九上成比例线段反思

大家有没有注意过这个一本书的翻开这一面的，这这些信息有没有注意过？没有啊，在这一栏信息里边有一个开本的信息啊，也就是说 在咱们九年上册书本上会有这样一信息，说是开本，这是什么含义呢？你知道吗？ 长头发，长头发。好，来，叔叔看了啊，来，麻烦你说说，可能是梳子上的长发，可能是啊，好，坐下啊。拍。一名同学， 那么十六开十六分之一是什么意思？大家有没有了解过？还有十六开，八开，四开，他们之间 这些纸张都有什么关系？有没有思考过？没有啊，好，那么学今天的课啊，大家会对这个问题有没有深入的了解，我们今天来学习成比例线段， 大家来观察一下图形啊，这些图形之间有什么关系啊？大小？一大一小，一大一小，然后呢？形状，形状，形状，形状是面部相仿的啊， 大小不同，形状相同。好，生活中是有这样很多的例子，有很多实体，这个几几何体，实物不行，他们大有大多， 多数都是形状相同，大小不同的是吧？啊，比如说车的模型，房子模型，玩具模型等，而这些物体我们是不是都可以抽象为数学中的几何问题，几何图形来研究， 是不是？是。那同学们来看一下图中的这些图形，有没有形状相同的图形？有，快速的连线来 好，左手回答，嗯，一七，然后，呃，三六四五， 你找的这些图形他们之间什么关系？呃，他们的大小不同，但是形状相同，形状相同，好，同意吗？同意不在啊，好，那我接着又要又要提一个问题了， 这些形状相同的图形中又有什么不同？你又如何去描述他们的大小关系呢？ 嗯， 好，朋友们来看这样一个 朋友，仔细观察这两个动画，观察完动画以后再回答我的问题。啊，这样的，我在这放了两个形状相同的五边形，是吧？啊，来，我们看看他们之间是什么关系， 你发现他们之间有什么样的关系？ 哎，怎么好吃啊？我发现他他们的形状相同，然后呢，随着这点运动，然后里面那个小的会逐渐变大，里面小的会逐渐变大，是吧？啊，那也就是说形状相同的图形， 形状相同的图形，刚才老师这个动画里面显示的一个动作，什么动作呢？将它将放大，对吧？啊？放大了都要外面这五边形。对，将大的图形缩 缩小会得到缩小，那么形状相同的图形，他们之间是不是可以经过放大或缩小，然后互相得到啊？好，那么再看。啊，还在观察这个放大缩小的过程中， 他们的边长发生什么变化了？从 c 开始小于 b a， 到慢慢就是 c a 等于 b a， c a 等于 b a。 那我再看。啊，我们的 c a 边长和 b a 边长， 他俩之间会有一个大小关系出来啊。对，随着放大的过程中， c a 边长是不是也随之放大了？是。哎，那么说明他们的这个边长 之对应边的笔直是不是在发生变化，是，对吧？啊？因此坐下我们可以用他们对应边的笔直来刻画他们的这种形状相同的关系大小关系，你们说是不是这道理？是，比如说 啊，比如说我们用 a b 比 a c 的比值， a b 与 a c 的比值 k b 值 k 来表示他们之间的大小关系是不是？对啊，这就让我们要想一想了。哎，两条线段的比怎么算？是什么？是不是？嗯，好。 两条线段的笔怎么算呢？ 如何得到 a b 比 a c。

嗨，同学，今天呢，和老师一起来学习九年级上册第四章图形的相似， 相似这一部分的内容呀，和我们前面所学习过的全等的内容同样的重要，极为的重要啊，极为的重要。在我们的中考当中啊，出现的频率太高了 啊，而很多同学呢，一遇到全能和相似呢，在几何部分呢，他他有困难，所以说今天我们一起来学习一下，希望这节课呢，对你的这一部分的学习有比较大的帮助。 好，首先呢，我们来看内容大纲，总共有四条，第一个呢是知晓线段的比的这个概念，会计算两条线段的比。第二个呢是知晓成比例线段的概念，整握成比例线段的判定方法。 第三，理解并掌握比例的基本性质和等比性质。第四，运用比例的性质呢，进行相关计算。这节课的内容呢，只涉及到一些基本的概念和基本的计算， 相对容易，相对容易，同学们注意听讲啊。好，首先我们从课本素材直接引入，在我们实际生活当中呢，经常会看到很多形状相同的图片，对不对？但是它大小不一样，大小不一样啊， 那么这些图片呢，就来源于我们课本上的这个原图，只在这里呢做了一个嫁接，这些图片的形状改变了吗？ 没有改变，一大一小对不对啊？大小改变了吗？大小是改变的对不对？那么我们有没有一种方式来描绘这些形状相同但 但是大小不一样的图片呢？他们之间有什么关系？怎么来描述？因为形状是相同的啊，那么怎么来描述他们之间大小关系呢？我们就引入了今天的这个比例的这个问题， 这个形状相同而大小不同的两个图形呢，较大的可以看成是由较小的放大得到的，较小的呢，可以看成是由较大的缩小得到的，对不对？那么放大缩小的这个过程当中啊， 我们其实图形的他所对应的这些线段也在放大和缩小，对吧？同学们，这个没有问题，很好理解啊。那么对于这些呃形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用它相对应的啊，在这里呢是相应线段 程度，就是相对应的线段的程度的比，来描述他们之间的大小的关系啊。我们来看一下这个，呃，这个图形和这个图形，你看相应线段，你看哪个是相应线段？其实在这里呢是对应线段的这个哈，你比如说这个和这个 他们是对应的，你不能拿这个去去比这个啊，当然你说老师他是正五边形，然后呢我说对应出来的是一样的，那么你起，那么你这个规律只符合于正多边形吗？ 他不是正多变形的话，就不满足这样的规律了吗？对不对啊？所以说呢，在这里一定要注意啊，相应相应线段的这个比啊，相应线段的这个比值 来描述他们之间的大小，因为我们不可能说图形怎么样，是吧？我们只能通过对应的线段测量它的长度，然后呢得到一个比值，我们不可能 呃去测一个这个行，这个图形的这个大小，对不对啊？究其一点来进行描述就可以了。 那么第一点呢，就是我们刚才的这个知识大纲里面的啊，两条线段的笔，如果选用同一程度单位量的两条线段 abcd 的程度分别是 m 和 n， 在这个需要注意一下，就是同一个程度单位， 就说你拿一个刻度尺去量，那么你量完 a、 b， 那么你拿同样的刻度尺去量 c、 d 啊，中间不要变，它有可能不一样，对不对？这样的你量出来的程度才是一样的啊，很好理解哈， 那么这两条线段的比就是他们长度的比，也就是说两条线段长度，两条线段的比是他们长度的比啊，你量出来的他们程度的这个比值啊，并不是说他们其 它的比值对不对啊？是它们之间长度的比值。长度，它这个是数字吗？数值的一个比值对不对？这样的话才和我们数学有关系，对不对啊？ 嗯，好，那么在这个概念里面呢，我们需要有很多的注意点，那注意点呃，在我们几何里面就是这个样子啊，我们学习第一章的时候我们也了解到啊，他这个小知识点呀，非常的多， 在这里呢，大家要注意听哈，注意听，区分清楚。那么第一点， a、 b 叫做线段笔的前向 a、 b， 你看这是不是两个，这是不是一个笔？ 那他是不是在前面？他是前象，这是不是在后面叫做后象啊？他写成这种样子的，上面的叫前象，后面的叫，下面的叫后象啊，这个要注意哈，别人家告诉你什么，呃，给你提了一个名字叫前象，你不知道前面的那一象 前向。第二条两条线段的笔实际上就是两个竖的笔，对不对？这个刚才说过了，因为你量出来的这个长度，它就是一个数数值吧。第三，求两条线段的笔是所使用的长度单位应该统一，对吧？你用米，你都都用米，你用厘米就都用厘米。 第四，在长度单位进行统一的时候，无论采用哪一种单位，笔直都是相同的，这什么意思呢？就说我把这些上下的这，我把两条线段的这个 单位呢，都长度都是用的米做的单位，那么你比值啊，你比如说等于二分之一啊，如果我都画成厘米，那么它的比值还是二分之一 啊，这个，呃，很容易理解，对吧？啊，因为他本身的这个程度没有发生变化，只是你的计量单位发生了一个变化，那么他们的比值不应不变。第五，虽然两条 线段的比要在单位统一的情况下进行，但是笔直却是一个不带单位的正数，肯定是正数没有问题啊，需要注意的就是他不带单位，不带单位。第六，笔直刻画的两条线段或者是两个图形的大小关系。 这个呢，咱们刚才说了啊，刚才说了我们不可能去测出来两个图形怎么样，对吧？但是他对应的某一条线段的程度啊，来代表他进行一个大小之间关系的一个比值就可以了，就可以。 好，这是这个概念需要注意的这些点哈，也比较容易理解啊，所以说我们在这里呢，简单的做一个练练一练。那么已知线段 a b 他是八厘米， a 撇 b 撇时两厘米，他们的单位长度是不是一样的？所以说我们在这里直接就可以进行比啊， a b 比成 a 撇 b 撇，那么就八比二，四比一嘛，对不对？那 那么它的比值是多少？四比一是不是一分之四？那么它的比值就是四嘛？它的这个值啊，那么 a、 b 就等于四倍的 a 撇、 b 撇，对吧？五边形 a、 b、 c、 d、 e 和 a 撇， b 撇， c 撇， d 撇 e 撇啊，形状相同啊， a、 b 等于五厘米， a 撇、 b 撇，你看 a、 b， a 撇、 b 撇，这是不是相对应的两条线段啊？然后呢，人家也没告诉你是正五边形，对吧？他们的两条线段长度已经测出来了，长度已经测出来，单位是相同的，那是不是就直接直接进行笔直就行了？ ab 比成 a 撇、 b 撇，那么他就等于 五比三的这样一个内容，对吧？这样的一个结果啊，那么他们的大小关系呢？就是五比三啊，对不对？这就表示他们之间啊，你比如说你是五五的这样一个大小啊，我是你下 相对应的这个三的这样一个大小，对不对啊？五分的大小，三分的大小，是不是很好理解哈？这个呢，呃，计算起来也比较简单啊，也比较简单。好，我们看第二部分的内容，就是课本的素材做一做哈，直接过来的。 那么设小方格的这个边长呀，它为，呃，唯一啊，唯一。那么四边形 a、 b、 c、 d 和四边形 e、 f、 g、 h， 它的顶点呢？都在这个格点上。那么 a、 b、 a、 d、 e、 f 和 e、 h 啊，它们的长度分别是多少？ 这个呢，比较好计算哈，比较好计算。你比如说在这里呢，我们能够啊，轻松地就得到 a、 b， 它是等于八的，这个 e、 f 是吧？它是等于四的，那么 a、 d， 它是等于二倍的，根号十的。我在 在这里就不用勾股经理给大家计算了哈，这个表，这个格子这种长度呢，很很常见，很常见，大家应该都会啊，那么在这里呢，我们就可以得到了这些程度之后怎么办？他让我们分别计算一下， a b 比成 e f， a b 比成 e f 等于二， ad 比成呃， e h 是不是也等于二？ 它等于二，它等于二。那么 a b 比成 a d 呢？ a b 比成 a d， a b 和 a d 是不是它等于？呃，这个根号十分之四，那我在这里这样写一下哈，我们在计算的时候呢，分母要对分母进行有理化的处理，对吧？啊？ 然后呢，我们在这里呢，只是看一下它的这个结果啊，刚好是，那么 e f 比上呃， e h 是不是也是四分之更好使？这样的话呢，我们就能得到 a b 比上 e f 等于 a d 比成 e h 的这样一个结果，对不对啊？ a b 比成 a d 也等于 e f 比成 e h 啊？我们发现了这个，我发现了他们的结论是一样的，哦，不对，我们发现了他们的值是相等的，对不对啊？两组两组是相等的， 这就是我们这个做一做的这样一个需要发现的内容。那么在这里结束了之后啊，结束了之后，我们需要对它进行总结，对吧？那么你说四条线段，我们刚才说线段的比的时候，是不是两条线段前项和后项进行比较就行了，那么你把四条线段放在一起 啊，他们相互之呃，前两个的比值等于后两个的比值啊？对，后两个比值。那么这是不是一个新的知识内容呢？就是我们今天所要学习的比例线段啊，成比例线 段，就是这样的四条线段， a、 b、 c、 d。 如果 a 与 b 的比等于 c 与 b， c 与 d 的比，那 g 就要 a 比上 b 等于 c、 b、 d， 那么这四条线段 a、 b、 c、 d 就叫做成比例线段，构成一定比例的线段， 成比例线段，在这呢，一看到成比例线段是四条，是四条， a， b， c， d， 四条才能构成哈，简称比例线段。就乘一定比例的这个线段啊，乘一定比例线段是四条哈，在这里一定要注意，是四条，在这里还要注意呢，就是他的顺序， a， b， c， d。 如果你四条线段写成 a， b， c， d， 那么你的这个比值就只能写 a 比 b 等于 c 比 d 啊。如果你要是 b， c， d， a， 那么你就必须写成 b 比 c 等于 d 比 a， 这样一个结果啊，这样一个结果， 千万是要注意他们之间的顺序，顺序哈，各个字母的顺序是存在的，通过刚才我们的那个上面的那个是吧？呃，就是前一页的那个计算题， 我们能够知道， a， b 呃， e f a d e h a b a， d， e， f， e， h 他们之间是有关系的，那么他们之间，如果说，根据我们上面的这个定义啊，只要满足四条线段，满足这样的一个比值关系，那么他们就是叫做成比例线段啊， 每条线段的值都已经有了，那么我们能够发现这些都是成比例线段，你自己还去研究一下，看看还存不存在其他的成比例线段的情况。也是同样的四条线段哈，你会发现新的结果和结论啊，在这里呢，我只举一部分，只举一部分。 好，这个作业呢，留给同学们哈，留给同学们，在这里呢，也一样，新的概念，我们再强调一下，注意点，第一， a、 b、 c、 d， 它叫做组成比例的像， 很好理解吧啊，我们刚才说我前向和 b 向，呃，后向，对吧？那么 a 与 d， a 与 d 在外面的叫做外向， b 与 c 在里面的叫做内向。我们在小学的时候就学习过啊，这样的一个成，呃，这个，呃，四个的这样一个比例，对吧？他们的外向之际等于内向之基 啊，我们在这里回顾一下哈，一呢是他们叫什么名字，二呢是他们这样的一个呃，数值关系。第二个呢，是当比例的内向相等的时候，比例的内向相等的时候，你比如说都是 b 或者都是 c， 那都相等的时候，那么 b 或者 c， 他就叫做 ad 的比例中项。比例中项啊，这起的这样一个名字哈，一起。呃，这个，如果题里面给你给你提到比例中项了，你要知道啊，两个外向， 两个内向，他是一样的，他们的平方呢，等于两个外向的，这个呃，他的平方等于两个外向的乘积。第三条，四条线的成比例是一定要注意他们的排列顺序，一定要注意他们的排列顺序，你看这个 这个，他的顺序是不一样的，那么他们写出来的结果也不一样，值也不一样，比值也不一样。好，所以说一定要注意排列顺序。我们随后呢，会有这样的一个训练题， 好，我们看第一题， a， b， c， d 啊，判断 a， b， c， d 是否构成。呃，比例线段，这是不是利用我们学习的知识就行了。既然你这 已经排好顺序了哈， a， b， c， d， 那么就是 a， b， b 嘛，六分之四，三分之二，对不对？那么 c， b， d， 呃，这个二分之一对吧，他俩不相等，不相等就不能构成比例线段啊，你看这样的题是不是很简单？第二题呢，就是甲乙两地相距三十五千米，图上的距离为七厘米，这种图的比例是多少？这个问题啊， 呃，使我们小学的那种哈，比例尺的问题，比在这里这种图的比例尺的时候，使我们这种图上距离比上实际距离，对不对？实际距离啊，你在这里要把这个铅笔画成什么？画成厘米一定要注意单位的问题 啊，这个黑更简单。那么第三题看一下啊，一至三个数，二四、六，添上一个数，是他们能构成一个比例式，能构成一个比例式， 能够让比例是什么意思啊？能够让他们成为成比例线段啊，能够使他们成为比例线段， 明白吗？