有理数乘方运算技巧

问大家一个问题，负三的二次房和负三的二次房，他们相等吗？哎，想想你是不是回答不上来，来看看视频你就懂了。 乘方运算，在这里就有小伙伴肯定去问，为什么没有正数的乘方运算呢？因为正数的乘方运算非常简单，比如三个四相乘，四乘四乘四，那就等于六十四， 那三个三相乘呢？三乘三乘三等于二十七，这个对于我们来说没有什么计算的难度，如果你实在计算不会的话，那只能是小学乘法，不太过关。 接下来我们看一下负数的乘方运算，可以看出负数的乘方运算呢，总共分为两类，一类是底数有无括号，比如底下这个负三括号的平方和负三 平方，他们相等吗？哎！答，他们是不相等的，为什么不相等呢？让我们看上一下负三的平方呢？是负三乘以负三， 我们可以看出两个负三相乘，那肯定乘出来是一个正数，那就是正九，而负三的平方，那这个平方呢？他管的是这个三的平方，因此的话应该是负的 三乘三，答案等于负九，同学们可以看出区别在哪里了吗？哎，他们区别就在于二次方 管理的底数不一样，那比如负三的三次方等于多少？是等于负三乘以负三，再乘以负三， 是不等于负的二十七，对不对？那负三的三次方呢？等于负的三乘三乘三也等于负的二十七。哎，大家可以看出，虽然结果是一样的，但是计算过程是有很大的不同，同学们懂了吗？哎，然后再再看底下 指数，是鸡是偶，哎，为什么要说这个呢？是因为负数的密，是因为负数在求乘方的过程当中呢，指数不同，它的结果 符号也是不同的，比如像刚才看的负三的平方，负三的平方，我们就可以发现是不是是九，但是负三的三次方呢，就变成负的二十七呢，对不对？那负三的四次方又等于多少呢？哎，同学们可以计算一下，是不是四个负 三相乘啊？四个负三相乘，那就是负三乘，负三再乘，负三再乘，负三等于八十，等于什么？ 等于多少呀？四个负三相乘，可以看出我们之前学过有理数的乘法，当中负数相乘呢，就看负数的个数，那积负偶正是不是？这有四个，一个，两个，三个，四个 是不是四的负数，那肯定是正的，然后三乘三乘三，那就等于八十一。哎，同学们看见没有？所以的话可以得出一个结论，就是有关负数的，有关负数的乘方也遵循什么？也遵循肌肤偶症的原理， 肌肤偶像，肌肤偶像。但是我们一定要注意什么？但是我们一定要注意， 但是我们一定要注意，一定要在括号内哦，负号一定要在括号里面，比如负三的二次，负三的三次，负三的四次，你要是如果是。

各位新初一的同学们大家好，今天开始我们的暑期特训二十集，接下来的二十天呢，老师将带领大家每天学习我们期上的易错题型，想要开学比别人多拿二十分的同学，记得给晶晶老师留个爱心，点个关注。 我们今天一起来看一下有关有理数乘方的易错题型。我们首先从乘方定义上来了解，一般的 n 个相同的因数相乘，记做 a 的 n 次，读作 a 的 n 次密或 a 的 n 次方。用它来看这幅图，我们把 a 看作底数， n 是指数，整个 a 的 n 次叫做密。 那我们重点来看一下负 a 括号的平方和 a 的平方的相反数他们的区别。首先我们从外观上可以看到，他们二折的是一个有括号，一个没有括号，那么我们从乘方意义上考虑，他们也就代表两个负 a 相乘，负负得正， 所以呢，结果就为 a 的平方，那第二一个不带括号，所以它底数呢，就是 a。 老师给大家举例，比如说我们有负二括号的 平方和二平方的相反数，看一下他们二者的区别。首先第一个负二的平方，也就是两个负二相乘，结果是正四。而第二一个二的平方的相反数呢，应该是负四。所以搭在这个有理数运算当中，最容易出现的错误呢，就是这一点 好搞清楚了。以上内容我们来看题，那么有理数混合运算，我们要遵循先乘方，再乘数，后加减。第一题，我们先是负二乘负三的平方是九加四， 四乘负三，我们直接合并为负十二加十五，也就等于负十八加负十二加十五，结果也就是负三十加十五，结果为负十五。好，第二题。 那么这一题重中之重呢？在第一项七的平方的相反数，也就是个负四十九，再加二乘负一的偶次密是正一加负六除以负八分之一，好，等于负四十九，加二加四十八，结果等于一。

