怎么用初等变换解线性方程组

本次我们学习第三章第三节线性方程组的解。首先我们给出线性方程组的解的存在定理，然后介绍一些应用算例。 本次学习第一部分内容介绍线性发生组的姐的存在定理。 由第一章第四节的内容可知，克莱恩法则仅适用于未知账的个数和方程的个数相同的情形。 而对于一般形式的现行防守组 ax 等于 b， 即西路矩阵不是方阵的情形时， 克兰法则便失效了。 在本节当中，我们将讨论如何利用矩阵的制判定一般的线性方程组 ax 等于 b 的解的存在性，并给出方程组的解法。 首先回忆一下系数矩阵与增广矩阵的定义。 设含有 n 个位置数 m 个方程的线性方组形式如下，我们将所有系数组成的矩阵系为 对准大 a， 然后将细数与长数列组成的矩阵记为大 a 一把。 那么据认 a 和 a 一八分别称为线性方式组的系数矩阵和增广矩阵。 下面我们给出非其次现任方向组以及其次现任方向组的定义。 对于给定的限行方组 a x 等于 b， 当长数列 b 不全为零时， 我们称该方程组为非其次线性方程组。 进而我们将 a、 ax 等于零，称为对应于 ax 等于 b 的其次现象房组。 有了信息方组定义以后，下面我们给出方程组的解的定义。 若存在项链 x 一漂满读线性方向组，则我们将 x 一漂称为方程组的解项量。 有了线性方向组以及解销量的定义以后，我们主要关心以下几个核心问题， 一、如何判断方程组是否有解。二、如果有解的话，有多少组解？ 以及三、如果有解的话，如何求解？下面我们给出如下的定理。 定理三点九，设含有 n 个位置处 m 个方程的线性方向组为 ax 等于 b。 当细数矩阵 a 和增广矩阵 a 八的痣满足如下条件时，有。一、当细数矩阵的痣不等于增光矩阵的痣时，方程组无解。 二、当细数矩阵的痣等于增光矩阵的痣等于位置上的个数时，方程组有唯一的解。三、 当细数居定的制等于增广均的制等于阿尔小于位置上的个数时，方程组有无穷多个紧 定义三点九给我们提供了一种判断发生赌是否存在解的方法。 对于定理三点九，我们可以利用初等行变换将增广居镇约化为行之减刑，然后再根据增广居镇和系数居镇的至判断方程组的解的情况，具体证明过程如下 证明，首先，为了叙述方便，我们不妨假设增广矩阵 a 一八对应的行之隐形为下 下列行事。注意，由前面的知识可知，对于增广矩阵 a 一拔，我们一定可以通过初等行变换得到对应的行业进行，因此这里我们不带给出过度说明。 下面来看第一种情况，若系数矩阵 a 的痣不等于增广矩阵 a 一把的痣， 同样的，由前面的知识可知，此时增广矩阵 a 八的值应该大于系数矩阵 a 的值，而且就大一，那么我们可以得到 d r 加一应该不等于零， 而该矩阵的第二加一行就对应于一个矛盾方程零等于第二加一，因此这种情况下， 方程组是无解的。 再来看第二种情况，当细数矩阵的字等于增广矩阵的字等于位置上的个数 n 十，增广矩阵 a 一把的行最减型可以进一步变换为下列形式。 将该矩阵返回到方程组当中去，就可以得到方程组的唯一的解，形式如下， 由于初等行变换是同解变换，因此该解也是原方程组的唯一的解。 有时我们也将该节写成下列形式。 再来看第三种情况，当细数矩阵的制等于增广均的制等于阿尔小于位置上的个数 n 时，增广均的行最减型可以进一步变换为下列形式。 由于该矩阵是对增广矩阵做初等行变换得到的，而初等行变换是同解变换，因此根据矩阵的乘法，与线性方向组 a、 f 等于 b 同解的线性方向组的分量形式可以表示如下。 注意，由于上述矩阵的后 m 减 r 行均为零，因此我们在返回方程组时，仅取该矩阵的前 r 行， 那么我们就可以得到与 ax 等于 b 同解的现金方向组，形式如下。 进一步的一项就可以得到下列现象，发生组，显然，该发生组与原发生组 ax 等于 b 也是同解的。 通过观察不难发现，在上述方组当中，任给 x 二加一到 x n 一，组织 可以唯一的确定 x 一到 x 二的一组值，从而得到方程组的一个解。 这里我们将 x 一到 x 二称为主辨量， 而将 x 二加一到 xn 称为自由位置量。 其中自由位置量可以取任意使数， 那么如果我们对自由位置量任意扶持，比如令 x 二加一等于 k 一， x 二加二等于 k 二一直到 x n 等于 k n 减二， 带入到上述方组当中去，就可以得到上述方程组的一组解。显然，这组解也是原方程组的一组解，进而由 k 一一直到 k n 减二的任性可 时，此时原来的非其次县方向组不仅有解，而且有无穷多解。形势如下， 其中 k 一一直到 k n 减二是任意场数， 有时也将解写成下列形式， 其中 k 一到 k n 加尔为任意常数。 进一步的，对于其次性的方向组，我们给出对应的定理如下， 定理三点一零设有七字线方组 a f 等于零，那么我们有如下的结论， 一、当细数决定的制等于未这样的个数 n 时，此时其次检验方案组有唯一领结。 二、当细数举进的至小于未这样的个数 n 时，此时放生组有无穷多个非零结。 我们知道其次线方组与非其次线方组二者之间是对应的关系。 那么我们不禁提出下列疑问，非其次，先方组的解与 其次性言方则解二者之间有无关系？ 显然二者之间是有一定的联系的，他们之间的联系我们将在第四章当中给出详细的讨论。 