平面内点到线的距离公式

这是柯西不懂事，这是点高直线距离故事，那你有没有想过他们之间也存在一定的关系呢？那就一起来看看吧！在屏幕上，另一只二点，其中一点固定，另一点可以在直线上移动， 在直线上移动的嗲依然满足。直线方长，在等式的两端同时加上一个狮子前对他整理一下，然后再平方。我们可以对左侧的狮子应用可喜过等式。这里留意以下几种的条件，仔细观察一下，是不是有哭的很眼熟呢？ 你的眼睛没有错，这就是点与点的距离公式，这里可以代表 p 点和九点距离的平方。这个时候在对过等式进行整理，手臂变形象就豁然开朗了。 看先前的驱动条件，他说明了线段貔貅在河源直线垂直时区的最小值，这样我们不仅从可惜不等式推到出点到直线距离公式，还顺便证明了点到直线垂直线段最短。今天你有没有听懂吗？关注我，给你带来更多有用的知识！

各位同学大家好，我是刘老师，今天刘老师带着大家一起来证明一下在平面直角坐标系里边的点到直线的距离公式。首先我们看到这个平面直角坐标系啊， x y 轴 在这个坐标系里面呢，他有外等于 kx 加 b 啊，这么一条直线，也有一个点， px 零到 y 零，红色的这条线呢，就代表这个点 p 到直线啊外等于 kx 加 b 他的一个距离。 我们的目标就是要用 x 零， y 零以及 k b 这些啊已知的参数表示点 p 到这条直线的 距离。那么这一节课呢，刘老师采用的是三角函数法来证明，本来 证明这个公式应该最常用的是在高中阶段的啊项链法，但是呢，我们在初中没有接触项链，我们只有利用三角函数给大家证明一下， 如果在平面直角坐标系一次函数学的好的同学啊，你们都会知道直线与 x 轴的夹角啊，假色角 c 他的话，那么弹剑的 c 他也就这个角的正贴纸啊，他就是等于直线的 k 指的。 这样一来，我们就把三角函数和斜率联系在了一起， 怎么表示红色这条线呢？我们需要构造一个直角三角形，首先已经有了啊，垂直，我们直接过点屁 做一条平行于外轴的直线交，这条直线呢，有一个点讲述，这个点叫 m m 点的横坐标肯定也是 x 零，他的重坐标就是 k 背的 x 零加 b 啊，直接带进去这个直线的键是就可以了， 那么这样一来，很明显就可以得到 pm 是等于 y 零减去 k 位的 x 零 减臂的。由于啊，我们不知道这个点屁他到底啊是在这个直线的上方还是在下方，我们点屁的位置是任意的，所以这里边我们对 pm 要打一个啊绝对值的符号 啊，不管他在哪里啊， pm 这段一定是这么多球，到了 pm 的长度，我们就要巧妙的利用三角函数来球的红色啊，这条线段的长度 假设啊，这个焦点为 n， 好描述一点， 很明显呢，三角形，那 pnm 就是一个直角三角形， 刚才说了这个脚是 c 塔，那个这个脚通过倒脚我们可以得到这边这个脚脚屁他也等于 c 塔。 很明显啊，因为这个 c 塔的对顶角这里是 c 塔啊，这个 c 塔呢，加上这个啊 m 等于九十度，然后这个 m 呢，加上这边脚屁也等于九十度，所以啊，这个脚屁啊，他就等于 c 塔， 这样一来我们就可以构建一个啊三角函数的等量关系，就是啊， pm 乘上扣三 e c 打就应该等于 p n 间接把屁人表达 出来，所以 pn 就等于绝对值啊，里面装的是外零，减去 k b x 零再减 b， 然后乘上扣三也 sat。 我们现在的任务就是要把这个 c 塔啊用 k 来表示出来，因为有了之前的贪剑的 c 塔啊，这个等量关系很快就可以表示出来，贪剑的 c 塔在三角函数里面等于三 e， c 塔除以扣三 e， c 塔等于 k， 间接就可以表示为啊三 ec 他等于 k 一倍的靠三 ec 他。 我们又发现呢，为了替换科三以 c 他，我们希望把这个等式里边的啊三以 c 他换成科三 赛赛塔，赛赛塔，怎么换呢？我们有一个公式就是赛赛塔，他的平方加上 co 赛赛塔的平方差是等于一的，所以咱们只需要将这个式子啊给他两边先平方， 然后再用这个等式一换，我们就可以得到。这样一个等式就是一减去靠三营 c 大的平方，他就等于 k 平方，乘上靠三营 c 大的平方 转化一下呢，最后就可以得到 co 赛 c， 他是等于根号下 k 平方加一分之一的，所以 我们只需要这个时候啊，把它带到这个柿子里边去就可以得到。原来呀， pn 就等于 y 零，减去 k 一倍的 x 零，减去 b 的绝对值啊，再乘上一个 k 方加一开根号分之一。 我们稍微把这个公式整理一下，永红色的笔啊写给大家， 就是 pn 等于根号下 k 方加一，然后 分子上面是 k 倍的 x 零啊，减去外零加上 b， 他的一个绝对值。不很好理解，关键是啊，这个分子如何理解呢？我们可以把点 p 的坐标直接带入 啊，这个直线就可以得到 y 零，是等于 k 一倍的 x 零，加 b 的 全部移到一边就可以境界的得到 k 一倍的 x 零啊，减去外领加 b 是等于零的。所以上边分子啊，这个式子怎么来的？实际上这个式子就是把我们已知点的坐标带入这个直线里边就可以了，所以 pn 也就是点 p 到这条直线的距离。公式是非常具有实际意义的，只需要知道一个已知点，再知道一条已知直线，把点的坐标带入直线方程 作为分子，然后分母呢，就是斜对的平方加一开根号，就可以非常方便的求出距离，大家不妨可以试一试，看行不行呢？

平面内两点间的距离公式 首先我们来回忆初中所学的竖轴上两点间的距离公式， 竖轴上两点间的距离就是把这两点对应的坐标坐差再取差的绝对值 即可。 接下来我们来讨论平面内两点间的距离公式。 构造直角三角形，我们轻易地发现 a、 c 的长为 x， 一减去 x， 二取绝对值。 同理，我们发现 b、 c 的长为 y， 一减去 y， 二取绝对值。由勾股定理，我们得到线段 a、 b 的长势 a、 b 两点分别对应 横坐标的差的平方与他们纵坐标的差的平方的和。再开算数平方根。我们给到的记忆口诀是，横叉方，纵叉方合起来开根路走光。 现在我们来讨论平面内线段的终点坐标公式。 已知线段 a、 b 即点 a， 点 b 的坐标。点 c 是线段 a、 b 的终点。 设点 c 的坐标为 x y。 由平行线等分线段定理，我们知道线段 f 的长等于非的长，即 x 减 x 一等于 x， 二减 x， 整理得 x 等于二，分之 x 一加 x 二。同理，我们得到点 c 的纵坐标。 古已知线段两个端点的坐标，则其中点坐标为横加横除以二，纵加纵除以二。 事实上，我们可以推理出线段的定笔分点坐标 弱点 c。 把线段 a、 b 分成线段 a， c 的长等于长数 m 乘以线段 c， b 的长，则有 点 c 的横坐标 x 等于 x， 一加 m 乘以 x， 二除以一加 m。 点 c 的纵坐标 y 等于 y， 一加 m， y 二除以一加 m。 特别强调的是，常数 m 有可能取到负值，但 m 不能等于负一。将来我们学到像量的时候，我们会讨论 m 取到负值的情况，现在仅做了解。 另外线段的定笔分点坐标公式的证明不要求我们掌握，我们只要记住这个公式即可。

