抽象函数构造

我们看一下这样一道解这个抽象函数不等式的问题。那么这个题其实又涉及到了构造函数的思想。最近几年的高考题当中，像这一类特别重要的数学思想或者特别重要的内容是反复考察。二零二二年像构造函数的思想是考了五道题，二零二三年考了四道题。 我们一起看下这道题。已知函数 fx 的定义域是零到正无穷， fx 撇是 fx 的导函数，满足这样一个不等式，让求这样一个函数不等式的阶级。 那我们看这个题应该如何来解。像这样一道题当中出现了这个函数，出现了这个函数的导函数，让解这个函数不等式的问题。我们通常利用的是构造函数的思想。首先观察要解的这个目标函数的不等式，我们真的没有太多可以操作的余地。 f x 加一大 x 减一，对的 f x 方减一。首先看这个函数不等式，没有太多可以着手处理的地方，我们就由条件入手。首先来看这个条件不等式，由条件不等式 f x 小于负 x 倍的 f x 撇，那么这个不等式我们给它一项，也就是 f x 加上 x 倍的 f x 撇小于零。那么看到这个形式之后，我们很自然的联想到要构造函数啊，我们立 g x 等于 x 倍的 f x， 这是常见的导函数当中构造函数的一类类型。 g x 的导函数就是等于 f x 加上 x 倍的 f x p。 构造这样一个函数之后，这个导函数就小于零了。我们其实就是构造 一个单调函数，那么 g x 在零到正无穷的这个范围内是不是就是单调递减的函数？ 我们既然构造了这样一个函数形式， g x 等于 x 倍的 f x 的话，我们就将这个目标函数不等式往这个引入的这个辅助函数上去靠啊， x 倍的 fx 这里有 x 减一，那我们在这个目标不等式两边同乘以一个 x 加一的话，是不是就凑出这个形式出来了？ 目标不同，是两边同乘以 x 加一，就是 x 加一倍的 fx 加一，他就大于 x 方减一倍的 fx 方减一。由于 x 十在零到任务权的范围内，我们乘以一个任数嘛，不等号不变，那么这个左边就变成了 g 倍的 x 加一，要大于 g x 方减一啊，就转换成了我们这个辅助函数里头去了。由于辅助函数在他的定义范围内单调递减，我们是不是就可以得到一个不等式组啊？ 首先 x 加一要大于零，要符合他的地域范围啊， x 平方减一也要大于零，还有 x 加一要小于 x 平方减一。 那我们的最后的目标就是求这样的 x 不等式组。那么这个就很好做了。第一个 x 要大于负一， 那么第二个 x 大于一或者 x 小于负一。第三个 x， x 要小于负一，或者 x 要大于二，那么取这三个不等式的交集， x 要大于二。最后， 看题目是让解级是多少，我们给他写成集合的形式。所以他最好的答案是 x 等于二，给他写成集合的形式。这一点同学们一定要注意。题目问什么就写什么， 如果是问范围，你可能可以写成区间给用不等式表示，但是他明确的时候问他的解题，我们就写成集合的形式。好，这个题给大家分享到这里，让我们一起做更少的题，提更多的分。

抽象函数的定义域一直是一个难点，其实只要你记住两句话，这种问题一点都不难。咱们来看一道这样的例题，已知函数 f x 减二的定义域是零到二，求函数 f 二 x 减一的定义域是什么？ 拿到这样子的题目，大家一定要理解清楚的。第一句话就是一个函数的定义域永远是 x 的取值范围， 所以 f x 减二的定义域是零到二，也就是这里面的 x 大于等于零，小于等于二。 而问题是 f 二 x 减一的定义域，记住求的是这里面的 x 的范围，而不是二 x 减一这个整体的范围。第二句话就是括号的范围是一致的， 也就是说 x 减二这个括号和二 x 减一这个括号里的东西，它的范围是相同的，那么 x 的范围是大于等于零，小于等于二。自然 x 减二大于等于负，二小于等于零， 所以这个括号里面的二 x 减一就跟他一样，大于等于负，二小于等于零。再去解这里面的 x 的范围， x 大于等于负的二分之一，小于等于正的二分之一，这就是这个函数的定义域。 所以抽象函数定义域两句话，第一句话定义域是 x 的范围，第二句话括号的范围一致，大家学会了吗？