那是因为你没有理解到他们的本质含义，今天我们一起来说一说啊，有理数的乘方运算，那这里首先我们要明白什么叫乘方，也就是 a 的 n 次方，它代表着 a 的 n 次密，它是什么意思呢？它是 n 个 a 连续相乘。对，这里有 n 个 a， 那也就说如果我写三的三次方，它代表着有三个三连续相乘。 如果我写负三的三次方，它代表着有三个负三连续相乘。当然这里最好也加上括号。所以我们把 a 的 n 次方，这个 a 呢叫做底数， 而这个 n 呢叫做指数。整个 a 的 n 次方呢，我们把它叫做 me。 因此三的三次方也可以读成三的 三次米，负三的三次方也可以读成负三的三次米。这里我要举两个例子，我们同学很容易出错的，第一个是负三的四次方，第二个是负三的四次方， 那么看寓意是负三的四次方，根据蜜的定义，代表着有四个负三连续相乘， 那四个负三连续相乘，这就是乘法运算的乘法运算。我们先定符号，我们发现这里有四个负因素，那因此定符号为正好， 并把绝对值相乘，结果就等于正的八十一。而负三的四次方代表什么意思呢？他其实代表是三的四次方，前面添加括号，也就是三的四次方的相反数，因此 它的结果应该等于。首先这个负号造写，我们要先算 b 的运算，因为 b 的运算更高一级，所以说它等于四个三连续相乘。这里是前面是负号，也可以看作是减号，而后面是乘号。当然我们先算乘法运算， 所以后面算出来是八十一，因此结果就等于负的八十一。但是我们很多同学做这类型题的时候，觉得两个的结果永远都是一样的，那是因为你没有理解到他们的本质含义。

阿道将一张纸对折一次指的层数为二，对折两次指的层数为四，对折三次指的层数为八， 对折四次指的层数为十六。小只发现每折一次，层数就增加一倍。小只分别用算式表示。一乘二、二乘二、二乘二乘二、二乘二、乘二乘二、二乘二乘二、乘二乘二。 阿道和小芝讨论了一番，提出疑问，如果对折十次，该怎么表示呢？难道一直乘下去吗？如果对折 n 次，又该怎么表示呢？我们一起来探讨这个问题吧。二乘二可以写成二的二次方，读作二的二次方。 二乘二乘二可以写成二的三次方，读作二的三次方。同理，二乘二乘二乘二可以写成二的四次方，读作二的四次方。二乘二乘二乘二乘二，可以写成二的五次方，读作二的五次方。 因此， n 个 a 相乘，记作 a 的 n 次方，读作 a 的 n 次方。求相同因数的积的运算，叫做乘方。 在 a 的 n 次方中， a 叫做底数， n 叫做指数。读作 a 的 n 次方，也可以读作 a 的 n 次密。 例如，在九的四次方中，底数是九，指数是四。九的四次方读作九的四次方或九的四次密。我们来辨别一下底数和指数吧。 三的二次方与二的三次方中，三的二次方的底数是三。指数是二，表示三乘三，结果为九。二的三次方的底数是二。指数是三，表示二乘二乘二，结果为八。 负二的三次方与负的二的三次方中，负二的三次方的底数是负。二指数是三，表示负二乘负二乘负二，结果为负八。负的二的三次方的底数是二，指数是三，表示二乘二乘二的相反数，结果为负八， 这里要先确定哪个是底数。当底数是负数时，一定要加括号哦！这个数的指数在括号的右上角，所以底数是整个括号里的数及底数为五分之三。指数是 二，表示五分之三乘五分之三，结果为二十五分之九。这个数的指数在分子三的右上角，和分母没有关系，所以底数是三。指数是二，表示五分之三乘三，结果为五分之九， 而这个数的指数在分母五的右上角，和分子没有关系，所以底数是五。指数是二，表示五乘五分之三， 结果为二十五分之三，这里也要确定哪个是底数。如果底数是分数时，分数一定要加括号。 综上所述，做题时一定要先判断好底数哦，不然就会一步错，步步错。最后总结一下吧，在有理数的乘方中， a 的 n 次方表示 n 个 a 相乘，其中 a 是底数， n 是指数，读作 a 的 n 次方，也可以读作 a 的 n 次密。做乘方运算时，要先判断好底数，特别是底数是负数或分数时，要注意加括号。怎么样，你都学会了吗？

