同三角函数的基本关系

同学们好，通过任意角的三角函数的定义，我们知道这三个三角函数有一定的联系，那么我们这节课就讲解同角三角函数的基本关系。再来看一下本节课的重点， 理解同角三角函数的基本关系式，能用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的化解，求职和证明。 第二是南宁知一求二问题，其次转化问题，化解求职问题，证明问题等。 第三是考试要求题型，选择题，填空题，解答题难度简单或者是中等。 来看一下本节课的知识脉络，第一个是平方关系及其变形， 第二个是商数关系及其变形。我们先来看同角三角函数的基本关系，平方关系 set 方法加 cosine 方法等于一，我们来理解一下它为什么等于一。要用定义单位，原来理解所谓同角就是指的这个角 alpha， 根据单位人的定义，这个角 alpha 与单位人的焦点的横坐标为 cosin alp 重坐标为 send 二，那么这个点到圆点的距离是一，因此就得到了 cosine 方法加 same 方法等于一。 上述关系 tender alpha 等于 seine alpha。 除以 cosine alpha， alpha 不等于开派加二分的派开 three z 要注意这个定义。 再来看一下平方关系的公式，变形，一个是 send 方法，等于一减 cosine 方法，第二个是 cosin 方法，等于一减 send 方法。 这里还有一个变形式， cosin alpha 加减 send alpha 的完整平方等于一加减二倍的 send alpha cosin。 我们经常利用这样一个式子来求 seven alpha 乘以 cosine alpha， 或者是利用 send alpha cosine alpha 乘积求 cosine alpha 和 seven alpha 的和与差。 再来看正与弦和正切之间的公式，变形 c r 法等于 crossen r 法乘以 tender r 法，而 crossen r 法等于 c r 法除以 tender r 法。这个公式只需要了解就可以了。下面我们来看一下点例。经心 已知 q c alpha 等于负的十七分之八，求 c alpha 摊在哪 alpha 的值。事实上，横角三角函数基本关系给出的就是 cosin 与 sin 之间的一个关系，现在我们已知了 cosin 二法，那么就可以求 sin 方二， 所以我们可以把 c 方二法求出来。但是 c 二法要开方，开方以后有两个值，一正一负，我们取哪一个呢？这个时候就需要知道叫阿尔法所在的象限， 那角二法所在的象限怎么来确定呢？就要利用这个条件，余弦小于零，我们可以确定角二法是落在第二、三象限， 所以因为 cosin alpha 小于零，所以 alpha 为 b 二三像线角， 那 c 方二方就等于一，减去 cosin 方二方等于二百八十九分之二百二十五。 现在要分两步来讨论，当 alpha 为第二象限角时， 第二项角 c 引为正值，所以它就等于十七分之十五， 那正七就等于正弦除以余弦等于负的八分之十五。 再讨论，当 alpha 为第三象限角时，那么以正弦为负之等于负的十七分之十五， 那正铅就等于正弦除以余弦等于八分之十五。好，我们继续来看这个题。已知二 加法是第三象限角化减这样一个式子，那么我们如何来化减这个式子呢？它是两个分式形式， 因此我们能用的技巧也只能是通分，所以 原是等于通分，以后是根号下一减去 saying 方 offer， 它和它相乘，就是根号下一加 same offer 的平方，减去根号下一减 same offer 的平方，那因为 over 是 第三项线角，那从而得出 cinover 一定是小于零， cosinover 也是小于零，那所以 原是等于一减 c 方二法等于 cosin 方二。我们可以在这个式上再多写一步，根号下 cosin 方二， 而这个是一加 same upper 的绝对值。减去一减去 same offer 的绝对值， upper 是第三象限， 余弦为负。之所以说它等于负的 close in off， 一加 c r 方为正值，正数的绝对值是它本身一减 c r 方也一定为正值，因此减去一加 c r， 所以 它就等于负的 cosin offer 分之二倍的 same off， 也就是负二倍的 kind of。 那有同学问我的答案是二倍的 tender 法哪里不对呢？ 同学，你的错误就在这， 你直接就把它写成了 cosin off， 但实际上它是什么呢？是 cosin offer 的绝对值。因为 cosin off 小于零，所以负数的绝对值是它的相反数，应该写成负的 cosin off。 下面来总结一下领三角函数关系化减结果要求第一项数尽量要少，第二次数尽量要低。第三分母根式中尽量不含三角函数。 第四，能求值的尽可能求值。好，我们继续来看这个例题，若 tend 呢？啊 alpha 等于二，则这个式子应该等于什么？首先要看来看这个 seven alpha 加 cosine alpha 除以 seven alpha 减去 cosine alpha， 这个应该怎么利用这个 candle alp 这个地方我们有两种利用方式。二，一，根据先画弦 正切等于 c e alpha 除以 cosine alpha， 得出 saying alpha 等于二倍的 cosine alpha， 然后把它替换下来就可以求出。 而第二种方法呢，我们是采取了，因为分子分母次数是一样，每一个都含有三角函数，所以我们 分子分母同时除以 q c r 法，因此得到 content alt 加一，除以 content alt 减一，那因此它等于三， 这样第一部分就算完了。第二部分这个 cosin farf 怎么来用上 tender off 呢？我们联想刚才的变形式 saying alpha 除以 crossing alpha 是等于 can the alp。 现在我对这个式子都进行平方，这样我们就可以表达 say 方二法等于 crossing 方二法乘以 tender 法， 然后利用同角三角函数基本关系，将 c 方二法换成一，减去 q c 方二， 就得到了这样一个式子。我们把 cosin 方 alpha 当成未知数，把它解出来，得到 cosin 方 alpha 等于一，加上 tangent 方 alpha 分之一， 这样就可以求出他等于五分之一，那所以 原式就等于三加五分之一等于五分之十六。 那有同学问，那这个式子和 tender upper 有什么关系呢？怎么用到 tender upper 的直 的呢？你看，其实就是用到了这个商数关系的定义，我们也把这个技巧叫切换弦， 切函数和弦函数之间有这样一个关系，通过平方以及同角三角函数的平方关系来把 cosine 方二法表达出来，用的是一加 candle 方二法，分为一，当然我们还可以表达出 same 方二法， 这个同学们可以下课以后自己去推导一下。好，继续来看这个例题， 你的三样 up 乘以 cosy off 等于八分之三， up 大于四分之派，小于二分的派，则 cosy off 减三样 off 的值为多少？ 刚才我们看到了一个和它类似的知识点，就是那个 cosin 加减 seine 的平方与 seine 乘以 cosine 之间的关系。 所以说这个题的思路还是比较简单，我们能够想出，那肯定要对它进行平方， cosine alpha 减 seine alpha， 它的平方 等于一，减去二倍的 send off， who send off 等于一，减去四分之三等于四分之一。 那么现在问题来了，他要开方，开方以后是正式负呢？这个地方我们还是可以利用单位 给出的二号大于四分之派 小于二分之派，那我们知道，在这个位置上，四分之派对应的正弦余弦是相等的。 当二号大于四分之拍的时候，我们观察正弦逐渐增大，而余弦逐渐减小， 所以在这样一个范围内，正弦是大于一弦的。 因为 up 属于四分之派到二分之派，所以 causing offer 减去 same， offer 是个负字，等于负的二分之一。 我们来总结一下三角函数求知问题。一，关于 send alph culcent alp 的其次问题， 我们可以通过分子分母同时除以 cosin 二法或 cosin 方二法转化为关于 candy 呢 alpha 的四字后再求职。第二，不含分母时，可以视分母为一， 灵活的进行易的代欢，在同除以 cosin 方案法，构造出关于弹 and off 的代数式。比如说我们常说万能公式，什么意思呢？ saying offer 我可以写成 saying 二倍的二分啊， 除以一等于二倍的 seine 二分之二法， cosine 二分之二法，而一写成 cosine 方二分之二法加 seine 方二分之二法， 然后分子分母同时除以 cosine 方二分之二法，就可以得到 cine 二法二与 tanden 的二分之二法之间的关系。