高一二次函数与一元二次不等式

大家好，欢迎来到双讲课堂，我是大江老师。本节课我们进入不懂事第二个板块，医院二次不懂事与二次函数分为呢三个内容。医院二次不懂事定义解法与二次函数的关系 首先是定义啊，我们把形如以下五种类型的不等式称为一元二次不等式，其中呢， abc 均为长数，且 a 不等于零。其实呢，就我们类比一下等式来理解就可以了。另外， a 不等于零很关键，它决定了这个不等式是否为二次不等式啊。 那么应该怎么来解约二次不等式呢？我们可以按照一个最简单的解不等式的套路来操作，无论现在的不等号是大于还是小于。第一步呢，我们先把 a 处理成大于零，注意处理之后不等号可能会出现反号的这样一个情况。第二步，按照解等式的方法，解出 a x 方加 b， x 加 c 等于零的两个根， x e x 二，并且假设 x e 小于 x 二。第三步，如果不等式的符号是大于，那么解及取两根的两边，如果是小于，则取 中间。一般来说，我们在平时作业和考试中都会碰到有两个根的情况，不照原理的情况下，掌握这个套路也可以解除大部分的题目，前提是必须保证 a 为证书。 我们遇到巩固例题，来巩固一下刚才的套路啊。对于这个不等式呢，首先，我们把它化成 a x 方加 b， x 加 c 大于零的标准形式，同时乘以负一，把 a 变得大于零，不等号也需要返号 因式分解，解出两个跟 x 一等于负二分之一， x 二等于一，那么因为不等号是小于号，所以最后的解题取中间 x 大于负二分之一小于一。那么当 a x 方加 b， x 加 c 等于零，没有根或者只有一个根时，我们又应该如何解这个不等式呢？我们可以把一元二次不等式与二次函数的图像联系起来。 假设函数解析式为 f x 等于 x， 平方加 b， x 加 c， a 大于零。开口向上可以看到左边有三条二次函数的图像，以第一条为例，函数与 x 周没有交点， 相当于 y 不等于零，也就相当于 f e x 等于零。无解啊，那么此时 derta 一小一点。 同理呢，对于第二条函数图像只有一个焦点，那么就是 f r x 等于零，有一个解，当然他二就等于零。 f 三 x 与 x 轴有两个焦点，等价与 f 三 x 等于零，有两个解， 都是它三大于零。我们首先来看有两个焦点是，假设两个焦点为 x 一 x 二，如果要使得 f 三 x 大于零，从图上我们可以知道，要么 x 小于 x 一，要么大于 x 二。 同理呢，当 f 三 x 小于零时， x 必须取在 x 一和 x 二之间。这就是从根本上去理解为什么在 a 大于零，也就是开口向上时，我们可以使用大于取两边，小于取中间的这样一个套路来解答一个题目。 我们再看有一个焦点 x 三十，如果要使得 f 二 x 大于零，从图上可以知道，只要 x 不等于 x 三就可以了。同理，由图可知，不存在 x 使得 f 二 x 小于零。最后是 没有焦点的情况，如果要使得 f e x 大于零，可以知道对于任意 x 属于 r 都满足这个条件，并且呢，不存在这样的 x， 使得 f e x 小于零啊，所以解级为空级。 我们来总结一下整个一元二次不等式的解法。首先呢，第一步是变形，通过变形将不等式化为 a 大于零的一般形式，然后求根，求出一元二次方程的根，可能有嘚他大于零，小于零等于零三种情况，需要分别来进行讨论。然后使画图 图画出对应二次函数的草图。大将老师强烈建议大家不要省略第三步，至少要在脑子里画一下草图。最后求解，结合图形，我们求的不等式的阶级。最后我们在于要立起来巩固一下。