海涅定理在高数书哪里

我们知道极限分为函数极限与数列极限，那么函数极限可以转换为数列极限吗？ 数列极限又可以转换为函数极限吗？在一定条件下是可以的，海聂定理干的就是这个事，他的定义如下， 这个定义看着不长，但符号众多，一会儿是 x n， 一会儿是 x 零，一会儿是 fx， 一会儿又是 f x n， 读起来感觉都要晕了，那他到底在讲什么呢？别着急，我们一个一个的来。首先来看看这左边推出右边的情况， 为此，我们首先把左边这幅图放大， 假设函数在 x 零处的极限为 l， 下面在函数定义域内取一数列，另这个数列的极限为 x 零。 将此数列的函数值组成一个新的数列，这个数列的极限就为 l。 为了看得更清楚一点，我们再建立一个坐标， 左边这个坐标系观察函数极限，横坐标是 x， 纵坐标是 fx， 右边这个坐标系观察数列极限，横坐标是 n， 纵坐标是 fx n。 这里的 x n 就是靠近 x 零的那个数列。 n 取一的时候， f x n 就是最左边的那个点， n 取二的时候， f x n 就是左边第二个点， n 取三的时候， f x n 就是左边第三个点。 可以看到，当 n 不断增大时， f x n 不断靠近一个值，这个值就是 x 零的极限值 l。 也就是说， 若函数在 x 零处的极限为 l， 且 x n 是极限为 x 零的数列，就可以得到数列 f x n 的极限也为 l。 看完了函数极限转化为数列极限，下面反过来来看看将数列极限转化为函数极限的情况。 首先还是把目光锁定在有函数曲线的这张图上，这个时候我们只有函数图像，而不知道他在 x 零处的极限。 下面，在函数定义域内取一数列，使其极限为 x 零，求出每个点的函数值，可以看到由 函数值构成的数列极限为 l。 再在定义域内取一个极限为 x 零的数列，可以看到由它的函数值构成的数列极限仍为 l。 若在定义域内认取一个极限为 x 零的数列，它的函数值构成的数列极限都是 l 的话， 那么函数在 x 零处的极限就是 l。 下面为了将数列极限看得更清楚，这里还是建立一个 n f x n 的坐标系。 先看蓝色这个数列，这个数列前面讲过了，是从左到右排列的，对应的函数值是这些， 可以很明显的看出此数列的极限为 l。 然后看红色数列， 红色竖列是从右向左排列的。 n 取一的时候， f x n 就是最右边的那个点。 n 取二的时候， f x n 就是右边第二个点。 n 取三的时候， f x n 就是右边第三个点。 可以看到，当 n 区无穷时，数列 f x 三的极限也为 l。 最后来看黄色这个数列， 这个数列是交错排列的。 n 取一的时候， f x n 就是左边第一个点。 n 取二的时候， f x n 就是右边第一个点。 n 取三的时候， f x n 就是左边第二个点。 n 取四的时候， f x n 就是右边第二个点。 当 n 区域无穷时，数列 f x n 的极限还是 l。 也就是说，如果任意一个数列 f x n 的极限都为 l， 从它就可以推出函数在 x 零处的极限就是 l。 结合前面讲的，我们就完成了函数极限与数列极限的互相转换。 前面学习了海聂定理，知道了海聂定理是函数极限和数列极限之间转换的工具。 但是里面还有一个条件我们上一节没提过，那就是 x n 不能等于 x 零，这是啥意思呢？首先我们要知道，这里的 x n 表示的是数列 x n 的通向， 那么 x n 不等于 x 零，表示的就是数列 x n 不能仅有 x 零构成。那为什么不能呢？下面来看个例子。 假设函数 f x 为一分段函数，它在 x 等于二十，函数值为二， 其他位置的时候，函数值为一，图像如下， 很显然，这个函数在 x 等于二处的极限为一。但如果我选择仅用 x 零构造数列 x n， 会发生什么事情呢？ 为此，我们在旁边再建立一个坐标系，这个坐标系的横坐标是 n， 纵坐标是 f x n。 这里的这个 x n 就是一个全部由二构成的数列。 也就是当 n 为一时， x 一是二，那么 f x 一就应该等于 f 二。同样的，当 n 为二时， x 二还是二， 所以 f x 二依然等于 f 二。由于 n 不论取多少， x 三的值总是二，所以 f x n 的结果总是 f 二的值。此时同学们会发现， f x n 的极限等于二， 显然与函数在 x 等于二处的极限不相等。之所以会产生这样的结果，就是因为数列 x n 没有满足上面这个条件，也就是它不能等于 x 零。 ok， 到这里定义算是介绍完了，下面来看两道例题。 海聂定理是说，若函数在 x 零的极限为 l， 那么任意一个极限为 x 零的数列 x n， 它所对应的函数值 极限也为 l， 并且反过来也是成立的。这也就是说，若鼠列极限不存在，那么函数极限也不存在。 下面就来利用这一点来完成这道例题。求 six 分之一在零处的极限。 如果我们有作图软件，可以看到函数图像是这样的，要求的极限位置在这里 下面我们利用海聂定理将这个函数极限问题转化为数列极限问题来解决。 因为要求的极限位置是零，所以我们首先在定义域内找出极限为零的数列，可以看到这个数列的函数值为他们。 接着我们再在定义域内找出另一个极限为零的数列， 可以看到这个数列的函数值为他们。很明显的，黄色数列与红色数列的极限不一致。 根据海聂定理，函数在零点的极限就不存在。下面我们写出证明过程。 首先令数列 x n 为二， n 派减二分之派分之一， 那么可以得到当 n 趋近无穷时，数列 cy accent 分之一的极限是负一，也就是图中那些黄色的点。 然后另数列 y n 为二， n k 加二分之派分之一， 可以得到当 n 趋近无穷时，数列赛银 y n 分之一的极限是正一，也就是图中那些红色的点。 最后，由于数列三 x n 分之一与三 y n 分之一的极限不一致， 而数列 x n 与 y n 的极限都是零。这样根据海聂定理，我们就知道 函数三 x 分之一在零处的极限不存在。至此，我们就完成了这道例题， 证明 cyx 在 x 区域正无穷时的极限不存在。这道题和前面那道题的解题思路是一样的，同样是通过找到两个极限不相同的数列，从而证明函数的极限不存在。 