勾三股四弦五一定是直角吗

阳光万里长 one， 哈， 哦，让他。

还记得直角三角形吗？勾三股四弦五啊，知道这个原理是怎么来的吗？在一千年以前啊，藏语文化里，三眼是一个主政财，四眼破迷障。五眼是一个招偏财的 寓意，是钱财勾人心魄，分股化干戈，会衔接资源人脉，才能赚大钱。 后来啊，数学家根据这个想法，研究出了勾三股弦五的一个定理。你想了解更多有趣的事吗？啊，每天我五点开播，来我直播间，我们一块聊聊天。

今天呢，呃，咱们老惯例啊，来聊一个看似简单的问题，那就是勾股定理，勾三股四弦五。哎，这我们小学就知道了啊， 说一个直角三角形的三条边，斜边的平方等于两条直角边的平方和，那就是 a 方加上 b 方等于 c 方，在西方呢，这叫做比达格拉斯定理， 相传啊，是古希腊的必达格拉斯啊，最先证明的这个定理啊，所以才以他的名字命名的，但是必达格拉斯本人的证明方法啊，已经失传了，后来是欧基里德啊，呃，把这个定理记录在了他写的几何原本当中啊，并且呢，欧基里德自己也给出了一个证明方法啊， 其实啊，这个勾股术啊，早就有公元前两千六百多年的古埃及，哎，人们就知道啊，说三四五啊，这是一组勾股术，但是 能够被称作定理吗？还得是从比达格拉斯啊，这欧基里德这时候开始的啊。呃，那关于购物定理的证明方法啊，也实在是太多了啊，这是上百种肯定不止啊，那咱们就不说了，我相信你们肯定呃，也有自己的证明方法。 购物定理啊，应该是最经典的一个啊。呃，能够把几何和代数联系到一起的定理啊，你看现在数学这个分值有很多了，那早些年数学就只有几何和代数啊， 那是如何建立的这个联系呢？哎，勾股定理啊，这本身他是一个几何问题啊，但是呢，他却能够延伸出很多很多的代数问题。哎，那咱们今天啊，就按照这个思路来聊一聊。 首先如果让你画一个直角三角形，哎，你能你肯定能画出很多种，对吧？但是如果我加一个条件呢， 就是这个直角三角形的三条边的边长，他都得是正整数，哎，请问你能画出多少种呢？那我们把这个问题啊，给他转换成代数问题啊，那就是满足 a 方加上 b 方再加上 c 方的正整数组 abc 啊，他有多少组呢？ 他是有限的呢，还是无限的呢啊？那比如我们熟知的三四五，对吧？啊，那像这样的 abc 啊，在书轮当中就叫做勾股数啊，也叫做必达格拉斯三元数组啊，这个问题不难啊，你比如说我画了一个边长是三四五的直角三角形啊， 然后呢，我把这个直角三角形啊，给他等比例的放大，每条边刚好放大到两倍的时候，哎，那我们就发现了另外一组勾勾数了啊，也就是六八十，那放大到三倍呢，就是九 十二十五啊，也就是说三恩的平方加上四恩的平方，他一定等于五恩的平方啊，然后你把这个恩给他取正正数啊，所以勾股数一定有无穷多阻啊。 那如果刨除这种情况呢，那也就是当 abc 他互诉的时候啊，他也是无穷夺主吗？哎，那这种情况啊，至少在中学我们就知道有三四五啊，有五十二十三呢，哎，等等啊， 那像这样互诉的一组歌舞术啊，就叫做本元必达格拉斯三元数组啊，而且他也是无穷多数的。 甚至很早的时候啊，人们就给出了 x 方加上 y 方等于 z 方这个方程的正整数解的通式就是 x 等于二倍的 m n， 然后 y 呢，等于 m 方减去 n 方， z 等于 n 方加上 n 方啊，其中这个 m 中午要大于恩大于零，然后 mv 互诉且一机一油啊，你们可以自己验证一下啊，咱们就不多说了，到这为止啊，这勾股定理就没什么了啊，但是咱们的故事啊，才刚刚开始啊，这有一帮无聊的数学家哎，就开始研究怎么把这个勾股定理给他进行拓展呢。 那刚才咱们说的这个勾股术啊，是否有无穷多阻这个问题啊，在古时候啊，就有很多人开始研究了，比如说，呃，公元两百多年的这个代数之父丢帆图啊， 可能一般大家听说过丢帆图都是因为他的墓志铭是吧，哈，但是他对数学的贡献还是很多很多的啊，曾经写过一本书啊，叫做算数，其中呢就记载了这个勾股钉里的一些讨论啊，并且他也证明了这个勾股术啊，有无穷多阻啊。书中有一段啊，大致是这样的啊，说把 一个正整数的平方拆成两个整数的平方和啊，怎么怎么做来，这不就是 c 方等于 a 方加上 b 方吧。 时光荏苒，他到了一六二一年啊，法国巴黎有一位二十岁的律师买了一本丢凡图的算数，在这看啊，谁啊，废骂啊！ 看到这句话的时候说，一个整数的平方啊，能够拆成两个整数的平方盒哎，于是费马就突发奇想，他就在书角边写下了这么几句话，他说一个整数的三次方不可能拆分成两个整数的三次方盒。 