抽象函数来了三倍 f 负 x 加 f x 分之一加 f x 等于 x， x 等于零。像这一类没有直接给我们函数的解析式，但是给了我们一些体现函数特征的式子，都统称为抽象函数。 那么这道题来说， f x 的函数解析式应该如何来求？在这里啊，我们先看一下函数自变量的输入形式有三种，正负 x 和 x 分之一。 其实对于这一类题，我个人认为是非常简单的，只要你理解了函数，它所代表的是质变量和音变量之间的映射关系就非常简单。 为了方便理解，我们把 x 统一切换成 y 啊来进行讲解。首先我们把 x 切换成 y， 可以得到三倍 f y 加 f y 分之一加 f y 等于 y， 这是我们得到的第一个式子，但是这还不足以支撑我们求出函数的解析式， 所以我们就需要进行自变量的再次切换。我们把自变量 x 切换成负 y， 你会发现它变成了三倍 f， y 加 f 负 y 分之一，加 f 负 y 等于负 y。 我们观察一下这两个食指，如果把 f 负 y 和 f y 另为 a 和 b， 那么在两个方程里面都有它的声音。 但是呢，遗憾一点的就是 f i 分之一和 f 负 i 分之一啊，两个不太一样，所以我们需要单独来把它们设成 c 和 d， 这样我们可以得到两个方程。从解方程组的逻辑来看的话，现在两个方程 却要解除四个位数，显然是不存在的，所以我们需要进一步找到更多的方程。怎么进一步找到更多的方程呢？同样的道理，我们切换指边量的输入形态， 我们把 x 切换成 y 分之一，又可以得到一个新的方程，得到三倍 d 加 b 加 c 等于 y 分之一。同样的还是不满足啊，我们本身的想要解除这个方程组的方程数量， 因为现在方程的个数还是小于未知数的个数，所以我们还要进一步再切换 x 的输入形态，也就是质变量的输入形态。 现在本身题目给我们的三种形态我们都已经切换了，还剩最后一种形态，怎么来找呢？当然就是找到 x 等于负 y 分之一，因为你代入进去了，会发现 我们不会再引入新的未知数，同时呢，又可以得到一个新的方程，这样就可以联合这四个方程来解出我们的未知数。这里未知数我们关注的就是 b， b 等于 fy， 他就等于三倍 y 分之负二倍 y 平方减去一。 在这里啊， x 也好， y 也好，它其实都是质变量的符号而已。所以说我们把 y 切换成 x， 仍然不改变函数的本身应色关系，得到它的解析式为三倍 x 分之，负二倍 x 平方减去一。好了，本次分享到这里就结束了。

抽象函数的对称轴，今天这个视频我们就来讲一讲抽象函数的对称轴。我们最熟悉的有对称轴的函数，其实就是偶函数，偶函数呢，是关于外轴对称的，假如说在外轴的右边找了一个点，这个点呢，是 x， 对应的函数值呢是 fx， 那在左边呢，也会有一个点跟他对应，这个点的坐标呢，就是负 x， fx 的函数值相等，也就是 fx 等于 fx， 这个呢是最简单的对称轴的表达形式，从这里边可以推出来，他的对称轴呢，是外轴，也就是 x 等于零这条直线。今天我们要再学习一个式子， 当 f a 加 x 等于 fa 减 x 的话，我们可以推出来什么这个呢，我们就用图像法来证明，看看他的图像有什么特点。现在画一条直线， x 等于 a， 假设 x 大于零，那这个 a 加 x 呢，就是在 a 的基础之上，往右再加了 x 那么一小段距离。假如说这一小段呢，它是 x， 那对应的这个点呢，它就是 a 加 x， 我们随便点一个点，假如说 f a 加 x 的高度呢，就是这么高。那下面这个 a 减 x 呢，就是跟它对应的在左边， 因为这一小段的距离呢，它是 x， 所以这个点呢，它就是 a 减 x， f a 加 x 等于 fa 减 x， 可以知道这两个函数值是一样的。从这个图上呢，可以观察到，这个点跟这个点呢，它是关于中间这个直线， x 等于 a 对称的，那现在让 x 取不同的值， 右边这些点呢，总会在左边找到跟他对称的一个点，所以这个组合起来，他们这个图像呢，就是关于 x 等于 a 对称的。从这个式子里边呢，我们就可以得出来，这个函数 fx， 他有条对称轴，对称轴呢是 x 等于 a。 我们刚刚呢，其实讲了两件事，一个 个呢就是偶函数 f x 等于 f x， 偶函数的对称轴呢是 x 等于零。还有一个呢是新的公式， fa 加 x 等于 fa 减 x， 这个对称轴呢是 x 等于 a。 现在呢，来总结一下这两个式子它有什么特点？这两个式子都说明了，函数 fx 呢，是具有对称轴的， 它的第一个特点呢就是 f， 某一个数等于 f， 另外一个数就是两个函数值相等，这个呢也是 f， 右边呢也是 f， 那函数值是相等的，我们来观察一下，括号里边这个 x， 这里边是正 x， 这里呢是负 x， 这个是正 x， 这个是负 x， 就是等号左右两边括号里边的 x， 它是一正一负的，这个一正一负就可以简计为正负，指的就是一个正 x， 一个负 x， 它表示的这个函数呢是具有对称轴的，也就是正负对称。那这个对称轴怎么去 计算呢？就等于把这两个括号里边的值给他加起来，然后呢，再除以二来看，第一个式子他就是 a 加 x， 加上 a 减 x 等于二 a 二 a 呢，再除以二，最终呢就等于 a， 所以这个 fx 对称轴呢就是 x 等于 a。 然后第二个式子里边两括相加， x 加负 x 等于零，零，再除以二还是等于零， f x 对称轴呢，就是 x 等于零。 所以我们就可以用一句话来概括，就是一个正 x， 一个负 x， 表示了这个函数，它是具有对称轴的。这对称轴的计算方法呢，就是把这两个括号相加除以二，也就是取平均数， 正负对称平均，记住这句话就可以了，下面呢，再来看几个常见的变形。先来背刚刚的那一句顺口溜，正负，这里有个正 x， 这里有个负 x， 这个呢是正 x， 这个也是 是负 x， 这个是负 x， 这个呢是正 x， 都满足一正一负的特点，所以他们三个式子呢，表示的就是这个函数就有对称轴，这个对称轴怎么去计算呢？正负对称平均， 就是把这两个括号相加，然后呢再除以二。第二个式子呢，也是一样的，两个括号相加等于二 a， 二 a 除以二还是等于 a。 第三个式子呢，也是两个括号相加除以二，所以它们的对称轴呢，都是 x 等于 a。 你要记住的就是刚刚总结的这一句话， 正负对称平均，如果括号里边的 x 是一正一负的话，它表示这个函数呢，是具有对称轴的。对称轴的计算方法呢，就是取平均数及两个括号相加除以二。今天讲的抽象函数的对称轴，你听明白了吗？