第一步呢，还是先把系数 a 化为一个正 数，只是不等号要进行个反号，那么这个时候我们就可以尝试去因式分解了，发现无法做出十字相乘啊，这个时候再算一下灯塔，我发现是小于零的。第三步，画出草图，发现不存在这样的 x， 使得整个表达式呢小于零，因此呢，得到解极为空极。 对，我们这里判断是基于做完第一步，也就是把二次项系数变正之后的式子来进行的操作，而不是题目中原来的 原式来进行判断。那这个题我们其实还有另一种结法，就是去配完全平方案，这个方法也希望大家能够去掌握啊通， 这个式子呢，我们去配一个这样的完全平方，可以得到是二倍的一个完全平方，加上八分之七小于零，很明显不存在这样的 x， 让这个表达是能够成立啊，因此解极为空级。好了，今天内容就到这里，谢谢大家收看千里之学习，左下角就是上下更多基础加关注，让学习变得更轻松。

同学们好，我们这节课继续来学习相等关系与不等关系的第二部分基本不等式。 大家看一下这节课的重点是基本不等式和应用基本不等式求最值。难点基本不等式的推倒。第二个是应用基本不等式求最值。考试要求 题型主要以选择题、填空题和解答题。比如这三种题型里边都有可能出现。 不过有些时候，比如在选择填空题里边直接来考基本不等式， 还有可能是作为一种工具，也就是说在题目解题当 当中的其中一小步来考察。这种应用在选择题、填空题和解答题里边都有可能出现， 尤其是在解答题里边，很少单独的去考察，基本不懂事也可以说就没有， 尤其是到高考，更不可能直接去考。一个基本不等式，他是作为一种工具来使用，难度中等。主要就是在应用基本不等式的时候，你能不能识别出他来，能不能灵活的去用 好。我们来看一下这一节课的知识脉络。首先，基本不等式是这样一个式子， 注意 a、 b 的要求都为正数等号成立的条件 a 等于 b。 那这个 a 等于 b 怎么来的呢？事实上就是对 a 加 b 用的基本不等。那么对用基本不等式的这两个式子，让他们是相等的。他所涉及到的问题。第一个是原理。 基本不等式的原理实际上就是根号 a 减去根号 b 的平方大于等于， 那我们把它展开，就是 a 加 b 减去二倍的根号 a， b 大于等于， 也就是二分之 a 加 b 大于等于根号 a b。 所以基本不等式的本质实际上是完全平方大于。 而等号成立的条件就它俩相等，也就是 a 和 b 相等。再来看一下它的变形，在这一块的变形有凑配法，凑出那个形式来， 这是我们用的比较多的一个。再一个比如说一的运用，我们后边会有相应的一些题目再来解说。 再一个它的作用求最值，一般积为定值的时候和有最小值， 那么核为定值之后基有最大值。再一个就是用它来解决一些实际问题， 面积最大或者周长最大等等。下面我们就利用基本不等式的推导来看一下下列不等式的推导过程是不是正确的。第一个，因为 x、 y 属于实数， x、 y 乘积小于零，所以这个是 根据我们上边的推导过程。我们知道基本不等式的使用条件是正数，这是它的大前提。那很显然这两个数是负数。我们继续往后看， 它在这两个数前面分别加了负号，负的 y 分的 x 加上负的 x 分的 y， 这样由负数变为了正数，这样就可以拥有基本不等式了。 大于等于二倍的根号下，负的 y 分的 x 乘以负的 x 分的 y， 这个是等于二的。 为了保证加符号的式子和原式是相等的，在整体前边又加了个符号， 也就在这个不等式前面加符号，相当于不等号两边同时乘以负一。不等号的方向发生改变，就变成了这个式子，因此它等于负二。从四字的推导上，它是正确的。那我们再来看一下等号是不是成立。 等号成立的条件也就是负的外分的 x 等于负的 x 分的外一， x 方等于外方 g， x 等于 y。 