实数包含0吗

零是十数吗？为什么？同学们好，我是罗老师，欢迎来到罗老师数学课堂。零是十数，因为十数是有理数和无理数的统称，十数包括零。 接下来咱们讲解下这道题，为什么零是十数呢？咱们知道十数它的分类呢？包括呢？有理数，无理数，而有理数它包括正有理数零负有理数。咱们可以发现，有理数包括零，也就 说明零是有理数，而实数又包括了有理数，所以实数包括零，也就说明零是实数，能理解吗？好，最后来总结下这道 题，掌握时数有理数无理数的关系是解决本题的关键，能听懂吧。好了，今天就到这，感谢大家，咱们下期再见。

哈喽，大家好，我是任云。这期呢，我们来讲一讲啊，有关于实数的一个基本的概念啊。上期呢，我们通过小数点啊引出了实数这个东西。 其中呢有讲到实数呢，包括了有理数和无理数啊，有理数呢，又包包括了啊整数和分数啊等等这样一些东西啊。其中呢我们也讲了简单的讲一下啊，数组的一个概念， 因为呢，竖轴呢，与实数实数呢啊是一一对应的啊。这一期呢，我们就具体来讲讲实实数的一个基本概念的一个问题 啊。首先呢，我们接第一个要讲的那种就是竖轴啊。上期呢我们就简单讲竖轴。这期呢，我们就啊仔细的为大家讲讲啊，什么是竖轴呢？就是规定了圆点、正方向单位长度的直线啊， 称为数轴啊。在这这一点呢，我们一定要记清楚，他有三个基本的要素啊，就是规定的远点啊，正方向啊，当然是长度啊 啊，只有这个啊三个要素呢啊，才能啊确定这是一个数轴啊。啊。远点是什么东西呢？就是啊，就代表啊远点的地方就是零啊。因为啊，零的零通过零的分割呢，把 一边呢分为正方向啊，另一半呢，就是分为副方向啊。通过这个数字我们看到啊，零呢啊，因为既然规定了那个正方向为右向右为正方向啊。那么 啊零的右边呢，就是啊，正数就是一二三四五六七八等等这样一些一些数啊。然后那个零的左边呢，就是啊，负一负二负三就是负数这样一个东西。 通过这个数轴呢，我就会发现啊，啊这个啊，如果我们在这个数轴上任取两点啊，啊， 那么啊位于啊位于这个竖珠右边的竖呢，肯定要大于啊竖竖珠啊，左边的竖啊，就比如我们在啊二这个地方取个点，然后再啊在一这方这个地方取个点，那么二的话是肯定大于一的，这是一个竖珠的最基本的一个啊， 他基本的一个概念啊，这呢就是宿州的一个宿州啊，这这就是宿州的一个问题 啊。然后呢，我们讲一个啊，实数的另外一个就是绝对值啊。什么是绝对值呢？啊，就是如果没有从这个数中上来看的话啊，一个数的绝对值呢，就表示表示啊数 与这个数对应的点到远点的距离啊，这就是绝对值啊。这个该怎么理解呢？就是说啊， 假如呢，我们在这个地方取个点，那么那么这个点到零的距离呢，啊，就代表着这个数的一个绝对值啊。如果呢，我们在这边取个点啊，这个点呢到零的一个距离呢，就代表这个数的一个绝对值。 那当然了，如果我们啊用实数啊字母 a 来表示的话，那实数 a 的一个绝对值呢，就可以表示为 a 啊，两边画了一个两个竖杠啊，就代表着 a 的一个绝对值，那么他的一个啊 今同时呢就开标说 a 的绝值，绝对值呢啊，分为三种情况啊，一种就是 a 大于零的时候，那么那么 a 的 a 的一个绝对值呢，就等于 a， 然后如果是 a 等于零的话， a 的绝对 就等于零，如果是 a 小于零的话，那么 a 的一个绝对值呢，就等于负 a。 嘿，通过这呢我们就会啊，就会发现啊，如果 如果是这个这个这个数啊为零的话，那么他他就只能啊零的绝对质量就只能为零。如果这个数数的绝对是一个正数的话，那么他他的绝对质量就属于他的本身啊。如果是这个啊，这个 他这个数呢为负值哎，那么那么他的一个绝对值了啊，就是为啊，就是为负为。也就是说 就是说啊，就是他到他的一个距离啊。假如说就是啊负三这个点的话，负三的就对此呢，就就等于三啊。因为呢，负啊，负三呢，到啊到零的距离呢，也为三。这个呢，我们在书桌上的基本 一个性质上，我们就可以找到这个这样一个东西啊，所以说这个绝对这个这个东西呢啊，就是在数数上，其实是啊非常明了的进行表现的啊。这这个概念呢，大家大家呢一定要掌握清楚。 