函数的零点 范娟

同学们好，这个视频我们来学习函数的零点与零点个数。首先来回顾下零点的概念，对于定义为 d 的函数 y 等于 fx， 我们把使 fx 等于零的实数 x 叫做函数的零点。 可以看出函数的零点与方程根很类似，函数 y 等于 fx 的零点就是方程 fx 等于零的时数解，也就是函数 y 等于 fx 的图像与 x 轴焦点的横坐标。 所以方乘 fx 等于零有实数节，也就等价于函数 y 等于 fx 有零点，也可以说明函数 y 等于 fx 的图像与 x 轴有焦点。如果不通过直接求零点的方法，还有没有其他方法来判断零点的个数呢？ 当然是有的，比如函数零点存在定理，如果函数满足这样两个条件，第一，他在区间 a 到 b 上的图像是一条连续不断的曲线。第二，两个端点值满足 fa 乘 fb 小雨林。 此时就可以得到这样一个结论及函数 y 等于 fx 在区间 a 到 b 内至少有一个零点， 即这个区间内存在时数 c 使得 fc 等于零，这是判断零点是否存在的。如果再结合具体的函数图像和性质，我们就能确定函数零点的个数了。 好了，这就是函数零点个数的判断方法，可以用直接求零点法，也可以用函数零点存在定理。如果原函数是由两个函数相减而得到的，并且两个 函数图像也比较容易画出，还可以利用图像的焦点个数来判断。只要直接观察两个函数图像的焦点，就能得出原函数的零点个数，即焦点个数就是原函数的零点个数。方法讲完了，那就来几个例题练练手吧。 函数 fx 是个分段函数， x 大于零时，它是指数型函数， x 小于等于零时，它是一元二次函数。现在让我们求函数 y 等于 f， fx 减八，它的所有零点之和。 这题中 fx 的完整解析式已经给出了，所以最适合直接求函数零点。但是所求的新函数是个复合函数，直接带入求解运算量会很大，因此我们可以用换元法。另， fx 等于 t， 然后结合分段函数的解析式，先把 t 的值给解出来。领原式等于零，可以得到 f， fx 等于八。 如果再令 f x 等于 t， 那么 f t 就是等于八的。结合 f x 的两个分段函数解析式来分段求解，最终解得 t 等于二，也就是 f x 等于二。 此时我们就可以再结合分段函数的解析式，从而求出 x 的值，也就是原函数的零点。分别解得 x 等于一、负二、负三， 所以原函数的所有零点之和就是一减二减三，算得负四。本题选 c 搞定。再来看这道例题，已知 a 小于 b 小于 c， fx 的解析式是这个， x 减 a， x 减 b， x 减 c， 这三个式子中两两相乘后再相加。让我们求函数 f x 的两个零点所位于的区间。这题中的 f x 无法直接求解零点，因此可以使用零点存在定理来研究零点所在区间。 观察选项可以发现，关键点就在 abc 这三个点处。函数值的正负因为 a 小与 b 小与 c， 所以 fa 就等于 a 减 b 乘以 a 减 c， 它是大于零的。同理， fb 小于零， fc 大于零。 现在三个函数值的正负都已经求出来了，接着就可以利用函数零点存在定理来研究零点所在区间了。因为 f a 乘以 fb 小雨林， fb 乘以 fc， a 也小于零，所以 fx 的两个零点就分别位于区间 a 到 b 和 b 到 c 内。本题选 a 搞定。 还有最后一个例题， fx 又是一个分段函数，当 x 小于等于二时，解析是为二减 x 的绝对值。当 x 大于二时，解析是为 x 减二的平方， 而 gx 等于三减 f， 二减 x。 让我们判断函数 y 等于 fx 减 gx 的零点个数。可以发现，本题要求零点的函数 y 比较复杂，无法直接求解零点，也无法使用零点存在性定理。 因此，我们可以考虑用另一种方法，即利用函数图像的焦点个数来研究零点个数。观察题干函数，可以发现，函数外的 fx 减 gx 的零点个数就是函数 fx 和函数 gx 图像的焦点个数，而函数 fx 图像容易画出，如图所示。 但是 gx 的图像就没那么容易了，他的解析是是由 fx 转化得到，因此需要先写出 gx 的解析式， 将二减 x 看成一个整体，分别讨论它小于等于二十和大于二十的两种情况。 