上述定理三点九低三点一零不单为我们提供了一种判断限行方额组是否存在己的依据，也为我们提供了求解限行方额组的方法。下面我们将利用上面两个定理来求解具体的限行方额组。 首先来看例三点一四求解下来。现行房屋组 观察可知该放松组 为非骑士检防组，那么由定理三十九可支，我们可以利用出党航变换将增广局任约化为行最减刑，然后再根据增广局任和系数局任的制的关系来判断限行方组的解的情况。 下面来看具体求解过程。首先给出对应的增广矩阵形式如下，下面我们将对增广矩阵实施初等行列换 观察可知，由于第一行的第一个元素是一，因此我们首先将第一行乘以负二加到第二行， 变为 下列行驶。然后将第一行乘以负四加到第三行，得到下列行驶。 显然，接下来我们将第二行乘以负一加到第三行， 那么盖住最后一列就是细数矩阵对应的行阶梯形，显然细数矩阵的值等于二， 而保留最后一列对应的就是增广矩阵的行阶梯形，增广矩阵的痣等于三。由于细数矩阵的痣不等于增广 知，那么由定第三十九可知此时的发生组无解。 再来看例三点一五求解下列现象，方向组 观察可知，该房主同样为非其字线房主，因此求解思路与刚才的利三点一四相同。 下面给出具体求解过程。首先我们给出增广矩阵形式如下， 接下来我们将对增网矩阵实施初等行变换 观察。可 之，由于此时增黄矩阵的第一行的第一个元素已经是一，因此这里我们可以将矩阵的第一行乘以负二加到第二行， 使得第二行的元素变为零，负三，负五、负七。 然后将第一行乘以负三加到第三行，将第三行变为零负一，负十一，负二十一。 最后将第一行乘以负四加到第四行，将第四行元素变为零负一，负十一，负二十一。 接下来通过观察军人的特点，我们可以将第三行乘以一加到第一行， 使得第一行的元素变为一零负八，负十五，然后将第三行乘以负三加到第二行，使得第二行元素变为零零二十八、五十六， 最后将第三行乘以负一加到第四行，使得第四行的元素全部变为零。 上述矩阵以后，通过观察特点，这里我们可以将矩阵的第二行乘以二十八分之一，得到零零一二， 然后将第三行乘以负一，得到零一十一。二十一。接下来我们交换矩阵的第二行和第三行就可以得到下列矩阵。 注意，此时的矩阵还不是行罪行矩阵，因为第三阶梯所在的列还有十 一和负八两个元素不为零，所以根据特点，接下来我们将第三行乘以八加到第一行， 使得第一行变为一零零一，然后将第三行乘以负十一加到第二行，使得第二行变为零一零负一，这才是最终的行最隐形矩阵。 那么由居镇的形式可知此时系数，居镇的至等于增广，居镇的至等于未这样的个数三， 因此有定力三十九可值。此时放生组有唯一的解。 接下来我们将 将行最强矩阵返回到对的方程组，就可以得到与原方程组同解的方程组，形式如下， 这是一组解，而且是放生组唯一的解，那么这组解也是原放生组唯一的解。及 x 一二三等于负一负一二。 再来看力三点一六求解下列现象，方向组， 同样的该发生组为非其次检验发生组，因此要利用定地三点九对姐的存在情况进行判断并 求解。下面来看具体求解过程。首先给出对应的增广矩阵形式如下，下面我们将对其实施初等行变换。 通过观察不难发现，由于此时增广军人的第一行的第一个元素已经为一，因此接下来我们可以将第一行乘以负一加到第二行， 使得第二行的元素变为零二一负一四。然后我们将第一行乘以负二加到第三行，使得第三行的元素变为零 三，负四五负六。 最后我们将第一行乘以负四加到第四行，使得第四行的元素变为零五，负三四负二。 观察可知，由于此时第二阶梯的第一个元素均不为一，所以接下来我们要根据其特点来选择变换。这里我们是将 第三行乘以负一加到第二行，使得第二行的元素变为零负一五负六十。 然后将第三行乘以负二加到第四行，使得第四行的元素变为零负一五负六十。 通过观察可知，此时第二行与第四行相同，因此刚才的变换就为接下来变换提供了方便，这也是我们选择刚才这种变换的原因。 那么根据此时居任的特点，接下来我们将第二行乘以负一加到第一行，使得第一行的元素变为 一，零负三五负六。然后将第二行乘以三加到第三行，使得第三行的元素变为零零十一，负十三二十四。 最后将第二行乘以负一加到第四行，使得第四行的元素全部变为零。 最后我们将第二行乘以负一， 使得第二行变为零一负五，六负十，然后将第三行乘以十一分之一，使得 第三行变为下列形式。 同样的，这还不是一个行最典型。接下来我们将第三行乘以三加到第一行， 得到下列形式，然后将第三行乘以五加到第二行，得到下列举针，这才是最终的行最典型。 至此，我们就将原方程组对应的增广矩阵通过初等行变换 变为下列行最简型。显然，此时系数居人的智等于增广居人的智等于三，小于位置上的个数四，因此有定理三点九，可知此时方程组有无穷多解。 下面我们将用前面介绍的方法对方程组进行求解。 当我们将原方程组对应的增广矩阵通过初等行变换变为行质检性以后， 接下来我们将行对减行返回到线形方程组，就可以得到与原方程组同解的方程组，形式如下， 然后根据定义， x 一二三为主变量， x 四为自由位置量，那么我们通过一项可以将主变量用自由位置量表示出来。 最后我们对自由位置量任意复职，带入前面的方程组，就可以求出 x 一二三，从而得到方程组的几。 这个解也是原方程组的解，其中 k 为任意使处， 由立三者一四到立三者一六。可见 在求解非其次限行方向组时，我们可以先利用初等行变换将限行方向组的增广矩阵约化为行阶级行举证，然后判断增广矩阵的制和系数矩阵的制是否相等。 如果二者不相等，那么线性方向堵无解。若二者相等，我们可以再进一步将增广矩阵约化为行质检型，进而求出线性方向组的解， 类似的，我们还可以解决如下的问题， 本次学习结束。

