2021中国数学会 高联公式

大家好，我是姜锋老师，本期视频呢，我们来看一下二零二一年全国高年福建出赛的第七题啊，若证实数 x y 满足啊！ x 乘语， x 加二， y 等于九， 求了十 x 的五十方乘以 y 的最大值啊。啊，基本上有两种做法，一种用函数的方法和不等式的做法。啊， 好，我们看看第一种方法，用函数的做法啊，那么这个 x 五之方乘以 y 啊，他是二元，对吧？所以我们首先可以想到这个很容易消炎，对吧？先消炎， 那么削去歪，对吧？歪比较好削，我们看看这个歪怎么算呢？呃，把 s 除掉，就是 x 加二， y 等于九除以 x， 所以呢，二 y not 等于 s 分之九减去 x， 大家除掉二就可以了。 y 就等于 九除以二， x 减去二分之 x， 那么这里的 y 呢？是证实数，所以 y 是大于零的，这样呢，我们可以根据这个来推出 x 的范围，是吧？啊，也就是说通分一下二， x 分之 九减去什么 x 方带领啊，这样推出的 x 平方要小一九， 也就是说 x 他是属于零到三啊，零到三， 好，现在我们可以把这个 s 立 s 的五次方乘以 y 给他换掉，对吧？所以 x 的五次方 y 就等于 s 的五次方乘于二， x 分之九减去二分之 x 等于啊，给他乘出来 应该是二分之九，然后呢， x 的四次方减去 二分之 x 六之方，对吧？好，现在我们可以用函数的方法来做啊，用函数的方法，那么这里呢是四字方，这里是六字方，怎么处理 啊？可以换个圆，对吧？你看他其实是啊 s 平方的平方，这个是三次方，对吧？所以我们把他 s 让 s 方等于 t 啊， 那么 t 就属于，这是零到九，是吧？所以这个式子它就变成我们构造一个韩式 ft， 对吧？等于 二分之九 t 的平方，减去二分之一 t 的立方，其中 t 是属于零到九了，对吧？啊？就相当于求这个函数的一个最大值，是吧？在这个取值范围里面的最大值 啊，那我们函数的做法就是什么？求导，对吧？基本做法啊，求导 导航数等于 九 t 啊，九 t 减去二分之三 t 的平方啊， t 是零到九，那我们看这个，这个函数，他是个二次函数，对吧？这是个三像，是个三次函数啊，就打完了二次函数，然后画他，画他图像啊， 零点啊，零点，一个是零，对吧？呃，还有一个是多少啊？这边来提一下，对吧？ 二分之三 t 啊，六减七 t 啊，是这样子啊，所以一个零点，一个是零，一个是六，对吧？ 啊？开口朝下啊，所以大概随便画一下啊，三的时候会立正走， 那么 c 等于三的时候他等于多少呢？三啊，三三九，二分之二十七啊，大于零的啊， ok， 这是导函数，对吧？所以这里是负，这里是正啊，这里是负啊，导函数在小零的时候是负啊，零到六，零到六是正啊，大于六是负，所以原函数呢？ 这里啊，富的那是大量递减，大量递减，这里挣的大量递增啊， 那么零的时候是等于多少的函数值啊？零的时候函数值是零，对吧？零啊，所以他应该是这样子，先减啊，零的时候是零啊，然后呢，这边是变增，对吧？增 到这里又开始剪，对吧？ 好，是这个样子啊，然后他只能取零到九，对吧？零到九啊， 所以呢，就可以发现他其实是在这里起的最大值，对不对啊？这个，这个分析他这个原函数，导函数含原函数，就去分析他单调性啊，什么时候拿单调就拿地点呢？发现这里会有个急着点，对吧？在六的时候会有个急着点的，就是 ft f f 六啊， 就是 ft 的最大值，对吧？等于 f 六就可以了啊，那么六的时候函数值给他算出来啊，就 ok 可以了啊，所以这个 f 六呢，它等于好算，带到这里面二分之九啊，乘以啊六的平方减去二分之一啊，乘以啊六的三次方， 算出来啊，等于五十四啊，好，这个就是用函数的做法啊，就是基本上你可以把它转化成三次函数啊，然后求找一下二次函数，找张调性。那我们看看这个用这个啊不等式的做法应该怎么做啊？ 首先其实还是不等式，你还是可以消炎，对吧？但是我们换一种消炎方式啊，这个地方 x 乘于 x 加二 y， 先给它展开等 x 平方，加上二倍的 xy 等于九，所以呢， 会得到 x y 等于九减 x 方，二分之一的九减 x 方，对吧？啊，这里应该大于零，对吧？ s 很快是大于零的啊，所以呢，你你也可以发现 x 方应该是小于九，对吧？