大家好，今天晚上就是讲一下点到平面的距离， 那么关于这一个点到平面的一个距离吧。其实在空间只要坐标系里面嘛，他是有一个公式的，比如说我现在写一个平面的方程 对吧？平面的方程有三个类型的方程，那么最常考的也是我们经常遇到的一个方程，也就是点法式方程，也就说是是 ax 平， 也就说是 a， 也就说是 a x 减 x， 零加 b， y 减 y 零加 c， z 减 z， 零等于零对吧？注意这里是等于零， 不是等于一啊。其实在我们就是从小到大所所学的一些很多公式里面吧，就是什么什么相乘等于零啊，等于一啊，等于负一啊。这种公式是很常见的，你比如说什么时候等于负一呢？比如说我们说 切线的斜率与法线的学历，二者相乘就等于负一，对不对，那等于的话。比如说椭圆方程，我们高中所学的椭圆方程和那个抛物线方程，他们这种结果 对吧？那这种结果就等于一，那这边是等于零，这要注意一下，不要记错了。那么这一个平面的这一个方程对吧？我们现在已经写好了对吧？这个是那个 点法式方程，那如果算一个点到这个平面的距离吗？其实也比较简单对吧？比如说我现在随便写了一个点啊， 对吧？我现在比如说我现在随便写个点，假如说现在写一个 m 点，对吧？那么假如说这个点的坐标就是什么情况呢？就是 a 和 b， 那么他带到这个平面直角方程的时候吧，他一般出现是哪一个公式呢？他出现这个公式，也就是说 a x 加 b， y 加 c， z 加 d 等于零。我换一下字母吧。我换成这个字母吧。我将 m 点的坐标，我将 m 点的坐标设为 x 零 y 零吧。 这样的话可以与我们课本上经常所学的公式一对应起来。那么他的一个点到这么一个平面的一个距离吧。那么是比较简单的。那么 d 吧又等于什么情况呢？直接将这个点睛带入就可以了。 ax 零加 b y 零，这个点是，这个点是三位平。一键交出标记是 x 零， y 零， z 零对吧？加 c z 零，然后加 d， 然后的话，这边的话再出一个杠号下 a 方加 b 方加 c 方。 ok， 那么这公式就写完了。很简单的 对吧？我现在是因为在空间角度比较细里面对吧。所以说应该是写成这个样子对吧。我之前能够表达出写两个坐标那是不正确的，我应该写三个坐标。

大家好，我是章鱼哥，今天来讲的是这个点到平面的距离公式的推导，那么就是有一个点，这个点当然不属于这个，这个点批，要声明的就是点批带进这个方程是不等于不能等于零的，所以这个批零是不属于这个 不属于这个平面阿法的，不然他属于这个阿法就不用算了，不用算了，带进去他直接就 就等于零的话，那么就可以这个点如果在这个平面内的话，它的距离就为零，不用算了，你把这个 x 零带进去，如果 这个方程是等于零的，那么就是说这个批零点是在这个阿凡内的，阿凡内的话，他的距离就是为零了，那就不用经过这个推导了，那么我们 设设这个平设这个点在平面外的这个点的为 x 零 y 零 z 零，那么我们过这个条直线，过这个点做一条斜线， 过这个点，做这条的斜线，那么交于这个阿法于一个一个 p， 这个 p 一点，这个 p 一点， p 一点呢？就是 x 一 y 一加一了，那么这个点是在这个，这个 p 一点是属于这个 p 一点是属于这个啊阀面内的，就是 p 一点。在这个啊阀面的平面中， 那么我要做这个垂直下来，那么就是做这个垂直下来的一个垂直下来的一条线 垂直下来，那假设这个，那么应不该不用红色？用蓝色呗，好看一些，主要是为了那么他这个点， 那么交于这个就是 p r 点，这个 p r 点， p r 点，我们不设坐标，因为我们求这个不会用到这个，那么我们先写它吧。 x r y r y r j r， 我们不会用到， 这不是坐标，但是我们知道我们要声明的话，就是这里是一个垂竹，这里是一个斜竹，这个批点叫做斜竹， 嗯，就是连接协主语，这个连接协主语 连接斜轴与垂轴这个之间的这个距离，叫做这个 p 一 p 零在这个平面上的投影，当然了这里是垂直的，这里是垂直的，这里是垂直的， 这这叫垂足，这叫斜足。那么我们知道了这个平面的这个三元一次方程的表达式，那么我们也可以知道 它的一个法项量，比如说它的法项量就是这里 这个法项量为 n， 那么它就是 a b c， 对吧？然后我们要写出这个 p 零 p 这个， 而且这个法项量与这个这个 p 一 p 零，要写出 p 一 p 零这个坐坐标表示就是这个 x 零减 x 一，还有这个 y 零减 y 一，还有这个 j 零减 j 一， 这就是 p e p 零的这个坐坐标，就是末末减出嘛。 x 零减掉，那么对应分量，他们对应分量强减， 就是得到这个这个这个 p e p 零这个项量的表示这个表达式。那么我们要 这，而且这个 p e p 零， p e p 零，这个项量和这个 n 的项量所成的夹角，我们设为 c， 它那么我们要求的是这个 p 零点到这个垂足之间的距离，对吧？我们要求的是什么？就是这个黄色的 距离 d， 那么这个 d， 这个 d 就可以表示，那么这个 d 这个点到平面的距离用这个 d 来表示， 那么 d 呢？它就会等于这个 p e p 零， e e p 零的这个 摩长乘以口算七套。由于低，这个高是一个数值，而且是一个正数大于零大于零的正数，那么这里往这里一投影， 就是这个项链往这边投影，我我指示一下，那么他的投影的长度就是这里， 这不就是和和这个低的高度一样吗？你看这红色和这个蓝色的这条线，这条线和这条线不是一样的吗？那么这个扣上去他怎么呢？扣上去他就可以用这个 p 零 p 一点成这个向量取绝对值。为什么要取绝对值呢？因为这个 c 塔角是大于这个 often pie 的时候，它 他就会取得的是，取得的是负数，但是我们要算的是数值啊，算的这个低是大于零的，所以我们要给这个点乘，当然要点乘取一个绝对值符号，保证他是大于零的，那么再除以这个 p 零 p e 这个项链的膜，再除以这个 n 项链的膜，这是我们高中所学到的一个求这个口算机它的的一个来源，这个可以用这个 itit 之后我们来看，我们抄下来， 那么就可以约掉了，约掉一个，对吧？约掉之后他剩下的是什么？ p 零 p 一乘以点成这个就是 数量机在处于这个阀向量的这个膜，那么我们知道， 我们要知道了，这个坐标是这个，还有这个 n， 这个法相量的是 a、 b， c， 对吧？然后点乘的话就是数量积，它是对应分量相乘，再相加就是 a， 那么就是我们就可以在这里算算一下这个 n 乘，这个 p 一 p 零这个相量乘以这个法相量，其实它就是 a x 零减这个 x 一再加这个 b 的 y 零减 y 一再加这个 c 的 j 零减 j 一，那么我们就 带回来呗，我们带下来啊，我们就把上面的算的带回来，就是带回这里就是绝对值得哦，我们先跨减呗， 先画减，那么就是 a x 零，嗯嗯，蓝色笔就是 a 等于个 a x 零加 b， x 零加 c， j 零括号再减这个 a a a x 一加 b， y 一加这个 c j 一，那么我们由于这个 x 一，由于这个 p 一，这个坐标 x 一 y 一加一位于这个平面内，我们带进去 能带进去就可以得到，我们要算这部分等于什么？那么由于这个 a， 我们由于这个 p e 属于这个 f 面内，它就会有 a x e 加 b， y e 加 c， j e 加 d 是等于零的，我们将这个将这个 d 移过来负 d， 那么就等于 a x e 加 b， y 一加 c j 一，那么我们就可以这个红色的框框就可以用负低来点，用负低来表示 是括号负 d， 那么减一个负 d 不就是加一个 d 吗？最终这里运算的就是 a x 零加 b by 零，这里是 y 零 加 b， y 零加 c， j 零，然后加一个 d， 那么就是上面就算得了 a x 零加 b， y 零加 c， j 零加一个 d， 然后再除以 这个膜，就是等于它的这个 a b c 的平方开根号，那么我们就可以算得了， 这是 a 的平方加 b 的平方加 c 的平方，那么这就是把这个所有的算完了， 那么就推打出来了，推打出来了，主要是这一部分的运算， 就是要发现这个鞋足是位于这个平面内的，它带进去就会等于零，那么这块就可以换成负低，这里 宽减就是红色这块是等于负低的，这个框里面是等于负低的，减于负低加一低就是把这个抄下来就是他分子部分的，那么我就是这里是很 很容易就得到了这个点到平面的距离公式吗？那么最终就是总结了，总结就是这个 d 是等于这个 a x 零加 b， y 零加 c， j 零加 d， 根号下 a 的平方加 b 的平方加 c 的平方， 那么就可以了，这个这个公式就到此结束，拜拜。