四次方呢，不可能拆分成两个整数的四次方盒啊，以此类推，这地方太小啊，这证明过程我就不写了啊，这就是废马大定律，他就是从勾股定理拓展出来的啊，换句话说这勾 补定理 a 方加上 b 方等于 c 方，我们把指数给他换成比二大的整数的时候啊，这这个补定方程他没有正整数结，哎，这就是折磨数学家将近四百年的费马达定理啊。 呃，欧拉曾经尝试证明过啊，不过欧拉只证明了费马的前两句话是对的啊，就是三次方和四次方的时候啊，确实是没有正正数解啊。至于这个以此类推四个字啊实在是力不从心，最终就是在一九九五年由数学家怀尔斯给出的全部证明啊。 所以你看这第一种拓展勾股定理的方式，哎，就是拓展指数啊，然后一个费马达定理啊，搞定了所有可能，哎，那咱们还能怎么拓展呢？指数没戏了，我可以增加项数，对吧？你比如说 a 方加上 b 方加上 c 方让他等于 d 方来 这个方程的每组正正书结啊，就叫做必达格拉斯四元书组啊。那他有没有什么特殊的含义呢？有啊，呃，其实有同学应该想到了啊，你看 勾股定理在直角足标系当中是不是经常出现呢？哎你比如说，呃，我想求一个点三四啊，他到原点的距离怎么求啊。就是通过勾股定理啊，点到原点的距离他就是斜边的长度吗？那所以答案是五啊， 那必达格拉斯四元数可以干什么呢？来我们就可以通过他来求三维直角坐标系当中某一点到原点的距离。你比如说，呃，我现在有一点啊，他坐标呢是一二二，哎。那他到原点的这个距离是多少呢？就是一的平方加上二的平方再加上二的平方啊，然后你开根号 答案是三，那你就可以把它想象成是一个边长是 abc 的一个立方体，然后呢，这个 a 方加上 b 方，他就是这个面的对角线的平方，对吧？那再加上一个 c 方，也就是加上一个高的平方，那答案这个 d 方是不是就是这个立方体的对角线的平方啊， 有点抽象啊，但是大家应该能听懂吧啊，这就是四元数组的英勇在物理当中还是呃经常出现的啊，那以此类推啊。五元数组呢， a 方加 b 方加 c 方加 d 方等于一方，哎，他就应该表示了在四维直角足标系当中某一点到原点的距离啊。 在数学当中啊，确实是这样的，但是我们实在是画不出来思维长什么样了。嗯，然后你发现啊，他像素也是可以无限拓展下去的啊。于是呢 家就又考虑了这样一个问题，就是我把等式右边的条件啊给他放宽，哎，我不一定非得是一个整数的平方数了啊，只要他是一个整数就行。你比如说 a 方加上 b 方等于一个整数啊，好理解，对吧，那我们把这个问题给他倒过来想啊， 就是不是所有的正数都能写成两个数的平方之和呢？哎，你比如说啊，一等于一的平方加上零的平方，二呢，等于一的平方加上一的平方啊， 三，哎，不行了啊，三等于一的平方加一的平方再加一的平方这三项啊。呃，那两项不行，我最多需要多少项呢？你们可以自己试一下啊。你比如说七等于四加上一再加上一再加上一啊，四项啊，貌似四项就最多了，哎，在数学上啊， 这就叫做四平方和定理，那就是说任意的一个正整数他都可以写成四个整数的平方和，哎，呃，如果要是不算零，那就是可以写成不超过四个整数的平方和啊。 这个鼎礼啊，似乎早在丢凡图时期啊，他就知道了，但是呢，丢凡图没能够给出证明啊，他只是一笔带过了。后来这个费马又看到了啊，费马说，这个丢凡图说的对，但是还是啊，地方太小了，证明小下了一百年之后啊，这欧拉又开始挣， 估计欧拉的西说，这废马怎么这么能挖坑呢啊，欧拉先是得出了一个很长很长的一个四平方横等式啊，呃，后来是欧拉的一个学生利用了这个横等式在一七七零年率先给出了四平方定理的证明啊，这个学生就是拉格朗日啊， 因此呢，四平方定理也叫做拉格朗日四平方定理三年之后啊，欧拉也独立给出了证明啊，就是每个正常数均可以表示为四个整数的平方盒啊，至此啊，这个坑是终于填平了啊，你看，从丢分图到费马再到欧拉啊，这多巧妙的联系啊。 其实费马从丢帆图这啊给欧拉挖的坑啊，不止这两个啊，还有呢，你比如说，呃，费马有这么一个猜想， 他说形如四 n 加上一的速度啊，你像五啊，十三呢，十七啊，哎，他们啊，就只有一种方式能够表示成两个平方数之和，啥意思呢？ 比如说五十啊，五十可以等于二十五加上二十五，哎，他也可以等于一加上四十九，哎，这就是两种啊，表示成两个完全 选平方数的方式啊。费马说五十三十七，那这种四 n 加一的数数啊，就只有一种表示方法，你们可以自己算一下啊。那这个问题啊，就是一七四九年由欧拉证明的啊，这是填费马的坑，这就是欧拉的日常啊。

