九上数学二次函数ax2+bx+c

二次函数第六课学会用配方法将一般的形式化为顶点式。回顾一下之前学的一个完全平方公式啊， a 方加减二， a b 加 b 方，等于 a 加减 b 括号的平方的。 那像这道题呢，我们之前是学过的。怎么样根据二次项和一次项去给他配出后面的长数项？就是当他的二次项系数为一的时候，我们直接看中间的这个系数， 中间的系数除以二再平方，那就是三的平方，也就是九。那我们括号里面写的就是首和尾，那就是 x 加三的平方。像这里呢，那就是中间的三除以二 在平方啊，不用管那个符号，这个符号只跟他有关系啊，这个符号，所以我们不用管，这里是等于二分之三。 先看第一种题型，当他的二次项系数 a 是一一次项系数 b 是偶数的时候，我们把这个一般是给他画成顶点式啊， 那就是 y 等于 x 平方加六， x 减一。我们先只看二次项和一次项， 那需要给他配一个什么数呢？中间的六除以二再平方，那就是三的平方，就是九。那我们给他加了个九，还要给他减个九回来，他的圆式才不变啊。之后呢，这前面三个就可以给他配成 x 加三括号的平方的形式。 那右边呢，还剩下一个减十，那这个时候他就变成了一个顶点式的一个格式。那他的 a 呢？是带零的，所以他的开口是向上的。顶点坐标啊，就是 hk 嘛， 所以直接就是负三和负十。他不是三和负十。因为我们这个顶点是他这里是 减 h 的，那我们这里是加三，实际上就是 x 减去负三啊，所以 h 是负三。 再看第二种题型，依旧是二次项系数为一，但是依次项的系数为基数的时候，比如说是一的时候，我们依旧是这样子给他配成顶 点。是啊，只看二次项和一次项，直接是中间的除以二，再给他平方，那中间除以二再平方之后是二分之一，二分之一的平方是四分，那我加了四分之一，我也要给他减回来，后面还有一个加一， 然后前面三项给他配成一个 x 加二分之一的形式。那右边的负四分之一加一呢？那就是正的四分之三。 那他顶点坐标我就可以直接写成负二分之一四分之三了。 hk 嘛。第三种题型就是二次项的系数不唯一的时候就是负二啊。正二这些的时候，求他的最大值。那我们把他的顶点坐标找 出来，其实它的最大值就出来了。那我们先看第一种方法吧。 y 等于负二， x 平方加十二， x 减十。 第一种方法呢，就是先把这个负二给他提出来，那每一项都给他提一个负二。那第一项把负二提出来之后，就是除以负二吗？那就剩下 x 平方 中间的正十。二呢？把负二提出去，那就是除以负二，就等于负六。 x。 那负十的话呢，除以负二，那就是正五。 那这个时候呢，我就能把二次项的系数化为一，我就可以在括号里面这个给他进行配方了。那这个是六。除以二等于三，三的平方是九，所以我在里面给他加 八，九减九，后面还有一个正五。然后呢，这里就负二 x， 因为这里是减号啊，所以说这里减三的平方。 然后这里呢负九加五，那就负四。注意这里还是一个整体啊。这个右 我们要把它画成顶点式的话，还是要把这个负四搬到括号外面去的。比如这里是负二减三的平方，我们还要把负四提出来，那就把负四乘上负二等于 正八，那这个才是我们的一个顶点式。那就是当 x 等于三的时候，它是这里就等于零，零加八等于八，所以这个二次函数有最大值八，把这个 二次项系数变为一，把负二提出来。这个过程呢，我就不给这个负十也提负二。就是我把负二提出来的时候，我只给二次项和一次项，给他提这个负二，但右边的负十呢，我不动他。 然后现在就可以直接在里面给他加九减九， 然后这里就是减十，那就变成 x 减三括号的平方。我这里还是要把负九提出来，那就变成正的十八，再减十 等于负二 x 减三的平方。加也是可以求得它的最大值是八。这两种办法的区别就在于应该是把负二提出去的时候要 要不要把这个常数项提进去的问题啊。那我建议呢是不用提进去啊，计算量会少一点点，如果碰到更大的数字的话。

同学们好，我是来自北京师范大学附属中学的李正平老师。 在前面的学习中，我们掌握了二次函数的定义、图像和它的性质。今天我们一起探究确定二次函数解析式的方法。 我们知道二次函数的解析式有一般形式 y 等于 a， x 的平方加 b， x 加 c， a 不等于零。 还有用顶点表示的形式， y 等于 a 倍的 x 减 h 的， 它的平方加 k， a 不等于零。由顶点式我们可以看出，抛物线的顶点为 h k。 那么如何确定二次函数的解析式呢？分别需要几个条件？ 我们学习过用待定系数法确定依次函数 y 等于 k， x 加 b 的解析式，需要求出待定系数 k 和 b 的值。 如果已知依次函数图像上两个点的坐标，这两点的连线不与坐标轴平行。首先我们要列出关于 k 和 和 b 的二元一次方程组。第二步，解方程组，求出 k 和 b 的值。第三步，写出解析式。 请同学们类比求依次函数解析式的方法，尝试解决下面的问题，列式即可。例一， 如果一个二次函数的图像经过负一十一四二七三点，试求出这个二次函数的解析式， 请同学们思考。在二次函数的一般形式 y 等于 a， x 的平方 加 b， x 加 c 中有几个待定的系数，需要图像上几个点的坐标。 好，我们发现，要确定二次函数 y 等于 a， x 的平方加 b， x 加 c 的解析式， 需要求出三个待定系数 a、 b、 c 的值。这就需要二次函数图像上不在同一直线上的三个点的坐标，其中任意两点的连线不与外轴平行 结设所求二次函数为， y 等于 a， x 的平方加 b， x 加 c。 由以 知函数图像经过负一、十一、四、二、七三点。 首先我们将点负一十代入解析式，可以得到， a 减 b 加 c 等于十。 同样的，我们将点一、四、二、七分别带入解析式，可以得到， a 加 b 加 c 等于四。四 a 加二， b 加 c 等于七。 由此我们就得到了关于 a、 b、 c 的三元一次方程组。解这个方， 方程组得到 a 等于二， b 等于负，三， c 等于五， 则所求二次函数解析式为， y 等于二， x 的平方减三， x 加五。 有本题我们知道，当已知二次函数图像上不在同一直线上的三个点的坐标，其中任意两点的连线不与外轴平行时，可以用一般式解决问题。 请同学们思考，如果只知道图像上两个点的坐标，是否可以确定二次函数的结序？ 有同学提出，我们有三个代停的系数，自然需要图像上三个点的坐标，已知两个点时条件不足。 那么如果已知抛物线到顶点和图像上另一个点的坐标能否确定解析式呢？请同学们思考。例二， 已知二次函数的图像的顶点为三负四， 与外轴的交点为零。二求这个二次函数的解析式。有些同学开始尝试用二次函数的一般形 是解决这个问题。解设所求二次函数为 y 等于 a， x 的平方加 b， x 加 c， 有已知与外轴的交点为零。二代入一般式可得到， c 等于二， 有已知顶点为三负四。根据顶点坐标公式，可以得到方程组负二， a 分之， b 等于三，四 a 分之四， a， c 减 b 方等于负四。 把 c 等于二带入这个方程组，解方程组得到 a， a 等于三分之二， b 等于负四。所以所求二四函数为 y 等于三分之二， x 的平方减四， x 加二。 有的同学发现题目中提供了顶点的条件，希望尝试用二次函数的顶点形式解决这个问题。这个想法非常好，请同学们都来试一试。 