九年级上册三角函数怎么画图

好，我们亲爱的初三同学们，今天老师带大家打卡一道我们锐角三角函数的一道比较巧妙的题目，非常巧妙的题目啊，像昨天我给你看的比较简单题目，今天呢和明天我们就要看 难度系数稍微大一点的题目啊，如图，而这三角形中角 abc 是一个九十度 ab 六，然后 bc 八，那么斜边 ac 是不是十六八十，这样子就轻松搞定这个边长来，我们继续读题六八十， 然后继续读题，说是 d 是 ac 边上的一个动点，并且贪真特角 abd 是一个二分之一。则求 bd 的长度，求 他的长度啊，就是有有的题目他会问的是，就是知道的，和要问的风马牛不相及，所以现在要考察你的 就是思考能力以及间隙能力啊。我们看看六八十已经用上了摊枕头，这个没有用，一般所谓的三角函数必须用在制造三形中，所以你必须做辅助线。第一步，过点地做一个辅助线做什么？好？比如说我们在这里做的是我们的地 a， b， c， d， e 啊，好，如果我们做的这个 d e 垂直于 a、 b， 那么他现在有摊，正常 a、 b、 d 等于二分之一， 所以在这里啊，摊着呢，就是一个对比零，你可以设摊着呢，设这个就是这个啊，他是不是异地比上一个 be， 我设异地为 x， 那么 be 就是二 x， 哎，那么我们看 bd 是根号五 x， 是不是斜边是根号五 x， 你算一下购物，你可以算出来，现在只要求出来 x 就可以了，但是孩子们， x 咋求呀？ 这是关键呀， x 怎么求啊？我们发现我们设完 x 之后，好像我们刚刚的那个六八十好像没有用了，是吧？ 在这里我们看哦，通过知道 ab 是六，所以可以我们可以导出来的是这个长度减一下就是 ae， 就是一个六减二 x。 是不是？那么我们现在看啊，跟老师一起来看， 我围绕了一个三角形，这个三角形 a e d 里面有 x， 有六减二 x， 但是我不知道斜边，但是通过大的三角形，我是知道这个 a 的一个摊子，他知道 三引 a， 他等于对比零，等于八比六，等于四比三，那同样的用到小三角形里面，就等于一个 x 比上一个六减二 x， 通过算出来 x 可以达到这样的值。 其实我们这道题呢，就说思路啊，就是有一些要辅助线的思路啊。好，接下来老师重新给你说一遍思路啊。首先读题， a b 六 b c 八写编十六八十。知道 在知道贪政的 abd， 那我们要知道贪政的 ab 要用，要用它的话，把它要放到一个直角三角形里面，所以过点 d 做了一个这个 e， 嗯，因为贪政的值，所以 设第一为 x， 那么 b e 就是二 x。 购物定理，斜边 bd 是根号为 x， 我要算出来 x， 怎么算呢？那么 a e 用六减二 x 表示，那么现在最后一步用贪正特 a 就可以求出来 x。 啊，好，贪正特 a 可以求出来 x。 好，那么我们现在看一下我们的贪正特 a 呢，他等于谁呢？他是等于 对比零，等于八比六，也就等于四比三。大三角形里面啊，那么小三角形里面就是一个对比零 x b 六减二 x。 好，我们现在给他呃算一下，交叉相乘二十四减八 x 等于三 x， 呃，得到十一 x 等于二十四 x 等于 十一分之二十四是不是？但是鞋边是根号五 x， 那就十一分之二十四倍的根号五。选择四 d。 这道题就完了啊。巧妙之术在于做辅助写。