因为 x、 y 符号是相反的，这个等号是可以成立的，所以这个式子推倒是正确的。 再来看第二个， x 方加三，加上 x 方加二分之一。我们来看后边 他用到了一个拆分法，将三拆成了二加一。那么用拆分法的目的是什么呢？ 正数这个是没有问题了，这两个都是正数，我们后边要出现乘积的形式， 让成绩能够成为一个常数。也要想办法把含有 x 的式子 约掉。通过拆分就出现了和分母一样的式子。这样用基本不等式就出现了。基围定制 得出了，它是三。从设置的推导上，这是完全没问题的。下面我们要验证它的等号成立条件。 它是 x 方加二分之一等于 x 方 加二，也就是 x 方加二的平方等于一。 那我们知道 x 方加二，它是大于等于二的，它的平方那是大于等于四的，不可能等于。 等号不成立。等号不成立，我们的基本不等式就是不成立的，所以这个是不正确的。好，我们来总结一下。利用基本不等式， 首先要看他的条件是不是满足应用不等式的两个式子，或者数是大于零的。就刚才我们所说的葬数一葬。第二个要满足就是定值，尤其是在求助意志问题里边， 必须得有定值。第三个是等号相等，三相等，等号成立。 第二个要注意的就是 a 方加 b 方大于等于二。 a、 b 和这个设置成立的条件是有所 不同的。不同点是什么呢？这一个对 ab 没有任何限制，因为他对应的是 a 减 b 的平方大于等于 ab， 可以是任意时数。但等号成立的条件仍然是 a 等于 b。 而这个必须要保证 a 大于零， b， b 大于零。但等号乘的条件也是 a 等于 b。 我们来看这个同学的问题，不知道什么时候该用，基本不能试，而且用的时候总会用错，怎么办？ 刚才我们已经总结了，基本不等式成立的条件必须是一正二定， 尤其是求最值。第三就是等号成立。好了，我们来看一下有关不等式的点例。第一个，利用基本不等式比较大小， 已知 m 等于 a， 加上 a 减二分之一， a 大于二， n 等于二，乘以二减 b 方， b 不等于零，则 m、 n 之间的大小关系。首先来看这个 a 加上 a 减二分之一。我们看他和我们刚才做的那个题很相似，因此我们就想到了这个臭配法。 a 我如果减去个二， 然后再加上 a 减二分之一，因为多减了二，所以要加上二，这样对他两个就可以用基本不等式。大于等于二倍的根号下， a 减二，乘以 a 减二分之一， 这样然后再加二，这样就得到了它是四等号成立的条件，当且紧当。 因为对这两个式子用的基本不等式，所以就是 a 减二，要等于 a 减二分之一。 我们来看 a 的范围是什么，这样就是 a 减二的平方等于一，所以 a 等于啊。三使等号成立，所以就得到了 m 是大于等于四。 再来看这个二乘以二减 b 方， b 不等于零，那 b 不等于零， b 方就是大于零，负 b 方 就是啊，小于零。然后再加上二，变成了二减 b 方小于二， 再乘以二，那就是小于四。用的是等号，两边同时乘以一个正数，不等号的方向不变。好，我们来看， 这样得到 n 小于四， m 大于等于四， n 小于四，大小关系 一目了然， m 要大于 n。 我们来总结一下这个题。首先第一步用到了基本不等式。做这个题的时候要注意观察其形式 是盒式定制还是机式定制。这个题我们通过凑配法得出了它的机为定制。 这种形式比较好看，一般都是出现一个是整式，一个是分式。第二要注意他满足的条件。好，我们继续来看。利用基本不等式来证明 不等式。藏一类题目所 a、 b、 c 都是正数，证明不等式大于等于六。 既然我们已经知道了这个题是要用基本不等式，关键就是怎么用， 直接用行不行呢？