好，咱们今天这节课开始了，来学习熊院内两点间的距离公式，咱们来看一下啊，但是其实呢，两点间的距离公式咱们前面是不是挺好？嗯，那咱们就来研究一下大家 在坐标法当中两点点的 看图，第一点的坐标是 a 的一万一， p 二的是 s 二万二，那如何来从四个距离呢？ 以前我不去过。 推倒一下的话，怎么推倒不良之间的？好，勾股定理好，勾股定理，勾股定理怎么弄？ 行，咱们如果他做一条直线，平行一还是中的行吗？行，做 p 二，做一条直线，平行谁啊？外中 假设优点是配偶，大家这里是不是垂直的？对，说退伍点的坐标是多少点？而且是 x 二 x 二一，万一没问题吗？没有。那你来说 pp 二屁股的长度 二减八一啊。对，加上就这世界无所谓。嗯，是吧。嗯，看看 p e k 有多长，不能 s 二减 x 一， x 二减去 x 一没问题吧。 那固固定理的话，大家能做出来吧？能，那 p 一 p 二的长度就应该等于更换下他的方向，他的方行吗？固固定理可以，固固定理可以，但是很容易。其他方法 还有没有？咱们学过的方法？还有哪个？嗯，想不想明白？想 大家。 p 一 p 二的坐标很多啊， p 二 x 二减 x 一万， x 二减去 x 一 外呢？减外一减外一，是这样吗？那这样的话，所以他的长度大家说等于谁啊？ 这个就应该在黑幕下，孩子十二了，孩子上二减去 x 一的平方，加上万二减去外一的平方， 是吧？两面间的距离公司这不就出来了吗？对，那项链方法是不是也非常简单？嗯，其实比咱们刚才那种方法好，咱们来看一下啊， 那利用项链的话，大家咱们就可以推导出这个公式了啊，一直两点点的，具体公式根号 x 二减 x 一的平方加负二二减去啊，外地的看板上好多这个公式啊，好多了， 大家如果要是哈，如果要是圆脸，大家有一个点是圆脸的话，你们两点变成距离，公司就变成谁了。真好，真好假， 那更简单了。对，把联名带住就可以了。对，那咱们刚才说了，还有其他的方法，来看一下吧。就是咱们刚才说说了，大家如果这样构成点六的话， 那这两个长度再加 p 一 k o 的长度就是 x 二减 x 一的平方， p 二 k 的长度就是 y 二减乘 y 一的平方，错误定离 那一样可以到到两点点的时间。大家这个题特别是会议啊，会议 可以猜测一下啊，大家一三小时两边大二次中间排上，抓紧时间 来。第一题说多少， 第三题啊，三， 第三题啊，二倍的多少，很好，十很好，十行 好，中间排的第二题三三，第四个，四个，四个，四个，四个。但是只要公司你带不错，这个题不会做错，不会，那就看你的计算了，带出这个公式就可以了，是吧？对，第一个是当，第二个是 三比三二倍的编号十，第四个的话是编号十三行传播动作啊，大家来想一下你们的前两个哈，但是前两个咱们不带公式，行吧？行，您这都第一个，大家这两个点都在哪个手上？ 都在这中好吗？对，再加一点的坐标是六零啊，这里是六零，再加 b 点的坐标是负二零， 六减啊，再一条数不好啊，大家在一条数中啊，不有不有一个方法吗？用右边的数减去谁啊？左边的是吧？行吧，这样单独的减就可以了。等于谁啊？六减， 这个等于八，对，或者说你加兄弟职业行是吧？对，在一个坐标中，那不就简单了吗？好，第二 刷卡啊， 重重重重重重重重啊。对啊，看来还还得注意哈。嗯，他的方等于六十四的话，是不是啊？对于平方，如果有平方的话一定注意啊， 他的一直点 a 是负一二一的坐标是二，已是根号七在 x 组合球一点 p 是到 pa 等于 pb， 这些球 pa 是 ppp， 在 x 组合。你可以说点 p 是怎样 s 吗？对，这样的话，咱们就说 p 是 s， 零能减 xx 等于多少， xx 等于多少。得先说 x 等于等于一， pa 的长度是多少？二百多二倍的跟号非常好。 那这样的话，搜索球的点 p 是 x 零，这 papb， 根据提议他俩不就相等吗？嗯，简单的过程不就可以了吗？对，还有一点一吧， 大家一个得一的话，屁点子多，这不就是一零了吗？那因此大家了解这个距离公式能求了吗？ p， 哈哈哈，妹妹家没有，你们求到哪里去了 啊？咱们分开一下哈，大家第一题两边的，第二题中间的， 这是第一个两边拍打缩结管啊， 十是吧，或者谁 是获得零，那这样的话，他他的坐标，但是坐标光写这一个不行吧，你最后人家问他什么，你就得写什么，大家那个什么 x 说话呢？那因此这个点的是谁啊？零零零零，我零零，对， 怎么问的？那你就怎么回答明白了吧，把第二个中间排呢？十一或者是负一，七十一或者负一，是这样吗？对，这个是不是广泛的动作标？哎，这个这样回答就可以。 好，咱们看一下过程啊，这个车所图的点的坐标是二零零那列，这个方程不就可以了吗？所以他的坐标是零零或者十零。 大家第二个十点批的坐标是七万那列，这个方长减到外等于负一或者十一写一下，所以点批的最多标为负一或者十一。 大家这个题呢，就是用坐标法来证明，平行四边形的两条对角线的平方和等于两条 相邻的平方合的两位坐标法，也就是减息结合，是吧？对，但是减息法或者坐标法的话，咱们首先应该怎样？对，咱们首先应该建起，你把这个坐标系给你们建起来， 是这样吗？那，那大家来想一下，这个怎么间隙呢？这个，这个怎么间隙啊？那你的说法咱们怎么来讲也也 a 为原点，也 a 为原点，行吗？这我行吧，这样的话也 a 为原点的话， ab 所在的谁见为啊？还是说 过 ab 年和 h 轴垂直的，这个就是外中了。对，那给他坐标，给他坐标，喂喂，零，那这样的话 a 就是零零的，这个没有没有什么异味，是吧？嗯， b 点的设备点 a 领，行吧， a 领行。那 d 点的咱们设备，这样 bbc 可以吗？那 c 点的你，你可以 a 加 b， a 加 bc 了，行， a 加 c 吧，是吧？嗯，你们这个长度不差一吗？对，能理解这个意思吗？能，那这四个点的坐标是不是都有了？嗯，那这样的话，咱们只要能够说明 ac 的平方 加上 bb 的平方，这不是，这不是两个对角线的平方盒吗？嗯，是吧，大家都有坐标了，能了解联的距离公司表现出这个阶段吗？能，能吧，能，都用坐标， 肯定可以表示啊，是这样吗？大家，你只要能够验证这个等于谁啊？二倍的，二倍的谁呢？那你说 ab 的平方加上一个谁啊？ abaab 的平方，任何项目都可以吗？ 是不是只要这个是的，大家有座，不要给他表现出来相等不就可以了吗？嗯，是这样吗？嗯，好，咱们看啊， 大家这样练习，那是必点的，坐标是 a 零 b 点的坐标是 bc， 那这样呢？咱们就得到信点的坐标是 a 加 b 还有 c， 那这样的话，再加 ac 的平方，两点点的距离公司， ac 的平方就是 a 加 b 的平方，你加谁方？ ac， 嗯，两点点的距离公式大家是不是可以选出来？ 那这样的话 b d， 大家 b 和 d 两两个坐标都知道了吗？两点零的运动公式可以写出 b 减 a 的平方加对方， 那一样 ab 的平方就等于 a 方， ad 的平方就为 b 方加 c 方，是这样吧。