伯努利不等式证明过程

他妈的博努力不懂事全都可以占完！我们采用微分计算的方式来证明博努力不懂事。首先我们根据不懂事左边的式子构造出函数 y 等于 x 的二次方减一。 从 y 的函数图像可以看出，函数外界是递增的，也是上凹的。然后我们对外求导，可以得到 y 的导数等于阿城尼克斯的阿姐依次否把一带入外的导数 求出切线斜律，这样变得到了一颗死等于一处的切线函数表达式。我们再在杭州标轴上取任意大于一的一颗死， 把 a 颗死分别带入上面的两个函数表达是，从图形上看显然代表着不等式。右边的蓝色曲线的值小于代表着左边的白色曲线的值。而当 a 颗四小 于一时，这个结论同样是有。正是因为克斯达方减一是递增，千上奥的直线完全位于接线上方，因此我们通过微分计算证明了我努力不等式怎么样，学废了吗？关注本凯丽数学回回考第一！

好，这里是技术学，我是季老师，下面来讲解博努力不等式，这个并不是考纲要求我们掌握的，在老教材人家 a 版选修四杠五第五十一页出现过， 但是对普通高考生来说啊，并没有要求，就比如说最后一道例题。好，这个例题啊，是二零一五年上海交大自主招生。鄙视题目， 如果你研究过伯努，你不懂事啊，那么这个立体啊，就是送分题。好，下面带领大家了哈，来证明这个 不等式，这个证明起来很容易啊，以及啊，把他们的相关的这个推论呢，以及不努力不等式的一般形式给大家证明一遍，最后再讲解这道题。 好，技师数学，做有内容的教育自媒体，任何人只要关注我都可以来领，我就在这里。技师数学一二三。 好，薄努力不懂事，又叫倍努力不懂事。好，这是翻译过来的这个名字啊，大家不要理会，反正就是薄努力，被努力都一样的。 最早啊，他是研究过这样的一个不等式。好，这个不等式啊，对于任意 x 大于负一，并且 x 不等于零，那么他的这个指数，嗯呢，满足于大于一的自然数，这个不等式成立 这个条件呢，很苛刻，对于这个很苛刻的条件呢，证明起来非常容易，方法有很多。好，我利用个最简单的，我觉得利用多元君子不等式证明这个 问题啊，非常简单，我们利用算数平均数大于几何平均数，因为不能去等号，所以说我们是大于的。 好怕。有些同学的哈，这个没学过这个，或者是不熟悉，我把这个女人呢哈写出来哈，他的公式是这个样子的，这个样子呢，要证明要套用这个公式啊，要得得到这个不等式的这个结果啊。 显然左边的是有恩之密，右边呐，他是 依次行驶，所以说要开 n 次方，开 n 次方，左边一定有 n 项，但是 这里面呢，左边只有一下，一下的话，那么我们叫天天恩检一下， 右边呢，是跟号的形式，跟号的形式，开恩之路，开恩之方，然后得到一个依次的形式的，所以说 我们天天向啊，是特殊的向，后面天天向所有的成绩，成绩啊，一定是一个非常简洁的一个数字，非常简洁，简洁到什么程度？简洁到成，进来以后啊，没有什么变化， 那么也就是一，俺减一个一， 这是我们要填的，左边我们要填 n 个 n 减一个一，并且啊， n 大于负一， n 不等于零，既然 n 不等于零，哎哎， x 不等于零， x 大于负一，那么一加 x 他不可能会等于一，所以说 他不取得一，总共有 n 项啊，哈，取等号的条件是每一项啊，做相等，那么他不等于一，所以说不相等，所以说就不能取，不能取等号，所以说就证明了这个不等式成立。 好，我刚刚解释了，我们就是得到这个不等式啊，构造的天安检一个一， 然后啊，因为一加因为 x 是大于负一的，所以说一加二是是恒大于零的，大于零的话开 n 次密，这个是 n 啊， n 次密啊，因为 乘一个后面还乘一个，乘一个一乘一，我就不写了。好吧，然后开出来了以后哈，就就是 n 倍的一加 x， 一加 x， 然后这边呢，哈，移过来减 n， 减一， 然后就得到左边的就大于一加 nx， 很简单。 好，随着后来呀积水研究啊，发现呢，我们可以得到更进一步 更广泛的这个不等式。只要 x 大于负一的时候啊，我们对 n 进行研究， 当恩呢，是在这个方位的时候啊，他失去大于或等于当恩啊，是在零到一之间的话啊，他又他又是这个样子的，好研究不等， 是啊，无非是比较大小。对于复杂的这个不等式的研究啊，我们有一个非常行之有效的方法，就是构造函数。构造一个什么函数呢？构造一个 fx 等于左边减右边 构造函数以后，我们对构造的函数进行求打好，为了变成同学们理解，还是把这个逻辑关系写一下了哈，这个这个嘴里说着同学们不容易理解，或者说我这个普通话也不是很好。 好，首先呢，我们构造函数，构造函数怎么构造呢？左边减右边，然后对函数啊进行求导，再研究这个导函数这个正负性。如果这个导函数是很大于零的，那么这个函数原函数啊，是单调增的， 如果函数是导函数是小人的话，那么单调减的。如果这个导函数能够取得零点的话，那么这个原函数就有一个最值，或者说这个集值。 如果这个导函数没有一个没有零点的话，那么我们我们研究了这个函数 fs 单调性的以后哈，我们就在这个定义域里面找一个最大值或者说最小值带入，如果说单调增的话， 那么我们就找一个最小值代入，如果我是单调减的话，那么我们找个最大值代入 最大代入哈，一般来说单调增的话，那么我们找个只代最小的代入的话，一定是 fx 零的哈，代入的话一定是 大于或等于零的，那么这个函数 fx 啊，他的最小的小弟的啊，都比这个零大的话，那么说明 fx 一定是大于或等于零的。大于或等于零，这个大于或等于零，左边减右边大于或等于零的话，那么就得到左边大于或等于右边， 这样一来哈，我们就得到一个大于或等于的这个不等式成立。如果说小于或等于的呢，那么我们就同样我们就得到一个小于或等于的成立，那么这个逻辑就李现了，所有的这个问题的研究都是这个，都是一二三四五都是这个通法。 好，这样一来哈，我们研究这个推人一语推人二啊，就非常简单，我们只要构造一个函数，然后的话，对对他的前面的这个，我们肯定是得到一个 倒函数，倒函数的话，然后啊，根据前面的这个要求的话，我们来判断这个函数啊，法克斯这个倒函数的这个这个大小关系，呃，这个政府关系，然后就得到后面的这个两个，两个结论，也就两个不等式。好，我只要把过程写一下，非常简单。 好，我把这个这个利润呢哈，这个第一个结论呢，我写了一下啊，流浪这个逻辑我已经讲了， 根据上面呢，为什么要分类讨论呢？要分段，要分段呢？隔一段分成什么？分成零到一，呃，负一到零与零到正无穷上判断也。既是说了哈，在这个发在这个，只要俺俩符合这个 x 的范围， 在负一到零的时候是减的，大量减，减的时候啊，然后到零到任务就是大量增的，还有是这样子的，那么这个零点啊，在这里就是最小值，最小值，那么 fx 一定是一定是大于或等于这个的大于，在这里面，因为啊， 因为 x 可以取零，算是大概不等于等于这个，那么 f 零呢？将零带进去的话，很显然这个 f f 四哈 等于零的时候，那么显然 fr 四是等于零的啊，是等于零的。 fx 是等于零等于零的话，那么也就是说 fx 是大于或等于零 大于化等于零，那么也就是这个大于化大于，那么也就是这个大于化等于这个。好，这样我们就证明了这个了，后面的这个同学们自己去去弄一下，也很简单，也是这样，这样讨论非常简单。 好，如果哈，我们将这个博努率不等式啊，我们既不研究的话，就发现呐，这个这个啊，是这个的特殊形式。 这个不等式啊，左边呢，共有 n 个音式的成绩，右边呢是一加，分别是 sg 的一二三四一直到 sn， 当 x 一等于 x 二等于 x 三，一直打等于 x n 的时候啊，那么左边呢，就是 n 个意思都相同的，那么就是 n 字密。右边呢， x 系列的 n 个 x 好，一加 n x 好。要证明这个不等式的话，我们用数学归纳法证明起来就非常简单，比这个比这个都 比这个比这个这个简单多了，甚至说比这个都简单，这个还要想，还要构造，还要利用恩怨君子不等式，这个数学归纳法呀，非常简单， 好，数学归纳法啊，数学归纳法，无非就是令这个若按等于开始和不断的成立好，也就是这个成立的话，我们令这个左 左边等于 a， 右边等于 ba 大海，我等于 b， 为什么这样弄下来，就是为了方便书写就写不下了，这个版面太小。