将其带入对应的 f x 解析式中，划点整理，即可得到 g x 的分段函数。算得 g x 的分界点是 x 等于零， 当 x 大于等于零时， gx 等于 x 减二的绝对值。再加一，当 x 小于零时， gx 等于三减 x 平方。现在 gx 的解析式也已经求解出来了，那么接着就可以画出他的图像，然后判断他与 fx 图像的焦点个数，即可得到零点个数了。 fx 图像刚才已经做出，现在再做出 gx 的图像，如图所示。可以发现他俩一共有两个焦点， 所以原函数 y 的零点个数就是两个。本题选 a 搞定好了，通过这三个例题的讲解，我们巩固了前面所讲的知识，下面来对本视频做个课程小结。 这个视频首先讲解了零点的概念，函数零点与方程根的联系。需要注意的是，函数的零点是时数而不是点，它是方程 fx 等于零的时数解，另外零点一定是在定义内的。我们还讲解了函数零点存在定理， 需要注意的是，由函数外等于 fx 在 b 区间 a 到 b 上有零点，不一定能推出两端点值乘积小于零，因为这个区间内可能存在多个零点或者 ab， 两个端点就是零点。另外，函数零点存在定理，只能判定零点存在， 如果不结合函数图像特征，是无法确定零点个数的。对于函数零点个数的判断方法一共有三个，直接求零点函数零点存在定理，利用图像焦点个数。好了，这节课就讲到这里，我们下节课见。

这个视频我给你讲讲函数的零点。一般的函数的零点是指使得函数 fx 等于零的 x 值。 注意，零点可不是一个点，他是一个数值。比如函数 fx 等于二， x 减六， x 等于三十，函数值为零，那这个函数的零点就是三。注意，在这里，你只能说零点是三，绝对不能说是 x 等于三，更不能说是三零点。 同样的，如果是这个二次函数 x 等于一和三十，函数值都等于零，那这个函数就有俩，零点、一和三。注意，在这里 你只能说零点是一和三，绝对不能说是 x 等于一和 x 等于三，更不能说是一零点和三。零点以上就是零点的概念。从前面的过程可以看出，函数 数 fx 零点跟方程 fx 等于零的根，以及函数 fx 与 x 轴的焦点是一一对应的。比如已知定义在而上的函数 fx 图像与坐标轴的所有焦点为零，零一零和二，零， 那方称 fx 等于零的根就有三， x 等于零， x 等于一和 x 等于二，而函数 fx 零点也有三，零一和二。好了，就讲这么多， 总结一下吧。这个视频我就给你讲了什么是零点，注意，零点不是点，而是一个数值。函数 fx 有几个零点，就说明方程 fx 等于零，就有几个不同的根，而函数图像就跟 x 轴有几个焦点。怎么样，明白了吗？明白了就赶紧刷题去吧！

这个视频我给你讲讲函数的零点。一般的函数的零点是指是得函数 fx 等于零的 x 值。注意，零点可不是一个点，它是一个数值。 比如函数 fx 等于二， x 减六， x 等于三十，函数值为零，那这个函数的零点就是三。注意，在这里你只能说零点是三，绝对不能说是 x 等于三，更不能说是三零点。 同样的，如果是这个二次函数 x 等于一和三十，函数值都等于零，那这个函数就有俩，零点、一和三。 注意，在这里你只能说零点是一和三，绝对不能说是 x 等于一和 x 等于三，更不能说是一零点和三。零点以上就是零点的概念，从前面的过程可以看出，还是 fx 的零点跟方程 fx 等于零的根以及函数 fx 与 x 轴的焦点是一一对应的。 比如已知定义在 r 上的函数 fx 的图像与坐标轴的所有焦点为零，零一零和二零，那方程 fx 等于零的根就有仨， x 等于零， x 等于一和 x 等于二，而函数 fx 的零点也有仨，零一和二。 好了，就讲这么多，总结一下吧。这个视频我就给你讲了什么是零点，注意，零点不是点，而是一个数值。 函数 fx 有几个零点，就说明方程 fx 等于零，就有几个不同的根，而函数图像就跟 x 周有几个焦点。怎么样，明白了吗？明白了就赶紧刷题去吧！