本期视频讲解非其次线性方程组的解法。首先给出非其次线性方程组的求解步骤， 非其次线性方程组求解的高丝消炎法的步骤如下，给出线性方程组之后，首先将其抽象画写出他的增广矩阵， 用初等行变换将其化成行接梯形矩阵。根据行接梯形矩阵可以判断线性方程组是否有解， 如果线性方程组无解，计算步骤就结束了。如果线性方程组有解，我们继续将行阶梯型矩阵化成行坠减型矩阵，然后将它还原成阶梯型方程组。在求解这个 阶梯型方程组就可以得到线形方程组的通解了，这样我们的步骤就结束了。在求解阶梯型方程组的时候，我们需要一项对齐补方程，写通解三步来完成。在后面的例子当中，我们详细去讲解这三个步骤。 下面给出一个算例，求解这个非其字形方程组。首先写出他的增广矩阵，再用初等行变换将其划为行阶梯行矩阵。结果如下， 我们可以看到第三行是前面都是零，最后一个元素是一，他所对应的方程就是零，等于一这样的一个矛盾，所以这个方程组是无减的。再看下一个算 求解这个非其字形方程度。首先写出他的增广矩阵，再用初等行被换将其划为行阶梯行矩阵。 从这我们可以看到，这个线性方程组一定是有解的，所以继续将其划为行距减行 行最简型矩阵是右面的这个矩阵。接下来写出行最简型矩阵所对应的阶梯型方程组，阶梯口上的位置量是 x 一和 x 三， 我们将 x 一和 x 三以外的其余的位置量都移到等式的右端，并且补位置量。 x 二等于 x 二， x 等于 x， x、 x 五 等于 x， 并且对齐摆放。这个时候称阶梯口上的位置量为非自由位置量，其余的位置量称之为自由位置量。 接下来最后一步，把刚才的这个结果改写成项链形式，这个项链形式就是我们现行方程组的结。 这一图我们需要注意的是， x 二、 x x x 五是自由物质量，他们可以取任何的纸。 所以说这个线性方程组一定是有无穷多个节的，我们称这种向量形式的节为线性方程组的空节，也称一般节。 将右端的四个列相量依次记为， x 零、 x 一、 x 二、 x 三的时候，空姐 x 就是 x 零， 加上 x 一、 x 二、 x 三的线性组合，容易验证 x 一、 x 二、 x 三是线性无关的。再看一个算例， 求解，这个线性方程组先写出他的增广矩阵，再用初等行变换将其化成行接梯形矩阵，由此可以知道线性方程组一定是有解的，所以继续将行接梯形矩阵画成行最减型矩阵。 接下来写出行最简型矩阵所对应的阶梯型方程组可以得到， x 一等于五， x 二等于负二， x 三等于负四以及 x 等于一，这就是现行方程组的唯一的解。最后我们做一个总结，求解 非其次，限用方程组的时候会出现三种情况，第一，无解。第二，无穷多解。第三，唯一解。 当增广制制的最简行当中出现零零零零一这样的行，限行方程组一定是无解的。如果不出现这样的行限，行方程组一定有解。 用矩阵的语言来描述就是这样的，当细数矩阵的痣等于增广矩阵的痣的时候，现应方程组一定有解，否则无解。 当非其次现应方程组有解的时候，系数矩阵的质小于位置量的个数的时候，会产生自由位置量，所以现应方程组有无穷多解。在有解的时候，系数矩阵的质等于位置量的个数的时候，不会产生自由位置量，所以现应方程组有唯一解。 关于线性方程组的解的情况，在下一期视频当中，我们会详细的讨论，本期视频就分享到这里，感谢您的收看！

本期视频给出线性方程组的基本概念。首先给出线性方程组的类型和解项量， 这给定一个 s 乘 n 的限行方程组，我给他命名为一。如果长数项 b 一至 bs 都等于零，则称这个限行方程组一为其次限行方程组，否则称限行方程组一为非其次的限行方程组。 设 c 一 c 二至 c n 是数 e f 上的一些数，将 x 一等于 c 一， x 二等于 c 二， 一直到 xn 等于 cn， 代入到线性方程组一的每一个方程之后都成为横等式，则以 c 一 c 二至 cn 为分量的列项量称 为一的解相量，简称为解。若线性方程组一有减，则称线性方程组一是相容的，否则称线性方程组一是不相容的。 接下来给出线性方程组的项链形式，给定这样的一个线性方程组整价的，可以把它改写成这样的形式。利用项链的加法和数乘，进一步改写成下面的这个形式。 此时我们引入一些项链 f 一至 f n 以及煤炭，这样我们可以把一个线形方程组写成项链方程的形式， 我们称这个项链方程为线性方程组的项链形式。线性方程组的项量形式和原线性方程组是等价的。 接下来给出现行方程组的矩阵形式，给定这样的现形方程组，我们引入如下矩阵 a x 以及北塔。 这样的话，利用矩阵的乘法，可以把线性方程组写成矩阵方程的形式， ax 等于白塔，我们称这个矩阵方程 ax 等于白塔为线性方程组的矩阵形式。 有了线性方程组的项链形式和矩阵形式之后，我们可以更方便的去研究线性方程组的问题。 给出这样的线性方程组之后，我们会有如下的一些巨震，我们称巨震 a 为系数，巨震为他为长数项量。