好吧， 然后哈，让我们证明，俺等于 k 加一的时候，不等于也成立，无非就是什么，添一个，左边添一个，这个，右边添一个，这个好，用左边去剪去右边，得到这样一个结果，得到这样一个结果的这一项 是大大于和等于零的，这是毋庸置疑的，因为因为这个是大于和等于 a 的，大于和等于 b 的，那么我们就要证明这里啊，是大于和等于零的，那么我们就要分段讨论，因为 s 系列是大于负一的，大于负一好，负一到零的时候啊，负一到零的时候， 那么 a 系列的这个每一项啊，这每一个因素都是在 零到一之间。零到一之间零到一，那么 a 系列这个这个开个应试成绩啊，一定是，结果一定是在零到一之间 好，那么这样一来， a 减一啊，一定是小于或等于零的好。 x 系列是 在负一到零之间的话，那么 xk 加一啊，也是小于零的，小于零的，那么这样一来，还这一部分呢，结果 是大于和等于零的好。再来讨论， x 系列是大于，和是一个正数，呃，不是，是个非副手。大于和等于零的时候，那么显然 a 中的每一个因素啊，一定是大于或等于一的，那么所以说 a 是大于或等于 a 大于或等于一， a 减一也是大于或等于零的。零的。 x 系列是大于或等于零，那么 xk 加一也大于或等于零。好，两个非付出的成绩一定是大于或等于零的 好，那么也就是这个也是大家伙等于零的。那么综上讲的，然后就得到什么什么，这个当安等于 k 的时候啊，这个不等式啊，依然成立，所以说综上一二，所以说我们就证明了这个不等 整理好，好，我们学习之用哈，来证明数列 an 是单调递减的，是单调递减。那么说明呢，我们把这句话呀翻译成这个，翻译成这个代数形式的话，也就是证明了 am 是大于 a m 加一的。好，这个不等式啊，也就是等加于把它带进去嘛， a m 是等于这个 a m 加一也可以表示出来。好，证明这个不等式不明显，通分，左边也通分，右边也通分。 好，同分。这个是二啊，这可不是一啊，这个是二啊，好，证明这个不等于。 左边有个 n 加一的分子部分呢，是 n 加一的 n 加一子米，右边呢是分母部分，是 n 加一的 n 加二子米，这样一来啊，这两个可以拼一拼，那么这样一来，我们干脆就把右边的翻到左边分子分母上下颠倒， 好，反过来以后啊， n 加一的 n 加一十米， n 加一的 n 加二十米。 好，再拼一拼。好，再来看，分子拼了，分母也能拼，分母是 n 加一十米， n 加二十米，都写成 n 加一十米， 然后再分离一个 n 加二十米，呃，分离一个 n 加二这个这一部分的这因为这个是 n 加二十米了，这是 n 加一次米。好，这样拼了 以后啊，发现很别扭，而且我们发现个规律啊，下面是 n 加一词，米，上面的话，实际上也可以写成 n 加一字，米也分离一个，嗯，加一出来， 好，这样一来的话，我们就看到了黎明的曙光了。这个是是分子，这一部分呢，分子部分是 n 加一次米，分不分也是 n 加一次米。好，这个的话题一到，不等于是右边，看看能发生什么结果。 好，我们得到了这个了，左边呢，我们可以分离出一个长竖，右边我们也可以分离过长竖。左边呢，这个，这个里面的分离出一个一，这个也可以分离出一个一圈。 好，要我们证明啊，也就是这个命题啊，实际上就要我们证明啊，这个不懂事。好，刚刚我们学了博努 不等式，好，这一部分呢，左边，因为恩是自然数啊，所以说这一部分呢，是不等于一的，所以说左边就大于这个，这个指数啊，指数放在前面。好，然后这个呢，相当于两个字啊，放在旁边好，把这个再看看， 好，也就是这个不等式的左边呐，一定是大于这个的。如果说我们能够证明这一部分是大于这个的，那我们不就证明上面不等式成立吗？我们都已经证明了左边是大于这个，这个大于这个，所以说左边一定大于这个。 好，我们只需要证明这个不等式就好了。这个不等式成立吗？这个不等式很整理，非常整理，傻子都能证明 这个 d 二不等式啊，这是一式哈，这个二十等加于什么呢？因为 n 是自然数，所以说好，把它加到相乘，也就是大于正，正不了，证明 n 加一，跨号方大于 n 方 加二， n 也就是等加于大于正。什么呢？ n 方加二， n 加一个一大于 n 方加二 n。 显然这个不等式是成立的。所以说哈， 不等于二就成立的。既然不等于二成立，那么不等于一成立。既然不等于一成立，那么原来的不等于。是啊，就成立。所以说我们就证明了这个数列是单调减的。好，这就证明完了。好，我们这就讲完了。

老规矩，我会用尽量简洁的语言，让你在三分钟的时间内掌握一个中学阶段的高级不等式。同学们好，我是胡老师， 今天为同学们讲解薄努力不等式。如果我们有 n 个大于负一且符号相同的非零时数，那么我们就能得到如下的结论，以上就是薄努力不等式的一般形式。 如果我们把 x 一到 xn 这 n 个变量都替换为 x， 那么我们也可以得到他的特殊形式，一加 x 的 n 次方大于一加 n 倍的 x， 其中 x 依然继承了大于负一且不等于零的条件， n 就是大于一的正整数。同学们务必需要注意一下这个不等式的特征。不等号的一边为各项相乘的形式，而另外一边为相加的形式，所以利用它能够实现乘与 家的相互转换，是这个不等式带给我们最核心的优势。在我们看例题之前，我还是得强调一下他的证明过程，毕竟证明过程本身也可以是一个很好的考点，二零一四安徽、二零一三湖北 都有直接或间接的考到这一点。在这里我比较推荐同学们采用数学归纳法进行证明，或者构造函数求导证明。在视频的末尾，我也将给出我的具体证明过程，共同学们参考。接下来我们就要在真题中演练一下第一题， 根据提议写出不等式的左边 a 到 a， 他的成绩很明显分子上方就是 n 的阶层，所以只需要证明分母大于二分之一，这个不等式就可以得正了。接下来就非常简单了，我们套用薄努力不等式的一般形式就可以证明分母大于一，减去三分之一的一 次方到三分之一的 n 次方的和。括号内是等比数列，使用求和公式计算，结果很明显，大于二分之一不等式得正。第二题， 我们先列解出来要证明的形式，利用平方去掉根号。要解决以上不等式，我们就需要采用博努力不等式进行放松。在这里我们套用的是它的特殊形式，对于一加二，人分之一的平方就大于一加二倍的二， n 分之一经过整理之后就是 n 分之 n 加一。 我们将这个结论带入原式，只要经过简单的化解之后，不等式就得证了。

我们来看博努力不等式，博努力不等式他是如果非零实数 x 一 x 二一直到 x n 都是大于负一，并且符号相同的实数，那么就会有一加 x 一乘以一加 x 二一直乘到一加 x n 大于等于一加 x 一加 x 二一直加到 x n， 那如果说我们将这些实数都同样等于 x， 那么这个式子就可以特殊地变为一加上 x 的 n 次密大于等于一加上 n x。 博努力不等式它的好处是我们发现不等式的左边它是积，而右边它是和。博努力不等式很好的做到了积和和的一个转化，那我们要知道博努力不等式它的证明，毕竟证明也是一个很好的考点。对于博努力不等式来说，我们再来 来回顾一下它的使用条件，必须是非零实数都大于负一，并且符号相同，证明方式是利用到了我们的数学归纳法。那我们来回顾一下数学归纳法，它的第一步一定是 n 等于一的时候，证明不等式成立，那么这个时候其实很容易就能看出来， 一加 x 一大于等于一加上 x 一是成立的。那么第二步，我们假设在 n 等于 k 的时候，不等式成立，那么不等式左边是 a 等于一加上 x， 一 乘以一加 x 二一直乘到一加 x k， 而 b 等于一加上 x， 一加 x 二一直加到 x k， 那么我们根据不等式直接 a 是大于等于 b 的。那第三步，我们只需要正当 n 等于 k 加一的时候，不等式也成立即可。那么此时 当 n 等于 k 加一的时候，不等式的左边相当于多乘了一个一加上 x k 加一，那么就是大 a 乘以一，加上 x k 加一，而右边相当于多加了一个 x k 加一。