在三角函数的变换求之中， 已知 c e r 法加减 q c r 法， c e r 法乘以 q c r， 它们其中一个就可以利用方程思想求出另外两个的值，但是要注意角的范围，也就是角所在的象限对函数值的影响。 下面再来看这样一个证明题，求证这样一个式。对于证明三角函数横等式， 我们可以从左边开始葬，让它等于右边， 或者从右边开始正，那么等于左边，还可以两边同时正，让他们相等，这个我们应该怎么正呢？ 我们可以这样子交叉相乘来着。 hand 的方 a 法减去 seine 方， a 法 切换弦，得到 seven 方二法除以 call。 send 方二法减去 send 方二法 继续同分，得到 culsing 方 alpha， 分之 sending 方 alpha 减去 sending 方 alpha 乘以 closing 方。 好些同学走到这个地方就想放弃了，因为他不能够发现这个式子下一步应该怎么去处理， 怎么处理呢？你会发现这个式子都有慎一方，因此提供音式是我们最常用的一个变形技巧，变成了一减去 cursion 方法，除以 cursion 方法，这样这个思路就打开了。 send 方，所以 cosin 方，那就是 can 的方法，一减 cosin 方，那就是 send 方，和这两个形成是相等的，所以这样就证明出来了。好，下面我们来总结一下这节课的主要内容。 三角函数式的变形要注意的是一统一角，统一函数，降低次数出发点。第二，掌握切换弦 和弦画切的方法。就像刚才我们这个题用到了就是切画弦，然后再弦画切画点和证明词的技巧一的代换。 第二是多项式运算的技巧，它的应用如因式分解整体思想。因式分解里边刚才我们用了一个提供音声。好，这节课就讲到这里，同学们再见。

同学们好，我是来自北京市第五十中学分校的数学老师李鸿雁。今天咱们将一起来探究同角三角函数的基本关系式。 上节课我们学习了一个新的函数，三角函数，请大家回忆一下，我们是如何定义的呢？我们把角阿尔法放在平面直角坐标系里， 角 alpha 的顶点与平面直角坐标系的圆点 o 重合，使边与 s 轴的飞幅半轴重合，它的中边与单位圆相交于点 p 坐标为 x， y， 我们定义正弦函数为 y 等于 sine alpha。 余弦函数为 x， 等于 cosine alpha。 正切为 y b， x 等于 tangent alpha。 那这里正弦函数是以角阿尔法为自变量与三位元焦点的纵坐标为函数值的函数。余弦函数是以角阿尔法为自变量 与单元交点的横坐标， x 为函数值的函数。正切函数是以角阿尔法为自变量， y 与 x 的比值为函数值的函数。根据定义以及点 p 所在象限，可以判断函数值的符号规律。 比如点 p 在第二象限时，三角函数值的符号是什么呢？因为点 p 在第二象限，所以 x 是小于零的， cosine alpha 就是小于零的， y 是大于零的。散于阿尔法就是大于零的。 y 与 x 是一号的，所以 tant 阿尔法是小于零的。 那在之前的学习中，我们把角从零到二 pig 范围内扩展到任意角，这里有很大的正角，也有我们不熟悉的负角。怎么研究呢？ 我们能不能把他们与我们熟悉的脚进行联系，用研究熟悉的脚去代替研究不熟悉的脚。比如， 如果角 off 的中边是确定的，那么它与单位元的交点的坐标就是唯一确定的。那这时这些中边相同的角的三角函数值有什么规律呢？ 答案是相等的，因为角的中边确定焦点坐标就为一确定。那么依据定义，同一个三角函数值就是相等的。 那你能用符号语言去表示中间相通的角的同一三角函数值是相等的吗？ 相信同学们很快就能写出来。散引 alpha 加 k 倍的二派等于散引阿尔法。 cosine alpha 加 k 倍的二派等于 cosine alpha tangent 阿尔法加 kb 的二派等于贪级的阿尔法，其中 k 是属于 z 的。我们称这组公式为公式一。在之后的学习中，我们还会研究公式二乃至公式六， 那公式一反映了三角函数周而复始的变化规律，也就是讲， alpha 的中边每绕圆点旋转一周，函数值将重复出现， 这是单位圆上的点绕圆周旋转整数周，仍然回到原来位置的特征反应。 好了，下面我们尝试解决一个问题，求下列三角函数的值。一三 带引四分之二十五派。我们可以利用三角函数的定义去求解，但是四分之二十五派是一个很大的正角，不太容易快速画出。 那现在我们学习的公式一，能不能寻找与角四分之二十五派中边相同的角，且这个角是我们熟悉的角。在零点二派里呢？ 那我们可以在四分之二十五派的基础上减去二派的整数倍。 比如四分之二十五派减去三乘以二派就等于四分之派，那四分之二十五派就等于四分之派加上六派，这时四分之二十五派与四 分之派是中边相同的角，那他们的正弦值就是相等的。 say 四分之二十五派就等于 say 四分之派，那大家想想，这个特殊角的正弦值等于多少呢？ 二分根号二第二小题， cosine 三分之八派我们寻找与三分之八派中边相同的角，且这个角在我们熟悉的零到二派里， 那我们在三分之八派的基础上减去二派的整数倍。比如三分之八派可以减二派等于三分之二派， 那三分之八派可以表述为三分之二派加二派，那他的余弦值是相等的。扣三 三分之八派就等于 cosine 三分之二派，那大家想想，三分之二派是第二项线角，它的余宣值是正还是负呢？ 相信很多很多同学都答对了，等于负二分之一第三道题， tanden 的负的六分之十一派 负的六分之十一派是一个我们不熟悉的负角，那你能不能寻找与它中间相同的角，且这个角是我们熟悉的在零点二派的角呢？ 我们可以在负的六分之十一派的基础上加上二派的整数倍。比如负的六分之十一派加上 二派就等于六分之派，那负的六分之十一派就等于六分之派。减二派。那这个式子是什么意思呢？是在六分之派的基础上，顺时针旋转一圈，得到负的六分之十一派， 这说明负的六分之十一派与六分之派是中边相同的角，那他们的正切值就是相等的。 thand 的负的六分之十一派就等于 tonin 的六分之派等于三分之一号三。 好了，通过上面这三道小题的解答，你认为公式一有什么作用呢？它可以把求任意角的三角函数值 转化为求零到二派这个范围角的三角函数值。 好，我们研究了中边相同的角的同一三角函数值是相等的，那么大家想想，中边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢？那么分析一下。 首先，我们知道三个三角函数的值都是由角的中边与单元的交点坐标唯一确定的， 这说明他们定义的背景是统一的，所以他们之间一定有内在联系。 其次，中边相同的角有无数多个，怎么研究呢？我们可以利用公式一，把这些中边相同的角 的三角函数值转化为同一个角的三角函数值，这时就可以将这个问题进一步转化为研究同一个角的三个三角函数值之间的关系。 那下面我们来一起讨论一下。我们给一个角 alpha， 不妨设角 alpha 的中边旋转到第二象限。那在单元中，你能找到与点 p 坐标对应的线段吗？ 从而建立善意 alpha 与 cosine alpha 的关系。 相信很多同学们都看出来了，我们过 p 点做 s 轴的垂线交 s 轴与点 m， 这时 x， x 的绝对值就等于线段 o m 的长， y 的绝对值就等于线段 p m 的长。又因为三角形 o m p 是直角三角形，而且 o p 等于一， 那么因为勾股定理， o m 的方加 m p 的方等于一，因此就有 x 方加 y 方等于一。那依据定义可得 sine alpha 的平方加 cosine alpha 平方等于一。 那你能对这个结论进行严谨的证明吗？那角二法为任意角的时候，都有三角形 p m o。 的存在吗？ 显然不是的，只有当角阿尔法为象限角时，才有三角形 p m o。 的存在。所以我们想证明这个结论，首先要对角进行分类讨论。当角阿尔法为象限角时，有如下的证明过程， 我们可以得到结论，算以 alpha 方加 cos alpha 方等于一。 当 gaf 的中边与坐标轴重合的时候，这个结论还成立吗？ 比如 g f 的中边与外轴的非正半轴重合时，那它与单位圆的焦点是零负一，这时仍 仍然有 x 方加外方等于一，所以结论成立。不仅如此，且 up 的中边无论与哪条坐标轴重合时，都有 x 方加外方等于一，所以结论也成立。 综上所述， alpha 为任意角时，我们都有 sine of 方加 cosine of 方等于一。这是我们学习的第一个同角三角函数基本关系式。 好，大家想一想，同一个角的三角函数值还有什么关系呢？ 有定义可知， tang 的 alpha 等于 y 比 x， 那它就等于在意 alpha 比 cos alpha。 那缴 alpha 为任意角时，公式都成立吗？ 我们想使公式成立，就要使函数有意义。等号左边 cosine alpha 作为分母，不能等于零，也就是 x 不能等于零，这时角 alpha 中边不能与脉轴重合， alpha 不能等于二分之派加 k 派。 