如何判断极限是否存在

每天一节高数课，期末考试不挂科。大家好，今天我们来分享函数极限唯一性常见的几种考法。首先我们来看一下函数极限存在的一个条件，我们要去判断一个函数极限是否存在。第一步，先要去求他的左右极限，然后第二步， 如果左极限和右极限相等，而且他俩都等于一个不为无穷大的数，那这样的话，函数的极限是存在的。 呃，如果他的左极限或者右极限算出来等于无穷大了，那他的函数极限肯定是不存在的。 我们看第一个例题。呃，这个题的话我们上节课已经说过了，让他呃去求这个 x 分之一， x 去进零的时候，判断他的极限是否存在。那我们通过图像我们很容易看出来，当 x 区进于零，负荷 x 去进零正的时候，他的左右极限分别是复穷大和重穷大，所以他的函数 极限肯定是不存在的。我们今天主要来分享六个常见的这个极限的考法。好了，看第一个是 r 可摊开儿法，如果 x 区进无穷大了，那我们都知道 x 区进无穷大的话，他肯定分了一个 副穷大和正无穷大。呃，这个阿克贪泰而发的这个图像上节课我们已经说过了，从图像我们很容易发现，当 x 区进于副胸大的时候， x 区进于副胸大的时候，他的极限值是区间于负二分之派， x 趋近于正误熊大的时候，他的函数只是趋近于二分之派，那他俩的左右极限不相等，所以他的极限不存在。好了，再看第二个 edx 方，当 x 趋近于无熊大的时候，我们来看一下 edx 方的这个极限。 你想，当 x 如果去进无穷大的时候，呃， edx 方的话，去进重无穷大的时候，当 x 去进重无穷大的时候，呃，这个 edx 方要从图像上看的话， 他肯定也去进重无穷大。好了，那他的这个呃，只要有一个极限去进无穷大，他的极限就不存在，所以第二个也不存在。好了，再看第三个一等 x 分之一次方，呃，他当 x 趋近于零的时候，那我们来看一下 x 取景于零负和 x 区域领证这里的话，还是用一下这个 x 分之一，用一下 x 分之一，你看一下 x 分之一，他取景于零负的时候，呃，这个极限是服务熊大。好，那我们把这个 x 分之一直接换成服务熊大就可以了。 下来想，易得富无穷大次方，那相当于是易得无穷大次方分之一了，那他肯定是趋近于零的，那同理，他的呃，另一个极限是趋近于正无穷大，那他俩极限不相等。左右极限不相等啊，那这个极限也是不存在的。好了，再看第四个，呃，第四个的话， 他是 x 趋近于一，那同样 x 趋近于一的话，他就相当于取近于一正和一负了。那我们来想想，如果趋近于一正的话，那我们可以呃，假设他去进一点零零零零零一，然后我用它再去减一个一，呃，用一点零零零一减去一的话，他大概就零点零零零零零一， 然后分之一，那他的肯定是极限是取景于正无熊大的，那取景于正无熊大的话，只要有一个取景于正无正无熊大，呃，或者负无熊大啊，他的极限就不存在，所以第四个也是不存在的，呃，第五个考点的话，他会考你分段函数。 分段函数的话，假如我们随便举一个例子，那这是一个分段函数，我们来分别看一下，呃，当 x 取进于一的时候，取进于一的话呢，就取进一正和一负，取进一正的话呢，就是看上面这个，那他的极限算出来是一。取进于一，负的 的话是看下面这个，他算出来极限是负，以他两个不相等，所以也是不存在的。好了，还有最后一个，最后一个的话，就我们说的取证函数也叫高斯函数，他的表达是是 y 等于 x 中括号， 呃，这个代表的意思就是不超过十数 x 的最大整数。我们举个例子，你比如说，呃，一点一，一点一的话，给他去取整的话，那他肯定就是一了，那负的零点一，负的零点一取整就肯定是负一，那这样的话，我们来举个例子。 呃，我如果给这个函数去 x 取近于零的时候去求这个极限，那取近于零的话，又分了零正和零负，那分了零正的话，我假设，呃离他最近的是零点一，或者零点零零零零，以，这都无所谓，那他 取出来极限肯定是零了。那你想，如果区区零负的话，那我假设是负的零点零零零零零一，呃，那他的答案是负一，所以他两个也是不相等的，所以这个极限也是不存在的。好了，今天我们就分享到这里。