我们来看一下这道多选题，已知函数 f x 等于散小括号二 x 加四分之三派，加上抠散小括号二 x 加四分之三派，则以下选项中正确的是。 首先我们对于函数 f x 进行一下变形，我们发现它是二 x 加四分之三派的正弦值，加上二 x 加四分之三派的余弦值。在此我们可以使用三角函数的辅助角公式， 如果同学们有不清楚辅助角公式内容的，可以搜一下我以往的视频。由题可知，函数 fx 就等于根号二倍的中括号二分之根号二乘以散小括号二 x 加上四分之三派，再加上二分之根号二乘以抠散小括号二 x 加上四分之三派， 就等于根号二倍的散小括号二 x 加上四分之三派，再加四分之派， 所以 f x 就等于根号二倍的散小括号二 x 加 pa 就等于负根号二倍的三 r x。 我们来看一下 a 选项， 因为 f x 等于负根号二倍的三二 x， 所以 f 小括号 x 减去四分之派，就等于负根号二倍的 散。二倍的小括号 x 减去四分之派，就等于负根号二倍的散小括号二 x 减去二分之派，就等于根号二倍的扣三二 x。 很明显它是一个偶函数，所以 a 选项是正确的。我们来看一下 b 选项， 他说曲线 f x 的对称轴为 x， 等于 k 派。我们知道，对于正弦型函数和余弦型函数来说， 当函数值取得最值时，就是它的对称轴。所以当 r x 的整体等于二分之派加 k 派时，函数 f x 是取得最值的。我们可以解得， x 就等于四分之派加上二分之 k 派，其中 k 属于 z， 所以 b 选项是错误的。我们来看一下 c 选项。当 x 大于三分之派小于二分之派时， 此时二 x 的整体是要大于三分之二派小于派的。我们观察正弦函数的图像可知，当二 x 整体大于三分之二派小于派时， sine 二 x 应该是单调递减的， 所以 f x 等于负根号二倍的三 a r x 在该区间就是单调递增的，所以 c 选项是正确的。我们再来看一下 d 选， 因为 f x 等于负根号二倍的三二 x， 所以函数 f x 的最小值就等于负的根号二，所以 d 选项是错误的。综上可知，这道题的答案应该是 a c 选项。

我们这个视频呢，开始讲第二十八章锐角三角函数，其实这一章呢，并没有什么难的，主要就围绕这么一丁点东西去开展的吗？那么我们废话不多说，直接看二十八点一锐角三角函数， 那锐角三角函数呢？你得知道它是什么东东呢？那现在我告诉你啊，这三个东西你必须得给我记下来，那我告诉你怎么去记忆看第一个， 其实呢，所谓的锐角三角函数啊，他主要是在二 t 三角形中展开的，也就是说他主要是在直角三角形中展开的，能明白吧？他他他的存在，一切的考点和重点都是在直角三角形中产生， 好看。好喽，那直角三角形中有三个角我们知道，并且其中一个角是九十度，我们更知道了，那这两个角都是锐角，我们还知道，哎，巧了，他叫 叫什么？它叫锐角三角函数，那肯定是围绕角 a 跟角 b 展开的，那它是一种什么样的关系呢？其实它围绕的是一种在直角三角形中这个锐角啊所对的边的一些比例的关系，比如对边跟斜边，对边跟林边， 零边跟斜边这样的一种边的之间的一种比例的关系。那么我们说在这个直角三角形中，以角 a 为例，那么以角 a 为例呢？我们把它角 a 所对应的对边 a 比上这个三角形中的斜边 a 比上 c， 它其实有个说法的，叫做什么呢？叫做 sign 啊， s i n sin sin 是什么呢？看好了，我们说的是角 a 的对边比斜边，那叫 sina， 等于 abc， 兄弟们，这个东西就完事了，简单不简单，这叫做对边比斜边叫做 a、 b、 c， 那三 a 有三 a b 有吗？三 a b 有吗？三 a b 也是角 b 的对边比斜边就是谁啊？角 b 的对边是谁？是 b？ a c 这条边是吧？简称为 b 比上斜边 简单不简单？兄弟们啊，简单不简单，是不是太简单了呀？这记住，这个东西上瘾。 a 干啥呢？对边比斜边，一种比例的关系。那有对边比斜边，那有没有鳞边比斜边呢？比如说还是角 a 的鳞边？看好了，这是角 a 的鳞边，直角边比斜边，角 a 的鳞边。什么是 b 对吧？