对，那所以大家想想， ac 的方加 bd 的方， 前两个一等，你就是二乘括号的 a 方加 b 方加 c 方，那 ab 的方加 ab 的方就等于 a 方加 b 方加 c 方，大家，所以说，行，你就出来了， 是这样吧，嗯，代表咱们原来是不是用文字来说呢？嗯，回归说明，哎，球的 这个情况，咱们就回归到什么地方就可以了，行吗？这样，大家来想想，这个题的结论咱们前面见过吗？见过呀，在哪个地方想象出现过这个问题呢？ 平行四边形的两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍。哦，项链，项链，对连项链的， 哈哈哈， 那咱们两个把 ab 作为椅子项链， ab 也作为椅子项链，平面当中两个项链就可以了，是这样吧，大姐，你表示一下啊，那你说 ab 加 ab， ab 加一的是不是等于 ab 加一啊？对，平行四边形发表 没问题吧？嗯，大家 bb 等于谁啊？ bbabab 减一， dad 减 ab 吧， abd 减 ab 统一起点指向背景啊，对，是这样吗？是这个长度问题，怎么办？长度问题啊，平方啊。对，咱们把上面两个四的平方行吗？不行。那这样的话咱们就可以当到 ac 的平方，那连 ac 的平方也 他的膜的平方，对，没问题吧？来，这个展开是多少 ab 方？ ab 的方，将二倍的 ab 减乘上 ab， 再加 再加上 ad 的平方，没问题吧？没有好，后边一样。那 bd 的平方我可以写成他的膜的平方，大家展开哪个家？ ababad 的平方减去二倍的 ab 点成华 ad 再加上谁啊？ abab 的这个包，这怎么办？怎么办？这个方向家，对向家才能出现咱们的结论啊。那所以说这些这边向家的话，就是 ac 的 平方加谁啊？加 bc 的平方。那这边呢？这边，那这中间这个是不是抵消了？是不是有两个 ad 的方？两个 ab 的方吗？那也就是二倍的 ab 的 平方加上一个 ad 的平方。大家这个是正门吗？你看项链法也很简单， 是不是项链哈，也很简单。其实哈，大家项链作为工具啊，有的数金用起来非常方便。 先进入咱们前面的空间项链，那就空间项链在和空间指标做标系连接在一块，特别简单，是不是非常方便？哎，他是作为一个工具的用户。行，这是咱们前面所需要的一个手套，这里也很简单的可以送出来， 大家来讲一下，你来比较一下做标法和项链法啊，大家在哪个？你看看他，他有怎样的一个联系吗？有怎样的联系？我把这个退出了啊， 大家体会一下。你看项链方法是不是也很简单？是，但是咱们这次用坐标法剪的时候是不是也很方便？嗯，那这样的话再给咱们考虑一下用坐标法证明简单的平面集合的步骤，咱们来看一下啊。第一步，先见细，用坐标表示有关的量。 那第二步，进行有关的代数运算。第三步，把代数运算的结果换以成绩和关系。 大家，其实大家简细法或者坐标法他的目的有什么？用代数运算来证明什么？集合问题 是不是啊？是，那你考虑第三个，那根据第四个条件，那你是否还有其他的建立坐标系的方法呢？ 大家在想咱们刚才的那个鸡还有没有其他的方法？有啊，你说想怎么见蟹呢？说， 做点 d 锤锤，做点 d 锤锤哦，一 d 为元年，然后见戏行吗？是这个意思吧？不是不是，说谁呢？ abv 哦， ab 为 s， 说 b d 所垂显这个意思行，以 a b 所在的直线为 m 的时候，哪个为外说 所地垂？至于 ab 哦，地影他地向他做垂线。对啊，地向他做垂线，这个方法好吗？不好不好，哈哈哈，不好怎么还见啊？ 大家在想，如果你第一点没擦像他给我推荐这个很外熟的话，他就像 a 和 b 的坐标，你怎么写呢？ a 和 b 型。 那这个就麻烦你假装啊，大家这样塞也行。如果说这个点的坐标是 a 零，大家 b 点的坐标是 b 零， 那你做点就过了。嗯，大家这个就是假设是 d 和 e， 行吗？嗯，那这个点的坐标是谁啊？这个点的回，这个点的坐标是谁啊？ b b 加 b 减 a， 对 d 减 a 加 b， b 减 a， b b b 减 a， b 减 a， 这是这里您能用两个数表示出来的。不对，是 d 减 a 加 b， 然后 动作都是一啊，一千一。说，这个长度为多少啊？这个长度啊，这里是零了。哦，这里是零，这里就零了。行，这样就行了，然后再减就行了。这样的话引出了几个参数 开始录了，也是三个三个，三个也是三个，三个三个也行。这个也可以哈，就是大家还可以怎么减轻？可以以地位的啊，以地位， 大家以他的。你这样想到的，刚才的话，那就以什么最好了，你刚才以他的垂直平衡线多好。 哎，大家觉得对称着总比不对称要好一些。是啊，那大家来讲，如果以他的垂直明显的话，大家这些点子做的能写吗？ 他这样的话，这个就是外桌，大家都在这个桌， 这里是圆点吗？嗯，大家这样的话， a， 咱们可以设为谁啊？ a 零不， a 零对零，这边呢？ a 零 a 零，它不就是关于圆点对，信了吗？哦，大家来想想地点的坐标，咱们设为谁啊？ bc 行吗？那这个两个照片上面谁的对象啊？ a 加二 a， b 加二 a， 对呀，是这个长度不就是二 a 的吗？对， 理解吧，理解。哦，理解，理解，理解。哎，加上他的成果来表示，嗯，行，也行。或者说大家以这两条对角线的焦点选择这个焦点，以他为原点，以 ac 所在的针线为安全的时候能见些吗？也行， 那人说咱们建的细，怎么方便怎么建，大家什么时候方便，尽可能多的点在做标准吗？这个点越多越好，这一个就是满足什么对称型。 哎，这个工作这个比较比较方便啊，那就他那个方法也可以。 那如果以 ab 的终点为来年还有 ab 所在的这线为二十组建立坐标系，会在两条对角线的焦点为来点， 这样也行，他写的是与 ab 平平的身相为来个主也行，咱们刚才说是以 ac 所在的身上为了个主，是不是也行，你画图的出去就可以了。 那大家这里注意哈，间隙的方法有多种，但是咱们最好选用什么合适？适当的， 但是如果你见的戏比较适当的话，你的计算就变了，那咱们的原则他能怎样？原则是怎样呢？ 要尽可能多的什么？要尽可能多的点出现在什么？左边左方，这就可以了。好，大家看这个题，用左边法证明直角三角形，斜边的终点到三个顶点的具体相等 什么？电梯吧，以色有原因啊，谁总在值千万啊。行，这样的话大家会有什么意见吗？没有这个是还是中，这个的话是谁啊？我爱你，我也中，老说怎么办。 c 罗 va 点的坐标是谁啊？ a 零 a 零 a 零就得满点了。对 b 点的坐标 b b b m b m b m 点的说是二分之一 b， 是这样吗？是，那他的提议就在 m 座的三个顶点的距离相等啊，你出来就可以了吧，你立足。大家，咱们说 mc， 说 mc 等于多少？说 他们去等于不两点零的距离公司就可以了吧。二分电话价三点零，二分的一的平方加上二分的一的平方，是这样吧？是，那这样一写的话就是多少 二分子边框下黑框加黑框，那一样，你能写还可以，还有 fb 的长度吧，哦，或者说你写出 ab 的长度嘞，那就 ab 的长度说等于谁啊？ ab 真好， 黑的偏方，嗯， a 方加 b 方，对，是不是怎么样，你看到日背啊？对， m 一是终点，你说他他到三个顶点的距离相等大相上，哎，这不就可以了吗？那就这样的话，这样间隙射出这几个点的坐标， 那因此大家求助这几个距离， mc 求出来了， ab 求出来了，那所以 ma 等于 mbmc 等于二分的 ab。 最后回归到题目当中，记直交台转型斜边的终点到三个顶点的距离相等。 好，咱们来看一下啊，咱们今天所学的内容，大家咱们今天就学了什么？两点电台就在公司，就在一个公司是吧？ 大家可以想想还学了一个什么事情，还学了一个做标法，做标法，做标法来解决问题，那做标法呢？也称为是减息法，大家咱们减息集合就是用减息法来解决有关问题的一个方法。 大家三步，第一步，建立适当的随钓坐标系，用坐标表示有关的量。第二步，进行有关的代数运算。第三步，把代数运算结果翻译成结合关系。 大家这里注意哈，见细的说好，要让图形当中尽可能多的点多在左边，说好，这样便于系法。 那这就是咱们今天的一节课的内容啊，大家看一下这时间课本上的题，以及咱们非常非常快的题啊。