我们只需要将两个式子做叉，那么叉就会得到 a 减 b， 加上 a 减一，乘以 x k 加一，我们知道 a 减 b 是大于等于零的，这是我们第二步的假设得到的，我只需要去看后边的这一个式子，他的正负即可。那么当 x i 是在负一到零之间的时候，我们的大 a 就一定是介于负一到零之间， 而我们的 x k 加一一定也是小于等于零的。我们就知道后边的这个式子乘积大于等于零，那如果说 x i 是大于等于零的时候，大 a 就是大于等于一的 x k 加一也是大于等于零，那么后面一项同样大于等于零。所以我们知道我们的 x 一一直到 xn 必须都得是大于负一，并且符号相同的时候，不等式才成立。那么博努力不等式通常是在我们的数列的不等式证明，或者是在一些二项式定理的不等式证明中会应用到。 我们来看一个高考原题，我们省略到前面的不等式证明，只来看第二问的不等式，那么这个不等式其实就要去正。一加二分之一乘以一加四分之一乘以一加二， n 分之一大于根号 n 加一， 那么我们将左右两方都平方，就可以得到以下的式子。那接下来这一个式子我们就可以用到波努力不等式了。一加上二， n 分之一的平方就可以从 积转化成和，那么就变成一加上二倍的二。 n 分之一等于 n 分之 n 加一，那么整个的式子从左边的积变成了右边和的形式，就可以进行这样的放缩，很容易就得到了 n 加一这个数。 那么需要注意的是，波努力不等式是需要证明的哦，所以前面你一定要会，是不是很简单，你学会了吗？我是棉花糖，关注我不迷路。

大家好，这节课我们来讲一下自主招生，还有数学竞赛中常考的博努力不等式。当然有些地方呢，他也叫被努力不等式啊，这个反正是音译过来的，你知道是同一个东西就行。那么下边这样一道题的话，他就得用什么，就得用博努力不等式来证了。 那好了，当然用君子不懂事的拓展也可以啊，我下节课有时间的话，用君子不懂事来讲一下怎么去挣。这节课咱们还是重点来看博努力不懂事。那什么是博努力不懂事呢？已经写出来了， 当 n 大于等于二，当 n 大于等于二的时候时候呢，这个 x 一一直到 x n 都是大于一， 注意，大约一同号，同号就是这 n 个数字，要么同正，要么同数，但是呢，都不能是零啊，一定都不能是零，那么就会产生这样一个不等式。看到了吧，左边呢是一加 x， 一加 x 二，一直加到一直是一加 xn， 这 n 个括号乘起来， 右边的话是一一加上，从 x 一直加到 xn， 这个形式上还是怎么说呢，还是比较好记的，对吧？那么他有一种拓展，什么拓展呢？就是如果说这个 x 一， x rx 三，一直到 xn 都是同一个数字，当然这同一个数字你也得大于一吧，大于负一，但是符号也得相同，符号肯定相同，因为你是同一个数字嘛， 那么只要是大于一，而且非零大于一，而且这个 x 非零，那你把所有位置的这样的 x 一，一直到 x 三都换成 x， 那就产生了这样一个不等式了。这个呢，也叫博努力不等式，但准确来讲，这个不等式的话，应该叫做博努力不等式的拓展的一种情况。然后我说一下，他的证明方法也给你写出来了， 如果你要证明第一种通用的一般的情况，一般的情况的话，你得用数学归纳法去证了。如果说你要证明第二种这种情况的话，我相信同 同学们，除了数学归纳法，听完这节课之后，你肯定自己也能想到用二项式定理可以正吧，其实求导的方法也能正我们这节课啊，重点不是看这样特殊的情况，我们是正这样一般的情况用数学归纳法。那什么叫数学归纳法呢？数学归纳法是针对含有自然数这样的不等式啊，这个是很好正的，现在我们来看一下。 呃，最小的，最小的，那就是 n 等于二的时候吧，对吧？ n 等于二的时候呢？我们来看一下，此时一加 x 一， 一加 x 二，它必然是等于多少。等于一，一加上 x 一，再加上 x 二，后边还有个交叉相， x 一乘 x 二。因为你这两个数字啊，薄努力不等于是已经说了符号相同，所以你加的是个正数，当然大于一加上 x 一，再加上 x 二了。所以说 n 等于二的情况呢，肯定 是成立的，这个不用多说。那接下来怎么办啊？接下来我们就要这样了啊，假设 当 n 等于 k 的时候，当然个 k 是大于等于二的，知道就行啊。当 n 等于 k， 我写上吧， k 大于等于二，当 n 等于 k 的时候呢，我们假设他也成立。那什么意思啊？就是说 一加 x 一，一加 x 一直乘啊，写上不努力不懂事的这种形式，然后一直乘，注意，此时 n 换成了 k 了。那我们最后一个数字应该是一加上 x， k 啊，下边是 k， 一共是 k， 括号相乘，那假设一加大于什么呢？ x 一 x 二加上 后边呢？一共是 n 个 x 吗？那 k 个 x， 懂了吧？假设他是成立的，那么如果你能从这样的 k 推出 k 加一也是成立的，那其实 归纳法就证完了。那现在最重要的其实是最后一步啊，前两步的话都是固定套路，全都是固定套路，很好证啊。数学归纳法的难点在最后一步变形上。当 n 等于 k 加一的时候，你看往后推了一步，对吧？当 n 等于 k 加一的时候呢？我们要利用上一步，也就是说这一步第二行的这样一个结论了。那此时我们写吧， 不努力，不懂，是左边的情况，原来是 k 个括号，现在变成 k 加一个括号了。 好，目前是 k 个括号。那因为变成了 k 加一吗？所以后边还再来个 k 加一，没问题吧？请大家观看 啊。仔细观看，前头这 n 个括号大于什么？后边已经告诉你了，就大于这个东西嘛，对吧，所以说咱们写就行了。大于什么？你注意啊，大于哈，因为他成的是一个正数嘛，对吧？这部分肯定是个正数，这个跟我多说什么吧。 啊，那好，那既然是一个这部分成了一个证书的话，所以这个不懂号还是成立的，其实相当于第二行啊，就这一行相当于第二行，这样一个不懂，是左右两边同时成了这样一个括号。好了，那我就直接往后写了啊，利用第二问的这样一个结论，大于什么东西大于？我写了一加 x， 一加 x， 二加 x 三，一直加到多少？一直加到 xk， 那最后的话，等号右边还要乘谁啊？还得乘上，因为你左右两边相当于同城。这个一加 xk 加一了嘛，对吧？那乘完之后的话，咱们现在要变形了， 就是对这样一部分进行变形，变形完了之后，他这个形式之间还是容易变形的啊，我们看一下一，对吧。这个一呢，看着一部分这个括号，看着一部分两项成两项之后拆成了四项，我们把这四项呢展开写一下就可以了，其实非常简 单，一加 x 一， x 二一直加到 x k 啊，然后再一直加，你看后边有个 x k 加一吧，再乘前头这个一吧。所以说最后肯定还有个 x k 加一呢，因为我们现在要凑的就是不用你不懂事的这种形式， 然后再加上什么，再加上 xk 加一，这就是交叉相了，再成这样的小括号， x 一 x 二，一直加到 x k， 我问一个通，嗯，我问一个东西，同学们，你看好了啊，这个放松很有意思哎。这前头的话也其实已经是，这是从 x 一直加到 x k 加一，已经是不努力不等式右边就是说不等号右边这种形式了。那这部分呢？请告诉我，我画圈这部分是个正数还是负数？ 给你三秒钟的时间，肯定是正数啊，为什么我努力不能是人家要求每一个 x 都是同号，什么叫 叫同号？同号就是同正或者同负啊，这个里头如果都是负数，那这个括号外头也是负数。如果括号里头每一个数都是正数，那括号外头也都是正数，对吧？同号，所以说你加的是一个正数，肯定是一个正数，你加了一个正数的话，我现在把这个正数去掉了，所以是 大于，严格的大于一加 x 一 x 二加上一直加到 x 的 k 加一。那你说正完了没有啊？正完了呀，这 k 加一个括号相乘是大于这样一个形式的，所以说用这样的数学回答法其实就正完了，非常简单。所以说最后再下一个结论。 下什么结论呢啊？所以说对于任意的什么任意的 n 大于等于二，这样一个结论都成立，你就自己写一下这个完整的过程就可以了。这行了吧。那好，我们继续来看啊。学完了，不努力不等式，以后的话，现在我们要来做这道题了。 来，这个题形式上看起来还是比较复杂的，对吧？ en 啊，这是一个数列通向公式呢，给给你写出来了， 然后长这个样子，然后求正义呢？