中国古代称短的直角边为勾，长的直角边为股，斜边为先。据我国西汉时期算书周必算经记载，约公元前一千一百年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦就是五。 在西方也有勾三股四弦五的定理。周必算精比西方早了五百多年。这一定理在西方称为必达格拉斯定理。 勾三股四弦五，直角三角形的那切圆直径为二，故有勾三股四弦五经二之说。 勾三股四弦五是著名的勾股定理。当直角三角形的两条直角边分别为三短边和四长边时，靖瑜就是弦子为五。以后，人们就简单的把这个事实说成勾三股四弦五。什么是勾三 股四弦五？在我国把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这一特叫做勾股定理或勾股弦定理，又称必达拉斯定理或必是定理，是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的必达拉斯所证明。 在必算经记载了沟固定理的一个特例，相传是在商游商高发现，故又有称之为商高定理。 三国时的爽对必算精密的勾股定理作出了详细注视。作为一个证明，我国股把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 怎样求勾三股四弦五三角形的高？这是直角三角形。三和四两边是直角边，可以互为底边和高。至于一五为底边时的高， 可以根据面积求 s 等于三乘四，除以二等于五为止，二小时等于二点四。用面积求三乘四除以五等于二点四，就是斜边的高了，因为勾三股四减五，三角形是直角三角形，其他两边的高就是其对应的边。

舟山虎视，玄武定之脚。

好，我们今天不讲题了啊，我们今天把这个勾股数啊讲一下，我们看啊， abc 啊，三四五，他很明显是一组勾股数啊，三平方加上四个平方等于五的平方，对吧？那个五十二十三也是一个勾股数，那七这后面是多少呢？我们来观察一下啊，你看三三的平方是不是等于四加五， 他是不是等于三的平方？那么十二加十三呢？是不是也是正好是五的平方呀？对吧？ 那么我们这样，这样就可以，而且他们之间相差是一，那么这样的话七七的平方是多少？是四十九，那么这个就很很简单了，这就是二十四和二十五，九的平方是八十一啊，八十一，这样下面就可以分，分开分成是四十和四十一，十一的平方是一百二十一，一百二十一可以分成六十和六十一， 十三的平方是一百六十九，那这个是多少？一百六十九、八十四、八十五， 可以去验证一下啊，那么为什么会是这样的情况呢？很简单啊，就是平方叉公式。平方叉公式怎么来的啊？那个三的平方，三的平方是不是等于五的平方减去四的平方，对吧？那么五的平方减去四的平方等于啥呢？是不是等于五加四乘以一个五减四，五加四正好是啥？正好是 三的平方，五减四呢？正好是一，他们之间相差是一，也就是说勾股数的两个，后面两个数是他的和，是前面这个数的平方，他们之间相差一，你学会了吗？