首先还是先做出函数图像，然后由于题目球的是趋于正无穷的极限，那么我们就在定义域内找出一个极限为正无穷的数列， 可以看到这个数列的函数值是这些。接着，我们再在定义域内找出另一个极限为正无穷的数列， 这个数列对应的函数值是他们。很明显的，黄色数列与红色数列的极限不一致。因此，函数趋于正无穷时，极限不存在。 几何上过了一遍，下面来写出代数过程。第一步，令数列 x， n 为二，安派减二分之派， 那么可以得到，当 n 趋近无穷时，数列 ci accent 的极限是负一， 也就是图中那些黄色的点。 然后另数列 y， n 为二， n， k 加二分之派 可以得到。当 n 趋近无穷时，数列三 y， n 的极限是正一， 也就是图中那些红色的点。 最后，由于数列 cy accent 与 cy n 的极限不一致， 而数列 x， n 与 y， n 的极限都是正无穷。这样，根据海聂定理，我们就知道函数 c x 在 x 趋于无穷时的极限不存在。 至此，我们就完成了这道例题。 以上是本期视频的全部内容，欢迎一键三连！

好，那下面呢，我们来看一下第三个啊，海内定理。海内定理啊，这是个人名啊。海内定理。呃，海内定理干什么用呢？他主要是把我们后面的啊，前面所学过的函数，极限 啊，鱼啊，我们今天学的啊，狩猎机械。 哎，联系起来。嗯， 他是个桥梁啊。同时呢，这个地方他又与啊什么呃，极限的符合运算啊，非常类似，符合运算，非常类似啊。所以呢，一会你听我讲完啊，然后类比一下。好吧。 什么意思啊？先把概念读一遍啊。读一遍。我估计你们很懵啊，读完我再给你解释好吧。啊，对于 fx， 这是函数了啊，在他的去腥淋浴，在 x 您的去腥淋浴内有定义 啊。折啊，这个函数极限当然是去 x 零的时候 fx 他等于 a。 这个极限的充药条件是什么啊？充药条件 对于任何以 x 零为极限的啊，以单是零为极限的数列啊。最二，任何以 x 零为极限的数列 啊。这个数练呢，他不等于他。好，每一个啊，他都是需要可以解释的啊。好，都有。当 n 去无穷的时候， fx， n 等于。 哎。啊，读完了有没有感觉啊，好像内容信息量太大了对不对？好，那这里呢，我给你拆分一下。 什么什么呢？他前面这这些我都不用管他对不对。这个就前面极限的一些东西。主要是后面这句话对于任意 x 零为极限的数列。好，那这个地方我们用表达试写一下啊。就是你 任意与以 x 零为极限的数列。也就说什么，所以你极限值是等于 x 零对不对？这个数列呢？你可以任意随便取啊，只要你极限为 x 零这样的一个数列 是不是这个意思？嗯，好。然后呢？都有。他等于 a， 他又是等于什么？这是不是 n 区 于无穷啊？这是函数，这里边呢，他是数列对吧？啊，好，那你现在来看啊， 他是现在是取极限对不对啊？那极限符号和这个 f， 这个符号是不是可以换一下？因为极限这个地方是存在的，所以我们把这个符号换一下看看。 却无穷，那这个里面就是 xn， 是不是这样的？好，他说呢，这个极限要等于 a， 对不对？这个极限要等于 a 啊。他不说他就等于 a 吗？他的冲要条件啊。冲要条件意味着就是啊，两边都能推。什么意思呢？ x 区 x 零 fx 等于 a 啊，他是能互相推的。好，那你现在来看啊， 这个大 n 去无穷，这个类似于什么？类似于符合当 n 去无穷的时候， x n 去什么？刚才说了， x n 是去 x 零的，也就是说当 n 去无穷的时候，这个里边是趋于多少 去 x 零，对不对啊？去 x 零，那 n 去无穷 x 零。也就是说你 当 n 区域无穷的时候，中间变量区域多少趋于 x 零，对不对啊？你最后的函数，呃，这个极限值等于多少？就是等于 a。 嗯，那我们画个图四， 这一图我们再画啊。嗯，变量最开始这个极限啊，左边的是数列极限，变量是 n， 对不对？然后呢，他会有一个中间变量，是数列极限 xn。 然后呢，后面还会有一层，这个你可以看做啊，符合极限与函数的符合。我们知道极限也是一种函数，特殊的函数，对不对？所以其实就是函数与函数的符合。 是不是这样的？好，现在什么意思啊？他就说 n 去无穷是不是啊？然后的话 x n 去多少， xn 就趋于于 x 零对不对 啊？他不说以 x 零为极限的吗？好，那 fxn 要去多少？ fxn 要去 啊，不是等于 fx 零啊，是趋于 a 对不对？趋于 a 嘛。啊，也就说这句话就讲的是这个意思啊，一层一层推出来的。好。那最后变成什么呢？变成他的冲药条件就是 x 去 x 零的这个极限。 嗯，明白吧。这个不就是我们的符合运算吗？你看符合性运算来。符合运算是什么样的啊？在函数里边 x 嗯， gx fgx， 你看是不是一样的啊？啊，假。比如说啊，我们这个符合运算是这样的， x 区域 x 零啊， f gx 零啊， gx， 它的极限等于。 好，那你看一下，是不是跟这个过程是一模一样的？现在啊，这里边中间面呢是系 x， 也就是说 x 区于 x 零的时候。嗯，你看啊，这样 是 x 区域 x 零啊， gx 要去多少 啊？ gx 要去多少，是不是趋于 gx 零对吧？要趋于 gx 零啊。好。然后的话， f 大啊，这个 gfgx 这个符号是要去什么？是不是要去 a 呀， 对不对啊？所以这个就跟我们函数的符合运算是一样的啊，只不过这里 取的是什么？取的是数列。好，这些过程我们大概了解了。来再数一些细节啊。这个细节就是什么呢？任何以 x 定位的机械就所有的吧。任何就所有的吧。 那是不是说你这个数列你要任意数列？任意数列就是所有的，所有的，以这个 x 零为极限的数列。你是不是可以理解什么 啊？数列又是什么？又是函数的值机对不对？数列是不是函数值？所以说他最后还是回顾到什么函数上面来是一样的，只不过换了一种说法对吧？所以这个海内电影其实就是符合函数 的一个极限的运算对不对？好好，这个任何文给他解释了啊。还有一个，什么 x n 不等于 x 零，什么意思 啊？这个 x n 不等于 x 零说明什么？说明我们是区域 x 零的啊，但安全无穷的说 x n 是区域 x 零，但是不取 x 零，这不是跟我们函数几线的定义是一样的吗？ 啊，含水极限的定义是趋于某个字，但是不等于那个字对不对？ x 区 x 零，但是不等于 x 零。