然后还有一个概念，就是相反数啊。什么是相反数呢？就是绝对值相同而符号相反的两个数啊，互称为相反数啊。 啊，假如呢，我们用 a 和 b 啊假如呢来表示，若 a 和 b 互为相反数啊，则可表表示为呢 a 加 b 呢，啊等于零。 这个呢，其实也比较好理解啊，就比如说啊一和负一啊，他就是两个啊，相反数啊。啊，是因为呢，是因为呢啊一呢和 和负一呢，他们呢绝对直达相等啊，都等于都等于一。然后呢，他们的负号不同，一个是负号，一个正号啊，这他们的两个呢，就会相反数啊。比如说二和负二啊，他也是一，他也是一对相反数啊 啊，这个概念呢，大家都一定要在啊绝对值相同的这个基础上啊，进行啊，进行表达啊，就是就是说啊，如果是两个人两个数呢，互为相反数，那么他这两个数呢，到零的距离呢，肯定是相等的啊， 那只是因为他呢，他的符号不等啊，所以呢，他啊就是一个相反说的一个问题。然后 另外的一个就是导数的问题啊。什么叫导数呢？就是说啊，一除以某个数某个数啊，所得的商啊，称为这个数的导数啊，因为呢啊，零不能做除数，所以 说这个数呢，一定不为零。所以说呢啊，零呢，是没有导数的。那么 a 的导数呢啊，如果是稍微字幕 a 的话，那 a 的导数呢，就为 a 分之一啊， a 呢不等于零啊， 同时呢， a 乘以他的导数呢，等于一，这呢就是一个导数的概念啊，同时呢，因为 这三个问啊，这这三个绝对值相反数倒数了啊，看似比较简单啊，但他在实际应用应用上的啊，还是挺广的啊。我们我们不仅呢要熟练掌握啊，这个什么是相反数，什么是倒数，什么是绝对值啊，同时在应用的时候的话，他的 看的话，因为我们设的这个数字可能是 a 和 b， 但是这个这个 a 和 b 呢，不仅仅代表某一个数字啊，也可能是啊，某一个 啊数某一个数字。比如说五减一，因为五减一呢，等于四。那么那么这 第一呢，不仅仅可以代表为啊，代表为四啊，一二三四等等这个东西啊，也可以代表为啊，五减一了，五减五减六了等等这些像它也是一个赤字啊。这具体的一个扩展的话啊，我们大家有兴趣的话啊，进行 理解，掌握一下啊，这个具体的内容呢啊，也比较多。今在今天呢，就不不多细讲啊，到在今后的章节呢，我们再为大家啊，就是进行立体举例的时候呢，啊，为大家 一一说明一下啊。今天最主要的就是大家一定要记清楚啊，这些啊，数数轴，绝对值，相反数啊，倒数啊这些基本的概念，并要先啊搞清楚啊， 慢慢的掌握啊。好了，那么今天的内容呢，我们就讲到这里啊，如果你有那个以上内容呢，主要来自于课本和互联网，如果你有好的观点和建议呢，欢迎欢迎呢，大家也在评论区留言啊，我是烟云，谢谢大家的观看啊，我们下期再见。

同学们大家好，欢迎大家来到小孙数学本节课我们学习的内容是实数。在小 学阶段，我们学习了整数、分数、小数这样一些正数。进入初一，我们引入了复数，引入复数之后，我们把数的范围就扩大到了有理数。 有理数包括整数和分数。我记得当时有的同学问小孙老师， 小数是有理数吗？这个问题啊，问的非常好。有限小数和无限循环小数是可以和分数互化的，比如十分之九等于零 零点九，二分之三等于一点五，三分之一等于零点三，三循环， 九分之五等于零点五，五循环。所以呀，像有限小数和无限循环小数，他们实际上呢，就是分数， 那么整数呢？他实际上呢，可以看成是小数点后面为零的有限小数， 如五等于五点零，负十等于负十点零。所以有理数它是可以写成有限小数或无限循环小数的形式的。反过来，任何有限小数或 无限循环小数都是有理数。好了，那么问题来了，小数中还有一类数是什么数呢？如根号二，根号三、 三四，根号五等等。很多数的平方根或者是立方根，还有派这些数啊，也是小数，但他们是无限不循环小数。 这些无限不循环小数是不能转化为分数的，当然就不是有理数了，我们给他们起一个新的名字，叫做无理数。 所以无理数就是无限不循环小数。我们知道有理数啊， 是有证有理数和负有理数的，那么无理数呢？对无理数也有正负之分，如根号二，根号三，派啊等等，这些数就是正无理数， 在他们前面加上负号就是负无理数。