等号的右边摊着阿尔法的地域，阿尔法不能等于二分之派加 k 派。所以在这个公式中，阿尔法不能等于二分之派加 k 派， k 属于 z。 那这点请同学们理解。叫 offer 中边与外轴重合，那它 与单位员的焦点的横坐标就是零，余弦值就为零，正切值不存在，这三者是等价的。如果正切值存在且 off 的中边就不会与外轴重合，那他的余弦值一定不等于零。 好，我们用和单位元相关的勾股定理说明了 sine alpha 方加 cosil 方等于一。你能在单位元中构造图形，解释 sine alpha 比 cosil alpha 等于碳加 alpha 这个公式吗？ 我们首先把这个公式写成分式的形式， say alpha 比 cos alpha 等于 tangent alpha 比一。那你能在单位元中找到对应的线段吗？ 三、 e f 的绝对值对应着 p m， cosine f 的绝对值对应着 o m， p m 和 o m 是三角形 p m o 的两条直角边。 那你能构造一个直角三角形，它的一条直角边是一，且与三角形 p m o 相似吗？ 那么过点 b 作 o a 的垂线交 o p 与点 c， 因为三角形 c b o 和三角形 p m o 是相似的，所以有 m p 比 o m 等于 b， c 比 o b， 又因为 o b 等于一，所以 m p 比 o m 等于 b c， 那它 它是这个公式两边取绝对值的几何解释。好，以上就是本节课我们学习的主要内容，同角三角函数的基本关系。 那下面我们一起来分一下这两个两个公式的结构特征。第一个公式，我们从左向右看，是同一个角的正弦余弦平方和等于一。 从右向左看，长数一，可以用同一个角的正弦余弦的平方和所替代。 那 sine alpha 的平方是这个式子的缩写。不能将 sine alpha 的平方写成这样的形式，前者是 alpha 正弦的 平方，后者是 alpha 平方的正弦，表达的内容是不同的。 第二个公式表示的是同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切。从这个公式中我们可以得到，如果已知一个角的正切，就相当于知道了这个角的正弦、余弦的关系， 那如果知道这个角的正弦与弦的笔直，那么就相当于知道这个角的正切。 好，既然叫同角，三角基本关系是，那么我们怎么理解同角呢？ 第一个，关系适中的角要相同，且与角的形式无关。比如散以十五度的平方加抠 cosine 十五的平方等于一同角为十五度。散以二阿尔法比 cosine 阿尔法等于贪念的阿尔尔法。同角指二阿尔法， 三引阿尔法加 bet 的平方加扣三引阿尔法加 bet 平方等于一同角为阿尔法加 bet。 第二个，只要使函数有意义，对任一个角的关系都是成立的。在第二个公式中，我们要同时保证 cos 阿尔法不等于零 喷着阿尔法是有意义的，那就是要保证阿尔法角不能等于二分之派加 k 派。也就是说，在这个公式中，除了角阿尔法等于二分之派加 k 派，对任一个角关系式都是成立的。当然，我们还可以对公式 进行等价变形，以供我们在解题当中使用。第一个公式，我们可以变形为 c e、 f 的平方，等于一减 cos x 的平方，还可以变为 cos x 的平方，等于一减 c、 e、 f 的平方。 那我们对第一个式子两边进行开方运算， c i e 阿尔法等于正负根号下一减 cos 阿尔法的平方。 这个正符号不能同时取，因为他受减二法所在象限的限制，二者只能取其一， 比如三角 alpha 为第四象限角， sane alpha 是负的，这时 sane alpha 只能等于负的根号下一减 cos alpha 峰，这个正符号不能同时取，因为受到角 alpha 所在 相限的限制，二者只能取其一，比如 alpha 为第四象限角时， zene alpha 是小于零的，所以 zene alpha 等于负的根号下一减 cosine alpha 的平方。 请问这两个式子等价么？ 刚才我们讲过，角 alpha 的中边不与外轴重合，那它的余弦值不等于零，正阶值存在， 那在这个式子当中，正切函数存在，那余弦值一定不等于零，所以在这个式子两边可以同时除以 cosine alpha， 这两个式子是等价的。好， 下面我们就应用所学解决两个具体的问题。例二，已知 zine 阿尔法等于负的五分之三，阿尔法为第三线线角，求 cosine 阿尔法摊解阿尔法的值。 大家先思考条件， alpha 是第三线列角，有什么作用呢？ 它可以帮助我们确定三角函数的值，说明结果是唯一的。我们具体来解一下， 由 seine alpha 的方平方加 cosine alpha 平方等于一，得到 cosine alpha 平方等于二十五分之十六，那因为 alpha 为第三线角，所以 cosine alpha 等于负的五分之四， pange alpha 就等 等于正的四分之三。在这里请同学们注意， cosine alpha 不能表述为正负五分之四，因为阿尔法为第三线角，它的余弦值是负的，所以 cosine alpha 只能等于负的五分之四。 若把题目中的角 alpha 是第三线的角这个条件舍去，该如何解答呢？ 如果条件中没有给出 j alpha 的范围，需要通过已知来讨论 g a alpha 所在的象限， 比如这道题中善于阿尔法小于零且不等于负一，那么说明角阿尔法是在第三象限或第四象限的。这时我们需要对角阿尔法进行分类讨论。 如果 alpha 为第三象限角，那么 cosin alpha 就等于负的五分之四， tangent alpha 就等于正的四分之三。如果角 alpha 为第四象限角 cosine alpha 就等于正的五分之四， tangent alpha 就等于负的四分之三。 那么小结线，本道题如果已知某个三角函数值，且角所在象限是确定的，那么可以通过同角三角函数基本关系式求出其他三角函数值，而且只有一种结果， 如果只给了某个三角函数值，那么要按角所在象限进行分类，分别写出答案。这时一般结果有两组。所以在求职中确定角所在 向线是解题的关键。好，我们看下一道例题，已知 tiny 的 alpha 等于副根号三，求散引 alpha cosinf 的值。有同学是这样做的， 因为摊起的阿尔法等于负根三，所以阿尔法等于三分之二派，则 sine 三分之二派等于二分之二，三 cosine 三分之二派等于负二分之一。请问这样做对吗？为什么？ 显然是不对的，因为 tangent alpha 小于零角 alpha 可以在第二象限或第四象限，这时角 alpha 不仅仅等于三分之二派，还可以等于与三分之二派中边相同的角，还可以等于三分之 五派，或者与三分之五派中边相同的角。好，那我们具体看一下解法，因为 tony 阿尔法小于零，阿尔法为第二象限或第四象限角， 如果阿尔法为第二相应线角，则阿尔法等于三分之二派。加可以派，则他的正弦值等于赛引三分之二派等于二分根号三， 他的余弦值等于 cosine 三分之二派等于负的二分之一。如果角阿尔法为第四象限角，那么阿尔法等于三分之五派，这样可以派他的正弦值等于赛与三分之五派等于 负的二分之二三 cosine 这个角等于 cosine 三分之五派等于正的二分之一。好，如果角 alpha 不是特殊角，比如 tang 的 alpha 等于 负二。求 seine alpha 和 cosine alpha 的值。我们已知角的正切值为负二，由同角关系式，我们就可得这个角的正弦与余弦的比值为负二。又因为它们的平方和为一，两个未知量，两个方程就可以把它们解出来。 我们具体解一下，因为碳脂 alpha 等于负二，所以 zine alpha 比 cosine alpha 等于负二。 zine alpha 的平方加 cosine alpha 平方等于一，解得 zine alpha 的平方等于五分之四， cosine alpha 平方等于五分之一。 又因为贪值阿尔法小于零，阿尔法为第二象限或第四象限角，如果阿尔法为第二象限角，那么赛一阿尔法就等于正的五分之二倍，根号五。 cos 呀 alpha 就等于负的五分之根号五。那如果 alpha 为第四项元角，那么 cine alpha 就等于负的五分之二的根号五。 cozy alpha 就等于正的五分之五分之根号五。 好，那么小结一下本节课。这节课我们学习了公式一以及同角三角函数基本关系式。公式一反映了三角函数周而复始的变化规律，同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数值之间的内在联系。 利用数形结合的思想发现并证明了同角三角函数基本关系。利用方程的思想解决求职问题。我们还收获的一个经验，三角函数是一个背景下定的三个函数，因此可以遇见他们之间一定有内在联系，而且可以相 互转化，其中蕴含的思想可以迁移到我们以后的学习生活中。好，我们这节课就到这，谢谢同学们收看，祝大家学习愉快，同学们再见！

