数学基础训练人教版八年级上册25

大家好，这里是人教版同步初中数学金奖八年级上册的课程内容，我是你们的豆豆老师，今天我们要学习的是三角形的内角和证明，那我们都知道啊，三角形的内角是等于一百八十度的，对吗？那你们想过为什么吗？ 从小的时候我们玩三角板就知道啊，一个直角九十度，加上两个四十五度等于一百八，我们也知道一个直角加上一个三十和一个六十也等于一百八十度， 或者画一个等边三角形出来，每一个角都是六十度，六十乘以三也等于一百八十度，那其他的三角形也一样，内角和都等于一百八十度，这是为什么呢？ 那我们来想一想，有什么方法可以证明呢？第一种方法，我们可以用量角器量出每一个三角形的度数，然后加起来测验， 对吧？但是这个方法很麻烦，因为有一些角他并不是整数的角度，他可以是十五点二，十五点二二这种很微小的角会有误差，对吗？那第二个方法呢，我们可以用拼接法， 什么意思呢？就是我们可以准备一张纸，自己动手操作一下。那么第三种方法呢，就是标准的证明法，也是你们用的最多的办法，也是我们这个八年级需要掌握的用的最多的几何证明的方法拼一拼。 同学们呢，可以准备一张卡纸，画出一个任意的三角形，然后呢把它分成三部分，每一部分都有一个完整的角，再把三个角啊剪下来， 剪下来了以后呢，再把三个角拼凑在一起，像这个样子，大家可以看到这三个角加起来就区域了一个一百八十度的平角，对吗？ 那这个是动手操作，你看我们这就是一个随意的三角形，没有特殊的角度，他就满足了这个条件，对吗？那除了这两种方法呢？我们来再来看一下第三种方法，也就是通过逻辑推理。 那在七年级的时候，我们学过平行线对吗？我们想要证明一些角度的和等于一百八十度，有哪些方法呢？我们知道两直线平行，同旁，内角互补，对吗？ 好，我们也知道现在平行内错角相等，同位角相等，对不对？那我们就根据这一些结论来试着证明一下我们的三角形内角和等于一百八十度。那么以上两种都是我们的操作呀，或者两角。但是我们最希望你们掌握的是第三种逻辑推理， 因为在我们八年级开始就会有很多很多的几何证明题，这个呢决定了你数学试卷的得分数啊，希望大家能掌握好几何，因为我们八年级有句话说得几何者得天下，对不对？所以呢，我们从简单的证明题开始，就要培养自己的几何证明思维。 第一种正法，它要你证明，这是一道最简单的证明题，角 a 加角 b 加角 c 等于一百八十度，我们呢可以试着做一个平行线出来， 那我们过点 a 做了 e、 f 平行于 b、 c， 这个时候很容易看到，因为内错角相等，对吗？两直线平行，内错角相等，所以角二呢是等于角 b 的， 角一呢是等于角 c 的，所以写出来就是这个样子，所以呢，角 a 加角 b 加 加角 c， 就变成了角 a 加上角二，加上角一，所以呢，他们等于一个平角吗？就等于一百八十度，这是其中的一种证明。我们再来看一下第二种针法， 我们同样是会选择做一条辅助线，那这个时候呢，我们可以斜着做，做一条 c e 平行于 a b， 这时候我们可以看到角 b 就变成什么了，因为我们要求 a、 b、 c 的关系，对吗？角 b 这时候就变成了角二，因为两直线平行，同位角相等，角 a 呢，就变成了角一，因为 两直线平行，内错角相等，这个时候 a 角 a 加角 b 加角 c， 我们就可以写成角 c 加角一，加角二，是不是也是一个平角等于一百八十度呢？那老师刚刚说了一部分，如果要写出来，要 要怎么写呢？我们可以要这样写，延长 b c 到 d， 过点 c 做 c e 平行于 b a。 所有的几何证明题里面，只要你做了辅助线，你就要交代一下你的辅助线是如何做出来的，一定要写，不然会扣分哦。 