左边是科西不等式，右边是点到直线距离公式，想不到他们之间还存在联系，令 c 等于零，这时这条直线就经过了原点根号 x 的平方加 y 的平方，又是点到原点的距离， 我们通过图形看看他们存在什么联系。画平面做标系，原点为 u， 再画 ax 加 b， y 等于零的直线，任取一点 p， 坐标为 x， y 过点 p 做垂线。 pd 连接 p o， 可以看到，无论 p 点如何运动， po 始终大于等于 pd， pd 等于点 p 到直线的距离， po 等于点到圆点楼的距离。 带入点到直线距离公式就可以得到 pd 的值。带入两点之间距离公式就得到 po 的值。 p d 小于等于 p o， 将 p d， p o 的值分别带入化减后，就得到了科西部等式。 两边同时平方就得到了科西不等式的常见的形式。关注我，了解更多的数学知识！

大家好，今天我就来讲一下点到直线的距离公式，还有两条平行线之间的距离公式是怎么推出来的？咱来看一下在讲这两个公式之前的话，先来看一个最简单的，初中就知道这个公式， 嗯，就是两点之间距离公式，也就是说在平面里头，如果 m 点的坐标，咱们假设为 x 一 y 一，然后这个 n 点的坐标呢？咱们假设为这个 x 二 y 二，那么 m n 两点之间距离公式的话，这个好推，横面竖直的做一个直角三角形， m h n 就可以。 那做完这个直角平角形以后的话，你告诉我这个 m h 这个长度应该怎么表示啊？有同学说，老师直接 y 一减 y 二，我只是说这个图里边画出来的情况是 m 点在 n 点上方， y 一大于 y 二，实际上在处理的时候，你并不知道 y 一和 y 二就一定哪个大哪个小，就是哪个点在上面， 哪个点在下，或者哪个点在做，哪个点在右都不行。你不知道的话，那应该怎么办？加上绝对号就保险了吗？所以说 y 一减 y 绝对值，那同样的道理，另外一条直角边 h n 怎么去表示呢？另外一条直角边，那你直接写上 x 减 x 二的绝对值就可以了。所以说接下来根据勾股定理，这个 m n， 也就是说 m 长度的平方，斜边平方等于 x 减 x 二或者平方，绝对值的平方和破的平方没有区别的啊， 然后接起来外一减外二扣这个平方就行了。那再接下来开根号，不就推出来这样一个两点之间距离公式了吗？ 当然了，再讲后边这两个公式，也就是点到直线，还有两条平行直线，直线距离公式的时候呢？我先来补充一点知识，主要是第一点，第二条的话你就大概看一下就行。这第一条说什么呀？已知 led 一款 l a 一 x 加上 b 一 y 再加上 c 一，他呢是第一条直线，然后 a 二 x 加上 b 二， y 加上 c 二，这个是第二条直线。反正是一共两条直线嘛， 两条直线怎样能够保证垂直呢？好说，只需要 a 一乘 a 二，再加上 b 乘 b 二乘积之和等于零就可以。 其实这个推出来非常容易嘛，对吧？你可以转换成斜率，成绩等于负一的时候，两条直线是互相垂直的，然后再转换成这样的关系就可以。那为什么我要偏偏写第二行这种形式，不写 k 成 k 二这种形式呢？ 原因很简单，难道所有的直线他都有斜率啊？不是啊，但是所有的直线都可以化成这样，关于 abc 的一般式，对吧？所以我们我建议你的话还是写那种形式，如果你作为高中生的话，肯定是要最好写我写的这种形式了，对吧？画圈的这种形式。 那好，这是垂直时候的情况，平行时候的情况的话，你就注意一下就行。那么什么时候平行呢啊？ a 一乘 b 二等于 b 一乘 a 二，时候呢？两条直线就肯定互相平行了，但是，但是你一定要记住，两条直线是不能重合的， 什么时候重合呀？比如说 x 加 y 加一等于零和二， x 加二， y 加二等于零，这两条直线虽然满足，你看一乘二 等于二乘一，虽然满足这样一个要求，但是这两条直线只是说成了一个倍数而已，它是两条重合的直线。理解我的意思了吧，除了满足这一条之外，你还得满足两条直线，不要重合了，你重合就不能是平行这种关系了，对不对？ 那好，接下来我们就要做什么题目了，你看就行了吗？接下来我们证明一下点到直线的距离公式。好， 就是说平面直角坐标系中点批的坐标是 x 零 y 零，然后这条直线 l 的解题，是呢，我就写上吧，是 ax 加 b 外加 c 等于零，那点 p 到这条直线 l 的距离，这个 d 就有了，就等于这样一个形式，那么他是怎么推出来的呢？现在咱们就来推一下。这个好说呀，同学们，你看了， 呃，我们图中啊，实践可以画出什么？可以画出两条直线来，一条直线是 l， 他是已经有的，是 ax 加 b， y 加上四等于零，这个好说。另外一条直线的话，你可以做这个 pm 垂直于谁？垂直 l， 实际上 pm 这条垂线段的长度呢？就是点到直线的距离了。那 pm 这条直线的话，怎么去假设？这个好说，我已经告诉你了，什么时候代表垂直，我就直接写。 那这种情况下哦， b 乘 x 减去 x 零，再加上什么？再加上负 a， 我就写成直接减 a 了啊，减 a 倍的 y 减去 y 零， 然后等于什么呢？等于零，那此时你可以再把这个 pm 整理成什么形式？整理成直线的一般式。那就变成了什么呀？变成了 bx 减 a y， 然后我首先把它移到等号右边去吧，实际上不移到等号右边去也行啊，然后就变成了，移到等号右边去，变成了 bx 零， 再减去 a 外零，就这样的形式了。现在应该理解了吧，一定要记住啊，结合圈一圈这两个式子，你一定要把 abc 看成三个数字，然后 x 零 y 零也是已知的两个数字，只有 x y 是让你求的。那接下来解关于 x y 的什么方 方程组啊？二元一次方程组你还不会啊。所以解得这种情况下，咱们求一下啊，这个 x 解出来等于多少呢？等于比较长，我就直接写了。 那么这个 y 求出来是多少？ y 求出来还是也比较复杂这个形式好了。这个 xy 是什么？这个 xy 不就是一个是 pm， 一个是 l， 那你连理之后求出来的坐标肯定是相当于 m 点的坐标啊。好，那我知道了，原来这个是 m 点的坐标， 既然 m 点的坐标我们已经知道了，然后点 p 的坐标我们也是知道的。那接下来利用两点之间的什么公式？利用两点之间的距离公式就可以了吗？所以说 pm 的距离等于根号下，那你老老实实带就行了呀。那就带吧 好了，写成这个样子之后的话，最后还可以化简，化简到最终会长这个样子，会变成这样一个结果更好下，那再接下来的话，就画成这样一个结果， 根号下 a 方加 b 方分支啊，括号的平方画成这样一个结果之后的话，这个就好说了，那分母的话，实际上就是 a 方加 b 方开一个根号就行，然后分子的话是多少分子的话，那就是根号下平方。不就是绝对号的意思吗？ ax 零 加 b 外零加 c， 绝对好。那你说是不是推出来这样一个点到直线的距离公式啊？所以实际上也不算太麻烦，只是说系数比较多，化解上比较麻烦一些而已啊。