初一最小值问题的解决方法

同学们好，今天跟杨老师一起来学习七年级上册数轴上两个点的距离的问题。首先我们来看题目，求 x 减二的绝对值加 x 减五的绝对值的最小值。好，对于这道题目啊，求绝对值的最小之后最大值的时候，同学们往往是没有思路的， 知道该如何去做，那今天呢，杨老师会带大家把这个思路给他捋清楚啊，同学们一定要认真听。首先呢，我们要看绝对纸里面是一个插纸或者是他们的盒，他表示了什么样的含义呢？那在这里有一个支点叫做距离， 两点之间的距离的表示方式啊，好比如说我们在这个数轴上找两个点啊，二和五，他俩之间的距离是不是有三个数量单位，对不对？那如果是负数呢？负四和负一，他们两个之间的距离呢？也是三个数 单位，怎么算的呢？我们可以是大一点的数减去小一点的数，那就是负一加四啊，等于三，那么这边我可以说是五减二等于三，那这是大数减小数，结果本身就是一个正的值，那如果是一个小的减去大的呢？比如说 负四减去负一，那结果是不是负三？那如果表示距离的话，一定是一个正数，或者说不可以是一个负数，对不对？那么我们应该怎么样呢？我们可以给他加上绝对值， 所以说我们如果表示一个距离，那么他的距离要么是零，要么是大于零，我们一定要用绝对值怎么样去表示呢？就是用这两个数去减， 不管是大的减小的，还是小的减大的，那么他们的绝对值加上去，就表示了这两个点之间的距离了，同学们，在这里我们一定要记牢这个知识点，比如说杨老师随便写个例子啊， 比如说一和负一之间的距离，那是不是一减去负一，那我们化减一下，就是一加一，就是说我们看到两个数之间的距离，不一定非的是减法，我也可以写成加法啊，如果我写成 五减零，他表示什么意思呢？表示竖轴上的五和零之间的距离。那么上面这道题一加一呢？表示竖轴上的一与负一之间的距离，这都表示两点之间的距离。好，这就是一个非常重要的知识点。 下来我们看这道题目，那么 x 减二加 x 减五，他们的分别的绝对值啊，那就意味着什么呢？意味着有一个数，有一个点 x， 他距离二的距离和距离五的距离的最小值。那我们来看，他这里涉及到了两个点，二和五，也就是说当 x 处于什么位置的时候，他与二之间的 距离和与五之间的距离之和最小呢？那么这个地方我们需要去讨论。第一，有一种情况是，当 x 在二和五之间的时候， 也就是 x 是大于等于二，小于等于五，他们之间我可以就在二这个地方，我也可以在五这个地方，当在这个区间范围的时候呢，想想看， 不管 x 是在往右一点还是往左一点，还是就在二还是就在五这两个点，他们之间的距离之和，通通都是二和五之间的距离，对不对？所以就是直接就是五减二等于三 好。第二种情况，如果 x 在二的左侧，也就是说 x 小于二的时候，或者说 x 在五的右侧， x 大于五的时候，我们来随便找个点来验证这个结论，他为什么他的值要很大呢？看，比如说 我这个 x 在负二这个点吧，如果 x 在这里，那他与二之间的距离是不是这么长？他与五之间的距离是不是这么长，对不对？他俩相加的和是不是肯定大于三呀？那同样的，如果我在五的右侧找个点，比如说随便在这里啊，他与五的 距离是这么多，他与二的距离是这么多，那两个绿色部分的距离是不是也包含了三？所以说这两种情况，他们的 距离和都不是最小。那所以呢，我们的最小的值在哪里呢？我们最小的值就是在二和五之间。那么这道题其实看着让我们求一个最小值，杨老师顺便还教给大家 求 x 的范围了啊，他的最小值肯定是五和二这样的距离也就是三。那么有的题是这样问的啊，当 x 去什么样的范围的时候，这个结果的最小值是三呢？同学们， 记住，他的结果就是在二和五之间，也就是大于等于二，小于等于五。这是一个一道题的变形题，同学们，这是一道题知道两种结法的一个思路。好，这道题你听懂了吗？关注三姐下期视频，我们接着聊。