公元前一千年的左右山高与周公对答时说，沟广三谷修寺晋于五。 这里的勾就是小腿，鼓是大腿，这是古人从自身身体上发现并隐身出的直角三角形中的两条直角边，如果一边的长度是三，另一边是四，那么斜边的长度就是五。 勾股定理几乎被所有远古文明独立发现，大概是由于人们在丈量土地和建造房屋时，要经常计算直角三角形的边长。 相传古埃及人用十二段等长的绳子围成一个环形，然后把其中五段拉直，固定两端，把另一边的绳 拉到一点拉紧，就构成了一个直角三角形。可以想见，古人通过多次尝试便可找到这一规律。他们把这样的绳套摆在地基上，用以建造建筑的直角。这是勾股定理在生活中自发而神奇的运用。 在古文名中，数学的大部分概念就是数字。 公元前五零零年开始，希腊文明使数学产生了重大突破，泰勒斯比达格拉斯、 柏拉图、亚里士多德、阿基米德这些如雷贯耳的名字把数学作为一门科学学科建立起来。希腊数学最突出的成就之一在于对几何的发展。 数学家希帕克斯使用相似三角形定理估算地球半径为三千九百四十四点三英里，而现代科技测量结果为三千九百六十一点三英里，仅仅相差十七英里。 他估算地球到月球距离为二十三万八千英里，现代测量数据为二十四万英里，误差只有百分之零点八。 欧吉李德是古希腊最著名的数学家之一，他在公元前三零零年左右完成了几何，原本 他深远影响了后来整个欧洲的数学，也是世界上最成功的教科书。几何原本把当时人类掌握的几何知识以一 一种极度严密的逻辑关系连接起来，是数学这门学科体系化。直到今天，全世界中小学生学习的大部分几何知识都囊括在这本两千多年前的教科书里。 数学在全人类智者孜孜不倦的追求之下，有一种从生产生活中总结出来的工具，历经带数学的发展，解析几何的出现，微积分的创立，函数概念的发明，非欧几何的研究应用，数学的蓬勃 逐渐演变为引领整个自然科学发展的知识体系。为了争产生活，人类发明了算术，为了丈量土地，计算面积，人类又发明了几何，为了良天特地 又发明了三角。近代以来呢，人类面临的这个问题呢，又更加的复杂，比如说为了计算天体运动，人类呢，又发明了危机分。那么为了描述自然界的一些现象呢，人类又发明出了常微分方程和偏微方程等强有力的工具。 那么以至于到我们现在的最新进的数学，现在已经应用到呃，五 g 技术，人工智能等各个方面。应该说人类文明的发展和数学呢，是密切相关，而且是政协。

这个视频我要讲一个几何中特别重要的知识，勾股定理。在中国古代，直角三角形中，较短的直角边被称作勾，较长的直角边被称作鼓，而斜边则被称作弦。 公元前一世纪的周笔算经中有高三古四显五的记载，意思是，如果一个直角三角形的短直角边是三，长，直角边是四，那么斜边的长度就是五。算一算三的平方加四的平方就等于五的平方。 也就是说，在直角三角形中，两条直角边 a 跟 b 的平方和等于斜边 c 的平方，这就是勾股定理。 勾股定理最早的证明是古希腊数学家必达格拉斯在公元前五世纪给出的，所以在国外也被称为必达格拉斯定理。相传他争出这个定理之后，非常高兴，杀了一百头牛庆祝，于是又有人称他为 在牛境里。那他是怎么证明的呢？他画了这样的两个图形，这俩大正方形的边长都是 a 加 b， 面积相等，他们各自删掉四个相同的直角三角形后，剩下的面积肯定还相等。 这时左边剩两个小正方形，面积和是 a 方加 b 方，右边剩一个小正方形，面积是 c 方，所以 a 方加 b 方就等于 c 方，这就是勾股定理。利用它，你只要知道直角三角形两条边的长度，就能算出第三条边了。 比如说左边这个图， c 方等于五的平方加十二的平方等于一百六十九，而一百六十九是十三的平方，所以 c 就是十三。而在右边这个图中， a 方加十五的平方等于十七的平方，可以算出 a 方等于六十四，所以 a 就 是八。像五十二、十三、八十五、十七这样满足勾股定理的数组被叫做勾股数。之前提到的三、四、五就是最常用的一组勾股数，如果把它们扩大相同的倍数，你就能得到更多勾股数了。