那行了，继续来看，直线就是两条直线之间的距离公式是怎么推出来的？ 首先有两条平行线，这个好说啊，你 a 和 b 这两个系数，一个是 a x 加上 b， y 加 c 一，另外一个是 ax 加上 b 外加上 c 二。记住，这种情况肯定有， c 一不等于 c 二。当然 c 一等于 c 二的话，是两条直线，就是重合的时候，距离等于零。其实也可以啊，那接下来你再求这个两 两条平行线之间的距离，就非常简单了。这个好说，我们还是假设 p 点呢，是 x 零 y 零，这个点是在哪的？是在 l 一上边的好，他是在 l 一上面的一个一个定点，那随便取了一个点。 那么接下来的话，我们求这个 pm， 这个 pm 是什么呀？ pm 不就是两条平行线之间的距离，当然也代表了点 p 到 l 二的距离，这个是一回事， 所以接下来我们利用点 p 到哪个到 l 二。记住了啊，是点 p 到 l 二的距离公式。点到之前的距离公式我们刚整完，为什么不可以用呢？所以就是跟好下， a 方加 b 方，分支绝对值写上了啊， ax 零 加 b， y 零再加 c 二。有同学说，老师跟这个一个平行线之间距离公式长得不太一样，那你画成一样的形式不就可以了？ x 零 y 零在 l 一上，那你为什么不带进去呢？好在第一条直线上，那就带入了 a x 零 加 b， y 零加 c 一等于零，加 c 一等于零不就是等于负 c 一的意思？哦，原来这个整体等于负 c 一啊。所以说我们继续改变就行了。那么就变成了根号一下，这个分母没有任何变化啊。分母没有变化，这个分子的话，括号部分我们变成了负 c， 那么就是 c 二减去 c 一绝对号。 你说跟最后这个公式有区别吗？没有区别。然后两条平线之间的距离公式我们就又整完了。你学会了吗？分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下节课再见！

这个点到直线距离公司的证明真的是很绝，初中的同学可以学一学。

同学们好，这一节课开始我们讲第六章直线和圆的方程。今天呢，我们讲第一节两点间的距离公式和线段的终点坐标公式。 你先回忆一下平面，呃，直角坐标系。 我们说围棋呢，是起源于中国的，下围棋的时候呢，使用的棋盘是正方形的， 是一个正方形的棋盘，上面呢啊，有分为俊，就是竖向的十九条和横向的十九条线，他将棋盘呢分成了三百六十一个 格指，就是个一个有三百六十一个交叉的点，然后呢，有黑白两种圆形的旗指，旗指呢，走的时候呢，你看他都是走在每一个 交叉，每都是每个线的交叉点上，然后呢，双方呢，交替在棋盘上行起就是落指，落指后呢不能移动，最后呢，以水为道的地为最，多者为上，这是我们棋盘， 有我们中国呢，呃，这个围棋文化也比较盛行，并且它还是一项体育运动啊。说我们这节课不讲围棋啊，我们说如果把 围棋的棋盘看着是一个平面直角坐标细的话，那么黑白两个棋子所落的位置是否就和坐标有点类似呢？ 我们在这也猜测，那西方他建立了平面，这叫坐标系，是不是受到中国的围棋棋盘的影响了呢？ 好，我们说棋盘上棋指，这是一个棋盘，你看棋盘，如果我们这样建立平面直角坐标系， 那么棋盘之间两个黑白棋纸之间的间隔的大小以及中卫的所在，对应的其实就是平面直角坐标系上两点间的距离，这是两点 间的距离和线段的终点，这是这是黑板两个起值的终点，是吧？我们知道在平面直角坐标系上，呃，平面上的任意一个点 m， 这个点 m， 他的坐标 这个点 m 呢？和这个有序实数对 a b， 我们 a b 是有序，就是 a 在前， b 在后，这样括着的一个有序的实数对，是一对应的 这个有序时词数对呢，我们就给它起个名字叫做点的坐标。我们那反过来说，那任意给定了一个有序的时数对 a b， 那么平面上 就会有一个唯一的一个点 m 和它对应。假如说这就是建立平面直角坐标系以后，平面上的任何一个点 都和一个有序实数对一对应，这个有序实数对呢？就是 a 可以取变所有的实数， b 也是可以取变所有的实数的啊。 好，接下来在这连接平面直角坐标系以后，我们说假如在平面直角坐标系里边，点 a 的坐标是一二，点 b 的坐标呢，是五五，你看，一二就是横坐标是一，均坐标是 五啊，二，那个 b 点呢？横坐标均坐标都是五，那么 c 点呢？ 坐标是五，二就是横着标五，正着标二。那么我们会看到 点 a 和点 c 之间的距离就是四啊，他是什么怎么来的呢？就是点 c 的坐标五，横坐标减去点 a 的横坐标一，得到的就是 ac， 是等于五减一 它的加上绝对值，因为这两个数是，这两个点的坐标就随意减，无论是正负，我们只取的它的绝对值，就得到了两点间的距离。 那么同样道理，点 b 和点 c 之间呢？它的距离呢？就是 c b c b 呢，是等于五减去二，就这样，这是正着，表 标是五，横着，呃，那个点 c， 呃，点 b 的正坐标是五，点 c 的正坐标是二，它们之间的距离就是等于三，我们再看那 a、 b 之间的距离怎么求呢？ 我们说这是一个直角三角形 a b、 c， 其中角 c 是直角，是吧？那 直角三角形的两条直角边知道了，根据勾股定理就有， a、 b 的平方就是斜边的平方，是等于两个直角边的平方和的。 所以说那 a、 c 的长度我们知道了，就是四， c、 b 的长度呢，是三，那么就是四的平方 加三的平方就是等于二十五。我们经常说的勾三股四弦五，是不是勾股定理常用的几个数啊？我们要记记住，因为我们经常用这几个数呢，举例子说明这个 这个勾股定理，还有其他的，呃，比如说三角函数呀，都是用这经常用到这个这几个数值啊，那所以呢， a、 b 的长度就是二十五开方，得到了五啊， 那类似的，我们就得到了两点间的距离。公式就是一般的我们设点 a 的坐标是 x 一 y 一，就是在这个坐标系里边，点 a 的坐标 x 一， y 一 点 b 的坐标呢， x 二， y 二点 c 的坐标呢，就是 x 二，横坐标是 x 二，俊坐标是 y 一， 那么 a、 c 之间的距离呢？就是，呃， x 二减 x 一，是吧， 它的绝对值 b、 c 的坐标呢？ b、 c 间的距离呢？就是 y r 减 y e， 那同样道理，那根据这个直角三角形在呃， 直角三就是 a、 b、 c， 它的勾股定理我们就有， a、 b 的平方是等于 a、 c 的平方，加上 b、 c 的平方好，等于 a， c 就是 x 二减 x 一，就是这个数绝对值括着的平方， b、 c 的平方就是它，这样呢，我们把两边平方就得到了 在一个平面坐标器上任意的两个点。现在呢，我们这个 x c， x 二都不是具体的数了，就是任意的两个点 a b 之间的距离公式是由 a b 这两个点的坐标来决定的， 就是 a b 的绝对值，就是 a b 间的距离就等于根号，然后 x 二减去 x 一括除的平方，加上 y 二减 y 一括除的平方，你看，因为它是平方，我们四三也可以写成什么样， 也可以写成。是啊， x 一减 x 二的平方， y 一减 y 二的平方都可以啊，那我们习惯呢，就记 这个哎，因为我们习惯了记 x 二减 y x 一， y 二减 y 一啊，然后呢，这个公式我们就称为两点间的距离公式啊，这是我们今天讲的第一个内容啊， 平面上两两点的坐标知道了，那么他们之间的距离就可以求出来。 好，接下来我们做一道例题啊，这设呃 点 p 的坐标是二负五， p 二的坐标是五负一，求两点间的距离。我们我们知道了两点间的距离公式，我们甚至就不需要画图了，我们直接就有两点间的距离公式带入。 