因为我们刚才所学习的知识就是这个理解哈，你比如说老师，我假设这个数是 x， 我可以放在这个位置，因为他们是有顺序的吗？是，是吧，四个放在一起，他可以放在这个位置，他可以放在这个位置，他可以放在这个位置，有四个位置，明白吗？你需要有讨论四种情况， 讨论四种情况，它有不同的笔直，能够解出来不同的 x。 好，我不带着大家解了哈，因为这个解的非常简单，非常简单，其中呢，有重复的，所以说呢，结果呢？是三个，三个。 好，那么我们再看一下第三部分的内容哈，就是课本的素材意义啊，比例的基本性质，比例的基本性质。如果啊， 四个数， a、 b， c、 d 乘比例乘比例啊，那么接 a、 b、 b 等于 c 比 d， 那么 a、 d 等于 b、 c 吗？那么 a、 d 等于 b、 c 嘛，也就是交叉相乘，呃，也。呃，等于吗？你说等于？我小学就是这么学的啊。十字相乘，然后他们是相等的关系，为什么呢？ 现在能解答吗？根据我们等式的基本性质，我是不是跟他这种情况，我可以在两边同乘一个，呃，这个数，这个，这个叫什么？呃，一样的数，是不是我都乘以 b、 d 就行了嘛？ 我都乘以 b、 d， 那你这里一约一个 b， 这里约一个啊 d， 那是不是就成成为这样一个样子了？那么反过来，如果我知道了 a、 d 等于 b、 c， 那么 a、 b 他们四个呃数乘比例吗？肯定也乘嘛。我在这里逐 除以 b、 d， 对不对？要是来表示现端的话，你不可能为零，对不对？我们在这里呢也要求 a、 b、 c、 d 不为零是吧？啊？不为零哈， 好，那么这就是我们的基本性质的这样一个内容啊。如果它是这样比例的关系，那么它可以写成乘积的，如果它是乘积的，我们要约定，先约定 a、 b、 c、 d 都不为零，那么它可以有这样的比例关系，因为这个叫什么来着？因为。呃，在分母上它不能为零， 是不是啊？啊？他不能为零， 要是存在零的话，那就这个东西就不成立了，对不对啊？不成立了。好，在这里呢还有一个和比的性质啊。和比的性质，这里呢需要给大家总结一下哈。 呃，增加一下。你比如说我知道了 a 比 b 等于 c 比 d， 那么我能推出来它吗？ 还是利用等式的基本性质？等式的基本性质，我是不是在两边，在他的两边各加上一，这等式不变吧，各加上一，那么 b 分之 b 啊，这 d 分之 d 是不是就构成这个了？那么这个也一样啊，我两边都减去一， 是不是构成一个这个啊？这叫和比的性质，和分比的性质啊。我们在一些题里面会遇到这样的内容啊，会遇到这样的内容， 呃，在这里呢，我就不给大家呃，就是做详细的一个推推导了，因为这个推导的大家，呃并不难啊并不难。在这里呢，还要给大家留一个小作业啊留一个小作业就是这个，你自己推导一下 这个成立吗？证明一下这个成立不成立 看你自己证明一下这个东西成立不成立啊，成立不成立。 我在这里呢要告诉一下大家哈。呃，前面的这个式子，你在推倒的过程当中用等式的基本性质是可以满足的。同时呢还有一种方法，呃，有的资料上呢叫涉 k 法 啊，不知道你们学校叫什么？叫什么方法哈，你比如说第一个哈和比的性值，我 b 分之 a 等于 d， 分之 c 等于 d 分之 c， 我让它等于 k 等于一个数值，这样的话我能得到 a 等于 b， k， c 等于 d， k k 是一个数值。 note 到这样子吧，然后呢，我把这个 带进去， a 等于 b k 了，我把这个带进去，然后呢，他们都等于 k， 那么是不是他们是相等的，是不是啊？啊？这射 k 法啊， 注意去注意去研究一下啊，注意去研究一下啊，如果研究不清楚的啊，你可以私信老师或者是评论。好，那么第一个已知线段 a， b， c 满足这样的关系， a 比 b 等于 b 比 c， 那你看在这里是不是一样了，同学们，是不是一样了， 对不对？这是什么？ b， c 中向吧啊？ b， c 中向了，是不是？根据这个跟我们前面所学习的关系，我们知道 a， c 等于 b 方， 对吧？啊？ a， c 等于比方，那么呃，已知 a 比 b 等于，呃，这个三比二，那么 b 分之 a 加 b 啊，还有这个 呃 a 减 b 分之 a， 这是不是就很好理解了啊，那我在这里呃，相乘我就知道了吗？我能够得到一个 a 等于二分之三， b 是不是就可以往前带了，对不对？这都是 b 带进去了啊， 我把 a 都换成 b， 是不是就 b 值页就可以出来了啊？所以说呢，在这里呢，咱们还是呃这个比较简单的哈，比较简单的， 嗯，多研究研究啊，多研究研究。在这里呢，还有一个，呃，不一样的内容啊，不一样的内容，所以说呢，在这里啊，关键是要注意你不同的形式之间它是有不同的这个变化的方式的，你比如说这个式子，它可以写成分开的， 它也可以因为分母相同写成一样的，是吧？加一个一或者减一个一，那么它的形状就会发生变化， ok， 同学们， ok 啊， 好，第四部分的内容哈，第四部分的内容 我们在这里呢，一起看一下。第四部分的内容就是等比的性质，在这里呢，也比较简单，已知 a， b， c， d， e， f， 它六个数，六个数啊，我们课本上也是这样写的哈，如果 a、 b， b 等于 c， b， d 等于 e， b， f， 也就说连等的这种情况我也告诉你啊， b 加上 d 加上 f， 不等于零啊，分母之和不等于零，那么 a 加 c 加一，我就说我把上面的这个连等的这种形分数形式的话，我把上面的分子都加起来，比上下面的分母之和 和，那么它就等于其中的一个式子， a， b， b 的值等于 c 比 e， d 的值等于 e， f 的值啊，这里只是写了一个 a， b， b， 那我写成 d， e， d 比 c， 呃， d 分之 c， f 分之 e， 可以吗？可以的，没问题， 它成立嘛。为什么设 k 法让它等于 k， 那么 a 就等于 b， k， c 就等于 d， k， e 就等于 f， k， 我把这里 e 把这里一带入，然后呢，这个 b 加 d 加 f 都舍了啊，就留下一个 k， 那么 k 它本身就等于这些里面，然后再挑一个数就行了， 能理解吗？啊？自己演自己这个啊，推导一下哈，自己推导一下啊，没有任何的问题啊，没有任何的问题。 呃，推导一下还是非常简单的啊，在这里呢，我们的这个结论呢，课本上的结论，他只是把这个上面的这个三项 延成了，延成到 n 项了， a， b， b， c， b， d 也是一直比，比到 n 分之 m， 这是无数个，无数个，我们要规定一下，分母不为，呃，这个分母之和不为零，那么他就会存在这样的一个结果，存在这样的一个结果啊， 这个推导呢，也是比较简单的哈，我在这里呢，就不再推导下面的这个结论了。好，我们看一看，练一练哈。说 a、 b、 c 都是不等于零的实数，他们都不是不等于零的实数，都不等于零，那么他他他他等于 k 去 k 的值， 怎么做都不等于零的数， 是吧？如果说根据我们刚才的定义，那么它是不是都在分母上了？我 a 加 b 加上 c， 如果不等 等于零，那么我是不是就可以，就可以就可以把这个东西推导下来了？把这个东西推导成什么？推导成我们刚才的那个等比性质了啊？我们刚才的那个，呃，等比性质啊。等比性质是什么？等比性质就是刚才的这个哈， 这个我们上面有写的等比性质，这个呢，就是这样的一个内容。那么我们这在这道题里面用等比性质的内容的话，我们就是把分分子都加起，分母都加起来， a 加 b 加 c， 分母都加起来成了二， a 加二， b 加二 c， 是不是？那么他等于几呢？等于二嘛？所以说 k 等于几，所以说 k 等于二， 对不对？但是虽然我们都是不等于零的数啊，这个是根据我们等比性质的这个限制条件所得到的一个结果，它都不等于零，那么它加起来是不是由 不可能等于零？可以吗？可以吧，一正一负啦，或者什么的。呃，这个东西是可以的，他们是可以等于零的，那么这样的话，我 a 加 b 就等于什么等于负 c 嘛， 对不对？ b 加 c 等于负 a 嘛？然后呢，它们的比值是不是就等于负一啦？是不？ k 等于负一？所以呢，在这里呢，要进行情分两种情况呢进行讨论哈。分两种情况进行讨论 啊，你看你在第二次我用这个式子的时候，是不是就没有永远等比的性质？把分子都加起来，把分母都加起来？因为一等于零了，你分母不成立， 所以你在这里就不能用了，你只能用他其中的某一个去求出来值， 好连连啊，我们来看这个啊， b 分之 a 等于三分之四，那么 b 分之 a 加 b， 对不对？我们刚才不是说过了啊，我 a 就等于三分之四的 b 嘛，对不对？我把它带进去嘛，把 a 替换掉，把 a 替换掉，是不是都留下 b 了？是不是就可以约，就可以约这种公因式了啊？很简单啊，那么这个， 这个就是我们刚才登笔性质的一个运用嘛，直接把分子加起来，分母加起来啊，那么这个呢？ 这个怎么办？同学们，这个可不，人家不让加，不让加那是减的， 那是点的，是不是就可以设 k 法啊？当然，当然，这个就不用设了，但是不是，这个五分之二就在这里了，我是不是可以表示出来 a 表示出来 c 表示出来 e， 对不对？对它进行一个替换， ok 吗？ ok 啊，哎，他老是往前跳。今天在这展下展示一下这样的一个结果啊，展示一下这样的结果。 好，我们就本节课呢，进行一个总结。成比例线段就是线段的比， 想承认的程度单位零的 abc 的长度是 mn， 那么他们的比值就是他们长度的比，写成这个样子成比例。现在呢，就是一定是四条，四条还有比例。是啊，四条四个数， 那么就写成这种 a、 b， b 等于 c 比 d 的这种形式啊。那么这四条线段 a 就叫做成比例线段，简称比例线段。再一个内容呢，就是我们看 刚才学习的比例的性质，一个基本性质，一个等比性质，基本性质呢？ a b b 零 c 比 d， 那么它十字相乘也是一样的。如果说我知道了 a d 等于 b c， 那么它们也可以化解成 a b b 零 c 比 d 的这样一个形式。 等比的性质就更好理解了，是吧？ shak 去讨论啊去推论啊推导，那么它这样的话，它就是分子之和啊。呃，这个比上分母之和，它还等于原来的其中的某一单个笔值。 ok 好，这节课呢，说难不难？说简单啊，也不是很简单的样子哈，同学们注意认真思考啊，好，同学们。

同学们好，老师好，坐在七年级啊，我们学习了平行线，对于平行线，咱们同学并不陌生，那么首先请同学们回忆一下，平行线具有什么样的性质，谁知道？ here 从那脚下走，那拖脚下走，同行，那脚步铺。 很好，他说出了三条结论，但是是不是缺少前提条件呢？对，王安阳，请你补充一下，两只线平行，内侧角相等，两只线平行同外角相等，两只线平行，同方内角互补。很好，请坐， 应该是在两直线平行的前提一下，咱们会得出，同位角相等，内错角相等，同行内角五，这是零 两直线平行，咱们会得出角会有这样的关系，那么如果两条 直线平行，被一组，被一条直线锁截形成的线段之间又会有什么样的数量关系呢？那这就是咱们本节课所要探讨的内容，平行线分线段成比例。好了，那现在请同学们看一下， 有这样一个探究活动，如图，小小方格的，小方格的边长为一 直线 abc 平行的，他们分别将直线 mn 与点 a、 点 b、 点 c 和点对点 e、 点 f。 那么现在啊，请咱们观察这个图形，求出图 形中啊，这些条线段的长度， abbcac， 段 eef 和段 f 的长度。那现在请同学们以小组的形式进行讨论，看看如何求出这六条线段的长度，他们的长度又都分别是多少啊？ 好了，开始吧。 好了，有没有结论呢？有没有 什么结论？有有有，那咱们先说一下这里边啊，主要是利用什么知识来解决问题啊？ oppo， ok， 那谁能给我说一下，你是怎么样求出 abbc 和 ac 长度的？谁来说一下， 现在说一下，嗯，接下去你说后点 a 向下做垂直，向直线臂做垂直，然后直角边是两个，直角边是一，所以 ab 是零到二 啊，他说了，向下做垂直构造出直角双眼皮一一跟上二，同理，下边怎么办啊？也是为分，然后 ap 等于 cd 等于四，乘以 ac 等于四个二。嗯，同， 咱们能算出 ac 长度等于五倍，根号二，有没有问题？没有，好了，请坐。这是这个，那下边看一下啊，得意好下， f 还有对 f 的长度与上面的方法相同的啊，因为在网格当中，咱们可以构造出直角三角形，从而利用高谷定理求出对 ee， f 和对 f 的长度。那现在啊，咱们求出的长度，请咱们同学判断一下， 下面这一条线段的比有什么关系啊？观察一下，用 abb 等于多少 根号？五分之二八二二一 f， bbc 呢啊，五分钟到二四 fbac 呢啊， 老二，那么咱们会发现这里边 abb 多少亿？这呢？用 abb 多少亿等于 a， 谁 bbaba 等于 bcbb 呀，很恐怖，等于谁比谁 abcb 呀，这还不够，等于什么？等于 agb， 这还不够，等于这条线段比上这条线段。 好了，那现在咱看一下，如果一组平行线被两条直线锁结，咱们观察啊，这条直线被分成几部分，两部分部分，这条，这边有几条线段，三两两条， 三条 abbc 和 ab。 右边这条直线也被分成几条线段，三条，三条线段纳长官场应该是上比上等于 笑一笑，等于三比三。那是否啊，咱们改变图形位置还会有上面的结论呢？那么下边咱一起来看下边这个图形。现在啊，咱们将 平行线臂向下进行平移，那在这里边看一下吧，得到两个焦点，那一中的结论是否仍然成立啊？