同学们好，我们一起来看这道绝对值，求最小值问题。这种题目是期上、期中考、期末考必考题， 这是一道压轴题，前面三问比较简单，所以说我把它简化掉，让我们重点来看一下。最后一问，要我们求 x 加三的绝对值，加上 x 减一的绝对值的最小值。 那么很多同学这种题目没有思路，主要是因为数轴上两点间的距离公司没有掌握好。那么首先来补充一下数轴上两点间的距离公司，比如说我现在问你， 一与负三之间的距离是多少呢？那么首先可以在数轴上把一给他找出来，然后再把负三给他找出来，我们来数一下一二三四，那么我会发现负三与一之间的距离是不是就等于四啊？ 那么四刚好是不是就是一减去负三呢？也就是说数轴上两点间的距离我可以用什么呢？大数减小数来表示对不对？ 那么我我们来把这个结论给他推广一下。如果说有两个数分别是 a 和 b， 他们都在数轴上，那么我问你，他们两点间的间的距离是多少呢？很多同学一定会说是 a 减 b 对不对？ 那么这里就犯了一个错误了，我有没有告诉你，一定是 a 是大数， b 是小数，我们刚才说了，两点零的距离一定要用大数减小数，所以我在不知道 ab 大小的情况下，我要对他进行分类讨论，那么有几种情况呢？有 有两种，第一种情况，当 a 带等于 b 时，那么这个时候两点间的距离我就可以用 a 减 b 来表示，就是大数减小数。第二种情况，当 a 小于 b 时，那么大数是 b， 小数是 a， 所以说应该是 b 减 a， 我们来看一下这两种情况，我是不是可以把它合并成为 这两点间的距离，应该是什么呢？是不是就是两个数的差的绝对值？大家想一下两个数差的绝对值，我就可以保证他们的差一定是正数，也就能表示两点间的距离。那我们再来看一下， 通过我们刚才的分析，我们可以发现，如果我知道两个数的大小，那么我直接用大数减小数表示他们两点间的距离，如果我不知道他们的大小，那么我就可以用两个叉，然后再来取绝对是表示这两个 数的距离。现在要我求的是 x 加三的绝对值，加上 x 减一绝对值和的最小值，那么先来看后面这个 x 减一，哎，我是不是可以把它看成数轴上的一个数跟一的点之跟一这个点之间的距离，我把一给它标出来，那么是 x 加三怎么办呢？我们要把它画成两竖叉的形式，那么就是 x 减去负三， 那么他就可以表示事实上的一个点到负三的距离，我再把负三给他表示出来， 那么这样的话，这个两个绝对值的和，我就可以把它看成数字上某个点到负三的距离和到一的距离之和。那我们看一下负三和一，把数轴实际上分成了三段，那么这个数是不是就会 有三种情况呢？第一种情况，当他在负三和一之间，也就是说当负三小于 x 小于一时，当然取到等号也是可以的。那么首先来看一下， 如果说这个数在这个位置，那么此时他到负三的距离应该就是这条线段的长度， 那么他到一的距离就是这条线段的长度，哎，他的长度刚好是多少呢？是刚好就是一减去负三，也就是等于四，对吧？这是第一种情况。好，我们再来看一下第二情。第二种情况，如果这个数在负三的左边，也就是说当 x 小于负三十，他到负三的距离实际上就是就是这条线段的长度，那么他到一的距离就是这条线段的长度，是不是显然他已经包括了 负三到一的这一部分，也就说他一定是大于四的，对吧？好，下面我们再来看一下第三种情况，如果这个数在 一的右边，比如说在这个位置，那么这个时候他到一的距离，哎，是不是就这条线上的长度， 那么他到负三的距离是不是就是这条线段的长度？ x 大一十，那么这个时候两点间的距离显然也是比四来的大，因为他已经包括了中间刚好为四的这一段，对不对？ 第二种情况跟第三种情况都是大于四，只有第一种情况是等于四，所以说他的最小值应该等于四。