p p 二等于根号下 y x 二减 x 一，就是五减二 括着的平方，加上 y 二， y 二是负一减去 y 一负五，负一减负五就是负一加五，它括住的平方好，然后就等于根号 更好，五减二是三是吧？负一加五呢，是正四就等于五， 也就是 p 一和 p 二是两点间的距离，公距离呢，就是五。好，这道题呢，是比较简单的。好，接下来我们研究线段的终点坐标公式啊，我们说在 来怎样看一个例子，我们说在一个竖轴上点 a 对应的时数是负一，点 b 对应的时数是正二，那线段 a b 的终点呢？是 c 啊，这是 c， 那怎么样求 点 c 所对应的实数呢？这就是求 a b 的终点坐标，是吧？ 我们假如说，那我们就它终点就意味着什么呀？就是 a c 的线到 a c 的长度等于 b c 的长度，是吧？啊，那我们可以设这个点 c 的坐标是 x， 我们再有两点间的距离，公式我们就列一个方程就可以了。比如说我们设点 c 呢， 是 x， 就是点 c 是对应的实数 x， 那么 a c 的长度就等于 x 减去 a， a c 负一，就是 x 减负一，它的绝对值啊等于，那就等于 x 加一， b c 的长度呢，就等于二减去 x， 它绝对值就是二减 x。 那因为点 c 是终点，所以是根据，所以呢， a c 呢？就等于 b c， 然后把我们把这两个式值带进来，就是 a， c 是等于 x 加一， b， c 呢，等于二减 x。 好，这样就我们减这个简单的关于 x 的方程，我们什么什么样一项？是不是把负 x 移到这边来，变成了 x 加 x， 二倍 x 这个正，这个正义移过去，变成了负一，变成了二减一，是吧？然后再除二，就等于二分之一 上这个二分之一，你我们看他就是在零和一之间就是个二分之一，是吧？这样呢，我们说就得到了两点间的，我们把这个 ab 的终点坐标求出来了， 那说一般的，我们把这个推广的一般的说，如果数轴上的在数轴上设点 a， 点 a 的坐标是 x 一点 b 的坐标是 x 二 点， c 的坐标要设成 x， 那么 x x 一 x 二之间的关系呢？就是这个，这个呢，就是，呃，竖轴上两点之间的句子公式啊。 好，我们记一下，它是怎么样的呢？就是这个 x 等于二分之 x 一加上 x 二。 好，这是竖轴上，那在平面上怎么办呢？我们看啊，我们这个呢，是我们沿这节课的一个小难点， 也是一个重点，我们说设在平面，这叫坐标器上。假设啊，线段 a b 两个点的坐标分别是 x 一、 y 一 和 x 二 y， 那么线段的终点 m， 我们算了， m m 就是英语里边的 middle， 就是中间那个意思，是吧？ middle 啊， m e， m， i d， l 是吧？好， mid 就是终点终点 m 呢，是 x 零 y 零。那如何求线段 a b 的终点 m 的坐标呢？就是把 x 零 y 零求出来。怎么求呢？ 我们刚才说这个竖轴上可以，那如果不是竖轴的话，我们就分别来求，分别来求 x 零和 y 零。我们这样做，我们说如图，分别过点 a、 m 和 b 呢，做 x 轴的垂垂轴，垂线垂轴呢，分别是 a 片、 m 片和 b 片。好，这个是 a 片，是吧？ a 片呢，它的坐标呢，那就是 x 一零 m m 片的坐标就是 x 零 y 零 x 零零， b 片的坐标是 x 二。零。好， a 片 m 片 b 片呢，它都在数轴 x 上。好，我们借用一下那个， 哎，数轴上两点间的那个终点公式，是吧？就是很明显，这个 x 零呢，就等于 x 一和 x 二的平均值，就是 x 零等于二分 位置 x 一加上 x 二。我们这样呢，就把这个点 m 的横着标求出来了，横着标求出来了，很显然呢，同样道理，我们就能求出来它的正着标，是吧？我们说还是这个图 同理呢，我们过这个点 a、 m、 b 呢，分别做 y 轴的垂线， y 轴的垂线，就我们设它的垂轴分别是 a、 e、 m 一和 b 一，那么它的坐标就分别是零， 横坐标是零，共用这个零，是吧？中坐标是 y 一、 y 零和 y 二。好，那我们在竖轴上，竖轴 y 上呢？很明显，这个 y 零就等于二分之 y 一加上 y 二，是吧，这样就得到了。这样呢，我们综合看，我们就得到了平面上，平面上一个点任意两点的终点坐标公式就是 他们这两个点的对应坐标的平均值，是吧？就是 x 零是等二分之一， x 一加 x 二， y 零是等于二分之 y 一加 y 二。嗯， 好，接下来呢，我们就得到了今天的第二个公式啊。接下来我们做一道例题，例题二说，已知点 a 坐标是二三， b 坐标八负三，求线段 a、 b 的终点坐标。好，我们也也不需要画坐标系了，我们就直接带公式，有线段的终点坐标公式，得到 x 零就等什么呀？ x 零就等于二非质 x 一加 x 二，二加八就等于五， y 零呢，就等于二非质三加负三，就是三减三是零，所以说现在 a、 b 的终点坐标呢，就是五零。 好，接着我们再看例题三说，如图，已知三角形 a、 b、 c 的三个终点分别是 a、 b、 c， 它坐标坐标是这样的，我们求 b、 c 边上的终点 d 的坐标， 然后计算 bc 边上那个中线 ad 的长度。词呢，就是把我们今天讲的终点坐标公式和两点间的距离公式求一下， 为了让大家看的更清楚呢，看清楚这三三个点啊，四个点之间的关系，我们先画一个， 按照要求呢，画一个坐标，坐标系啊，就是三点， a、 b、 c， a 是二四，好， 横着标，二中着标是这个点点， b 是负一，一是他横着标，负一，一中着标一点 c 呢，是五，三 横着标，五就留着三，就是这个点。这样呢，好，我们再连接它，就构成了一个直角三角形，是吧？啊，那接下来呢，我们再看，怎么求终点的坐标呢？ 我们说终点是 disb c 的终点，好，我们先用， 那我们用终点坐标公式就得到了，我们做分析，所以已知 b、 c 的坐标了，有终点公式可以求出来 d 的坐标，那连接 a、 d 那点，呃，因为这个 b、 c 边上的中线 a、 d 呢？ a 的坐标有了， d 的坐标求出来了，再用两点点的距离公式就可以求出来线段 a、 d 的长度了。好，接下来我们就把它解，我们说设线段 b、 c 的终点坐标是 x 零 y 零，有终点坐标公式 以及点 b、 c 的坐标，我们就得到了 x 零是等于二分之 负一加五，它就等于四比二十二，那 y 零呢，是等于二分之一加三， 一加三呢，也是个四除比三，二等于二。好，他的终点都。哎，我们看的大概就是画的还是比较准 圈的这个图是吧。好点， d 的坐标有了，是二二，所以说 b、 c 边上终点的坐标就是二二，那么我们再用两个点尖的继续公式， a、 d 的长度就等于 a、 d 点 a 的这个标是二四，那就等于二，这个二减去二是吧？二减二的平方加上二减四的平方， 二减四，宽的平方二减二是零，二减四是负二，负二的平方正二开啊，负二的平方是四啊，开头还是正二， 所以说 ad 的长度呢，就是二这样一个长度。好，这样呢，我们第一节课它主要内容就讲完了， 我们接着呢，探究说已知线段的两个端点的坐标，我们是可以确定他的终点坐标。说如果已知线段的一个端点和和终点坐标了，能否确定另外一个端点呢？怎么求他的坐标呢？ 这个是很容易啊，是吧？我们说假如说我们知道了终点坐标公式，是吧？ 怎么求的呢？我们假如说知道了其中的一个点，假如说知道了 x 一 y 一和 x 零 y 零，那求 x 二 y 二，那就很容易，是吧？ 我们就用重点转标公式，我们把它反解就行了，是吧？