在巨震 a 的后面加上长数项量之后得到的 矩阵 b 称之为增广矩阵。最后给出线性方程组的初等变换。在求解线性方程组的时候，我们经常用如下的三种变换， 一、两个方程的位置互换。二、一个方程乘以非零常数。三、一个方程加上另一个方程的若干背，称这三种变换为线性方程组的初等变换。下面的定理告诉我们，线性方程组的初等变换不改变线性方程组的解， 具体如下，线性方程组经有线次出等变化难得到的线性方程组与原线性方程组是同解的，下面给出证明。设线性方程组 ax 等于北大，经有线次出等变化之后得到线性方程组 ae， x 等于北太医，则增广矩阵 a， 北太经有限制初等行变换之后得到增广矩阵 ae 北太医，所以存在可逆矩阵 p， 使得 p 左乘前者的增广矩阵，就会得到后者的增广矩阵。 再有矩阵的分块乘法，我们可以知道 p， a 等于 a 一， p， 贝塔等于贝塔一。 下面是 x， 零是 a， x 等于贝塔的一个解，这样的话， a x 零就等于贝塔两端左乘 p 矩阵之后就得到 a e x 零等于贝塔一，这就说明 x 零也是 a e x 等于贝塔一的解。 反之， x 零是 a e x 等于白太一的解，那两端左乘僻逆，这样就得到 a x 零 等于白肽，也就是说 x 零也是 ax， 等于白肽的结，这就说明两个线性方程组是同结的。本期视频就分享到这里，感谢您的收看！

本期视频讲解现行方程组的解的情况的分析方法，这里给出两个实力。 首先回顾一下我们的知识点，给出这样的一个线性方程组，他的西数矩阵是 a， 增广矩阵是 b， 那么西数矩阵的质小于增广矩阵的质的时候，线性方程组是无解的。 细数句子的痣等于增广句子的痣等于位置量的个数的时候，线性方程组有唯一解。 当细数句子的质和增广句子的质相等，但是小于未知量的个数的时候，线性方程组有无穷多解。首先看第一个例子，这个出带有参数 ab 的线性方程组，下面分 分析这个线性方程组的解的情况，并且有解的时候求这个线性方程组的解。我们先写出线性方程组的增广矩阵，然后对他做初等行变换，把它化成行阶梯形矩阵。 这个时候我们发现第三行和第四行的最后一个元素，一个是 a， 另外一个是负二减 a 加 b。 根据线性方程组解的存在定理， 我们可以知道这个线性方程组有减，当且仅当 a 等于零且负二减 a 加 b 等于零， 也就是说 a 等于零且 b 等于二的时候有减。当 a 等于零和 b 等于二的时候，增广矩阵就等于下面的这个矩阵。然后对这个矩阵继续 做初等行被换，把它画成行字减刑矩阵，然后把它还原成现行方程组。一项补位置量之后得到这个结果，把它写成项量形式，就得到现行方程组的同减，是这样子的。 再看下一个例子，这给出这样的一个线性方程组，分析这个线性方程组的解的情况，并且有解的时候，求这个线性方程组的同解。 现与方程组的增广句子是这样子的，我们对他进行初等行变换，化成行阶梯形，具体的步骤如下， 最后一个 矩阵就是形式上的行阶梯型矩阵。第一种情况，当 a 减一不等于零， b 不等于零，也就是 a 不等于一， b 不等于零的时候，阶梯型矩阵和行最减型分别是这样子的。 我们从这就可以知道，线性方程组只有一个减，他的减在下面给出来了。第二种情况，当 a 等于一且 b 不等于二分之一的时候，阶梯型矩阵是这样子的， 从这我们可以知道，一减二， b 是不等于零，所以系数矩阵的质不等于增广矩阵的质，这个时候现行方程组是无解的。再看第三种情况，当 a 等于一且 b 等于二分之一的时候，接低型矩阵和行最减型矩阵分别是这 这样子的。这个时候线性方程组是有无穷多解的，他的通解是可以很容易算出来，请大家自己去完成。第四种情况是，当 d 等于零的时候，阶梯型矩阵是这样子的，把它画成行就减型，之后是后面的这个矩阵， 这个时候细数句中的字和增广句子的字是不相等的，所以这个时候也是无解的。综上，我们有三种情况，第一种情况是，当 a 不等于一， b 不等于零的时候，现行方程组是有唯一解的。 第二种情况是，当 a 等于一， b 不等于二分之一或 b 等于零时，线性方程组是无解的。第三种情况是， a 等于一且 b 等于二分之一的时候，线性方程组是有无穷多解的。好，本期视频就分享到这里，感谢您的收看！

同学们好，我们这个视频讲矩阵的初等变换， 初等变换来源于方程组，在中小学我们就学过一些方程组，比如说二元一次方程组，三元一次方程组，用于解决一些类似鸡兔同笼的问题。 这个方针组在求解过程中，我们中小学主要对他进行消炎操作，那时候呢，我们年纪比较小，理解能力相对还弱一些，现在我们长大了，不妨反思一下。 其实我们做方程组的校园操作呢，主要操作的就是系数，变来变去，变化的只是系数，那个未知数 x y 或者是 x 一 x 二，他根本就没变，变的只是方程的系数。所以到了大学新一难数里面，我们再解方程组的话，我们就可以把这个未知数省略掉，我们不写这个未知数 x exxx 了，直接留下他的系数，他的系数就构成一个矩阵，而等号右边还有一个长竖向，这一列是矩阵地，而未知数写作一个矩阵 x 是 x exxx 的，后面这个 x 矩阵和 b 矩阵呢，都是只有一列的，而前面这个矩阵 a 呢，是 m 行 n 列的。