乐乐课堂反三角函数

这个视频我来讲讲三角函数的定义。平面的一个角二法，他的中边过点 px， y 过点 p 做 pm， 垂直 x 轴与点 m， 这样 om 就等于 xpm 就等于 y， o p 就等于根号 x 方加 y 方。我们定义三 l 法等于 y 比上根号 x 方加 y 方。口算 r 法等于 x 的比，根号 x 方加 y 方， tng 加 r 法等于 y 比 x。 这三个就分别叫做讲阿尔法的正弦函数、余弦函数和正切函数。 除了他们，你还得认识三个，渔歌口 cctri， 阿法他其实就是正弦倒过来等于根号 x 方加 y 方，比 y 正哥 cctun， 阿法他其实是于弦倒过来等于根号 x 方加 yy 方比 x。 还有于谦口腔俊意乘阿法其实是正签倒过 来的等于 x 的比。外高中阶段咱要重点研究的是这三个，只要知道角中边上的点的坐标，这些三角函数值就可以求了。比如已知角 f 的中边过点 p 负一二， 你能分别求出三阿法、口三阿法和贪骏加阿法的值吗？根据坐标，负一二， x 等于负一， y 等于二， 那根号 x 方加 y 方就等于根号负一的平方加二的平方等于根号五。接着就可以算下面这些了。算 l 法等于 y 比根号 x 方加 y 方，也就是二比根号五 等于五分之二根号五。口三 r 法等于 x 比根号 x 方加 y 方，也就是负一比根号五等于负五分之根号五。最后是 tng 加 r 法等于 y 比 x， 也就是二比负一得负二全部搞定。像这样，给你中 边上的点，咱就能把角的三角函数值都求出来。如果再进一步问你，三塞尔法的平方加二，摊俊加尔法等于几，你会算吗？这两个值刚才都算过，所以原式等于三乘五分之二，根号五的平方加二乘负二， 结果得负五分之八。所以遇到式子时，就先分别算出塞尔法和参军查尔法的取值，然后再算整个式子。 刚才的题目里，点屁的坐标是直接告诉你的，如果题目改成假，阿尔法的中边在直线， y 等于负二 x 上，那你会求这些三角函数值吗？看这条直线，阿尔法的中边可能在第二项线和第四项线， 所以得分别讨论。当阿尔法中边在第二象限时，咱只要在中边上取个点，用他的坐标来算就行，比如这个点屁就可以。那三阿尔法口塞阿尔法和摊距差 阿法刚才都算过，不用再算了。再看阿尔法中边在第四项线时，同样在中边上取个点，比如点 q 一负二， x 等于一， y 等于负二，那根号 x 方加 y 方等于根号一的平方加负二的平方得根号五。 所以三 l 法等于负二比根号五得负五分之二，根号五口三 f 等于一比根号五得五分之，根号五。弹性强加法等于负二比一得负二，这样就求好了。做这类题时要注意，如果只知道讲到中边，就在中边上取个点来算就行， 另外一条直线会确定两个中边，所以得分类。讨论好了，以上就是这个视频的全部内容，关键记住一点，已知讲阿法的中边过点 p x， y 在阿尔法等于 y 比根号 x 方叫 y 方。口腮 f 等 等于 x 比根号 x 方加 y 方 tngel f 等于 y 比 x， 如果只知道中边，那就在中边上取个点来算怎么样？你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧。

在加法数十米里，我介绍过黄金三角，如果把它倒过来，写成减法就是这样的。同样首位有一个框，一定是一，后一位有两个框。注意，这回零在上面，就在下面。别忘了，原来两个进位一要变成两个借位，一，这个三角就叫做黄金倒三角。 再比如这个舒适，这也是黄金倒三角。接着看这个首位，一个框，后一位还是两个框，所以还是黄金倒三角，那他们的首位都是一，后一位上面都是零，下面都是九，别忘了还有两个借位。 知道了黄金倒三角，你能快速填出这个数十名吗？发觉没？这是黄金倒三角，那这填一，这填零，这填九，另外百位和十位都有借位，这下就只剩个位了。这个框向十位借一之后， 至少是十，试一试，如果是十，减去一等于九可以。如果再大一点，十一减一等于十，再十至两位数，这一个框就放不下了。不行，那再大就更不行了。所以这儿只能填零，这儿点九验证一下，一百减九，十一恰好等于九。 以上就是黄金倒三角的全部内容，两个数相减十。如果首位有一个框后，因为有两个框，那这三个框就是黄金倒三角，一定是幺零九。别忘了，还有两个借位。怎么样，明白了吗？如果明白，就赶紧去动手做题抢金币吧！

这个视频我来讲讲三角函数的定义。平面内一个角 a 法，它的中边过点 p x， y 过点 p 做 p m， 垂直 x 轴与点 m， 这样 o m 就等于 x， p m 就等于 y， o p 就等于根号 x 方，叫 y 方。 我们定义 sine alpha 等于 y 比上根号 x 方加 y 方口 sine alpha 等于 x 比根号 x 方加 y 方， tangent alpha 等于 y 比 x， 这三个就分别叫做角 alpha 的正弦函数、余弦函数和正切函数。 除了它们，你还得认识三个，余歌口 second 阿法，它其实就是正弦倒过来等于根号 x 方加 y 方比 y 正歌 second 阿法，它其实是余弦倒过来等于根号 x 方加 y 方比 x。 还有余切口 changing 叉法，其实是正切 倒过来的，等于 x 比 y。 