那 x 二等什么呀？这个 x 二就等于二倍的 x 零减 x 一，是吧？ 我们把这两边同乘二，就得到了二倍 x 零等于 x 一加 x 二，所以 x 二就等于那个 二倍的 x 零就是终点的二倍，再减去 x 一，同样的 y 零就不是 y 二呢，就等于二倍 y 零减 y 一啊，这个还是比较简单的啊，不再说了。好，接下来就到了我们的练习时间了， 练习题呢，我们先看一下，自己先动手做一下，然后呢我们对答案就是这个说写出来这个，我们这第一题很简单，就是复习一下点的坐标，我们很熟悉了，平面直角坐标，写上一个点的坐标就是 m、 m， a， q， p 啊，这四个点的坐标分别就是它。接下来求下联这三个题， a、 b， c， d， p， q， 他的两点间的距离，以及以两个端点为端，以两点为端点的线段的终点坐标就是两点间距离。我们求一下，就是 a， b 等于他， 然后呢？ c， d 呢？ a， b 等于二倍根号三， c， d 等于它，然后呢？ c， d 的终点，然后最后一个是 p、 q 的， 呃，长度和终点坐标。 第三题说已知三， 三角形的三个顶点啊，这个恰好是一个直角三角形，然后我们求 bc 边上的终点 d 的坐标，再算求下 ad 的长度，这个和我们的立体很相似。好，我们直接跟出来答案就行了啊。 d 的坐标呢是一， a， d 的长度呢？就是根号二啊。 第四题，算已知点 a 点 b， 求一下 a， b 两点间的距离和线段 a， b 的坐终点坐标。 好， a， b 的两点间的距离就有了代入公式，我们就得到了三倍根号二，就是根号二倍的三减三 b。 注意这一点啊，要带上绝对值。不能，可不能加括号小，括号不对，因为这个求出来不知道到底是 a 大还是 b 大啊，要保证这个数出来是个正数，一定要加上绝对值。好， 最后求两个，呃，这个终点坐标，终点坐标呢，就是 x， 零灯塔关零灯塔显出来就行了。 好，今天的内容还是比较简单的，我们就讲了一个两点间的距离公式和现在的终点坐标。 oh， 好，这节课呢，我们就讲到这里，好，同学们再见！

大家好，这里是数学小课堂，今天我们继续来用空间限量球距离问题先开始。第一个就是点到线的距离这一块知识点，有些同学会提出来说这一个公式的推倒或者是求距离的一个过程， 知识点的一个推导有问题，那我们在这里就详细来讲一下这个知识是怎么来的，其中他涉及到这条直线 是 l， 然后呢线外一点 p， 我们一般情况下要得出点 p 到 l 的直线的距离，按照我们的过程就应该先过点 p 来做这条直线的垂线， 这里有一个垂直关系，那么这时候我们要求的其实就是这个皮球，所以我们在这里给他标上问号，那在这里 我们一般情况下还需要这条直线做了一个方向向亮，那在这里是 u， 那在这里的话我们又看到呃 a 点实际上是 l 线上的另一个点，任意一个点好，另外一个任意一个点，他与这一个批点的连线，这样连接起来的话可以构造成这个直角三角形其中的一个斜边，所以我们可以看到其实呃斜边 ap 长度实质上就是 ap 的模。 那么接着我们如果要求出这一个啊 aq， 我们会利用直角三角形，所以在这里需要用到勾股定理，等一下我们再来说，但是最重要的就是 aq 这段距离，好多同学就不知道怎 对出来，所以我们在这里要告诉大家，实际上利用的就是投影，我们这个 u 的话，这条直线方向向亮，我们把它标在下面，那么其实这个 a u a q 相当于是这一个 ap， 这条鞋， 这一条，这一个 ap， 这一段，他的这一个啊连线项链在这一个方向上的投影，你可以理解为 a 光线，哈，想象一下，光线其实是这样照下来的，这是光线 照下来的时候， ap 就会在这条直线上有一个投影，这段投影线其实刚好就是我们的 aq， 那我们之前说投影是怎么设计到的？我们说向亮 a， 再向亮 b 方向上的 投影， 方向上的投影实质上就是项链 a 乘以扩散一些塔，而这 这个扩散一些塔，在公式夹角公式里面扩散一些塔，又是西塔式项链 a 跟项链 b 的夹角，所以按公式展开，他是项链 a 的磨，项链 a 乘以项链 b 的数量及除以项链 a 的磨乘以项链 b 的磨， 那么存上原本这一个前面还有一个项链 a 的模的这种形式的话，我们可以发现抵消之后就变成了最终是这样，是项链 a 乘项链 b 数量及除以项链 b 的模。那按照这样，我们刚刚说了，再通过图像来看的话，其实这段 a q 长度， aq 这段长度就可以看作 是我们的这一个 ap。 项链 在我们这条直线，也就是曲直线的方向下亮，在我们这条直线上的投影，也就相当于他在这一个直线 l 方向下亮 u 上的一个投影。 其实应该说由于他有一些长度，所以时尚应该是他的投影长度， 那么按照我们的说法就应该是好，刚刚说了好，如果推倒的过程好一个推倒的过程，我们也 简单梳理一下，那按照推倒过程的话，他就应该是好这一个 好，他就是 a p 的磨乘以扩散一些塔，这个扩散一些塔是这两个项链 a p 六的夹角，所以在这里的话，夹角公式于选址是 ap 项量乘以这一个 u 项量除以 ap 的磨， 再乘以优的某，然后也是这样约掉之后就得出了应该是 a p 乘以优 的数量，其除以优的模。但由于我们在优的模里面取的是方向单位限量，有些东西如何求方向单位限量，就是求完这一个 l 的一个方向下量，然后再除以这一个方向下量的模，就相当于是你求出了这一个啊 aq， 例如求出了 aq 这一个 好，或者说 l 的一个方向限量，然后呢，你如果要求的是他的方，单位方向限量，就应该对应去除以他的这一个模，这时候就对应到一个 好方向单位限量。那在这里的话，由于我们这一个又已经表示出他的方向限量，所以我们约掉是应该方向限量，是单位限量的话，他的魔为一，所以就最终应该是 ap 限量 乘以右数量级。但由于是长度，所以一般情况下他这一个数量级必须给他加绝对值，因为他代表是长度，所以在这里我们就给他加了一个绝对值，代表他是一个啊投影长度。那最终我们再看，如果这个已经是 ap 乘以优数量级的绝对值，那我们勾股定理要算出这个 aq 的话，我们就应该是 aq， 其实应该长度应该等于根号斜边 的平方，那斜边的平方自然就是 ap 的磨的平方，那在这里就应该是 ap 的平方。剪掉这边我们由于是一条直直角边是 ap 乘以 u 的 数量计的绝对值，所以他的平方就直接是 ap 乘以 u 他的平方。好，那整个知识点的话，就应该梳理的时候，最终能够推出这个公式，那这个公式的推倒过程，最后我们总结出他要求点到线的一个距离，分成了三步骤， 第一步骤就应该是先求单位方向向量， 我们下个视频会涉及到题型怎么做，就会告诉大家单位方向限量，具体应该怎么求。第二步就 是应该是球 连线项链， 连线项链， 那么这里的连线项链指的就是 pa 或者是 ap 这一个项链。第三个就带入公式，第一应该对应等于 低，应该对应等于这一个 a。 好，所以我们把这个知识点的话，首先 今天的视频就是先告诉大家如何推导出这个公式的。第二个就是把这个球点到面， 求点到线的距离分成了三个步骤，大家梳理一下，第一个就是求这条直线的方单位方向下亮，第二个就是求这个连线下亮，那就是 p 点是本身就是这个点到线的距离的这个点，然后呢， a 点是落在这条直线上，任取的另外一个点。 最后第三步就是带入公式，低应该等于根号 ap 的平方，减掉 ap 乘以六的数量，七的平方， 这整个过程大家梳理一下，然后我们下一个视频再来说一下如何利用这三个过程来剪点到。