每天一道题，数学不着急，同学你好，我是陈杰老师，接下来呢，陈杰老师来带你看一下这个题目应该怎么去做，说二的一百次方减去二的一百零一次方，结果等于多少？那么对于这样的题目的话呢，是很多初一的孩子啊，在月考以及期中考试当中经常会遇见的一类题型。 那么解决这个题目，我们就必须要去理解乘方的本质。首先二的一百次方，它表示的含义呢是一百个二相乘， 那么二的一百零一次方呢，它表示的是一百零一个二相乘，所以呢，在理解了乘方的本质之后呢，我们再来写一下这个题目，就可以变成什么呢？叫二的一百次方还是二的一百次方， 只不过这个地方的二的一百零一次方呢，它表示的是一百零一个二相乘，是不是可以把它简单的理解为，先是一百个二相乘， 然后呢我再乘以一个二，这样的话，一共就有一百零一个二相乘了吧，所以呢，对于这两个式子的话，发现前面有二的一百次方，后面也有二的一百次方，而且前面的二的一百次方呢，可以理解为二的一百次方乘以一， 那么后面呢，二的一百次方乘以二，所以这就是一个非常典型的可以提取公因数去计算，我们可以把二的一百次方呢提取出来，那么乘以一个括号里面，第一个呢还剩下一个一，第二个呢还剩下一个二，那么一减去二，所以就等于二的一百次方啊，再乘以一个 负一，而二的一百次方乘以负一，刚好就变成了二的一百次方的相反数，所以结果就应该等于负的二的一百次方，所以这个题目最后的答案就是负的二的一百次方，因此对于这个题目，你学会了吗？

这个视频咱先来看一个小学的问题，边长为 a 的正方形面积是多少？简单就是 a 的平方呗。那能成为 a 的正方体，他的体积又是多少呢？简单就是 a 的立方呗。 看这俩柿子， a 的平方也叫做 a 的二次方，表示两个 a 相乘。 a 的地方也叫做 a 的三次方，表示三个 a 相乘。那 a 的四次方呢？就是四个 a 相乘了。照这样下去， a 的五次方就是五个 a 相乘，六次方就是六个 a 相乘，那 a 的 n 次方就是 n 个 a 相乘了。 这里的 a 可以是任意的有理数，像这样表示好几个有理数， a 相乘的计算就叫做有理数的乘方。在这里还有几个名字需要你记住， a 在底下就叫做底数，嗯，在上面像手指一样，就叫做指数，整个式子就叫做乘方，而算式的计算结果则叫做 蜜。于是 a 的 n 次方也可以读作 a 的 n 次蜜。注意了，虽然这俩词差不多一个意思，但是人家那个明星可不叫做杨成芳啊。 有了乘方的概念，来做个计算，这个弱爆了，五的二次方就是两个五相乘，得二十五呗。那好，现在我要加一个负号，可是发现有两种加法哎，这俩一样吗？ 从乘方的概念入手，第一个里面指数二只能管到五，所以他表示两个五相乘，然后在前面填一个负号，等于负二十五。 那第二个里面指数二能管谁呢？对喽，就是这个负五，所以他表示负五乘负五，负负得正就是二十五。所以你在做题的时候，一定要明确指数的管辖范围，如果没加括号，指数就只能管他挨着的这个数，如果加了括号，指数，就能管整个括号。有了这个指 道方针，你再来看下面这一串柿子，别怕别怕，你一个一个来分析就行。第一个指数能管谁？因为有括号，所以指数就能管括号里的整个数。负五分之二，所以他就是俩负五分之二相乘，其中符号负负得正，而剩下的就是五分之二乘五分之二，算，算得二十五分之四。 再看第二个分子，分母各有一个指数，由于没有括号，分子的指数只能管分子，分母的指数只能管分母，所以分子就是二的平方等于四，分母就是五的平方，得二十五，最终答案就是二十五分之四。 第三个指数二不管负号，只管括号里的五分之二，所以负号不变。把括号里的五分之二平方即可算，算得负二十五分之四。第四个指数只在分母上，只能管五，所以把五平方即可， 其他保留算算答案得负二十五分之二。第五个指数在分子上只管负二，所以只要把负二平方其他部分保留，于是最终答案得负五分之四。 刚才这些分数的乘方虽然形式多样，但解决的关键都只有一个，就是要看清楚指数的管辖范围。如果有括号指数，就管整个括号，如果没括号指数，就只管他挨着的数。 好了，知识就讲到这，一起来总结一下吧。所谓 a 的 n 次方，就是 n 个 a 相乘，其中 a 是底数， n 是指数，整个算式也叫做 a 的 n 次密 做乘方运算。最重要的就是要搞清楚指数的管辖范围，当没有括号时，指数就只管他紧挨着的那个数。当有括号时，指数就管整个括号怎么样，会做乘方计算了吗？如果会了，就赶紧动手刷题去吧！