然后这个写出来以后是因为什么？有的时候老师也会要求你们写熟练了以后不会写的这么详细。刚开始证明的时候，我们都会要求把这种为什么呀，用了什么定理啊，写的很清楚啊，好，然后 就正出来了，等于一百八十度，也是利用七年级的知识，我们看一下有没有正法三呢？有的。那正法三呢？我们这时候还是和第一种有一点点像，第一次的时候我们是不是做了一整条线，对不对？我们这时候只做一半，做 a、 e 平行于 b、 c， 但是我们只画其中的一 就往这边，然后我会发现，哎，我只可以把角 b 放到上面去，对吗？角 b， 因为两只线平行，内错角相等，所以角 a 就变成了角 eab， 那这个时候呢？角 a， 原来的角 a 加角 c 加角 b 就变成了这个绿色的角，加它 加上它，这样子看它就是一个同旁内角了，两直线平行，同旁内角互补，所以说这三个角加起来也等于一百八十度，那写出来就是这个样子的。 大家现在要慢慢的锻炼自己，学会去写这些步骤，就是这样会让你的思路变得很清晰。然后你考试答卷的时候，这个也是规范的步骤，需要这样子写出来，因为证明题嘛，你要因为所以环环 相扣，写得很清楚。好，那这个就是我们一个证明的过程。那到这里呢，我们来总结一下 几何题的一些基本步骤。首先我们要了解辅助线，从现在起，大家要有做辅助线的概念，七年级你们可以用到，但可能不是很多，但从八年级这个学期开始，大家要很多题目会经常用到辅助线。 然后如果你自己画了辅助线，你要交代一下是怎么做出来的。然后辅助线一般画成虚线，不可以画成实线， 那老师也会建议你们用铅笔来画辅助线，因为有的时候你会画错，有的时候你这样做可能做不出来，所以你要擦掉，再用另一种辅助线，可以把题解出来好，然后思路总结就是转化成这个样子，大家可以看到我们这样一个简单的新的知识， 又是利用到了七年级的知识点，对吗？所以数学他就是一环扣一环，我们会经常把新的知识转化为旧的知识。 好，那这时候呢？我们知道三角形的内角和等于一百八十度，并且证明了以后我们来做一些练习，看一下在是 a、 b、 c 中角 a， 角 b， 角 c 等于多少，这个是不是很快呀，对吗？ 口算一下就可以了，那么第二位也是一个样子的，这种都是可以口算的。然后第三题，角 a 等于四十度，有一点点一点角 a 等于两边的角 b， 所以角 b 呢？ 角 b 等于二十度，对吗？减出来角 c 等于一百二十度，没有什么难度。好，我们再来看一看，好，在图形里面来求出 x 的值， 这是一个直角，所以这两个角加起来应该也是等于九十度的，对吗？所以就可以解出 三， x 是等于九十，所以 x 就等于三十，这是这一个，然后这一个呢？这，这就是一个等边三角形嘛，是不是 x 等于六十就可以了？ 好，那接下来呢，我们再来看一下这两道题，把它放在图形里了。第一题，角 a 等于五十五度，我们写过来啊，五十五角 b 等于四十三，那么 a、 c、 b 等于 a， c、 b 等于多少度？ a、 c、 b 很简单，对吗？是不是直接用一百八十度剪掉它，剪掉它就可以了。然后第二个它又问了 a、 c、 d， 那知道这个角了以后，是不是就很容易求出这个角一百八十度减掉它就可以了吗？是吧？好，那我们算出来等于八十二的九十八。好，这个时候我们来观察一下啊，这个角等于九十八度，你看角 a 加角 b 正好也等于九十八度， 这是一个巧合呢？还是说就可以得到一个结论呢？大家可以想一想啊，我们后边会讲到了， 那我们来看一下一题，那么挡住了，他要求角 a、 加角 b、 加角 c、 加角 d 加角 e 的度数， 这个图形乍一看像五角星，其实不是的，还有六个角，对吗？这个很明显，我们可以把它看成两个三角形框起来，对不对？