他的曲子方面 x 方要小于九。 呃，然后这个 s x 的五次方 y， 我们可以提看成 x 的四次方，乘语 x y， 那么 x y 就可以把它换进来啊， x 的四次方乘于这里 二分之一九减 x 方，对吧？啊，把二分之一写成二分之一啊， x 的四次方乘于九减 x 平方 啊，那么这里呢，用了君子不等身呢，得用到啊，多元的，对吧？多元的，因为你看这个用二元的不行，因为这两个相加他并不是定制，对吧？他并不是定制啊，所以我们要去凑啊， 二分之一，好，这个要凑，先给他拆成平方，对吧？拆成两个平方， 用三元的就可以，对吧？啊？三元，如果学个竞赛的话，知道三元的话就很简单了，那么凑成这样还不对，对吧？因为这个 s 平方，这个 s 平方，这个九减 x 平方，他相加还还是不是定值，对吧？啊？需要三个，三个相加是定值， 所以这里要配成二分之一，是不是二分之一 s 方，这里也配成二分之 x 方， 那前面就要乘于四乘以四，再乘以这个，再乘以这个啊，这样这个这个和加这个就会成为一个定值，这样我们可以用三元均值不等四把它算出来啊。这个算出来应该是等于二乘以 二分之 x 方，再乘于二分之 x 方，再乘于九减去 x 方啊，这个看成 a， 这个看成 b 看成 c 啊，我们把上眼镜子的个人写一下， a 加 b 加 c 啊， a 加 b 大，大于等于 用，这样啊，三分之啊，大于等于三次。 a 乘 b 乘 c， 对吧？所以我这里 a 乘 b 乘 c 就小于等于三分之 a 加 b 加 c， 三次方，对吧？三次方啊，所以这里就会直接直接啊，这里用句子不等式小于等于二乘于 三分之。好，这三个相加就可以了。二分之 x 方加上二分之 x 方，加上九减 x 方。 括号的三次方。好，里面是个定值啊，等于二乘以三分之九的三次方，三乘以二十七，五十四。好，要注意这个取点条件，这个是当前减档 a 等于 b 等于 c 啊。这里提成条件是 a 等于 b 等于 c 啊， 所以是二分之一 s 方，这个当然这两个肯定相等，所以它等于九减 x 方，也就是说 s 方应该等于六，是吧？ s 等于根号六， 然后可以去反上歪着吧。反上去歪等于多少啊？歪是等于 四分之根号六啊。好的啊，这个就是本题的两种基本做法啊。好，我们本期视频就分享到这里啊，拜拜。

全国高中数学联赛试题即解答，包含从一九八一年开始的一试、二试试题和解答，一直到二零二一年的试题和解答，题目非常的多，也非常的全。我们再看一看书里的内容，试题和答案是分开的，同学们可以先做题，然后去对答案，答案是一题一题的解答，非常非常的详细。

这是二一年数一考验真题选择题。第三题说的是一个函数，他在 sn 零出的三次太勒对上是是他，然后让求 abc 的值。首先 对对于这道题，我们可以采用直接的办法，就是把 fx 看成三， ex 乘以一加上 x 平方分之一，然后直接写出三 x 的三节， 就是三次泰勒多元式，以及一加上 x 平方分之一的就是三次泰勒多元式。然后他俩直接性量就可以了。然后现在我们知道是三叶 x 的那个麦克劳林公式是他，然后他的三次泰勒多样式就是 x 减去六分之 x 立方加上 l 立方的高界无穷小。 然后一加上 t 的阿法之方，就阿法可以写成负一的麦克劳林公式等于他。因为一加上七分之一与一加上 x 平方分之一在零点的按键 少数是一样的，所以直接直接令这个阿法等于负一，把 t 换成 x 平方就可以了。这样我们就可以写出一加上 x 平方分之一的三次泰勒。端式是一减去 x 平方加上 x 立方的高，结构性小。然后就相当于是用这两个三次太三次泰勒对方式先直接形成，最后得到结果是他就是 x 减去六分之七， x 立方加上 x 立方的高，结果性小。这样直接得到 abc， a 是等于一， b 是等于零， c 是等于负的六分之七。 就是这这种题就直接用那个直接形成就可以了。就是看这两个函数直接形成，把它写成两个三十多三次泰勒对象式。 呃，作为一道选择题，也是也是比较简单的吧。