这个题啊，要提醒大家两个问题了，这是一道有乘方运算又有加减运算的一道混合题目。那么在减这道题之前，我们首先一定得区分这个东西。题目中是负二的 平方，它代表什么意思呢？它代表的是二的平方的相反数，因此它的结果负号造减二十万，它是等于负四。 那我这里提醒大家一个经常容易出错的负二的平方，他是代表着两个负二连续相乘， 因此结果是等于正式。那么在解这道题，像这道题啊，有乘方有加减，那么一定是先把所有的乘方计算出来。第一个负三的平方代表的两个负三连续相乘，因此结果 为九。减号造写，那这个负三的三次方代表三个负三连续相乘，因此结果为负二十七。 这里也相当于是减号造写二的平方是等于四的。加上这里我们刚才已经说了，他是等于负四，因此我造写括号负四，那整个四指到这一步，我们发现他只有加减混合运算了。那因此我们方法是先把它统一成加法， 九减负二十七统一乘，加法为加二十七，加负四，再加负四。 注意大家看到我读是读的加复式，但是我没有写加号括号复式，那是什么原因呢？这一步相当于我既省略了括号和加号，又解决一个问题，把它全部统一成了加法， 到这里我们就可以重做自由运算。三十六加负四，三十二再加负四等于二十八。这个题要提醒大家两个问题了，第一个就是我们刚才讲的负二的平方，这里要等于负四， 第二个就是在这里加减混合运算的时候，我做了一个工作，应该准确说做了两个工作，第一个是把加减统一的加法，第二个是我去掉了多余的括号和加号。