那这时候有了这样的矩阵的表达方式，我们的方程组就可以表示成 ax 等 b。 网友们说方程组的球结主要操作的是系数，那我们把未知数 x 省略掉之后，就可以把 a 和 b 拼成一个大的矩阵，我们后面称作增广矩阵， 对这个增广矩阵做各种操作，就能把方能组求出来，未知说 x 可以不写，这就是我们长大了之后，求方能组的稍微高级一点的办法，转化为对矩阵的操作了。 那这时候我们回想一下，在中小学在求解方程组的时候，也就是消援的过程中，我们一般进行怎么样的操作呢？我们可能会对换两行的位置 之所以兑换，是因为有的方程组系数特别简单，比如说他的系数全是一，我把这个系数全是一的方程放到前面，校园就清晰一些，而把系数比较复杂的方程可以放到后面，这样做比较简单。所以第一种操作就是兑换两个方程组的位置。还有一种操作就是整个方程组都乘以多少倍， 比如说这个方程很可能他的系数都有二分之一、三分之一这样的分数，那么整体乘上一个整数倍，就能让系数都变成整数， 这是第二种操作。还有一种操作，就是可能会把某一个方程的多少倍加到另外一个方程上去，这就是销员的操作了。比如把这个方程的 k 倍加到这个方程上去，很可能就把 xc 消掉了，消掉 一个 x 一之后，温书的个数少了，这个方程就更容易求出来。所以方程组的消源操作可以归纳为这三类，一类是对换两行的位置， 一类是把某一行的 k 背再到另外一行上去，还有就是整个一行都乘以 k 背，那这种对方声组的操作转化为对矩阵的操作之后，这个就叫做矩阵的出等行电范。 我说方程组的求解本质上就是化简矩阵，所以把方程组的求解的操作步骤都转化到矩阵上，某一行乘以 k 倍，某一行的 k 倍加到另外一行上去，交换两行的位置。 这些操作转化到矩阵上，就是对矩阵的初等变换。如果把这些对行的操作都转化为对列的操作，每一列乘以可以被某一列的可以被加到另外一列上去，交换两列的位置，这个就是对矩阵做出等列变换。那总结一下， 由以下三种变换称作矩阵的出等变换。第一种是对换两行的位置，第二种是用数 k 乘以某一行，第三种是某一行的 k 被加到另外一行上去。 这三种变换叫做矩阵的初等变换。我们把它简称做三百斧，就像程咬金打仗一样，上来先轮三百斧， 我们方程组的球节就这三板斧，矩阵的出等变换也对应着就这三板斧。那我们说刚刚输的操作都是对行的操作，都是对行的操作，对行做操作，所以他称作出等行变换。如果行全换成列，这就叫做出等裂变换了， 也就是兑换两列，某一列都乘以 k 倍，某一列的 k 倍加到另外一列上去，这就是出等列变换。而出等行变换和出等列变换统称为出等变换。那对于出等变换还有一种 表达方式，我们通常用二而表示行，用二而表示行。因为英文肉表示行，所以对行的操作可以这么简写，而用英文 c 表示列， call 冷表示一列，所以这样可以简写作对列的操作。 那矩阵的初等变换就是这三班符，而跟他有直接联系的一个知识叫初等矩阵。初等矩阵和初等变换有关系 是什么关系？我们稍后来解释。那怎么样的矩阵叫出等矩阵呢？我们将单位阵做一次出等变换，所得到的矩阵称为出等矩阵， 那单位。这意义我们前面解释过，就是对角线上全是一，而其他的位置全是零。那把这样的单位矩阵做一次出等变换，有几种情况呢？恰巧也是三种情况，这三种情况 产生三种出等矩阵，分别和前面的三种出等变换对应。那先看第一种叫做出等对换矩阵。 初等对换矩阵是把单位正义的 d 矮行和 dj 行调换位置了，比如说 d 矮行在这， dj 行在这，把这两行调换位置了之后， d 矮行就变成这个样子了，对角线是零，而这个是一，而 dj 行就变成这个样子了，这个是一，对角线上是零， 这叫初等对换矩阵。每一种初等矩阵呢，都对应一种几何上的线性变换。那初等对换矩阵，他对那线性变换，就像照镜子一样，叫做镜像变形。是怎么镜像变形的呢？我们来举几个例子。 先看二阶的，这里有一个二阶单位镇，他的两列分别是一零和零一。然后在空间上我们做两个单位项链， 一个是一零，一个是零一，红色的是一零，绿色的是零一。那我们说初等对换阵，是把单位这一对换他的两行得到的。当然也可以对换两列单位，这一对换他的矮这一行和对换他的矮这一列，结果都是一致的。 那我们既然把这个单位证看作列限量了，我们就兑换他的两列吧。兑换两列之后，就长成这个样子，第一列变成了零一，第二列变成了一零。 那从几何上看，我们这个初等对换阵，他的第一列变成了零一了，而第二列变成了一零了，也就是原来矩阵的第一列是红色向量矮， 交换两列之后，这个红色项链变成矮撇了，也就是你这个红色项链就跑到这来了。原来的第一列对应一零，变换之后对应零一了，然后你再看第二、 第二列，原来单位镇第二列系做项链 j 的话，项链 j 就是这个绿色项链，那变换之后，这个第二列称作 j 撇的话， j 撇就跑到这里来了，也就是变换前的第二列是零一，变换后的第二列是一零， 变换前的绿色项链在这里，变换后的绿色项链跑这来了。那我们说矩阵表示对一个空间做了线性变换，当左面的红色项链变到右面的红色项链，左面的绿色项链变到右面的绿色项链之后，整个空间做了怎么样的线性变换呢？应该是整个空间沿着四十五度线对称过去了， 就像照镜子一样，红色限量照镜子镜像对称过去了。绿色限量也是照镜子一样，镜像对称过来了，整个空间都镜像对称过去了。