高中阶段怎样重点研究的是这三个。只要知道角中边上的点的坐标，这些三角函数值就可以求了。比如已知角 alpha 的中边过点 p 负一二，你能分别求出 cy alph、 口 alph 和 tangent alpha 的值吗？ 根据坐标负一二， x 等于负一， y 等于二，那根号 x 方加 y 方，就等于根号负一的平方加二的平方等于根号五。接着就可以算下面这些了。 find alpha 等于 y 比根号 x 方加 y 方，也就是二比根号五等于五分之二根号五 口算 alpha 等于 x 比根号 x 方加 y 方，也就是负一比根号五等于负五分之根号五。最后是 tangent 阿法等于 y 比 x， 也就是二比负一得负二，全部搞定。像这样，给 你中边上的点，咱就能把角的三角函数值都求出来。如果再进一步问你，三塞阿尔法的平方加二， tanging 加阿尔法等于几，你会算吗？这两个值刚才都算过，所以圆式等于三乘五分之二，根号五的平方加二乘负二，结果得负五分之八。 所以遇到式子时，就先分别算出塞阿尔法和 tangent 阿尔法的取值，然后再算整个式子。刚才的题目里，点屁的坐标是直接告诉你的，如果题目改成角阿尔法的中边在直线 y 等于负二 x 上，那你会求这些三角函数值吗？ 看这条直线，阿尔法的中边可能在第二象限和第四象限，所以得分别讨论。当阿尔法中边在第二象限时，咱只要在中边上取个点，用他的坐标来算就行，比如这个点屁就可以。那 sine alpha 口 sine alpha 和 tange 阿法刚才都算过，不用再算了。再看阿尔法中边在第四象限时，同样在中边上取个点，比如点 q 一负二， x 等于一， y 等于负二，那根号 x 方加 y 方等于根号一的平方加负二的平方得根号五。 所以 san alpha 等于负二。笔根号五得负五分之二，根号五口 san alpha 等于一笔根号五得五分之根号五。 tangent alpha 等于负二比一得负二，这样就求好了。 做这类题时要注意，如果只知道讲的中边，就在中边上取个点来算就行，另外一条直线会确定两个中边，所以得分类。讨论 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键记住一点，已知角 alpha 的中边过点 p x y 再 alpha 等于 y 比根号 x 方加 y 方。孔塞 alpha 等于 x 比根号 x 方加 y 方。 tangent offer 等于 y 比 x。 如果只知道中边，那就在中边上取个点来算，怎么样？你学会了吗？如果学会了就速速刷题去吧。

这个视频我来讲讲三角函数线的概念。首先在直角坐标系中，以圆点为圆心，半径为一，画一个单位圆，那角 f 的中边就和单位圆交于点屁。 接着做 pm， 垂直 x 轴与点 m， 这样赛 r 法就等于线段 m p 比上 o p， 由于 o p 正好是半径等于一，所以赛 r 法就等于 m p， m p 就是埃尔法的正弦线。像这样中边和单位元的焦点往 x 轴做的垂线就是埃尔法的正弦线。 其中 mp 的长度等于赛拉法的绝对值，而 mp 的方向对于赛拉法的正负。那怎么看 mp 的方向呢？可以把它从 x 轴出发，标上方向，然后和外轴正方向比较，如果相同，赛 r 法就是正的。如果相反，赛 r 法就是副的。比如脚背他的中边，在第三项线 和单位员交点为 p 一撇，同样做垂线， p 一撇， m 一撇，也就是背他的正弦线，从 x 轴出发，标上方向。你看，和外轴正方向相反，所以赛背他是副的。说到这，咱来总结下啥是正弦线，周边和单位员的焦点做 x 轴的垂线， mp 就是正弦线。 要注意， mp 是有方向的，如果和外轴正方向同向，就是正的，如果和外轴正方向反向，就是负的。 讲完了正弦线，咱再来看看鱼弦线。口塞阿尔法就等于线段 om 比上 opop 等于一，所以口塞阿尔法等于 omom 就是阿尔法的于弦线。 像这样做垂线 pm 后，在 x 轴上的这段 om 就是鱼线线了。类似的， om 也有方向，从圆点出发，标上箭头，然后把它和 x 四轴正方向比较，如果相同，那口塞阿尔法是正的，如果相反，那口塞阿尔法是副的。比如对于脚北塔， x 轴上的 om， 一撇就是于弦线。从原点出发，标上箭头，你看方向和 x 轴正方向相反，所以口塞北塔是副的。 正弦线和鱼弦线你认识了？接着我就来讲正切线。设单位员和 x 轴正半轴的交点为 a， 过点 a 做 x 轴的垂线，和阿尔法的中边交于点替。 这样贪军的阿尔法就等于线段 at 比上 oa， 由于 oa 是单位员的半径等于一，所以贪军的阿尔法就等于 atat， 就是阿尔法的正切线。 那 at 的方向是咋看的呢？他和正弦线一样，从 x 轴出发，标上方向，同样和 y 轴正方向比较。如果相同， tiangine， 阿尔法就是正的。如果相反， tiangine 阿尔法就是负 和正弦。与弦不同的是，脚的正切线一定在第一、四向线，而中边在第二、三向线时，要咋办呢？以中边在第二向线为例，你得先给中边做反向延长线，再过点 a 做 x 轴的垂线，和延长线交于 t 一撇，这样垂线 at 一撇就是正切线了。 