是单调递增的。这个题的话，我直接把这个朋友的不懂事再到右边写一遍啊，用的是他的特殊情况。什么特殊情况呢？用的是一加 x， 然后大于你加上 n 倍的 x。 这个用二强式定力，其实很好挣大，你一展开就挣完了，对不对？当然一定要记住这个 x， 怎么样？告诉我 这个 x 是大于负一非零的数字。这个记住就行了啊， x 大于负一，且 x 不等于零。那好，现在我们用一下。那怎么样去证明这个数列是严格递增的呢？两种思路吧。第一种思路是做差，但是做差的话，这道题你没办法，做差的话经常是 要利用一下。分子有绿化，分母有绿化，这个是不可能画出来的，为什么？因为它这个底数这一部分里头含有 n， 然后指数里头也含有 n， 这个形式还是很复杂的，如果你直接用 n， 那就是后边这一项减去前面这一项，最后你发现没法化解了，所以这个题咱不用做叉，那不用做叉的话也可以做笔，但是做笔之前的话，一定要注意啊， 你必须先说明这个数列是就都是正数，每一项都是正数，或者说每一项都是负数，才能用做商的方法，或者说做笔的方法。所以咱们用做笔的方法啊，做笔的话，这个显然是个正数了，对吧？你每一项都是正数吗？这个就不用多说了，你底数是正数，指数也是正数，肯定是正数， 所以我们只需要后一项笔上前一项，这个后一项笔前一项的话，我就直接写就行了啊，为什么要做笔呢？你看他这个底数里头有分式的形式吗？我大概整理一下，其实以画前就画出来 啊，他这个 n 加一的话，应该变成 n 加一， n 加二这个里头是 n 加一，那长他这样的分母的话，其实就变成了多少 n 分之 n 加一，这个很好花吧，对不对？我稍微整理一下形式， 整理完形式之后的话，他是长这个样子的啊，他是长这个样子，我写一下吧， n 加一有个括号啊， 好，这是这样的，那但是后边的话，你还得成一个什么呀？因为它是 n 加一次方嘛，所以有一下落下来了，就变成了再乘 n 加一分支， n 加二了，就变成这个样子。那再继续吧，接下来肯定是往这样的博努力。不懂，是这样的形式上去凑了。那怎么凑呢？老实来凑就行了啊。那你看，接下来我们继续来化简，其实就变 成了一减。去什么呀？其实他这个方块里头分母展开的话是 n 方加二 n 加一分子展开是 n 方加二 n， 他是不是缺了一个一啊？等你加一再减一，马上就变成这个样子了吗？我详细就不多说了啊，我就省略步骤了， 其实也相当于没有给你省略啊。那好，接下来这个方块里头实际就变成了这个样子了， 是吧？啊？当然外头这个 n 加一分之 n 加二，这个还是要写上的，然后再继续变形。现在请大家告诉我，对于这样一个方块，这种形式，他和不努力不等。是左边这种情况 符合了吗？刑事长，完成符合。请你告诉我，此时相当于把 x 变成什么？此时他相当于把 x 变成了负的 n 加一平方分之一吗？所以这不就老老实实写出来就行了吗？接下来利用播种率 不懂事，他严格的大于什么？严格的大于一加上 n 成个负数，所以我就直接把这个负号提出来了， 就是长这个样子的啊，然后后边这个 n 加二， n 加 n 加一分之 n 加二，再写一遍就可以。那再写下来整理就非常非常简单，我就直接写了。那其实在整理之后的话，左边这个分式的话，他就变成了这个样子了， n 加一平方， n 加一平方减去 n， 然后再乘 n 加一 分支， n 加二，这个老老实实写就行了。最后的话，最终你会画成这样一个形式，分母不用管，他一看就是三次方。分子的话一开始是画成这个样子的，画成了 n 的三次方加上三方加上三。哎呀，我写到这很多同学都知道什么意思了，他最后加的是二 对不对？你最后加的是二的话，这个二怎么处理？你把它写成一加一，为什么？因为前头啊，这四项不就是立方和公式的展开吗？所以就变成了 n 加一三次方，分支 n 加一三次方再加上一了，他是不是大于一？当然大于一， 你两个正数相比以后，大于一不就相当于分子比分母大吗？你当然你要小于一的话就是分子比分母小，你要等于一的话就是分子等于分母。 所以说哪个大分子大分子大，不就是说对于所有的人来说，后一项肯定是严格大于前一项的嘛。所以就证明完了，你最后写那个答案就可以了。现在应该理解什么叫不努力不等式了吧。分享课堂知识，赶快数学准备。我是杨万老师，下节课再见。

哈喽，同学们，大家好，今天我们来学习六十七，被努力不等式推论和应用。好，那什么叫被努力不等式呢？就是眼前的这个不等式， 那其实这个 n 呢？这个为大一的时速是这个不断变努力不当，是呢，也是成立的。好，那么我们来这个快速的证明一下， 那我们可以讨论啊，当右边的这个一加 n x 如果他小于等于零的时候，那么我们知道这个时候啊，因为一加 x 肯定是大于零的，他的 n 次方那肯定是大于零，所以呢，这个时候一加 x n 次方，那肯定是大于一加 n x 的。 好，那么第二个， 当一加 n x 大于零时，那么 这个时候呢，一加 nx 乘上一乘上一乘多少个一呢？乘 n 减一个一，那么它叫小于 小于什么？ n 分之一加 nx， 然后加上一个 n 减一， 然后括号的 n 次方等于一加 x 的 n 次方啊，这个是等于啊，那么当自己呢，一加 n x 等于一十，也就 x 等于零的时候 档上去档，所以这样的话呢，我们就把变动力不等式证明了一下，那么这个呢，是变动力不等式的一个推论啊。射 n 属于 n 加 n 大一， t 大于零，则有 t 的 n 次方大于等于 n， t 减 n 加一，或者 t 的 n 乘方大于等于一加 n 乘上七减一啊，这个怎么证明呢？这个可以在我们这个里边啊，另 x 另 x 加一等于 t 就可以了，另 x 加一 等于 t 的话，那么这个时候我们可以推出这个 x 呢，等于七减一，所以呢，左边我们发现就是 t 的 n 次方大于等于一加上一个 n t 减 n， 所以这样的话呢，我们就把我们的推轮椅给证明了啊，那么其实这个 我们这个倍努力这个不等式啊，这个一二以及二一撇呢，都可以称之为这个倍努力不等式。好，我们来看这个利一的第一题， 让我们去证明，求证这个四十是成立的，那怎么去证明呢？我们可以这样去阐述一下，证明这个 n 呢，是大于等于六的 m 呢，是这个小于等于 n 的时候， 那么我们由我们的倍努力不等式，我们可以知道呢，一减 n 加三分子 m， 这个的 m 词方，它就大于等于一减 n 加三 分字 m， 我们这个地方是一啊，这个地方是一。好，那么这个时候呢，发现他大一点，那于是呢，就是一减 n 加三分字 m 的 n 次方，他就小于等于一减 n 加三分之一的 m n 次方。那么继续整理一下呢，就把这个 m 给提取出来， 一减 n 加三分之一的 n 次方 m 次方，他就小于二分之一的 m 次方 m 呢等于一二指导 n， 那么第二题呢，我们去证明，怎么证呢？我们由一可指， 那么当 n 大于等于六的时候， 一减 n 加三分之一的 n 次方，加上一减 n 加三分之二的 n 次方，一直加加到一减 n 加三的 n 次方，然后小于二分之一的一次方，加上二分之一的平方，一直加加到二分之一的 n 次方，他等于减二的 n 次方分之一，那么这个时候呢，他是小于一的 小雨衣， 那么所以呢，所以啊，把里边通分一下， 他是小一的那记 三的 n 次方，加四的 n 次方，一直加加到 n 加二的 n 次方，它小于 n 加三的 n 次方， 记 n 大于等于六十了，不满足这个该等式的正指数 n。 嗯，所以呢，只需讨论呢， n 等于一二三四五的情景，足以检查 n 等于一二三， 但是我可得所求的 n， 只有 n 等于二和三的时候才能满足啊。这一步是，这一步怎么来的？这一步就是把 n 加三的 n 尺方给乘到这边来啊，到这一步的时候，发现 n 大于等于六呢，是不能满足的。所以说呢， n 等于一二三四五的时候， 我们足够去检验。最后呢，嗯，只能取什么呢？嗯，只能取二和三的时候才能满足。好，最后呢，给大家这个引入一个全文和不等式，那么这个不等式啊，我们也不去证明了。然后呢，嗯，希望同学们能记住 啊，以后呢，对我们解决问题呢，可以啊，提供一个借鉴。好，那么今天我们就讲了这个，并努力不等式。好，同学们，拜拜。