所以呢，这个也给大家解释了 对吧？啊，其他的没有嘛？这个就是韩式极限，他是什么啊？确信领域有定义对不对啊？所以这一个海内定理他实际说的就是什么？ 说的就是这个啊，符合运算啊，符合运算就是函数极限与函啊，不是这个数列极限与函数啊，也可可以这么说啊，数列与函数的符合对吧？ 啊，也是我们把竖列转换成函数上面来。好，那这个行列定理有什么用呢？啊，怎么用呢？啊？来， 我们来。嗯，出这样的一个例子啊，假设让你去证明，之前我们不是说过吗？啊，这个函数极限他是不存在的嘛？ 当 s 去零的时候，善应 x 分之一是不存在的对不对？因为他善应 x 去零，这是零分之一正啊，无穷对不对？这个无穷善无穷是不是正负啊，正负一啊，在交替啊，正当对不对？他是不存在的。 好，那在这里有没有更准确的去 证明他不存在的啊？我们只是说啊，直观的去意义上面啊，说啊，三眼无穷是个正当的啊，所以极限是不存在的。那有没有直观的好，那下面呢？就利用这个海内定义来，这是个函数极限对不对？你要证明他不存在， 你看一下他存在的冲药条件是对任何的以 x 零为极限的数列极限。哎，都要有他。那我们这里我假死，我找到了 两种极限，两种啊数列，一种数列呢。我使得呃，这个数数列极限啊，是区域 x 零的啊，但是呢，等于 a 对吧？另外，我又找了一个极限啊数列， 我发现啊，他的这个极限当 x 啊，就是。嗯，答案 n 去无穷的时候，他极限仍然是 x 零。但是呢，嗯，另外的这个极限，他不等于 a， 他 等于 b， a 与 b 不相等。好，那如果是这样的话，那我是不是就不满足这个创业人员啊？是不是就可以往前推推这个极限是不存在的，对不对？因为他是冲业条件嘛。啊，所以我们现在我们来看啊， 我们现在要以什么呢？这个就相当于 m x 零，要以零为极限的数列，对不对？我们找这样的， 我们取，假设我们取先取这个 xn， 我们取什么呢？嗯，取二 n 分之二， n 派分之一。好，那你现在我问你，当 n 区无穷的时候， xn 是不是区域零，没问题吧？ 啊，这是他以零为极限的一种书列， 对不对？好，这种数量我们来看一下啊。最后我们要算的是 n 区于无穷对吧？ fxn 是不是算这个？我们算他是不是算这个好，看他等于多少啊？ 安全无穷。 xn 是等于二，那就是啊，这个是上瘾 x 分之一对不对？上瘾 x 分之一倒过来就是上瘾二 n 派对吧。 这样的塞引 x 分之一嘛。啊，把 xn 带到这个里面来，带到分母，分母再翻上去，就是二 n 派对不对？二 n 派，但 n 却无穷啊。 n 是个正整数，对不对？ n 正整数二派。 n 等于多少？是每 一项都等于零，所以这一项一定是等于零的。所以这个极限是等于多少？等于零，对不对？比如说，我们选取了这样的一个数列啊，以零为极限的数列，这个极限值等于零。好。另外我们再取一个 好二 n 派加派啊，或者啊，加二分的派啊，加二分的派。 嗯，加二分之判。那也就是说，此时你看一下他的极限是不是零？ xn 当 n 去无穷的时候，这个父母是不是去无穷大啊？仍然是领去领好。然后呢，我们再来看 fxn n 去无穷， 那此时是赛赢多少啊？翻上去对不对？那就是二派， 二 n 派加上二分之派啊。二 n 派加上二分之派。二 n 派。这个 n 为整数，所以没有。所以其实等于上瘾二分之派，上瘾二分之派等于一，对不对？所以这个期限值等于一 啊，对吧？那你现在来看啊，因为是冲药条件，我取了是以 x 零，也是零为极限的数列，我取了两个，一个是等于极限值等于零，对吧？这个极限等于零，另外一个极限等于一。说明呢，这两个极限值不想等。不想等说明什么 啊？说明极限不存在对不对？说明极限不存在。那进一步我们就说明什么，这说明 这个期限是不存在的啊。所以这些道理啊，他说通的啊，只不过他需要一些理论依据。那前面我们说啊， h 无穷对吧？ h 零善意无穷是正当的 啊，只不过我们说不清楚。那现在呢？我们找到一个海内定理对吧？在海内定理就可以证明这个函数极限他是不存在的。好，听懂了啊。

同学们大家好，今天我们来学习海列定理。我们知道极限分为函数极限与数列极限，那么函数极限可以转换为数列极限吗？数列极限可以转换为函数极限吗？ 在一定条件下是可以的，海内定理干的就是这个事。首先来看函数极限转化为数列极限的情况。假设函数在 x 零处的极限为 l， 下面在函数定义域内取一数列，令这个数列的极限为 x 零， 将此数列的函数值组成一个新的数列，这个数列的极限就是 l。 为了看的更清楚一点，我们再建立一个坐标系，左边这个坐标系观察函数极限，横坐标是 x， 纵坐标是 fx， 右边这个坐标系观察数列极限，横坐标是 n， 纵坐标 是 f x n， 这里的 x n 就是靠近 x 零的那个数列。 n 取一的时候， f x n 就是最左边那个点。 n 取二的时候， f x n 就是左边第二个点。 n 取三的时候， f x n 就是左边第三个点。 可以看到，当 n 不断增大时， f x n 不断靠近一个值，这个值就是 x 零的极限值 l。 也就是说，若函数在 x 零处的极限为 l， 且 x n 是极限为 x 零的数列，则数列 f x n 的极限也为 l。 这样我们就将函数极限转换为了数列极限。看完了将函数极限转换为数列极限，下面来看看将数列极限转换为函数极限。首先还是把目光锁定在有函数曲线这幅图上，这个 时候我们只有函数图像，而并不知道其在 x 零处的极限。在定义域内取数列，使其极限为 x 零，并求出其函数值，可以看到这个数列的极限是 l。 再在定义域内取极限为 x 零的数列，可以看到由它的函数值构成的数列极限还是 l。 若在定义内认取一个极限为 x 零的数列，由它的函数值构成的数列极限都是 l 的话，那么函数在 x 零处的极限就为 l。 为了将数列极限看得更清楚，这里还是建立一个 n f x n 的坐标系。先看蓝色这个数列，这个数列前面讲过了，是从左到右排列的，对应的函数值是这些，可以很明显的看出此数列极限为 l。 然后看红色数列，红色数列是从右到左排列的。 n 区一的时候， f x n 就是最右边这个点。 n 区二的时候， f x n 就是右边第二个点。 n 区三的时候， f x n 就是右边第三个点。