那有了无理数啊，这数的范围啊，就被又一次扩充了。我们将有理数和无理数统称为十数， 这就是实数的定义。所以按照定义，我们可以将实数分为有理数和无理数。那么有理数我们还可以继续往下分，可以分 分为正有理数、零和负有理数，也就是有限小数或无限循环小数。 无理数呢，还可以继续分分为正无理数和负无理数，也就是无限不循环小数。 好，这是实数的第一种分类。既然有理数和无理数都有正负之分，所以呀，实数 也有正负之分。因此呢，时数的第二种分类方法就是按照大小来分类。时数可以分为正时数零和负时数。这个零啊，因为它既不是正的，也不是负的，所以单独给 给他拿出来，还可以再继续往下分。这个证实数他可以分为正有理数和正无理数 零单独拿出来副食数可以分为负有理数和负无理数。 好，这是实数的第二种分类方法。按照大小来分类。以上的实数的两种分类方法呀，大家要掌握。我们知道，每个有理数啊，都可以用数轴上的点来表示， 那么无理数是否也可以用竖轴上的点来表示出来呢？下面我们一起来探究。直径为一个单位长度的圆，从圆点沿竖轴向右滚 容一周，圆上的一点，由圆点到达点欧撇点。欧撇对应的数是多少？我们看这是一个直径为一个单位长度的圆， 现在他开始沿竖轴向右滚动一周，我们发现圆滚动一周，实际上就是走了圆的周长这么长，对不对？ 圆的周长等于直径成派，那直径为一了，圆的周长呢？就为派，所以呀，点欧撇这个点对应的数就是五里数派，这说明啊，五里数派是可以用竖轴上的点来 表示的，那么其他的无理数呢？比如根号二，怎么用竖着上的点来表示呢？我这里啊，有一个面积为二的正方形， 大家知道它的边长等于多少吗？对，等于根号二。这个面积为二的正方形，我可以拆分为两个面积唯一的小正方形， 也就是边长唯一的小正方形。大家看一下，这是第一个小正方形，这是 第二个小正方形，他们的边长都是一，那么根号 二这条边实际上就是小正方形的对角线的长。所以啊，我们要想画出根号二的长度，可以先画一个边长唯一的小正方形， 那么他的对角线的长就是根号二了。好，现在呢，我在竖轴上画一个边长为一的小正方形，那么这条对角线的长就是根号二。之后再用圆规 在竖轴上截取对角线的长，也就是根号二。这么长，画弧好，弧线与竖轴的这个焦点 表示的数就是根号二了，大家看表示根号二这个点就找到了。那么复根号二在哪里呢？弧线与数轴的副版轴的焦点啊，这一点就表 是负根号二了。好，那实际上啊，任何一个无理数，我们都可以用数轴上的一个点表示出来， 因此，当数的范围由有理数扩充到十数之后呢，十数与数轴上的点就建立了一一对应的关系， 也就是说，每一个时数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来呢，数轴上的每一个点都比 表示一个实数好了。那以上呢，就是本节课的全部内容，下面我们回顾一下本节课都学习了什么。首先我们学习了什么是无理数， 有了无理数之后，有理数的范围就扩充到了十数，然后学习了十数的定义以及十数的两种分类方法。最后 我们通过尺规作图，在竖轴上找到了五里数派和根号二这个点，知道了十竖与竖轴上的点是一一对应的。 好了，那本节微课呢？到这里就全部结束了，下节课我们做一些习题，巩固一下所学的知识。同学们，我们下节课见。

好，同学们好，我们今天呢，来整理一下时速的思维结构导图。时速分为什么呢？分为有理数 和无理数，这是我们初中要学的。那有理数又分为什么呢？有理数分为整数 和分数，整数又分为什么呢？正整数零和负整数。 正整数和零又统称什么？这两个又叫做自然数， 正整数和凝胶自然数。 好分数呢？分数里面有正分数和负分数，我们举几。举几个例子啊，分数的例子，负了七分之二十二， 百分之二十八，一点五，这些都叫做分数啊。无理数是什么呢？无限不循环小数， 无限不循环小数。我们举几个例子，根号二三分之，根号三拍零点一，零一， 这一些是无限不循环的小说。负责 整数有哪一些呢？负二，负一啊，这些负整数，自然数啊，自然数就是零一二三这些等等啊，大家把这个思维结构导图要记住啊，自己分析一下。