类似的，如果中间在第三项线，你也得先画反向延长线，这样三角函数线就都讲好了。垂线 mp 是正前线， x 轴上的 om 是余弦线，还有中边到点 a 的垂线是正切线， 他们都有方向。要注意的是，正切线一定在第一次向线，如果中边在第二、三向线时，需要先画反向延长线，再画正切线，那你能画抽奖负四分之三派的正线线与弦线和正切线吗？先找到角负四分之三派的中边，他和单位员交 点 p 过点 p 向 x 轴做垂线 pmmp 就是正线线，在 x 轴上的 om 就是鱼线线。还有正切线周边在第三项线时，需要反向延长，然后过点 a 做 x 轴的垂线和反向延长线交于点 t， 垂线 at 就是正切线，这样就画好了。 你还可以进一步看他们的方向。把正斜线从 x 轴出发，标上方向发现和外轴正方向反向，左，以为负。把余斜线从原点出发，标上方向发现和 x 轴正方向反向也是负的， 正切线也是从 x 轴出发，标射方向和外轴正方向同向，所以是正的。像这样，一般的脚都能画出这三条线。但还有些特殊情况，比如挡脚的中边在 x 轴上时， p 和 m、 t 和 a 都重合，这样正前线 mp 和正切线 a、 t 都为零了，余弦线则为一。如果在 x 轴副板轴就是负一，当角的周边在 y 轴上时，正线线 mp 为一，还可能是负一，余弦线 om 变成一点，也就是零，正切线就不存在了。这就是周边在坐标轴上的一些特殊情况。 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键就是画脚的三角函数线，埃尔法的中边和单位元交易。点 p 过点 p 向 x 轴，若垂线、垂线 mp 是正弦线， x 轴上的 om 是鱼弦线。 还有中边到点 a 的垂线是正切线，他们都是有方向的。要注意的是，正切线一定在第一次向线，如果中边在第二、三向线，需要先画反向延长线，再画正切线。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！

这个视频我来讲讲三角函数的定义。平面内一个角 a 法，它的中边过点 p x， y 过点 p 做 p m， 垂直 x 轴与点 m， 这样 o m 就等于 x， p m 就等于 y， o p 就等于根号 x 方加 y 方。 我们定义 sine alpha 等于 y 比上根号 x 方加 y 方。 cosine alpha 等于 x 比根号 x 方加 y 方， tangent alpha 等于 y 比 x。 这三个就分别叫做角阿尔法的正弦函数、余弦函数和正切函数。 除了他们，你还得认识三个，余哥口 second 阿法，它其实就是正弦倒过来等于根号 x 方加 y 方比 y。 正哥 second 阿法，它其实是余弦倒过来等于根号 x 方加 y 方比 x。 还有余切口 changing 叉阿法其实是正切倒过 来的，等于 x 比 y。 高中阶段怎样重点研究的是这三个。只要知道角中边上的点的坐标，这些三角函数值就可以求了。比如已知角阿尔法的中边过点 p 负一二，你能分别求出塞阿尔法口塞阿尔法和 tangent 阿尔法的值吗？ 根据坐标，负一二， x 等于负一， y 等于二，那根号 x 方加外方就等于根号负一的平方加二的平方等于根号五。接着就可以算下面这些了。再阿尔法等于 y 比根号 x 方加外方，也就是二比根号五等于五分之二根号五 口算 a 法等于 x 比根号 x 方加 y 方，也就是负一比根号五等于负五分之根号五。最后是 tangent 阿法等于 y 比 x， 也就是二比负一得负二，全部搞定。像这样，给你中 边上的点，咱就能把角的三角函数值都求出来。如果再进一步问你，三赛阿尔法的平方加二， tanjin 加阿尔法等于几，你会算吗？这两个值刚才都算过，所以圆式等于三乘五分之二，根号五的平方加二乘负二，结果得负五分之八。 所以遇到式子时，就先分别算出塞阿尔法和 tangent 阿尔法的取值，然后再算整个式子。刚才的题目里，点屁的坐标是直接告诉你的，如果题目改成角阿尔法的中边在直线， y 等于负二 x 上，那你会求这些三角函数值吗？ 看这条直线，阿尔法的中边可能在第二象限和第四象限，所以得分别讨论。当阿尔法中边在第二象限时，咱只要在中边上取个点，用他的坐标来算就行，比如这个点屁就可以。那 sine alpha 口 sine alpha 和 tangent 阿尔法刚才都算过，不用再算了。再看阿尔法中边在第四象限时，同样在中边上取个点，比如点 q 一负二， x 等于一， y 等于负二，那根号 x 方加 y 方等于根号一的平方加负二的平方得根号五， 所以 sine alpha 等于负二。笔根号五得负五分之二，根号五口 sine alpha 等于一笔根号五得五分之，根号五 tangenta alpha 等于负二比一得负二，这样就求好了。 做这类题时要注意，如果只知道讲的中边，就在中边上取个点来算就行，另外一条直线会确定两个中边，所以得分类。讨论 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键记住一点，已知角 alpha 的中边过点 p x y 塞 alpha 等于 y 比根号 x 方加 y 方。口塞 alpha 等 等于 x 比根号 x 方加 y 方。 tangent offer 等于 y 比 x。 如果只知道中边，那就在中边上取个点来算怎么样？你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧。