这个式子和这个式子用基本不档次，因为最后得出来必须是一个数， 所以说你的这些字母要想办法把它消掉，最后没有字母了，就纯粹的是一个数才行。显然你直接对他俩用是绝对不行。 而要想出现数，必须得出现字母的倒数形式，这样才能把字母全部消掉。所以直接用是不行的。直接用 不行怎么办呢？我们就要对这个式子进行一个变形。 a 分之 b 加 c。 我们可以把它拆成 a 分之 b 加 a 分之 c， 而这边这个 b 分之 c 加 a。 我可以写成 b 分之 c 加 b 分之 a。 后边 c 分之 a 加 c 分之 b。 然后给他们分一下组 a 分之 b。 这里有 b 分之 a， a 分之 b 加 b 分之 a， 加上 a 分之 c 加 c 分之 a 加 b 分之 c 加 c 分之 b。 你看到 倒数行驶乘积一定为定值，所以大于等于二倍的根号下 a 分之 b 乘以 b 分子， a 加二倍的根号下 a 分之 c， c 分之 a 加二倍的根号下 b 分之 c， c 分之 b， 那么就等于六。我们还要验证等号成立的条件。一证满足，定有了等号成立条件，当且紧当。他要成立 必须是 a 分之 b 等于 b 分之 a， 也就是 a 方等于 b 方。进而得出 a 等于 b， 这个是 a 等于 c， 这个是 b 等于 c。 也就是当前 紧当 a 等于 b 等于 c 时，等号成立。 要注意连续用多个基本不等式的时候，一定要保证基本不等式里边等号成立的条件是一致的才可以。如果这里边这个基本不等式成立条件和这个是不一样， 那么这个基本不等式用完也是错误的。我们来总结一下，做此类题，我们要以已知来看可知逐步推向未知这样一种思路。 第二个要注意的就是多次使用基本不等式时，要注意等号是否成立。 第二，对于不能直接使用基本不等式的证明，可以重新组合形成基本不等式模型再使用。其实这里边还用到了一个关键的变形，就是拆分 他和我们前面这个错配法差不多。我们再来看基本不等式在解决实际问题的时候要注意些什么。 下面我们就通过一个例题来看一下基本不等式是怎样来解决实际问题的。 举行菜园的一边靠墙，另外三边用一段长为三十六米的篱笆围城。如何设计这个菜园的长和宽，才能使菜 的面积最大。最大面积是多少？我们画一下它的示意图。这就是那个矩形菜园三边 色，这个为 x， 这个 y， 这个是 x。 根据它的周长为三十六，我们可以得出二 x 加 y 等于三十六。最后问的是面积最大面积是什么？ s 等于 x 乘以 y， 因此要出现 x、 y 的一个最大值才行。 x、 y 和二 x 加 y 怎样建立起连起来呢？这就是基本不等式。 我们知道二 x 加 y 是大于等于二倍的，根号下 二 x 乘以 y， 而它又等于三十六。所以我们就可以得出根号下二 x， y 要小于等于十八， 所以 x、 y 要小于等于一百六。十、二 等号成立的条件当且减。当二 x 等于 y， 即 x 等于九， y 等于十八时，等号成立。那所以让这个举行 形菜园长为十八，宽为九十，面积最大 最大值为一百六十二平方米。这样这个题就解决完了。 我们来总结一下本节课的主要内容。我们利用基本不等式的原理以及造爽玄图推倒了基本不等式。 然后利用基本不等式它的一些变形技巧，比如凑配开分来求它的最值。 这里边一定要注意它的使用条件，一赠二定三相等，以及运用它来证明不等式。 最后是利用基本不等式的一个实际问题，要注意实际问题里边要使变量有意义。好，这节课我们就讲到这里，同学们再见。