每天半小时轻松学数学，这节课咱们来学习实数，先看本节课的学目标，第一个了解实数是什么样的意义，第二会把实数进行分类， 然后呢，掌握实数大小的比较方法，了解实数和数的点是一一对应，并且呢会用数状点来表示五里数。好，这是咱们本节课的学员标， 那咱们来看一看，咱们知道七年级上一学期的时候学过了有理数，包括整数和分数，这是有理数的定义， 那么借助计算机呢，咱们可以把这些分数写成小数的形式。好通过用计算器咱们分别可以算出来，二分之五等于是二点五，负到五分之三是负到零点六，四分之二七是等于六点七五把，这些呢，都可以借助计算机算出来。那这些 小数有什么样的特征呢？这些小数是有限小数或者是无限的无限循环小数。好，那咱们可以发现这些分数都可以转化为有限小数，或者是无限循环小数的形式。那像这种 整数能不能够写成小数呢？对，整数呢，也可以转化为小数，所以咱们可以得到，咱们学的有理数都可以转化为有限小数，或者转化为无限循环小数， 这是咱们学的整数与分数。你看刚才呢，分数可以转化为有限小数或无限循环小数，而整数呢，也可以转化为有 限小数。那所以根据有理数的概念，有理数包含整数和分数，所以有理数都可以转化为有理数或无限循环小数。那反过来，任何的有限小数或者是无限循环小数呢，也都是有理数。 那么咱们来再看看，是不是所有的数都可以写成有限小数，还有无限循环小数呢？好，那咱们来看咱们呢，最常见的根号二， 根号二呢，是一点四一四二一三五六二三七哦，这是不循环的，而且是无限，他是一个无限不循环小数。再比如也是一个无限不循环小数以及派，那这些 无限不循环小数叫做啥呢？那无限不循环的小数，咱们把它称为是五里数， 如果是有限小数，或者是无限循环小数，咱们称它是有理数。如果是无限不循环的小数，那咱们称它是无理数啊。那咱们来看一看，关于二分之派，它也是一个无限不循环的，那 含有派的数都是无限不循环的，所以它是无理数。开不进方的数， 那开方开不进的话，那他也是一个无限不循环，也是一个无理数，而有规律但不循环。一点零一零零一零零零一，虽然两个一之间加的零数，一个零俩零三零 四个零有规律，但是呢，他还是一个不循环。咱们判断的标准就是看他循环不循环，那像这种虽然有规律，但是他仍然属于无限不循环的小数，他也是五里数。那常见的五里数这三种类型，咱们再来记一记， 含有拍的一类数是五里数，开方开不尽的数开不上，结果是一个五里数，开方的话，开平方呀，开立方呀等等等等。有规律但是仍然不循环的小数，也是属于五里数啊，你记住了吗？这些五里数，那咱们来看一看，关于这几个数， 哪些是有理数呢？你看七分之二十二，它是有理数，根号三是无理数，负根号四是负二。有理数零点一零一，那 是一个有限小数，所以有理数含有派，含有派呢，是无理数，根号六十四，根号六十四，他能开出来不？能啊，他八八六十能开出来，并不是说含有根号，他就是无理数了，咱们要看他含根号之后能不能开出来，他能开出来， 那它就是一个有理数，这个要注意。那五分之根和二根和二呢，是一个无限不循环小数，所以五分之根二也是一个无限不循环。无理数 二点一二一一一一一，这是一个无限循环小数。有理数啊，最后一个零点三七三七七三七七七三七七七七，他无限不循环，那他就是一个无理数。 好，那么咱们来看一看，把实数分为有理数和 无理数。那咱们讲有理数呢，包含整数和分数，这是有理数的概念，而实数的概念呢，是有理数和无理数统称为实数。咱们把有理数和无理数放在一块，统称为实数。 有理数呢，是整数和分数。整数和分数呢，都可以转化为有限小数，或者转化为无限循环小数。那些无限不循环的小数就是无理数，无限不循环的。有这常见的有这几类，化减后含有 pad 开方开不进方的，然后有规律，但是仍然是属于无限不循环的，这是按照他的定义来分，分为有理和无理。那如果按照性质 括号来分呢？那分为正时数、负时数还有零， 那零呢？既不是正的，也不是负的。