所以呢，就是两个一百八十度等于三百六十度。好，这些题 都都很简单，我们来看一下第三题， a 比 b 比 c 等于二比三比四， 没有图形，但是我们知道角 a 加角 b 加角 c 是等于一百八十度的，所以我们可以把它按比例分配，对吗？这个是两份，这个是三份，这个是四份，一共加起来是几份呢？是不是二加三加四等于九份， 所以用一百八十去除以九等于二十，也就是说每一份等于二十度，所以 a 是等于四十，然后 b 就等于六十，所以 c 就等于二十乘以四等于八十度。 好，那这时候呢，我们来看一看，思考一些问题。第一，一个三角形中最多有几个直角，我们知道它可以有一个直角，那 可不可以有两个直角呢？想一想，如果一个三角形里面有两个直角的话，这两个角加起来等于一百八了，那第三个角只能是零度了，对不对？那就没有了，所以一个直角三角形里面是不可以出现两个直角，所以他最多只能有一个直角啊。 那么第二个问题，一个三角形中最多有几个钝角，为什么？那么想一想，钝角是大于九十度的角，对吗？那如果有两个钝角的话， 那他们的总和是要比一百八更大，是不是？也不可能啊？因为我们三个角的总和才等于一百八，不可能说两个角加起来就大于一百八了呀，所以两个钝角也不行，那么最多也只能有一个钝角。好。第三个问题，一个三角形中至少有几个锐角？ 我们见过的三角形中可能会有三个锐角，可能会有两个锐角，对不对？他问的是至少有几个锐角，那可不可能只有一个锐角呢？如果 你想一想，你见过一个锐角的三角形吗？如果是只有一个锐角，那证明另外的两个角都不能是锐角，也就是说至少是等于九十度的，对吧？是直角或者是钝角吗？那肯定那两个加起来也是大于或者等于一百八了，是不是也不成立啊？ 所以呢，一个锐角三角形是不够的，每一个三角形中至少要有两个锐角，三角形最多呢，最多是三个锐角，但是这这一个会考的多一点点。好，那我们来看一下例题，他说在 a、 b、 c 中， b， a、 c 等于四十度。好，那我们把它写过去，等于四十 好，然后角 b 呢？等于七十五度。好，我们先不往下看，我通过这两个条件，我就可以求出什么了。我们把条件加工一下，通过这两个我是不是就可以求出角 c 了？是不是？好，他需要我求，我肯定是可以求的，然后他说 a、 d 是角平分线，那也就是说 这个角是等于这个角的，对不对？哎，那这个角是四十度，他又是角平分线，所以我是不是可以这知道这两个角每一个角都等于 二十度啊，好，那我们看看它要求什么？它要求 a、 d、 b、 a、 d、 b 在哪里？我们找一下是不是这里啊？那答案就很明显了呀，我们刚刚是不是说知道这个角 等于二十，我们要求 a、 d、 b， 在三角形 a、 b、 d 中，我已经知道了，这两个角对吗？加起来等于九十五度，那么 他不就等于一百八十度，减掉这两个角的和吗？对吧？所以算一下是不是等于八十五度啊？ 我们写出来是这个样子写的啊，由大家可以看一下这个过程，你们要学着这样去写，这样去表达因为什么，所以什么，每一步都要有根有据， 平分线，所以它等于它。这个地方，如果你们不喜欢这样写，就可以写成角一等于角二等于二分之一去乘以 b、 a、 c 等于二十度啊， 好，然后这个地方这样子剪，他剪，他剪他剪他等于八十五度，对吧？ 好，再来看一下下一道题，下一道题他说角 c 等于角， d 等于九十度，他没有标直角符号，哎，这个图好像有一点点，有一点点问题，对吗？他拼看起来不像是九十度， 经常会遇到这个样子，有时候图不标准，那我们就把它看成九十度，好吗？看成九十度，他说 ad 和 bc 相交于点一，那么角 cae， 这个角和 d、 b 一有什么关系？