上课起立，同学们好，老师好，请坐 好！我们先简单回顾一下前面两节课的时间，我们主要有些什么内容。第一，我们讲了三角横竖的。第一， 我们是怎么定义正确函数与弦函数的正确函数呢？大家回忆一下，当然会员 角的中边和单元交点的坐标就是 ps one， 然后我们定义赠显是 why， 赠显是 why 是吧？明显是 是 x， 天根切式外比 x 好。然后呢，我们根据这个定义就可以得到了一组公式，我们叫做公式一 公司一讲的是阿法加上 ok pa， 他的正弦值应该是等于三个，三个好余弦阿法加 ok pa 等于三个，三个正七 也是一样的，其中那是，那么我们这一组崩是表明了一个什么样的含义呢？他的 一个三角函数值是相等的，对不对？好，那么中间相同的角，他的三角函数值有着相等的关系，那么中间相同的角，他的不同的三角函数值之间有没有关系？ 所以我们考虑一下。呃，中间相同的角的不同的三角函数值之间有没有关系？ 大家觉得有关系还是没关系？有，有关系，那为什么有关系呢？ 为什么会有关系？他们都是从哪里来的？中间相同的角的不同的三角，三角函数值都是 都是由，你就说因为我们这个，呃，中间相同的角， 他都是他的，这个中间和单位的交点都是同一个点，然后呢，我们这三个三角函数值都是用这同一个点的坐标来定，所以他们是从一个地方出发，所以他们之间必然有联系的，对吧？好，那他们之间必然有联系，接下来我们就要去研究他，他们之间有什么样的联系。 那首先中间相同的角有多少个？无穷多个，那么你要研究无穷多个角之间的关系是不是比较困难？ 那怎么办？简化，简化，简化，简化成什么样子？三幺三呀？利用我们这个公司中间相同的无穷多个角，就可以简化为零到二派，零到二派就可以简化 领导二派，不管是什么情况，他只是几个角，也就是我们要把多个角的问题简化为一个角的问题，对吧？所以我们这节课主要就研究同角、三角函数的 基本关系。 因为我们研究同一个角，所以同一个角。 up， 它的正弦、音弦和正切之间有什么样的关系？ 好，那么我们看怎么他他们之间的关系有什么呢？发现吗？从哪里入手？我们知道什么 啊？知道定义，对吧？定义的话呢？我们这个定义是用坐标定义的，所以我们就是要去研究他的坐标啊，就是外外表还是之间的关系吧。那从这个坐标上面我们能看出什么关系来 啊？一个比较明显的关系，这个正确是代表是谁还是谁？所以我们可以得到，所以我们可以得到以上等于 对不对？这是通过我们这个坐标的运算得到了这样的关系。那还有没有其他的关系呢？比如说 x 和 y 之间有没有关系？你怎么去研究这个关系？你看放在单位，在单位，在单位 x 和 y 之间有什么关系？ x、 y 是什么？坐标对不对？坐标是树，那坐标的意义是什么？ 到到到坐标的意义是这个坐标系里面去刻画这个点的位置， 对吧？那我们通过坐标的意义，那我们就能够想到，呃，他是能够去刻画一些几何量， 所以我们呢通过做一些几个图形来寻找这个坐标之间的关系，对吧？那怎么样做图形呢？做垂线，从哪里做垂线？过点梯啊？比如说我们过点梯，做一个二轴的唇线啊，垂足叫。 那做完垂线之后，我们就可以找到这里面有些线段跟我们这个 x y 坐标之间是不是有关系？能发现什么呀？ o m o m o m， 然后 m p， 当然我们这个点屁放在这里，你说 o m 是负 x， 对吧？其实我们这个是点 p 呢，是可以在原上任意一个位置，对对对对对对对对，好，那比如说 m o 和 m p 跟这个坐标 x y 之间是有关系的，对不对？所以我们只要研究 谁的关系，就能够研究 ay 之间的关系， oy 只要研究线段 om 和 mp 之间的关系，我们就可以找到坐标之间的关系，对吧？那这两个线段之间有什么样的关系？ 勾股定理，因为他在一个直角三角形里面，所以我们可以发现他们的关系应该是 mo 的平方加 pmp 的平方等于一。一，为什么是一啊？ op 是单位元，因为他是一个单位元，所以 op 的长度就是一 好，然后我们发现了线段的关系，我们再返回去， m o 是什么啊？ m o 是 x x x 的绝对值，对吧？因为这个它符号 m o 线段长的一定是正的， x 可能是正，也可能是负，所以它是 绝对值。哎。 x 绝对值的平方加绝对值的平方，然后这个绝对值的平方和 自己的平方是一样的，对不对？所以就是 m 平方加二，那 x 是，所以我们就得到了正音弦之间又有一个关系， 上一平方加上一平方也是等于一的，对不对？好，那这个关系是对任意的角度成立吗？ 对，任意的角度成立。 我们刚才的探索过程里面有没有发现他是对任意角度？我们是放在哪里探索的？放在单位员，单位员，然后呢？直接放在放在直角三角形里面，没有事，对不对？那所以我们刚才研究他有这个 关系，是有直角三角形的时候是就有这关系，对吧？那其他时候对不对呢？万一一个做老总，其他时候对不对？那我们就特殊检验吧。 那其他还有什么情况？就是这个角的中边落在左边左上，那应该是四个位置，一个位置，在这个地方也是他的坐标是一撇零，一撇零的话，正线值等于 正线是等于一线是等于一，那么平方加起来一，所以满足不满足依然是满足，对吧？同样的道理，这个点如果是落在外轴的正半轴、外轴的负半轴、外轴的负半轴，都是满足的，对不对？对，所以我们知道这个关系应该是 对任意的一个角啊吧？他都是成立。好，我们再回复刚才的这个先发现的这个关系，他对任意的角都成立吗？ 他需要有条件，对不对？呃，什么条件？因为口才阿宝在分母，所以口才阿宝不能等你还有吗？ 啊？这里有个正切 f， 那他就要有意义，是不是？对，对吧？那实际上不管是这个和尚不等零，还是正确有意义，都是这个角的中间，不能坐在哪里， 都是脚的中间，不能落在外层上，那也就是说这个脚不能等于他的腿胯加上腿胯。 开始这样的话呢，我们就得到了这个横角三角函数之间的基本关系，一个是平方关系，占平方，占二百平方加和占有二百平方。第二个商的关系， 再 up 除以和再 up 等于正啊。 好，我们通过探索发现了这两个关系。好，那么发现了这两个关系，我们再来呃，思考一下这两个关系， 他这个这两个基本关系，他的这个结构是什么样的？四节都是什么？ 简言之就是同一个角，阿法，他的正弦和余弦的平方和一商 正线，对不对？商品正线。然后我们再看这个第一个公式，是正弦和余弦之间的一个关系啊，一个等式里面有一个正弦跟余弦，所以如果我们知道正弦 可以求，就可以求出琴弦，同理，知道余弦就可以求出正弦，对吧？实际上就是说这个式子里面有两个量，我们知道一个就可以求另外一个，对不对？知道，知道一个就可以求出另外一个。那第二个式子呢？ 赚钱一天生气，知道两个，知道两个就可以求生一个，那两个合起来，两个合起来 个量，正线一圈正确，三个量，两个关系，那知道几个就可以求几个，知道一个就可以求出另外的两个。 所以我们这个公式啊，这两个基本关系跟公式一个直接的应用，就是只要知道三角函数值的一个，我们就可以把另外两个求出。 no， 已知正弦值等于负重乘三，求乙弦值和正切值， 嗯， hmm。 嗯。

呃，第一个滚一下，嗯，塞压八等于中间上的点的重坐标，塞压八等于，嗯中间上的点的重坐标。重坐标。呃，以上根号下横坐标的平方加上重坐标的平方 口算打法等于中间上点的红豆角笔上根号下从头到平方加重到平方弹性打法等于重度标准的红豆角。 好，对，第二个问题，任意角的三角发直正谱括号如何来确定？马龙立，一拳二正弦三七的四与弦一拳 第一项线全都是正的，第二项线正线是正的，第三项线正线是正的，嗯，第四项线鱼线是正的。哦，对了，好，这是我们上一个学的内容，我们一拳二十根弦，三线是鱼线，希望大家能把这口令给记下去。 那么我们世世界万物之间呢，都存在了普遍联系性，大家来看一下挣钱与钱和挣钱之间存在什么样的联系呢？那么带着我们的问题来一起来记录一下我们的学习目标，学习目标一二 学习目标一，牢记同调三调函数关系式，二归应用同调三调函数关系式解决习题。好，来看 看一下子我们今天要研究的内容，我们来看一下子正弦余弦和正切，他们三者之间存在一个什么样的关系。那么现在咱们以小组的形式进行探讨，那么探讨时间为两分钟，那么一会找朋友来回答，探讨结果出来以后你就可以拒绝回答了。来，大家现在开始探讨， 在这呢， 这个 啊， 这个正弦余弦和正切的公式，你通过这公式你能发现什么？是不是好时间到， 好老同学来说，你发现了什么规律？七个啊，平方公式和商数公式。说怎么发现呢？ 平方公式是三二八的平方加上口线二八的平方等于一，这叫平方公式吗？就是说两个正弦的平方加上余弦的平方等于一 等于一，对吧？嗯，这是我们发现的第一个啊，弹性的阿发等于三，阿发比口三阿发弹进的阿发等于三，阿 方比上口线二方。来说一下吧，你是怎么发现的？呃，根据那个线二发等于 y b， 钢号在 x 方加 y 方，嗯，然后和口线二发等于 x 方， x 比上 x 方 这两个呗。对对对对，然后呢，他们两个平方，他们两个分别平方，为什么平方想到平方了呢？ 首先我们看底下都是什么分母是一样的对吗？对，并且呢，我们上面分子有一个是 y， 有一个是 x， 想到他俩平方一加一起正好是跟分母怎么念是不是一样？嗯，那第二个是怎么想到的 啊？因为弹弹性的阿发等于那个 y b x， 对呀，为弹性这个 y b x 怎么能 塞？因为塞阿尔法的那个横字不是塞阿尔法的那个分分子是吧？口塞阿尔法的分子是啥意思？ 分子啊？就是他是 y， 他是 x， 最主要的关系就是挣钱和以前的痛苦，怎么的？是啊，他在处理过程中出去约掉了啊，对，来大家发现是不是这个结果是，是吧？好，那我把这个呢给他起个名，叫什么关系啊？ 平方关系对不对？因为他俩是之间是两个数的平方，这个呢叫什么关系？商务关系。 好了，那我们第一个问题啊，这些是吧，那么一个是平方关系，一个是商数关系，那么看这两个式，大家观察观察下一个问题， 上述两个关系之中的角有什么特点？和大家思考上述两个关系之中的角有什么特点？