初一必刷题，这里是有理数的第三种运算叫乘方，那么乘方我们不知道，根据定义是若干个相同的数相乘，比方说 n 个相同的数， a 相乘，可以借为 a 的 n 次方，那么乘方它的原理是什么？还是由乘法决定的，对不对？ 所以我们说在做成方运算的时候，跟乘除法的运算也是一样的，叫先定号，再定制。那么怎么去确定符号仍然是几乎偶证？看整个成方的式子里面符号的个数，每一个项他的符号问题，比如说第一个项负三的四次方， 那这个根据定义，我们知道是四个负三相乘，那也就是说有几个负的有四个符号，所以他就应该是等于三个十四方，他的符号为证。 这里大家注意一下，如果是这个式子和另外一个式子写成这样子，比方说负的三的四次方，那他们有什么区别呢？负的三的四次方，首先表示是四个三相乘，他的相反数，那么这个符号表示相反数。 四个三相乘，我们知道是正的，他的相反数呢？那就是负的，所以其实是他应该等于负的八十一，他是负的，这里表示四个负上相乘，这里表示四个三相乘，他的相反数。理解了吗？好，然后我们来看这个题，那第一个先定号，他肯定是正的，三的是正方。 第二个我们看一下，哎，那负三的立方表示三个负三相乘，那么符号是负的，前面还有一个负号，那么加加起来就应该是什么？ 四个符号，他应该是正的。好了，第三个我们看啊，哎，三的五次方有五个负上相乘，所以呢，是五个负号加一个负号是六个，所以呢他也是正的三的四次方，是四个上相乘，那么我们知道等于八十一 三的立方是三个上相乘，等于二十七三的五次方呢？五个上相乘，那么就比八十一再多一个三，那就是两百四十三，是三百五十一。好，关注火山哥数学满满分。

初一必刷题，这里是有理数的第三种运算叫乘方，那么乘方我们不知道，根据定义是若干个相同的数相乘，比方说 n 个相同的数， a 相乘可以计为 a 的人之方，那么乘方它的原理是什么？还是由乘法决定的，对不对？ 所以我们说在做乘方运算的时候，跟乘除法的运算也是一样的，叫先定号，再定制。那么怎么去确定符号仍然是肌肤癌症？看整个乘方的四字里面符号的个数，每一个像它的符号问题，比方说第一个像负三的是指方， 那这个根据定义，我们知道是四个负三相乘，那也就是说有几个负的有四个负号，所以他就应该是等于三个四次方，他的符号为证。 这里大家注意一下，如果是这个式子和另外一个式子写成这样子，比方说负的三的四次方，那他们有什么区别呢？负的三的四次方，首先表示是四个三相乘，他的相反数，那么这个负二表示相反数。 四个三相乘，我们知道是正的，他的相反数呢？那就是负的，所以其实是他应该等于负的八十一，他是负的，这里表示四个负三相乘，这里表示四个三相乘他的相反数，明白了吗？好，然后我们来看这个题，那第一个先定号，他肯定是正的，三的是正方。 第二个我们看一下，哎，那负三的地方表示三个负三相乘，那么符号是负的，前面还有一个负号，那么加加起来就应该是什么？ 四个符号他应该是真的。好了，第三个我们看啊，哎，三的五次方有五个负上相乘，所以呢，是五个符号加一个符号是六个，所以呢他也是真的三的四次方，是四个上相乘，那么我们知道等于八十一 三的立方是三个三相乘，等于二十七三的五次方呢，五个三相乘，那么就比八十一再多一个三，那就是两百四十三，是三百五。