为什么？哎，那你看 老师画了标的这四个角，像不像一只蝴蝶的感觉，对吧？然后这个角和这个角是我们以前学过的，对，顶角对吗？对，顶角是相等的。好，那在 左边这个三角形里面，这三个角加起来是一百八十度，在右边这个三角形里面，他们加起来也等于一百八十度，对吗？然后同时减掉这个角，剩下的这个角和，这个角的和是不是也等于这个角和，这个角的和呀？ 也就是说角 c 加上 c a 一等于角 d 加上角 d b 一，是不是？然后又因为角 c 和角 d 相等，都是直角，所以剩下这两个角他们的关系肯定是相等的呀，对吗？ 好，那我们看一下写的话要怎么写呢？ r t 三角形就是直角三角形的意思，这个减这个，哦，对，他说在这个三角形中，他等于九十度减这个，在这个三角形中，角 d b 一也等于九十，减 这个又因为对顶角相等，所以剪出的结果也相等，对吗？这个题很简单，但是通过这个题老是想起了一个模型叫八字形，八字形其实就有一点点像蝴蝶的感觉，就是我们随便画一下。 好，老师，任意画的这两个角可能也是不相等的，但是任意的八字形我们是不是都会有对顶角相等，对不对？那我们都可以知道说这个，我们把它叫做 a、 b、 c、 d 啊， a、 b、 c、 d， 在八字形里面，角 a 加上角 b 是等于角 c 加上角 d 的，这个就是八字形。很多时候你们都会用到这个，因为在我们后面证明题多了，有时候要求角的度数啊，有时候要求角之间 间的关系啊，有时候要做证明题啊，就会经常用到倒角的方法，这个角加这个角等于，这个角加这个角等等，然后用一些等量代换的关系化减以后，得到一些数量关系，大家可以记一下啊，刚刚我们讲的这一道题是正好 这两个角相等，所以这两个角相等，对吧？那有的时候老师可以画极端一点点， 看这样子画出来是不是差的有一点多，这个角就最大，但是无论怎么样，画这个角加这个角，都等于这个角加这个角，同学们记住喽。 好，那我们再来看这个，有个调皮的同学打碎了一块玻璃，然后他想把这块玻璃还原，那把三块碎玻璃中的哪一块带去可以 还原成原来的玻璃呢？如果你是这个同学，你，你准备带哪一块玻璃呢？ 我们看带第一块可不可以啊？能带一块我们绝对不带两块，对吗？我们看带第一块可不可以？那带第一块就是这样子带过去，那我，我怎么知道你要的是这么大，你可以把这两边延长，对不对？ 我这样也可以补成一个三角形，这样也可以补成一个三角形，这样也可以补成一个三角形，我可以补的比原来这个三角形还要大很多很多很多，对不对？所以带这块玻璃去，是没有办法还原出跟以前一样的形状的，对吗？ 好，那我们看一下第二块可不可以？第二块的话，他虽然没有角，可是他的边在这里，我可以延长，延长这两边是不会有一个焦点，对吗？我也可以把 这边延长。延长是不是？哎？延到哪去了？没有，焦点，越来越大，越来越大，越来越大也可以延的很长，对不对？他只可以还原出前面这一部分，可是后面这一部分他没有办法， 那么我们可以带出第三块，第三块这两个角已经固定了，这个边也在这里，那我们就只能把这两个延长延长。哎，是不是正好有一个焦点，所以带第三块去的时候，就是可以还原出跟以前一模一样的形状， 有且仅有这一个形状，对吗？所以啊，如果我是这个同学，我应该带第三块玻璃。 好，那你们来考一考自己啊。这个题 a、 b、 c 中角 a 等于八十八十，角 b 等于角 c， 角 a 等于八十的时候，我自然而然会想到说角 b 加上角 c 是等于一百八十减八十等于一百度，对不对？然后他又说他们俩相等，那不就是一百除以二等于五十度吗？题目读完，答案也就做出来了，对不对？ 很简单啊，那今天的课程内容就到这里了，谢谢大家。