各位同学大家好，今天我们来一起学习人教 a 版第五章第二节第二课时的内容。同角三角函数的基本关系在此前的课时中，我们学习了三角函数的定义，让我们来一起回顾。 设 f 是一个任意角，它的中边 op 与单位元交于点 p， 我们把点 p 的动作标 y 叫做 f 的正弦函数记做 zf， 即 y 等于 zf。 把点 p 的横坐标 x 叫做 f 的余弦函数记做扣三 f， 即 x 等于扣三 f。 把点屁的纵坐标与横坐标的比值 x 分之 y 叫做 f 的正切函数记做摊进的 f， 即 x 分之 y 等于摊进的 f， 其中 x 不等于零。 我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数， 通常将他们记为， y 等于赛 xy 等于抠赛 x 和 y 等于摊进的 x。 这其中，正弦函数和余弦函数的自变量 x 属于二， 正切函数的自变量 x 不等于二分之派加 k， p 属于 z。 此外，通过教材中的立体二，我们还得到了三角函数的另一种定义形式。设 f 是一个任意角，它的中边上任意一点 p 的坐标为 xy， 点 p 与圆点的距离为二， 则定义赛 f 等于外比二，扣赛 f 等于 x。 比二看见的 f 等于外比 x， 其中 x 不等于零。 由此可知，只要知道角 f 中边上任意一点 p 的坐标，就可以求得角 f 的各个三角函数值， 并且这些函数值不会随屁点位置的改变而改变。 此后，我们还研究了三角函数的一些简单性质，包括三角函数的定义域， 以及三个三角函数值在各个象限内的符号规律。 由三角函数的定义，可值中边相同的角的同意，三角函数值相等。 由此我们得到了公式一， tf 加二， k 派等于 zf， 扣赛 rf 加二， k 派等于扣赛 offer， 摊进的 offer 加二， k 派等于摊进的 offer， 其中 k 属于 z。 利用 公式一，可以把球任意角的三角函数值转化为球零到二派的角的三角函数值。 下面我们来探究一个问题。公式一表明中边相同的角的同一三角函数值相等，那么中边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 我们知道，中边相同的角的三个三角函数值都由单位原上同一点的坐标所唯一确定， 他们之间一定有着内在联系。由公式一可直，我们不妨讨论同一个角的 三个三角函数值之间的关系。 如图，设点， p 是角， f 中边与单位元的交点过 p 做 x 轴的垂线交 x 轴于 m， 则三角形， omp 是直角三角形，而且 op 等于一。由勾股定理可以得到 om 的平方加 mp 的平方等于一， 因此就有 x 方加外方等于一，即在 f 的平方加偷在 f 的平方等于一。显然，当 f 的中边与坐标轴重合时，这个公式也能成立。 根据三角函数的定义，当 offer 不等于 k 派加二分之派， k 属于 z 时，再 offer 比扣，再 offer 等于外比 x 等于摊进的 offer。 这就是说，同一个角 f 的正弦、余弦的平方和等于一商等于 f 的正切。 以上两个关系就是同角三角函数的基本关系。 下面我们来看本节课的例题。 已知赛 f 等于负五分之三，求扣赛 f 和摊进的 f 的值。 我们看一下解题过程。因为赛 f 小于零，并且赛 f 不等于负一，所以 f 是第三或第四项线角， 由赛 f 平方加扣赛 f 的平方等于一，得到扣赛 f 的平方等于一减，赛 f 平方 等于二十五分之十六。以下我们将对 offer 的象限进行讨论。 如果 f 是第三项线角，那么扣赛 f 小于零， 于是扣赛 f 等于负的根号下一减赛 f 的平方等于负五分之四，此时他念的 f 等于赛 f， 比上扣赛 f 等于四分之三。 而如果 fr 是第四项线角，那么扣在 f 大于零，于是扣在 f 等于根号下一减三 f 平方等于五分之四， 此时看见的 fr 等于 cif 比抠赛的 iphone 等于负的四分之三。 我们来总结一下， 此例题是根据一个角的某个三角函数值，求其余两个三角函数值。解决此类问题时，要先判断角是第几项线角，进而确定所求三角函数值的符号，然后再具体求解。 如果你指某个三角函数值，且角所在的象限是确定的，那么只有一种结果， 例如已知赛 f 等于五分之四，并且 f 是第二项线角，求扣赛 f 以及摊进的 f 的值。 如果只给了某个三角函数值，那么要按角所在的象限进行讨论，分别写出答案。 这时一般有两组结果， 我们来看下一个例题，求证一减三 x 分之 q 三 x 等于 q 三 x 分之一加三 x 来看第一个正法由 cosax 不等于零，可知， cx 不等于负一，所以一加 cx 不等于零， 于是索要证明的等式左边等于一减三 x 乘以一加三 x 分之，扣三 x 乘以一加三 x。 在这一步当中，我们是将分式的 分子分母同时乘以一加三 x 化减，等于一减三 x 平方分之 q 三 x 乘以一加三 x， 也就是 q 三 x 的平方分之 q 三 x 乘以一加三 x。 月份后得到扣三 x 分之一加三 x 等于右边，因此原短赤成立。 我们看另一个正法，因为一减三 x 乘以一加三 x 等于一减三 x 平方，也就等于扣三 x 平方。我们可将他写作 扣三 x 乘以扣三 x， 并且一减三 x 不等于零，扣三 x 不等于零。 此时我们需要将乘机式改写成比例式，可以得到一减三 x 分之扣三 x 等于扣三 x 分之一加三 x， 因此等式得正。 我们来总结一下，证明横等是常用的方法， 可以从等式的一边开始证明他等于另一边。如上面的正法一一般，由繁到简，通过横等变形得到另一个式子，从而推出原式成立。 也可以选取与原式等价的式子，如正法二，通过等价转化推出原式成立。 我们看下一道例题，已知看见的 f 等于二，求再 f 减扣再 f 分之再 f 加扣再 f 的值。 第一个解法是因为他念的 f 等于二，所以 cif、 bqcif 等于二，即 ciif 等于二倍扣三 if， 此时可将原 原式中的赛 rf 替换成二倍扣赛 if， 则原式化减为二倍扣赛 if 减扣赛 if 分支二倍扣赛 if 加扣赛 if， 也就是扣三 f 分之三倍扣三 f， 则原式化减结果为三。 另一个解法，由于所求分式的分子分母中的每一项都是关于赛 f 或扣赛 f 的依次项， 我们可将分子分母中的各项同时除以扣赛 rf， 这其中赛 rf 除以扣赛 rf 等于潘进， 扣赛 afr 除以扣赛 afr 等于一。因此原式化减为贪进的 appa 减一分之，摊进的 appa 加一， 将摊间的 f 等于二带入圆式化减，结果为三。 好，请同学们完成以下练习，已知抠赛 ife 等于负五分之四，且 ife 是第三项线角，求赛 if 以及摊进的 iphone 的值。 因为 f 是第三项线角，所以三 f 小于零 可以得到三 f 等于负的根号。下一减扣三 f 平方等于负五分之三， 从而弹进的 f 等于三 f 比扣三 f 等于四分之三。 看下一题，已知他念的 fei 等于负根号三求 safe 和 cosife 的值。 此题利用同角三角函数的基本关系可知，赛 fy 比扣赛赛等于负杆号三以及赛赛的平方加扣赛赛的平方等于一 连力。以上两式可以得到赛赛的平方等于四分之三，扣赛赛的平方等于四分之一。 因为他念的 fei 等于负，根号三小于零，所以 fei 是第二或第四项线角。 以下要对 fy 的象限进行讨论。当 fy 是第二象限角时，可以得到赛 fly 等于二分之根号三扣赛 fly 等于负二分之一。 当 fei 是第四项建缴时， fei fei 等于负二分之。跟三抠 zi fei 等于二分之一。