这个视频，咱就来讲讲几个特殊角的三角函数。那是哪些特殊角呢？实际上就是这俩三角板上的角，这个是三十度和六十度，这个是四十五度。先看这个三角板，他的三边之笔是一比根号三比二。 上个视频我就说过，他的正弦三三十度就等于对边比斜边，也就是二分之一。余弦扣三三十度等于林边比斜边，也就是二分之。根号三。正切 tantin 的三十度等于对边比林边，也就是根号三分之一，化简得三分之刚好三。 同样，这个六十度角的三角函数值也可以快速算出来。正弦三六十度等于对边比斜边，也就是二分之。根号三。余弦扣三六十度等于零边比斜边也就是二分之一。正切探探的六十度等于对边 三比零边，也就是根号三。再来看这个三角板，他的三边之笔是一比一，比根号二。所以正弦三四十五度等于对边比斜边，也就是根号二分之一，化减得二分之。根号二。 鱼弦扣三四十五度等于零边比斜边也是高耗二分之一，得二分之高耗二。正切探探的四十五度等于对边比零边，也就是一。知道了这些特殊角的三角函数值，咱就来做道题。 探探的三十度减 q 散六十度，乘探探的四十五度加散三十度看探探的三十度就等于三分之二。三扣散六十度等于二分之一。探探的四十五度等于一。 三三十度等于二分之一。算一算，最后的结果就是三分之刚好三。看来，只要记牢这些特殊角的三角函数值， 那做起题来就很快了，但问题来了，咋记呢？你可千万别指定这九个式子傻愣愣的死记硬背啊，得结合图来记。比如看见三十度，那只要记牢这个三角板就行。他的三边之笔是一比，刚好三比二，所以三按三十度就等于二分之一， 扣三三十度就等于二分之二十三。弹 ten 的三十度则等于根号三分之一，也就是三分之刚好三。同样，这个三角板还有六十度，通过它，你还能记住三六十度、扣三六十度，以及弹 ten 的六十度。 至于四十五度角的三角函数，你只要牢记这个三边之笔为一比一，比根号二的三角形即可。总之，只要你记牢俩三角板的三边关系，就能搞定所有这些特殊角的三角函数值。怎么样？记牢了没？如果记牢了，就赶紧去刷题试试吧！

这个视频我来讲讲三角函数的定义。平面内一个角 r 法，它的中边过点 p x， y 过点 p 做 p m， 垂直 x 轴与点 m， 这样 om 就等于 x， p m 就等于 y， o p 就等于根号 x 邦加外方。我们定义赛尔法等于 y 比上根号 x 方加外方。口三 r 法等于 x 的比根号 x 方加外方。单句加 r 法等于 y 比 x。 这三个就分别叫做讲 r 法的正写函数、余弦函数和正切函数。 除了他们，你还得认识三个，于哥口 c 肯加阿法，他其实就是正前倒过来等于根号 x 方加外方比 y 正哥 c 肯加阿法，他其实是余弦倒过来等于根号 x 方加外方比 x。 还有于谦口腔这一插法，其实是正前倒过 过来的等于 x 的 b y。 高中阶段怎样重点研究的是这三个。只要知道角中边上的点的坐标，这些三角函数值就可以求了。比如已知角 f 的中边过点 p 负一二， 你能分别求出三阿尔法、口塞阿法和贪俊加阿法的值吗？根据坐标负一二， x 等于负一， y 等于二，那 根号 x 方加外方就等于根号负一的平方加二的平方等于根号五。接着就可以算下面这些了。三 a r 法等于外比，根号 x 方加外方，也就是二比根号五等于五分之二，根号五 口算阿法等于 x 的比，根号 x 方加外方，也就是负一比根号五等于负五分之根号五。最后是胎径加阿法等于外比 x， 也就是二比负一得负二，全部搞定。像这样，给你 中边上的点，咱就能把角的三角函数值都求出来。如果再进一步问你，三在阿尔法的平方加二，三进加阿尔法等于几，你会算吗？这两个值刚才都算过， 所以圆是等于三乘五分之二，根号五的平方加二乘负二，结果得负五分之八。所以遇到柿子时，就先分别算出赛尔法和餐具加法的取值， 然后再算整个式子。刚才的题目里，眼皮的坐标是直接告诉你的，如果题目改成角二分的中边在直线， y 等于负二 x 上，那你会求这些三角函数值吗？看这条直线，阿凡的中边可能在第二项线和第四项线， 所以得分别讨论。当阿尔法中边在第二项线时，咱只要在周边上取个点，用他的坐标来算就行，比如这个点 p 就可以。那三阿尔法口塞阿尔法和 阿法刚才都算过，不用再算了。再看阿法中边，在第四象限时，同样在中间上取个点，比如点 q 一负二， x 等于一， y 等于负二，那根号 x 方加 y 方等于根号一的平方加负二的平方得根号五，所以三 r 法等于负二。 b 根号五得负五分之二，根号五 口塞阿法等于一比根号五得五分之，根号五弹性长，阿法等于负二比一得负二，这样就求好了。做这类题时要注意，如 如果只知道角的中边，就在中边上取个点来算就行，另外一条直线会确定两个中边，所以得分类。讨论好了，以上就是这个视频的全部内容，关键记住一点，一只角阿尔法的中边过点 p x， y 在阿尔法等于外比，跟靠 x 方将外方口塞阿法 等于 x 比，根号 x 棒加外方餐具 x， r 法等于 y b x， 如果只知道中间，那就在中间上取个点来算怎么样？你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！