哈喽，大家好，我们今天来讲一下博努力不等式和泰勒展开的一种关联。 上面这两个式子呢，是属于伯努力不等式，伯努力不等式啊，最核心的就是 x 要大于负一，而根据阿尔法的 范围，不等号的方向有所变化。下面这个泰勒展开呢，是基于 x 无限趋近于零的情况下的一个展开式。后面这个小 o 小 ox 方啊，是关于 x 方的一个高级的无穷小的意思。 那么 x 区域零的时候，左边和右边是非常接近的，那么两者之间有什么关联呢？就是他的展开能够帮助我们来记忆上面这两个不等式，究竟左边和右边 谁大谁小。您看这个当阿尔法赛零到一之间的时候，这一项也就是 x 方这一项， x 方这一项呢，他实际上是一个非正数， 那么也就是说一加上二 f x， 再加上一个非正数，再加上一个不重要的高阶无穷小，那么这个时候才等于一加 x 的二 f 次方，所以一加 x 二 f 次方就小于等于一加二 f x， 那么当 r 小一点零或者是二 f 大于等于一的时候呢， 这个阿尔法乘以阿尔法减一啊，实际上他是一个非负数，那么这个时候这个 x 方呢？这一项呢，就对右边来说，实际上要完全比一加阿尔法 x 要多了，要大了，所以说一加 x 的阿尔法词方就大于等于一加阿尔法 x， 这么理解也是可以的，这么理解呢，不是很精确，但是这么理解我们完全可以在 x 很接近于零的时候行的通。那么至于严谨的证明呢，我们可以通过求导法则来给他证明。上面这两个不等式。好，希望大家都有收获。

好，大家好，今天咱们来说一下博努力不懂事的一般形式。这个一般形式呢，就是这样的一种形式，你看一加上 x， 一加上 x 二，一直加到 xn， 小于等于一加上 x 一括住乘以一加上 x 二扩住，然后再乘以一加到 xn 扩住。 那么这样一个不等式，就是叫我努力不等式的一般形式。那么他有一些限定条件，每一个 x 啊，都是大于等于负一的， 而且呢， x 一一直到 xn 呢，他们是同号的啊。我这强调了不必有零，因为如 如果某一项 x 啊，这个是零的话，他完全可以不出现啊，在这个不等式中，他就没有必要出现了。好，我们简要介绍一下这个柿子的证明。我们要用数学归纳， 那么当这个 n 等于一的时候，这个式子是显然是成立的。那么我们可以不妨设 n 等于 k 的时候是成立的。 现在想证明 k 加一的时候也是成立的。那么如何证明呢？我们在这个第一个式子的两端都加上 s， k 加一，先试着加一下，我们看一下。那么我们想证明的就是画绿线的这个式子小于等于右边这个画绿线的式子， 左右两边呢，我们观察一下，其实是可以消掉一些像的。因为右边画绿色三角形的这个一啊，他乘以我画两条绿线的这一部分， 他实际上和左边的两条绿线的这一部分是可以消掉的，需要证明这样一个式子啊。这个时候我们发现 x 一到 x， 这个 k 加一，大家都是同号的，这就很有用的。那么第一种情况我们就分类，就是 x 一一直到 x k 加一全是大于零的，您可以看一下这个需要证明的这个式子是不是就很显然了呢？啊，是不是很显然 好。第二种情况是 x 一一直到 xk 加一呢，全是小于零的，您再看看需要证明的这个式子是不是也很显然 好。我给大家留一个思考的一个小问题，就是这个不等式在什么情况下他是可以去等的呢？希望大家今天都有收获。

大家好，今天呢，我们来讲一道新高考创新的压轴大题，这道题的话涉及到了博努力不等式。我们先来读一下题啊，这道题的话是今年南开中学刚刚考完的一道最后大题啊，就高考数学的最后一道大题，十九道题嘛， 那么第一问的话，其实就是跟博努力不等是有关的。第二问的话，涉及到了这样一个放作，但是第一问的结论对第二问大有帮助， 然后第二问的结论呢，对第三问又大有帮助。虽然涉及到了高中不学的不努力，不懂事，但是呢，这道题你用高中的知识完全可以解，所以这样的创新题出的才是非常不错的。这道题后来我查了一下啊，是曾经的 湖北高考的理科的一个原题，也是最后一道大题。那我们看一下嘛，博努力不等式的话，他指的就是 当 n 大于等于一的时候，他是大于等于号，当 n 小于等于一，在零到一之间的时候，就变成小于等于号了，这个就是不等于不等式。那么我们看一下第一个呀，第一个其实一样的，我们最后求出来，这个是大于等于零的， 那不就相当于一加 x 的 r 减一次方大于等于多少？大于等于 r 加一 x 再加上一，那我们改成这种形式吗？改成一加上二加一倍的 x， 所以你看，哎，这俩东西有什么关系啊，这就是博努力不等式，你把博努力不等式里头这个小 n 改成我们现在这个不等式里头的二加一就可以了。清楚了哈， 那好了，现在我们就开始做这道题，其实不用大学的知识，我们用高中知识完全可以解。这个第一问的话非常简单，他让 你求最小值，首先告诉你定义域是在负一到正无穷的哈， x 是大于负一的，那求导呗。求导的话非常简单，我们把这个 r 啊，这个 r 是某一个正有理数，我们把 r 看成长数来对待就行了。那指数长数求导的话，就是 r 加一 一加 x 的二次方，对吧？那后边的话，是涉及到一个长数乘 x， 那就只剩下这个长数了，就这个样子啊，这就是导函数。 那导函数求出来之后的话，我们把 r 加一这样一个公因数提出来，那括号里头就变成了一加 x 的 r 次方再减一，这个也太简单了吧，你要注意啊，这个里头的 r 他是什么？他是一个正有理数啊，反正是正数，然后呢，他肯定是正的吧，正数加上一肯定是正的，所以第一个括号就不用管他了， 我们让这个导航数等于零，其实完全等价于一加 x 的 r 次方减一等于零，其实也就是问你什么时候等于一呢？ 肯定是一次方啊，当一加 x 等于一的时候，也就是 x 等于零的时候，才能够让导案数等于零，能清楚吧。哦，原来 x 等于零，就是那个零点。那求完这个之后的话，接下来呢？你想呀，如果 x 是小于零的， 在这样一个负一到零之间，那此时一加 x 它就在什么范围内，那不就是在这样一个零到一这个范围内呢？那此时的话，一加 x 的 r 次方也是这样一个范围，那一加 x 既然它是小于一的，那 r 次方在 减去一不就小于零？哦，知道了，也就是说负一到零之间哈，这个导数他是怎么样是小于零的？这部分小于一嘛，小于一的数字减去一，导函数为负，所以在负一到零这样一个范围内是减函数，那同样的， 如果 x 大于零的话，这部分就大于一了，大于一的这个整体减去一，那不就是正的吗？两个正数相乘，你说最终是什么数？肯定就是正数，所以当 x 大于零的时候，我这个导函数是大于零的，那在零到正物群上就是增函数了。清楚了哈， 负一到零减零到这种琼增，那此时这个 x 等于零所对应的函数值，这不就是一个极小值点啊，这个 x 等于零，所以说这个最小值号求吧，只需要怎么样？只需要在 等于零的时候，你求一下零的值就行了。 f 零带入这样一个解析式里头，一加零的任何次方，那么还是一吗？那 f 零算一下，一减去啊，二加一， 然后呢？乘零，对吧？那其实零就没了，然后再减一，最后就是零啊，所以清楚了哈，他最小值，他函数的最小值就是零。第一问是非常简单的，但是不要忘记第一问的结论哈，因为他对第二问大有帮助。 有很多同学遇到第二问之后的话，就完完全全不想第一问的结论了。其实很多时候呢，他这个高考的大题，他前一问很有可能对后一问是有帮助的。 那不信我们来变形一下嘛。那变形哪一部分呢？比如说我们先证明后半部分的话，那我们就这样来啊。呃，变形一下， 每一步都得是等价变形哈，左右两边乘 r 加一啊， n 的二次方小于 n 加一，然后 r 加一次方，然后再减去这样一个 n 的二加一次方。 那写到这之后的话，可能你还觉得不太完美。没关系哈，那我们继续来写。写成什么样子呀？写成这个样子。嗯， 加一，二加一，然后呢？再减去多少？再减去这个都移到不懂事的右边吧，就大于零了哈。 对，然后呢，再写上这个 n， 等二加一次方，那既然他大于零的话，我们再继续，每一步都要等价变化，其实再接下来变就好变了，我们左右两边同除什么？