所以咱们把实数分为正实数、负实数和零。其中正实数包括正有理数和正无理数。那负实数呢？包括 负有理数和负无理数。好，这是咱们讲的实数的两种分类方法，第一种按定义来分，第二种按符号来分。好，那咱们把这些数填到相应的括号里边。无理数 啊，那无理数，常见的无理数在这里边都是无限不循环的小数。有理数呢？那除了无理数，其余的你想四分之一啊？负的根号 十六负三次杠二八是等于负二，它可以开出来刚好九十九分之四，也可以开出来零，刚好二十五，那这些都是属于有理数、正式数。那正式数的话，你看一看，它前面只要没有负号的，像三四杠二九，四分之一，杠二七 pa 刚好九分之四，刚好二十五，零点五二五二二五二二二五等等等。这个省略号他表示的无限不循环的这一个也要给他写上负失数。那除了零之外，除了正失数之外，其他的还有负号的，是不是就是负失数了？ 好，这是咱们对它进行一个分类，这个咱们一定要熟练好。再看这些成员是哪些 家庭的成员呢？是属于正数家庭还是属于负数家庭呢？三次根号二，他是一个正数，四分之一是一个正数，根号七，正数派正数 负的二分之五，负的二分之负数根号二，正数根号三分之二是正的，负根号五负的，然后负的三根号八是负二，也是一个负的，然后根号九分之四是正的零。 零既不是正数，又不是负数，那零咱们就不写零点三七七，这个还是正的好。零呢，记住，它是非正非负，它不属于正数，也不属于负数。 第二个大问题，咱们来看一看实数和数长点有什么样的关系？如图，直径是第一个单位长度的圆，从圆点开始向 右滚动一周，圆上的一点呢？从圆点到达点 a， 那么这个点 a 表示的数是多少呢？圆的周长，周长等于二派尔或者是拍地， 那直径是一，那拍乘以 d 就等于 pa， 所以它滚动了 pa， 那所以点 a 代表的就是 pa。 也就是说这个数轴上面的数，除了可以表示有理数之外，还可以表示 pa， 可以表示这个无理数。那么能不能表示其他的无理数呢？ 比如说在数字上能不能表示出来根号二和负根号二呢？好，那咱们来看一看，这是边长唯一的两个小正方形，那咱们把它沿对角线剪开之后，再重新拼叠，是不是变成了一个大的正方形？ 大正方形的面积是等于二，那所以边长是根号二，这个边长是根号，也就是原来的小正方形的对角线的长就是根号二。 那这样的话，就给咱们画根号二提供了一种思路，咱们能不能够先画一个小正方形，然后再画对角线，这样的话， 单位长度是一的正方形，那它的对角线就是根号二。所以咱们可以先画一个 边长是一的小正方形，那他的对角线的长就是根号二。咱们可以一点零为圆心，以根号二的长为半径，可以画一个圆弧， 那在这里边焦点他就是根和二。如果呢，咱们再往左画，那这个焦点就是负根和二，也就是说竖折上点呢，可以表 表示无理数。那咱们来想一想，数值上点既可以表示有理数，又可以表示无理数，那数值上点是不是都可以表示实数呀？ 对，事实上每一个实数都可以与数轴上的点来表示，数轴上的点与实数是一一对应。啥叫一一对应呢？就是一个实数对应了数轴上一个点，而一个点呢，对应了一个实数， 这叫做一一对应，是实数与数数上点是一一对应。那如果他说一句话，有理数和数数上点是一一对应，这句话对不对呢？那这一句话就是错的，应该是实数和数上点一一对应 好。如图，竖端的点 a 点 b 表示的分别是负一和杠二三。点 b 关于点 a 的对称点，点 b 关于点 a 的对称点是点 c 啊。假如说 c 在这求点 c 边的时数，那对称点的话， ac 的距离和 ab 的距离应该是相等的， a、 b 之间的距离是等于根号三减负一是根号三加一，那所以 ac 之间的距离也是根号三加一，那所以 c 是负一减去根号三加一，那就等于负二减去根号三。 好，这是一句话。第二，咱们还可以利用终点公式，终点公式是 c 加 b 除以二，就等于这个终点 是负一，就等于二分之 c 加根号三，那这样的话，负二等于 c 加根号三，所以 c 表示的数等于负二减去根号三。这种方法也可以算出来 c 表示的实数好，两种方法 好，这是刚才的第一种方法。