我们今天我们学习新的内容，一点二点二节的同角三角函数的基本关系，我们已经拿到等学校了，是不是？是，那先把等学校拿出来。好的， 预习案开始就是那个预习案开始，现在你们已经让你们做过了，有没有问题啊？没有， 在上课之前，我们要先明白这一节课的我们的主要的学习目标。第一课的学习目标是要通过自主探究，于老师的引导，掌握同角三角函数的两个基本关系式。两个基本关系式。第二个呢，是通过利益与辨识训练， 要能够灵活的运用我们的基本关系式，然后在已知条件下进行最后一个进行什么知一求二，你就知道一个会要求出另外的两个，这是学习目标。 重点呢还是同角三角还是基本关系式的推倒与应用？那么难点在于对这个两个基本关系式进行横等并行的应用。 好，下面就是到了预期案，我们预期案的第一个复习回顾是复习任意角三角函数的定义。任意角三角函数的定义，第一个在角阿法的中间上任取一个点批，他与圆点的距离为 嗷嗷是根号下 s 平方加 wifi 就是距离公式是吧？嗯，两年级的距离公式。那么 ceof 是等于什么？比什么歪比 el， ceonyeof 是等于歪比 e， 那么哭， ceonyeof 就等于 sbeo。 最后一个潘金塔法等于 y b s y b x。 那么第二个问题，当九 f 在不同的限限时， 森也阿宝，科森也阿宝，还有贪金的阿宝符号是怎么样？老师教过一句口诀是怎么说的，一学 全站二正弦三两切四余弦一，全站二，正弦，三两切四余弦。好，下面是复习回顾，给出了一道 检测题，落脚阿法的中边是批点负一的二，让我们来求森严阿法和科森严法，还有弹琴法法。第一步应该求什么？啊啊啊，表示的是什么？ 中间上的一点到圆点的距离，快速算下啊，等于的是根号下一， 一等于一，等于八，加二等于八，等于等于二。五，身影啊，法师等于什么？比什么 观礼堂，那么就是二比赛根号五，那根号五在分组上热把了换掉，那现在变成就是五分之二被根号五。 好，这是生意而报，那科生也要报来自比豪，也就是等于负一比上分号五，那么等于的是土豆五分之根号五。 最后一个是探究一，探究一，问题有没有问题？没有，下面一个探究一， 汗灸一，就是进行第一个学习，目标同角三角函数到基本关系是， 看到下面列了很多算式，是不是？嗯，那现在我们要进行对他探究，看看他有什么样的规律。好，下面进行小组讨论，迅速得出你们所要得到的规律。 老头们，原来有没有关心规律了，高兴了，有，好，现在翻过来，同学们，你们计算的这一些是怎么变？第一个声音三十度的平方减掉科四加上科四，三十的平方等于多少？一， 那么下面呢？一，所以一一棒，那身影三十度比上科森影三十度， 然后我们再算一下，这个，他的的三十度也等于三分之能跑三，那接着第二个身影四十五度比或身影四十五度等于一，他的四十五度等于二，一啊，身影六十度，比方， 那他那个就是刘浩然。好，我们现在我们来看一下， 这一列下来，身影三十度过，身影三十度等于一，下面两个式子都等于一，那现在进行猜想一下，根据这一列你们可以猜想到第一个的规律是什么规律？ 报警方加呼吸引安法的平方等于一声音安法的平方加呼吸引安法的平方等于一。 好，这是第一个。那接着往下观察，这里身影三十度比上坡身影三十度是等于三分之一号三，他这个三十度刚好也等于三分之三一子往后面看，四十五度，四十五 度等于一，那么他们的四十度也等于一。下面第二个猜下。第二个猜下，应该猜一下你们得到的是什么？ 孙颖二宝顶上，孙颖二宝等于潘金宝。好，这是我们的参相， 今天我们需要运用基本关系是来应用啊。嗯，应用的时候猜想了以后要干嘛？以后要怎么做才能证明才能应用？那现在我们就进行驿站，那现在给出一个单位员，那如何来验证？

老师好，你们好，请坐 在前面呢。我们学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，图像表达式。那么这三个函数之间有什么关系呢？ 宫丽萍，嗯，可以向内转化， 有一个什么关系呢？其实这个关系在我们初中就有， 初中我们学的是针对锐角，放进直角三角形，就可以对他进行证明。那么高中我们将角推广到任意的角，这两个式子是否仍然成立呢？这就是我们今天要讲的红角三角函数的基本关系。 signing up 平方加 cosing up 平方等于一，这是我们初中就已经学过，那么推广到任意角，如何 来证明他呢？可以用什么来证单位元？利用我们前面学的三角函数的定义，把它放进单位元。放进单位元，那么三角函数的定义。那么回顾一下，放进单位元中 如何定义正前函数的？ 如何定义正显函数， 一个角，将他的始边放在 x 的非负半轴上，原点和他的角的顶点重合。非负半轴上，始边与单位员会有一个焦点，我们把焦点的纵坐标叫做 这个角的正前函数。正前函数，把这个点的横坐标横坐标 叫做余弦函数。余弦函数，那么这首单位元半记为一。事实上，我们也可以在日益的元上，在我们前面已经学习过了。 任意的一个点 q 可以对 p q 做 x 轴的垂线找到相似三角形三幺二法，其实和这个点的坐标就有个关系，三亚法会等于 等于 y 比长，和这一点 y 比上 o q 的长，也就是二，我们把它 r o q 的强， o q 的强，实际上就等于 x 平方加 y 平方排根号， cross 呀，等于 x 加 r， x 比 r， r 等于横坐标平方加重坐标平方排根号。 证明三，要把平方加扩散，要把平方把它带进来，就等于带进来，一整理就是等于一，我们把这个关系叫做同角三角函数的平方关系，平方关系 三二法平方加科三二法平方 等于一。到这判断 错，第一个错，错在哪里呢？ 治理他打的，他表明的是什么？角的平方，角的平方，阿尔法平方，这个角的正弦值加上这个角的 余钱值等于一。错，我们没有这个公式，我们只有三万。把平方加扩散，把平方等于一，实际上你可以记得手同角角是一样，三亿平方加扩散平方等于一。第一个错误，第二个呢？正确， 看形式，角同角三，一平方加括线平方等于一，正确，他的角就是二分之二，和你用什么角表达无关，你换一个贝塔也行，你换一个三贝塔也行。第三个错，角度不同，角度 不是同角的，我们要的是同角三角函数平方关系，所以错误在理解角，要把它清除明白。角同角， 那么在这里呢？正前函数，余前函数能够定义，后面我们还学了一个函数，叫做正前函数。正前函数如何定义呢？还是把它放。

这个视频我们来讲一下同角三角函数的基本关系式，那么首先我们来回顾一下三角函数的定义，那么任意角三角函数它的定义是什么呢？ 这是如果这个阿巴角的中边是这样的阿巴角，那么他的三角函数这个中边，这个角阿巴角的，他的三角函数，那是怎么定义的呢？我们是画一个单位元 啊，单位员与这个中边相交的交点，如果使用 p， 那么他的坐标是 x y 的话，那我们这个中边，嗯，这个阿华角的正选，那么就是等于 y， 余选呢？就是等于 x 啊，这个 p 点的坐标的 横坐标，那么他的正切指，那就等于外比个 x， 那么这个点 因为这个原点他的距离呢就是单位元的半径是一，那所以说我们就知道这个 y 的方加上 x 的方是等于一的，那么所以说我们就可以推出那 政权和余选的关系是呢，就是 cy 阿法的平方加上一个 cocy 阿法的平方是等于一的，这个是第一个同角 三角函数的基本关系是。那么还有第二个就是摊进的啊法是等于赛眼啊法啊外等于赛眼啊法， x 等于 cocyappa 就等于赛眼啊法除以 第一个敲三二八啊，这是这两个基本关于是我们看后面的练习，那么第一个一直 这个扣三啊法是等于负五分之四的啊法是第三下线讲，那么我们要求正选和余选，那我们只要知道一个角的啊，正选或者余选，只要知道一个，那我们就知道其他两个啊，我们比如说这个我们想我们知道了余选， 那么他的正选和和正切就可以通过基本关系啊，同角三角函数的基本关系来得到。那么这个题呢，我们可以这样解， 那因为 cosine 阿法是等于负五分之四，那么且阿法呢是 第三项线角，第三项线角， 那么所以啊，我们就可以得出来 cnr 法呢，是等于，因为第三项键对于 cn 来说他是负的，那么就直接写个负的根号，下一减 cocnrf 的平方， 他就等于负五分之三，这是正选，我们就得出来了。那么余选呢，摊进的阿法，那么就等于 c 啊法比个 call 先，啊法 就等于负五分之三，除一个五分之四，那也就是四分之三，这是第一题，我们看第二题，那么给了潘姐的范等于负根号三， 我要求赛呀赛法和科赛法。那我们截这个题的时候，这个 fi 因为是摊进的 five 是等于副的根号三的，那它是个副根号三是小于零的，那说明这个 fei 这个角是在第二向前和第四向前，所以这个 fei 为第 二或者四向线的角 啊，这个他只能是第二和第四这两种两个象限的角啊。那， 那因为我们这个摊进他 five 呢，是等于 say in five， 比个 call c in fan 是等于负根号三的，那么所以我们就可以倒出来，那么 say in five 是等于负的根号三， 诚意 cosy five， 那我把这个带入到我们的第一个基本关系是，然后三角函数的基本关系是带入到 say in five 的平方，加上一个 cosin fly 的平方等于一，我可以把 seen five 消掉啊，留 cosine fire 啊，有 cosine fire， 我可以把 cosine fire 求出来，也就是可以得到啊，这个带过来，那是三倍的 cosine fire， 那四倍的 cosine fire 等于一，那就是 cosin fire 的平方 是等于四分之一的。