？零比零型，那么零比零，你发现这个题他有局部的秘制函数啊， 局部是秘制函数转局部换底就可以了呀，我们说了啊，框呢，当然就等于一的烙印框次了，所以把这一块局部换底公式，那就写成 x 区相邻 x 三次分直，这个位置就一 的 line， 二加上一个 cocyx 除以三，他的 x 次减一。那么到这一步以后，根据对数的性质，我们说这个 x 次可以拿到 line 的前面去啊， 所以拿过来以后呢，他就变成了一个 x 区向零 e 的 x 倍的 no 二加扣三， x 除以三，然后呢，再减后边这个一比上一个 x 三次呀， 到这和同学啊，我们说了，零比零形的极限是能代换则代换呀，那你这个题到这以后，他仍然是个零比零形啊，我们是不是学过，只要这个框区向零 e 的框次减一，就等加一，谁呀？框啊？ 所以同学，这不就是一个框吗？一的框次减一，等加一框啊，所以我们就可以把它写成 x 去向零， x 背的 loin， 二加 cocinx 除以三， ok， 这是你 分子等价在换了，对吧？分母呢？ x 三次是不动的，那么到这以后，同学，分子分母同时约一个谁呀？ x， 所以 x 取向零，这就是 x 方分之这个位置是 line 二加 cocy， x 除以三呀。那么到这后，同学你发现他仍然是个零比零， 仍然是个零比零，我们的原则是能代换还代换呀？所以我们看能不能代换啊？ s 曲项零。同学，这个曲项一啊，二加一是个三呀，三比三是个一啊，这是个浪一啊，浪一是个零啊。那我们在课上讲过，如果这个三角曲项一 烂三角就等于三角减压，就是烂后边这一堆，不管长什么样子，只要它趋向一，那么烂这一堆就等于这一堆减压， 就给他解了个叫三角，对吧？乱三角等价以三角减一，前提这个三角的趋向一，那现在同学你看乱后边这一堆，这不就是趋向一的吗？对吧？那所以分子又可以等价 再换呀。我们把分子给他等价再换一下，那么他就写成了 x 去向零，二加扣分， x 比三减一，比上一个什么呀？ x 平方。那么到这以后，同学继续往下 x 去向零， 三呢？下来上边呢？就可以写成二加 coceinx 减三。那么到这一步，继续化减 x 趋向零，那就是 coceinx 减一 以上三 x 方啊，到这这不又可以代换了吗？他能够代换成，我们说一减扣三， x 等价于二分之一 x 平方啊，所以这个就是负的二分之 x 平方，平方和平方一约，这不就是一个负的六分之一吗？那么这个题呢？就结束了。 那么这个题你发现啊？一录下来就是用了个换笔公式，然后等价代换，等价代换用到了回答了吗？没有，对吧？所以这个题咱们就分享到这里吧。

好，我们来看这样一个求极限，拿到以后，首先还是判别类型，然后选择方法，那大家看这是一个零比零， 那零比零呢？用什么方法呢？如果说我们要用洛比塔，大家看这两个根号求导很麻烦， 等价太快也不好在这直接用啊，所以我们怎么处理诺贝塔不好用的原因是因为这两根号，所以我们就一个基本方法，就是有理化， 所以你看我们是不是就可以把这个原式写成，然后这呢就是 x 趋向于零啊，把它有理化，就同城这两根号相加，那么上面呢就有了 贪净 t x 减三 e x， 这个我就把它用哪家待会换掉啊？这是 x 乘上 c 二分之一， x 平方，有理化是给它乘上根号的一加 摊进题，加上谁根号的一加上谁啊？三一 x， 这个时候呢大家注意啊，你看这个就是这个麻烦是他啊，就是这个根号他分之一， 这是整个式的因子，它的极限等于谁？二分之一可以先求出来，那么先求出来这个二分之一跟这个二分之一，这样就把它消掉了。那么最后呢就要只需要算这个极限，就是 x 去向零，那么下面呢就 就变成了 x 三方，上面滩径体检塞引，滩径体检塞引怎么办？提一个滩径体，这个时候里边就变成一解 cosine， x， 这个等价于 x， 这个等价于 c 二分之 x 平方，最后答案就有了多少二分之一， 所以大家看，对于这个零比零，首先第一步是有理化，然后再是等价贷款，但是我们刚才说了， 这个油的话比较适合以开放方式较低，开放方式较高，可以提用等价代换。但是在这呢，我们还想介绍另外一个思路，什么思路呢？大家看，哎，那你这个分子，你 这就是两个根号的叉，哎，那我可以把你看做谁啊？我可以把你看做这个函数就是 a f x 等于根号的谁啊？一加 x 在两点函数之差，他那条赛两点函数之差，我用一下谁啊？拉个脑日终止点，那么这样子处理更好，也很方便啊，所以我们立马就可以得到谁，我们立马可以得到原式，就等于 x 趋向零的时候，那个老师中的定理是这样写的， f b 减 f， a 就等于谁？ f 一撇的可 c 乘上去 b 减 a， 那好了，我们呢？下面呢，这是 x 乘上二分之一 x 平方， 待会换掉上面 f b 减 f， a 等于 f a 撇可 c， 那么这个 f a 撇可 c 是不是二倍根号？一加可 c 分之一乘上 b 减 a， b 减 a 是谁？ b 减 a， 那就是摊镜体检去赛， 所以上面就摊进题解赛，但是注意这个可 c 在哪里？可 c 就夹在摊进题和塞眼之间，人家两个都取消，对，可 c 取消，所以前面是二分之一，二分之一跟下面二分之一消掉， 最后呢，仍然变成 x 虚向零，下面仍然是 x 三方，上面呢，摊进题解塞往出提，摊进题里边就是一解扣塞，这个单加于 x， 这个单加于二分之 x 平方， 最后照样得到二分之一，所以注意这个地方处理这个根是差的时候，又用了一种思想，就是拉根脑日中指点点。 大家注意，在求极限的时候，如果出现同一函数，在两点函数值差的时候，这个拉杆脑日终止定理常用，也是非常有效的一种方法。好，这是我们要看的这样一个例子。