同学们好，今天该是我们的暑期特训第三集，求绝对值和的最小值。首先对应的方法是一个口诀，低曲中间点，偶曲中间段。 这里的这个鸡和藕分别代表的是绝对值的个数，那当绝对值个数有几数个的时候，我们就取这个对应零点的中间点，如果是绝对只有偶数个，那么就取这个中间段，那具体来看一下老师给多大的问题引导。 首先第一个 x 减一的绝对值。那首先看到绝对值呢？我们知道它代表的几和一就是两点之间的距离，比如说这里的 x 减一，也就代表的是 x 到一的距离。 第二，一个式子 x 减二的绝对值，也就代表的是 x 到二的距离。如果我们在解题的过程中遇到 a 加三的绝对值，这个式子变形为 a 减负三的绝对值，也就是 a 到负三 三的距离。然后搞清楚这一点，我们回到第一问， x 减一绝对值。由于我们不知道 x 的大小，所以 x 他可能在一左或者是一的右侧，或者是与一重合。因为考虑到求他的最小值，当然就是 x 与一重合的时候，即 这个狮子的最小值为零，对应 x 呢，等于一。那么同理， x 减二绝对值最小值也就是零，对应的 x 呢，等于二。好，接下来看下一个 x 减一绝对值下 x 减二的绝对值的最小值。这个时候我们发现绝对只有两个位置呢，它代表的是 x 到一的距离。第二个是 x 到二的距离， 所以那么 x 它的大致位置呢？就是可能在一的左侧和一到二之间，或者是二的右侧。我们先从这个几何意义上数弦结合来考虑。当 x 等于一的时候，当 x 在一左， 这里， x 到一的距离就这一段， x 到二的距离是这一段，那很显然他俩之间有这个重叠的部分，所以求最值是不可取的。 然后同理我们也可以排除掉 x 在二的右侧，他也求不了最小值，那只有 x 位于一到二之间，此时对应 x 到一的距离加 x 到二的距离，实际上呢，就是一到二之间的距离，也就是一个单位，所以对应他的最小值是一， 而此时有 x 的范围，也就是大于等于一，小于等于二。那如果我们要对应口诀偶取中间段，这里的这个中间段呢，即为零点分段法，我们确定的一和二之间。 好，接下来看第四一个，因为绝对只有三个，那我们考虑汲取中间点，那很显然，这三个之间的界点呢，就是二，所以就是当 x 等于二的时候，这个式子有最小值， 那么他对应的最小值该怎么求呢？首先， x 到一的距离，也就是一到二之间，这是一个单位， x 到二的距离也就是零， x 到三的距离也就这一段，也是一个单位，那整个距离之和呢，也就是二，所以最小值即为二。 x 减三加 x 减四绝对值。首先两个界点三和四，那偶取中间段，所以 x 呢，介于三到四之间，所以当 x 大于等于三，小于等于四的时候，有最小值，那这里的最小值呢，也就等于一。 第二一个两个界点。要注意的是，第一项是 x 加三的绝对值，所以我们先可以给它变为 x 减负三的绝对值，那么第一个界点呢，应该是负三，这里百分之八十的同学容易出错。好，然后第二个界点是七，偶取中间段，所以 x 呢，就位于 负三到七之间，当且仅当 x 大于等于负三小于等于七的时候，那么这个式子呢，由最小值、最小值结为七到负三的距离，也就是十。 第三题，求这个式子的最小值汲取中间段，当 a 与一重合的时候，那么这个式子由最小值 a 到负五的距离，也就是一减负五等于六个单位， a 到四的距离也就是三个单位。是当 a 等于一的时候。那么正这个式子呢，由最小值最小值呢？等于。