上回我讲了零点的概念，这回我来讲讲零点存在原理及应用。比如函数 fx， 图像是这样的，他在区间 a 到 b 上有一个零点，可以看到图像在这里穿过了 x 中，在 a 的取值为负，在 b 的取值则变为正 像，这样图像在零点这穿过 x 轴，会改变 fx 的正负。那反过来，如果 fx 在区间塞到地上， fc 小于零， fd 大于零，这说明 fx 的图像肯定穿过了 x 轴， 那 fx 在 c 到地上肯定有零点，所以通过函数在区间两端的曲值一正一负，咱就可以判断出肯定有零点。 那如果两个值都是正的，能不能判断呢？咱们可以画图像看看，可能是这样的，两个 fx 都为正，但零点没有， 也可能是这样的，两个 fx 还是都为证，此时零点有两个，所以两端取之都为证时，不能确定是否有零点，两个证的不行。那两个负的呢？还是画画图像？可能是这样，两个 fx 都为负，没有零点。 或者是这样，两个 fx 都为负，有两个零点，所以两端的函数值都为负时，也不能确定。简单总结一下，只有当函数在区间两端的取值是一正一负时，才能确定有零点，两正或两负都不靠谱。 知道了这一点，咱来试个题。函数 fx 等于二， x 的立方减 x 方加四， x 减四，你能求出他的零点在下列哪个区间吗？ 根据刚才的分析，咱只要算算 fx 的值，看看正负就行。先看负一到零， f 负一等于 二乘负一的立方减负一的平方加四乘负一再减四，结果得负十一，再算 f 零就等于负四。 两端的取值都是负的，那不能确定是否有零点，再看零到一。同样算算 fx f 零等于负四， f 一等于二乘一的立方减一的平方加四乘一，再减四，结果得一正好，一正一负，那这个区间上一定有零点，所以答案选 b。 再强调一下，只有当函数在区间两端的取值为一正一负时，才能确定存在零点，而两正或两负都是不能确定的。 刚才的题目中是直接给你函数，然后问你零点的，有时候题目会换成方程的形式考你，比如根据表格中的数据，你能判断出方程二 x 的立方减 x， 平方 加四， x 减七等于零的一个根在哪个区间吗？这回是找方程的根。其实合找零点是一回事，只要令 fx 等于二 x 的立方减 x， 方加四， x 减七，那找方程的根也就是找 fx 的零点。 跟刚才一样，埃克尔算算 fx， 找到一正一负就行。目标确定，咱就来看看表格，第一行是 x 的值，咱得算出 fx 的值，这回不用带入 x 算，发现没用，第二行减第三行，去掉括号后就正好等于 fx， 所以把后面的值都用第二行的减去第三行的，就得到对应的 fx 的值了。观察这些 fx 的值，这两个正好是一正一负，所以区间一到二上肯定有零点，也就是方程的根就在区间 一到二上。像这样，如果题目中要找方程的根在哪个区间，你就先把它看成函数，再看看函数啥时候取值是一正一负，找到对应的区间就行。 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键就一点，函数在区间上，如果两端的取值为一正一负，那就确定一定有零点两正或两负都是不靠谱的。怎么样，学会了吗？如果学会了，就速速去刷题吧！

好，同学们，咱们接着呢，讲一个函数， y 等于 f， x 等于一的 x 次方加三 s 的零点个数，很显然，如果我们令他等于零，你们是解不了这个方程的啊，那怎么办呢？ 咱们呢，可以用竖心结合啊，竖心结合来找他们两个函数的交点就可以了啊，那么具体一下，我们来看一下解题过程， 当然在这里呢，还有一种方法呢，就是求导也可以解决啊，那么对 fs 求一次导，那么如果是这个 高一的没有学过求导的，那只有用图像法，如果呢，高二学到导数，就可以用导数的方法也可以解啊，那么求导了之后，他就是一的 x 加三，这个式子是很大于零的，所以 fx 在实数上是单调 递增的，那么既然是单调递增呢，那么那我们就看找一个正的点，找一个负的点，那他一定有一个零点，所以呢，我们把 f 负一代进去，他就小于零， f 零代进去，他大于零。 这里啊，同学们要注意，不一定一定要带 f 负一，我带 f 负二也可以，只不过 f 负一的话，他好算一些，好算一些， 然后呢，他就满足零点存在定理啊，所以呢， f 负一乘以 f 零小于零，所以有且只有一个零点，有且只有一个零点。 好，同学们听懂了吗？听懂了，如果觉得对你有帮助啊，请帮老师点赞，也可以收藏起来反复学习，后面老师天天更新，那么也可以关注老师，天天免费学习。