这就是二阶的出等兑换站台的几何含义，对整个空间施加了一个镜 向变形，这个镜子就是四十五度线。那我们可以从动画上来看一下这个镜像变形的过程，可见这个二维空间的镜像变换还是比较容易理解的， 就是这样对称过去了。我们再来看一个三阶矩阵的出等对换阵的例子，这个三阶矩阵他的单位阵就长成这个样子，我们还是看做列项量。 那么第一列一零零对应的这个红色项链，第二列零一零对应这个背后的这个绿色项链，而第三列零零一对应数值的这个蓝色项链。然后我们兑换他的第一列和第二列， 那么第一列这个零一零就跑到这个位置了，而第二列一零零他就在这个位置，第三列这个零零一他是没发生变化的。可见这个出灯 矩阵看作一个线性变换的话，他是把左面这个空间变到右面这个空间，这个变形之后的结果。水瓶上的两个项链对换位置了，也就是红色项链和绿色项链换了一下位置，蓝色项链没变。 我们可以通过动画来看一下这个初等矩阵他的线性变换的几何解释，整个空间做这样的线性变换是和右上角这个初等对换阵对应的。可见这个线性变换的过程仍然是一个镜像对称的过程，只不过镜子比较特殊。 那好，我们再来看第二个出灯矩阵，他叫出灯被乘震，简称做 eic， 他是把单位镇的地矮行或者是地矮列乘 c 得到的， d 矮行乘 c 或者 d 矮列成 c 都得到同样一个出等倍成震，这个出等倍成震它的几何解释就是将空间在某一个方向进行缩放， 就像下面这个狼叔的爪子一样，是一个伸缩的变换，初等被呈振，他的信息变换的几何解释就是把空间在某一个方向上进行缩放。

没有华丽的拍摄，只有满满的干货。同学们好，磊哥来了，这节课磊哥带大家来看，利用初等航变换来解矩阵方程。 我们前面解过矩阵方程啊，这节课换一种思路再来解一下啊，他的思路是这样啊，我们有一个矩阵啊，经过主导行变换了以后啊，能把它写成啊 eaneb 的形式啊，就可以了啊。 我们通过一个例题来看一下这个具体怎么操作啊，还是一定要抓这个思路跟磊哥上节课啊，说的那个利用出导航变换去求矩阵的逆是一样的啊，他第一步我们来看一下他具体的步骤就行了，还是这个题是千变万化的题，看不完， 你看，因为这个 a 是可逆的啊，你们要所以这个啊，矩阵 x 就等于 a 逆 b 啊，这是我们前面解矩阵方程的时候已经说过了，如果不明白 可以去看一下啊，前面那个视频。好，我们来看一下这个矩阵，你把它先写出来以后，我们要把它导成一个 e 杠 a e b 的形式， 那也就是说我要把左边这个画成一个单位矩阵，那要画单位矩阵的话，你不管是啊，从上往下还是从下往上啊，你就要把它先画成一个啊，上三角 或者下三角，然后再画成对角，这，那最后往那个单位去，这样画就可以了。我们一般的套路啊，就是先从上往下啊，把它画成一个上三角，上三角的一个形式，你看他的经过的第一步，这个磊哥就不念了，这个磊哥就不念了，第一步从这到这，因为这写的很清楚 啊，这第一步完了以后啊，我们再到这一步，到这一步就算真正的完成了啊，这个他的第一步，因为你看 啊，大家看这块的话就是一个上三角，上三角的一个矩阵就出来了啊，他出来了以后啊，这样的话，我们画到这个位置啊，就是他的第一步，把它画成上三角了以后啊，下一步啊，再把它画成对角矩阵，对角阵 啊，给他画成对角阵，那这是他的第二步，这是我们做的第二步，把他画成对角阵，当你画成对角阵了以后啊，我们再去做他的第三步， 就把它画成单位去认就可以了啊，从对角这样画单位去认呢，就很简单了，你说这一行，这是负二，那就除二，这一行这是负一啊，那就除 负一，负二除负二，负一除负一就可以了啊，所以很容易就把它画成一个单位矩阵，你画成单位矩阵了以后啊，那这个矩阵方程就解出来了啊，这个矩阵方程就是 a， 你 b 啊，就是后头这个东西 就这一堆，那这样的话这个矩阵方程就解出来了啊，这磊哥也是给大家只能提供一种这个做题的思路啊，要想啊，自己会做题，还得自己下去练。好了这节课就跟大家分享到这里。

大家好，我是章鱼哥，今天来讲的是这个三元一次方程组，那我们用第二种解法，就是 我们上一节用了克莱姆法则，利用了行列式来解，那么今天我们用来矩阵矩阵，还有这个行列式来解， 那么我们怎么解呢？首先什么是取证？取证别管，就看我怎么解就行了，看这个过程演示的过程， 那么首先我们知道我们上一集已经所知道了这个行列是这个第一，那么首先肯定要算一下，这行列是一二四系数系数行列是负一 一一负三正九，这里我们知道算的是负三十。这个 d， 这个 d 是不等于零的，说明他有唯一减，唯一减， 唯一解，就是只有且只有一个解，好吧，就可以判断，那么我们就可以用初等行变换， 这是用行列式来判断的，那么我们用用矩阵，怎么矩阵？矩阵，我们用这个中括号来表示，一二四， 这个行列是矩阵，这是行列是 d e t 带 determination 这 d t d 这个矩阵用 a 来表示，这个举，这样子就可以表示这个 这个系数矩阵，它可以用这样子加一个绝对值符号，在这个矩阵上它就表示行列式行列式，它本值是一个数值，对不对？是一个数值，它的本质是一个数值本质， 它的几何意义就是它就是这个三，这个 a 向量 b， 呃，假设这里为一，一向量 a， 二向量 a， 三向量，这竖起来表示这里是向量的 i j j k 这个单位上，那么他就表明这三个项链所章程的 几何意义，几何意义就是 a 一 a 二 a 三三个项链所章程的空间，章程的空间，专业术语是章程的空间，那么这个空间是什么？