我抽到题目是二次函数与一元二次方程不等式。上课同学们好，在上课之前我们先来一起看看例子。假设我们现在想用栅栏为一个矩形的花卉，这个栅栏的长度为二十四厘米。 我想为什么矩形花卉面积呢要大于二十平方米，请问这个矩形花卉的边长为多少？ 对应用题，首先射元在列式射什么呢？我们假设它的长为 x， 那么另一边宽为多少呢？好，周长除以二再减 x， 所以长乘宽等于面积要大于二十，去括号移项后得到 x 方减十二， x 加二十 小于零。那我们想要解这个的话怎么填呢？首先我们得明细这个是什么呀？我们来下个秘密。首先，对于这种只有一个未知数， 并且这个位置数 x 呢？最高次为多少呢？哦，他应该是为二次，我们就称他为什么呢？大家类比之前学过的一元一次不等式，他应该是什么呀？没错，他应该是一元 orders， 不能是。 那我们把这个系数给它抽象出来， 它就应该是 a x 方加 b， x 加 c 小于零这样的不等式，或者我们小于也可以换成什么呢？还可以是大于零，或者啊，我还可以小于等于，大于等于。 接下来我们想要写的话，我们可以先看看类比之前学过的什么东西。假设左边的这个式子为外，那他是什么样的？有同学想起来了，他应该是我写的标题，二次函数图像，还记得怎么画吗？ 没错，它应该是一个开口往上对顺轴在 x 呃的正半轴，并且与 x 中有两个焦点的二次函数抛线图像。那我想要看 y 小于零应该在图像的哪个部分呀？ 哦，我们可以发现啊，小韵应该是在歪轴的部半轴，也就是在 s 轴的 下方，非常好，那这一段我们想要求的这个边长 x 的范围应该从哪到哪呢？哦，我们就发现了，应该是找到这两个与 x 轴交点 才可以，那么这个焦点怎么求呢？我们发现啊，这个当 x 轴上的焦点是不是就是 y 等于零的时候呢？我们看当是个 y 等于零，也就是 不等式， x 方减十二， x 加二十，零等于零的时候，我想要求 x 为多少，想想这是什么呀？应该是我们的一元二次方程， 这个会写了吧。哦，十四相乘大公司减二乘 x 减十等于零，写出 s 一等于二， s 二等于十。好，那我们这个 就可以看到这个 x 一二 x 二为十，那这个范围可不可以看到呢？应该是从 x 大于二小于十。 好，如果我把这个不等式换成 x 方减十二， x 加二十变为大于零， 请问这个时候取值范围从哪到哪呢？还是一样，我们来看图像，这个图像上现在要取哪个部分呀？哦，很明显应该是歪的正半轴大于零，那么他应该就是 左边这一只和右边这一只。那我 x 的区域范围从哪到哪呢？好，有同学已经看到了，应该是从小于二和大于十， 我们一零二四不等式解的办法，首先我们要去看他与 x 轴的交点为谁找到这个 x 的端点，我们才能够通过他的范围去 小于，还是带领来得到 x 的区域范围。那我们现在呢，就规定使得这个方程 a x 方加 b， x 加 c 等于零的实数 x 为 零点，顾名思义，也就是令我们的这个函数值等于零的 x。 我们要记住零点不是对，而是一个实数。那比如说在我们这个方程，它的零点是什么呀？ 没错，它就应该是 m 一等于二和 m 二等于十。这个我们把二次函数与一元二次方程还有一元二次不等式 想要联系起来。我们回忆一下初中学过的，如果这个函数图像与 s 轴两个交流， 这个相当于说这个方程有两个时根的话，有什么判断呢？我现在想到了，应该是由根的判别是 delta， 那我们现在以 delta 为入手点，来探究一下函数方程不等式这三者之间的对应关系。 首先还是以刚刚那个为例，当我们的吊塔大于零的时候， 我的这个函数图像 y 等于 a， m 方加 b， m 加 c 的图像应该为什么 要吗？