今天咱们来看一道百分之九十的同学都被坑过的一个题目，求这个函数的零点有几个？首先我们看到一个函数的零点问题，咱们可以想，如果我会画这个函数的图像，咱们直接画图 找零点就可以，但是很明显这个函数的图像咱们不会画，所以要进行转化，转化成什么呢？把它变成二的 x 次方等于 x 方，二的 x 次方咱们绘画 x 方也会画，所以这个函数的零点个数其实就变成了这两个函数的焦点个数。接着咱们来画图，先画咱们最熟悉的 x 方的图像，然后我们再画二的 x 方的图的时候，我们要注意，咱们已经知道了他横过零一这个点。 接着咱们再来画几个点秒点，当 x 等于一的时候， y 等于二，当 x 等于二的时候，对应的是四，所以一的时候他是二，二的时候他是四， 而这个 x 方恰好也过二四这个点，所以咱们发现这两个图像的焦点其中之一就是二四这个点。那么我们找到这个焦点之后，咱们把指数的图像画出来， 所以来看这是一个焦点，这是一个焦点，所以两个函数一共有两个焦点，所以答案就是二，到这里大家就掉入了他的陷阱，我们还要看一看到底在这个点之后是否还有焦点。大家注意一下，我们在学只对密函数的时候 讲过一个增长速率快慢问题，指数函数的增长速率是大于密函数，大于对数函数的二的 x 方是一个指数函数， x 方是一个密函数，也就是随着 x 的增大，指数函数的增长一定会超越密函数，也就是说这个二的 x 次方的图像一定会有这么一个位置 使它超过了 x 方，也就是在后面它俩一定还有一个焦点，所以最终这道题 应该是零点有三个，这道找零点的问题大家一定要学会用这种方法，大家可以看一下三的 x 字方与 x 方到底有几个焦点，评论区大家可以给我答案。

大家好，今天我们来讲一下二次函数零点问题啊。嗯，关于这个二次函数零点问题的话，主要就是你得把对应的图像画出来，并且把图像对应的代数语言呢，也一一对应的写出来才可以。首先二次函数的话，开口方向，你说判别式确定的是什么呀？ 判别式的话确定的就是究竟是有一个结，两个结，三个结，在图像上确定的就是这个抛物线能跟 x 轴有一个焦点，两个焦点还是没有焦点，对吧？那么对称轴就确定是抛物线，他那个对称轴是在外轴左侧，右侧还是区间里头？外头是需要涉及到分类讨论的。 那么最后的话，特殊点，比如说跟外轴交点究竟是正的还是负的啊？那么现在我们来做一道题啊，这道题的话，先讲两种方法，首先比较通的方法就是分类讨论的方法，看一下它这个二次函数里头， x 方减 r， a， x 加五，只有唯一这一个位置呢，是有参数的啊， r a， 然后它这个零点说的是在一到三上至少有一个零点，就是说可以有一个，也可以有两个，是不是？但是不能没有零点啊，在一到三这样一个 b 区间上，现在来求这个参数 a 的范围， 怎么来求呢？这样啊，如果用分类讨论的方法来做的话，咱们这样来思考，首先你有零点吧，有零点的话就是判别式跟 x 轴至少有一个焦点啊，所以你这个判别式得大于等于零， c 方减二十大于等于零，这个时候的话，我们就算出来这个范围了啊， a 大于等于 a 方大于等于五，不就是 a 大于等于根号五，或者啊，这是 a 的范围或者什么呢？ a 小于等于负的根号五，这是 a 的范围。 那么第一种讨论的对称轴吧，我们要知道啊，他这个对称轴的话是 x 等于负必除而已。这道题算出来就是 a， 那 a 有可能是在这个区域，也就是一到三的左边，一到三的中间，一到三的右边，所以咱们就根据对称轴的位置呢来分三种情况。第一种情况啊， 当这个对称轴 a 小于一的时候啊，小于一的时候的话，大家要注意一个问题，看好了， 你小于一的时候，还得满足这个判别是大于等于零，其实不也就是 a 小于等于负的根号五吗？ a 小于一的时候，只有在这个范围内的时候才能保证至少有零点，对吧？