对于绝对值和求最小值的问题呢，我们往往画一个图就可以搞定了啊，画一个数轴啊。那么在具体解决这个题之前呢？我们先来回顾一下绝对值的几何意义。那我们说啊， 呃，我现在有一个 a， 他的绝对值表示的是什么？表示的是数轴上啊，我表示 a 的这个点， 他到远点之间的距离，对吧？他其实是可以写成 a 减零的绝对值的，没问题吧？ 好，然后接下来你再来看。那么 a 减 b 的绝对值指的是什么呢？指的是竖折上表示 a 的这个点和表示 b 的这个点他俩之间的距离。他也可以写成 b 减 a 的 绝对值。如果去符号的话呢？那这里 b 是大于 a 的，所以他就是一减 a 对吧？好，这个我们说的是一个绝对值的几何意义。那现在你回到这个题里，你去看一下 这个题里他给的是 x 加五的绝对值，再加了一个 x 减二的绝对值。分别来看，以每个绝对值 x 加五的绝对值，我是不是可以给他写上 x 减负五的 绝对值。那么载入刚才我这所说的几何意义。他表示的是数轴上表示 x 的那个点到表示 副五的这个点的距离，没问题吧？然后再来看他，他表示的是竖轴上表示 x 的那个点到表示 二的这个点的距离。好，现在把它俩合在一起。再来理解一下，我现在要在竖轴上找一个点，使得他到负五的距离和到负二的距离之和最小这个点应该在哪里？ 那我们会发现现在的父母和二啊，把这个数轴呢，已经分成了几部分了？一部分，两部分，三部分，对不对？ 那么我现在就可以把这个点放在这三部分分别去看一看。比如说我把它放在第一部分，哎，我的 x 在这里， 那么他到负的距离是这一段，他到二的距离是这一段。好，我们先把这两个距离放在这啊。然后你再来看，如果我的 s 在第二段， 比如说他现在在这，那么他到负五的距离是这一段，他到二的距离是这一段，应该是这两段之和。你这个时候恰巧会发现，这两段之和他不就是负五到二的距离是一个几，是一个七吗？ 那么这一段距离和显然是要比刚才这两个距离和要小的对不对？他要小多少？他要小 x 到负五的这一段距离的二倍的， 能明白吗？好，那么同样的，你再来看我的 s， 如果跑到第三个区域的话，他到二的距离是这一段，他到父的距离是这一段。同样的，此时这两个距离和显然也要大于我刚才的这个。 所以在三种情况下，你会发现，只有当我的 x 在负五到二这一段区域的时候， 他到负五的距离和到二的距离之和才是最小的，最小就是负五到二之间的距离就是这一个七， 能明白吗？所以他的最小值就是一个七。那么我们在解决这种问题的时候，你就这样画一个竖轴，显而易见了。 ok， 这个方法教给大家。

在初一数学的绝对值的知识点中，有一类题型相对来说比较难，如果你之前没有做过的话，可能看到这样的题目你无从下手，根本都不知道如何来把这一题给做完。 这个题型是什么呢？就是多个绝对值相加，求他的最小值的问题。 那我们首先呢先把这两题看一下，然后就是这类题型呢，就这类题有两种题型给大家呢，我给大家做一个分享。就首先呢我们来看一下，就首先，第一，第一题， 当 x 取值为多少时， x 加一的绝对值加上 x 减二的绝对值，加 x 加三的绝对值的最小值等于多少？第二题，当 x 取值为多少时， x 加一的绝对值加 x 减 减二的绝对加 x 加三，加 x 减四的绝对值的最小值为多少？其实这类题目啊，他有固定的方法，你只要把方法给掌握了，那做这类题就没有太大的难度，那这个方法叫什么呢？我写一下叫积 终点 o 中段 中断好，当然了，我写出来之后，可能很多同学看到了还是没有办法理解，对吧？ 