这个视频我来讲讲三角函数的定义。平面内一个角二法，它的中边过点 p x， y 过点 p 做 p m， 垂直 x 轴与点 m， 这样 o m 就等于 x， p m 就等于 y， o p 就等于根号 x 方叫外方。 我们定义塞阿尔法等于 y 比上根号 x 方加外方口塞阿尔法等于 x 比根号 x 方加外方， tangine 加 r 法等于 y 比 x。 这三个就分别叫做讲阿尔法的正弦函数、余弦函数和正切函数。 除了他们，你还得认识三个，鱼哥口 secret， 阿法他其实就是正弦倒过来等于根号 x 方加外方比外正哥 second， 阿法他其实是鱼弦倒过来等于根号 x 方加外方比 x， 还有于切口 changing 叉阿法其实是正前 倒过来的，等于 x 的比外。高中阶段怎样重点研究的是这三个。只要知道脚中边上的点的坐标，这些三角函数值就可以求了。比如以直角而法的中边过点屁负一二，你能分别求出塞阿尔法、口塞阿尔法和贪君加阿尔法的值吗？ 根据坐标，负一二， x 等于负一， y 等于二，那根号 x 方加外方就等于根号负一的平方加二的平方等于根号五。接着就可以算下面这些了。算阿尔法等于 y 比根号 x 方加外方，也就是二比根号五等于五分之二根号五 扣三阿尔法等于 x 比根号 x 方加外方，也就是负一比根号五等于负五分之根号五。最后是 tanging 加阿法等于外笔 x， 也就是二比负一得负二全部搞定。像这样，给 你中边上的点，咱就能把角的三角函数值都求出来。如果再进一步问你，三塞阿尔法的平方加二贪俊加阿尔法等于几，你会算吗？这两个值刚才都算过，所以原式等于三乘五分之二，根号五的平方加二乘负二，结果得负五分之八。 所以遇到式子时，就先分别算出赛尔法和 tangine 加 r 法的曲值，然后再算整个式子。刚才的题目里，点屁的坐标是直接告诉你的，如果题目改成角， r 法的中边在直线 y 等于负二 x 上，那你会求这些三角函数值吗？ 看这条直线，阿尔法的中边可能在第二象线和第四象线，所以得分别讨论。当阿尔法中边在第二象线时，咱只要在中边上取个点，用他的坐标来算就行，比如这个点屁就可以。那塞阿尔法口塞阿尔法和贪去 阿法刚才都算过，不用再算了。再看阿尔法中边在第四项线时，同样在中边上取个点，比如点 q 一负二， x 等于一， y 等于负二，那根号 x 方加外方等于根号一的平方加负二的平方得根号五。 所以赛阿尔法等于负二比根号五得负五分之二，根号五口三阿尔法等于一比根号五得五分之，根号五贪进阿尔法等于负二比一得负二，这样就求好了。 做这类题时要注意，如果只知道讲到中边，就在中边上取个点来算就行，另外一条直线会确定两个中边，所以得分类讨论 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键记住一点，以直角阿尔法的中边过点 p x y， 塞阿尔法等于 y 比根号 x 方。将外方口塞阿尔法 等于 x 比根号 x 方加外方 tangine xr 等于 y 比 x。 如果只知道中边，那就在中边上取个点来算怎么样？你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！

这是一个三十度角，咱以他为内角做一个直角。三角形就是一块你已经很熟悉的三角板，其中这条边叫做三十度角的对边，这条边叫做三十度角的斜边，这条边叫做三十度角的鳞边。 根据之前所学的知识，如果我告诉你对边的长是一，那你一定知道斜边的长就是二。如果我告诉你对边的长是三，那你也一定能推出斜边的长就是六。 换句话讲，不管三十度角的对边与斜边具体长度是几，只要三十度角这个角的大小不变，那对边与斜边的比始终都等于一比二。 这说明对边与斜边的笔直，其实是由三十度角所决定的，与三角形大小无关。与之类似的还有对边与鳞边的比，以及鳞边与斜边的比， 他们都与三角形大小无关。你像三十度角的林边比上三十度角的斜边，就等于根号三比二，而三十度角的对边比上三十度角的林边，就等于一比根号三。 这一系列笔直都只与三十度角有关，而与三角形的具体大小无关。所以，数学家给他们起了一个统一的名字，叫做三十度角的三角函数。 为了把这些三角函数互相之间区分开来，他们又起了三个不同的名字。把对边与斜边的笔叫做三十度角的正弦，即做三引三十度。把鳞边与斜边的笔叫做三十度角的余弦，即做扣三也三十度。 把对边与林边的比叫做三十度角的正，切记做 titan 的三十度。根据刚才的结论，三、三十度就等于二分之一，扣三三十度就等于二分 根号三。探险的三十度就等于根号三分之一及三分之根号三。三十度角的正弦、鱼弦和正切。你已经明白怎么回事了，那别的角的这三个三角函数你会求吗？ 比如咱来算算四十五度的三角函数值，你同样以四十五度为内角做一个直角三角形。显然，三边的比为一比一比根号二。