提分拓展知识点，大家好，我是彤彤，今天我来给大家分享一个提分拓展知识点。 大家看这个图， a、 b、 c 三角形是一个直角三角形，大家看起来是不是很熟悉呢？有人会说这是勾三股四选五，没错，这就是勾三股四选五。但是我们仅仅知道 bc 边长度为五是不够的，我们还需要知道这些知识点。 我们过减 a 做 bc 的垂线， 这条垂线与 bc 交与点哦。 我们根据 bc 边长度为五，先求出 abc 的面积，三乘四除以二等于六，我们用六乘二除以五求出 ao 的长度 二点四。 abo 也是一个直角形角形，由于 ab 与 ac 这两条直角边长度之比是三比四，所以 abo 中的 bo 与 ao 长度之比也是三比四，求出 bo 的长度， bo 的长度为一点八， 我们用五减一点八求出 co 的长度， co 的长度为三点二。这些都是我们需要牢记的。 所以当我们看到一个符合勾股定理的直角三角形时，不仅要知道他的斜边的长度，还要牢记他的高以及分成了两条线段的长度。

今天给大家讲一个几何中最重要的知识，勾股定理。在中国古代，直角三角形中，角短的这一边 就是这一个，被称为勾脚长的直角边被称为鼓，哎，这个斜边被称为弦。公元前一世纪的周臂算精准，有勾三股四。玄武的记载， 意思是，如果一个直角三角形，角短的直角边是三角，长的直角边是四，那么斜边的长度就是五，那算一算，就是三的平方加上四的平方， 等于斜边五的平方。也就是，如果直角三角形当中，短的一条直角边，咱们给它设为 a， 长的一条直角边给它设为 b， 那么斜边咱们给它设为 c， 也就是 a 方 加上 b 方等于西方，这就是勾股定理。勾股定理最早的证明是古数学家比格拉斯在公元前五世纪给证明的，所以在国外也被称为比格拉斯定理。相传啊，他正出这个定理之后啊，非常高兴， 杀了一百头牛作为庆祝，于是又有人称他为百牛定理。那他是怎么证明的呢？他呀，画了这样两个图，哎， 这两个大的正方形呢，他的边长都是 a 加 b， 所以他们的面积相等。然后他是怎么样做的呢？各自删掉四个相同的直角形，比如说这个，哎，删掉一个两个三个四个， 哎，你这个也得给他删掉一个两个三个四个，然后发现 这个里头呢，是剩一个正方形，边长都是 c， 哎，这个图形呢，剩了一个这个一，还有一个二，那么这个的面积，他不就是 a 乘 a 等于 a 的平方吗？ 这个呢，是边长为 b， 他是 b 乘 b 等于 b 的平方。哎，这个呢，边长是 c， 它的面积就是 c 乘 c 等于 c 的平方，由此证明， a 的平方加上 b 的平方，它就等于 c 的平方。 这就是勾裤定理，利用他，你只要知道直角三角形两条边的长度，就能算出第三条边的长度了。来，咱们做个例题啊，都截下图啊，我该擦了啊，咱们黑板有限，来看一下左边这图，他， 他的平方，也就是西的平方，他就等于五的平方，加上十二的平方，算出来的结果是一百六十九，哎，一百六十九，他刚好就是十三的平方， 那么这个 c 就等于十三。而在右边这个图当中呢，这个 a 的平方加上十五的平方，他就等于十七的平方。哎，他就可以算出 a 的平方等于六十四，六十四刚好是八的平方，所以 a 就等于八，你像这个五十二十三， 八十五十七这样满足勾股定理，就被叫做勾股数。之前咱们提到的勾三股四啊，玄武就是最常用的一组勾股数。好， goodbye， 下个视频更精彩！