所以其实我们得出来一个，其实就是 a 小于等于根号五的时候， a 小于一，必须小于等于根号五才能够保证有零点有结。 那么继续往后看，那么接下来你要画图的话就很容易了，他是在外轴左边的啊，这个一在这呢，三在这呢，这个负的跟呃，这个负 a 吧， 就这个对称轴 a 是在这个位置的，他是个负数， a 小于等于负的，刚好我们那你画图只能是这样来画图了，所以我们对应好这个图像语言的话，就是 f 一这个位置呢，是小于等于零，但是 f 三这个位置呢，是在 x 轴以上的，你看点 a 在上面， 点 b 在下面的，就这样一个图像语言，但是我们待会求一下就发现了啊，六减二， a 小于等于零，他俩肯定是且的关系，然后呢，十四减去六， a 大于等于零，那最后求出来是 a 大于等于三， 并且 a 小于等于三分之七，怎么可能呢？既比三大，又比这样一个三分之七小，没有这样 数字，所以说这种情况我们就直接舍了能清楚吧，这就是他舍弃的原因。那么继续来看第二种情况啊，第二种情况大家注意了啊，判别是大于等于零，我们求出来的是 a 方大于等于五。第二种情况呢，讨论的就是直接堆成轴在什么范围内， 在一到三这样一个范围内。那么这种情况下的话，大家要注意一个问题了，来看好了啊， 判别是大于等于零吧，其实也就是 a 方大于等于五，那不就是 a 大于等于根号五吗？所以实际上我们 a 的范围首先就有这个根号五到三之间了，这是大前提啊， a 的范围，那么接下来怎么办啊？ 你画图吗？这是一，这是三，反正对称轴是在中间的，但是这个 a 就 究竟是更加靠近一还是更加靠近三无所谓，你来个货就行了啊，什么叫货呢？来，我们转换成这样一个图像语言，图像语言的话是这样写的，看好了，我们这个 f 一 要大于等于零，或者现在是或或者 f 三大于等于零，就左右两边只要有任何一个大于等于零，他就是有零点的，要么 x 一在中在这个一到三之间，要么 x 二在一到三之间，所以是或的关系啊，那么写出来之后的话，就是 a 怎么样啊？ a 是小于等于三， 或者 a 小于等于三分之七，这个或且的话，取的交集或就是取的并集啊，所以这两个写一块，就是 a 小于等于三，在结合这个大前提，所以 a 的范围就是根号五到三之间，其实也就是这道题答案了清楚了吧。但是第三 三种情况我们也得说啊，就是成立还是不成立，判别是大于等于零，首先得出来 a 大于等于多少五，对吧？第三种情况的话，就是这个对称轴 a 大于等于或者说大于三的时候啊， a 大于三的时候，你为了满足肯定有解，肯定跟 x 轴有焦点，所以其实得出来就是 a 大于等于根号五，对吧。这种情况下，看好了， a 大于三的时候，咱们画一下这个草图， 它对称轴在这个位置呢，这个是 a， 然后它肯定是在三的右侧嘛，为了保证一和三之间有 焦点，所以我们就得出来什么了，就得出来这样一个套路了，看好了哈。首先 a 是大于三的，保证了对称这个位置，其实它这样一个 f 三的位置呢，是小于等于零的， f 一这个位置呢，是大于等 零的，清楚了吧，这样就保证一到三之间肯定有一个根了，有零点了。那么最后我们看一下这个范围求出来是多少啊？这个 f 三小于等于零，求出来的是 a 大于等于多少呢？三分之七，这个 f 一大于等于零，求出来的是多少呢？ a 小于等于三， 这就矛盾了，这三个是钱的关系，怎么可能 ag 比三大，又比三小，所以这种情况也要舍掉的，所以分类讨论的话，我们一定要写综上所述。综上所述 a 的范围是什么？最终 a 的范围就是这个根号五到三的 b 区间了，就求出来了，只有第二种情况，求出来是符合要求的，是不矛盾的， 清楚了吧。但是这个题其实也有别的方法，他说这个函数啊，在这个范围内至少有一个零点，我们可以给他转化，转化成什么呢？看了这句话，咱们转化了啊， 他不就等价于 f x 等于零，他这个零点呢？在一到三之间这样一个方程至少有解吗？你管他是一个解还是两解呢，反正是有解的，对吧？ 那其实也就是说 x 方减二， ax 加五，你注意啊， x 的范围是一到三是正数的啊，等于零，有几转化呀？