利用距离相等 a、 b 的距离等于 a， c 的距离 好，那么咱们来接着看一看。如图所示，点 a 点 b 表示的是根号二和五点一，那么 a、 b 之间的整数点共有几个呢？ a b 之间刚好二十，约等于一点四一四，那二三四五啊，有 四个啊，那咱们呢，要记住这些常见的五里数，他们的大致范围，比如说根号二是约等于一点四一四，根号三约等于一点七三二，根号五约等于二点二三六，等等等等。 好，实数比大小，那咱们知道有理数可以进行比大小，而实数呢，也可以比大小在数轴上，数轴上数呢，可以表示实数，那 竖轴左边的竖要小于竖轴右边的竖，因为这个箭头正向的箭头是不朝右啊，所以越往右越 大。负实数小于原点小于正实数。好，这是实数比大。那两 两个正式数也是可以比大小的，正数比大小的话，就看谁的绝对之大他就大，负数比大小，那绝对之大的那个负数反而要小啊。不用计算器，不用计算器咱们咋表示呢？不用计算器，咱们来看一看， 不用计算器的话，根号五，他的平方等于多少呀？他的平方就等于五而二的平方呢，他是等于四，那很明显，根号五的平方大于二的平方，那所以根号五大于二 而三的平方等于九。根号五的平方小于三的平方，那所以根号五小于三。咱们可以用平方法来进行比较，该数值 表示下列个点，并且呢比较他们的大小，用小一号连接好，那咱们来看一看，在数数上表示下列个点，一一，在这秒点负根号，根号约等于一点四一四约等于一点四一四，然后负二 根号五，根号五约等于是二点二三六，然后是根号三，根号三的约等于是一点七三二。哦，负的根号三是负的一点七三二，负根号三， 负的一点七三，那这样的话，他们的大小关系是，负二小于负，根号三小于一，小于根号小于根号五，那左边的数小于右边的数， 那咱们来估算，根号五减一，根号五是二点多，二点多减一就变成了一 一点多，所以呢，它是一到二之间。好常见的根号二呀，根号三呀，根号五呀。咱们再来复习一遍，根号二要等于一点四一四，根号三要等于一点七三二，根号五要等于二点二三六。 好。比较下列各组数的大小，那咱们来看比较他减一与十三，那咱们实际上比较根号十二和四，谁大谁小不就行了吗？根号十二的平方是十二，四的平方是十六，他小于四，那既然根号十二小于四，他再减一的话，就小于三， 那所以这一个是小于，好。第二个负根号十和负三，那咱们先比较根号十和三，根号十是大于三的，那所以负的根号十是小于负三的。两个负数比大小， 绝对这大的反而小好看。本节课的练习，第一个下列说法正确的是， a 一定是正式数 a， 那可以表示任意数，可以表示负时数。 b 选项十二分之十七分之二十二，那这个分数呢？是有理数， b 选项正确。 c。 二倍杠，二倍杠二是一个无理数 好。 d 选项数轴上任意一点都定一个数轴上任意一点对应的是实数，它可能是有理数，也可能是无理数。 好，有一个数值转换器，输入 x 等于八十一，好，输入八十一，取算数平方根，那等于九，如果是无理数的话，就输出九。如果是有理数的话，就循环到这，继续取算数平方根，那咱们知道这个九它是有理数， 九是有理数，所以咱们继续输入到这，取算数平方根。变成九的算数平方根等于多少？等于三，三的话还是有理数，那再取算数平方根 就等于根号三，根号三，这时候它是一个无理数，所以咱们输出输出的就是根号三啊。这是这样的一个题目， 那咱们来看一看，判断对错。第一个是不是有理数就是无理数，那对的。第二个无理数都是无限不循环小数，无限不循环小，那对的 带根号的，那带根号咱们要看他能不能开出来，那开出来的话呢？他就是有理数，开不出来的时候是无理数。 第四个五里数都是无限小，对五里数呢，都是无限不循环的，他自然而然也是无限小数。五里数一定都带平，那这个不一定，比如说五里数 pa， 他就不带正好 好把下列个数填入相应的括号内，那这一个呢？给你留一分钟时间，你把这一个填一填 负的根号九的绝对值，这是等于三，它是一个有理数，而且是一个整数，还是实数三倍根号五， 三倍刚好是无理数，刚好六十四是有理数派无理数零点六六六有理数负四分之三有理数，三次刚好负九，三次刚好负九，开不出来，他是一个 无理数，三，有理数零点一三有理数。