在二次函数的顶点形式 y 等于 a 倍的 x 减 h 的叉的平方加 k 中有三个带定的系数 a、 h、 k 应该知道图像上 三个点的坐标，但是我们知道 h， k 就是顶点的横纵坐标，因此我们只需再找一个点的坐标即可。 方法二，结设所求二次函数为 y 等于 a 倍的 x 减 h 的叉的平方加 k， 有，已知顶点为三负四 g， h 等于三， k 等于负四， 则二次函数为 y 等于 a 倍的 x 减三的叉的平方减 次。有，已知与 y 轴的交点为零二，代入解析式得到方程二等于 a 倍的零减三的差的平方减四。 解方程得到 a 等于三分之二，则所求二次函数为 y 等于三分之二倍的 x 减三的叉的平方减四。 有本题我们知道，当已知抛物线的顶点和图像上异于顶点的另一点坐标时，可用顶点式解决问题。 同学们，我们一起来看历三 已知二次函数 y 等于 a， x 的平方加 b， x 加 c 中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表，求这个二次函数的解析式。 请同学们认真观察表格中数据的特征，希望大家能找到更加优化简洁的方法。 首先，我们看到表格中每一组对应的 x、 y 的值都满足二次函数的解析式， 也就是二次函数图像上每一个点的横纵坐标。 有同学是用一般式来解决这个问题的。结设所求二次函数为 y 等于 a， x 的平方，加 b， x 加 c， 我们在表格中任意取三个点的坐标，就可以得到关于待定系数 a、 b、 c 的三元一次方程组。 例如，我们选取前三组对应的 x、 y 的值，带入解析式，可以得到如下的三元 一次方程组。看到这个方程组，同学们感受到这种方法的计算难度比较大， 我们希望寻找计算量更小一些的方法。请同学们认真观察表格中数据的特征，寻找更加优化的方法。 观察表格中数据的特征，我们发现一个特殊的点零负二， 把它带入一班式，可以得到 c 等于负二。方法二结设所求二次函数为 y 等 等于 a， x 的平方，加 b， x 加 c。 由已知过点零负二代入解析式，可以得到 c 等于负二， 则二次函数为 y 等于 a， x 的平方，加 b， x 减二。 再任意取两个点，就可以得到关于待定系数 a、 b 的二元一次方程组，即可求出二次函数的解析式。 那么，再取哪两个点能使运算量更小一些呢？显然取 整数点计算量更小，因此我们可以选择负一、负二和一零这两个点。 由于过点负一、负二、一零，带入解析式，可以得到关于 a、 b 的二元一次方程组。 解这个方程组得到 a 等于一， b 等于一， 则所求二次函数解析式为 y 等于 x 的平方，加 x 减二。 有的同学说他发现了 抛物线的顶点，应用顶点式来解这个问题，计算量会更小。同学们，你们发现抛物线的顶点了吗？ 再次观察数据，我们发现当 x 等于负一时和当 x 等于零时，所对应的函数值相等都等于负二。 结合图像就是点负一、负二和零负二的纵坐标相等，它们是一对对称点。 根据抛物线的对称性，我们可以确定抛物线的对称轴为直线， x 等于负二 分之一，所以抛物线的顶点为负二分之一，负四分之九，因此可以用顶点式来解决这个问题。 当然，我们还可以看到点负二分之三、负四分之五和点二分之一、负四分之五的纵坐标相等，它们也是一对对称点。 利用这一对对称点，我们也可以找到抛物线的顶点是负二分之一，负四分之九。 方法三解设所求二次函数为 y 等于 a 倍的 x 减 h 的 x 的平方加 k， 由于顶点为负二分之一，负四分之九，则二次函数为 y 等于 a 倍的 x 加二分之一的和的平方减四分之九。 再取一个点的坐标，既可以得到关于 a 的一元一次方程就可以求得二次函数的解析式。例如，我们选择点一零， 有已知过点一零带入所设的解析式，可以得到方程零等于 a 倍的 一加二分之一的和的平方减四分之九。解这个方程得到 a 等于一， 所以二次函数的解析式为， y 等于 x， 加二分之一的和的平方减四分之九。 从本题中我们体会到选取的方法不同，计算的复杂程度差距会很大， 这就需要同学们认真审题，挖掘所给条件的特点，选取适当的解析式的形式来解决问题，避免不必要的繁琐运算。在确定二次函数的解析式时，一般 式是通法，不足之处是计算量比较大，应用顶点式解决问题，计算量会小，但是，并不是所有条件都能够用顶点式来求解的。 请同学们想一想，什么条件适合用顶点式来求二次函数的解析式呢？ 很好，当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或二次函数的最直时， 选取顶点式解决问题更为简单。经过以上的探究学习，同学们掌握了 在不同的条件下确定二次函数解析式的方法。请同学们独立完成以下练习，认真体会已知条件， 希望选取最简洁的方法解决问题。练习一，已知二次函数的最小值为负四，它的图像经过点负二零与六零， 求这个二次函数的解析式。 通过观察，我们发现 点负二零与六零的纵坐标相等。结合图像，这是一对对称点。 根据抛物线的对称性，我们可以确定抛物线的对称轴为直线 x 等于二， 解有已知负二零与六零是一对对称点， 则抛物线的对称轴为直线 x 等于二，有已知二次函数的最小值为负四，所以抛物线的顶点为二负四， 所以我们可以用顶点式来解决这个问题。根据顶点式二负四，可以设二字函数为 y 等于 a 倍的 x， 减二的差的平方减四。由于过点六零，可得到方程零等于 a 倍的六减二的差的平方减四， 解得 a 等于四分之一，所以所求二次函数解析式为 y 等于四分之一倍的 x 减二的叉的平方减四，我们一起来看练习二， 我们可以应用抛物线的对称性来解决这个问题。解有已知，当 x 等于负五，与 x 等于一时，所对应的函数值相 等等。根据抛物线的对称性可以得到对称轴为直线， x 等于负二，根据对称轴公式得到负二， a 分之， b 等于负二。 根据已知 a 等于一代入上市，可以求得 b 等于四，则二次函数为 y 等于 x 的平方加四， x 加 c。 有已知，当自变量 x 等于负四时，函数值 y 等于负二，代入解析式可得到负二等于十六减十六加 c， 解得 c 等于负 二，所以所求二四函数为 y 等于 x 的平方加四， x 减二。 同学们，经过本节课的学习，我们掌握了用待定系数法确定二次函数解析式的方法，我们还能够根据不同的条件特征选取适当的解析式的形式。 课后请同学们完成以下的作业， 今天的课就上到这里，同学们再见！