我们完全可以左 左右两边。你要注意啊，反正这个 n 呢，是一个正，整数都是正的， r 也是个正的，那我们左右两边就同时除这个 n 的 r 次方，或者 r 加一次方，咱们试一试嘛？左右两边同时除 n 的 r 加一次方， 哎，这一部分变成什么了？他除 n 二加一次方，那不就变成了这样一个 n 分之 n 加一， 二加一次方。我稍微整理一下啊，其实相当于一加上 n 分之一的二加一次方，然后呢， 最后一部分除的 n 的二加一次方，那不就变成一了呀？所以你说开心不开心，其实这道题就快解出来了。然后再减去啊，这是 r 加一，你要注意除了个什么？你画圈这一部分再除 n 的二加一次方，那不就变成了 n n r 加一次方，分之 n 的 r 次方，那其实就变成了 n 分之一了。你说你有没有什么感觉啊？你对比一下嘛。对比谁呢？现在我画一个圈一，你对比一下圈一跟原来的 括号一的这样一个结论有没有什么关系？完全，你只需要把什么，你其实只需要把 fx 里头这个 x 变成 n 分之一，那剩下的就非常非常非常简单了吧？所以清楚了吗？ 当你把 x 变成 n 分之一之后，哎，这个 n 分之一就是那个 x， 这个 n 分之一就是那个 x， 你说是不是大于零的？肯定是大于零的呀，清楚了哈，只要你能想到这一步，那接下来前半部分也是一样的，完全一样，你想到这了，第二问就能做出来了，这道题就能拿一半以上 分数了啊，你看用了大学的知识吗？没有，虽然他涉及到了大学的不努力，不懂事，但是我们从始至终都是用的高中数学知识来解的，不信你来看。 低问结论就是说 f x 大于等于零嘛，因为最小值就是零。那继续了，那我们变形啊，把低问大于等于零这一部分呢？先移下 一项，之后的话慢慢变形嘛。很多高考大题压轴题都是先有这个靶子才有那柄键，你看能不能用这柄键射到那个靶子啊？那看了这个中间过程，继续变形，是不是你得把这个二加一放到分母的位置嘛？是不是？那继续 当 x 大于负一，因为人家这个地方它不是小于等于号啊，人家是严格的小于号，所以当 x x 不等于零的时候，我们这个位置就是严格的大于。好了，就没有等于好了，懂了吧？所以呢，当 x 取不到那个零的时候，我们这个位置呢，就变成了严格的大于。好，然后你再继续变形。怎么变形呢？ 我们第一问，其实刚才已经考虑清楚了，只需要把 f x 里头的 x 变成什么？变成 n 分之一。那变呀，我们把圈以里头的所有的 x 都变成 n 分之一不就行了吗？ 然后呢？你看，出现了，出现了 n 的 r 加一次方，然后他这个里头啊，括号里头本来是应该先变成 n 分成 n 加一的，外头有个 r 加一次方吧。 那你分母和分子分别来个二加一次方不就得了吗？就这样来变形是不是好？变成这个样子，那变成这个样子之后的话，再干嘛？你就往 往这个形式上去靠拢就行了，非常简单，只需要左右两边同时先移向吧，先把它移过来，然后左右两边再除这个二加一就很简单了，你看是不是 n 的二次方 乘二加一小于 n 加一的二加一次方，再减去 n 的二加一次方。那我左右两边同时除，谁同时除刚刚那样一个 二加一，这个正数，你说证明完了没有？证明完了呀，就完全是一样的吗？等加变形就可以了是不是？好了，我们直接变形就行，最后变出来这样一个结果。但是这个题只完成了其中一半， 还得怎么样？还得证明前半部分，前半部分这样一个 n r 次方大于他的话，这个就不多说了啊，因为几乎 是完全一样的，你最好不要写同利可得，你再重新写一遍吧。只需要怎么样，你通过等价变形的方式，你对比一下，会发现利用的还是括号一第一文的结论。只不过刚才我们是零 x 等于 n 分之一， 现在你只需要令 x 等于负的 n 分之一，最终仍然可以变形成为这样的形式，类似的可以得出来， n 的 r 次方是大于前半部分的，既然后半部分这个不等号证明完了，前半部分这个不等号也证明完了，由 圈和圈三这两个狮子就可以得最后这个结论了吗？没有，有一个小小的细节啊，同学，细节决定成败，为什么有的同学拿一百分，有的同学只能拿九十九分呢？差一分就差在那个细节在哪呢？因为这道题的话，你要注意，我们 原始的题目告诉你， n 是取的正整数，就是一二三四都可以取得到。但是这一问的话，你要注意一个细节，什么细节？ 假如说当 x 等于什么？当 n 等于一的时候，此时这个 x 是等于多少的？请你告诉我，此时这个 x 是等于负一的，但是一个小小的细节就是，哪呢？就是我们这道题里头啊， 人家第一问的定义域，你只研究了 x 大于负一吧， x 等于负一的情况，你是不是没有研究？ 是不是？所以我们得单独把这个 i x 等于负一这个情况呢？单独拎出来，或者说把 n 等于一的时候，这个情况单独拎出来验证一下。圈三这个不能是是否成立成立的啊？当 n 等于一的 时候，那看一的二次方是否还是大于这个 r 加一分之，这是一的二次方，然后呢，再减去零，肯定是大于他的嘛，因为 r 是大于零的， 那。嗯，然后二加一不就大于一吗？一点几分之一，那肯定这个不能是是成立的，但是你得单独写，你要不写的话，这个题就得不了满分，你必须写上这句话，当 n 等于一的时候 怎么样？当 n 等于一的时候，这个不等式也成立，这样的话，最终才可以。综上所述，我们这样一个不等式连续的不等式是成立的，清楚了吧？这是第二文啊，第二文的话，得满分的同学就已经比较少了。 关键的还有第三问，这个第三问看起来非常凌乱，为什么呢？首先哈，这个不是缺 整符号，人家相当于定义了一个新运算。嗯，原来的取整符号，数学上的应该是等于二，对吧？整数部分，但人家不是人家定义的运算是大不小于，不就是大于等于吗？就是比这个 x 大的最小的那个整数，所以方框二点一，他最后求出来是大于等于二点一的最小的那个整数应该是三啊，不是二，包括这个拍， 你看，大于等于三点一四的最小的一个整数应该是四，而不是三。他不是取整符号啊，人家定义了一个这个运算是大于等于 x 的最小的整数，这个是定义了这样一个数学上的运算， 那比如说比负的一点五大的那样一个最小的整数是谁？大于等于负的一点五最小的整数，那不是负一吗？所以它等于负一 清楚了哈。那么接下来的话，他是说当 s 等于八十一，三次根号下八十一，三次根号下八十二、八十三，一直到三次根号下一百二十五的时候，求大于等于 s 的最小的那个整数。这种情况下怎么办呢？ 不是干巴巴的让你求呢？往往出的好的题，第一问对第二问有帮助，那第二问的结论对第三问也是很有可能有帮助的，那现在我们要想的问题就是，首先这个 s 呢，我们要改一下， 我们把这个八分之，就是把这个三四根号下写成三分之一次方，哦，然后呢八十二的三分之一次方等等等等，一直加到一百二十五的三分之一次方，这样的话可能会更加容易。为什么呢？来想过没有？ 比如说我们第二问里头这样一个式子啊，就是圈四这样一个式子，我们只需要令这个 n 等于几啊？比如说当我们要估计这个三四根号加八十一的时候，我们就按 n 这个正整数等于八十一， 然后呢让这个 r 就等于三分之一，那代入四中代入四，这样一个连续不等式里头，其实最后就变成了什么？你这个 r 加一的话，最后算出来是三分之四，但是放到分母的位置，其实你最后会变出来一个四分之三的哈， 哦，四分之三，因为他把过来的放到分母的位置了吗？然后呢这个里头又变出来这个多少哦？ n 的多少？八十一的二加一次方，那就是三分之四次方，减去八十的 三分之四次方，然后小于八十一，三次根号加八十一，咱们就是估计三次根号加八十一的这样一个范围啊，那右边也是四分之三，还有谁啊？那就是八十二的 三分之四次方，减去八十一的三分之四次方。其实当你写出来这个之后的话，你接下来还可以把这个 n 变成八十一，还可以变成八十二吧， 那么就变成了八十二减去八十一，哦，原来八十二的三分之一次方是在这样一个范围内的，你一直不去估计 就行了。一句一直估计，一直估计，其实他的核心还是哪个考点啊？其实就是列项，只不过这个列项呢，是不等式列项。最后求这样一个范围的，接下来给你的这几个参考数据不会没有用的清楚了吧？ 