这个视频咱先来看一个小学的问题，边长为 a 的正方形面积是多少？简单就是 a 的平方呗。那能成为 a 的正方体，他的体积又是多少呢？简单就是 a 的立方呗。 看这俩式子， a 的平方也叫做 a 的二次方，表示两个 a 相乘。 a 的地方也叫做 a 的三次方，表示三个 a 相乘。那 a 的四次方呢？就是四个 a 相乘了。照这样下去， a 的五次方就是五个 a 相乘，六次方就是六个 a 相乘，那 a 的 n 次方就是 n 个 a 相乘了。 这里的 a 可以是任意的有理数，像这样表示好几个有理数， a 相乘的计算就叫做有理数的乘方。在这里还有几个名字需要你记住， a 在底下就叫做底数，嗯，在上面像手指一样，就叫做指数，整个式子就叫做乘方，而算式的计算结果则 叫做蜜。于是 a 的恩赐方也可以读作 a 的恩赐蜜。注意了，虽然这俩词差不多一个意思，但是人家那个明星可不叫做杨成芳啊。 有了乘方的概念，来做个计算，这个弱爆了，五的二次方就是两个五相乘，得二十五呗。那好，现在我要加一个负号，可是发现有两种加法哎，这俩一样吗？ 从乘方的概念入手，第一个里面只数二，只能管到五，所以他表示两个五相乘，然后在前面添一个负号，等于负二十五。 那第二个里面指数二能管谁呢？对喽，就是这个负五，所以他表示负五乘负五，负负得正就是二十五。所以你在做题的时候，一定要明确指数的管辖范围，如果没加括号，指数就只能管他挨着的这个数，如果加了括号，指数，就能管整个括号。有了这 指导方针，你再来看下面这一串柿子，别怕别怕，你一个一个来分析就行。第一个指数能管谁？因为有括号，所以指数就能管括号里的整个数。负五分之二，所以他就是俩负五分之二相乘，其中符号负负得正，而剩下的就是五分之二乘五分之二，算，算得二十五分之四。 再看第二个分子，分母各有一个指数，由于没有括号，分子的指数只能管分子，分母的指数只能管分母，所以分子就是二的平方等于四，分母就是五的平方，得二十五，最终答案就是二十五分之四。 第三个指数，二不管负号，只管括号里的五分之二，所以负号不变。把括号里的五分之二平方即可算，算得负二十五分之四。第四个指数只在分母上，只能管五，所以把五平方即可， 其他保留算算答案得负二十五分之二。第五个指数在分子上只管负二，所以只要把负二平方，其他部分保留，于是最终答案得负五分之四。 刚才这些分数的乘方虽然形式多样，但解决的关键都只有一个，就是要看清楚指数的管辖范围。如果有括号指数，就管整个括号，如果没括号指数，就只管他挨着的数。 好了，知识就讲到这，一起来总结一下吧。所谓 a 的 n 次方，就是 n 个 a 相乘，其中 a 是底数， n 是指数，整个算式也叫做 a 的 n 次密 做乘方运算。最重要的就是要搞清楚指数的管辖范围，当没有括号时，指数就只管他紧挨着的那个数。当有括号时，指数就管整个括号 怎么样，会做乘方计算了吗？如果会了，就赶紧动手刷题去吧！

有理数乘方的口诀，记住积负偶正就可以了。首先，多重符号的化减，这里积偶指的是负号的个数，是积数个还是偶数个，有积数个负号时，结果为负，偶数个负号时，结果为正。 第二，有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里基偶指的是负因数的个数。当有基数个负因数时，结果为负，偶数个负因式，则结果为正。

我们一起来学习有理数的乘方法则，法则内容为，正数的任何次密都是正数，负数的基数次密是负数，负数的偶数次密是正数。零的任何正整数次密都是零。 这里需要注意，一、根据乘方的意义，先把乘方转换成乘法，再根据乘法的运算法则来计算，或者先用符号法则来确定密的符号，再用乘法求密的绝对值。 二、负一的基数次密是负一，负一的偶数次密是一。下面来看几个题。一、计算负的负三的三次密，那么我们就知道呢，要先算负三的三次密，它属于 负数的基数次密，就应该是负数，所以就是负的三的三次密，那么再连同前面的负号，负负为正，那么他就应该是三的三次密，就等于三乘以三乘以三，结果就是二十七、 二、下列各组数中数值相等的事。首先咱们来看选项 a， 负的二的三次密和负二的三次密。我们首先看负二的三次密，就是负数的基数次密， 那么他就应该等于负的二的三次密，所以正好和前边的是一致的，那么数值就会相等， a 是正确的。再来看 b 负的二的二次密和 和负二的二次密，那么再来看负二的二次密，就是负数的偶数次密，他应该是正直，那么和前边呢，就是符号相反，所以数值不相等。 再看选项 c， 负的二的三次密和负的三的二次密，他们的符号一致。我们再来看负的二的三次密，就代表是负的二乘二乘二，那就是负八， 而负的三的二次密就代表负的三乘以三，那就是负九，所以数值不相等。 再来看第一项，负的一的十次你和负一的十次你，那么我们知道后面负一的十次你就是负数的偶数次你， 它应该是正值，和前面的符号相反，所以数值不相等。分析得出 a 是正确的。 小结一下，一、负数的基数次密是负数，负数的偶数次密是正数。二、正数的任何次密都是正数，零的，任何正整数次密都是零。