哈喽，同学们大家好，我是栗子老师，一日不见，甚是想念。今天我们要学习的是二次函数一般形式 y 等于 abx 平方加 bx 加 c 的图像和性质。第一课时，我们还是先来看一下本节课的学习目标。 第一，我们要绘画 y 等于 a 倍 x 平方加 b， x 加 c 的这个图像，然后要理解这个二次函数一般形式 a 倍 x 平方加 b， x 加 c 的性质，掌握咱们一般式的这个二次函数与咱们顶点式的这个 二次函数他们之间的一个互化以及联系。好，我们来看新课讲解，探究归纳。我们已经知道 y 等于 a 倍括号下 x 减 h 的平方加 k 的这个图像和性质，这是咱们前面学的顶点式，对吧？那么能否利用这些知识来讨论 y 等于二分之一倍， x 的平方减六， x 加二十一的图像和性质呢？ 我们来看一下啊，他让我们讨论的这个二次函数，是不是跟咱们今天要学的这个二次函数他的形式是一样的呀？在这里面 y 等于 abx 平方， a 就等于二分之一，对不对？他让我们讨论的是二分之一倍的 x 平方加上 啊，减去减去六， x 加上二十一，那这里面 a 就是二分之一， b 就是负六， c 就是二十一，对吧？那我们如果把这个二次函数讨论出来了，我们是不是可以类推出咱们这个二次函数一般形式的图像和性质。那 我们前面啊，已经知道了咱们这个顶点是他的一些图像和性质，比如说 a 管开口了对不对？大于零的时候开口向上， a 小于零的时候开口是不是向下？好，他对称轴是不是直线 x 等于 h， 他顶点坐标是不是 a、 g、 k 啊？ 好，这咱们都知道了，那如果我们要想，我们能，我们要想知道这个二次函数他的图像和性质，我们如果能给他转变成咱们这个顶点，是，是不是咱们这个问题就可以解决了？ 那么问题就来了，我们怎么样才能把这个一般形式的这个二次函数化成咱们这个顶点式？ y 等于 ab， 括号下 x 减 h 平方，加 k 的形式呢？ 我们可以通过配方来得到。我们来看配方，我们要把这个一般形式的二字函数化成 刚才咱们说 y 等于 a 倍括号 x 减 h 的平方，加 k 的形式，对吧？加 k 的形式。那首先我们来看第一步， 我们把这个二次函数他的这个二二次项系数二分之一提出来了，提出来之后他把这个后面的 用括号括起来，我们来看一下提出来的二分之一 x， 二分之一 x 平方值 x 平方，那减六 x， 我们必须要减十二 x， 因为这前面提了个二分之一，相当于把这个式子缩小了一半，对吧？好，加二十一，同理，我们是相当于加上四十二，好，接下来我们来看， 他把这个式子里面加上了一个六的平方，又减去了一个六的平方，他是保持这个式子大小不变，那为啥要加六的平方而不加七的平方呢？ 我们来看他要凑的是这个平方，对不对？配方的他，他要凑这个完全平方式，我们完全平方式凑的时候是不是加的是依次向系数一半的平方，他依次向系数一半，是不是相当于负六？那负六的平方是也是六的平方，对吧？所以说他加上六的平方要保持这个式子大小保持不变， 是不是还要减去这个六的平方？好，那弄完了之后，我们我们来看，他把前面的 x 平方减十二， x 加六，他给他放在一个整体，对吧？放一个整体，后面减六的平方加四十二，他同样是挪下来前面的不动。 好，接下来我们这个括号里面的是不是它就是一个完全平方式啊？我们来把它变成了 x 减六的平方，就是括号里面的 x 平方减十二， x 加六就变成了 x 减六的平方，后面减三 三十六，加上四十二，就变成了加六。但是啊，我们到这一步还没有结束，我们还要把它化减，整理一下，我们要化的是咱们这个式子 a 倍 x 的平方， a 倍括号， x 减 h 的平方加 k 的形式，对不对？那这个是，这个是啥？这是 y 等于 a 倍 这个，它这个 k 相当于是放在里头了，对不对？它这个相当于是这个形式啊，我们这个不还没有，还没有结束，那我要给它画成 a 倍。 好，我们画到这里还没有结束啊，因为我们要画的是咱们这个顶点式，我这才到哪一步呢？我这才相当于是 y 等于 a 倍 x 减 h 的平方，我是不是相当于这个 k， 我给他加到里头去了啊？我要把这个 k 给他放出来，对不对？放出来，那我们来看一下，那他和他乘，他是不是还要和他乘？我给他 展出来就二分之一和这个整体 x 减六的平方乘，就二分之一倍的 x 减六的平方，加上二分之一乘以六就变成了加三，这样是不是就换成了 a 倍 a 倍括号 x 减 h 的平方加 k 的形式，这样我们才大功告成了，对不对？好，这是我们整个配方是把这个从一般形式就变成了我们这个顶点形式的，那么我们来想一想配方的方法以及步骤是什么呢？ 我们来看一下我们刚才你知道刚才是怎么配方的吗？我们第一步是不是提出来了他这个二二字像系数啊， 提出来这个二分之一，把它变成了 x 的平方，减十二， x 加上四十二，对不对？一提好，然后接下来是不二配，我配的时候是不是相当于 加的是这个一一次项系数一半的平方，是不是加六的平方，再减六的平方保持不变，再加上四十二，然后最后我们再经过进行整理，是不三化，我们把它化成顶点式，进行了整理之后是不是就变成了这个式子？ 所以说我们配方的三个步骤啊，一提提的是二次项系数，二配配的就是完全平方式，配的是加的是一次项系数一半的平方，你同时加了，你还要同时减，去保证这个式子大小保持不变， 最后我们再经过化减，化成这个 y 等于 a 倍括号 s 减 h 的平方加 k 的形式，这就是我们 通过配方把它得到了好，那老师给大家做个提示，通常我们在配方后的表达是，我们通常称为配方式或者是顶点式好，就是相当于这个式子，我们通常把它叫做配方式或者是顶点式 好。那么老师还有问题啊，我们来看，那么我们方才画的这个二次函数，二分之一倍 x 减六的平方加三，我们是可以看作由咱们这个函数它是怎么拼一得到的呢？它是不是就相当于是我们那个由二分之一 a 倍 x 平方怎么拼一得到的？我们来看一下， 在这边他 x 减了，我们知道左加右减，他一旦减了，你是不是相当于是往右移了，往右移几个呢？他减六是不是相当于往右移六个？好， x 管左右，是不是后面这个 k 管上下，那 k 等于三，他是大于零的， 大于零是不是往上移啊？加三是不是相当于往上移了三个？那这样咱们是不是把那个平移的知识点又复习了一下，我们是先把这个二分之一 x 平方先向右平移六个单位，再向上平移三个单位得到的啊，我们平移的知识点不要忘记了， 那么请同学们，请问同学，你能说出来咱们这个 y 等于二分之一啊，括号 x 减六的平方加三，它的对称轴以及顶点坐标吗？ 我们来看一下在这里面它的对称轴，我们知道对于 a 倍括号 x 减 h 的平方加三，就对于顶点式的这种形式，咱们对称轴是不是相当于直线 x 等于 h， 那个顶点坐标是不是 h k 啊？ 那这样的话，咱们这里面 h 是不对应的就是六， k 是不对应，就是咱们这个三是不？我们可以很容易的就借助咱们顶点式前面所学的这个知识 点，我们就把这个二次函数给他这个对称轴以及顶点坐标，咱们就求出来了。好，是直线还有等于六啊，大家一定要注意一下，顶点坐标是六三，我们还我们这节课目标是不是还要学会画咱们这个一般形式的这个图像， 对不对？我们前面所学的画图像是不是首先列表，列表对不对？列表我们一般先看的是 x 的取值范围，如果他是一个任意时数的话，我们速度从零开始取。 但是今天啊，我们因为给它画成了咱们这个 y 等于二分之一 x 减六的平方 加三的形式，给它画成了顶点式，我们这个时候取的时候就不从零开始取了，那么从哪开始取？我们知道它的对称轴是不是 x 等于六啊？我们来看在这 x 等于六， 好，这是它的对称轴，我们知道对称轴是一个图像最中间的那个部分，那么我们左右两边是不是关于这个对称轴是对称的，那我们取的时候就从 x 等于六，相当于从它的最中间开始取，它最中间就不是零了，它是六，它是六啊，好，我们来看一下， 从六开始取，往从六往左边去，再往右边去啊，当然他这个，当然啊，他这个呢， x 取值也是无限大的，对不对？所以我们要有省略号。 好，我们先用图形的对称性列表，我们一定要注意，我们最中间啊，是从六开始取的，就从他对称九十等于的那个值开始取，这是我们画成了顶点式之后他的一个取点的小技巧哈，然后往左边取，然后往右边取，好均匀对称的取啊，我们利用他对称性来列表，这样的话我们就 k 来秒点连线， 好，我们用平滑的曲线将其连接，为什么要从六开始取啊？