转换成什么结果？不就是把二 a 单独拎到一边，这个就叫参变分离，参数就是 a， 然后呢，变量就是 x， 你对右边熟悉吗？你右边如果写成 x， 加上 x 分之五，现在你熟悉了吧？这是一个对勾函数啊，左边是一个长数啊，所以清楚了啊。所以其实这道题我们可以写成 y 等于二 a 这条水平线，或者说这个长数函数 于呃，这样一个对勾函数， g， x 等于 x， 加上 x 分之五，有焦点，清楚了吧？而且我们不用把这个完整的函数给画出来，人家说了 x 的范围是什么，是一到三这样一个 b 区间， 好与之，又就是说这个水平线呢？外等于二这个水平线，这个常数函数跟对口函数的一部分，就一到三的这一部分，有焦点就行了，有焦点不就有解的意思啊，好清楚了， 所以接下来这个草图很好画呀。根据对勾函数我们之前讲过的对勾函数的性质来，我用红笔画出来啊，大概就是这样的，他最低点肯定是根号五到多少到二位根号五之间，这是他的最低点啊，最低点 我们用红笔画的 j x 图像，然后左边这个点的话，肯定是一把一带入的话，得出来应该是六， 然后右边把三带入的话是三，加上三分之五，那就是三分之十四，对吧？就这样一个完整的图像啊，都是十斤。那么接下来我换一种颜色，把水平线 y 等于二， a 画上最高的点是六吧， y 等于六， 最低的点是 y 等于二倍根号五吧。所以为了保证这条水平线和对勾函数的这一部分有焦点，至少有一个焦点，那这个时候我们只用保证二 a 在最低点二倍根号五的上方，在最高点六的下方，那最后其实也是竖行结合，可以把这个 a 范围求出来的，所以第二种方法我觉得更加优秀一些。 最后答案肯定是一样的，我们只需要把变量 x 还有参数 a 分离出来，分离出来之后呢，结合对勾函数的性质有焦点就可以了，所以 这种方法我是比较推崇，比较推荐的。那么接下来我们再改变一下这道题看好了。这个时候的话跟刚才都不一样，他说的是一到六这样一个开区键上有两个零点，两个零点都在这个开区线上， 这种情况下不是说咱们必须写判别式，首先我们发现开口肯定是向上的， 然后呢，这个对称轴确实还是 x 等于 a， 因为他解是一样的嘛，但是他保证的是一到六这样一个开拳上，我们怎么去画这个图像呢？很好画，你开口向上了吧，你必须有两个零点吧，并且都是在一到六之间，一六 啊，清楚了吧，中间这个对称轴就是 x 等于 a， 这个就是 x 轴。当你画出这个草图来之后的话，我们其实都没有必要写判别式，只需要写这三条就行了。哪三 千万千万要看好了啊。首先对称轴他肯定必须得保证在哪是在这个一到六之间的，那么接下来我们写三个不等式，哪三个不等式呢？很关键。首先按 fa 小于零它很重要啊，只要你有小于零的值，它必然是满足排名是大于零有两个零点的。原因很简单，因为你开口向上啊，你有 x 轴以下的点，你开口向上，你得往上延伸吧，所以才有了 x 一和 x 二这两个零点，清楚了吧？都在一到六之间。 看，继续啊，那 f 一就得大于零了， f 二也得大于零，这几个呢？你连了一下，最终都可以解出来的啊。咱们第一个写一遍，你比如说你把 a 带入，带入的话就是五减 a 方，它是小于零的，不就是 a 方大于五吗？是吧， a 大于根号五，第二个的话就是六减二， a 大于零， a 小于三。最后一个啊，他是，我看一下是多少啊？最后我们应该是这个地方应该是六啊，把 f 六带入啊，怎么写的是二呢？把这个六带入以后的话，就是四十一减去十二， a， 他是大于零的。那最终的话，我们看一下，一到六之间， a 方大于五还得保证 a 大于三还得保证都是铁的关系，都得成底啊， a 还小于 a 还啊，应该是 a 小于三啊，然后最后一个的话是 a 小于十二分之 四十一，是同时成立的关系吧，所以最终的话求交集只能是根号五到三的这样一个开区线啦，这就是 a 的范围，清楚了吗？所以说很多时候啊，不是说一定要写这个判别式的，这个题你写不写判别式最后求来的范围都是一样的，不信你可以试一下啊。那么今天的话我们就讲到这。