看好了，一定是他的林边啊，是这个比上斜边，他的林边比斜边。他林的什么边？直角边啊？角 a 的林边，角 a 的直角边啊，林的直角边比斜边。注意啊，我们目前学的都是什么？都是直角边比斜边啊，直角边比斜边，这个，但他叫做什么呢？他叫， 他叫做口塞。哎啊，口塞完事。林边比斜边，那角 b 的这个林边比斜边就叫口塞。 inb。 那角 b 的林边是什么呢？注意啊，是直角边比斜边是谁啊？等于 a 比上 c， 简单不简单。兄弟们，看好了啊，这就是我们刚刚说的说一个角，他的对边比斜边，我们叫做三 a， 能听到吧？他叫做角 a 的正弦啊，他叫做角 a 的正弦。记住，三人 a， 那林边比斜边呢？他叫做角 a 的余弦，叫做口三人。口三人好不好？这个东西你就把它记住，印在脑子里，你的大脑袋长得这么好看，希望你能把它印在你的脑子里， 能听明白不？正弦对比斜，余弦邻比斜，那最后还有一个什么？你说这都是跟什么？跟斜边有关系？那有没有 跟斜边没有关系的？有，比如说角 a 的对边比邻边，对边是什么？对边是 a， 邻边是什么？邻边是 b。 注意啊，我们说的邻边，一个锐角的邻边。我们说的都是直角边啊，说的都是菱角直角边。他叫做什么？他叫做弹劲的 a， 是吧？他叫做弹进 a， 他叫什么？他叫做角 a 的正切，这是什么？记住，弹进的 a， 什么对比邻？嗯？对比邻，那角 b 的正切该如何表示？兄弟们，告诉我来，他记得什么？弹进的 b 等于角 b 的对边是谁啊？这呢？谁啊？ b 比上林，边比上 a， 对比林， 兄弟们能听明白不？对边比邻边，那么你现在看一下。兄弟们，你看角 a 的对边跟邻边跟角 b 的对边，邻边，他俩怎么着？是不是互为倒数啊？有没有发现，比如说弹进的 a 等于这个三分之二， 那弹琴的 b 等于多少？等于二分之三，大前提是在同一个直角三角形中有没有发现他们两个人，然后互为倒数。这个东西是不是很简单？学们，并且还有什么规律？看好了，角 a 的什么正弦值是等于角 b 的什么值？余弦值 发没发现？三 a 等于口三 a， b， 三 a b 等于口三 a， 有没有发现他们之间其实还是有一定的关联的，当然这些东西目前可以不记啊，目前你需要理解什么是正弦，什么是余弦，什么是正切。把它给我印在你的脑子里就可以了。把这三个东西都印在你的脑子里。 来，兄弟们，我们在题里面感受一下啊，在题里面帮助我们去记忆，能听明白吗？不是很多啊，你以后会接下来更多，比如说口弹进去。这是啥呀？目前你遇不到是吧？目前你遇不到啊，这个为为 来四五年呢，可能会遇到了，是吧？你以后的四五年会遇到了，那个时候你多大？你自己想一想就可以了啊。好，那我们来看一下，在阿尔提三角形 abc 中没给图呢，咱自己画一个小小图，他说角 c 等于九十度，哎，这是角 c， 三 a 呢？等于三 b 五在哪个边是 a 呢？ 嗯，哪个边都是行的。我说这个哪个角是角呀？哪个角都行啊。三 a 是等于五分之三是什么意思？三 a 是什么？三 a 是对比什么？三？正弦指对比斜 对边角 a 的对边是 b c， 难道说这个边长是三，这个边长是五吗？不，兄弟们，他们是一个 b 值， 这个边长有可能是三十，这个边长有可能是五十呢，对不对？那如果你想用这个三比五来表示边长，那么你就需要加一个参数，也就是说明什么呢？他们之间的这种比的关系是三比五，你看你加个三 k 五 k 就可以了， 对不对？他说 bc 等于六，注意啊， bc 这回是编长了，等于六，那是不是得到了一个什么六等于三 k 呀？那是不能求出来 k 等于几？是不能求出来 k 等于二啊。那所以说 ab 等长等于多少？ k 等于二，五乘二等于十。 那其实 a c 等于多少？ a c 等于八，它用 k 来表示呢？