根据定义，正弦是对边比斜边，那它就等于一比根号二，化减后就是二分之根号二， 而余弦是林边笔，斜边这两边的笔显然也等于一比根号二，化解后就是二分之根号二。至于正确，他是对边与林边的笔，结果就等于一比一得一。其实，对于任意一个锐角，你都可以像刚才这样借助直角三角形来计算 他的三角函数。比如这个角 a 要求他的三角函数，你就以 a 为那角做一个直角三角形，把对边比斜边的笔直记做散 a， 淋边比斜边的笔直记做扣散 a， 对边比淋边的笔直记做 tentana。 进一步的，如果我告诉你这个直角三角形恰好就是三四五，那三 a 就是三比五得五分之三，扣三 a 就是四比五得五分之四，弹弹的 a 就是三比四得四分之三。 以上就是三个常用三角函数的定义。关键就一点，牢记这三个三角函数的算法。对于任意一个锐角 a 而言，以他为内角做一个直角三角形，角 a 的正弦散 a 就是对边比斜边角 a 的余弦扣散 a 就是邻边比斜边 交易的正切探探的 a 就是对边比邻边。怎么样，记住了吗？如果记住，就快快去刷题试试吧！

这个视频我来讲讲三角函数线的概念。首先在直角坐标系中，以圆点为圆心，半径为一，画一个单位圆，那角 alpha 的周边就和单位圆交于点 p。 接着做 p m， 垂直 x 轴与点 m， 这样赛阿尔法就等于线段 m p 比上 o p， 由于 o p 正好是半径等于一，所以赛阿尔法就等于 m p， m p 就是阿尔法的正弦线。像这样中边和单位圆的焦点往 x 轴做的垂线就是阿尔法的正弦线。 其中 m p 的长度等于赛阿尔法的绝对值，而 m p 的方向对于赛阿尔法的正负。那怎么看 m p 的方向呢？可以把它从 x 轴出发，标上方向，然后和 y 轴正方向比较，如果相同，赛阿尔法就是正的。如果相反，赛阿尔法就是负的。比如角贝特的中边，在第三象限 和单位元交点为 p 一撇，同样做垂线， p 一撇， m 一撇，也就是背它的正弦线。从 x 轴出发，标上方向，你看和外轴正方向相反，所以再背它是负的。说到这，咱来总结下啥是正弦线周边和单位圆的焦点做 x 轴的垂线， m p 就是正弦线。 要注意， m p 是有方向的，如果和外轴正方向同向，就是正的，如果和外轴正方向反向，就是负的。 讲完了正弦线，咱再来看看余弦线。口塞阿尔法就等于线段 o m 比上 o p， o p 等于一，所以口塞阿尔法等于 o m， o m 就是阿尔法的余弦线。 像这样做垂线 p m 后，在 x 轴上的这段 o m 就是余弦线了。类似的， o m 也有方向，从圆点出发，标上箭头，然后把它和 x 轴正方向比较，如果相同，那口塞阿尔法是正的。如果相反，那口塞阿尔法是负的。比如，对于角贝塔， x 轴上的 om 一撇就是余弦线。从原点出发，标上箭头，你看方向和 x 轴正方向相反，所以口塞贝塔是负的。 正弦线和余弦线你认识了。接着我就来讲正切线。设单位元和 x 轴正半轴的交点为 a， 过点 a 或 x 轴的垂线和阿尔法的中边交于点 t， 这样 tangent alpha 就等于线段 a t 比上 o a， 由于 o a 是单位元的半径等于一，所以 tangent alpha 就等于 a t， a t 就是 alpha 的正切线。 那 a t 的方向是咋看的呢？它和正线线一样，从 x 轴出发，标上方向同样和 y 轴正方向比较，如果相同，泰安骏塔阿尔法就是正的。如果相反，泰安骏塔阿尔法就是负的。 和正弦与弦不同的是，角的正切线一定在第一、四象线，而中边在第二、三象线时，要咋办呢？以中边在第二象线为例，你得先给中边做反向延长线，再过点 a 做 x 轴的垂线和延长线交于 t 一撇，这样垂线 at 一撇，就是正切线了。 类似的，如果中边在第三象限，你也得先画反向延长线，这样三角函数线就都讲好了，垂线 m p 是正前线， x 轴上的 om 是余弦线。还有中边到点 a 的垂线是正切线， 他们都有方向。要注意的是，正切线一定在第一次象限，如果中边在第二、三象限时，需要先画反向延长线，再画正切线，那你能画出角负四分之三派的正切线、余弦线和正切线吗？先找到角负四分之三派的中边，他和单位员交易， 点屁过点屁向 x 轴做垂线 pm m p 就是正弦线，在 x 轴上的 om 就是余弦线。还有正切线周边在第三项线时，需要反向延长，然后过点 a 做 x 轴的垂线和反向延长线交于点替垂线 at 就是正切线，这样就画好了。 你还可以进一步看他们的方向。把正斜线从 x 轴出发，标上方向发现和 y 轴正方向反向，所以为负。把余弦线从圆点出发，标上方向发现和 x 轴正方向反向，也是负的， 正切线也是从 x 轴出发，标上方向和 y 轴正方向同向，所以是正的。像这样，一般的角都能画出这三条线。但还有些特殊情况，比如档角的周边在 x 轴上时， p 和 m t 和 a 都重合，这样正弦线 m p 和正切线 a、 t 都为零了，余弦线则为一。如果在 x 轴负半轴就是负一。当角的周边在 y 轴上时，正弦线 mp 为一，还可能是负一。余弦线 om 变成一点，也就是零，正切线就不存在了。这就是周边在坐标轴上的一些特殊情况。 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键就是画脚的三角函数线阿尔法的中边和单位员交易，点 p 过点 p 向 x 轴，若垂线垂线 m p 是正弦线， x 轴上的 om 是余弦线。 还有中边到底 a 的垂线是正切线，他们都是有方向的。要注意的是，正切线一定在第一、四象线，如果中边在第二、三象线，需要先画反向延长线，再画正切线。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！