可以看到，当 n 区无穷时，数列 f x n 的极限也 will。 最后来看黄色这个数列，这个数列是交错排列的。 n 取一的时候， f x n 是左边第一个点。 n 取二的时候， f x n 是右边第一个点。 n 取三的时候， f x n 是左边第二个点。 n 区四的时候， f x n 是右边第二个点。可以看到，当 n 区无穷时，数列 f x n 的极限还是 l。 也就是说，若任意一个数列 f x n， 它的极限都为 l， 那么函数在 x 零处的极 线旧 vl 结合前面讲的，我们就完成了函数极限与数列极限的互相转换。这就是海念定理的内容。 需要说明的是，海内定理证明的是一个冲药条件，也就是说，如果左边极限不存在，那么右边极限也不存在。反过来，如果右边极限不存在，左边极限也不存在。在实际应用中，我们经常利用这一点。下面来看一道例题， 求三印 x 分之一在零处的极限。如果我们用作图软件，可以看到函数图像长这样，要求的极限位置在这里。 下面我们利用海列定理将这个函数极限问题转换为数列极限问题来解决。因为要求的极限的位置是零，所以我们 首先在定义内找出极限为零的数列，可以看到这个数列的函数值为他们。 接着，我们再在定义域内找出一个极限为零的数列，可以看到这个数列的函数值为他们。明显，黄色数列的极限与红色数列的极限不一致，因此函数在零点的极限不存在。最后，我们写出证明过程， 令数列 x n 为二恩派，减二分之派分之一，则当 n 区无穷时，数列 cying x n 分之一的极限是负一，也就是图中那些黄色的点。 令数列 yn 为二恩派加二分之派分之一，则当 n 区无穷时，数列三印 yn 分之一的极限是正义， 也就是图中那些红色的点。显然，数列三 in x 三分之一与数列三 in y n 分之一的极限不一致， 而数列 x n 与 y n 的极限都是零。这样，根据海列定理，我们就知道函数三 x 分之一在零处的极限不存在。至此，我们就完成了这道例题。

hello， 大家好，数学是思维体操，我是考研数学杰哥，杰哥在这个课里面教会大家如何理解深度理解，学明白咱们行列定理，也叫归结原则。那么首先呢，我们来看行列定理讲的什么啊？说，如果说你已知一个函数呢，它在 x 区 a 时，极限是 a， 那么它的充分没有条件是 对任意满足数列到 a 但不等于 a 的数列 x n 总有这个数列极限等于 a， 你看 f x n 就是个数列啊啊，在 n 区无穷时等于 a 嘛？好，那我现在来给大家解读一下啊， 什么叫收敛到 a 但不等于 a 呢？你打个比方，如果 x n 等于 n 分之一的话，那这个 n 分之一在 n 区无穷的情况下，它收敛到零， 但是呢，我们 x n 呢，是不用，不论 n 取多少， x n 永远不可能等于零，因为这个零呢，是他不可能取到的，对不对啊？所以这就叫到，这就叫收敛到 a， 但不等于零。那另外呢，我再跟大家说一下，就为什么要有不等于 a 这个条件，才有 咱们这个数列极限呢？等于我们的 a 呢？各位来看， limit n 区无穷 f x n， 注意， n 区域无穷的时候等价于什么？ n 区域无穷的时候是不是 x n 区域 a， 但是呢， x n 呢？不等于 a， 是不是啊？所以我就可以把 n 区无穷的给它擦掉，也就是 limit x n 去 a， x n 不等于 a 的情况下，这个东西等于多少？那好，我们做一个换元，我把这个 x n 呢，给它写成一个 u， 那么是不是因为我们这个 x n 呢？区 a 但不等于 a， 是不是就是 u 区 a？ 我们自变量啊，我们这个含水极限自变量是，比如说 x 区 a， 那说明 x 不能等于 a， 那，那这是啥？这就是我们的 函数极限大 a， 对不对啊？所以你就看为什么我们这里面又有又有一个收敛到 a， 但不等于。好给大家讲明白这个了啊，那接着呢，如果函数极限在 h a 时是 a， 那我可以推出来无穷多个结论， 无穷多个收敛到 a， 但不等于 a 的数列，这个极限全是我们的 a。 好，反之，你如果想从这边去，往这边推，那你应该用无穷多个满足收敛到 a， 但不等于 a 的数列极限都是 a， 你得到这种情况，你才能往回推。 所以我们海内定理呢，你只能通过函数极限去搭一个桥，用海内定理搭个桥去求咱们数列极限。但是你不能通过数列极限 通过搭桥去求咱们函数极限啊。接下来我就用三个简单的例子告诉你啊，首先例题，我说让你用函函例定理去求这个数列极限，当然这个呢，是咱们这个第二个重要极限，对不对啊？这个很显然，咱大家心里都知道他是等于亿的，但是呢，我还是让你知道如何用函数定点来做 好。你看，我现在呢，我设一个 f x， 它是等于一加 x 的 x 分之一次方， 我们现在来求一下 x 区域零时 f x 极限是多少？ 好，取一个 e 的 longing 啊， e 的 limit， x 去零， x 分之一 long 一下 x。 好，那你看 x 去零是多少？这是等下我们就想吧，这是我们 e 啊，好，也就是说，现在我已经知道这个函数极限呢，是 e 了。好，接下来呢，各位注意 题目中让我们去求的这个数列极限实际上是什么？实际上就是如果我另一个 x n 等于 n 分之一的话， 那么一加 n 分之一的一个 n 次方，实际上就是我们的 f x n， 你看你把这个 n 分之一呢？哎，你往这里边带，你发现它和它是相等的。好用海天定理啊， x 不是趋于零吗？那我现在找一个数列，收敛到零，但不等于零，恰巧 x 能收敛到零，但不等于零，那也就是说我们 limit n 区无穷。 咱们 f x， n 呢，极限应该是和咱们函数极限相等的，都是我们的 e 了啊，都是我们的 e 啊，那也就是说我们可以推出来它是等于 e 的，这个是我们海内定理，我们已知函数极限啊，我们去推 这个，搭一个桥，就求一个数列极限啊， ok 了，那当然了，如果说我现在让你去求 求这个啊，一加二 n 分之一整体的二 n 四方等于多少？同样的，各位注意，我现在有一个 x n 等于二 n 分之一，它同样的是收敛到零，但不等于零， 是不是照样可以套咱们的函列定理啊？