下面我们来看一下如何判断函数在某点处极限是否存在的。这里先来看一下左右极限这三个极限，极限，左极限，右极限，他们的速写符号是这样写的，其中 x 零是一个常数，比如说五零啊，负一负一点五都是可以的。 尤其要注意，左极限是 x 区域， x 零负，右极限是 x 区域， x 零正。那如何来记住左对应的是负，右对应的是正呢？我们可以画一个 x 轴，在 x 轴上，我取零，零的左侧是负数，零的右侧是正数， 我把它写一下，左侧是负数，右侧是正数，所以说左对应负，右对应正。另外我们再来看一下这三个极限所对应的极限 符号如何来理解。同样我也是画一个 x 轴， x 去 x 零，我 x 零，我取一个五， x 去于五，意味着从五的左右两侧靠近它。再来看一下 x 区于 x 零负， 同样 x 零，我去五， x 去于五，负，负对应的是左，所以说 x 趋于五负，我可以看成是从五的左侧看清他，那右边我们就不用来考虑了。 x 去于 x 零，正， 同样 x 零，我也取五，那 x 区于五正，正就是右，就是从五的右侧靠近他。

同学们，上期视频我们温习了极限存在的冲要条件是左右极限存在并相等这个知识点，并举了 x 区域无穷时易的 x 次方极限不存在的例子。这期视频我们继续来看其余四种极限不存在的情况。还记得上期视频末尾留下的例题吗？ 有些同学可能认为这道题的答案为一，实际答案是不存在。我们先把 x 方提出这一步，如果不能确定 x 的正负，请务必记住位 x 加上绝对值。 由于 x 区域无穷根号部分的计算结果为一，我们将式子进一步化减为 x 分之 x 的绝对值。由于 x 区域正无穷， x 分之 x 绝对值的结果为一， x 区域负无穷， x 分之 x 绝对值的结果为负一，所以这个式子的极限不存在。第三种情形是 x 趋于无穷时的呀，可贪整 不存在的原因和上面两种情况相同。此外需要注意一下， x 去于零二，可贪整的 x 分之一的极限也不存在。第四种情形是取整函数中括号就是取整的意思。由于取整函数是向下取整， 所以 x 为整数时，函数间断，间断处的左右极限是不相等的。由第四种情形我们可以推导到，一般的分段函数， 如果分段函数在某一点， x 等于 a 是间断的，那么该函数在该点的极限值不存在。怎么样，都记住了吗？记住了就点个赞吧，下期见，拜拜！

下面我们来看一下如何判断函数在某点处极限是否存在。这里先来看一个定理，在这个定理中， a 表示一个长数，比如三负一，零一点五都是可以的。函数在某一点处的极限存在，就等价于函数 在这一点处的左右极限均存在且相等。换句话说，我们在做题的时候，可以先把左右极限算出来，如果他们一样的，就说明函数在这一点处的极限存在，如果他们不一样，说明函数在这一点处的极限不存在。 或者有的时候，我们可以算出来左右极限中的一方有无穷大的，也说明函数在这一点处的极限不存在。为什么无穷大？他是一个概念，不是一个数。具体我们来看一下例题，告诉你一个分段函数，让你判断一下这个函数在分段点 处，就是 x 等于零处的极限是否存在。那首先我们也可以求出左右极限，然后再来判断他们。第一步， x 大于零，说明 x 在零的右侧，那就是右极限。 当 x 大于零的时候，他的函数表达是是三， x 加一 就可以往里面带条件往里带的时候，只要满足分母不为零，就能够往里面带零，往里带三，零就是等于零，零加一等于一。 第二步， x 小于零的时候，说明 x 在零的左侧，左侧左极限。当 x 小于零的 时候，对应的函数表达是就是二， x 加一，同样条件往里面带，只要分布为零，就能够往里面带。二乘以零，也就是零，零加一等于一， 可以发现括号一，括号二，左右极限都是存在，并且都为一，都是一样的，所以说明函数在这一点处的极限是存在的， 并且我们也可以看出来，函数在 x 等于零处的极限，它就是等于一。