这个视频我再来讲讲解三角形在实际中的应用。比如在海岸 a 处发现北偏东四十五度方向，距 a 处根号三减一海里的 b 处有一艘走私船， 在 a 处北偏西七十五度方向，距 a 处两海里的 c 处的吉斯船奉命以十倍钢二三海里每小时的速度追截走斯船，此时走斯船正以十海里每小时的速度从 b 处向北偏东三十度的方向逃窜。那吉斯船追上走斯船最快需要多久呢？ 解决这类问题，关键是根据奇异画出图。首先这有个 a 点，根据条件咱知道走私船是从 a 的北偏东四十五度方向的点 b 出发，沿着北偏东三十度的方向跑， 其中这段长度是杠二三减一，他的速度是十海里每小时。接着再看看吉斯船，他从 a 的北偏西七十五度发 方向的 c 点出发，一直追截走私船到 d 点，其中这段长度是二，他的速度是十倍根号三海里每小时。如果把 cb 连接起来，那就构成了两个三角形。接下来就是解三角形的过程了。 在三角形 bcd 中，这两段行驶的时间是相同的，如果设为 t， 那这段长度就是十倍。杠二三乘 t， 而这段长度就是十 t， 看这个角能算出来，加起来得一百二十度，那根据正弦定理，已知两边和一角就能算出这个角。把数全部带入算一算得三角 bcd 等于二分之一，所以角 bcd 就是三十度， 那根据内角和一百八十度可得这个角也是三十度。哎，这俩角相等，那这俩边也相等，所以这条边也是使 t。 再看这个三角形，现在两边和夹角都知道，那根据余弦定理也能算出这条边，算一算就得根号六，那十 t 就等于根号六， t 就等于十分之根号六小时，所以吉斯船最快需要十分之根号六小时就能追上， 大概就是不到一刻钟。哎呦，还不错哦，看来解决实际问题时，关键是把题中的条件转化成图，并通过设时间把速度转化为边长，就能利用解三角形的方法解决了 刚才是有关行船的问题。其实这个方法还能解决灯塔问题，比如海面上有 a、 b、 c 三个灯塔， a、 b 等于十千米。从 a 往 c 和 b 成六十度的视角，从 b 往 c 和 a 成七十五度的视角，那你能算出 bc 的长度吗？同样给 根据提议，先画三个点 abc， 并把他们都连接起来，这样就构成了一个三角形，其中这个角是从 a 往 c 与 b 成的视角，也就是六十度，而这个角是从 b 往 c 与 a 成的视角，也就是七十五度，这条边是十千米。 接下来再解这个三角形，根据正弦定理知道了一边和一角，想要算出这条边，那就只要再算出这个角就行。 因为那条河是一百八十度，所以它就等于四十五度。接着把数全带入，就变成了这样，算一算得 bc 等于五倍根号六千米，所以这段长度就是五倍根号六千米。 好到总结时间了，解决实际问题时，关键在于把题中的条件转化成图，找到已知的边长或角度去求解要求的问题。当然，如果是和速度有关的行船问题，还得利用时间 t 把速度值转化成边长。好了，快去刷题吧。

两小和与差的正弦明弦公式你已经很熟悉了，这个视频我要讲讲如何利用他们来推到一组新的公式。 以这俩例子为例，把右边加起来就是二倍的三英阿尔法扩散贝塔，左边加起来就是三英阿尔法加贝塔，加上三英阿尔法减贝塔。整理一下就得到了三英阿尔法成扩散贝塔等于二分之三英阿尔法加贝塔，加上三英阿尔法减贝塔 发现没？利用这个公式，就可以把下一和扩散的成绩转化成两个函数相加的形式， 所以这个就叫做机化合插公式。类似的，你把这俩式子相减，或者把这俩式子也分别相加或相减，就可以得到这样三个公式。这四个公式都是把三角函数的机转化成合 和或者叉，所以都是机画和叉公式。当然，咱如果把这个公式反着看，也可以把它看做是把两个三角函数的和或者叉转化成鸡的形式。不过显然这种形式不太美观，咱稍微整理一下， 把它看做 x， 把它看做 y， 那二阿尔法就等于 x 加 y， 阿尔法就等于二分之 x 加 y， 二背他就等于 x 减， y 背他就等于二分之 x 减。 y 带进去右边就是二别的散，以二分之 x 加 y 乘，扩散二分之 x 减外， 发觉没？利用这个公式，就可以把上一加下一转化成两个函数相乘的形式，所以这个就叫做和插画机公式类似的，剩下的这三个式子都可以 整理成这种形式。具体的过程我就不再啰嗦了。这四个公式都是把三角函数的合插转化成乘机的形式，所以都是合插画机公式。 弄明白了这些公式是咋来的，咱来看看两道题吧。先来个简单的，把这个式子画成乘机的形式，这里是扩散加扩散，所以应该选择这个公式带进去。把三倍 c 塔和 c 塔加起来除以二放在这， 把三倍 c 塔和 c 塔减一下，除以二放在这，化减一下，这就搞定了。看来在解决这类问题时，选准公式就能搞定题目。 别着急，再来个难点的，给你个试字，看看咋化减。先看分子赛，减赛显然得用这个故事。把二十加四十除以二放在这，把二十减四十 除以二放在这，再看分母扣三减扣三，显然就得用这个公式。把二十加四十除以二放在这，把二十减四十除以二放在这，化解一下。能约分的约分就剩下负的 q 弹仅三十度，也就是负根号三。 看来以后遇到不能直接求解的和或者差，就转化成乘机来求。好了，这个视频我就给你讲了机化和差与和差化积的公式，他们都是由两角合的正于线公式推倒而来。当然，如果你想把这些公式都记住的话，我可以教你一个不太好记的口诀。 注意了，三加三等于二倍的三扣三减三等于二倍的扣三扣加扣等于二倍的扣，扣扣减扣等于负二倍的闪闪。怎么样，听明白了吗？明白的话就速速去刷题吧！