跟大家说一下，因为 我们要知道你可能取的点的时候，比如说你一取那个零，你取一二三四五六，嗯，一二三四五，负一，负二，负三，负四，负五，对吧？你这样一取的话，你是不是画的这个图像全部都在溜的这个左侧，那你整个的图像是不是就画不完整了，对不对？所以说咱们就要 取最中间的那个取啊，从画成顶点式之后，我们就从最中间的那个部分开始取，从六开始取，往左取，往右取，这样的话咱们才能保证画的是一个完整的这个图像。 好，那我们结合这个二次函数，我们刚才画的这个图像，我们来说一说它的性质吧。我们知道 x 等于六，是不是它的对称轴，我们发现在对称轴的左侧，是不？ 他图像一直呈下降趋势，而在对应指的右侧，他的图像是不是呈这个上升趋势？单调性对不对？一个是单调减，一个是单调增。 好，我们来看一下，那我们用我们的数学语言来总结一下，在左侧的时候是不是就相当于是 x 小于六的时候，在右侧的时候是不是 x 大于六的时候？那我们来看一下，当 x 小于六的时候， y 是随 x 增大而增大的 啊， y 是属于 x 的增大而减小的，然后在右侧的时候， y 是属于 x 增大而是增大的，你就看它是下降还是上升的，因为从中往右 x 是一直在增大的，你就看 y 是增大还是减小的就可以了。减小，增大，对吧？ 好，我们刚才啊，把这个 y 等于二分之一倍 x 的平方减六， x 加二十一，咱们把这个相当于是一个特殊的一般形式的二 函数画成了咱们那个形式。那么我们来推广一下，我们把一般形式 y 等于 a， b x 平方加 b， x 加 c 来画成我们这个顶点式，我们还是可以通过配方的方法来画。那具体的步骤我们先来讲解一下。好，我们还是用配方法啊， 好，配方，刚才老师讲过了，我们第一步是干啥呀？是不是第一步我们要提啊？提这个公因式，是不是把 a 提出来是不？ x 的平方，加上你 a 要想和这个乘以一个数得到 b， 你是不是相当于乘加上 a 分之 b 倍的 x， 对吧？后面这个 c 保持不动。 好，接下来我们看一下，你是不是我们相当于把这个题一题一题弄出来了之后，是不我们二配啊，对不对？好，二配的时候是不是加上他的这个二依次项系数一半的平方，他 一半是不是相当于是二 a 分之 b， 二 a 分之 b 加二， a 分之 b 的平方，是不是二 a 分之 b 的平方？好，那我们来看一下 好，配的时候，我们看啊，配的时候在这个一题啊，老师在这里把它写出来了，这是一题，题完了之后，我们配配的话，是在后面加上一次项系数一半的平方，然后同理你要减去这个一次项系数一半的平方，这样的话才能保持他这个大小保持不变。好，接下来我们是不是就开始 慢慢的进行整理？前面这个我给他画成了 a 乘以括号 x， 就是把它当成一个整体啊，把它当成一个整体换成了这个完全平方式，就是 x 加上二 a 分之 b 的平方。 后面这一部分我们来看一下，相当于是我 a 和他成了之后， a 是不是还要和他成好？我们来看一下这个 二 a 分之 b 的平方是不是相当于是四 a 的平方？分之 b 的平方好，是不是相当于 a 要和他再进行乘一次，把他站，把他站出来，那他把他站出来之后，我们来看 a 和平方约掉，就是变成了减去四 a 分之 b 的平方，后面的加 c 啊，咱们依次挪下来， 那我们知道咱们是要化成顶点式，是不是？这这后面这个要放成一整个 k， 一整个 k， 我们再把四 a 分之 b 的平方加上 c， 咱们把它化减一下， 就相当于是减去四 a 分之 b 的平方 c， 咱们要要给他通分，对不对？好，就加上四 a 分之四倍 a c， 这样的话这个值才保证的是等于 c， 对吧？然后接下来我们来看，我把他俩换个位置，就相当于是加上就是四 a 分之四倍 a， c 减去，我把这个减放到后头啊，减去四 a 分之 b 的平方，我们然后我们分母保持不变，是四 a 分子相加减是四倍 ac 减去 b 的平方，所以我们前面这个部分不动，后面这个整个部分老师就给他换成了四 a 分之四倍 ac 减 b 的平方。 好，我们整个的式子就换成了咱们等于 a 倍 x 减 h 的平方加 k 的形式，我们就把这个顶点式化成功了，还是利用了咱们一提二配三化减， 好，一起二配三画啊，是咱们这个画一般是画顶点式的这个步骤，那咱们画这个顶点式他有啥用？我们来看一看，我们把这个二字，二字函数，他通过配方画成了这个形式， 对不对？画成了这个形式来看，我们来看这里面就相当于是 a 乘以 x 减 h 的平方加上 k， 那同学们来对应一下，那我在这里面我的这个 k， 因为他是加上二 a 分之 b， 那我是减去 h， 那是不对应的，我的 h 就等于这个负的二 a 分之 b， 我的 k 是不就等于这个后面这一整个部分是不是四 a 分之四倍 ac 减去 b 的平方， 那么我就直接可以得到我 x 不是我的对称轴，不是 x 直线 x 等于 h 吗？我就可以说，那我的对称轴就是直线 x 等于负二分之 b， 为啥呀？因为我 h 就等于负二分之 b， 所以说咱们就得到他的对称轴，那顶点坐标，那顶点坐标横坐标就是我对称轴，那个去时对不对？重坐标就是咱们这个 k hk， 对吧？ 好，写这些有啥用啊？老师给大家举个例子，就是下次如果我们再直接他给出了一个一般形式的二次函数，我们可以利用咱们这个系数直接求出他的对称轴以及顶点坐标。比如老师举个例子，就 y 等于二倍 x 的平方减 x 减 减一，我们来看一下，那这个时候我们要想求他的对称轴对称轴，是不是我们说了，刚才说 x 等于负的二 a 分之 b， 我就直接把这个 a 和 b 带进去，这里 a 是二， b 是负一，那就等于负的二乘以二分之负一，那直接我的对称值我就得到了，等于四分之一，我就不用再通过配方这种形式， 我直接就利用他这个公式，我套一下，我就把它对称轴给套出来了，只要知道 a、 b、 c 这个系数好，同理，我来求他顶点坐标，顶点坐标我们知道第一个他是那个负二，二， a 分之 b 是 x 对称对称轴取的那个值，对不对？那就相当于是四分之一，我们刚才已经算出来了，好，代入，那我们求他这个四 a 分之四倍 ac 减去 b 的平方，那四 a 分之 四倍 a， c 减 b 的平方，我们来看 a 是不二，对不对？好，四倍 a、 c， 我们看四乘以二， c 是负一，好，减 b 的平方，减 b 的平方是负一的平方，我们来看一下就变成了 二四得八，八分之是负八，减一是不负九，所以说他的这个重坐标就是负的八分之九，我们只要掌握了这个 公式对不对？咱们可以直接套啊，套进来之后就可以求他的对称轴和顶点坐标。好，我们来看一个例题，用配方画 顶点式法和公式法来求咱们这个二次函数，他的对称轴以及顶点坐标，那就相当于是我们要这两种方法，咱都得会掌握，对不对？好，我们来看配方化顶点式就是咱们配方法。配方法，那第一步是不是老师说了，咱们提 二四项系数，把二提出来，二提出来之后，我们来看他和他是不是跟咱们这个原来的式子保持不变，对不对？二提出之后他要缩小，缩小而被好。接下来是不是开始配配的时候加上四，加上四是加了这个一次项系数一半的平方好减去八是怎么来的啊？本来这个式子他 配的时候，他是不是因为加上四了？加上四他后面是不是得加减去四才能和这个式子保持平衡？