就是四 k， 有没有发现问 a b 的长等于多少，是吧？等于十，所以选择四 d。 兄弟们，简单不？简单，就明白这个东西他是干啥？他是一种笔直就可以了，你明白他是一个笔直就可以了，用来表示直角三角形里就可以了。在直角三角形中，他负责一些编的一些笔直，很简单的 来看好了，在直角三角形看第二题啊，在直角三角形 a、 b、 c 中，若三边都扩大三倍，二倍啊。看好了，这以前呢，是一个直角三角形，我们姑且叫它 a， b， c， 他说则锐 角 a 的正弦值锐角 a。 注意，锐角 a 的正弦是对比什么？对比弦，比如说，嗯，比如说，这也就是什么？也就是 bc， 也就是表示一下，三 a 等于什么？等于 bcb 上 ac， 那么这是之前他说三边都扩到二倍了，那正弦值是多少呢？是跟着扩到二倍吗？ 注意啊兄弟们，三边都扩大二倍，那此时的三 a 变成什么？其实他还是什么？还是对比斜还是什么？对边比斜边，那此时比 bc 就不是 bc 了，扩大二倍嘛，就变成二倍 bc， 那斜边呢？就变成了二倍 ac， 但是他的比值有没有发生改变？兄弟们，没有改变， 你认这个三角形，无论他怎么变大变小无所谓，他的笔直，他只要是等倍分你别，你放大一倍，我放大二倍，那肯定会改变，大家都是同时放大二倍，缩小三倍，他的笔直 变吗？笔直是不变的，兄弟们能听明白不？所谓的三角函数，他就是一些笔直，哎，他就是笔直。好，这个完事了，我们还有三道小题啊，来，难度加大。看好了， 楼图在这个三角在这个正方形 a， b， c， d 中，是吧？ m 是 a， b 的终点，难度加大了啊。 d e 的等于三倍的 a， 如果 a， e 是 k， 那 d e 是多少？ d， e 就是三 k， 好理解吧？好，那试求三三角形 ecm。 有的朋友直接说三角 ecm 等于直角三角形中的对边比斜边是吧？也就是 em 比 ec。 我告诉你，大错特错， 你不能这样去思考，虽然在这个题里面他是正确的，是吧，但是你要想清楚，所谓的三角函数一定是在大前提是什么？大前提一定是在二 t 三角形中，你能保证说他等于九十度吗？ 你只是看着像而已。所以说，第一步是证明他是一个直角三角形，当然了，有的问题可以怎么着转移角，比如说，我不能确定这个三角形是直角三角形，但是我的比如说这个角一啊，他等于角二， 哎，角二在这个正方形里面他只要三角形啊，那 sam 角二就等于三三二就等于三一，能听明白吧？ 啊，所以说啊，两种思考方式啊，这是解题思路啊。第一种思考方式呢，就是证明出他在直角三角形中第二正。第二种，这个解题思路什么转移？把这个角转移到真正的直角三角形中去。那这个问题我们该怎么办呢？ 其实呢，我们是可以比用 k 来表示出这三条边的，看看他们是不符合勾股定理，逆定理，能不能证明出他是直角三角形。那怎么表示呢？其实别忘了兄弟们，他是一个正方形啊，给了我们两个比例关系，哎，怎么两个比例关系？不就这 一个比例关系吗？别忘了这还有什么他们两个相等的， a e 等于咱们设为 k 了， d e 等于三 k， 那 a d 就是几 k？ 就是四 k， 他也是四 k， 他也是四 k， 那 am 是几 k？ 是二 k， 对吧？ bm 是几 kbm 也是二 k， 那能不能表示出这三边呢？太能了，他是正方形啊，对不对？他是正方形啊。来，先来表示 ec 三 k 四 k， 他是几 k？ 五 k， 再表示 emk 方加二 k 方等于五 k 方。开根号根号五 k。 好，继续二 k 方四 k 方，二得四四四十六等于多少？等于二十，你别写成二十，你写成二倍根号五，注意加 k， 对吧？二倍根号五 k。 那现在我们说了，那你现在要验证的是什么？