伙伴们好，今天屏幕上的这道题呢，貌似四平八稳即是暗藏玄机，它的标准答案呢，就是典型的错解。 我们呢，尽管答案错了，其中也有可取之处，我们来看看参考答案是怎么说的。他说，我们呢，第一步，由君子不等式啊，先给出一个呢，大体的上阶， 没毛病啊，我们有一千大于等于二十七 x 加三十五万，就为大于等于的两倍的根号下，二十七乘以三十五，九百四十五 xy。 ok， 那我们这个式子呢，可以推出来 x y 啊，要小于等于二百六十四，而且呢，等号成立呢，是 x 约等于十八点五， y 约等于十四点三的时候渠道。 那么下面的他就开始怎么样啊，下面就开始犯迷糊了，就开始大错特错了。他说，所以呢，当 x y 啊，取较接近于十八点五和十四点三的时候呢， x y 较大，他就说当 x 等于十八， y 等于十四的时候， x y 取到最大值二百五十。 那么本题呢，屏幕前的你啊，我相信你们可以解决他的。为什么呀？因为你既然知道了在十八点五到十四点三左右啊，你去一的尝试一下，也能够发现怎么样啊。当 x 等于二十， y 等于十三的时候呢， 二十七 x 加三十五 y 是小于等于一千的，而且此时的 xy 等于二百六，显然是要大于二百五十的二的吧。所以，无论如何，也许二百六不是最大的，但是答案肯定是错的，二百五十二肯定怎么样？不对，我们要理解两个事实，第一个事实，同学们， 答案为什么错？ 第二个，本题有没有非常清晰明了的解法，我们依次来说 说。一说同学们，本题答案为什么错？很简单，一、我们的 x y 是有系数的，相当于是加全了的均值。二、我们的 x y 都是整数， 他就变得有点与众不同，那这个解释呢，是很清楚的，那么我们有没有什么手段来做他呢？那如果屏幕前的你说老师我是用穷句法来做的，那我直接把 x y 呢？在这个十八十四左右啊，全部都试一试， 可以的，但这个方法不好，我打个比方，我这个比方一说，我相信你就理解了，本题最好的思路是这样的，我来打个比方啊，同学们，比如说啊，学校里面数学考试了，这个数学考试考完了之后呢，你想知道学校里面最高分，但作为这个数学组的，比如说数学老师，你想知道呢？全校的数学最高 高分，那么有几些哪些手段呢？你可以这么搞，第一种手段，你去找全校怎么样，数学成绩一向很好的， 对不对？好。第二种手段，你直接问有没有考一百五的，有没有考一百四十九的，等等等等。同学们，你说哪种方法更好啊？显然是后一种方法更好， 有没有问题？没问题的。所以回到本题，如果你有足够高的悟性，你就恍然大悟了，本题最好的方法绝对不是说去找好学生，把十八十四附近的全部把它给算出来。为什么呀？找好学生，首先，你不能保证你所找到的这个好学生，他的分数呢，就是最高， 后面也许会有更高的。其次，也许有某一个差生突然，哎，冒上来了呢，对不对？我们最严谨，而且也是最轻松的方法呢，是从最高的往下找。我们本题就看看 x， y 能不能取到二百六十四， 能不能取到二百六十三，能不能取到二百六十二，能不能取到二百六十一，能不能取到二百六？同学们听懂了吗？为什么这么做？好做啊，因为 x 来都是整数， 比如说如果 x 对二百六十四，角不用看，显然不可能啊。如果 x 对二百六十三，注意到二百六十三是一个质数，直接 pass， 那你不可能说 x 等于一五二等于二百六十三，那或者反过来，那么二百六十二呢？他对二乘以一百三十一，同样的直接 pass， x 和外中不可能有一百三十一，再看二百六十一，他等于怎么样？九，对吧？因为呢个位数加起来等于九，他是九的倍数，九乘以多少呀？那九乘以三十减一吧，九乘以二十九怎么样？ 可能有一个 x 是九，就 x， y 里面可能一个是九，另一个是二十九，或者一个是三，另一个是八二七吗？都不可能直接 pass， 那么二百六可不可以？可以的结束，同学们理解了吗？ 这就是我们研究类似问题的呢，一个比较好的思路，你不要去找那些好学生，你直接从最高分开始问起，一个一个排除，这样呢，不仅轻松愉快，而且很明显。而且如果你找到了，那就是最大的。 我严禁于此，相信你们已经心领神会。这个小小的题目我们就分享到这里，我是树叶精彩飞哥，我们下期再见！