这个视频我来讲讲三角函数线的概念。首先在直角坐标系中，以圆点为圆心，半径为一，画一个单位圆，那角 f 的周边就和单位圆交于点 p。 接着做 pm， 垂直 x 轴与点 m， 这样赛阿尔法就等于线段 mp 比上 op， 由于 op 正好是半径等于一，所以赛阿尔法就等于 mp， mp 就是阿尔法的正弦线。像这样中边和单位元的焦点往 x 轴做的垂线就是阿尔法的正弦线。 其中 mp 的长度等于赛 rf 的绝对值，而 mp 的方向对于赛 rf 的正负。那怎么看 mp 的方向呢？可以把它从 x 轴出发，标上方向，然后和 y 轴正方向比较，如果相同，赛 rf 就是正的。如果相反，赛 rf 就是负的。比如脚背它的中边，在第三项线 和单位员交点为 p 一撇，同样做垂线， p 一撇， m 一撇，也就是背他的正弦线，从 x 轴出发，标上方向，你看和外轴正方向相反，所以再背他是负的。说到这，咱来总结下啥是正弦线？周边和单位元的焦点做 x 轴的垂线， m p 就是正弦线。 要注意， mp 是有方向的，如果和外轴正方向同向，就是正的，如果和外轴正方向反向，就是负的。 讲完了正弦线，咱再来看看余弦线。口塞阿尔法就等于线段 om 比上 o p， o p 等于一，所以口塞阿尔法等于 om， om 就是阿尔法的余弦线。 像这样做垂线 pm 后，在 x 轴上的这段 om 就是鱼线线了。类似的， om 也有方向，从圆点出发，标上箭头，然后把它和 x 轴正方向比较，如果相同，那口塞阿尔法是正的。如果相反，那口塞阿尔法是负的。比如对于叫北塔， x 轴上的 om 一撇就是鱼弦线。从原点出发，标上箭头，你看方向和 x 轴正方向相反，所以口塞北塔是负的。 正弦线和鱼弦线你认识了。接着我就来讲正切线。设单位员和 x 轴正半轴的交点为 a， 过点 a 做 x 轴的垂线，和阿尔法的中边交于点 t， 这样摊距你的 r 法就等于线段 at 比上 oa， 由于 oa 是单位员的半径等于一，所以 tangini arfa 就等于 at， at 就是阿尔法的正切线。那 at 的方向是咋看的呢？它和正前线一样，从 x 轴出发，标上方向同样和 y 轴正方向比较。如果相同， tangini arfa 就是正的。如果相反， tangini arfa 就是负 和正弦。与弦不同的是，脚的正切线一定在第一、四向线，而中边在第二、三向线时，要咋办呢？以中边在第二向线为例，你得先给中边做反向延长线，再过点 a 做 x 轴的垂线，和延长线交于 t 一撇，这样垂线 a t 一撇就是正切线了。 类似的，如果中间在第三项线，你也得先画反向延长线，这样三角函数线就都讲好了。垂线 mp 是正前线， x 轴上的 om 是余弦线，还有中边到点 a 的垂线是正切线， 他们都有方向。要注意的是，正切线一定在第一、四相线。如果中边在第二、三相线时，需要先画反向延长线，再画正切线， 那你能画出脚负四分之三派的正斜线与斜线和正切线吗？先找到脚负四分之三派的中边，他和单位员交 点 p， 过点 p 向 x 轴做垂线 pm mp 就是正线线，在 x 轴上的 om 就是余弦线。还有正切线周边在第三象线时，需要反向延长，然后过点 a 做 x 轴的垂线和反向延长线交于点 t， 垂线 at 就是正切线，这样就画好了。 你还可以进一步看他们的方向，把正前线从 x 轴出发，标上方向发现和外轴正方向反向，所以为负。把鱼斜线从远点出发，标上方向发现和 x 轴正方向反向也是负的， 正切线也是从 x 轴出发，标射方向和外轴正方向同向，所以是正的。像这样，一般的脚都能画出这三条线。但还有些特殊情况，比如当脚的中边在 x 轴上时， p 和 m、 t 和 a 都重合，这样正前线 mp 和正切线 at 都为零了，鱼弦线则为一。如果在 x 轴复半轴就是负一，当角的周边在五二轴上时，正线线 mp 为一，还可能是负一。鱼弦线 om 变成一点，也就是零，正切线就不存在了。这就是周边在坐标轴上的一些特殊情况。 好了，以上就是这个视频的全部内容，关键就是画脚的三角函数线，阿尔法的中边和单位员交易点 p 过点 p 向 x 轴做垂线，垂线 fp 是正弦线， s 字轴上的 om 是云弦线。 还有中边到点 a 的垂线是正切线，他们都是有方向的。要注意的是，正切线一定在第一次向线，如果中边在第二、三向线，需要先画反向延长线，再画正切线。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！