那咱们先把有理数和无理数给他区分在这里边，咱们抄的时候这是负的， 然后整数和分数。整数和分数也很好判断。整数和分数从哪里边找呀？从有理数里边找，因为有理数包含整数和分数。那你看一看有理数里边的整数，负的根号九的绝对值是整数，根号六十四是整数，三是整数。 那其他的呢？那几个是分数。哦，负数，负数的话呢，咱们找一找含有负号的，然后实数。 那所有的数是不是都是实数呀？你把它再照抄一遍就行了。 好，比较他俩的大小，比较他俩大小。看平 平方，根号三十七的平方还是三十七六的平方三十六，三十七大于三十六。那所以根号三十七大约六啊，这是比较他俩的大小。那这一节课呢，咱们主要讲了五里数的概念， 实数的概念以及分类，以及实数在数字上表示方法。还有实数比大小。那咱们这节课上到这里，下一节课再见。

这个来学习实数的概念，实数包含两类，一个叫有理数，一个叫无理数，这两者统称为实数。有理数呢，是我们之前学习的无理数，刚学过去， 这两者合在一块就是实数。所以通过这个定义呢，我们就可以直接把实数分成这么两大类啊，一个是有理数，一个是无理数。 之前我们把数呢就认识到了范围是到呃尤里数，现在呢，又多加了一个五里数。所以说呢，数的范围就会扩充到实数范围。 当然后面我们的高中学位虚数之后呢啊，还会进一步的向外再扩。好了。实数分为有理数 和无理数。那有理数呢？之前学习的回顾一下啊，他可以分为整数和分数啊，整数和分数统称为有理数吗？ 他和实数的概念差不多，他俩统称为实数，整数和分数统称有理数。整数呢，又可以按照正负分为 正整数，或者不写了啊，负整数。然后一定要注意中间还有一个零，这个零是特别容易出错一个点 啊，零在这个地方，因为零既不是正数，也不是负数，但是他属于整数，所以要单独拆开。 同样的分数呢，应该分为啊正分数，负分数。这里面 中间就不要填零了，因为零他属于整数，不属于分数啊。这是之前学习的有理数。然后刚学习的这个无理数呢，我们说他其实对应的应该属于小数的一类，而且是无限不循环小数 啊。所以你要知道他和这个整数和小数他们之间的关系啊，而属于无限不循环小数。 一样的。我们也可以按照正负把五里数分为两类，一个是正 物理数，一个是负物理数。仍然中间不能填零，因为零属于整数。 好了，既然这个地方呢，提到了小数，我们需要再把小数的分类呢，给大家去强调一下。小数呢，分为两 两类，一类叫有限小数，就是小数点后面有有限位。一类是无限小数，小数点后面是无限位。然后无限小数呢，进一步的可以分为无限循环， 还有无线不循环啊，无线不循环。这就是我们说的五里数， 包含了一些开方开不进的带根号的数啊，含派的呀。还有一些人为构造一些数， 所以说他只有这一类是属于无理数。剩下这两类有限小数和无限循环小数呢，这两类呢，都可以化为分数，他们是都可以化为分数的。有限小数， 这个好理解。那有线小数，比如说零点一一三，无论小数点后面有几位，因为他是有限位，所以说我都可以给他转换成啊，对应的分数， 他就直接转换成一一三，比上一千，也就是一千分之一一三。所以直接就可以啊，把这样的有限小数转行成分数， 然后无限循环小数画分数呢啊。有同学应该在小学学口诀，叫分母寻酒不寻零，分子整体减杂质。 给大家知道这两类呢，都是可以化为分数的，所以这两类是属于有理数的范畴啊。这有限小数和无限学员小数是 除以有理数的范畴。这就是按照定义对实数进行分类。当然同样的，我还可以按照正负呢，对实数进行分类，那就比较简单了。那直接分为正实数零和负实数啊，千万要记得带上零。好，那接下来我们看这道题目。 下列说法错误的是，注意是错误的。是啊，哎，五里数都是无限小数 啊。涉及到了五里数的概念。我们说五里数，他其实是无限不循环，所以肯定是无限小数了。 赶紧无线不循环啊。所以 a 正确。 b 有限小数和无限循环小数都属于有理数。这个刚才没强调了。