分母这两项，二次的分子，这一项是三次的，分子的次数比分母高，那就属于后面这种情况，可以分解成无穷小量，诚意有限量。然后呢，我拿这个给你演示，提出因子，就说你要从分子上提一个，随便提啥都行，只要剩下的部分上下次数相同，那你看 我分母上是二次的，你提个 x， 提个 y， 是不是都可以？上下都是二次的？提出来的这一部分是取决于零的，然后剩的这一块它是有界的，这叫正出来的。你比如说啊，我再给你写个类似的，你看你会不会说，我说 x 区域零 y 区域零 x 平方 加 y 的平方分之 x 立方，道理很简单是不？上面提一个 x 出来就可以了，这个是去均匀的，前面是有借的，完事。那另一种情况呢？如果分子的次数小于或等于分母，一般多数情况 都是等于，比如说 x 虚零， y 虚零， x 方加 y 方分之 x y 这种情况呢？极限一般就是不存在的，极限不存在，那么就直接取测速路径五百的 k x， 说明它极限不存在 就可以了。前面为啥是有界流？ x 方加外方，分之外方为啥是有界的？因为他的绝对值小，等于一。就这么简单，我们拿到题看看， x 的绝对值加 y 的绝对值，分之 x 方加外方， 这个极限找次数啊，上面是二次的，下面是一次的。极限当然是存在的，要把它分解成无虫，小量乘以有电量，分解不了音式，你别那么老是不用分解音式， 你不知道拆开吗？这样写总可以吧。这样一写过来，这一部分叫 x x 没问题吧？我不用平方叉公式。这个是有借的吧，后面的是无穷小啊。后面这个 不一样的吗？我提个外出去不就完了吗？前面这部分是有借的，后面这部分是无从小完事。所以说极限等于零。 我们再看一个吧，你看看这个极限存不存在，这个绝对值是不是小于等于一的？你加了绝对值之后，你发现 我的分母是不是大于等于分子的，那这个决定是不是就小于等于一，这是有界的。第二个就是不存在的分母，两个四次方开根， 四次方开根变成两次，而分子也是两次的，上下都两次，那次数一样，极限不存在。怎么证明呢？方法很简单。另外，等 等于 k x 往里来， x， y 除以根号下 x 四次方，加 y 的四次方，上面是 x 乘以 k x， 下面根号下 x 四次方，加上 k x 的四次方，上面是 k， x 方，下面是一 加上 k 的四次方，乘以 x 的四次方开根。答案是根号下一加上 k 的四次方，分之 k， x 方分之 x 方。好，这个约掉结果是不跟 k 有关，算出来这个极限跟 k 有关，说明原先这个极限是不存在的，这就完事了。但是呢， 中间啊，有一个小问题，我这里还要补充一点，我们前面还有句话， f x y 在零零点的某去腥领域内，它等是有定义的。这句话什么意思呢？我们写个处， ro f x by 在零零点的去腥领域内有 无定义的点，则这个极限你不用判断，直接是不存在的。什么意思呢？我们来看这个极限，英米特 x 确定零， y 确定零， x 方加 y 方除以 x 加 y， 分子是一次的，分母是二次的，上面次数比下面高，所以 线等于零这个就是错的，因为这个函数你压根不用判断，因为你发现当 y 等于负 x 的时候是无定义的，而 y 等于负 x， 是不是这条线你随便取一个取零零点的都有它无定义的点， 为什么分布上加两个绝对值，极限就存在了？加了绝对值之后，这个函数是不只在零零点无定义，其他点他都是有定义的。但是呢，这个函数不满足，不用判断极限，直接告诉我不存在就行，听清楚了没有？