看验证的是 ec 方是否等于 em 的 平方加上什么？加上 m c 的平方相等吗？来， e c 的平方呢？是二十五倍的 k 方，对吧？ e m 的平方呢？是五 k 方， m c 的平方呢？是二十倍的平方，你们说正好发现他们是相等的，所以我们说三角形。 e c m 是什么？三角形？是直角三角形是吧？是直角三角形。 好，它是直角三角形了。那么此时我们才能说 science 角 e c m 等于什么？等于对边比斜边。注意，这个是角 e c m， 它的对边是什么？是 e m e m 比上谁？斜边是 j 是斜边。五 k 最长的那条边是吧？先写 e c 啊， 最长的牛逼，也就是等于根号五 k， 比上谁比上五 k， 最后答案等于多少？等于五分之根号五。你有没有发现，这道题其实一个确切的长 都没有给咱，就给这两个，一个条件，正方形终点他一个笔直，一个确切的数没有给咱，但是咱们能求出这个值来，为什么呢？因为他是一个笔直的关系， 时刻要记得他是一个笔直的关系，他不是说能求出具体数，你他能，他要如果能求出具体数，那得给出特殊的角度，或者给出一些数字，他才能求出具体的数。他是一个笔直， 那时刻要记住，撒盐也好，正弦余弦正斜都好，它表示的是一种笔直的一种关系。什么笔直？在直角三角形中的一种对边跟斜边，对边跟林边，林边跟对边的一种笔直的关系。大前提是什么？大前提？我说一万遍，他一定是一个什么三角形，是一个直角三角形， 这是大前提。哎，这是大前提。好，我们再来看例四，例四，他们说在一个矩形 a、 b， c， d 中， a、 b 等于十， b， c 等于， 他是一个矩形啊，这个也是八，这个也是十，对吧？咱都标记上啊， e 呢？为 a， d 边上一点，将 c， e 将沿 c， e 将三角形 c， d， e 对折。注意这两个三角形怎么样？全等，对吧？使点 d 正好落在 a、 b 边上，因为他是什么过去的，折叠过去的，他俩是全等啊。说 d、 c 是十，他也是十， 能听明白吗？他也是十，哎， d， e 等于 e、 f， 他们都是相等的。求弹进的角 a、 f、 e， 那这个思路很好看了，是吧？他不是，他明确了，他已经是一个直角三角形了。角 a、 f、 e， 他第一步就已经满足了，他在一个直角三角形中。 第二步呢，其实我们就是要找到弹劲呢，是对比邻，我们就是要找到 a、 e 跟 a、 f 的一种什么一种笔直的关系，但是我们发现啊，没法求。说 a、 f 的长度能求吗？其实 a、 f 的长度能求的。为什么？ 兄弟们看这 f、 c 是十， b， c 是八，那 f、 b 是几？ f、 b 就是六，为什么呢？直角三角形啊，勾股定理啊， a b 等于十， a， f 等于几？ a f 等于四， 对不对？那现在就剩 a 了， a， e 能求出具体的数吗？说实话，不能。那怎么办？目前还不能求出具体的数啊，那怎么办呢？那怎么求这个 a 呢？兄弟们， a 呢？怎么求啊？哎，那居然不能求出具体的数，那么我们能不能用参数呢？ 就像以前一样，像前面几个题一样用韩餐呢？能不能假设我设 ae 等于 x， 看好了啊，设 a， e 等于 x， 那么 d e 能不能表示啊？ d e 能不能表示？ d 等表示等于多少？等于八减 x， d e 等于八减 x， 你告诉我 e， f 能不能表示 e f 也等于多少？八减 x， 因为什么？他是折叠过去的老铁们，那现在怎么办？那现在你告诉我，在这个三角形 a， e、 f 中，在这个直角三角形中，我们能不能根据勾股定理列出来一个关于 x 的方程呢？ 可以吧，在二 t 三角形 a、 e、 f 中，我这是一个大概的一个逻辑啊，不是，不是完整的过程啊。