好，那么我们继续往下讲啊，这个课本还有一道非常有趣的一个例子，我们把这些例子啊证明了，并且这个理解透了，那么我相信我们做题目是绝对没有问题的。好， 就是贝斯大版的这个七十六页啊，七十六页的这个地方，这个地方，为什么说这个地方非常重要呢？那是因为我们要把它推广之后，变成后面的结论，变成这里证明的一个这这个结论，这两个结论 的一个基础。具体的例子啊，具体的例子，我们从数学当中呢，我们获得一种思想，是先从具体再到抽象的。什么叫抽象呢？是代表，比如说字母，他就比较抽象，对具体的数字比较容易理解。抽象的话呢，不太容易理解，为什么呢？因为大脑容易记住具体的东西，而不容易 捕捉那些抽象的东西，但事实上抽象的东西你可以把它转化为一个具体的东西，就是只不过他是用个字母来那个对待他。好，那么今天，今天又是一个新的题目啊，新的题目是这样的啊， 呃，是这道课本上的这道题目啊，我呢把它作为一些改动题目上的这个题目，他的图是这样的图，大家先看一看啊，他是这样的图，我呢把它画成这样的图，其实到底是一样的，只不过是从他的旁边拿到中间这个 长方形。好，那看下题目，我们还可以把题目再改一下题目的具体的这个倍数，每个边对应的倍数的倍啊，这个那个倍数是两倍，那么我们可以把它看改成一个 k 字，就是任意倍数，任意倍数啊，任意倍数，从二 二到任意倍数，就是一个从具体到抽象的一个过程，我们可以背，可以背就任意背，任意背，代表是可以是两倍，可以可以等于二，也可以等于三，也可以等于一万，你也都是一样的，那它代表是一般的形式。好， 为什么我们要把图像从旁边改到中间呢？是因为这样的话我们更容易理解它的含义，所以记住以后所有的这些啊， 成比例的图形都把它做成一个放射性的东西啊，这样的话方便我们去理解它啊。题目要求 abab 对应的是 hf， he 对不对？ abheabhe 对应的变成固定的比例是 k 倍，如果这里面 he 我们用 a 的表示，那么 ab 就是 ka， 对不对？这是显而易见的，非常容易理解的。那 b， 如果这条 hg 等于 bhg， h g 等于 b， 那么 a d 就等于 k b， 那么我们就相对应的把它写下来，那么 a b a b a b b c c d a d 都用 k 和一个里面的边来表示它，这样的话我们就可以看到效果了。好，首先 h e h e 是 a 对不对？我们先写下面 h e 呢？ h e， 这里是 a a 加 e f e f 是 b 加 f g， f g 是 a 角，那这个这个这个，这个 h g h g， h g 是 b 啊。好，上面的 a b 对应的是 k a k， 那个 b c b c 是 k b k b 加上又是一个 k a， 哎，大家有没有发现，这个不就可以提取公因字吗？对不对？因为都是 k b 啊，每一条边都是它的 k b， 自然而然的提出 k， 就 a 加 b 加 c 加 b， a 加 b 加 a， a 加 b， 那不管怎么样，那这里都是一样，其实就等于二 a， 这里更看 a 加 b 加 a 加 b 啊，这个是一样的。对，如果 a 加 b 加 a 加 b 不等于零，哎，分母不能为零，记住 的话，那么他的值就还是等于多少？等于 k， 那这个 k 呢？和这个 k 是一样，那么我们就可以得出一个结论是什么。 嗯嗯，那如果这是一个超多边形的对不对？超多边形，无限多边形，是不是一样的呢？这个地址就要翻到你看课本的这个地方。 好，那现在呢？我们从刚才的这种啊，比较特殊的情况，现在转化到新的途径更多边形，他是六边形的情况，那六边形的情况呢？同样的我们是一样的，可以证明，甚至我们把它推广到无限多边形，他的一个相似的情况，对应的边都成比例，而且他的周长也成比例，我们来证明一下。 嗯，好，好，我们看下对应的这个 a 和 g， 那么一般我们把 g 放在上面， g， a 等于 h， b 等于 j， i i m， c 等于上面，这 上面都是相对比较大的，或者说也不一定是大的，反正就是。嗯，就是一般习惯上我们把它上面是大的就行。好，那这样的话我们再 k 值， k 值，当然 k 值有可能是小于一的，那么就上面是小的，对不对？都没关系，都是一样的。好， i c 啊， 这个第一个可以 e 啊， l l。 好，那这样的话呢，同样会有 用 g 用，我们用 n 倍 n 倍的模式啊，说他，他是一个固定的 n， 因为 k 我们之前用了，不能用这个字母来重复代表一个同类的意思。呃，不同的意思，所以呢，这个时候我们指的 n 倍 n 倍的话呢， g 就可以写成 a， n， a， a， n， g 是 a， n 加上 b， n 加上 i， n 加上 j， n 加上 k， n 加上 l， n， 这是它的周长， 外轴长、外轴长和和内轴长，下面是内轴长， 下面是内轴长，内轴长还是不变，对吧？ a 加 b， 加 c， 加 d， 加韵加 f， 好，提供音四之后，那就得 n， a 加 b 加 c 加 d， e， a， b， c， d， 那这样的一个情况都是等于 n， 对不对？所以呢，他也等于原来的，比如说任意的一项 a， g 啊，或者是等于 h， b， b， 或者等于 i c 都是一样的，它等于这里所有的音字都是等于 n。 好，这个就是一般到重，甚至还可以更多， 对不对？这里呢，可以可能可以到 n， 可以到很多无线的这里，到可以到无线的这里，还是约去两个无线约去还是 n 这样的一个情况，所以这个叫从啊，从具体的具体的到一般情况， 所以呢，我们也可以得出一个结论，就是啊，外周长 的倍数和内周长的倍数，我们认为如果是把它放在一起的话，才有内外，我们必须把它放在一起，那么相似的情况下都可以放成一个内外的一个情况，或者是完全重合，那么对吧？总有一个大一个小，那如果大的我们认为是外周长的话，那么外周长之内，外周长之比， 内外周长制品就等于编制品，对应的编制品，任意的对应编制品啊，内外周长，外内 外，内周长等于外内边视频啊，这就是一个结论，是一个定理啊，啊，这个是没有什么例外的情况，大家记住这个结论，我们用这个结论也可以做很多种题目，当我们看到一种题目有这种类似 字母的时候，我们要考虑他就是成立这样一个式子，他存在这样一个情况啊，要非常注意，这就应用这个结论去证明很多问题，接下来我们可以去证明一些题目。 好，那么我们用刚才所学的这个知识，我们来做这道题，哎，很多，你看这道题啊，如果你没有去你刚刚学这个这个这个这个这个这个这个聪明的线段知识的时候，你没有运用你刚才的知识去解决他，那么 你就会非常困惑，哎呀，我自己哈，我自己去算了，没有用之前的这姿势，然后呢，我就好好算半天，我怎么能知道这个可以等于多少啊？对不对？这是非常烦人的一件事情。哎，可是 我们知道，如果我们把想象一下，凡是几个数成比例成固定的比例，那么我们可以想象成他就是一个几边形呢？一二三，三边形，三边形是什么？就是三角形嘛，对不对？我们就会想 象征它是一个三角形，好，两个三角形啊，我们把这个三角形的比例不一样，好，两个三角形好摆点，哎， 这样的对不对？那这样的话呢，我们就把它对应填写上去，我们一般认为上面是大的啊，那上面就是 a 加 b 嘛？ 不对， a 加 b， b 加 c 啊，这个是 a 啊，这个是 c 啊，对， c 加 a， 这个是 c 加 a， 这个是 b s b。 好，那这样的话，我们刚才说的这个我们已经知道了。喂，如果是一个灯 b d 的，它灯 k 值，为什么？你看这对应的这是不是扩大 k 倍啊？我们一条边是不是扩大 k 倍，对不对？好，那么意思说 相互来表达，而且我们之前是知道的啊，这个啊，外周长周长之比，内周长之多。 支笔等于哪个笔等于边支笔？对，因为它是成比例放大或者放小的，所以呢，既等于啊，等于 a 加 b， c， 可以怎么说？那同样的，我们万众尝试等于多少啊？万众尝试就不等于加起来，对不对？加起来的话就是，哎，加起来，那加起来的话， 其实我们还可以对 c 的 k 比啊，比的 k 比，所以呢，我们可以这么认为， a 加 b， y 轴长， a 加 b 加 b 加 c 加上 a 加 c， 对，它是外轴长，内轴长。是啊， c 加 a 加 b， 那这样的话呢，我们就可以看我们做他进行整理，整理之后我们发现一个规律啊，规律是什么呢？就是用几个 b 啊，自己把括号去掉，两个 b， 两个 c， 两个 a， 下面的是 a 加 b 加 c。 好，那我们发现，哎，这个就是，这个就等于 k 值吗？对不对？那这样，如果两个数啊，如果， 如果 a 加 b 加 c 不等于零，哎，题目只告诉你三个乘起来就可以，就是保证这三个都不行，那不能保证他一定 保证，那三个都加，减个零呢？其实是可以的啊，不等于零，哎，三个加起来不等于零，对， 加起来是乘起来不等于零，不代表加起来不等于零，对吧？因为他有可能是相反的数，所以呢，如果他不等于零，那么 x 就等于二二，但如果他等于零的话， a 加 b 加四等于零， a 加 b 就等于负 c， 对不对？负 c 的话，我们可以带回去 a 加 b， 再有 a 加 b 就等于啊，负 c， c 就等于 辅音，当然你可以加到其他地方去，对不对啊？你可以把，你可以把它写成其他的。哎，你会发现他带 去问一下，不管你带到这里，这里就等于上面就等于负 a， 负 a 也许还是等于负一，所以当他呢？那如果他等于零的时候，那可以就等于负一。负一怎么来？就从这里来的啊？负一从这里来。

同学们好，请坐，来，今天我们进入第四场的学习，图形的相似，那请同学们看一下这两幅图片有什么不同？大小很好啊。大小不同，那有什么相同， 都是一样一样的，是吧？张明他，你看从中间分开的话，他形状一样一样的，说明这幅图片是形状相同。 那我再问了，从小图片到大图片，他是怎么样的？过程？放大，非常好。放大，那么从大图片到小图片，小，哎， 那么再看这两幅图片有什么不同？大小也是大小不同是吧？是，那长得是什么样的？有，哎，非常好。那再观察一下这是什么？ 哎，和平中学，咱们学校来这个呢？高高一中，梦寐以求的高高一中啊。来看一下第一幅图片，他这个 他们两个地点的距离怎么样？短短，哎，非常好。那么第二个距离怎么样？好，哎， 那么以后我们经常用线段的长短，也就是线段的比例来那个表示这个图片的啊大小，那进入我们今天学习的啊，比例，这是长短线段， 这是一个地球在线的一个头像啊，来，大家找一下有没有和平中学？没有没有， 那么再看一下有没有，有有有，有谁了？有，包头了，昆区，那随着放大我们发现了，看见咋了？比我们最多的是困难，哎，内蒙古科技大学啊， 那再来看一下有没有我们和平中学分校区，分校区，那就离咱这是很近了是吧？对， 好了好了，那我随着这样大方，看见什么了？ 和平层现在全貌了是吧？嗯，来看见你们经常玩的哪个了？操场，还看你篮球场，篮球场还有什么足球报道厅，这是什么教学城？哎，清晰可见。刚刚为啥呢？没看见 比例小？比例小。哎，这就咱们以前学的什么比利时比例吃，比例，吃的是什么等于什么当天必吃，哎，除上距离， 除以实际距离，所以实际距离，你发现在咱们变化过程中什么在变化？是不放大的过程中来这块，这个前面同学是不是可以看见照照这个数字在变化。来，我给你看一下啊，那我在缩小的过程中 在这变成多少？一百，那么我们和平同学就这么点，是吧？那我再放大过程中 他这多少？五十清晰可见了，是吧？是，那这个距离指的是什么线段？什么距离？ 实际距离，哎，那也就是说我们这个来亲热眼前同学们看一下。嗯，上面做一做，上面那一段自学一下，做一下什么叫做卸妆的笔。 嗯，自己看啊， 看到没有？嗯，什么叫做加班？比 如果选用一个长度单位，两个两条线段， abcd 的 是艾莫恩，那么这两条线段的你就是他们的床，梦里。

好，下面我们来看一下模块二比例线段及相关概念。那么首先第一个呢，是两条线段的笔 选用同一长度单位，梁德的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比。在这呢，我还给大家举了一个例子，有没有发现这有两个线段，一个三厘米，一个五厘米啊？嗯，那这两个线段的比就应该是几比几呢？三比五，三比五，非常好啊，当然也可以说五比三，那具体看一下是谁比谁，对吧？ 强调一个问题，在这呢，有一个东西非常关键啊，就是我们要选用同一长度单位，这个意思大家明白吧？ 如果我把这个东西改成五分米的话，他们俩的比还是三比五吗？不算啊，不是。所以每次在做这种题之前呢，一定要先统一长度单位，然后再去比他明白我的意思。明白。好，第一部分呢，我们先说到这 来看一下。第二个，成比例线段。如果线段 a 和 b 的比，等于线段 c 和 d 的比，那么线段 abcd 交成比例线段，即做这种分数的形式，或者这种比的形式。 呃，在这呢，也有一个地方需要强调一下，就是如果题目说 abcd 叫做成比例阶段，那么他是有顺序的，就一定要 a、 b、 b 等于 cbd， 你不要随便瞎比，比如我们来个什么 abd 等于 bbc 啊，这样是错的好吧，一定要按他的顺序来， abb 等于 cbd， 那么至于我们前面是不是讲过一些反比性质和更比性质，对吧？ 那么在这呢，你是不是可以由这个比例式得出其他的一些比例式呢？比如说我们用反比的是不是可以得出 bba 等于 bbc， bbc 啊，根据 那个更比的性质，是不是可以 abc 等于 bbd？ 是不是可以把他们俩交换一下，对吧？啊？那么一定要先得出这个，然后再看一下，还可以得出什么东西，不要随便调整他们的顺序，有可能就错了。比如说我们把 a 和 d 拿去比，这就肯定是错了。那么结合这个呢，我们下边又会出现几个新的概念。 第一个他说 ac 叫做比的，前像， bd 叫做比的后像 bc 叫做比例内向， ad 叫做比例外向。来注意一下， 你没发现这个叫做比的什么什么东西，这个后边是比例的什么什么东西，对吧？那什么是比呢？单独的一个，比如说 abb， 这个叫做比。在单独的一个 abb 里边， a 是前向， b 是后向，其实非常好理解，也就是 前边的那一个叫做前向，后边的那一个叫做后向，那 cdcbd 也是一样的，对吧？那什么叫比例呢？整个这个式子就是一个比例，整个这个式子里边，我们的这个 bc 叫做内向， ad 叫做外向。这个呢，你应该在小学的时候就已经学过了， 脾气也很好记，是不？里边的就叫做内向，外边的是不是就是叫做外向了，对吧？那最后还有个概念，他说 d 叫做 abc 的第四比例像， 第四比例像啊，我们确定了三个，是不是就可以确定第四个是，那他说 d 是这大的第四比例像，我能不能说 a 是 bcd 的第四比例像呢？应该可以，也可以，是吧？ 每一个都是另外三个的第四比例下，呃，确定了其中三个可以求出第四个，那下一部分第三个 比例中向，若 abb 等于 bbc， 则称 b 是 ac 的比例中向。哎，有没有发现这个是跟我们前面见过的有一点点不太一样，这里边出现了 两个 b， 是不是出现了重复的字母？那么比如这个式子，我们其实可以推出 b 的平方是不是应该等于 ac 有一个数的平方等于另两个数的乘积，那么这个数呢？就叫做那两个数的比例中相啊，比例中相。呃，如果把它写成这样的形式啊，就是 abb 等于 bbc， 这样呢，看起来应该会 更明确一点，他是不是在中间啊？对啊，你这样去记一下啊，他在中间的那俩还得相同，是不是？就是我们的比例中向是可以通过这个去求比例中向的，我们可以去计算一些线段的长度，那么支点呢？ 我们已经全部说完了，下面来看一下例题。在讲例题之前还是提那个要求，同学们在这呢，把视频暂停一下，自己先把这个题做一做，然后呢，再听我讲解， 好朋友，做完了吗？做完了，做完了。那么我们一块来对一下答案，好吧，下列 abcd 四条线段不成比例线段的是什么东西，对吧？ 我们刚才是不是讲过一个问题，我说如果是成比例线段，必须得按顺序来，是不是得按顺序来？是，那你就一定要 abb 是不是等于 cbd 才可以？对，呃，有没有觉得这个笔的这个太慢了呢？细算起来，因为他要做一个图法对不对？对，有没有什么改进的方法？ 我们只要去计算谁就可以了。呃，就是 ad， 怎么着？等于 bc， 哎，是不是去算这个 乘机的形式就可以了，因为乘法是不是肯定比头发要算的快呢？好，那我们一块来计算一下，首先在这， 我们这帮 bca 乘起来是五乘以五等于多少？二十五，二十五，然后这个二乘以十二点五，怎么着呢？二十五，哎，也是二十五，所以第一个是不是没问题啊？对啊，那我们这个是乘比例的来，第二个，这方是不是有个三乘以五，这个地方是不是有一个五乘以三啊？对相不相等， b 选项是不是也没有问题？嗯，那再看一下 c 选项， c 选项，这地方有一个五乘以零点三，能口算吗？一点五，一点五是吧？这方有一个零点零二乘以七点五，它等于多少呢？ 零点一五，哎，注意啊，这地方不要算错啊，他们俩乘起来是一点五，他们俩乘起来是零点一五，相等吗？不相等，不相等，那感觉这个题应该选什么了？ c 啊，你选的就是 c 是吧？对， 感觉选 c， 这是很多同学经常犯到的错误啊，我们平时做选择题要养成一个好的习惯，你不但要知道这个为什么是对的，你还要知道其他几个为什么是错的啊， 为什么错了？那经常会有人一看 a 选项，哎，发现是对的，行了，根本不看 bcd， 直接就 pass 了，做下一个题了，结果呢？ 再把 bcd 一看，发现，哎， bcd 里边好像也有对的，回头一检查，哦，原来 a 错了，经常就会出现这样的问题啊，所以同学们，我说了，做选择题养成一个良好的习惯，去看一看，这个是对的，其他几个为什么错好不好？