所以前面他把它当做一个这个整体，后面这个二乘以负四啊，他直接就挪到外头来了，他直接是成 到外头来了。好，接下来我们就把它进行整理一下，这个咱们就变成了完全平方式，后面减八加七就变成了减一，我们就给他画成了 就这就相当于是 a 倍的 x 减 h 的平方加 k 的形式。好，这样的话咱们这个对称轴以及顶点坐标咱们就很好看了，它就是 x， 直线 x 等于二，就是它的那个对称轴，顶点坐标就是二，负一就是 h k。 好，这第一种解法，那第二种解法，咱们这个是用公式法，对不对？咱们是套这个公式，那我们来看一下公式， 咱们刚开始学啊，怕有些忘记了，老师在这里做个提醒。好，对称轴是 x 直线 x 等于负的二， a 分之 b， 对不对？我们带进去负的二 a 分之 b， 负二乘以二 b 的话就是负八。好，负八除以四好，就是负八除以负四，是吧？ x 就等 等于二，那对称轴是不是直接咱就可以套出来了？好，然后接下来我们来求这个他的这个，嗯，顶点坐标，顶点坐标，那我们知道他是二，对不对？接下来我们就把这个纵坐标我们来求，那就是四乘以二分之四乘以二乘以七，减去负八的平方。 好，我们看就是八七八五十六五十六减去六十四是不负八，负八除以八是不负一，所以这咱们这个顶点坐标咱们也求出来了，这两种方法啊，大家都要会掌握，都要会啊。好，我们来做一个小结， 咱们今天所学的这个一般形式的二次函数， y 等于 a 倍 x 平方加 b， x 加 c， 它的图像和性质好。首先我们还是看咱们这个 a 啊， a 大于零，开口朝上， a 小于零，开口朝下， 这个我们讲过很多次了，顶点坐标就是给了你一个一般形式之后，你可以利用这个公式，我们直接把它给套出来，套出来好，就是咱们这个顶点坐标好。对称九，就是 x 等于负二， a 分之 b， 也就是他顶点坐标这个横坐标的曲值。 只要知道你这个一般形式的 abc 啊，我们直接套公式就可以出来了。增减芯在对称轴的左侧 y cl 增大而减小，对称轴右侧 ycl 增大而增大。老师给大家简单举个例子， 这是 a 大于零的对不对？ a 大于零的，然后我们来看一下他，他是在对称指的左侧是不是递减的，他随着 l 增大，他反而减小，右侧他随着 l 增大，他反而增大。 好，他也增大啊！右圆同理啊，当 a 小于零的时候，在 l 轴的左侧 y c， l 增大而增大，在右侧 y c， l 增大而减小，其实也就是我们的 最值，最值就是相当于他的那个顶点啊，就是说你看你看，如果是大于零的时候，他不是最低点，如果小于零的时候，他不是最高点，他们的最值，他们俩的极值其实是一样的啊。怎么说呢，就是说当 x 等于负二， a 分之 b， 也就是在相当于对称轴的那个 x 取值的时候， y 他取这个是取的是最小值，这个取的是最大值，但是他俩那个值他都是一样的，就等于四 a 分之四倍 ac 减 b 的平方，也就是顶点坐标的这个纵坐标，只是说对于他来说他是最小的，对于他来说他是最大的，你看他的开口方向是朝上还是朝下？ 好，我们再来。最后我们再总结一下咱们这个一般式画这个顶点式，你可以通过配方，也可以通过这个公式套公式，对吧？咱们都可以得出 一般形式下的顶点和对称轴，咱们分别就是这两个。好，你这两种方法咱都要掌握啊。好，今天咱们的课程就讲到这里，同学们记得来评论区完成老师的作业，我们下节课见。

同学们，我是来自北京师范大学附属中学的曲强老师，今天我们一起学习二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c 的图像和性质。 上节课我们学习了二次函数 y 等于 a 倍的 x 减 h， 叉的平方加 k 的图像和性质。 那么现在我们一起来回忆一下前面所学习的基本知识。 当 a 大于零时，抛物线的开口方向向上，顶点坐标为 h， k 对称轴为 x 等于 h。 当 a 小于零时，开口方向向下，顶点坐标为 h， k 对称轴为 x 等于 h。 函数的增减性。 如果 a 大于零，当 x 小于 h 时， y 随 x 的增大而减小。当 x 大于 h 时， y 随 x 的增大而增大。如果 a 小于零， 当 x 小于 h 时， y 随 x 的增大而增大。当 x 大于 h 时， y 随 x 的增大而减小。比如， 抛物线 y 等于负二倍的 x 加二和的平方减四的开口方向向下，对称轴为 x 等于负二，顶点坐标为负二负四。 当 x 小于负二时， y 随 x 的增大而增大。当 x 大于负二时， y 随 x 的增大而减小。 这节课我们一起来学习二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c 的图像和性质。 根据我们前面所学习二字函数 y 等于 a 倍的 x 减 h， 叉的平方加 k 的图像和性质的方法，我们应该先画出二字函数 y 等于 a 倍 x 方加上 b， x 加 c 的图像。然后我们根据所画图像的特征，归纳总结出二字函数的相关性质。 那么我们如何画出二次函数外等于 a， x 方加 b， x 加 c 的图像呢？我们想一想，我们研究过哪些形式的二次函数的图像和性质？ 我们前面研究过形，如二次函数 y 等于 a， b 的 x 方， y 等于 a 倍的 x 方加 k， y 等于 a 倍的 x 减 h， x 的平方，以及 y 等于 a 倍的 x 减 h， x 的平方 方加 k 的二次函数的图像和性质。那么我们想一想，我们能不能把二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c， 转化成为 y 等于 a 倍的 x 减 h， 叉的平方加上 k 的形式呢？ 我们如何把二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 转化成为 y 等于 a 倍的 x 减 h， x 的平方加 k 的形式？ 我们观察一下这两个二次函数解析式的特点。我们发现把二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c， 转化成为 y 等于 a 倍的 x 减 h， 括号的平方加 k 的形式需要有一个配方的过程。 我们想一想，我们在以前学习 e r s 方程解法这一节知识的时候，学过一种 e r s 方程的解法，叫做配方法。那么我们下面一起来看一看配方法的解题基本过程。 我们以这个题目为例，用配方法解一，二字方程 二倍的 x 方减三， x 减四等于零，只需写出其中配方的相关步骤即可。 我们知道用配方法解 e v 二字方程的关键步骤是，当一个 e v 二字方程的二次项系数 为一的前提下，等式的两边同时加上依次项系数一半的平方，构成完全平方式，从而完成配方的过程。我们来看一看具体的解释过程。 第一步，移向，把长竖向移到方程的右边。第二步，二次向系数化为一。 根据等式的基本性质，等式两边同时除以二次项系数二，得到 x 方减二分之三， x 等于二。第三步，配方 根据等式的基本性质，等式两边同时加上依次项系数一半的平方，也就是 加上四分之三的平方，最后计算整理得到 x 减四分之三，差的平方等于十六分之四十一。 我们在配方的过程当中，首先要注意的是，第二步运用的是等式的基本性质，等式两边同时除以二次相吸数二， 在配方的时候运用的也是等式的基本性质，等式两边同时加上一次性系数一半的平方。 