在二 t 三角形 a、 e、 f 中，我们能知道 a、 e 的平方加上 a、 f 的平方等于 e， f 的平方， a， e 的平方是什么？ x 方， a， f 的平方等于多少？等于十六 e， f 的平方等于多少？六十四，减去十六 x 加上 x 方 x 方 x 方约掉了，那最后变成了十六。 x 等于多少？等于四十八，那算上 x 等于多少？ x 等于三，简单不简单？ x 等于三，结束了吗？没有结束，所以 谁等于三？所以 a e 等于三，问的是什么？问的是弹进的解弹进的谁弹进的角 a f e 弹进的角 a f e 弹进的角 a、 f、 e 等于什么？等于对比零 角， a f、 e 的对边是谁？是不是 a e 啊？邻边是谁？邻边是 a f 等于多少？ x 等于三， a f 等于四，所以说正确答案等于四分之三，兄弟们能听明白不？ 在这里面啊，在这个直角三角函数说能单独的独立的出题吗？就是很独立的传出来一道大技能吗？不太现实，他基本都是在综合，在综合在里面出题， 比如综合在，他能综合在相似啊，函数与而几何里面，他能综合在所有的里面，比如说与而里面画个三角形。那问你这个角弹进能不能求？能求啊，对不对？三角函数是一个配套的一个东西，他会配套在综合 综合性的大体里面，综合的动点啊，动点的一些笔直的问题里面，能听明白不啊？能听明白不？所以说他非常的重要啊，他是你构成一个满分板块的一个基础， 不可或不可缺少的一块。好吧，来，我们坐下来看最后一个例五啊，在这我们来研究研究这个问题啊，看好了，在二 t 三角形 a、 b、 c 中的口算应， a 等于十五比十七 头三 a， 说明什么意思啊？是邻边比斜边，注意是笔直啊，千万到这我强调一万遍了，是他们是笔直啊，是笔直。那么求三 a， 然后求弹进的 a。 好，那三元一什么？对比斜？那对比斜是什么意思？我们得求出 b c， 那 b c 等于多少呢？ b c 呢？其实就是等于根号下十七 k 的平方减去多少，减去十五 k 的平方 多少？等于八 k， 对吧？八十五十七嘛，个股数。那现在让我们求三 a， 能不能求啊？兄弟们，三 a 能不能求？能求。对比斜等于十七分之八，弹筋的 a 能不能求啊？弹筋的 a 也能求，对比零十五分之， 这十五分之八，对吧？这十七分之八，十五分之八。那其实做道题并不难，在这告诉大家一件事，什么意思？什么事其实在一个直角三角形中呢？如果给告诉我们其中一个角的无论是正弦余弦还是什么，还是正切，其实我们都是可以知一推二的，你要明白这件事， 能听明白不？这题是给你图了，不给图你是不是自己也能画出来？他是一个笔直的关系，你是不是？他这回给你余弦，那你是不是能把正弦跟正弦求出来？那下回给你正弦，那余弦跟正弦是不是也能求出来的？都能求了，一定时刻要记着他。一种笔 笔直的关系，大前提是在什么？直角三角形中。二前提是告诉你一个边的笔直，告诉你一个角的正弦余弦无论什么好，都能求出来。那如果这道题问你什么？问你 sam b， 口 sam b 弹进的 b 是不是也能求出来呢？都能求出来，对不对？三引 b 是吧？口三引 b， 并且我们知道三引 b 是等于口散 a 的，为什么呢？看好喽， 三 n b 是什么呢？是三 n b 的对边比斜边，所谓就是 a c， a c 比什么？ a c 比 a b， 那它正好是 a 角 a 的 于零比零比弦，对不对？ a c 比 a b， 它都是互通的啊，它都是互通。当然这个东西我在目前这个阶段，你目前在这个学基础的阶段，我是不要求你把它给掌握的 那大前提呢？那要求你掌握的就是明白在直角三角形中给你一个角的正弦、余弦或正弦都能把另一个锐角和自身的这个正弦、余弦跟正弦都求出来。