啊，那也就是 n 区无穷时， f x n 同样等于 e， 再等于 e， ok， 这是我们例题 e 啊，就告诉你，我们可以通过函数极限搭一个桥去求咱的数列极限。所以有的时候呢，咱们考验时候，有些题目让你去求数列极限，你可以通过求他变化过后的一个函数极限，通过函数极限的数值呢，去得出咱们数列极限。好，接着看例题二， 既然我们已经知道这个数列极限呢是 e 了，那我能不能通过这个数列极限去推导出来这个函数极限是 e 呢？ 好，各位注意，给大家三秒钟啊，大家认为可以的同学呢，可以在弹幕或者评论区呢扣个一啊，打在公屏上，如果你认为不可以的话，哎，你就扣个二，我看一看现在正在看视频的你啊， 能不能理解？我告诉你啊，是不可以的，为什么呢？你如果想从这往这推，也就说你想通过已知某个数列极限，然后去推某个函数极限， 你必须要满足任意这个条件，也就说你必须每举出来所有的无穷多个收敛到 a， 但不等于 a 的收敛带进去之后，求极限等于 a， 你必须把它都没举出来。但是目前来讲的话，你光已知 n 去无穷时，人家 n 分之一 n 次方等于 e 是不够的呀，你得把 你好你好比说，我们现在想是想要知道是 x 一零对不对啊？你得你得，你得去求啊，一加二人分之一的二人次方， 他在 n 区无穷时的极限，比如说 n 区无穷一加二， n 加一分之一，二 n 加一次方，这个月的极限算，就是你得把无穷多个满足这个条件的数列 这样一个极限算出来之后，你才能推函数极限。但是你光通过一个单单的他的极限等于一，你是不可能推函数极限的。那这 是咱们海内定理理解的一个关键，也就是说你从这可以往这，可以通过搭桥没问题，但你从这往这再使，咱们现实实际做题过程中是没有办法去处理的。好，那这个有什么作用呢？这个海内定理的一大作用是，我说过了，通过函数键求数理线，另一大作用就是证明函数键不存在。 你看例题三，如何证明这个函数极限不存在？好，我跟大家讲啊，证明。 我现在呢，我找一个数列 x n， 它是二 n 派分之一。我找一个数列 y n， 它是二 n 派加二分之派分之一 x n 和 y n， 它俩通通收敛到零，但是都不等于零。大家说，我说的对不对啊？是不是非常显然对不对？ 好，我们现在呢，有一个 f x 是 x 分之一，三 x 分之一。 大家来求两求两个极限啊，就是我们 limit n 区无穷 f x n 以及 limit n 区无穷 f y n。 各位注意 f x 是什么？我就把这个东西往这里带，你会发现它是二 n 派，乘以三引二 n 派，结果是零。三引二 n 派是零啊，你 f y n 是什么？ f y n 实际上是二 n 派 加二分之派，再乘以三引二分之派加二分之派，结果是一啊。好，所以 f y a 是他，那你恩，趋于无穷的话，实际上是趋于无穷了，对不对啊？他，他实际上是趋于无穷。 所以你会发现，对于满足收敛到 a 但不等于 a 的竖列 x n 和弯月来说，我带进去咱们这 f x 在 n 区优秀时，发现极限，竟然不想等， 也就是说不满足这东西啊，咱不满足他，不满足他也就意味着因为是充分必要条件嘛，你就没有办法退出他。 由于 x n、 y n 均收敛到零且不等于零固， 我们 limit x 区域零 f x 一定是不存在的。这就是咱含金地理的另一大作用，你通过找到两个都收敛到零但不等于零的输列，带入咱们 函数之后，你发现他们的数列极限竟然不相等，那是不是就不可能满足这一坨？你满足不了这一坨，根据充分必要条件，你一定不能推出它， ok 吧？啊？所以这个就是咱们海内定理的一个精髓啊，一个精髓。咱们考研的过程中呢，主要考察的是什么呢？主要考察的就是我们通过函数极限去求某个数列极限， 因为咱们数列极限呢，由于是变量是 n， n 呢？它是离散的，它没有办法溜洛比达，对吧？没有办法求导。所以很多时候呢，我们往往让你去求一个数列极限，你把它转化成一个函数极限，通过函数极限存在，搭一个桥推出咱们的数列极限。 好，那这个就是咱们这节课的所有内容，如果视频对大家有帮助的话，希望大家能给杰哥一个三连，给杰哥一些小心心，支持支持杰哥创作。好，那我们下节课再见。拜拜。

好，大家的本领就已经越来越多了啊，本领越来越多，让解题能力会越来越强大。看一下开头是不是太子公式也讲完了，一个是被公式，一个掌握，掌控原则是这意思吧，于是最后一条归结原则。 这灰机原则啊，在现在的考验里头呢，对大家要求啊，可能是越来越高了啊，所以以前还不怎么说，现在呢，更为重要。再看八， 还是要好好把握啊，因为现在你们这个年代的考研哈，确实不像以前 一九八七年开始全国统考的时候啊，那个时候随便出题目也简单啊，那时候没出过题吗？出了都是新题是吧？现在已经过了三十三年了，但那二零二零年考完就是三十四年了，你们是第三十五年全国统考，三十五年 来了，各位你想想看，每年是不是都想呈现出最佳的考卷，每年他是不是他们都费尽心思出好题是吧？三十多年来了，春晚越来越来越难办了是吧？ 现在谁还看春节联欢晚会，好友太难办了。不是人家水平不高，你们现在的欣赏水平高，对不对？大家，你现在看电视，电影电视剧，你哪觉得哪个有多精彩，因为你们看的太多了， 没电视的时候突然有电视，你看广告都能看半天，对不对？数学题一样如此啊，三十几年了，你想看，你们再看到题目，哪个题会让你感觉到好啊， 我们现在看这个考验真题啊，实话实说，我看了之后一直麻木了，你知道不？哎呀，还是这个题，不就还是这东西吗？ 说大家如果能到这个程度啊，你想你不是考高分吗？肯定能考高分，这个道理你也懂，是不是你因为你这搞透了，你都可以当导演了， 你都可以出题了，就这个意思啊，但是呢，就是慢慢来吧，慢慢学啊。好，下面看第八条，也就是我们的 我们讲方法里的第五个是第五个叫归结原则。这个呢，数学上叫海聂定理，也叫归结原则，我们习惯上呢，叫归结原则啊， 命题老师，现在他们喜欢叫归结原则啊。好，我们讲一下什么叫罕见定理啊，或者归结原则，这个定理只用不正啊，这个证明且很复杂，不管他啊，说这个是连续化和离散化转化的重要工具。 mate x 曲线 x 零 fx 等于 a， 各位，这是函数极限吧，对吧？