三维空间就是体积的， 二维空间就是面积的，这就是它的几何意义。那么我们在上几节已经讲讲了，那么我们将这个系数矩阵写出来， a 技术矩阵就是红色这个部分，我们用中括号来表示矩阵。矩阵，什么是矩阵？我们暂时不矩阵，他就是一张表，表格你就知道他是表格就行。 矩阵是一一个表格，那么矩阵是一个表格。那么矩阵的英文单词是什么呢？我们可以在这个有道词典里搜索矩阵，你看 这里就是矩阵 mac matrix matri matric matrix matrix， 这就是矩阵。那么我们有一个什么黑客帝国矩阵革命这部电影，黑客帝国 a 克帝国， a 克打了两个帝国，举证革命，举 矩阵革命，这个 b 矩阵矩阵革命， 矩阵革命啊，就是这个 the metro revolution， 这就是有一部电影叫做，就是叫做这个可以看一下黑客帝国这部电影还是很好看的， 那个进入计算机里面东西就是矩阵，什么一零零那些矩阵，他就可以表示图像啊，所以矩阵的应用还是很多很多，只是我们的数学书上讲的比较枯燥，他只是讲本质的东西，没有讲 具体的应用。而有的书籍也会讲到应用的，比如说现金代数及其应用英文版，还有一个， 还有一个很多的什么什么人民邮电出版社啊，这些书也会讲这些应用，比如说吴军的数学之美，还有浪潮之巅之类的 啊。今天就言归正传，讲回这个，这个矩阵系数矩阵讲为 a， 就是红色的这个部分负一一一负三九，那么这个就是系数矩阵， 细数矩阵，然后细数矩阵加一个细数矩阵，然后在这个细数矩阵是 a， 那么这里是一个矩阵一零零， 那么用绿色 p 的标识，这是一个长竖向的矩阵，那么两个矩阵是可以合起来的，合起来的， 那么我用绿色线给拍一零零，那么它叫做增广矩阵，这就叫做增广矩阵。计数矩阵，计数矩阵， 再添一个就是，那么他就是这个，这就是真王举证，那么我们真王举证怎么算呢？ 怎么算怎么算，还就是要经过初等变换，让他变成这种这种 最简阶梯行，最简阶梯行矩阵，他就可以可以算了，那么我们来一步一步演变。 不行，我们是从我们分开两个页面， 分开两页，我们待会要讲对比，对比就来讲 对比着来讲比较好。我们从这里这个矩阵经过，经过什么，他首先是要将把它变成阶梯形取证就要把这个变为零，把这个变为零， 那怎么办？就是二减两倍的，第二行减两倍的，我们看出用 变换就是啊二要减去两倍的啊一啊四啊三，第三行减去减去四倍的啊一，那么我们的这个矩阵，这个矩阵就变化了，哎， 矩阵的变化就是第一行不变一，一找抄找抄，那么第二行第二行这里就变为了零， 变为了零，这里也变为了零，那么就是负一减两倍的负一减两，负一减两倍的一，负一减负二就负三，这里是负三减两倍的 一等于负五，那么零减两倍的一，一就是负二，那么用绿色笔表示负二，再就是初等边框 啊，我们把圈出来，这矩阵矩阵，那不是一减四倍的一等于负三， 对吧？然后就这九减四倍的一，这个九减四倍的一是等于五，九减四等于五，零减四倍的一就等于负四。 故事啊，我们经过了第一次的初等函变换，那么我们第二 第二步就是要将这里等于零，这里要等于零变成零，第二步就要把这里变成零，就是我们要将这个地 第二行加到第三行，第三行，那么它的矩阵就可以变化，就可以把这个三变为零，前面的不变幺幺幺，第一行也不变一，第二行也没有变化， 零负三负五二，第三行就要变化了，这里零减零等于零， 不是加，是减，这里是减，看错了， 零减零等于零，负三减负三，所以等于零，负三减负三等于零， 然后五减负五等于十负四减负二等于负二，就是加一个五二，那么我们的矩阵变成这个样子， 哎，到这里就可以了，那么我们也可以把这个，把这个，这个是，这个是阶梯型句， 这里就是阶梯型矩阵，嗯，这个叫做阶梯型，我们用什么笔来表示呢？黑色笔来表示这个就是阶梯， 在这里 j t 型矩阵，站在这里写吧， j t 请矩阵矩阵就是这样的一个表，那么我为什么叫做阶梯呢？你看这里是不是像楼梯一样， 那么我们就可以，那么我怎么化为最简呢？就是说它第一个阶梯的第一个数为主的阶梯的第一个数叫做主元，这叫做主元， 这个叫做组员。飞领航就是飞领航，飞领航什么意思？飞领航的第一个 a 零行的第一个元素 a 零行 第一个元素 就叫做主元，主元的意思就是非零行的第一个元素。什么叫做零行？就是有一行，比如说我们举个例子，一一一二二二零零零零这样子， 那么这里有一行全部为零的，就叫称称为零行。非零行就是说他的至少有一个数字不是为零的，比如说零零二，这是这叫做非零行。 非领行的第一个元素，就是说这里的第一个元素是二，这里的第一元素是一，那么这就是非领行的第一个元素成为主元。那么这那么我们从 j t 型矩阵怎么化减为化，减为 最简，就是它最简最简阶梯型。 其实算到这里我们也是可以的，我们还还要画，这里还可以画简，这里画简的还还可以画简的更简单，就是主圆所在的列 所有的元素都要变为零，这个主元也要变为一，首先是要主元要变成一， 第二是主元所在所在的列所在的列所在列的其他元素，其他元素 要变为零，全变为零，其他元素要变为零， 变为零，这是最减最减。