达到这样一个式子，那我们知道这个范呢，有可能是第二相间，有 可能是第四项线，那我要分两种情况，那范围第二项线的是第二 向线角十，那么科线范 是等于就是负的，因为第二项线扣三是负的，那就是负，那么把它开方根号下四分之一，那就是负二分之一，我们就可以导出来，那么 saying， saying five， say in fact 呢？是是等于负，它是乘以负，这根据这个式子就是负根号三，乘以负的二分之一，那么就等于二分之根号三，还有 没有我们的啊？这是这两个 cn f i 和 cosy f i 就都取结出来了。然后第二种情况，当范围第四箱先讲，第四箱先 教师，那么 cosine five， cosine five 啊，根据这个识字啊，靠赛法，第四线法是正的，那么就直接根号下四分之一，那就是二分之一，那么赛引犯呢？就等于负根号三乘以二分之一，那就是负的二分之根号三 啊。我们就可以把分两种情况啊，一种是第二相间角的时候，一种是第四相间角的时候，把 cn f 啊， cocin f 求出来。第二题，我们看第三题， 那么已知 c n c 的角是等于零点三五的，那么 c n c 的角零点三五，那我们就可以得出来，那那这个角 c 的角呢？有可能第一项线和第二项线啊，有，我们解一下。有题，我们知 那 c 特为第一象线或者是二象线角，二相线角，那么我们就可以分两种情况了，第一是 c 特为第一象线角， 第一向线角时，那 call cnc 呢？我们根据我们的基本关系是 cnc 的平方加上一个 call， cnc 的平 二是等于一的，这个基本关系是我们就可以得出来，那么 cocinc 他是等于，因为第一项线他是正的，那就直接根号下一减去 cc 的的平方，那也就是等于根号下一减去零点三五的平方， 零点三五的平方，那么我们就用计算器算一下，约等于零点九七，九四啊零点九四，这是第 这个 cocinc 他，那我摊进的 cc 呢？那又因为 say inc 他是等于零点三五的，那么所以那摊进他 c， 他呢就等于 cnc， 他除一个靠 cnc， 他 cnc 他是零点三五，这个呢约等于零点九七，那么他就约等于零 点啊，那我们这个 cc 他是这第一项线啊，我们说第一项线，那都是正的啊，他他是零点九四，除一个零点 零点三五，除以个零点九四，那么就约等于零点三七零点三七，这是第二，第第二个呢是 c 头为第二向线角式， 那么 san sita 啊， costan sitter 还是 costan sita 他是第二项线 cct 是负的，那么就就是负的，根号下你减去个 cnc 的的平方，那就等于负的约等于负的零点九 四，那摊进的 ct 呢？摊进的 ct 我们就得出来了，是等于约等于 零点三五，除一个负的零点九四，那就是负零点三七，那约等于负零点三七。这是第三题，我们看第四题化解，那么这个式子呢？第一，我们直接化解啊， costc 的我们保持不变，摊底的 ct 我们可以写成 cnc 的，除一个 costc 的约掉，那么直接就等于 cnc 的是第一个化解，第二化解呢？ 这是二次，那么这个是长竖，像这个一呢，我们可以写成，因为我们基本关系是是，嗯， cnf 加上一个 call cnr 平方是等于一的，从这个一，我可以写成他，那也就是二 coceonai 八的平方减去一个 cianai 八的平方，再减去个 coceianaila 的平方，然后下面呢，这个一呢，我也写成他用 cianai 八的平方加上一个 cos 银阿法的平方，减去一个二倍的赛银阿法阿法的平方，那这个 这个减掉以后，那么就上面就省 cocela 二百平方减去一个 cen 二百的平方，下面呢，减掉以后也是 cocela 二百平方减去 ce 二百的平方啊，这两个合并以后就换成他了，那么分子和分母一样，就等于一， 你看第三，第三这个摊级拉法，我可以画成赛拉法，比个靠赛拉法，那么就是一加上一个赛营 阿发的平方，比个 cocyelappa 的平方，然后再乘以 cocine 阿发的平方，那么把它乘进来，那就是 coceincep 的平方加上一个 ceincep 的平方，那 我们根据基本关系式，那么等于一，这是第四题，我们看第五题这个证明，求证 左边他可以等于这个 c n r 法的四次方针，这个我们可以提供应式，那就是 c n r 法的平方，这里里面就变成 c n r 法加上一个靠 c n r 法的平方了， 然后再加上一个 call cnr 八的平方，这个呢就是一，那么直接我们就可以写出来是 cnr 八的平方加上一个 call cnr 八的平方，那么这就是一啊，等于右边啊，得正。

定义三角函数是如何定义的呢。嗯有位同学说一下我们怎么去定义三角函数的呀。 嗯你来说我们把这两个书放到 哎放到直角坐标系里面还有嘞单位三角形 还有呢哎单位员我们说哎中边与单位员的焦点的 p 的横纵坐标哎跟我们的三角横竖很有关系对不对。他的 s 坐标就是我们的科三牙法歪坐标呢 散养法以及他他肯定呢正切是哎他的重坐标比上坐标歪比上 x 那假如我写这样写是对的还是错的呢。嗯我们昨天说了三角函数也叫也是一种什么呀特殊的函数我们函数问题什么 还是问题地狱哎地狱先行我们这里少了什么呀地狱少了地狱哎前面两个的地狱都是 啊全体识数。那第三个的呢歪不等于零歪不等于零还是不等于零呢。 一就是落在 s 不等于零其实就是 s 不能等于零那就是中间不能落在歪轴上。歪轴那那怎么去刻画阿坝呢不能落在歪轴那是阿坝不能等于啊啊啊啊啊啊啊 可以数一整数哈这一个条件一定要跟着走这个条件没有的话就是错的所以大家以后对于三角函数你一定要什么呀有他的耳法出现的话他的耳法一定是不能落中间不能落在歪手上的所以他的范围一定要跟着走没有这个范围他就是什么呀不完整的函数是不是。 好那我们来看一下啊这张特殊表看一下大家记忆的怎么样了动手作一下。有没有同学想上去来甜甜控开一下的呀。啊哪位同学上来说 啊，可以拿着血按上来，妈，你呢？是便宜，是移动，下面这个可以填上去哈，小爱同学在下面自己做， 边做可以边回忆一下。来，我们从三角函数直它的方法是什么呀？本质是什么？ 掌声呢？ 这位同学就是掌握的非常牢固啊，做的很快。那我们看一下三氧化和科三氧化，他这个地方盖的什么呀？哎，我们看到根号舒不舒服啊？不舒服，那我们想什么办法可以把根号去掉嘞？

老师好，同学们好，请坐！同学们，你们知道重阳节是哪天吗？知道什么啊？九月九，哎，那我们来一起来看段视频。 农历九月初九为传统节日重阳节，古人把酒定为阳朔，九月九日，两阳相重，又称重阳。民间有初有登高上， 孩子还有生命长久，健康长寿的原因，所以重阳节又称为老人节。 那重阳节这天呢，都有登高望远的习俗，那我们小明和他的姐姐陪着爷爷奶奶去登高望远， 那在登高望远的过程中呢？我们提出来这样一个数学问题，我们一起来看一下。 咱们他们沿着山坡一共走了一点二千米，当咱们的这个坡脚的正切值为零点七五时， 请问他们登的这座山的高度为多少？那我们怎样来解决这个问题呢？我们今天就一起来学习同角三角函数的基本关系，来实现正前 前震千函数的项目转化，为解决三角横等变化问题提供一个理论依据。 那上新课之前，我们一起来来看一下我们的导学案的完成情况，完成最好的组是第六组，我们把掌声送给他们， 那在表示当中其中出现的问题呢？这位同学，我们来一起来看一下。在这的时候， 一个正数的平方根应该有几个，两个应该互为相反数。那第二位同学看看在这里出现的问题，他到底想 表达的是第一象限的角都是锐角呢？还是锐角都是第一象限的角？那么第三位同学在这里出现了数学逻辑关系错误，在这里我们要注意一下啊，那我们一起来看一下我们这节课的学习目标，我们一定要去 理解同角三角函数的基本关系，来实现正弦与弦正切函数的相互转化。那上新歌之前，我们一起来回顾一下我们上节课时的内容。任意角三角函数的第一， 这 p 点为角 r， 把中边上任意一点 p 点坐标，老师给乘 x 和 y o p 的长度为 r， 那咱们 r 是一定会出现 r， x 和 y 之间的一个转量变化，嗯，应该是谁？ r 方等于 x。 王家外公，好，那我根据这个不是可以得到咱们的正弦、余弦和正心，对不对？那正弦三引二法应该等谁呢？显然非常好，来看我，三引二法 来 s 比 r， 哎，比心如潘定的耳法应该等于 s， 应该怎么样？不能等于零。非常好啊， s 不能等于零，那根据咱们三角函数定义，咱们是不是还学了三角函数在各个相写的符号？咱们怎么说呢？张云平，来试一下。 第一象限，全镇来做。第二象限，小沙。二余弦，二余弦，不记得了，应该是谁？ 一全正，第二象限谁为证？二，二正弦为正，一定要搞清楚啊。来做第三象限，彭才玉，正切为正，非常好。第四象限，吴浩南， 余弦为正。那我们一起来说一下应该怎么说的。一弦正，二正弦，三正歇，四于弦，非常好。那我们还知道了几个特殊的三角函数值，我们一起来看一看。 三亿三十度应该等于几？二等于第一，三亿三十度平方嘞。四等于一，四分之一，那考三亿三十度应该等于二分之五和三。考三亿三十度平方呢？四分之三， 那我们想一想，考三亿三十五平方加三亿三十五平方应该等于几？ 一，三分之一加四分之三是应该等于一啊？对，那再继续，那三以四十五度，再想想，三以四十五度等于几啊？二分之十等于二，那考三以四十五度嘞？二分之五等于二，那三四十五度平方加考三四十五度平方应该等于几啊？ 一也是等于一。那我们继续来看看，三亿六十度的平方和考三亿六十度平方之间是等于加相加应该等于几？ 几？一，哎，也算出来是一。那我就想问了，当咱们这个角变成二八的时候，我写成三引二八的平方加靠三引二八的平方，他应该等于几呢？我们能不能进行一下猜测？一。