啊，前面我们是不是也讲过数列极限啊，我们正好把两个那个把它连起来了，说这个极限如果存在， 他的重要条件是看后面这句话啊，对，任何在 x 零的 darta 去信领域内，以 x 零为记性的数列，要有 limit n 区无穷大， fxn 等于 a 存在， 那么 a 嘛，就是一个数了，他就存在了，是这意思吧。我中间这句话没写啊，对于任何一个以 x 零为极限的数列，看到意思没，就有一条这个啊，这个挺拗口的哈，这样的话呢， 他可以互推，也就是说怎么用这个用起来两个方面了哈，第一个往往就往从后往前推，是极为困难的，你想看他这里是不是有个任何的意思，任何是不是就无数，无数个 是不无数个，也就说如给个 x 啊，任何一个以 x 零作为机型的 x 都得是曲线与 x 零的，且这个极限是哎，是不是才能推出它？ 这要用穷举法是永远做不完的，对不对？所以大家知道这个箭头啊，往往是用来干嘛？就是从后往前推，往往是用来干嘛？是不是用来否定问题？ 哎，能听懂意思吧？用于否定问题，否定他的存在性啊。你想任何这种极限都要存在，是不是只有两个不相等，是不 就都等 a 吗？你只要有两个不等 a， 或者说不是唯一的 a， 是不是他就不存在了？嗯，我们举个例子吧，你看这个题，这不就来了吗？我们说一个非常简单例子啊， 当 x 区零时，我以一个例子你就听懂了，连麦的 x 区零， x 分之一，三 x 分之一，各位，是这个吧？当然你知道啊，这个是这样说啊， x 七零，这是无穷大哥呗，是不？无穷大，这个是不是杀人无穷大，其实我跟你解释过哈，无穷大才是杀人无穷大，你可以很好理解的。我们说这个是不是叫有剑， 他是不是正道？这个极限是不存在的吧？那你尝尝一个零是不是无穷小，是不是把政府给他说到说到零去了，压缩到零，但是这是什么政府啊？哈哈，这是不是变大了，越来越大了，听得懂吗？他 肯定不存在吧，是吧？这种理解就很简单了啊，确实不存在，但是呢，如果从严格的数学分析的角度上来讲，你可以用规矩原则把它严谨的否定掉。怎么否定？大家想，你是不是找两个以 x 零为极限的数量， 然后让他不都是 a 是吧？或者不存在，或者不都是 a， 能听懂意思吧？你比如说找一个，各位，这是不去零，你给我找两个以零为极限的数列，能听懂意思了吧？你现在是去零吧，各位，这是去零吧，然后你找两个数列都以零为极限， 这能听懂吧？那书上不就举例子了吗？你比方说，第一个取 x， n 等于 n 派分之一，我来问，你来答，如果 x n 取成等于 n 派分之一， 我问，你答，当 n 区无穷大时，是不是意味着 n 百分之一区林，嗯，对，是不是就是以 x n 以零为极限了？嗯，你记得哎，数列只有一个区向，是不叫 n 区无穷大。嗯嗯，只能这样啊，这我们讲过的哈，函数记线，那就曲线点或者无穷大，而数列是不是只能区正无穷？ 这我们上一讲都讲过了哈。于是他这是不是可以满足以 x 零为极限这个数量？大家算一下这个极限是几？很好算吧。于是 limit n 区无穷大石 x n x 取成了 x n 了，是多少？ 那是安排吧你，你看，这不也很简很简单吗？这里是不是有了个 fx？ 在这吧看到没有 fx， 你把它带进去啊，带进去以后的话呢？我这个是不是安排这三是什么安排 啊？所以你要理解这时候 fxn fx 本身就是谁了，先不许写极限也行啊，你写极限也无所谓，实际上他身上等于什么啊，就在安排乘以杀硬安排吧。能听懂为什么 这不挨个十分之一，这不挨个十分之一吗？你挨个三取成 n 排分第一倒过来不是 n 派吗？然后商议恩派吧。我这么问你啊你，你听好啊，商议恩派是什么？ 是真正的零吧，他不是无穷小啊，上映整数倍的派是不是一定是零？中学知识告诉我们，零成任何量都是零，这里不是未定。是啊，你可别变念成无穷大成无穷小了啊，这是真正的零，懂吗？这不是无穷小。亮， 我们知道啊，你从说法上来讲，零是不是无穷小也是，但是他是一个极为特殊的最高阶的无穷小。这课本里说的吧，零是无穷小没错，但是他是最高阶无穷小，也就认为意味着任何无穷大乘以他都是零， 能懂吗？嗯，这是一定的啊。啊，你不能把它理解成通俗易上的无穷大成无穷小啊，那是还能比接的啊。零不能比接，零是最高接的无穷小， 什么无重大承让，他都是零，这跟中学知识没有区别。凌晨任何量都是零，我说清楚没说清楚好，于是当你取这条路径哈。 可以，当这一条路路径来看，就是你取了一个 s， 他取零吧。嗯，这个时候算出来哎，是不零，嗯，是零哈。好，再看下一个。再取个啥？看这 取个二人加二分之一派分之一啊，取 x 一瓶，我们再取一个啊，再取一个 x 一撇等于二 n 加一乘上二 n 加二分之一乘上派分之一 取这个哈。然后在 n 区无穷大时，大家自然知道这一项是不是也是去零的。嗯，没有问题的啊，只要 n 去零啊，只要 n 区无穷大倒过来去零了，是吧？还是以，各位是不是依然是以零作为极限的一个数量， 对吧？好，这个时候把它带进去，我问大家，你算出来吧。 fnpsfxnps 几算完之后我们再算极限。一样的道理 啊，这个曲倒过来是不叫二 n 加上二分之一乘以派是还不是？这乘以上应什么？二 n 加上二分之一乘以派是吧？大家好，我来问你来 打这是几了？这是不等一了，因为他是等三应二 n 派加上二分之一派，是不是这个？嗯，能看懂意思吧。好，写到这一步之后呢，大家就发现一点啊，这个前面是二 n 加二分之一个派，是吧？ 是这个吧，这个算出来是几一，于是不等一啊。嗯，哦，他是三英二人派，这是周期函数吧，正好你用周期算就好好办。他是以二派为周期吧，所以二人派没有他是不是就等于三英二分之派？三英二分之派是不是刚好是一， 于是这个结果是不是就等于他了？于是当 limit n 区无穷大是这个结果等于几？是不是无穷大？嗯，是不是就看他了？嗯，这是一昂之等于一的说，只剩他了吧，是意思吧。这也是 课本里举的例子啊。这个不要说，同学们举出来啊，我再说遍，这个对你们的要求太高，但是课本里确实有这个例子，大家是不是他也是以零为极限的数量，但这个极限结果是不得无穷的？嗯，是不说明你看，一个算这是零吧，一个算是无穷大吧，说明什么？ 倒着推，怎么说？倒着推他们并不等于同一个数吧。固否定了他的存在性，能理解了吧，所以就往回推啊。