来，我们看一下 d 选项啊， d 选项 定向这个，这俩一乘三十乘以十二等于多少？三百六，三百六，二乘以零点八等于多少呢？一点一点六，哎， 他们是不是也不相等啊？对，那这个题是不是出现两个不相等的了？是不是感觉 cd 都对呢？ 好像是。呃，但是我前面已经说过了，我说数学里边是没有多选题的，对吧？所有的数学选择题都是单选题，所以一定是出问题了。那问题出在哪呢？同学们再看一看，找一找问题到底出在哪。 单位不统一，单位不统一是吧，很好，找到了。我们前面是不是强调了，你要去做这样的题的时候，第一步干什么呢？ 统一单位，哎，统一单位。来把这个 cd 这两个我们来看一下，有没有发现这是厘米，这是米，这是厘米，这个还有一个分米，对吧？对哦，那这个单位太不统一了，我们最好是不是把他们都换成厘米来计算一下？对，换成厘米，这个地方五厘米不用变了。零点 零二米是多少呢？两厘米是不是两厘米啊？七点五厘米不用变了，这个零点三分米可以变成零点啊，可以变成三厘米吧，是吧？零点三分米是不是应该是三厘米了啊？对啊，再去看一下，我们这个地方现在二乘以七点五等于多少？ 十五吧。三乘以五是不是也等于十五啊？对，那这一次他们的成绩是不是就相等了呢？是，所以 c 选项是不是成比例的？是，那是不是感觉应该选 d 选项，那么 d 选项呢？我们也去把它。 呃，操作一下这个单位先同一下。这双是不是有毫米啊？厘米，厘米，毫米，好来，都把它变成厘米。行吧，这双三十毫米是不是应该是三厘米了？这双十二毫米是不是应该是一点二啊？再看一看成绩，三乘以一点二等于多少？ 三点六，三点六是吧？这个二乘以零点八是不等于一点六，他是不是还不相等啊？是，所以即使统一单位以后，这个还不相等。所以呢，他是不是彻底不成比例？是，大家注意，其实我们的必选项单位也不统一 b 选项，这张是不是前面两个厘米，后面两个是毫米？那么同学们可以自己在这统一下单位，然后计算一下，他确实成绩还是相当的，我在这就不多说了。好吧，图这样一个题，同学明白。呃，做题的时候要注意些什么问题吗？ 第一个，我们做这种成比例线段的，是不是第一步要干什么呀？统一单位，统一单位啊，这是非常容易错的地方，我们在这总结一下。第二个呢，做选择题要养成一个良好的习惯。那不要只看一个选项就过去了啊，一定要把每一个选项都看一看。好吧，来，这是我们的第一个第二小题。

嗨，同学，今天呢，和老师一起来学习九年级上册第四章第二节的内容，平行线、分线段，成比例。在这里呀，很多同学告诉我，就说我一看见这个题目就已经晕了菜了。 那别着急，我也说过，在我们数学当中呀，很多知识的内容，他从他的本身的题目或者名字当中呢，就能够发现他的内容或者是特点。 你比如说这一节课的内容，你看平行线，分线段，成比例啊，貌似什么字都认识，但是呢，把它连接起来呢，他感觉有点绕，我们在这里不要着急，你看 我们首先对它进行拆分，平行线没有问题，对吧？分线段分谁成线段了？分直线，一会你 就会看见哈，它是分直线构成的线段的，而构成的这个线段呢，它是成比例的，而成比例线段，对吧？成比例线段 或者说比例线段，这个是我们四点一的内容，对吧？如果有四条，呃，这个线段 abcd， 呃，那么如果他们满足 abb 等于 cbe 的这样一个关系，那么我们就说这四条线段呢，成比例线段，对不对？不清楚的同学可以翻前去把这个概念呢再重复一下，呃，再回忆一下哈，再回忆一下。 好，本节课的内容大纲呢，也是两个，一个呢是我们今天所学的知识点，他是什么？包括两个部分，一个呢是基本是时和推论啊，呃，一个，呃，就是说基本是是加上推论。 另一个呢就是说这些知识点运用完了之后呢，他去要去实际应用当中呢，去解决一些相关的问题，是什么和怎么做，对不对啊？ 然后呢，在这里需要稍微强调一下的就是基本事实，作为初三同学，作为初三年级的孩子，我们其实对基本事实这个说法呢，并不陌生， 在我们初中阶段呢，总共有九个基本事实，我们所研究的几何呢，大部分都是从他们呃，为一些基础啊，为一些基础条件去延伸出来的啊，用他们去 研究一些复杂一点的，或者是证明一些复杂的题目，或者是知识啊，都是从他们出发的，这个呢，在这里不过多强调，但是呢，我在这里呢，要给大家展现一下 啊，展现总结一下九个基本事实，这里面有直线，有线段，有平行，有垂直，有全等，还有我们今天所学习的最后一条，两条直线被一组平行线所结所得的对应线段成比例， 总共呢是九条啊，好，那么我们这一课呢，还是延续先前的传统，我们是从课本素材出发， 如下图，小风格的编程呢，都是一直线， a 平行于 b 平行于 c。 在课本上呢，我们写的是 l 一平行， l 二平行， l 三，分别交直线 mn 于点。 a 一 a 二 a 三 b 一 b 二 b 三啊，计算他们的值，并且总结和发现他们之间的特点， 在这里呢，图和课本上是一样的哈，看哪里都可以，看哪里都可以。我们首先呢，来看 a 一 a 二， a 二， a 三啊， b 一 b 二， b 一二 b 三，那么我们去计算他们的值，看看他们之间的比值又有什么样的关系。 a 一 a 二很简单，根号二 a 二 a 三，四倍的根号二，这样的话，你数这个小格子，拥有勾股定理就能够进行计算。 b 一 b 二呢，它在这里呢，等于根号五是吧？啊，然后呢， 还有一个下面的是四倍的根号五，他们如果做比值之后呢，都等于四分之一，也就说我在这里呢，得到这两组线段，他是相比值是相等的，那么根据我们四点一的内容，就说这四条线段时成比例线段， 对不对？成比例线段啊，那么如何和这节课的内容连接起来呢？这节课呢，是说平行线分线段成比例，对吧？我们也说过了，平行线呢，是分了直线的，你看 m 和 n 是不是都是直线？平行线是 a 平行于 b， 平行于 c， 而这里说线段 a 一 a 二， a 二 a 三， b 一 b 二， b 二 b 三，他们是不是都是分出来的新的这个线段，而而经过通经过我们研究之后呢，他们的比，呃，这四条线段的比值是相等的，那么它构成了一个成比例的线段，明白了吗？这就是和我， 我们题目是不是就完全的贴合起来了啊？贴合起来了哈，好，那我们继续计算啊。 a 一 a 二呢，它等于根号二， a 一 a 三，你看 a 一 a 三是整体的，那么它等于有五倍的根号二 在这里呢，这个呢，等于根号五，总体的呢，等于五倍的根号五，他们在做比值之后呢，都等于五分之一，他也是相等的，也就说这一组他也是一个成比例线段，对不对？也是一组成比例线段啊。 a 一，上面的这个比上这个总的 a 二 a 三呢？主要是下面的啊， a 一 a 三呢，又是总的，对不对？那么 a 二 a 三呢？我们知道它等于四倍的根号二啊，然后下面呢，等于五倍的根号二， 是吧？我们一划五分之四，那么在这里呢，他等于根号四倍的根号五，下面呢，等于五倍的根号五，他也等于五分之四，所以说这个这一组呢，他也是相等的，相等 是不是也就构成了一个成比例线段啊？那么在这里我们需要注意的呢和总结的就在于，我们要知道线段之间的对应关系，也就是位置关系。你看 a， 看第一组 a 一 a 二是不是上面的这个 a 二 a 三是不是分成的下面的这个啊？ b 一 b 二上面的啊，我们是从位置上哈上下的关系来说下面的啊，下面的线段，那么上比下等于上比下，也就说你这边是用上面的比上下面的，那么你在这条直线上也必须满足这样的一个关系，必须上面的比上下面的， 明白吗？有的同学他说我跟学习的第一课时之后呢，我知道把他俩可以调换一下位置，这样的话呢，就成了上比上等于下比下，明白吗？这是通过计算的性质调整以后的内容啊。那么从他不调整的时候呢，我们 就是这样来看啊，上笔下等于上笔下，再看第二个呢，你看上笔 a 一 a 三， a 一 a 三，我们在这里呢， 呃，讲课的时候呢，大部分老师都是把它叫做全啊，全部的，这叫线端啊，所以呢，他就是上笔全，这边呢，也一样，他也是上哎，在在在这呢啊啊，他也是上笔全的意思是吧，上笔全等于上笔全，在这里呢，他下笔全等于下笔全，对吧？ 知道了这个内容之后，你比如说因为他也拿这个呃做做案例哈，因为他比他，那么我翻过来之后，你比如说 a 二比成 a 三，呃， a 二， a 三比成 a 一， a 二是不是也等于 b 二 b 三比成 b 一 b 二， 对不对啊？这样的话呢，我们把每个都翻一下，就可以得到六个关系，对不对？如果你要是把这个十字相呃十 字调换位置的话啊，调换位置的话，那是不是就得到的关系更多啊？但是无论如何，无论如何我们知道了，呃，这个平行线分线段确实能构成一定的比例，对不对？这是这节课相关的主题。 再一个呢，就是说在笔直的时候呢，你一定是对应的关系，你比如上笔下，你这边是上笔下，那么你这边也是上笔下，你这边是下笔上，那么这边也是下笔上啊，注意，这个对应关系一定要闹准，那么这节课呢，就已经成功了一大半了。好，这是这个内容。 我们在看第二位的时候呢，就是向 b 啊，向下平移，平移啊，你看向 b， 刚才他是不是在这个位置，然后呢，我想下平移一下，平移到这啊，然后我再往下平移也是可以的，就说你平移了之后呢，你会发现 d， 呃，通过计算啊，通过计算，你也能够发展。问题一，当中的各个结论呢，他都是成立的，都是成立的。 我在这里呢，就不带着大家一起去计算了啊，有兴趣的同学可以自己去计算一下哈，你会发现他的结果。第一，第一本当中的结果都是成立的，那么我看第三，根据前两问的时候，你认为在平面上任意做三条平行线，他们所结成的两条直线， 他用他们截两条直线截的对应线的成比例吗？是成比例的，为什么呢？因为我们本身在这上面画的呃图形，虽然是一种，是吧？课本上的这个图形是一种，但是 他是不是也代表着一般性啊？你比如说平行线就是平行线，呃，直线的就是两条直线而已，对不对？就是两条直线而已啊。然后呢，分成线段，他们的对应线段成比例。你比如说在这里，我一闭的这个位置，我是不是开在在这在这在这在这都行。 如果你有时间有精力，你可以分别分析他不同的方式，呃，不同的位置去求解他，那么你会发现这个比例呢，都是 相等的啊，在一中的结果呢？都是成立的，都是成立的。为此我们就可以总结到今天的这个第一个知识点，就是说平线分线的成比例的，他的这样一个定理啊，这就是基本事实。 那么两条直线被一条被一组平行线所结所得的对应线的成比例，我在这里需要强调的呢，一个呢，是两条直线，一定是两条的直线哈。再一个呢，是被一组平行线所结，这里的一组平行线就是至少三条 啊，一般情况下三条的比较多见啊，所以至少三条。你比如说你看 a， a 平行于 b 平行于 c， 如果你 a 平行于 b， 哎，还不好分， 对不对啊？不好分好所得的对应线段成比例，对应线段。这个我们在刚才的题目当中呢，都说过了啊，一定要是对应的关系，上比上就是上比上，下比下就是下比下，哎，不对，上比上，上比下呢，就是上比下，上比全了就是上比全， 大家要一样啊，大家的位置要一样，要对应好好，在这里呢，把这个强调完了之后啊，有的同学呢，他会提出疑问，他说，老师，我还想通过我这种呢，是通过举例子，然后呢计算总结出来的，那么有没有其他的方式对这个问题呢，进行一个证明？是有的是有的， 在这里呢，进行证明的时候呢，我们用的是等面积法，同底等高的这样一个内容。那在这里呢，我简单的说一下这个，呃，他的证明哈， 我在这里呢，连接 a 一 b 二啊和 a 二 b 一，那么我所得到的三角形 a 一 a 二 b 二和 b 一 a 二 b 二， 呃， b 啊，啊，对啊，就是这两个三角形，你看这两个三角形，他是不是面积是一样的，因为首先他们是同底的 a a 啊，是吧？高的话呢，平行线 之间他的距离处处相等，对不对啊？所以说呢，在这里呢，我就可以写啊写， 呃，不对啊，呃，因为在此时的时候呢，我们 a 一 a 二和 b 一 b 二是不是还没有写了？我们以这个为案例哈，以这个为案例研究一下，还没有写。那么三角形的面积是不是还可以通过其他的变速高来研究它？我们在这里呢，叫 h 一， 我在这条边上呢，做一个，它是叫 h 二，对不对？那么这样的话呢，它的面积就成了 a 一 a 二 h 一啊，等于二分之一啊， b 一 b 二 h 二，对吧？还有你看，那么呃，同样的道理，我是不是可以把 a 二 a 三 b 二 b 三也放进来， 我也连接一下他。那么在此时的时候呢，我研究的呃三角形呢，研究这个 a 三 a 二 b 二 b 三， b a 二 b 二这样的一个内容，他们的面积是不是也是相等的啊？同时呢，他们是一个对角三角形，那么我们可以发现啊，如果，呃这个三角形 a 二 a 三 的话，它所对应的高是不是就是 h 一对应的三角形高足在外面，那么后面的这个呢？二分之一 b 二 b 三 h 二， 这样的话，你既然左右都相等，那么他们的比值是不是也应该相等的？我把同样的一约掉之后呢，就能得得得到 a 一比 a 一， a 二比上 a 二， a 三等于 b 一， b 二比上 b 二比三这样的一个内容。 有兴趣的同学呢，可以再研究一下其他的结果哈。其他的结果好，这个第一个完了之后呢，我们就要看平行线分线的成比例的他的一个推论，这也是我们刚才大纲里面的一个也要要 求，他的推论是来源于哪里呢？就是说既然平行线我们刚才已经移动过了，那么我们现在不移平行线了，我们移这两条直线 m n 当中，你比如说我就移 n 啊，把它左右移一移，看看移动之后，那么对应线的，呃，分线段成比例的这个呃内容还成立不成立？ 那么我们先看第一种啊，我们对它进行一个平移啊，注意看图。平移之后呢，我使得 a 一和 b 一呢是重合了，重合了其他的点还一样，呃，其他的点还在，还是他们当时的一个标记，那么此时呢，你就会发现， a 一 a 三 b 三，他就构成了一个三角形，去试试 对不对？那么我们把这个三角形呀，单独的拿出来之后，拿出来之后，那么他还满足我们的，呃，比例关系吗？是满足的啊，是满足的。同学们说为什么呢？你看我们 放在平行线之之内，那么移只是移动了一下，那么呃，根据我们前面所总结的那个内容，计算所总结的那个内容，那么是不是他们还是被平行线所结，那么所得到的这个线段他也是分比成比例的，对吧？成比例的，那么在三角形里如何看呢？就是我把这边上多余的这些部分呀，都给他擦掉， 都他隐藏起来啊，这，这都隐藏起来，那是不是构成了一个三角形？那么所以说在这个三角形里面所有的啊，所有的结论，平行线分线的成比例的啊，基本事实都存在，都存在，都是对应对应相等的哈， 这个呢，不要不要疑惑哈，因为我们只有放在三角形里面时候，其实跟我们现在所学习的几何知识很多内容才能连接起来，对不对？所以说这个是一个方面哈，就是他所有的，还是继续呃，成比例的， 成比例的啊，这是一个。另一个呢，就是说我们在研究所有的线段的时候，研究的都是侧面的，你无论是上笔下还是上笔，全对不对？都丢掉了 a 二 b 二和 a 三 b 三之间的内容啊，那么他们之间的比值又满足什么样的关系呢？在这里呢，我们要提一下哈，课本上没有明确的说，但是在很多题里面已经应用上了，我们是这样的， 既然由一组的平行啊，就用一组的平行，是吧？你看这个 a 二 b 二是不是就放在上面的这个三角形里面，而 a 三 b 三呢，它是在这个大三角形里面，对不对？那么他们的笔直关系就有可能有可能就是用上面的这个 小三角形的某一条边比上这个大三角形的某一条边。放在我们刚才所学习的知识里面呢，就是说上笔全 上比全啊，他这个 a 二比上 a 三，他们是不是相等，是不是相等啊？