这两个步骤是配方法解 e、 r、 s 方程的关键步骤。我们要清楚这两个解题步骤所运用的基本原理。 那么我们看看怎么把二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c， 转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h， 叉的平方加 k 的形式。 我们以这个题目为例，把二次函数 y 等于二倍的 x 方减去三， x 减四，转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h， 叉的平方加 k 的形式，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标。 同学们可以想一想，用配方法解 ur 方程和二次函数的配方。我们刚才提到的两个关键步骤，处理问题的方式有没有不同？我们知道方程是含有未知数的等式， 用配方法解一二字方程，二 x 方减三， x 减四等于零，二次项系数化为一，这一步运用的是等式的基本性质，等式两边同时除以二， 而二次函数 y 等于二， x 方减三， x 减四的配方是将二 x 方减三， x 减四，横等变形，提出二次项系数二。 这些关键步骤当中的处理问题方式的不同是我们一定要注意的。 我们来看一看这道题目的具体解题过程。第一步，把二 x 方减三， x 减四， 横等变形提出二次项系数二等于二倍的 x 方减二分之三， x 减二。 第二步，配方在括号内加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，最后计算化解 得到二倍的 x 减四分之三，差的平方减去八分之四十一。我们来看一看配方的过程， 这一步和配方这一步运用的都是代数式的横等变形，而由此 二次函数 y 等于二， x 方减三， x 减四，就转化成为 y 等于二倍的 x 减四分之三，差的平方减八分之四十一。 所以抛线的对称轴为 x 等于四分之三，顶点坐标为四分之三，负八分之四十一。 根据刚才的学习，我们应该掌握了把二次函数 y 等于 a 倍的 x 方 加上 b， x 加 c， 转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h， x 的平方加上 k 的形式。下面我们通过两个练习来巩固一下我们前面所学习的知识， 把下列二次函数转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h， 叉的平方加上 k 的形式，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标。 第一题， y 等于二分之一倍的 x 方减四， x 减三。第二题， y 等于负三倍的 x 方减六， x 我们先来看第一题， y 等于二分之一倍的 x 方减四， x 减三。 我们把二分之一 x 方减四， x 减三，提出二次项系数二分之一 等于二分之一倍的 x 方减八， x 减六。第二步，配方，我们在括号内加上一次项系数一半的平方，减去一次项系数一半的平方。 最后通过计算整理得出 y 等于二分之一倍的 x 减四，叉的平方减去十一。 所以抛物线呢，对称轴为 x 等于四点点，坐标为四负十一、 第二题，我们把负三 x 方减去六 x， 提出二次项系数负三等于负三倍的 x 方加上二 x， 然后我们在括号内加上依次项系数一半的平方，再减去依次项系数一半的平方，最后计算整理得到 y 等于负三倍的 x 加一，括号的平方加上三。所以 抛物线呢，对称轴为 x 等于负一，顶点坐标为负一。三、 通过刚才三到二次函数的 解题过程，我们发现，虽然二次函数的解析式不同，但是配方的方法是一样的。 所以我们能不能利用刚才的方法说一说抛线 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c 的对称轴和零点坐标， 我们看一看。根据我们刚才讲的方法， 我们把 a x 方加 b， x 加 c， 提出二次项系数 a 等于 a 倍的 x 方加 a 分之 b， x 加上 a 分之 c。 然后配方我们在 括号内加上依次项系数一半的平方，也就是二 a 分之 b， 括号的平方，再减去二 a 分之 b， 括号的平方。最后我们计算整理 二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 转化为 a 倍的 x 加上二， a 分之 b 和的平方加上四， a 分之四， a， c 减 b 方。 所以抛物线的对称轴为 x 等于负二， a 分之 b， 顶点坐标为负二， a 分之 b。 四， a 分之 c， c 减 b 方。 通过我们刚才的计算，我们发现二次函数的配方其实和二次函数的二次项和一次项有关， 所以呢，这个地方我们也可以这样来进行配方。 我们只对 a x 方加 b， x 的二次项和一次项提出二次项系数 a 等于 a 倍的 x 方，加上 a 分之 b， x 再加上 c 配方的时候，我们在括号内加上依次向系 数一半的平方及二 a 分之 b 括号的平方，再减去二 a 分之 b 括号的平方，最后再加上 c。 然后通过计算整理，我们得到 y 等于 a 倍的 x 加上二 a 分之 b 和的平方，加上四 a 分之四 a， c 减 b 方。 这两种配方的方式都可以把二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h 差的平方加上 k 的形式。 根据刚才的推理，我们 知道抛线 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c 的对称轴为 x 等于负。二 a 分之 b， 顶点坐标为负二 a 分之 b。 四、 a 分之四 a， c 减 b 方。 我们发现抛物线的对称轴和顶点坐标的表达式 与 a、 b、 c 的取值有关。所以我们知道了一个二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 我们也可以利用这个结论来求出二次函数的对称轴和顶点坐标，比如 求抛线外等于负三倍的 x 方减五 x 加一的对称轴和零点坐标。 我们观察二次函数的解析式，我们可以得到二次函数的二次项系数 a 等于负三 e 次项系数 b 等于负五长数项 c 等于一。 我们利用刚才的结论可以得到抛线的对称轴为 x 等于负二， a 分之 b 代入 a， b 的值计算得到 x 等于负六分之五，所以 抛线的对称轴为 x 等于负六分之五。抛线的顶点的横坐标为负二， a 分之 b 也为负六分之五。 抛线顶点的纵坐标为四， a 分之四， a， c 减 b 方。我们带入 a、 b、 c 的值 计算得出十二分之三十七，所以 抛线 y 等于负三倍的 x 方减五， x 加一的零点坐标为负六分之五十二分之三十七。 这节课我们学习和研究 出了把二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c， 转化成为 y 等于 a 倍的 x 减去 h， x 的平方加上 k 的形式。 