这两类呢，是都可以化为分数的， 然后都可以化为分数，可化为分数。那么知道分数是属于有理数的。所以这两类呢，就是属于有理数。毕业正确。 所以后面大家再遇到呃，判断一个小数是属于有理数还是无理数的时候啊，一定要看一下能否化为分数。这两类是可以化为分数的，无限不循环，不能化为分数。 只有 c 时数，包括正时数和负时数。很明显，这中间把零漏掉了。零既不是正数，也不是负数。所以说呢， c 应该是错误的。 最后再来看一下 d 选项。 d 选项呢，呃，不太容易判断，容易出错。说无理数和有理数的乘积，不一定 是五里数。那这个地方呢，我们还没有学习实数运算，幸亏没有学习。如果学习完了实数运算，你发现好同学呢，可能这个题做错了。 他可能会举个例子，五里数举个跟上三，然后和有里数的乘积举个整数呗，比如说乘个二，那最后发现结果其实应该是等于二倍跟上三。哎，最后带根号，那就一定是五里数呗。 啊，学完时速运算之后呢，相比来说，这个题更容易做错。我们在没有学时速运算的时候呢，反而可以去找一些返利，去找一些不同的例子。最后结果一定是无理数吗？ 啊，这里面你一定要思考到那个最特殊的这个零。刚才 c 选项是到零， d 选项也是到零了， 有理数里边有一个非常特殊的数是零啊，跟上三乘二，确实最后结果还是一个无理数。但是如果是跟上三乘零呢？ 任何数乘零，无论你是有理数还是无理数，都逃脱不了零的魔爪，最后结果还是零。 最后结果就是一个有理数。所以不一定。啥不一定吧，这不成有理数了吗？不一定是物理数的也。正确错误的只有 c 选项。 但这个题呢，重点乘以呢，其实是必选项啊。大家在后面的这个判断中呢，一定要记住，有限小数和无限循环小数呢，这两类是属于分数的，属于分数对应的，也就是属于啊，有理数。 所以题目中让判断一个小数是属于有理数还是无理数，要看一下这个小数能不能化成分数。好，我们这一课讲解到这里。

解释一下虚数， 虚数和实数是相对应的， 实数和数轴上的点是一一对应的，所以我们的数轴会叫做实数轴， 这是一个竖轴零，比如说这是一，这是负一。现在我做一个假设，如果我把零一之间的这个线段绕着 o 点旋转一百八十度， 他就会得到负一这个点，那也就是说一左 转一百八十度，他就等于负一。然后如果我继续让负一，继续左转一百八十度，那么就会得到一，那也就是说一 左转一百八十度，再左转 一百八十度，最后的结果就等于一。这时候我们就可以做一个假定， 因为一乘以负一，再乘以负一，那么他是等于一的。那也就是说我们可以假定左转一百八十度这个 动作，他就是和负一是一一对应的。那如果这样子的话，我们可以把左转 一百八十度这个式子再进行一个变式，那就变成了一 左转九十度，然后再左转九十度。 这个时候由图中我们会知道，一左转九十度会得到这个点， 然后从这再左转九十度就会得到负一。所以一左转九十度，再左转九十度，他应该等于的是负一。那根据我们刚才所做， 就是一左转一百八十度，左转一百八十度等于一，这个式子，我们会设定左转一百八十度是负一。那么现在呢，我们就会发现，其实这个式子就是一去乘以一个一个数， 比如说这个数是 a， 然后呢他再乘以这个数，最后的结果去等于负一。而 a 游式子，我们就会发现 a 的平方，它是等于负一的，那么 a 是什么？ a 实际上就是左转九十度， 那么由图中我们会知道一左转九十度是这个点，所以这个点所表示的应该就是我们这里表示的 a， 当然我们知道 虚数是什么，虚数是我们规定一个数的平方，它等于负一，而一般我们用表示虚数的这个字母是 i， 就是 i 的平方等于负一，那么我们由图中就会知道 i 这个点应该在这里，也就是说 爱应该是一左转九十度就会得到爱，而爱再左转九十度就会得到负一。在实数轴上所有的点全部都是实数， 但是如果我们把它扩充到整个副平面上来看的话， 那么负平面上的每一个点，除了这条实数轴以外，其他的点所对应 都应该是虚数。我用这个方式给我老婆讲了一遍，他说他听不明白，所以我把它发出来让大家来看一下，谢谢。