所以在这里呢时候，为了转换呀，啊，为了转换，这是一个新的这样一个内容哈，我就直接给大家写了啊， b 二 c， 你看我做一个 b 二 c 平行于 a 一 a 三平行 a 一三， 你刚才有 a 二 b 二平行于 a 三 b 三的时候呢，你能够得到上笔上上笔权，这边是不是也是上笔权的这样一个内容，对不对？那么我这个啊， b 二 c 平行于 a 一 b 三的时候，是不是我也能够得到 a 三 c 比上 a 三 b 三，那么他和 a 一 b 二和这个 a 一 b 三，他这是不是相等的，对吧？下笔下笔圈对不对？那么又因为 a 二 b 二和 a 三 c 他是相等的，所以说我在这里一转 这个就能够得到，就能够得到 a 二 b 二比上 a 三 b 三，他是等于在三角形侧面的这两条边的上笔全的这样一个关系的啊，听明白吧？同学们，上笔全的这样一个关系的啊，好， 那么在这里呢，我对这个证明的过程呢，进行了一个解答，进行了一个解答，刚才没有听清楚或者是没有跟上的同学可以在这里呢暂停再进行研究。 那么我们在这个研究三角形当中呢，还有一种常见的形式，就是我在他的顶点相交之后呢，我继续推啊，使得 a 二和 b 二放在一起， 那么中间的这个部分，呃，我单独的标记的话呢，他就形成了我们常见的这种八字形的这样一个内容。那么在此时在他的这个比例关系里面啊，比例关系里面，那么他肯定也是成比例， 因为他也是有平行线分线段所构成的这个比例啊。那么在这里呢，需要注意的呢，就是说我们在这里笔直的时候，你比如说 a 二 b 二，他应该比谁了？他下面应该写谁，他一定要写他本条同一条直线上的那条线段啊，就说 b 二 b 三， 那么 b 一 b 二这条，他也要写他同一条直线上下来的 a 二 a 三是这样的一个内容哈。同时我们在前面所补充的那个结论，你比如说 a 一 b 一比上 a 三 b 三， 他也是和 b 一 b 二比上，呃， a 二 a 三是相等的。于老师，为什么这里呃也是相等的呢？你比如说我可以把在这里呢做一条平行线，使得上下这两个三角形全等啊，全等。那么下面的这个 a 字形是不是就和前面我们所研究证明的那个内容是一模一样的， 对吧？又因为 a 一 b 二和和这条线是相等的，那么你转换一下就可以得到它的结果哈，这样比较简单一些啊，比较简单一些。 再一个呢，是这本身我转上去之后，这个小小三角形就是独立的，对吧？那么这个三大三角形呢，它也是独立的，所以说这个边就本身代表了他自己的，那么这个 a 二 a 三呢，也代表了他自己的，所以说就不存在上下的这样一个关系，对不对？他俩相互不包含，不包含， 在 a 字型里面，它是包含的啊，好，这个呢是我们常见的两种形式，在这里呢，研究一下，这样的话呢，我们就会得到一个新的结，推论， 平行于三角形，一边的直线与其他两边相交，那么捷德的对应线段成比例，对应的线段成比例哈，好，那么在这里呢，我们看一些练习题，那么第一题呢，也很简单，如图， d e 平行于 b c， d e 平行于 b c。 你说老师，下面在这个 a b c 里面就构成了一个我们刚才所说的 a 字型，在这呢， a d 等于四， b d 等于六， a e 等于三啊，求 a c 了，求 a c 了， 在这里呢，有两种方式，你既可以用 ad 比上 ab 啊， ae 比上 ac 这种上比权的这样一个方式去求，你也可以用上比下四比六啊，等于三比一 c， 是吧？求出来 ec 再把 ae 加上，是不是就得到 ac 了？两种方式啊，很简单，我就在这里呢，就不带着大家一起算了。 第二个呢是 f g 平行于 b c， 看 f g， 它平行于 b c， 你说老师，这就是刚才的八字形了， 上一页讲的八字形对不对？那么它也是分现在成比例的啊， a f 等于四点五， a f 等于四点五，我求的是 a j， 求的是这个，那么根据刚才的这个内容呢，你看 a f 比上 a c， 是不是就等于 aj 比上 ab， 那么在在这个比值关系里面，是不是只有 aj 不知道，那么解答一下他就可以了，是不是很简单啊？很简单。 好，我们看第二题，第二题的这个平行的时候呢，我就不这样写 a 了，我就歪过来了，歪过来了哈，那么 e、 d 呢，它也是平行于 a、 b 的，在这里呢， a e 比上 e， c 等于四比三。我在这里试不小题的话，我是不是就可以假设 a e 等于四， e c 等于三，这样的一个内容就简单了，是不是 a e 比上 e、 c 呢？肯定就等于 b， d， d 比上 d、 c， 那么在这里呢，也是四比三的这样一个内容，对吧？那么 b d 比上 b、 c 呢？ b d 比上 b 啊， b c 呢？这样全的话，是不也等于 a e 比上 圈的？那不是，是不是四比七，这样很简单哈，很简单的一个比例关系啊，很简单的比例关系。好，我们看第三题，如图，在三角 表情 abc 当中呢， ef 是平行于 bc 的啊，你看 a 字形里面是这样的一个平行，其实和我们前面的题是不是都很都已经很相似了啊，我觉得没有什么太多过分的可以去讲的哈。 在这我们看一下， a e 等于 b e， 它等于七，然后呢， f c 等于四，问我们 a f 等于多长？这太简单了，七比七应该等于 a， f 比四，那么 a f 只能等于四了，是不是啊？在这也没有单位，所以说我们也可以不加， 呃，啊，我们就不用加了哈，不是说可以不加啊，呃，第二个呢，是说若 a b 等于十， a b 等于十，我们把这个先擦一下，这个痕迹擦一下， 然后呢， a b 等于十， a b 等于十，然后呢， a e 等于六，那么是不是 b e 就等于四嘛？ a f 等于五，然后呢？求 f c， 那么六比四是不是等于五？比 f c， 那么还是，哎，比值当中呢？ 四个，四个量啊，有，有一个不知道那是不是就可以解出来，很清楚的解出来，好，这是这样的一个关系啊，这样的一个关系啊，不清楚的同学呢，可以在这里暂停，把这个过程再看一下，他从不同的角度呢，都有解答，都有解答，举一反三的这样一个效果 好。第四题，我们继续看，如图，已知菱形，我们把菱形的内容呢也嫁接过来了，菱形他是一个特殊的平行四边形，对不对？四边平行啊，啊，不对，对，边平行且相等，而且他的四边呢，也是相等的，对不对？然后呢？呃，对角线呢，是垂直平分，垂直平分 对菱形相关内容在这里提到了，那么你不清楚的，你赶紧翻书往前翻一下，看看它的性质和判定啊，看看它的性质和判定好，这个菱形呢，它内结于 a， b e， a e f， 灯中呢， a e 等于五，整体等于五， a f 整体等于四，那么可能就要用到啊，上笔拳或者下笔拳的这样一个这样这样一个内容，对不对？求菱形的编程在这里呢，你看编程都是带单位的哈，你要注意， 菱形的变成菱形的话，有四条边，四条边都内接在里面，那么我在这里假设一下啊，假设他们都是 x， 假设出来之后，你看 b， e， d， f 什么的都可以知道，对不对？我们在这里呢，用一组平行关系来看一下， c d 平行于 a e， 那么我们就可以知道 x， 你不是这个 d c 啊， d c， 它比成 a e， 它是不是就等于我的这个 d f 比上 a f 这样的一个关系，对吧？这是我们刚才证明的一个结论嘛。呃，那么，呃，在这里的话，就转化成 x 比上一个五，它就等于我的四减 x 比 上四，是不是啊？得到这样的一个笔直关系，然后你解出来 x 就 ok 啦， ok 啦，于老师，我在这里呢，我要用 b c 比上 a f 这，呃， b c 平行于 a f 这两个关系去解，那也是一样的，好， 看下这样的结论，那九分之二十厘米啊，注意在单位。好，第五题，我们再看一下。第五题呢，也很简单啊，他只是在两个三角形里面去研究同一组呃，这个平行平行线了， 那么 a b 等于 a c 是等腰三角形，等腰三角形最重要的呢， a d 垂直于 b c 是吧？底边上的高，那么三线合一，这样的话，我也能够得到 b d 是等于 d c 的这样一个内容。又因为 m 是 a d 的终点，那么 a m 是不是也就等于 m d？ 在我们平行线分线段成比例的这个这一 部分的内容的时候呢，要特别关注终点的这个说法啊，只要是终点的话，那么他就一样，那么他们的比值就得一比一啊，如果用中间一段去比成全部的呃程度的话，那他就是一比二， 对不对啊？啊，他，所以说呢，他就本身就存在了一种笔直的关系，要注意一下，在这里呢， d n 平行于 c p， 你看 d n 啊，平行于 c p， 那么 d n 是不是和 p m 也是平行的，也是平行的啊？好，那我们看第一问， a b 等于六厘米，求 a p 的长， a b 等于六厘米，求 a p 的成，只求这一段。于老师，这咋办了啊？我也不知道咋办，对不对啊？你说这个东西，你说全程是这么多，然后呢？他只有这一半，那我们去分析分析吧啊，别着急，既然有平行，那我们去找线段就行了。你看 p m 平行于 n d， 呃，那么我的这个 a p 比上 n p 是不是就等于 a m 比上 m d， 对吧？那么 a m 和 m d 是相等的一比一的关系，那么这里是不是也是一比一的关系啊？我只是标记一下，这是一比一的意思哈，不是说它的长度就是一啊。 然后呢，你说，老师，这样我得到了一个一比一，这也还有个重点，我再用一下 n d 平行于 p c， 那么我的 b n 比上 p n 是不是就等于 b d 比成 d c， 那么他也是一比一的关系？那你说好了，老师，我得到了 a p 等于 p n 就等于 b b n， 那么他，他们都等于三，呃，都，呃，这个，这条线段是不是就三等份了？那么就等于二吗？ 对吧？二厘米，是不是啊？很好解决哈，那么开再看 p m， 你说 p m。 刘老师， p m 的话，它要是研究这一段， 那么就是我们上面所证明的那个结论。你看他在这个三角形里面，他是这个这一条边，那么他比上下面的这个大边啊，长一点的边 n d， 他就等于这个比成，这个，是不是一比二的关系啊？那么如果他等于一，那么这一条边就等于二。同理啊， n d 平行于 p c， 我放在这个大三角形 p b c 里面就可以得到 c p 也是他的二倍。 c p 等于四， 等于四厘米啊，等于四厘米。在这里呢，同学们要注意哈，注意我们知识的灵活运用，灵活运用。 好，我们在这里呢进行一个本节课呢，进行一个简单总结，平行线分线段成比例，一个呢是基本事实，一个是推论啊，一个是推论，关键在于搞清楚我们平行线分线段成比例对应线段的这个内容。再一个呢就是我们增加的 这个推论啊，推论把要把平行线分线的成比例呢放转移到平呃，这个三角形里面去研究，这是在三角形里面考察的更多，考察的更多，因为一旦到了三角形，他就可以和所有的内容进行 进行结合了，和四边形和三边形，对不对？要和三角形这样结合起来之后呢，考察的知识点呢就更加综合一些，综合一些，所以说呢，在三角形里面研究线段成比例更加的频繁和重要。好，同学们辛苦了，这节课呢就上到这里，谢谢大家。

目标读一遍啊，重难点不读，理解预备起理解线段的比与成比例线段的关系，了解并掌握环境分割问题 啊。根据我们的学习目标，我们知道我们这节课有几个内容啊。两个啊，那我们来看一下这个照片是谁啊？我是李老师，我的美照啊。听说啊，穿高跟鞋会让人变得什么呀， 有气质啊。那你看一下我身高一米六五，你们觉得我应该穿多高的高跟鞋会看起来比较美啊。你擦一下嘛，两米两米的腿让我的踩粪田高了啊。有没有不同的两厘米，两厘米，三厘米，五厘米三厘米。那到底是几 厘米呢啊，刚刚说两厘米的就有点干嘛哈哈哈，我们平常的鞋都有什么两厘米，那到底是几厘米呢？就是我们这节课要学的内容了啊。 好，我们来看一下啊。请同学们计量一下 abacbc 的长度， 我们分组讨论吧。以同桌为小组啊，每个人计算一个什么呀？三角形刚好同桌之间可以干嘛一人算一个啊，然后顺便再把这个笔直干嘛求出来一下。 像我们的 b c 可以直接通过小方格数出来。那我们 a b 能不能数出来呀？不 那我们要通过什么呀？ op 啊，看来同学们掌握的都不错啊，那我们快速把它算出来啊。算好的同学请举手啊 啊有些同学好了啊。好，那哪位小组愿意展示一下他的呢？好，那那你来吧。 a b 等于几？ a b 等于 a， b 等于根号二 b c 呢？ b c 等于二 a c， a， c 等于二倍，根号十。根号十根号十啊，次 a 次 b 呢？二倍根号二，次 b 次 c 四四 hc 二倍等号十。好，同学们，他的答对了没有？答对了，跟你们的一不一样。一样，那他们的比值都是几啊？ 啊，那，那么他的笔是干嘛？相当的请坐啊。那我们来看啊，我们的 ab 指的是 片段吧？对，那我们的根号二指的是他的什么呀？直，他的指什么长度？他的什么呀？长度。那我们根号二比上二倍。根号二是他们的什么比啊？长长度的比。那我们把这只称之为什么呀？ 线，线段的什么呀？比。那我们再来看他们的比值都是多少？两点五。那这四条线段其中两条线段的比值等于另外两条线段的比值，那我们称之为什么呀？乘以比线。

嗨，同学，今天呢，和老师一起来学习九年级上册教材习题四点二的内容。 首先呢，我们还是同样跟四点一一样习题四点一一样，我们先把第一节的这个内容呀复习复习一下。 首先呢，它是成比例线段。在这里面呢，我们说了两个概念，一个是线段的比，一个是成比例线段。而重点呢，在于成比例线段， 明白吗？线段的比当中分为它是两项，是吧？前项和后项。然后呢，它的长度比呢，是它的呃，不对，它的线段的比是它线段长度的比，这里的长度呢，单位要化成一致，但是它的比值是一个不带单位的正 对不对？这是我们需要注意的点，如果你不清楚了，请把前面的呃知识课程的内容再复习一下。 第二个呢是成比例线段。成比例线段呢，一定是四条线段，四条线段做比较，如果 a 比 b 等于 c 比 d 啊，那么这四条线段呢，就叫做成比例线段，也叫做比例线段啊，构成比一定比例的一种线段啊，简称比例线段。 在这里呢，需要注意的呢，就是说 abcd， 他是有顺序的，你比如说我写成 bacd， 他可能就是另一种形式了。另一种形式啊，一定要注意在这里的一个顺序 啊，顺序是最重要的啊。好，那么我们再看第二部分，就是比例的 一个性质。性质呢，主要是运用来呃，用来计算的啊，其中有基本性质， a b b 等于 c b d， 那么 a d 等于 b c 是不是十字相乘，它的对角相乘，它是一样的， 会反映到我们小学宿舍学习的知识点呢，就是外向之和等于内向之和。那不对，外向之积等于内向之积啊，刚才说错了， 外向之机等于内向之机，对不对啊？那么他如何来进行一个转化呢？我们在两边同乘以分母 b、 d 就行了吗？对不对？或者同除以 b、 d 是不是有相反也是可以成立的等比性质呢？ 他是用什么呃办法来证明的呢？就射 k 法是吧啊，让 a， b， b 等于 c， 比 d 等于等于等等，等于 n 分之 m 等于 k， 然后呢，我就能够知道 a 等于 b， k， c 等于 dk， 是不是这样的话，我们把分子全部换掉，然后呢，能够得到一个这个结果，他也等于 k 值，所以说呢，他等于技能等于 b 分之 a， 在这里写上 d 分之 c 也是可以的，写成 n 分之 m 也是可以的。这个呢，在咱们前面都讲过啊，讲过。 好，那么我们今天呢，来看一下四点二的这样一个内容啊。第一题呢，是已知 a 比 b 等于 c 比 d 等于 e， b， f 等于三分之二， b 加 d 加 f 不等于零，这是很标准的 等比性质，对不对？ 