那接下来就简单了，首先把 n 等于八十一，然后 r 等于三十一，我们先列出第一个十字来么？刚刚我已经写过了，那么继续把 n 等于八十二， r 等于三分之一代入哦，我没有估出来了，八十二的三分之一次方啊，三四根号加八十二 三字刚好下八十三，同样的一直往后边写，其实有省略号的啊。最后当这个 n 等于一百二十五， r 等于三分之一的时候，我们还是代入 圈字这样一个不等式里头写出来了吧。那接下来这一共是多少个不等式？反正就是从八十一到一百二十五。这么多个不等式，是不是哦，算出来应该是有四十五个啊，连续相加呀，中间部分不就是我们要的 s 吗？三次刚好下八十一，加上三次刚好下八十二， 一直加到三四杠下一百二十五，那能消吗？列向相消，列向的目的是为了消去啊，有正的八十一就有负的八十一，有正的八十二就有负的哦，这样一个斜着的部分都消掉了，包括右边也一样，你看， 有正的八十二就有负的，有正的八十三就有负的八十三都交掉了，所以最终剩下了谁呀？所以说嘛，最终的话，中间部分加起来正好就是那个 s， 然后左边的话就剩下最后一个一百二十五的三分之四次方，然后八十的三分之四次方，是不是？ 然后他也是一百二十六的三分之四次方，然后八十一的三分之四次方，对不对？好，那接下来估计嘛，这个八十是有用的啊。你把这个三四四点七带 入，把这个一百二十六，还有八十一的三分之四次方都带入，最后我们估出来是等于多少？约等于二百一十点九的 gis 的值啊，最后算出来是多少？在二幺零点二和 多少之间，二幺零点二和二幺零点九，所以这个 s 应该是二幺零点几。那 比这个二幺零点几大的最小的那个整数当然是二幺幺了。所以祝愿每一位同学至少都能考一个二幺幺学校啊，分享课堂知识，感受数学之美。我是杨范老师，下节课再见。

今天来看这样一个问题啊，就是二，给你不停的开方，一直开下去，最终的结果是多少？首先我们凭感觉也应该能感觉出来，他的答案应该是一。 或者说呢，你可以拿一个计算器哈，给他按一个二，然后呢，不停的按开方，你按下去，你就会发现，这个数确实是越来越接近于一的，所以我们猜也能猜出来，他的结果应该是一哈。但是如何从数学的角度来严谨的证明呢？ 这个呢，就需要使用极限理论了。你一个东西啊，无穷的给他开放下去，实际上就是在求一个极限吧，对吧？所以呢，我们首先哈有这样一个结论， 那这个结论我来给他严格的证明一下哈。我们先看一下证明，他就是给你二不停的开方对吧？你 n 是一的时候开一次方，然后开二次方，然后开 三十八，不停的开下去啊，他的极限就是一。为什么呢？我们用这样一个方法啊，我先构造一个新的数列，比如说我叫他叫 a n 吧， a n 呢，他是谁呢？他就是二开 n 字方，给你减掉一个一号，管他一则叫 a n。 那首先看一下这个 a n， 他一定是大于零的吧，对吧？因为你二这个数他是大于一的呀，一的话，你不管怎么开方，还是比一还大吗？所以说他减完一之后是大于零的。那我给他移一下相，就变成了一加上 a n 就等于二开 n 次方， 两边同时 n 字方哈，一加上 a n 的 n 字方，就等于二，对吧？那上面这个式子呢？一加上 a n 的 n 字方，我可以怎么着给他处理呢？我们都学过二项式定理，给他展开就行了。第一项 cn 零一 一的 n 次方， a n 的零次方。第二项 cn 一一的 n 减一次方， a n 的一次方，对吧？后边呢，给你加上一些东西哈，我这块用省略号表示了。那我给他算出来第一项呢， c n 零就是一吧，对吧？一 n 次方还是一哈， a n 零次方还是一。加上第二项 cn 一是 n 呐，对吧？然后一的 n 减一次方，一，然后来一个 a n 加上点点点一大堆省略号。那这个省略号是什么东西呢？ 当然，我们知道这个省略号他其实代表了很多项，但是啊，他这个省略号里面的每一项是不是都是大于零的呀，对吧？因为你这个 n 是大于零的吗？你这个 a 也是大于零的哈。上面我们已经论证过了， a 也是大于零的，所以说，你后面这些省略号都是大于零的。所以啊，一加上 n 倍的 a， 再加上一大堆大于零的时候，他肯定大 大于一加上 n 倍的 a n 吧，对吧？相当于把那大于零的数我给他缩掉哈，一定大于他。所以我就得到了这样一个节目哈，就是一加上 a n 的 n 字方就大于一加上 n 倍的 a n。 这个式子呢，其实很有名哈，他叫做伯母利不等式， 在有的关于不等式的书上会介绍到他哈，我努力不等式，但是这个不等式你不知道也没关系，我们利用二强师定理，简单的做一个推导就可以了。 在得到这个不等式之后啊，不要忘了我这个一加 a n 的 n 字房是谁呀？我们再往上翻，他不就是等于二吗，对吧？所以我就得到这样一个式子啊，就是二，大约一 加上 n 倍的 a n 呐，那我再给他一下下，那就是二减一除以 n， 就大于 a n， 对吧？那不要忘了， a n 他是大 零的，我们刚才已经说了。所以 a 这边呢，大于零，这边呢，就小于 n 分之二。减一不就是一吗？就变成他了。好， a 是一个数列。但是呢，我给你找到了他的一个放缩，对吧？这边是零，这边是 n 分之一。而非常明显了， 每每次 n 区进无穷的时候，零长数零，极限也是零吗？对吧？每每次 n 区进无穷的时候， n 分之一。哎，极限也是零吧。那两边极限都是零加低准则。所以我得到了中间这个极限也是零吧。 嗯，去进无穷， a n 等于零。不要忘了 a n 是什么东西，回归我们的初心哈。 a 音是啥呀？ a 音是我刚才构造出来的二，给你开 n 字方解一呀，对吧？ a 音是这个东西哈，那我就算出来他的极限是零， 那我再把这个一给他加回去，不就得到了？ n 区进无穷时，二开 n 次。发动机械就是一吗？对吧？但是啊，这块还有一个小小的细节， 我这个极限算出来，实际上就是二的。比如说，给你开一个一次方，对吧？二呢？给你开一个二次方哈，二呢？给你开一个三次方哈，二呢？给你开一个四次方。一直下去， 他的极限是一。但是啊，我们的题目是什么呀？我们的题目是二，先开方，再开方，再开方，对吧？你二，如果开方的话，他是二的二分之一次方啊。但是如果你二开方再开方呢？他的结果是二的四分之一次方啊，对吧？ 所以我实际上穷的是二的二分之一次方，二的四分之一次方，二的八分之一次方。这个东西哈。那这个极限跟上面那个数列有什么关系？ 那很明显就是他的一个子列呀，对吧？就是他的一个子列哈。那根据我们数列跟子列之间的关系，原来数列收敛到一，那他的子列也收敛到一啊。所以我就证明了。你这个柿子啊，二二二不停的给他开放下去。就是 这样一个东西，他的数列极限哈。那他的结果就是一是通过这样来严谨的证明的。

好，各位同学，大家好，我是小贤老师，今天我来给大家讲一下不等式证明问题方法归纳 不等式证明问题方法归纳我们可以分成分为两种方法，第一种是利用不等式性质来证明这个不等式，第二个就是做擦法。 那不等式的性质有七条。第一条，性质一，如果 a 大于 b， 那么我们也可以说 b 是小于 a 的，这个叫做相反性。性质二，如果 a 大于 b， b 又大于 c， 那么 a 就 大于 c， 这个是传递性。第三个，如果 a 大于 b， 那么 a 加 c 就大于 b 加 c， 相当于在不等式两边同时加上同一个数， c 不等号依然成立。 性质是，如果 a 大于 b， c 大于零，那么 a 乘 c 就大于 b 乘 c 不等式，两边同乘一个正数， c 不等号不发生改变，那如果 c 是小于零的， c 是小于零的，不等，是左右两边同城一个数， c 这个时候不等好，需要发生变化， 信是五， a 大于 b， c 又大于 d， 那么 a 加 c 是大于 b 加 d， 因为 a 跟 c 以及 a 跟 c 是这四个当中比较大的两个数， 像这样大于两个比较小的数相加，像这样， a 是大于 b 的西又大于 d， 所以两个大的数相加，是大于两个小的数相加的， 我们可以这么记。