还有它对应的方程 a and 加 c 这个方程的根什么情况呢？以及我们的不等式， a x 方加 p， x 加 c 小于零， 这个不等式的解题为谁呢？还有当 a x 方加 b， x 加 c 大于这个不等式的解题又为谁呢？ 我们现在来探究一下，当 x 大于它的图像应该跟我们的四轴怎么样啊？没错，两个 焦点啊。这里我们先规定 a 是大于的，接下来如果他的根呢？哦，如果大于，我们应该有两个不相等的十根， 假设 x 一 x 二，并且如现在先规定 x 一是小于 x 二的， 接下来如果他取这个小令剪辑为谁呢？啊？我们刚刚已经看到，他应该是取这个范围，也就是 x 在大于 x 一，小于 x 二这两个零点的中间。那大于是哪个范围呢？哦，它应该是这两块，那应该是 小于 x 一或者大于 x 二。如果我想要写成集合的话，我们可以用表述法写成这样。用描述法。 好，那我们已经看完了德欧塔大于零的情况，我们再来看，当德欧塔等于零是什么情况呢？好，它的图像应该长什么样子啊？哦，有同学们说了，它应该是跟 x 轴几个焦点呢？没错，一个焦点。 好，那它这个方程的根为谁呢？哦，它应该是有两个相等的时根，那这两个时根还是 m 一和 m 二，这时候 m 一二 能不能确定啊？没错，他应该就是我们对称轴所对应的这个 x 负的二 a 分之一。 好，那这个剪辑呢？小于零的部分，哎，发现他怎么小于零？没有啊， 你们没有猜错，他就应该是没有满足小明。那么没有任何元素的集合，还记得吗？嗯，我们学过了，空集好大于零呢， 很多人说，哎，全部都在大理呢。是吗？我们刚刚说啊，当它 x 等于负二十一分之一的时候，它是等于零的，所以我们应该要去掉这个点，也就是 x 的范围在哪呢？在不等于不等 二 a 分之 b。 好，最后来看，然后它小于零的情况，图像是什么样的呢？ 我们小于与 x 轴几个焦点啊？没错，是没有焦点的，我们开口又往上，所以应该是如此。那它这个方程的根呢？ 哦，我们发现没有焦点，他还有根吗？当然是没有啦，所以他应该是没有实数根据。 好，那这个小于零时候的姐姐呢？跟这个一样没有，所以还是空级，那么大于零呢？哦，这时候我就发现了，他应该确实是所有单词代入进去函数值都是， 所以我们取什么呀？没错，应该取得实数级啊。那这里我们除了后面两种比较特殊的情况以外，经常啊，遇到的是第一种情况，老师对这两种不等式的解题进行一个口诀 给你们看看。如果我们小于零，取得的是两个零点的中间，我们就可以说小于取中间， 如果是大于呢？应该取哪边呢？哦，很明显，大于应该取到两个零点的左右两边，我们就可以说大于取两边。那我们进行一下总结，今天学了什么呢？啊，没错，同学们说了，我们今天学了一元二次 等式的概念，还学了什么呀？啊，学了零点是什么？还学了什么啊？我们还学了这个二次函数方程以及不等式三者之间的关系。那我们 对这个写定二四不等式进行一下总结，他的步骤分为哪些？首先第一步，我们刚刚有人看到老师规定这个 a 大于，为什么我要这样呢？是因为我们如果统一都大于的话， 这个口诀就能独自使用，小于零的话，我们口诀就要反过来了。那为了方便，我们就用所有的不等式 x 方的 c、 u、 a 都先令他大于零，如果他从小于零怎么办呢？我两位同成一个后一呢，这个很简单。第二， 我们要判断什么呀？判断这个红色的根，判决是北欧塔，如果我们的北欧塔大于或者等于零，那么他存在十根，也就是我们这个方程是有解的，我就可以把它解方程 得出我们的两个十的。呃，如果说 delta 代理我们就可以用到这个口诀， 我们用到了一个口诀，如果没有他等于零分，这样两个情况小于零也分不同的情况。