每天一个考点之极限的运算，极限的运算是专升本考试中最常见的运算，那么极限的运算都有哪些技巧呢？首先第一个有意义，直接代入。 那么什么叫做有意呢？比如这个求 x 趋近于一的极限，我们直接把 x 等于一带入式子，就可以得到一个结果是二，这就是有意义的。而比如这个式子，我们把 x 等于二带入后边的式子，当带到分母上的时候，得到结果是零，而分母是不能为零的， 所以这样是没有意义，所以不能直接带入计算。那么这种题怎么做呢？我们如果把 x 等于二带入分子上，发现分子也为零， 这就是零比零型的极限。对于零比零的极限，我们有很多的方法，今天我们介绍其中一种叫做因式分解。首先我们把分子利用平方叉公式做一个变形，这样分子分母可以 约分，没有了分母我们就可以直接代入了，不存在没有意义的情况。常用的因式分解公式有这两个，平方差公式和完全平方公式。除此之外，你还知道有哪些方法吗？ 对于无穷减无穷的极限，我们有两个方法，如果遇到了有分母的相减，我们选择通分，有根号的选择有理化，有理化就是去掉根号的过程，我们使用的是平方叉公式，大家可以详细看一下这两个例题的解法视频。最后有一道例题你可以做出来吗？

各位同学大家好，下面我们来看这个极限 x 虚线零，那首先是判别类型，然后选择方法， 当我们看这什么类型呢？ x 曲线零，这个烙影里边曲线一，所以这曲线零，这个也是零，同理这也是零，这里这是个零比零，那我自然想到洛比塔好用吗？可以用，但是这个求导数就复杂了， 那还有什么办法呢？等价代换，所以这个地方呢是两项相减啊， 那所以呢，这个你用，你还得验明条件，那么在这呢，我们看我们是不是可以把它改写一下，因为这有个烙印，这有个 e x， 那我们知道烙印 e x， 也就是这个 x 哦，所以那我们这是不是可以这样改写，那就是说这个圆是就把它写成谁啊？ x 倾向于零的时候，然后上面呢，这就是烙影的赛影平方 x 加上 ex， 然后减烙影的 ex， 然后这个呢就是烙印 x 平方加 e 二 x， 然后减烙印 e 二 x 对数相减，就变成里边相除，所以 x 去向零的时候，上面呢就可以写成谁，就可以写成烙影的一加上他除以 ex， 就乘一副 x， 那就是一副 x， 然后乘上谁赛影平方 x， 那么这个里边一除的话， low n 里边也变成了一加 x 平方除以二 x， 那就是 x 平方乘上一负二 x。 好了，这个时候大家注意 x 去向零的时候，这个烙一加，后面两个都去向零，所以这个用一下这个等价的话，烙一一加 xx 去向零，等价于谁啊？ x， 所以我们马上就可以得到这个极限，就等于 x 去下零，分子等价于谁？ e 负 x 赛引平方 x， 而分母呢？等价于 e 负二 x x 的平方 周围这个和这个都是一零次方，一可以先求出来。三引发力等加 a 次方立马就得到这个极限等于一， 所以这样一个零比零的极限大家看一上来没有用洛贝塔，也没有直接用等价代换，所以这一步改写很重要，改写把它分子写成一个整体，然后用等价代换，这个处理就变得非常方便。好，这是我们要看的这样一个例题。