前面的课程呢，我们已经学习了三角函数的概念，那这节课呢，我们来学习同角三角函数的基本关系啊，好了，同学们呢，只需要记住两个公式啊，第一条是 sine 阿法的平方加上 cosine 阿法的平方等于一， 第二条是善阿法，除以口善阿法等于天准阿法。好，我们来理解一下这两个公式啊，为什么他们叫同角三角函数的基本关系呢？因为呢，我们看到啊，在这两条公式里面呢， 他的脚了都是阿法啊，比如第一条，他是塞人阿法的平方加上口上阿法平方啊，这两个角了都是阿法，那既然脚是相同的话，那么塞人阿法跟口上阿法之间呢，他们就会存在有这样子的数量关系啊，这样意思 就是，如果我能知道赛拉法，那我就可以用这个公式来求到扣赛拉法， ok 吧。那么第二条公式的是一样的道理啊，我们看到公式里面，赛拉法扣上阿法，还有天选阿法他们的脚了， 都是阿法这个脚啊，他们的脚是相同的啊，所以叫做同脚嘛， ok， 然后杀人阿法和口上阿法还有 tend 阿法的是存在这样子的数量关系， 所以我们会看到啊，根据这两条公式啊，这三个三角函数啊，正弦与弦还有正切啊，其实我们只需要知道其中的一个啊，那我们就可以利用这两条公式啊，来求另外的两个， ok， 那具体的题目呢，会是怎么样的呢？我们先来看一下，这里是第一题， 第一题呢啊，就是说 苦晒阿尔法是三分之一，然后阿尔法是第四象线的角，然后要我们球晒阿法，那根据上面的公式啊，我们知道 siren 阿法方加 co sin 阿法方是等于一的，题目又已经说了，勾三阿法的是三分之一啊，所以我们就把三分之一的带入进来这里啊，那就会得到 这个是指啊，进一步去运算了，上阿法方加九分之一等于一，所以了 cian 阿法方是等于九分之八的， 那因为我们要算的是赛恩阿法吧，所以在这里我们需要开平方，就会得到赛恩阿法是等于正负的三分之二倍，根号二。那这里有两个答案啊，他们都是正确的吗？ 我们再来认真的看一下题目啊，题目说了，阿法是第四项线的角啊，我们在前面呢是学过的哈，我们现在要求的是阿法角的正弦子啊，我们在前面呢是学过。 杀人就正贤呐，正贤函数，他在一二三四这四个象限里面，他的正负是怎么样的呀？杀人阿法 在第一和第二项线呢，是正的，那第三和第四项线呢，是副的，对吧？那现在题目已经很明确的说阿法是第四项线的角，那我们现在要求的是沙燕阿法， 萨叶拿法了，在第四项线里面的他是负的啊，所以刚才我们算了，这两个答案呢，应该只有负的那个是对的啊，正的那个 正的三分之二被根号二呢，是需要舍取的，那我们就写一下，因为阿法为第四项线角， 所以啊， sin 阿法应该是负的三分之二倍和二，正确答案呢，应该选 apple 啊，同学们可以再看一下， 这是第一题啊，那其实我们就可以感受到啊，题目是给了扣三阿法，那我们就可以用这个同角三角函数的基本关系啊，就是这个公式把三啊法给他算出来，可以吧？再看第二题吧， 第二题呢，在这里，这个呢，就会比上面的题难一点，题目呢，就告诉我们，角 a 呢，是三角形 的内角，然后 ten 准 a 是四分之三，让我们求 sina 是多少 ten 准 a， 根据我们同角三角还能说基本关系啊，它其实就等于 sirena 除以后三人 a， 现在它是等于四分之三的，对吧？ 那就是了，三 a 除以苦三 a 等于四分之三，好，那在这里呢，我们把这个苦三 a 啊乘过去， 乘过去得到三 a 等于四分之三口三 a， 现在呢，我们是得到三 a 与口三 a 之间的一个数量关系。好，那我们要算的是三 a 啊，那怎么办？我们现在这个公式啊，已经用过了，但是我们刚才不是介绍了两个公式的 啊，还有一条公式啊，其实我们还有一条公式啊，是可以拿来使用的，就是 cna 的平方加上 cocena 的平方是等于一的啊， 同角三角函数基本关系啊，他是有两条了啊，这个是一条，这个是另外一条， ok 啊，这个题目呢，是需要我们把这两条公式结合在一起啊来使用啊，然后把这个上 a 求给他，因为我们要求的是上 a 啊，所以我们希望把这个扣上 a 的给他消掉啊，然后去求上 a 是多少。 那既然要消掉口扇 a 的话呢，那就需要把这个式子来稍作变形啊，扇 a 等于四分之三倍的口扇 a 啊，把它变形，变形呢，就会得到三分之四倍的 cna， ok， 好了，现在呢，口上 a 等于这一坨东西吧，那就可以把它呢带入到 我们这个公式里面去，这个得到 cna 方，加上本来是加上 cociana 的平方的，那因为现在 cocina 是等于这一坨东西吗？所以应该是加上三分之四倍 cna 的平方， ok， 然后等于一， 然后下面的就是运算了哈，那一方加上九分之十六，下面背方等于一， 这里呢啊，我们需要先通分的，其实就是九分之九倍的 sina 方吧，加上九分之十六倍的 ic， 这两个加起来啊，而且在右边啊，这两个加起来的话呢，那就会得到九分之二十五 sina 方等于一。哎，继续往下算，所以塞人的一方呢，就是二十五分之九，下面就开平方啊，就得到 cna 等于正负的五分之三啊，那这一题呢，也是得到 正负两个答案，那两个答案都是对的吗？我们还是要看一下题目啊，题目说了，角 a 啊， 是三角形的内角，那我们知道了，三角形的内角，他是在零度到一百八十度这个范围之内的，那零度到一百八十度，他应该是第一或者是第二向线里面的角。 我在这里写一下啊，因为啊，脚 a 是三角形的内角， 所以呢，角 a 啊，他应该是大于零度，小于一百八十度了，那其实就是角 a 呢，他应该是在第一或者是在第二向线里面的啊，那刚才我们在上面呢，已经讲过了，占 a 他在第一或者是在第二向线里面呢，他都是正的啊，他都是正的，所以啊， 上眼 a 呢，就应该是正的五分之三，那个负的五分之三呢，就应该要舍掉的， ok， 好，所以正确答案呢，上眼 a 应该是等于五分之三的，答案是五分之三呢， 同学们可以再看一下。 好，第三题啊，第三题呢，就是最后一道题了啊，也是高至高考的一道真题啊， 二零年的真题，同学们认真看了啊，题目给了 ten 准，阿法是三啊，然后让我们算这一坨东西， 我们首先呢，会观察到，哎，这一坨东西里面就只有善拉法和苦善拉法啊，他根本就没有天君啊法。那题目给的这个条件，我们怎么样才能用得上呢？先把这个题目抄下来啊， 如果我们想要用上题目给的这个条件呢，那我们就需要在这个式子里面构造出 tenderness 才行啊。那怎么去构造呢？ 在这里就需要用到上面学习过的公式啊，对吧，就用到同角三角函数基本关系。刚才不是讲 siren 阿法处理 扣三阿法等于 tendry 阿法吗？我们可以利用这条公式呢，来帮助我们构造 tendri 阿法啊，怎么来啊，这里一二三四啊，这个分式里面呢，是有四个像的，还有四个像，那这四个像呢， 我们就同时除以口算阿法啊，那就是这四个项都除以口算阿法，那会得到什么呢？我们写一下啊， siri 阿法除以口算阿法减去 口上阿法，除以口上阿法。然后分母也是一样的哈，这两个像也要除以口上阿法 啊。这里啊，一二三四这四个项呢，都除以猴三阿法， 因为他是一个分式嘛，如果你要除的话呢啊，就上下同时除以相同的东西嘛， ok， 所以现在呢，就他们上下啊，就分子分母同时除以口杀人啊法， ok， 好， 下步我们就可以利用刚才的学习公式哈，因为善阿法除以口，善阿法是等于天君阿法的，所以啊，我们看到这里其实就是天君阿法啊， 然后剪去这里呢，这里会看到菩萨拉法跟菩萨拉法是会越掉啊，越剩下就是一， 然后分股，分股，这里呢，就一样的道理了啊，三啊法除以口上二法，这是天主啊法，然后再加上这里约掉啊，约掉也是剩下一的。 那题目不就刚好是给的是 tenderness 吗？ thands of 是三吗？那就把它带入到这个式子里面，就得到三减一，这是分子分母就是三加一啊，下面就很好算了，那就应该是 四分之二啊，那在约分得到是二分之一，所以我们看到了其实真题啊，他也不是特别难呐， 同学们就需要掌握这个公式啊，公式一定要记清楚啊。第二个呢，就是掌握这个方法啊，记住了公式，然后掌握了方法之后呢，这五分呢，其实很好拿的，正确答案呢，应该是选过选项啊，那这节课内容就这么多啊，我们下节课再见了。