就是如果你找到两个数列的极限值并不相等，或者有不存在情况，是不是他就不存在， 这叫归结原则哈。呃，课本上呢，当然要有这么一段。这个对大家要求啊，就提一提就行了哈，我对你们也没有提过多要求，听懂就行，可以吗？这段能听懂吧，如果让你举例子，你反听得懂哈，真正喜欢考的呢，恐怕是正的推哈，正的推，你知道什么意思吗？第二 一条，这样推往往是考计算的 啊，这个考法却极为重要了，我说说你听听看哈。如果函数极限存在，是不是任何以零、以 x 零为极限的数列极限都存在， 嗯，对不对？那么如果这样来说的话，大家凡是遇到数列极限，是不可以转化成函数进算完之后就推出他来了， 因为你不要忘记一条，凡是带着 n 的，是不是都是离散变量？嗯，是自然数。那么自然数是不能用罗比达法则吧，对不对？就是凡是连续画的工具，凡是求导的工具，是不是都不能用连续？他也不连续啊，这是离散的，怎么连续？ 但是这个是不是就连续的？是，往往是不是也可倒的说，你把它算完了之后，是不是可以推他？好，我给你举个例子。好，请看例题。这个一句话说完啊，我们来看个例题啊，你翻到四十五页例题，一点三点一四 立体一点三点一四，找到没有？一点三点一四，这是一道真题啊。旁边写一句话，这是一道真题， 乔恩去无穷大师恩贝的贪电台恩分之一的恩的平方次方，恩为正整数。看到这句话了吧，武文堂同学们，这是不是数列通向啊？这是恩啊，是自然数，懂吗？他写的正整数吧，不带零了，是数。 忽略吧，这不是函数啊，所以大家知道怎么做吗？分析跟上啊，是不是应该算这个？抬头看，我这是贪你的，贪你的分之一吧。你，你有能理解吗？你觉得我现在这里面的 x 三是谁啊？ 啊？这个数列应该是 n 分之一吧，是不是 n 分之一 啊？你可能没想到，那我问你， n 区无城的 n 分 g 是不是区林？你区林的区林的是不是找 n 分 g 能理解吗？说你使将在算谁知道吗？叫 limit， 我看你能不能想到 x 区姐， 零啊，我们现在研究的不都是区零的状况吗？当然不完全是啊，但是绝大多数情况下是不是区零啊，是不挨个区零 来，你凑着写来应该写什么？我觉得你应该想得到的是他捏的什么，是不是 x？ 这个嗯是干嘛的？这命题老师故意这阵迷惑你的。他写他捏的二分之一了，应该三分之一吧。那干嘛承受？嗯呢，不是承受，嗯是干嘛？ 是除以零分之一吧。如果他这样写的话，你是不是更清楚了？这个写谁除以谁 x 吧，这上面写谁 xx 一的平方或者 x 平方之一吧，是不是要这样写啊？ 懂了没有？你理解哈，我待会用一句话就能解决问题，就是你要知道他给的数列实际上是什么样的函数，对吧？往回找知道意思吧。好，大家一起想一下 x 区里 零食是不是他你的 x 等价 x？ 这个能话多了一点啊，因为还是在后面的啊。这个他的的 x 是不是等价 x 啊，够他俩比之间是不是区域一，是不是区县于一，上面区域几是不是无穷的？ 嗯？ s 七零那无穷小的倒车是不是无穷大？那大家想不想这是不是就一的无穷大车房，对了吧，这怎么做 啊？这是叫密纸函数吧，这底是函数指数是不是也是函数？是不是叫密纸函数？这个大家还有印象吗？ 密纸函数我们在基础第一讲里面是讲过这个吧，密纸函数第一是函数，植入函数，各取一字叫密纸函数，是吧？密纸函数怎么处理？只有一个办法，优的 为什么一定要写成什么？ e 的 v 乘以弄鱼吧。这个我们在第一讲里专门讲了哈，在哪？我们翻翻书都可以，在哪里有 第一讲里头专门讲过这个事，待会讲到的时候我就不再重复了啊，这个内容我们是放在那个第十一页， 第十一页看七出等函数吧，十一页最上面是不七出等函数，这样吧，你找十一页正数一二三四五六第六行就住到二，找到没？ 密纸函数我写的是不是就这公式，我们就说明一句啊，由于初等函数是指有基本初等函数经过有限制四字运算和符合的来，并且用一个是能表达出来的叫初等函数吧。所以大家理解密纸函数是不也是初等函数？它是由 vlog 和 u 经过有限制四定数和符合得来的吧，对不对？哦，也是出等函数啊，大家一定要记住，秘制函数要写成这个，对不对？想起来了啊，这个待会我们用的时候就用起来了，这时候，于是他写成什么 跟上我速度按照这个抄，写成什么了，是不是写成了你？于是大家想这样取极限的话，这个一是不是二点七啊？他常说不取极限，是不是上面取极限了？四字用算规则啊，是不是这样算出来四字用算规则推广哈。于是这个极限是不是等 e 的？这个极限 能听懂话，于是他就等于一的。什么林美特 x 七零是不？ v 乘以六为是谁？ x 平方分之一是不乘以六是不是让你弹你的 xb 上 x 帅不帅啊？到这一步了啊。于是这个极限算是不是转换成这个极限了？这个极限怎么算？ 没关系，举例子嘛，举例子他就稍微可能就稍微难一点点啊，没关系啊，我们，我们再想一个事哈啊，等下替换，哈哈。 lan 一加 x 等加 x 吧， 就要 x 去零，记得吗？这刚才好像让你看了一遍吧。嗯，那几个都是不在这了，我们再再看一个。是不是这个等价替换浪。一加 x 是不等价 x 常用等价替换。 找到没？我就不往前翻了啊。嗯，让一加 x 等加 x 吧。嗯，这个数学吗？一个一个虚，一个一个积累吗？好，跟着我思路走哈。考研爱考 x 吗？不爱，爱考什么？答的好记 x 是不是考中间变量等加 谁？ gx 只要 gx 呀，区域零吧。嗯，好，大家现在看这个人，我问你答， ron 是不是 tony sbx 啊？那你想 tonysbs 是谁啊？他区几啊？ 他去一啊。嗯，他不去零啊，他去一对不对？嗯，他去一。我要的中间面料是不是要去零的？于是你告诉我，他捏的 x 比成 x， 你要干嘛去了吗？减一。哎，这个等下替换脸是不是一定得有一加？ 但你现在整个烙印摊子里面是不是没有一家没有条件创造条件。毛主席说，没有条件创造条件，自己动手丰衣足食，缺什么补什么，少什么添什么，是不是缺个一怎么办？加一个一建一个一吗？ 看懂了吗？于是来讲，这里的 gx 是不是就这里的这个东西了？嗯，是，这叫 gx， 看懂没？ 讲完了回头这个就不重复了啊，所以他等级二才叫弹吉的 xb 上 x 减一，因为弹吉的 xb 上 x， 你看他是不是去一，而减一之后去零答的好 看，明白了吗？嗯，于是我们可以推广一下啊，凡是遇到老人与物优质要曲线于一，告诉我怎么办？ 