哈喽，大家好，我是小胡老师，小胡老师和你一起冲击高考。今天我们要学习的题目是二零二一年全国新高考一卷数学的第十一题，已知点辟。在语言上 点 a 的坐标是四零，点 b 的坐标是零二。我们来先看一下这个圆的方程， x 减五的平方加上 y 减五的平方等于十六，我们从这个方程可以读出来，圆心的坐标是五五，圆的半径是四， 下面就是老师画出来这个图形。然后我们看 a、 b、 c、 d 选项， a 选项和 b 选项很相似，就让我们求点 p 到直线 a、 b 的距离。个圆上的点到直线 a、 b 的距离是在变化当中的。 当然语言上的点到直线 lab 的距离，我们可以求出来一个最小和一个最大的，那么我们求出来最小和最大的之后，就可以知道 点 p 到直线 a、 b 的距离大于多少以及是小于多少。那么同学们还记得点到直线的距离怎么求吗？原声的点到直线的距离怎么求吗？好，那这个选项都涉及到了直线 a、 b。 直线 a、 b 的方程是什么？我们来先求一下直线 a、 b 的方程， a 是四零， b 是零二，那么 k、 a、 b 我们就能够求出来，就是二减零，零减四是负二分之一， 那么直线 a、 b 的方程就是 y 减二，等于负二分之一倍的 x 减零。我在这里是用的 b 的坐标。 同学们要回忆一下已知两点，如何求过两点的直线方程，那么直线 a、 b 化减一下，就是 x 加二， y 减四等于零，这个就是直线 a、 b 的方程。 圆上的点到直线上的距离最小，怎么求呢？就是我们要先求出来圆心到直线 a、 b 的距离。圆心到直线 a、 b 的距离， 我用 d 来表示， d 就等于圆心，知道了是五和五 a、 b 的方程，直线 a、 b 的方程我们也知道，就是 x 加二， y 减四等于零。那么圆心到直线 a、 b 的距离就是 五，加上二乘五减四，他的绝对值比上根号下一加二的平方就是十一比上根号五，根号五是约等于二点三的，而十一比上根号五，他就约等于四点九。 那么点 p 到直线 a、 b 的距离， 我用大 d 来表示，它的最小值呢？就是等于圆心圆心到直线 a、 b 的距离， d 再减去 r 减去半径，它的最大值呢？就是圆心到直线的距离 d 再加上 r 半径。 看看， d 减二就是四点九。我现在先不带四点九啊，带他的正确的值减去二十四，这个是十一比上 等会加四，这个就约等于零点九，这个就约等于八点九。看看 ab 选项是不， a 是对的， b 是错的，他的距离不一定大于二，因为最小值是有一个零点九的，他可能等于一，可能等于一点多，所以 b 是错的， a 是对的。 下面我们再来分析 c、 d 选项。当角 p b、 a 最小时，让我们求 p b 的距离。当角 p b、 a 最大时，让我们求 p b 的距离。 来看啊，点 p 肯定是在语文上。那么当 p 处在什么位置时叫 p b、 a 最小呢？当 p 处在什么位置时叫 p b、 a 最大呢？ 就是他们相切的时候看看。 当 p 处在这里的时候， p、 b 和原相接的时候，角 p、 b、 a 是最大的，我们可以现在来看一下，看 这这个位置是相切，我再往下走，点屁在圆上移动，往下走，往下走，这个角 pba 是逐渐的变小的，逐渐的变小的，继续变小，变小、变小，再往下走变小，看什么时候达到最小呢？ 是不是当和下面这个圆这相切的时候达到最小呢？当点屁在这里的时候，叫 p、 b， a 达到了最小，都是相切。那么相切一定要注意啊，有一个 特殊的角是直角，现在连一下线，这是圆心和 p 连线，这个角是 直角，这是香漆特殊角啊，是直角。让我们求的是 p b， 我现在连接一下 b 和这个圆心吧，那 b 和圆心之间的距离是多少呢？俩坐标都知道了，是吧？圆心 坐标是五五点， b 的坐标是零二，那么圆心到点 b 的距离，圆心到圆心，我标一个字母吧，标一个 c 吧。 c 啊， 所以 b， c 的距离就是根号线五减零的平方加上五减二的平方， 就等于根号三十四，这个要会算啊，所以 bc 的距离是根号三十四，那么 pc pc 他就是半径圆的半径都是四，那 p、 b 会算了吧，就是拥有勾股定理，勾股定理啊，所以 p、 b 就等于根号下 b， c 的平方减去 p， c 的平方就等于三十四，减去四的平方十六，就是根号十八，也就是三倍根号二。所以 c 和 d 都是对的， 不管是当角 p、 b、 a 最大时还是最小时， p、 b 都是一样的，都是三倍根号二。所以本题选择 a、 c、 d。

ok。