就这样，我把这个方法解题的三个步骤来写一下，第一个步骤就是标这个零点， 第二个步骤就是取终点，当然了也有可能是中断 好，然后呢就是数 距离好，就这么这三步，那个在这呢，我就详细的来通过这三个步骤把这两题给做一下，对吧？叫首先什么叫标零点，你看啊， 三个叫绝对是 x 加一， x 减二和 x 减三，他们都有绝对之为零的点，那加 x 加一，他的零点就是 x 等于负一的时候，这个绝对值等于零。 第二个 x 等于二的时候，这个绝对值得用零。第三个 x 等于负三的时候，这个绝对值得用零。然后呢？把这三个零点标在数轴上，你看啊，首先 x 等于负一，看到吗？ 好，然后呢？还有一个 x 等于二，看到吗？二，然后呢？还有一个 x 等于负三。 好，然后我们数一下这个题目它的零点有几个？那在我们这个题目当中，这个零点很明显有三个， 负三、负一和二有三个。三个我们知道他是基数，既然是基数的话，就要取终点，这三个我们按照从左往右的顺序，最中间的那个应该是负一，所以你看啊， 当 x 等于负一时，看啊，它的值最小，所以这个范围我们就知道了。 那值最小是几呢？你看，我们第一步就完成，第二步完成，对吧？第三步就数距离， 当 x 为负一的时候，你看它本身，第一个到负一肯定是零，第二个到二，你可以发现一、二、三，对吧？第三个到负三是二，所以你可以发现它的最小是，我们把它距离全部给加起来，发现它的最小是等于五。 好，这个我不知道你们是否可以理解，那我们只是把这类题目做了一类，对吧？就是把这样的题型做了一类，还有一类什么呢？我们来看第二题同样的道理， 对吧？第一个标中标零点，这个零点呢？ x 等于负一， x 等于二， x 等于负三， x 等于四，好，把它给标一下， x 等于负一看啊， 然后呢？ x 等于二看二， x 等于负三，看啊，好，然后呢？再呢？ x 等于四 看啊？四。然后你可以发现在数轴上它的点有几个？有四个，这个四是不是是偶数？ 那偶数呢？你可以发现，你就取中段就可以了。有的人说什么叫中段，你看这四个点，把整个竖轴分成了五段，第一段， 第二段看第三段，第四段和第五段。中段，你看五个段中取中间的，对吧？你看是不是在负一到二之间啊？ 而且一定要注意，是包含负一，也包含二，所以为什么叫断他不是一个值，他是一个区间，所以你看啊，在这种情况下，注意他是包含两头的，就大于等于负一， 一定要注意啊。好，然后呢？小于等于二，所以在这个范围内，他的最小值是多少？那假设我们就等于负一的时候，你看等于负一，你看 我们把距离算一下，负一到负三是两个，对吧？负一到二是三个，然后呢，再 负一到四是五个，那负一到负一嘛，他当然是零的，所以把这个一加，你可以发现他的最小值为十， 所以你可以发现原本是一个无从下手的题，而且这个题目相对来说，如果你没没有做过类似的题目，没有人给你讲过类似的题目，你根本是无从下手。但是当你知道一个方法叫击中点，藕中断的方式， 这个题目就迎刃而解。只要按照我这三个步骤，只要按照我这三个步骤，这个题目完全可以很轻松的把它给给做出来。 好，今天关于绝对值的一道相对来说比较难的题目，你学会了吗？