一级写成烙印什么一加上 u 减一等于嫁给谁？ 优减一，因为优减一屈零。来，再来个例子考验整体啊， loying 三英 xbx 答应什么一起背， 来了来了容易什么。一加上三应 xbx 减一对不对？大家三应 xbx 不是去一吗？ 这不中了极限不是区域一吗？他等级是谁？三 x b x 减一，因为三 x 比 x 区限一等，因为 x 区零吗？能懂吗？ 常考的啊，都考过了，这也是真题里考的啊，都是真题里考的东西，现在会了吧。嗯，好，那么这样的话呢，要等价，为他等价 他，哎呀，你发现没有，这是谁？一通分是不是差函处出来了？哎哎，是不是你前面学东西有了吧，看着吧他，你的 xb 上 x 一通分是不是接一个字查在你家有谁上面， 前面有，前面有他家。姐刚讲过是不叫三分之一 x 三方 帅不帅？看底下这个上映 xbxe 中分减 x 添加谁，上面添加谁负六分之一 x 三分 对不对？这个慢慢记啊，再慢慢记啊，这就是考验真题，实际的情况就出现了， 懂了没有？懂了啊，就懂了。好了，这样的话呢，我就练习了一下啊，这个屏幕大家记一记啊，这个屏幕的东西很重要，因为考试的话呢，我再说一遍他这个课本里的啊，这个大学课本里是不是这个，人家听话那书记考题大家知道考哪个了吗？看出来没？ 是不是考的是底下这个能读吧。这个就考点啊，这才是考点。我待会讲，到时不再重复了啊。 是用这个推广到这个了，是用去一，然后加一减一，听懂意思没？是漏又是得劲什么有简易的 说你今后你记住了你见到的什么烙印？商业 sbx 啊，什么烙印？摊级 suvs 啊，你只要见到烙印里面是去一的，立即点价。谁优减一？是不是优减一啊？中间过程可以不写啊，直接写答案的就可以了。 好，那我再问一句了，大家看啊，像这种柿子是不是上面三次方，嗯？底是不是一次方？嗯，那你想啊，这个考试不能这样考，你这样去零了吧。所以他底下是不是得补个平方？嗯，他再补一平方，底下是不是三次方？上下同接，是不是这个题目结果不是零啊， 知道了吧，所以你现在看到没有来看题，你看这里也是每个平方，嗯，明白了吗？他这个东西，这不是随便写的， 哼，想起来没有啊，好再写一遍啊，所以他就等于一的雷米特 x 区域零一起背啊。我这个是不是叫 x 平方分的？ 刚才这个写什么来着？叫 x 分支，看起来 x 减一是不是就减 x 了？刚讲过吧，不带重复了啊，于是底下是不是三层吗？上 是不也三次方？刚才说几来着？三分之一 x 的三次方吧，底下是百个三次方，所以答案是几亿的三分之一次方吧。 这个题会做吧，这种考题考了好多遍了，这就是研究的考试那里面那个题，甚至这种题可以出到十分里面的啊 啊，毕竟这是极限计算啊，是整个为积分的基础，这个的基础班就要讲透他啊，我再跟你讲一遍强化吧，我们这不讲这些基本题的啊，这基本题是一个解题过程当中的计算过程，能理解吧 啊，你，你讲啊，如果你借的基础不打，你到了抢我班，你这些东西又做不到，可能考试的时候就会出问题了，这属于基本功啊。好了，我们把这道题目啊就给大家解释完了，解到这部 之后，呃，这个题可以改吗？可以改啊，你这改成商业你会做吗？刚讲过吧。嗯，不就商业吗？商业那个是起来的，是不负六分之一，过这个答案就变成一的负六分之一次方了。法 能听懂吧？你给我搞一个平方吗？就三次方搞一个平方就三次方吗？这不就曲线三分之一吗？这不就曲负六分之一吗， 对不对？这种题随便改哈，随便改，懂了吧，这改成阿哥上映呢也会吧，阿哥参见的也会吧。啊，你懂就行了啊。好，这个题呢，我们就是阵营本身就是个重要题员啊，这个大家要要重视一下。各位这是算的谁？ 函数迹象吧，好，回过来的看，规矩原则，规矩原则，每一个都得讲清楚哈，规矩原则，大家是不是把这个算完了。 所以当 x 区零时，是不是区域零啊，我们这结论出来了啊，当 x 区零时，只要这个函数机线存在，等于他则根据规定原则，任何以零作为机线的数列，是不是这个机线都等于一得三分之一四， 懂了吗？所以这时候你一看啊，有了吧，于是我们取 x 三。等什么？取很好， x 等几，是不是恩，分之一，对了吧，因为 n 区无穷大师回答我， x 三是不是区林的， 对了吧，你怎么去零吗？那么于是这个表达势力是不是 n 分 d 啊，我说清楚呗，所以取 x n 得 n 分 d， 懂了吧，这是一种有规矩原则。 立即吹 mate n 区无穷大 n 倍的摊进程， n 分之一的 n 的平方也等于一的三分之一四分。回答完毕，这就是考验题考过的这种题目 啊，我这头一次这样讲哈，我们基础班我也没有这么详细认真这样讲过啊，我只是一句带过啊，今天是详细讲了，现在知道什么叫归结原则了吧啊，你要记住，他给的表达是跟以 x 作为连续变量他的联系和区别， 你把这个连续变量的极限算完了，然后你看他给的题目到底那个 x 取的是几，明白吗？你写 x， 现在 x 是不是取的 x 三啊？那么 x 三取 n 分零吧，能理解是吧？哦，要最严格讲是这样写哈，最严格的讲应该是这样写的对吧？但标准 单张写的 x 全部毕业，你也能理解是吧？因为规矩原则并没有出现在大学教材里面，这也是数学专业的东西，但是考研确实考的这个没有办法啊，这这个，现在的命题老师啊，这个这个确实已经考得大家很那什么了啊， 你们烤完东西太多了吗？烤的是吧，总要有点专业化啊啊。慢慢的他们也烤的确实很专业化。 你们现在水平确实很厉害了啊。这个做这些东西好不好？这个就说完了啊，这是第五个问题，叫做规矩原则。我们以后啊还会有些综合性问题会跟大家再去解释啊。先谈一谈啊。好，我规则讲完了，这一够呢，就这么多。

看到拉格朗日中指定里这几个字，脑海中一定要出现这个公式。这里的 b 指的是区间的右端点值二，这里的 a 指的是区间的左端点值零。 要想求出可赛，就得解出 f x 的一阶导，以及 f b 和 f a。 f x 的一阶导就是对 x 方减 x 减二进行求导，所以 f 撇 x 等于二， x 减一，而 f b 等于 f， 二的值等于二。方减二减二等于零， fa 等于 f， 零的值等于零，减零减二等于负二，所以 f 平可塞就等于二倍的可塞减一等于零，减 负二除以二减零等于一。从中求出可赛等于一，可赛等于一，正好属于区间零到二内，所以可赛是一。