在动物界存在着非常明显的克制关系，比方说老鹰克制毒蛇，鲨鱼被海豚克制。而在游戏界也存在着克制系统，比方说法师克制坦克，坦克又克制刺客，而刺客又克制法师。 而在我们的数学界，也存在着克制关系，比方说复制思想，就克制者抽象函数问题，我们以这道题为例， f 括号 f x 加 y 等于 x 的四次方加二倍， x 平方， y 加 y 平方，求 f x 的函数解析式。 在上一个视频，我讲了关于父子思想的使用方法，那么在这一个视频，我想讲一讲父子思想的原理。在讲之前，我们先看一个问题， 值域的取值范围一定不大于定义域的取值范围，这句话对不对？你可以把答案打在评论区或者是弹幕上。好，我们继续来看这道题。在求之前，我们先讲一下复制思想的原理。 我们假设有一个定义域，他的曲子范围非常的大，是全体实数。而在定义域内啊，有两个小圈啊，这两个小圈代表两个集合，集合 a 和集合 b。 在两个小圈之外啊，大圈之内啊，就是集合 c， 集合 a 加集合 b 加集合 c， 等于全体实数啊。集合的定义其实也不复杂，你就把它看成是一群数啊，或者说是一部分数字，他们所构成的整体就叫做集合了。那现在的问题是这样的，如果 我们在集合 a 类求出了函数 f x 的解析式，那么在全体时数范围也是最大，这个圈的范围内，它的函数解析式是否也是 f x 呢？ 反过来，如果我们在全体时速范围内求出了它的函数解析式为 f x， 那么在结合 a 类，它的函数解析式是否也为 f x？ 带着这两个问题，我们继续来求解，我们利用复制思想啊，这里 x o y 的取值就是全体时数， 然后我们另 y 等于 x 减 f x， 那这一部负值就是难倒很多同学的地方，我们深度来讲一讲它，这里 x 减 f x， 我们是否可以把它就看成刚 材的啊？这一个小集和 a 是吧？还记得我们开始思考的那个问题吗？ x 减 f x， 他大概率是啊，这个集和 a， 当然他也可能就是全体实数了啊。其实如果是全体实数，更是皆大欢喜，我们就假设他是这个小集和 a 这一部分， 那这一部分他是否也要满足题目所给定的等式呢？是的，这样式的原因是因为我们可以很好的把 f x 给抵消掉啊，把这个讨厌的 f x 给去掉了之后，就变成了只有 x 和 f x， 它就变成了啊，利用组元思想变成了关于 f x 在一元二次函数，那过程我就不去展开化解了，同学们可以自己去操作一下，最后可以求得 f x 用两个函数解析式， x 加一整体括号的平方或者是 x 平方，那这 两个都成立吗？要回到我们开始要思考的问题了，现在我们是在集合 a 这个范围内求出了函数 fx 的解析式，那么在全体实数这个范围内，他的解析式是否仍然成立呢？ 那这里啊，我们就需要去验证怎么验证？利用题目给我们的条件，我们要把我们刚求出来的函数解析是带入进去啊，左边带入进去了之后，再验证一下跟右边是否相等，其实就是看在几何 b 和几何 c 这个范围内是否也能够满足， 如果不满足的话，那么我们所求出来的函数解析式就仅适用于集合 a 这一个小范围，所以它是不成立的。而如果再集合 b， 集合 c 也适合的话，那也就是说我 我们在集合 a 内求出来的函数解析式，在全体实数范围内也都能够适用，那它就代表着全体实数的解析式。 我们最后验证发现， x 加一整体括号的平方，他不适合于全体实数，仅在集合 a 类成立，所以要舍弃掉。最终我们求得函数 fx 的解析式就等于 x 平方， x 属于全体实数。好了，本次分享到这里就结束了。