今天我们来看一道七上的月考试题，求 x 减一的绝对值加上 x 减二的绝对值，加上 x 减三的绝对值，一直加到 x 减二零一九的绝对值的最小值。那么这道题呢，属于一个呃， 咱填空的一个压轴题啊，就是难度比较大的，有关绝对值的，经常会在月考试题或者说咱的期中考试题当中出压轴题，大家来看一下这题该怎么去做呢？他来求这个式子的最小之一，他说，老师，咱们简化一下，这太长了对不对？那么我们来找一找规律啊，假如说你要求 x 减一 的绝对值加上 x 减二的绝对值，要求他的最小值会怎么样呢？我们来画一个竖轴，画一个简易的竖轴啊，减一，那就是 x 与一之间的距离，减二呢，就是 x 与二之间的距离，那么找一个竖 x， 让他到一到二的距离之和相 大于最小，对不对？那么 x 显然在如果在左边的话，到一到二的距离这个样子一点多吧，应该是至少是一点多，对不对？超过一到这边，右边的话，是不是也是一样的？只有 x 在一和二中之间的时候，比如说 x 在这里，那么到一到二的距离是不是恰好是一，其他都比一大， 对不对？所以说，那么这个的最小值相当于就让 x 在一和二之间，那么他的最小值就是一，对不对？同学们，那么如果咱再拓展一下， x 减一的绝对值加上 x 减二的绝对值，再加上 x 减三的绝对值，对吧？咱们列成三个来试试啊。那么一样的，我们还是画一个简易的数轴，标出一二三，那么按照咱们刚才的规律，这个时候你放左边放右边都不合适，数值都会大一些，对不对？ 那么可见放中间，放中间的话，你就说老师我放二，这行不行？或者说我放一和二之间，二和三之间有什么区别呢？来试一下，如果你放二这的话，他到一 到三的这个距离，还有到二的这个距离之和，你看这三个吗？对不对？那么刚好是几呢？是二，对不对？同学们，如果呢，你把它放到咱的这个一和二之间，咱来看一看啊，一和二之间， 那么到一的距离，到二的距离已经是个一了，对不对？再到三的距离是一点多，哎哎，这不就是二点多了，所以可见他只有在正中间的时候， 是不是在这个数值的这个正中间的时候，他是不是取最小值？所以此时呢？这个式子的最小值就是让 x 等于二取中间数值的时候，对吧？那么由我们刚刚所找的这两个式子的规律呢？我们会发现，你要想求这个式子的最小值，对吧？你就让 x 在他的中间位置就可以了。那么中 中间位置在哪呢？这是？在这是到一的距离，这是到二的，这是到三的一直这是到二零一九的，他们的中间位置怎么找呢？那就从一到二零一九找中间位置多少个数呢？从一到二零一九，二零一九个数，对不对？中间位置怎么找？怎么找呢？拿二零一九， 比如说直接除以二吗？你不行的，他是一个几数，对不对？哈？除不尽吗？你让他加一，然后再除以二啊，这不是二零二零吗？除以二之后是一零一零，那就是说你当 x 等于一零一零的时候，就让他在正中间的那个数的时候， 他的这个数值呢，就是最小的，对吧？按照我们刚刚所找的规律来看，那么所以呢，咱就另 x 等于这么多就行了啊。那么 x 等于这个数值，咱来看一下， x 现在是一零一零，减去一的话，是不是一零零九， 对吧？那这个柿子就会变成来看，一零零九，加上这是一零零八，加上这是一零零七，一直加到， 哎，后面这是多少呀？这个中间一零一零，如果说减一零一零的话，中间对不对？是不是会有一个零，那就加到一，加到零，然后后续又继续加一，一直加到多少呢？一零一零减去二零一九是不是负的？一零零九绝对是，之后还是正的，是吧？ 哎，那就到这了，所以呢，我们只需要计算这个式子的值是不是就可以了？那么大家来看一下，计算这个式子的值很简单，从一加到一零零九，然后两倍的关系是不就行了？那这不就是咱的高斯求和公式吗？从一加到一零零九，那就是首相加尾相 乘以项数一零零九，项除以二，对不对？高次求和公式，别忘了他是两倍的关系，那你再乘以二喽， 那么最终算出来这是一零一零，乘以一零零九，对吧？算出来之后是一零一九零九零， 这是最终的一个运算结果。这个题呢，解决问题的关键一定要找准这些绝对值求和最小值的一些规律才可以的啊。同学们，你明白了吗？关注思老师每天一个数学解题，新学。