接一 行矩阵，那么他就要跨成最简 g t 行矩阵，待会我们过来跨一下，但是我们在这里先不要画，我们先不将这里，那么我们可以对应这些这一 条这个虚线来表示这个虚线。我们把这个未知数给补上了，那么它就是十 x 三， 它是它是第三行嘛，那么我们就是我们把把那个未知数给补上，就是零 x 一加零 x 二加这个十 x 三，那么我们把这个 呃这个数字用红，把这个系数给红色比来表示，就是零加零加十，他就等于负二，呃， m 就等于 负二，负二呢？我们用绿色笔来表示，更容易理解负二，对吧？然后我们把这些未知数给补上，零 零 x 一加减嘛？减三减三， x 二减三 x 二， 那我们把这些未知数，未知量给补上，他也叫做未知量，也叫未知数，都行，那么加 是减五，减五减五 x 三，它是等于这个 are 我们还有补上一步，零，不是，这里是一 x 一 加一加一 x 二，再加加一， x 三等于一， 那么我们就可以解了，那么不就是相当于我们把这东西写下来，不就是相当于 x 一加 x 二加 x 三等于一吗？还有这个 x 负三 负三， x 二减五 x 二，那么等于二，还有这个十 x 三等于这个意思，这个在上面的意思就是表示啊，是这样意思，等于负二，那么我们可以解的 x 三是等于负五的， 负五的，负五分之一的对负五分之一，那么我们将 x 三代入 x 三，代入这个二四，那么我们就可以解得 x 二， 那么就是奎贷，那么奎贷，奎贷呢？首先知道 x 三等于多少等于负五分之一，那么我们奎贷、奎贷 又知道了 x 二等于多少， x 二等于多少，然后将这两个数又携带到第三个数，这就是携带的过程，携带过程，携带过程， 那么这一步是什么？是属于消原过程。从那么我们可以依照这个例子，把这些系数和这个未知数补上来，你就会发现 发现其实它的本质，这些矩阵矩阵的本就是解方程，实际上就是它的这个系数和这个行列是不是这个系数和它的长处上的运算。 那么如果我们把把它视为视为一个 a， 把这个系数矩阵视为一个 a x， 这个 x 就是未知量，那么还有这个 b， 那么他就是 ax 加 b， 那么用矩阵，那就进行矩阵，进行数学抽象的话，他就是这样子，那么他还有可以用象量来表示，象量来表示，象量来表示。比如说 我们这个是 a 一项量，这一列为 a 一项量，这里为 a 二项量，这是为 a 三项量，这是为 a 四项量， a 四项量，那么不是， 这里为 b。 响亮，这个为 b 响亮叫长柱响，那么我们能否就是响亮响亮， a 加向量就是向量 a 向量 i 二加两三 no b， 能否找出找到一个，找到这个系数 x 一 x 二 x 三，这个系数等于这个 b， 这就是 哪个系数就是他的解，那么就是线性组合，线性组合 能否找到这样一样的线性组合，使得这个项链通过这个 能否找到这样的 x 一 x 二，使他这个项量，这个三个项量的相加速乘和加法，他等于这个 b 这个长数项的项量，这就是从项量的角度来 理解解方程，这里是从矩阵的矩阵的角度来解方程，那么这就是线性代数。要研究的东西就是这里研究的形式上的东西，它的本质是什么呢？它本质就是线性， 它的本质的主线，它的本质就是向量，从这个从这个角度来说就是向量，它的本质要研究这个向量才是根本。 a bring， 不吹是矩阵，那么 像这样这种东西的话，他就有引出构造了一个数学模型，构造这个数学模型， 数学模型我知道一个数学模型就是抽象出这个，应该是从具体的从这个解方程当中抽象出数学模型就是线性空间。 线性空间就是说这个 a 一 a 二所章程的，这个所章程的线性上，所章程的空间为什么是线性的，他就他就会解决。还有这个线性的变换， 这是线性代数的主线， 这是主线，主线是这个本质，是这个本质，是这个本质，就是研究这个项链，研究这个项链的线性线性运算， 它的本质就是研究这个项链，从项链的角度来解方程 啊，并非是什么矩阵这些东西，那么矩阵也是一个很好的东西，但是 它的本质是向量本质，最简单最基础的东西就是向量的线性运算，线量线性运算标或向量的加法，向量的加法，那么就是三角形法则和 三角形和平行四边形法则，然后平行四边形法则将近预算。还有数乘， 数乘就是一个一个数 k 乘以这个相量的变化，相量加上就是 a 加 b， a 加 b 等于 c 这种，那么它在图像上是怎么表示的？所以说 垮了根先数学家，垮了根先生说的好，就是行少数，少行驶， 扫直观图，扫行扫 素食难入微。那么塑形结合百般好啊，这句四句诗我就记得三句了，我都忘了他，我已经忘了， 忘了他设计师是什么样的，就是要学灯，学数学要注意的一个思想就是塑形结合，塑形结合百般好，塑形结合百般好就是我们 大学所用的这个教材啊，他就是没有，没有图就缺行啊，没有就很难直观的理解 就是他只抓住了这个代数式的形式，但是这代数形的形式是千变万化的，所以我们的要记的东西特别多，所以学起来就特别麻烦。其实如果用 计算机变成图像的话，我们会更容易理解线性代数的本质是什么东西，线性代数的本质就是这个线性运算数乘和下两加法，然后他是什么是什么？理解这个线性空间，如果是用数学语言来看的话，我觉得会一塌糊涂。 还有这个线性边框，他全凭我们想象，他又没有那种动图，那么这就是我们的教材上的一个不好之处，就是不足之处吧。今天就讲到这里，我们下期再见。