七十六、 a 大于 b 大于零， c 大于 d 大于零，那么 a 乘 c 是大于 b 乘 d 的， a 跟 c 是比较大的两个正数， b， a 跟 d 是两个比较大的、比较小 小的正数，那么我们说两个比较大的正数相乘， a 乘 c 是大于两个比较小的正数相乘， 我们可以这么记。那第七条， a 大于 b 大于零，那么 a 的恩赐法就会大于 b 的恩赐法。那这里我们可以这么想， 当这里的 c， 我们也用 a 来代， d 用 b 来代，这个时候 a 大于 b 大于零。 第二个是，也是 a 大于 b 大于零，那么我们就有 a 的平方，是大于 b 的平方。同理，如果左边有 n 个 a 相乘，右边有 n 个 b 相乘，我们就可以得到 a， a 的 n 次方，是大于 b 的 n 次方，这是不等式的七条性质。 第二个我们来讲做插法，那我们知道 a 大于 b， 我们是可以推出 a 减 b 大于零，反过来也成立，那 a 跟 b 相等，我们就说 a 减 b 是等于零的， a 如果小于 b， 我们就可以退出 a 减 b 小于零，那我们要比较两个实数， a 跟 b 的大小关系，可以将两个数进行做差，然后与零比较。 如果是差是大于零的，那么 a 就比 b 大。如果差是等于零， a 跟 b 三的 如果差是小于零，那么就 a 小于 b， 这就是我们说的做差法。当然做差法不仅可以比较两个实数的大小，也可以表，也可以比较两个式子的大小关系。 好，我们来看一下第一题，用不等号大于号或者小于号填空， a 大于 b， c 小于 d， 那么 a 减 c 跟 b 减 d 有什么大小关系？ 那这个时候我们是不是可以联想到第一个用性质法来比较这两个事实的大小关系，那根据性质，我们知道 a 大于 b， c 小于 d， 这跟我们的性质五是不是很类似的？我们性质五是两个大的数相加，大于两个小的数相加， 那现在 a 是较大的那个数， c 反而是小的那个数，但是这里出现了负 c， 所以我们可以考虑， 这个不等是两边同乘以负一，是不会得到负 c 负底，那这个时候两边同乘以负一不等号要发生改变，所以 负 c 是大于负 d 的， a 又是大于 b 的。那两个大的数是不是一个是 a， 一个是负 c， 那 a 加负 c， 应该 是大于 b 加上负 d， 也就是 a 减 c 大于 b 减 d， 这是根据不等式的性质来处理。当然我们也可以用 做叉法，做叉法， a 减 c 减去 b 减 d 加括号，这个时候是不是就变成了 a 减 c 减 b 加 d？ 好，那我们知道 a 大于 b， c 小于 d， 所以这个时候我把 a 跟 b 结合在一起， c 跟 d 结合在一起，这个时候 a 减 b， 因为 a 大于 b， a 减 b， 人家是正的，同理 d 是大 大于 c 的， d 减 c 也是正的，所以这个式子是大于零的，那意味着前面这个 a 减 c 减去后面这个式子是大于零的，意味着前面这个式子要比后面这个式子大，所以还是大于号。 接着我们看第二题， a 大于 b 大于零， c 小于 d 小于零，要比较 a、 c 跟 b、 d 的关系，那我们知道，根据不等式性质，六、两个大的正数相乘，会大于两个 小的这组相乘，这个时候 a 大于 b 大于零，这是正数啊。但是 c 小于 d 小于零，这个时候是负数，那我们能不能也把它变成正数呢？ 不等十三边同乘以负一，这个时候变成负四，负地零还是零好。因为乘以负一不等号要发生改变， 所以负 c 是大于负， d 是大于零的，那这个时候 a 跟负 c 是比较大的两个正数， d 跟 b 跟负 d 是比较小的两个正数。让我们知道，根据 c 之六 负的 ac 弹牙大于负的比例，那要比较 ac 跟比例的大小关系是不是？这个是指左右两边同乘以负，一 左边就变成了 ac， 右边变成 bd， 不等号要发生改变，这个根据的是性质变 好。接着我们继续看一下 a 大于 b 大于零，要求证 a 分之一， a 的 a 方分之一小于 b 方分之一。好，第一种方法我们能不能利用 不等式的性质来证明，那我们看一下，这里出现了 a 的平方， b 的平方，还有 a 的平方去倒数， b 的平方去倒数，那根据 性质气 a 大于 b 大于零，那 a 的 n 次方就大于 b 的 n 次方，意味着我们 a 的平方是不是就大于 b 的平方，而且他们都是大于零的，那这个时候 a 方分之一就是 a 方取倒数， b 方分之一就是 b 平方取倒数，所以取完倒数，一个是 a 的平方，一个是 b 的 a 的平方分之一，一个是 b 的平方分之一，那我们知道 a 方大于 b 方大于零，取完倒数， 他们大小要发生改变，而且他俩都是带领的，那我们就得到或者说正的 a 方分之一是小于 b 方分之一的，这是根据不等式的性质 可以得到的。那第二个方法做差法，我们看一下做差法，我们要正， a 方小于 a 方分之一，小于 b 方分之一，那就是要做差，使得 a 方 方分之一减去 b 方分之一，应该是小于零的，那做叉。我们看一下这个时候分母，我们要分式，要通分，分母是 a 方 b 方，分子是 b 方减 a 方。好，大家注意了，我这个 化解的时候，要把它化成几个因式相乘或相处的形式。 b 方减 a 方，其实就是平方差公式， b 减 a 乘以 b 加 a 除以 a 方 b 方，这里有三个，一是 b 减 a， b 加 a， 还有 a 方 b 方。那我们知道，因为 a 大于 b 大于零，所 所以 b 减 a 是小于零的， b 加 a 是大于零的，而且 a 方 b 方也是大于零的，意味着这个意思是负的，这个意思是正的， 这个意思也是真的。那么这里整体应该就是负的，负的话也是小于零，所以 a 方分之一减 b 方分之一，他是小于零的，所以我们得到 a 方分之一小于 b 方分之一。两种方法，第一种根据不展示性质，第二种做插法。 好，我们再来练一题。同样的， a 大于 b 大于 c 大于零，要求 a 分之 c 小于 b 分之 c。 那我们观察这个食指，他两左右两边是不是都含有 c， 意味着要正。这个食指是不是要先正？ a 分之一跟 b 分之一大小关系，因为 c 是大于零的，不等是 a 分之一， b 分之一左右两边同乘于 c 之后， 同乘于 c 之后会变成这个数字，所以要正他。我们是不是先正 a 分之一小于 b 分之一来要正 a 分之一小于 b 分之一，我们先找到 a 跟 b 的关系。 好，我们是先这么分析的，那我们看一下第一种方法用性质来着，因为 a 大于 b 大 大于 c 大于零，所以我们可以得到 a 分之一跟 b 分之一有什么关系啊？ a 大于 b 大于零，都是正数，而且 a 比 b 大，那取完倒数之后， a 分之一反而要小于 b 分之一。 接着因为这里的 c 是大于零的，我不等，是两边同乘一个正数，就变成了 a 分之 c， 另外一边变成 b 分之 c 乘一个正数不等，是 不忍号不发生改变，所以得到 a 分之七小于 b 分之七。这个是第一种方法， 第二种方法做叉法， a 分子 c 减去 b 分子 c， 我们要正 a 分子 c 小于 b 分子 c， 也就是正 a， a 分之 c 减去 b 分之 c 要小于零。那同样的，先通分分布式 ab， 然后是我们看一下通话分是 bc 减去 ac， 因为有一个公共意思， c 我们可以提出来，那就变成了 c 乘以 b 减 a 除以 ab。 好，这个是一个意思，这个是一个意思，最后分母也是一个意思，变成几个意思，相乘或相处的形式。然后我们来判断，因为 a 大于 b 大于 c 大于零，所以 c 是大于零的， b 减 a 是小于零的，因为 a 是大于 b 的， 那 a 乘 b 的话是大于零的，所以这个因是是正的，这个是负的，这个是正的，所以这个因是整体是负的，也就是要小于零，所以我们就可以得到 a 分子 c 是小于一分子 c。 好，这个是利用两种方法，一个是不等式性质，还有做擦法来证明不等式问题。 那喜欢的同学还有朋友可以点赞关注我的视频。好，今天我们的课上到这里，谢谢大家。