那么在配方的过程当中， e 用二次方程运用的是等式的基本性质，而二次函数的配方是代数式的横等变形。 在学习把二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 转化成为 y 等于 a 倍的 x 减 h， x 的平方加 k 的形式。以后 再去研究二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c 的图像和性质。这种 转化的数学思想在我们以后学习数学当中起着很重要的作用，我们在课后应该巩固一下今天我们所学习的知识，我们做两个小练习。 练习一，回顾用配方法解 e 二次方程和用配方法把二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h 叉的平方加 k 的形式的基本过程。 练习二，把下列二次函数转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h 叉的平方加 k 的形式， 并指出抛物线的对称轴和顶点坐标。这节课我们就学习到这里，同学们，再见。

关于二次函数，你应该知道的基本知识，二次函数的一般形式我们写为， y 等于 a， x 方加 bx 加 c， 而不等于零。 a 为二次项系数， b 为一次项系数， c 为常数项。 当 a 小于零时，函数，图像开口向下。当 a 大于零时，函数，图像开口向上。 a 的绝对值越大，则函数图像及抛物线的开口越小。 a 的绝对值越小，则抛物线的开口越大。 抛物线。关于直线 s 等于负的二 a 分支笔对称二次向系数 a 和一次向系数 b 共同决定对称轴的位置，对称轴与抛线唯一的焦点为抛线的顶 点点， 令 dirt 等于 b 方减四 a c。 当 dirt 大于零时，函数有两个零点，也就是 y 等于零时。一元二次方程有两个不同的实数根。 当 deta 等于零时，函数有一个零点方程有两个相等的实数根。当 deta 小于零时，函数没有零点方程没有实数根。我们再来看看一元二次方程的根。 当得体大于等于零时，函数有两个零点，两个跟满足这样的关系，两个之和等于负， a 分之 b， 两根之 g 等于 a 分之 c。 这就是维达定理，可以通过求根公式验证两根的关系。

同学们，我是来自北京师范大学附属中学的徐强老师，今天我们一起学习二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c 的图像和性质。 上节课我们学习了二次函数 y 等于 a 倍的 x 减 h， 叉的平方加 k 的图像和性质。 那么现在我们一起来回忆一下前面所学习的基本知识。 当 a 大于零时，抛物线的开口方向向上，顶点坐标为 h， k 对称轴为 x 等于 h。 当 a 小于零时，开口方向向下，顶点坐标为 h， k 对称轴为 x 等于 h。 函数的增减性。 如果 a 大于零，当 x 小于 h 时， y 随 x 的增大而减小。当 x 大于 h 时， y 随 x 的增大而增大。如果 a 小于零， 当 x 小于 h 时， y 随 x 的增大而增大。当 x 大于 h 时， y 随 x 的增大而减小。比如， 抛物线 y 等于负二倍的 x 加二和的平方减四的开口方向向下，对称轴为 x 等于负二，顶点坐标为负二负四。 当 x 小于负二时， y 随 x 的增大而增大。当 x 大于负二时， y 随 x 的增大而减小。 这节课我们一起来学习二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c 的图像和性质。 根据我们前面所学习二字函数 y 等于 a 倍的 x 减 h， 叉的平方加 k 的图像和性质的方法，我们应该先画出二字函数 y 等于 a 倍 x 方加上 b， x 加 c 的图像。然后我们根据所画图像的特征，归纳总结出二字函数的相关性质。 那么我们如何画出二次函数外等于 a， x 方加 b， x 加 c 的图像呢？我们想一想，我们研究过哪些形式的二次函数的图像和性质？ 我们前面研究过形，如二次函数 y 等于 a， b 的 x 方， y 等于 a 倍的 x 方加 k， y 等于 a 倍的 x 减 h， x 的平方，以及 y 等于 a 倍的 x 减 h， x 的平方 方加 k 的二次函数的图像和性质。那么我们想一想，我们能不能把二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c， 转化成为 y 等于 a 倍的 x 减 h， 叉的平方加上 k 的形式呢？ 我们如何把二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 转化成为 y 等于 a 倍的 x 减 h， x 的平方加 k 的形式？ 我们观察一下这两个二次函数解析式的特点。我们发现把二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c， 转化成为 y 等于 a 倍的 x 减 h， 括号的平方加 k 的形式需要有一个配方的过程。 我们想一想，我们在以前学习 e r s 方程解法这一节知识的时候，学过一种 e r s 方程的解法，叫做配方法。那么我们下面一起来看一看配方法的解题基本过程。 我们以这个题目为例，用配方法解一，二字方程 二倍的 x 方减三， x 减四等于零，只需写出其中配方的相关步骤即可。 我们知道用配方法解 e v 二字方程的关键步骤是，当一个 e v 二字方程的二次项系数 为一的前提下，等式的两边同时加上依次项系数一半的平方，构成完全平方式，从而完成配方的过程。我们来看一看具体的解释过程。 第一步，移向，把长竖向移到方程的右边。第二步，二次向系数化为一。 根据等式的基本性质，等式两边同时除以二次项系数二，得到 x 方减二分之三， x 等于二。第三步，配方 根据等式的基本性质，等式两边同时加上依次项系数一半的平方，也就是 加上四分之三的平方，最后计算整理得到 x 减四分之三，差的平方等于十六分之四十一。 我们在配方的过程当中，首先要注意的是，第二步运用的是等式的基本性质，等式两边同时除以二次向西数二， 在配方的时候运用的也是等式的基本性质。等式两边同时加上一次性系数一半的平方。 这两个步骤是配方法解 e、 r、 s 方程的关键步骤。我们要清楚这两个解题步骤所运用的基本原理。 那么我们看看怎么把二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c， 转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h， 叉的平方加 k 的形式。 我们以这个题目为例，把二次函数 y 等于二倍的 x 方减去三， x 减四，转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h， x 的平方加 k 的形式，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标。 同学们可以想一想，用配方法解 ur 方程和二次函数的配方。我们刚才提到的两个关键步骤，处理问题的方式有没有不同？