很标准吧？很标准哈，很标准，来，我们翻前看一下，对不对啊？ 所以说呢，在这里没有多，没有过多可讲的，对不对啊？那么我们直接运用了那个呃性质公式就可以是吧？啊，我们让分子之和啊，比上分母之和，他是不是还等于原先的 b 分之 a， 也就是说它还等于三分之二的这样一个内容，是吧？非常简单啊，非常简单， 对吧？好，下一个，如图，已知每个小方块的边长均为一啊，小方块的边长均为一。我们很多这样的题哈，很多这样的题 求出来， a， b， d， e， b， c， d c， a， c， e， c 的长，并计算这两个三角形周成的比。哎， 刘老师，这很简单呀，你看 a， b， 它等于什么？一二三四，呃，五六是吧？这一二三四这个边呢？是一二， 那么是不是就有在，既然在小方格里面是不是都满足勾股定理的这样一个内容？这样的话呢，我们算出来， ab 啊，他等于根号下二的平方加上四的平方，这是二十是吧？那么有根号二十也是二倍的根号五没有单位，所以说我们这里也不加单位。 ab， a， b 算出来之后呢，它算 d， e， 我们先算外面这个大三角形的哈，因为它被最后被人三角形的比嘛， 这样的话呢，我们就能够得到。呃，这个 b， c， b， c 呢？大家算一下哈， b， c 的这个呢，它等于二的根号十，对吧？这是二，这是一二三 三四五六六啊， a， c， 然后呢，我们就可以求 a， c 啊， a， c 在这里呢是二， b 的根号是三这样一个内容， 那么，呃，这是外面的这个三角形。有了，我们看看里面的三角形， d， e， i， 呃， d c， i， 呃， d c， e 啊， d c， e， 因为它呢，也就是说我们求 d e， d， e 是不是很好求根号五啊，根号五，那么 d， c 呢？ d， c 是不是一三？根号十，然后呢，这个是 e， c 啊， e， c， 你看 e， c 才放在这里，这不是一二，这是一二三，是吧？二二得四，三三得九，根号十三，对吧？根号十三， 然后呢，你说，老师，既然每边每个编程都知道了，那么他的周长比，我是不是把这个三三边加起来就是三角形？ abc 的周长，这 这三边加起来是三角形 e、 d、 c 的周长，然后呢，我直接笔直一下就可以了吗？对不对啊？笔直一下就可以了，你看这个根号五根号十根号十三，根号五根号十根号十三。所以说呢，不提出一个二，那么就整个他的周长比上他的周长肯定就等于二， 你说老师不？我不这样算啊，我就，我就比较骚包啊，我就比较，呃，这个厉害啊，我就要用今天所学的知识了， 今天所学的是知识啊，还有咱们课本上是不是有例题啊，他也算过这个周成的，他通过一定的笔去算了一个周长，对不对？那么通过周长也能算到一个笔，对不对？那么你看 运用我们，呃，这个，呃，等比性质啊，等比性质，那他是不是我可以得到 a、 b 等比比上 d、 e， 它等于啊？二比一，那么这个，呃， b、 c 比上 d， c 是不是也等于二比一？还有什么？ a、 c 比上 e、 c 是不是也等于二比一， 对不对？那么这样的话呢，也就说这三个式子都相等了，那么它的分子加起来比上它的分母加起来是不是还等于它本身的一个比值， 对不对？这个分子加起来是不是正好是 a、 b、 c 的周长？分母加起来正好是 e、 d、 c 的周长，明白了吗？在这里可以分开处理啊，可以用不同的形式处理，都是对的。 好，第三题，第三题，我们在讲课的时候呢，本身就已经说过了，如果 b 分之 a 等于 d 分之 c 啊，呃，求证一下，他或者他成立不成立，结论正确吗？正确啊，为什么呢？ 运用等式的性质，我两边同时加一。同时加一啊，两边都加一，那么是不是得到他了？我如果两边同时减一等号两边同时减一，是不是得到他了啊？这个很简单哈，我们在上课的时候已经讲过了。所以说在这里呢，我只是提醒一下大家。 好，同学们， ct 四点二的内容呢？本身就很少啊。说是这这个使用的呃，知识点呢？也就是那个等比性质。等比性质，所以说其他的内容呢？没有很多哈。虽然在这节课我们就上到这里。谢谢同学们啊。同学们辛苦了。好，再见。

首先我们来看一下笔的意义，我们现在讲的是线段，所以我们要来了解一下什么是线段的笔的意义， 我们可以类比一下笔的意义，我们说两条线段的长度的笔就叫做两条线段的笔。 我们来完成一下这样一个小问题，求线段 a 与线段 b 的比， a 等于三米， b 等于一百五十分米， 那么要去求 a 与 b 的比，那就是三米比一百五十分米。我们发现都是线段， 但是他们的长度单位不统一，所以我们第一步应该将他们的单位化为 统一的单位，比如我们都把它们化成分米，那么就是三十分米比一百五十分米，所以我们化简一下这个比，就可以得到 abb 等于一比五。 好，那么我们知道了笔直的意义，那考虑一下线段的笔直的意义又是指什么呢？ 两条线段的长度相处所得的伤叫做两条线段的笔直， 因为我们的线段的长度是正量，所以两条线段的笔直总是一个站住。 那么你会求线段的笔直吗？来看一下这个问题 之点， b 在线段 ac 上， bc 等于两倍的 ab， 求下列各组线段的比值。 本题我们觉得还是比较难入手的，那么可以借助图形来帮助我们更好的理解问题。 首先画一条线段 ac， 在 ac 上找到 b 点，满足 bc 的长度等于两倍的 ab， 如果 ab 射为 k， 那么 bc 就应该是两 k， ac 的长度就是三 k。 好，那第一问要你去求 ab 与 bc 的比值，思考一下， ab 比 bc， 也就是 k 比两 k， 他的比值 就应该等于二分之一。第二小问要求的是 ac 与 ab 的比值， ac 比 ab， 那就是三 k 比 k， 所以他的比值就等于三。注意比值是一个数，所以答案就是三。 同样，第三问 bc 比 ac， 他的比值是多少， 我们同样可以用这个方法去完成，所以 bc 与 ac 的比值就应该等于三分之二。 好的，前面通过类比，我们得到了线段的比以及笔直的意义，那么比例的意义有了，我们类比来学习一下比例线段的意义， 我们同学思考一下，其实比例线段是有着特定含义的一种比例。我们说对于四条线段 abcd， 如果 a 比 b 等于 c 比 d， 那么 abcd 叫做成比例线段，简称比例线段。 我们依旧把 a、 d 称为比例外向线段， bc 称为比例内向。大家在表述比例线段时要注意顺序， 想一想，如图，如果敌意是三角形 abc 的中位线，那么线段敌意鼻息 a、 d、 a、 b 这些线段是否成比例呢？ 我们思考敌意，因为是条中位线，我们可以发现敌意比 bc 就应该等于一比二，而 ad 比 ab 同样也是一比二， 这两个比的比值是相等的，所以我们能得到敌意比敌 c 就应该等于 a 敌比 a 敌， 所以我们说线段的 ebcad， ab 是比例线段。我们同学了解了什么是比例线段， 在学习比例的时候，我们学过比例的基本性质，也就是两个外向的基等于两个内向的成绩。那么比例线段呢？ 因为比例线段是有着特定含义的一种比例，所以他也应该满足比例的基本性质， 所以我们可以得到比例线段的基本性质。也是如果 abb 等于 cbd， 那么我们可以得到这样的成绩，是 ad 等于 bc， 我们还可以得到以下的这些性质， 思考一下比例线段除了上述性之外，还有其他性质吗？我们提出这 一个问题，如果线段 abcd 满足 a 比 b 等于 c 比 d， 那么 a 加 b 比 b 是否等于 c 加 d 比 d 呢？ 拿到一个问题，我们应该如何解决？我们想，既然他是满足这样个比例式，也就是说这两个比的比值是相等的。我们利用比值的意义， 可以设他们的笔值为 k， 那么我们就可以得到 a 应该等于 k 倍的 b， c 等于 k 倍的 d， 然后把 a 和 c 用 bk 和 dk 带入我们来看一看， a 加 b 比 b 可以写作是 k 倍的 b 加 d 比 b， 它的比值就应该等于 k 加一。 同样， c 加 d 比 d 可以看作是 k 倍的 d 加 d 比 d， 他的比值也等于 k 加一，从而我们得到了 a 加 b 比 b 等于 c 加 d 比 d。 除了这个方法，那我们还有没有其他的方法呢？我们可以从结论来入手， a 加 b 比 b 可以化为 b 分之 a 加一， c 加 d 比 d 可以化为 d 分之 c 加一， 使得这两个等式的左边相等，那只要使得他们等式的右边相等， 这里的一显然是相等的，所以我们只要说明敌分之 a 等于敌分之 c 即可。而题目就告诉我们 abb 等于 cbd， 所以我们可以由 a 比 b 等于 c 比 d， 在这个式子的两边同时加上一，从而就能够得到 a 加 b 比 b 等于 c 加 d 比 d。 我们再来看一下这两种方法。第一种方法，我们是从已知条件来入手，利用笔直的意义和字母表示 数以及等量代换的思想，从而解决问题。而方法二是从结论入手，通过对问题的分析，从而解决问题。 其实在我们的日常的一些练习中，从已知入手和从结论入手都是我们常用的一些方法。 好的，现在我们已经得到了，如果 a 比 b 等于 c 比 d， 那么 a 加 b 比 b 等于 c 加 d 比 d， 那么如果我要你说明 a 减 b 比 b 等于 c 减 d 比 d， 你能完成吗？ 其实我们同学可以仿照前面的做法。第一个，我们可以利用笔直的意义， 这 a 比 b 比值等于 k， a 的用 k 背的 b 来替代 c， 用 k 背的 d 来替代他们，比值相等，从而可以得到这个式子是成立的， 当然我们也可以用分析法来完成，我们可以看成是这个等式的两边同时减去那个一，然后整理后就可以得到这样一个比例。是我们把这两个结论叫做比例的合比性质。 那么还有没有其他的性质呢？我们再来思考一下这样一个问题，如果我们设 a 比 b 等于 c 比 d， 设它的比值为 k， 那么 a 加 c 比 b 加 d， 他的理值 是不是也等于 k 呢？我们怎么来完成呢？既然题目告诉我了他的笔值为 k， 所以我可以表述 a 就应该等于 k 倍的 b， c 等于 k 倍的 d， 所以 a 加 c 比 b 加 d 就等于 k 倍的 b 加上 k 倍的 d 比 b 加 d， 所以它的比值还是等于 k， 从而解决了这个问题。 那么我们把这样一个结论称作为比例的等比性质。 等笔性质也可以推广到任意有限多个相等的笔的情况，比如 a 一比 b 一等于 a 二比 b 二等于 a 三比 b 三等于 k。 此时我们可以将笔的前向相加，笔的后向也相加，得到 a 一加 a 二加 a 三 d， b 一加 b 二加 b 三，他的结果也应该等于 k。 在这里， a 一 a 二 a 三 b 一 b 二 b 三可以指线段的长，其实也可以指其他桶类的量。 那么在实数范围内，要使等比性质仍然成立，还要注意什么呢？对，我们要注意式子的分母 不为零，也就是 b 加 d 不能等于零， b 一加 b 二加 b 三也不能等于零。 接下来我们能不能运用前面所学的知识来完成书上的这两道练习题呢？请我们同学自己完成一下。 好的，相信我们同学已经有了答案，我们一起来完成。 首先第一题已知 x 比 y 等于五比二，而我们要求的是 x 加 y 比 y， 我们可以根据合比性制， x 加 y 比 y 其实就等于五加二比二，所以答案应该等于二分之七。 那么我们也可以利用射圆的方法来完成，因为 x 比 y 是五比二，所以我们可以射 x 等于五 k， y 等于二 k， 那么 f 加 y 比 y 就是五 k 加二 k 比二 k， 所以他的比值就是二分之七， 你做对了吗？再来看一下第二小问，题目告诉我们， a 比三等于 b 比四等于 c 比五，而 a 加 b 加 c 等于三十六。 通过这个问题，我们发现题目告诉我们是 a 加 b 加 c， 正好是这三个比的浅象的和。那么你会想到什么？ 我们会想到比例的等比性质， a 比三等于 b 比四等于 c 比什么？那么也等于 a 加 b 加 c， 比三加四加五， 而 a 加 b 加 c 等于三十六，也就是得到了这个笔值应该等于十二分之三十六，从而笔值就是 三。那么通过 a 比三等于三就能够求得 a 的值等于九。同样我们也可以求得 b 和 c 的值分别是十二和十五。那你还有别的方法吗？ 同样我们可以利用社员的方法来解决这个问题，我们可以设他的笔直为 k， 所以 a 就应该等于三 k， b 等于四 k， c 等于五 k。 因为题目告诉我们， a 加 b 加 c 等于三十六，从而我们把 k 的代数式带入，可以得到三 k 加四 k 加五 k 等于三十六，从而求得 k 的值为三，那么我们就可以得到 二 abc 的值分别为九十二和十五。好的，看来我们同学已经会使用比例的合比性值和等比性值来解决一些问题了。 接下来看下例题已知如图， a、 d 比 d， b 等于 a， e 比 ec。 求证。第一个问题， a、 b 比 d， d 等于 a， c 比 e、 c。 我们来观察一下要求的这个结论和题目的已知有没有什么相同的地方。 我们发现笔的后向都是相同的，那我们再来看一下这些笔的前向又有怎样的关系呢？线段 a、 b 和线段 a、 d 有怎样的一些关系？我们不难发现， a、 b 的成就等于 a， d 加 d b， 而 a、 c 的成等于 a， e 加 e、 c， 那么我们可以利用合比性质来解决这个问题。我们开始书写一下 证明。第一小问题目告诉我们， a、 d 比上敌 b 等于 a， e、 b、 e、 c， 我们利用合比性质就能够得到 a 迪加上了迪比比迪迪 等于 a， e 加上 e， c 比上 e c， 这时候我们会发现 a d 加上 d， b 就是 a d， a e 加 e， c 就是 a c， 所以我们得到 a 比比敌比等于 a， c 比 e c。 完成第一小问，接下来再来看一下第二小问。 让你说明 abb ad 等于 ac 比 ae。 我们再来考虑一下这个结论与题目的已知有什么相同的地方， 我们发现都有 a d， 也都有 a e， 但是他们的位置 却不一样。我们可以把已知条件的这个比例是利用比例的性质进行转化。 因为 a d 比 d， b 等于 a， e 比 ec， 所以 d d 比 a， d 等于 e， c 比 a e。 然后进一步来观察一下现在这两个柿子当中有什么 不同的地方。我们发现笔的前向是鼻笛，而这里是 ab， 我们可以把这类 ab 看作是 bd， 加上 ad 就能解决问题。所以再次利用我们的合笔性质， 所以迪迪加上了 a， 迪比上 a， 迪 等于 ec 加上 ae 比 ae， 所以我们就可以得到 abb， ad 等于 ac 比 ae。 你清楚了吗？ 那接下来老师就要考考我们同学了，请我们同学自己来完成一下书上的 这道练习题。 好的，相信我们同学已经有了结果，那么我们一起再来看一看你是否做的正确。 题目告诉我们已知如图，线段鼻笛与线段 ce 相交于点 a， 并且告诉我们 a d 比 d， b 等于 a， e 比 c e。 要么说明 a d 比上 a 比等于 a， e 比上 a c， 那么我们发现要求的这个比例是和我们的已知的比例是有哪些是比较相像的地方？ 我又发现他们的各相比的浅象都是 a b 和 a e， 那么我们想到是不是可以利用和比性质来完成本体， 所以我们可以先有比例的性质，把它写成 bd 比 ad 等于 ce 比 ae， 然后再利用合比性质 bd 减 ad， 这样我们是不是就可以得到我们所需要的 ab 了呢？ c e 见 a e 是不是就可以得到我们要求的 a c， 从而我们可以得到 a 比比 a d 等于 a c 比 a e， 然后我们再利用比例的性质，把它写成 ad 比 ab 等于 ae 比 ac。 再来看一下第二小问，要你说明的是 abb ac 等于 adb ae 这四条线段有没有感觉非常的熟悉？其实就是第一小问的这四条线段， 那么我们可以利用比例的基本性质，我们可以将这个比例式首先写成乘积式的形式， a d 乘以 a c 就应该等于 a b 乘以 a e， 从而再将乘机式写成比例式， abb ac 就等于 abb ae。 你做对了吗？ 已知如图，四边形 abcd 的对角线 acbd 相交一点欧，三角形 aod 的面积等于三角形 boc 的面积。 要么求证 d o 比 o b 等于 c， o 比 o a。 我们发现题目的已知是两个三角形的面积相等，而要我们说明的是线段成比例， 那么如何建立起两者之间的联系呢？三角形的面积和边有怎样的关系？ 我们想到三角形的面积应该等于底乘以高的一半， 所以看到这里的比例线段，我们能不能将它转化为三角形面积之间的关系呢？如果我们过点 a 去做 ah 垂直于鼻笛， 垂足是点 h， 那么我们会发现三角形 a、 o、 d 和三角形 a、 o、 b 这两个三角形的面积之比，其实可以看作是底边之比，欧 d 比上欧比， 因为这两个三角形是同高三角形，他们的高都是 ah， 那么这样我们利用同高的两个三角形的面积支笔，就可以转化成他们的对应的底支笔。我们来书写一下， 因为三角形 a、 o、 d 的面积等于二分之一 d o 乘以 ah， 三角形 a、 o、 b 的面积等于二分之一欧 b 乘以 a， 那么三角形 a、 o、 d 的面积比三角形 a、 o、 b 的面积就等于 d o 比欧 b。 同理，我们还能得到三角形 boc 的面积比上三角形 aob 的面积等于 cobo a。 这时我们在结合题目的已知三角形 aod 和三角形 boc， 他们的面积是相等的， 从而我们就得到了 dobob 等于 cobo a。 那么现在老师把这道例题中的一个条件，三角形 a、 d 与三角形 b、 o、 c 的面积相等改一改，如果给你的是 d c 平行 a、 d， 请问这个时候我们还能够得到这个结论吗？ 我们同意思考一下，虽然已知条件发生了变化，但是我们知道，如果能够说明三角形 a、 o、 d 和三角形 b、 o、 c 他们的面积相等， 是不是就可以得到这个线段成比例了？那考虑一下，如果说 dc 和 ab 平行， 我们能不能得到这两个三角形面积相等呢？ dc 平行 ab， 那我们能得到 哪些三角形的面积是相等的？好，我们不难发现，三角形 abd 的面积与三角形 b、 ac 的面积是相等的， 因为这两个三角形他们都是共同的底边 ab， 而他们的高是相等的，所以他的面积也是相等的。 同理，三角形 acd 的面积与三角形 bdc 的面积也是相等的。 我们进一步的观察到三角形 d、 ab 和三角形 cba， 如果大家把重合的这个三角形 o、 ab 的面积去掉，这时我们就 能得到三角形 aod 的面积就等于三角形 boc 的面积。 所以我们遇到新的问题的时候，我们可以通过转化的思想将未知转化为可知，从而更好的去解决问题。好，这道例题是老师带着大家在完成，接下来就看看我们同学自己的本事了，请同学完成这道练习题。 好的，我们同学肯定已经有答案了， 我们一起来对一下。如图，已知 ad 和鼻翼是三角形 abc 的两条高，题目告诉我们是三角形的两条高，要我们说明的是 bc 比 ac 等于鼻翼比 ad， 要说明线段的长度成比例，那么我们会想到些什么， 给了我们三角形的高，这时我们又会想到三角形的面积，因为 ad 和鼻翼是三角形 abc 的两条高， 所以三角形 abc 的面积可以看成是二分之一的 bc 乘以 ad， 我们也可以看成 是二分之一的 ac 乘以鼻翼，分别把它看成是鼻息为底， ad 为高的三角形，也可以看成是 ac 为底，鼻翼为高的个三角形，那么他们的面积肯定是相等的， 从而我们得到了这样一个成绩是 bc 乘以 ad 等于 ac 乘以 be。 有了这个成绩式，我们会发现我们要求的这个比例是只要进行一个转化就可以了，从而我们可以得到 bcbac 等于比翼比 ad， 你做对了吗？好，比例线段我们知道讲的是四 条线段的关系，那么如果这四条线段中有相等的线段，那又会出现怎样的情况呢？我们一起来看一下下一道例题。 如图，线段 ab 的长是 l， 点 p 为线段 ab 上的一个点， pb 比 ap 等于 ap 比 ab， 要我们求线段 ap 的长，我们思考一下。题目是知道了这条线段 ab 的长是 ar， 要我们去求的是线段 ap 的长，那不妨我们可以设 ap 的长为 x， 那么线 段 pb 的长就是拿全长减去了 ap 的长，所以是 ar 减 x。 那接下来呢？我们可以根据题目的已知条件给你的这个线段的比例关系，然后我们可以得到方程 ar 减 xbx 等于 xbl， 然后我们可以将比例式转化为乘积式，得到 x 的平方，加上 arx 减去 al 的平方等于零， 去求解这个关于 x 的一元二次方程，从而得到方程的两个根 x 值应该等于二分之负一，加 解根号五 l。 考虑一下这两个解是否都能取呢？ 因为我们知道线段的长都是正的，所以这里的 x 只能等于二分之负一，加上根号五 l 负值要舍去， 从而我们就得到了线段 ap 的长是二分之，跟毫无简易的 l。 好的，那么我们知道了 a p 的长度是二分之，根号减一 l， 而 ab 这条线段长是 l， 那么他们的笔值 apbab 就应该等于二分之，根号五减一。 在这里我们还发现 ap 是这个比例适中的第二和第三比例项，并且是相等的，那么这个时候我们就把 ap 称之为是线段 ab 和 pb 的比例中项。 其实这个批点非常的特殊，如果点批把线段 ab 分割成 ap 和 pb a， p 大于 pb 的两段，其中 ap 是 ab 和 pb 的比例中效，那么称这种分割为黄金分割 点，批成为线段 ab 的黄金分割点， ap 与 ab 的比值二分之，根 号五减一，称为黄金分割数，简称黄金数、黄金分割数，它是一个五里数，在应用的时候我们通常取它进四值为零点六一八。 我们再来结合图看一下，批点是线段 ab 的黄金分割点，这时我们满足批比比 ap 等于 ap 比 ab 等于二分之，根号五减一。 那有同学说，老师我这样记很麻烦，那我们可以结合图来更好的理解。首先批鼻这条线段我们可以看成是较短的一条线段，所以我们说是较短的线 段的长比 ap， 也就是教程的线段长等于 ap， 教程的线段长比 ab， 也就是这条线段的全长， 他的笔直就应该等于二分之，根号五减一。那么结合图形，我相信我们同学能够更好的去理解我们的黄金分割。 我们同学想一想，一条线段有几个黄金分割点呢？ 有两个，我们思考一下，这里一个批点是靠近点移的位置，那是不是这里也应该有一个批撇点是靠近点 a 的位置呢？因为我们线段是 个轴对称图形，我们可以把它翻折一下，所以一定是对称的，那么这样的话，我们发现他有两个黄金分割点。 接下来我们同学能不能利用黄金分割来解决一些问题呢？我们同学自己练一练，完成术后的两道练习题。 好的，让我们一起来完成一下。第一题，已知线段 a 是四厘米， c 是九厘米，求线段 a 和 c 的比例中向 b。 那我们思考一下，线段 b 是 ac 的比例中项，这时我们能够得到 a 比 b 等于 b 比 c， 那么可以将这个比例是转化为成绩，是得到 b 的平方等于 a c。 因为 a 是四厘米， c 是九厘米，所以我们可以得到鼻的长度就应该等于六厘米， 我们同学注意一下，能不能等于负六厘米啊？不可以，因为所有的线段的长都是正的。第二小题，已知线段 amm 的长为两厘米，点批是线段 amm 的黄金分割点， 则较长的线段 mp 的长是多少？既然要我们求较长的线段的长，我们思考一下。我们知道较长的线段 mp 比全长 mm 满足黄金分割数等于二分之，根号五减一。 现在 amm 的长度是两厘米，从而我们可以得到 mp 的长 度为根号五减一厘米。 较短的线段 pn 的长是多少厘米呢？我们同学可以思考一下。我们知道较短的线段 pn， 比较长的线段 m p 也应该满足我们的黄金分割数等于二分之，根号五减一。而现在教程的线段 m p 已经知道等于根号五减一了，所以只要代入就可以求得 p n 的长。 那么你还有没有其他的方法呢？哦？我们想到一条线段被分割成了两个部分，较长的部分 是根号五减一，那么信要求较短的长度，那只要拿全长两厘米减去较长的部分，根号五减一， 那么这样的话我们会算的更快，得到较短的线断的长应该是三减根号五厘米， 所以我们在算较短的线段的长之后，老师建议大家可以利用加减运算，要比我们的乘除运算来的方便，更快的可以得到结果。 其实在我们现实生活中，黄金分割被广泛的在应用，无论是在建筑学、美学、艺术学都有所涉及，我们一起来欣赏一下。 首先第一幅图，古希腊的帕特农神殿，无论是从他的立柱的位置衡量，还是屋顶， 处处都存在着黄金分割术。再来看一下第二幅图，我们同学应该很熟悉了古埃及的金字塔， 虽然金字塔有大有小，但是这些金字塔的高与底边的长支笔都接近零点六一八。 看过古代的这些建筑，我们再来看看我们熟悉的东方明珠，东方明珠之所以能够成为上海的地标，自然说明东方明珠的美，他的美美在哪里？我们发现这中间这个球体塌到地面的高度 与整个东方明珠的塔身的高度之比，也是接近于黄金分割数。 再来看一下这幅图，达芬奇的蒙娜丽莎，这幅画之所以能成为名画，也就是在于他的美美在哪？ 我们发现蒙娜丽莎，他的脸部的五官，他的头和身体的比例，其实处处都有黄金分割的味道。 我们说黄金分割和勾股定理是被誉为几何学中的双宝，他在我们现实生活中有着极其广泛的运用。

好，各位同大家好，我是你们的王老师。哎，那么今天的话呢，我们来看这个比例线段，那么这块实际上是我们相似开头的一个基础，所以说这个基础还是非常重要的。 那么首先的话呢，我们来看一下今天的一个学习目标，有两个点啊，那么第一个的话，我们要通过实践测量来理解这个比例线段，他的一个定义就是什么叫比例线段，你要知道，对吧？ 那么第二个的话，就是要掌握比例线段的一些性质，比如说交叉相乘是相对的嘛，这性质的话我们要了解一下，而且的话我们要够利用这个比例线段的一些性质来解决一些问题，那么第二个点的话是比较难的啊， 行，那么接下来的话我们就来看一下啊，首先的话呢，我们来看一个例子啊，如图的话是大小不同的一个地图，那么现在的话呢，我们在这个大地图当中有三个点， abc 三个点，那么在小 地图中的话呢，也有三个点，分别是 a 片、 b 片、 c 片。那么接下来的话我们要干一件事情啊，比如说呢，我们可以把一些相当来量一下，比如说大家可以来量一下这个 ab 的长度， ab 的话在这一块， 对吧？同样你也可以来量一下 a 片、 b 片，还有 bc， 还有 b 片 c 片。然后我们来看一下他们之间的数据，有什么有什么联系， 你比如说 ab 的话，我们量出来是两厘米，那么 a 撇 b 撇的话呢，是一点五厘米，那么接下来 bc 应该是在这一块啊，他比较长，是四厘米，那么最后 b 撇 c 撇在这一块他是三厘米， 行，那么这些数据量完之后的话呢，我们来观察一下有什么区别啊？哎，你比如说的话呢，我们来算一个值，我们先来算一个 a b 比上 a 撇 b 撇，然后呢我们再来算 b c b 上 b 撇 c 撇，大家可以来 算一下啊，你算完之后的话，你会发现这两个直直之间是有关系的啊，那么什么关系呢？我们来看一下啊，比如说呢， ab 比上 a 撇， b 撇，他就等于个二比上一点五，那么应该是四比三，那么接下来的话呢， b c 以上 b 撇 c 撇，应该还是四比三， 对吧？所以说我们就会发现啊，他们两个的比值都是四比三，是相等的，没问题吧，所以说我们可以得到一个式子啊，那么就是 ab 比上 a 撇， b 撇，他就等于个 b， c 比上 b 撇 c 撇，行，那么这个柿子的话呢，对于我们今天这一刻有什么帮助呢？我们再来看一下啊， 你比如说呢，我们在四条线段里面，刚才是四条线段啊，那么这四条线段里面的话，其中两条线段的比值，那么等于剩下两条线段的比值，那么这时候的话呢，我们可以管这四条线段呢，叫成比例线段， 对吧？我们简称为比例线段。行，那么这个的话就是我们今天要讲的第一个定义，叫比例线段。首先大家明确啊，这里面的话，我们这个规定里面是四条线段，对吧？那么其中两条之笔的话，等于另外两条之笔， 那么这时候大家注意啊，这两条的话，你可以是随机挑，对吧？只要满足两个支笔等于另外两支笔，那么就可以了。行，那么接下来的话呢，我们再来看啊，比如说呢，我们刚才这个 ab， 还有这个 a 撇， b 撇， bcb 撇， c 撇，那么他就是成比例线段，因为他都是四比三，对吧？ 那么接下来的话呢，我们再看啊，比如说来看个例题吧，那么线段 m 的话呢，是一厘米，那么线段 n 的话两厘米啊， p 是三厘米， p 是六厘米，那么现在我们要做一件事情，我们来判断一下，这四条线段他成比例吗？好，大家可以先观察一下啊， 行，我们来分析一下。呃，这个一的话和二，他们俩的比值就是一比二，对吧？那么就是 m 比上 n， 那么还剩下这两个，一个是 p， 一个是 q， 那么他们俩的比值的话，就是三比六，也是一比二。 所以说现在的话呢，我们来看一下，实际上的话，他就存在一个关系啊，就是 mbn 的话就等于个 pbq， 所以的话呢，这四条线段就满足我们刚才那个定义，那么他就是成比例线段，所以说这个题的话，他刚好是成比例的， 行，那么这个题我们就说完了，那么接下来我们再来看啊，再来看来思考一个问题啊，比如说第一个问题，我们对于线段 a、 b， c， d 的话呢，我们刚才讲的是 a、 b， b 等一个 c， b， d， 对吧？那么现在问大家一个问题啊，那么呃，这个式子如果成立的话呢，那么 a 乘 d 和 b 乘 乘 c， 他们两个值相不相等？好，大家先想一下啊，那么第二个问题是反的，假设现在是 a 乘 d 等于个 b 乘 c， 对吧？而且的话 b 乘 d 是不为零的，那么他是否存在 a、 b、 b 等于个 c、 b、 d， 原因是什么？ 行，我们来分析一下。这个的话，其实的话是不难的啊，不难的，因为我们的比例是里面他会出现一个交叉相乘，是相等的这样一个情况，所以说呢， a 乘 d， 他是等于个 b 乘 c 的，那么第一个他肯定是成立的， 对吧？那么第一个啊，那么接下来再看第二个，如果 a 乘 d 等于 b 乘 c 的话呢？ b、 d 不为零，那么这时候的话呢，我们可以把它拆开嘛，对吧？比如说可以拆成 a、 b、 b， 那么等一个 c、 b、 d， 因为交叉相乘之后，他还是相等的，所以说通过 a、 d 等于 b、 c 的话，我们也可以推出来 a、 b、 b 等于 c、 b、 d， 所以说这 正的推是反正的推是可以的，那么反着推也是可以的啊。行，那我们再来看啊，通过这个 a、 d 等于 b、 c 的话呢，我们还可以得到哪些比例是好？比如说第一个 a、 b、 c 等于个 b、 b、 d， 那么这个式子为什么成立呢？