我们知道方程是含有未知数的等式， 用配方法解一二字方程，二 x 方减三， x 减四等于零，二次项系数化为一，这一步运用的是等式的基本性质，等式两边同时除以二， 而二次函数 y 等于二， x 方减三， x 减四的配方是将二 x 方减三， x 减四，横等变形，提出二次项系数二。 这些关键步骤当中的处理问题方式的不同是我们一定要注意的。 我们来看一看这道题目的具体解题过程。第一步，把二 x 方减三， x 减四， 横等变形提出二次项系数二等于二倍的 x 方减二分之三， x 减二。 第二步，配方在括号内加上依次项系数一半的平方，再减去依次项系数一半的平方，最后计算化减， 得到二倍的 x 减四分之三，差的平方减去八分之四十一。我们来看一看配方的过程， 这一步和配方这一步运用的都是代数式的横等变形，而由此 二次函数 y 等于二， x 方减三， x 减四，就转化成为 y 等于二倍的 x 减四分之三，差的平方减八分之四十一。 所以抛线的对称轴为 x 等于四分之三，顶点坐标为四分之三，负八分之四十一。 根据刚才的学习，我们应该掌握了把二次函数 y 等于 a 倍的 x 方 加上 b， x 加 c， 转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h， x 的平方加上 k 的形式。下面我们通过两个练习来巩固一下我们前面所学习的知识， 把下列二次函数转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h， x 的平方加上 k 的形式，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标。 第一题， y 等于二分之一倍的 x 方减四， x 减三。第二题， y 等于负三倍的 x 方减六， x 我们先来看第一题， y 等于二分之一倍的 x 方减四， x 减三。 我们把二分之一 x 方减四， x 减三，提出二次项系数二分之一 等于二分之一倍的 x 方减八， x 减六。 第二步，配方，我们在括号内加上一次项系数一半的平方，减去一次项系数一半的平方，最后通过计算整理得出， y 等于二分之一倍的 x 减四，叉的平方减去十一。 所以抛物线呢，对称轴为 x 等于四，顶点坐标为四，负十一、 第二题，我们把负三 x 方减去六 x， 提出二次项系数负三等于负三倍的 x 方加上二 x， 然后我们在括号内加上依次项系数一半的平方，再减去依次项系数一半的平方，最后计算整理得到 y 等于负三倍的 x 加一，括号的平方加上三。所以 抛物线呢，对称轴为 x 等于负一，顶点坐标为负一。三、 通过刚才三到二次函数的 解题过程，我们发现，虽然二次函数的解析式不同，但是配方的方法是一样的。 所以我们能不能利用刚才的方法说一说抛线外等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c 的对称轴和零点坐标， 我们看一看。根据我们刚才讲的方法， 我们把 a x 方加 b， x 加 c， 提出二次项系数 a 等于 a 倍的 x 方加 a 分之 b， x 加上 a 分之 c。 然后配方我们在 括号内加上依次项系数一半的平方，也就是二 a 分之 b， 括号的平方，再减去二 a 分之 b， 括号的平方。最后我们计算整理 二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 转化为 a 倍的 x 加上二， a 分之 b 和的平方加上四， a 分之四， a， c 减 b 方。 所以抛物线的对称轴为 x 等于负二， a 分之 b， 顶点坐标为负二， a 分之 b。 四， a 分之 c， c 减 b 方。 通过我们刚才的计算，我们发现二次函数的配方其实和二次函数的二次项和一次项有关， 所以呢，这个地方我们也可以这样来进行配方。 我们只对 a x 方加 b， x 的二次项和一次项提出二次项系数 a 等于 a 倍的 x 方，加上 a 分之 b， x 再加上 c 配方的时候，我们在括号内加上依次向吸 数一半的平方及二 a 分之 b 括号的平方，再减去二 a 分之 b 括号的平方，最后再加上 c。 然后通过计算整理，我们得到 y 等于 a 倍的 x 加上二 a 分之 b 和的平方，加上四 a 分之 c， a、 c 减 b 方。 这两种配方的方式都可以把二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h 叉的平方加上 k 的形式。 根据刚才的推理，我们 知道抛线外等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c 的对称轴为 x 等于负。二 a 分之 b， 顶点坐标为负二 a 分之 b。 四、 a 分之四 a、 c 减 b 方。 我们发现抛物线的对称轴和顶点坐标的表达是 与 a、 b、 c 的取值有关。所以我们知道了一个二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 我们也可以利用这个结论来求出二次函数的对称轴和顶点坐标，比如 求抛线外等于负三倍的 x 方减五 x 加一的对称轴和零点坐标。 我们观察二次函数的解析式，我们可以得到二次函数的二次项系数 a 等于负三 e 次项系数 b 等于负五，常数项 c 等于一。 我们利用刚才的结论可以得到抛线的对称轴为 x 等于负二， a 分之 b 带入 a， b 的值计算得到 x 等于负六分之五，所以 抛线的对称轴为 x 等于负六分之五。抛线的顶点的横坐标为负二， a 分之 b 也为负六分之五。 抛线顶点的纵坐标为四， a 分之四， a、 c 减 b 方。我们带入 a、 b、 c 的值 计算得出十二分之三十七，所以 抛线外等于负三倍的 x 方减五， x 加一的零点坐标为负六分之五十二分之三十七。 这节课我们学习和研究 了把二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c， 转化成为 y 等于 a 倍的 x 减去 h， x 的平方加上 k 的形式。 那么在配方的过程当中，一元二次方程运用的是等式的基本性质，而二次函数的配方是代数式的横等变形。 在学习把二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 转化成为 y 等于 a 倍的 x 减 h， x 的平方加 k 的形式以后 再去研究二次函数 y 等于 a 倍的 x 方加 b， x 加 c 的图像和性质。这种 转化的数学思想在我们以后学习数学当中起着很重要的作用，我们在课后应该巩固一下今天我们所学习的知识，我们做两个小练习。 练习一，回顾用配方法解 e 二次方程和用配方法把二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 转化为 y 等于 a 倍的 x 减为 h 叉的平方加 k 的形式的基本过程。 练习二，把下列二次函数转化为 y 等于 a 倍的 x 减 h 叉的平方加 k 的形式， 并指出抛物线的对称轴和顶点坐标。这节课我们就学习到这里，同学们，再见。