你可以交叉相乘一下，你会发现 a 乘 d， 他还是等一个 b 乘 c， 他虽然跟刚才这个式子顺序不一样，但他还是满足 a、 d 等于 b、 c 这个条件。 那么再来看第二个啊， b 比 a 等于个 d， b、 c， 这个实际上就是我们把我们刚才这个式子分子分母给他换位置了， 对吧？ b 的话原来是分母，现在在这个分子上啊，那么 d 的话，原来也是分母，现在在分子上行，所以说他也是成立的啊。那么第三个的话，就是 c 比 a 的一个， d 比 b， 那么这个的话，我们可以来验证 一下，交叉相乘，那么就是 c 乘 b， 等一个 a 乘 d 了，他也是可以的啊。那么最后一个比较复杂，他的分子的话是 a 加 b， 那么分母是 b， 右边的话分母是 d， 分子是 c 加 d， 那么这个式子实际上也成立， 为什么成立了？我们可以来证明一下，比如说呢，我们根据原来这个式子 a、 b、 b 等于 c、 b、 d， 我们会发现这个式子跟我们现在这个式子分母是一样的，但分子不一样，对吧？你看原来分子是 a， 现在是 a 加 b， 那我们可以把这个式子给它拆一下啊， 怎么来拆呢？我们可以把它拆成 b 分之 a， 再加上这个 b 分之 b， 对吧？那么这样的话，我们会发现啊，这个 b 分之 b 的话，他就是一个长数一，所以的话呢，左边实际上是 b 分之 a 加上一个一，那么右边的话同理也可以拆下，那么就是 d 分之 c 加上 d 分之 d， 对吧？这个 d 分之 d， 它也是一，那么相当于在我们原来这个式子的基础上，左右两边同时加了一个 e 嘛，那么这个式子显然也成立， 对吧？所以说这几个式子的话，他的一个原理都是一个 a 乘 d 等 b 成 c， 那么最后一个式大家可以去验证一下，比如说 a 加 b 乘以 d， 他就等于个 b 乘以个 c 加 d， 行，那么这几个式子的话呢，就是我们通过这个 a、 d 等 bc 可以推出来的。 行，接下来我们看一个例题啊，看第二题，那么这个题他说在这个 abc 中的话呢， d、 e 分别是 ab 还有 ac 上的点，而且的话呢， ad 比上 bd， 那我们来找一下啊， ad 在这， b d 在这，那么它等于个 a e 比上 c e， a e 在右边， c 也在右边。行，这个式的成立啊， 那么现在的话呢，我们可以由这个式子的话得到哪些比例是行，那比如说我们来看一下这个 a d 和 b d 的话，相对来讲他比较短，对吧？那么在左边的话呢，他实际上出过这两个短的，他还有一个最长的应该是 a b， 那么右边的话最长的是 a c， 行，那么现在这个最长的线段能不能在里面呢？我们比如说我们来写这样一个式子啊，比如说我们可以把左边写成 ab 比上 bd， 那么就是最长的比上下面这个短的， 那么右边怎么写呢？右边的话最长的应该是 ac， 对吧？那么就是 ac 比上下面这个短的 ec， 行，那么这个式子是成立的啊， 那么右边的话还有个式子， a d 比上 a b， 相当于是左边这个较长的线段比上总共最长的，那么他应该等于右边也是一致的啊，就是较长的线段， a e 比上最 长的 ac 就可以了。行，这个是结论啊。那么现在问题来了，为什么是这样呢？我们可以来证明一下啊，你比如说呢，我们来看这个式子啊， ab 比上 bd， 等一个 ac 比上 ec， 这个怎么来证明呢？我们先来找一下， ab 的话在这， bd 在这，那么右边的话， ac 在这， c 的话在这 行，这个柿子证明的话，我们首先要知道他的条件应该是这个柿子，对吧？就是 a d 比上 b d 等于个 a e 比上 c e， 那么现在的话呢，这两个柿子我们可以发现啊，他的分母都是 b、 d， 但是分子的话呢，下面是 a d， 上面是 a d， 这个 a d 要短一点， 那么把它凑成 ab 的话呢，都要交给他加一个 bd， 对吧？那么这样的话，我们给上下同时加一个 bd， 行，那么右边的话也要加给分子加一个 ec， 这样变成这个式子了。行，那么这 这个式子的话呢，它的分子 a d 加 b d 的话，就是我们的 ab， 对吧？那么右边的话， a e 加 c 就是我们的 ac， 所以说下面这个式子它也成立。 行，这个题关键是像是这个式子啊，这个式子就是我们刚才比例那个关系里面最后一个式子，大家还记不记得，就是说如果呢 a、 b、 b 等一个 c、 b、 d， 那么现在的话呢，我们给这个分子加上一个 d， 然后父母是不变的啊，这边的话呢，我们给分子加上一个 d， 那么父母也是不变的，那么这个式子的话呢，他也是成立的啊， 所以说呢，这两个式它的原理是一样的。行，这个题我们就讲完了，那么接下来的话，我们来总结一下吧，我们刚才一直说比例，现在成比例，对吧？那么怎么去判断呢？我们来给大家两个方法，那么第一个方法的话呢，首先我们可以把四条线段 那么由小到大来排列，对吧？排列好之后的话呢，我们再判断啊，前两条线段的比和后两条线段的比是否相等就可以了。 所以说分为两步啊，第一步你先排序对吧？第二步的话，你先找前两个笔直，然后第三步你再找透两个笔直就可以了。行，这个是第一个方法，那么出过第一个方法，我们还有第二方法，我们可以去查看是否里面有两条线段的机等于另外两条线段的机， 这个实际上就是我们刚才讲的这个交叉相乘之后，比如说啊 a b b 等一个 c， b d， 那么就会出现 a d 等于个 b c 这个结论， 对吧？他实际上用的是第二个。啊，好，那么这个方法的话有两个大家要记住啊。行，那么这个成比例线段的话呢，我们再来总结一下吧。啊，我们说呢，首先的话，你要知道比例线段的一个定义， 那么其次的话呢，你还要知道比例的一个基本性质，就是交叉相乘之后是相的呢。好，那我们刚才把这个这节课比例现在这个性质我们就总结完了。行，那么今天的话呢，我们就先讲到这一块，我们下节课接着来讲，同学们再见。

九年级数学同步讲第六章图形的相似一成比例线段 首先要提醒大家的是，成比例线段他是有迅速的，请看题。有三条长度分别为二、四、八的线段，请再添加一条线段，是这四条线段成比例。 那么这条线段怎么添加呢？我们受他的长度为 amy， 那么这条线段可能在这个位置，也就是 a 大于零小，要这时减到 a 等于一， 他还可能在这个位置或者这个位置， 这时 a 是大于等于二小于八，减得 a 等于四，当然他还可能在二、四、八的后面，那么此时减得 a 等于十六， 所以所添加的线段他共有四个位置，三种长度。 因此做这类题时，大家一定要注意细心。另外，大家要注意，线段的长度是正直，不可犯错。 像这练习当中的一、二两题和第三题就有所不同，大家应该注意区别。

同学们好！欢迎来到九年级数学上册相似三角形比例线段课程的学习。我是马老师。 第一部分全军出击，欢迎来到对抗路，我们重点进行知识要点的学习。第一个概念线段的 b， 大家可以看到，在上方我列出来了一张图，是 a 系列纸张尺寸的对比图。 我们常用的 a 四纸，它的尺寸长二十九点七，宽二十一，单位一米。若此时我们进行长宽的笔直求解， 可以得到长比宽等于根号二，约等于一点 c 四，那么根号也是 a 系列所有的纸张长宽的固定的笔值。 当我们看到这个笔直，我们就得到如下概念。如果我们选用同一长度单位两条线段， 把它的长度分别记作 m 和 n， 那么这两条线段的比其实就是它们长度的比。即 a、 b、 b、 c、 d 等于 m、 b、 n 或 a、 b、 b、 c、 d 等于 m、 b、 n。 写成分式的形式。 如果此时我们把这个式字用比之 k 去表示，即 a、 b 比， c、 d 等于 k。 就好比我们刚刚所写的二十九点七，比二十一等于根号。那么其实两条线段的比实际上就是两个数的比，也就是我们把这个两个数的比值最后给它求解出来。 好，我们来看一个简单的练习题。若甲乙两地相距三十五千米，图上距离为七厘米，则这张图的比例取为 好。那么这里重点我们可以看到有一个概念叫做比例尺。我们以前都学过所谓的比例尺， 它的概念必须是图上距离，比上实际距离。因此 我们必须是七厘米，比上三十五千米。在刚刚的学习过程中，我们也谈到了必须是同一长度单位，因此这里的三十五千米必须要划成 相同的厘米的单位，也就是后面加五个零。所以这个问题他的答案即为七比上三五，后面缀五个零。最后化减下来选 c， 一比五十万。 好。那么第一部分非常的简单。接下来我们再来看第二个重点概念成比例线段。 还是刚刚举例所用到的图。上方我们列出来了 a 字的长宽，下方列出来的是 a 三指的长宽。如果此时我们把 a 三指的长宽依然做一个笔直，也就是四十二比上二十九点七。 这个结果他仍然等于根号二。所以我们就得到了这样的一个式子 二十九点七比二十一点零等于四十二点零比二十九点七，他们都等于根号。好仔细的看这个数字， 此时一共有四条线段的长度单位，都是厘米。那么我 我们看到这四条线段，也就是四条线段的比，我们可以得到他们构成的一个等式，即 a 比 b 等于 c 比 d。 啊。这个时候我们就把这四条线段 a、 b、 c、 d 叫做成比例线段，简称比例线段。 好，相信同学们根据我举的这个例子，轻而非常轻松地就可以理解所谓的比例线段的概念。 接下来第三个重要的知识点比例的性质啊。这是我们本节课所学习的重中之重，希望同学们一定要认真听讲。我们回到比例的基本形式 a、 b、 b 等于 c、 b、 d。 大家可以发现一共是四项 a、 b、 c、 d。 那么我们把最外侧的两项 a 与 d 叫做 y 项， 同理，中间的 b 与 c 则称之为内项。比例的基本性质如下 如果 a、 b b 等于 c b、 d， 那么 a 乘 d 等于 b 乘 c， 也就是我们常说的两内相机等于两外相机，反之亦然。若 a 乘 d 等于 b 乘 c， 那么 a、 b、 b 等于 c、 b、 d。 比例的基本性质是我们后续进行其他内容学习的一个基础， 大家务必要把比例的基本心智掌握的滚瓜烂熟，熟练的掌握比例形式与成绩形式的转化。 好。举一个简单例子，若 a 乘 b 等于 m 乘 n， 则下列等式不成立的式好。 此时最快速的方法是什么呢？根据两内相七等于两外相七， a 乘 b 等于 m 乘 n。 第一个正确。 a 乘 b 等于 m 乘 n， 第二个正确。 c a 乘 n 等于 b 乘 m。 我们题目条件中并没有得到这样的条件啊，所以不能判断是错误的。 c、 d m 乘 n 等于 a 乘 b， 好，正确。 那么大家也可以看到这里的四 d 选项， m 比 a 等于 b 比 n， 其实就是 a 选项 a 比 m 等于 n 比 b， 它的相当于两边同时取了倒数啊。把分子和分母呢进行了对调。 ok， 第二个重要部分，我们进行比例的性质拓展学习。有比例的基本基本性质，我们可以得到反比性质，也就是刚刚所谈到的 d 选项，把分子分母进行颠倒。 第三部分根笔性质。根据两内向计等于两外向计，我们就可以得到比例。它的两个内向位置其实是可以对调的啊。这里 你的 b 与 c 可以把 c 换到左下角， b 换到右上角都可以。好，那么接下来第四个部分和第五部分啊，我们称之为和分比性质，这个非常重要。 此时为了很好的理解，我给大家做一个推导。 b 分之 a 加 b 啊，可以拆成 b 分之 a 加 b 分之 b， 也就是 e 右边同理， d 分之 c 加一，相当于左边这个式子，等式两边同时加一，因此等式仍然成立，何必限制分比性质，也就是左右两 两边同时减一，而和分比性质呢，就是两者的结合。 ok， 接下来我们来看最重要的一个性质等比性质。这也是我们在考试过程中考察最多的一部分。 若 a 一比 b 一，等于 a 二比 b 二等于 a 三比 b 三，一直等到 a k 比 b k 哦。此时我们可以推出 a 一加 a 二加一，直加到 a k， 比上 b 一加 b 二加加加加到 b k， 这个比值仍然等于 a 一比 b 一，也就是等于我们一开始的这个 比例它的值。因此我们称之为叫做等比性值。好，后面我们马上 就要学习到等笔性质的推导，我们接下来做一个引入。根据刚刚所学习的反笔性质，我们把上面这个式子 两边分子分母同时进行颠倒，可以得到二十一点零比二十九点七，等于二十九点七比四十二点零。同学们可以注意到这个式子有一个什么样的特征呢？哎，我相信你肯定已经发现了， 这个式子比例的两个内项都是同一个值二十九点七。好，我们把二十九点七称之为比例的中项。 比例中相的概念。若 a、 b、 b 等于 b 比 c， 则称 b 是 a c 的比例中相。 好，此时我们来看下面的这个图。下面这个图我们暂时的引入黄金分割的概念。弱点 c。 把线段 a、 b 分成两部分， 若此时 a、 c 比 a， b 等于 b， c 比 a、 c， 我们称线段 a、 b 被点 c 黄金分割。点 c 叫做线段 a、 b 的黄金分割点 a、 c 与 a、 b 的 b 之称之为黄金 b。 好，如果我们根据刚刚所讲的反比性质，把 a、 b 分之 a、 c 等于 a， c 分之 b、 c。 上下一颠倒，就可以得到 a、 b 比 a， c 等于 a， c 比 b、 c。 此时 a、 c 就是 整个式子的什么比例中项。因此学好比例中项，对后续我们学习黄金分割是非常有用的啊。在这里我们简单的做一个拓展，后续会进行具体的学习。 好。那么接下来呢？我们进行等笔性质这个式子，它的一个面证推导。 若此时 a、 b、 b 等于 c， b、 d 等于 e、 b、 f， 那么这个式子成立吗？我们说是成立的。为什么？大家仔细看我的推导过程。 此时我们设 a、 b、 b 等于 c， b， d 等于 e， b， f 等于长数 k 啊。因为它们的比值都相等，因此我们用一个数去表示。那么这个时候呢，更方便我们去进行求 解运算。则可以得到 a 等于 k， b 的 b， c 等于 k， b 的 d， e 等于 k， b 的 f。 其实就是每一个式子， a、 b、 b 等于 k 啊。那么我们把 b 乘过去，就可以得到 a 等于 k， b， c 等于 k， d 啊， e 等于 k， f。 以此类推。 所以整个所求的式子就变成了 b 加 d 加 f， 分之 k， b 加 k， a 加 k， f。 好。那么此时我们同时提取一个 k， 就是 k， b 的 b 加 d 再加 f 啊，上下同时消掉 b 加 d 加 f 啊，就可以得到最后的式子呢，它等于 k， 等于 a b b。 这就是等比性质的基本推导。好。看到这里，我相信同 同学们已经掌握了基本的 nb 性质。 到此为止，我们就把重要的知识要点都学习完毕。接下来第二部分进行团战练习。 在这里，我给大家精心挑选了三道题目进行闯关训练啊，欢迎大家进行练习，也欢迎大家把答案做在评论区。 第三部分战绩复盘。也就是进行复习反思。我相信同学们平时打游戏，打完游戏之后都会看看自己的战绩啊，对比，反思或者炫耀啊。那么一定要看到自己在整个 游戏中的亮点，也要注意到不足。因此在学习中也是一样，我们要去看到自己掌握比较不错的地方，但同时也要看到自己的弱项，及时的进行更新，反思复习。 这节课我们主要学习了四部分。第一，成比例线段内容。主要学习的是线段的比例，成比例线段的概念。第二，比例的性质。我们学习了即性质以及拓展性性质。拓展性质之中，尤其要去注意等比性质和比性质，分比性质。 好。那么这就是这节课我们的学习内容。谢谢各位同学观看，我们下节课再见， bye bye！