二次函数与一元二次方程与不等式板书

我抽到题目是二次函数与一元二次方程不等式。上课同学们好，在上课之前我们先来一起看看例子。假设我们现在想用栅栏为一个矩形的花卉，这个栅栏的长度为二十四厘米。 我想为什么矩形花卉面积呢要大于二十平方米，请问这个矩形花卉的边长为多少？ 对应用题，首先射元在列式射什么呢？我们假设它的长为 x， 那么另一边宽为多少呢？好，周长除以二再减 x， 所以长乘宽等于面积要大于二十，去括号移项后得到 x 方减十二， x 加二十 小于零。那我们想要解这个的话怎么填呢？首先我们得明细这个是什么呀？我们来下个秘密。首先，对于这种只有一个未知数， 并且这个位置数 x 呢？最高次为多少呢？哦，他应该是为二次，我们就称他为什么呢？大家类比之前学过的一元一次不等式，他应该是什么呀？没错，他应该是一元 orders， 不能是。 那我们把这个系数给它抽象出来， 它就应该是 a x 方加 b， x 加 c 小于零这样的不等式，或者我们小于也可以换成什么呢？还可以是大于零，或者啊，我还可以小于等于，大于等于。 接下来我们想要写的话，我们可以先看看类比之前学过的什么东西。假设左边的这个式子为外，那他是什么样的？有同学想起来了，他应该是我写的标题，二次函数图像，还记得怎么画吗？ 没错，它应该是一个开口往上对顺轴在 x 呃的正半轴，并且与 x 中有两个焦点的二次函数抛线图像。那我想要看 y 小于零应该在图像的哪个部分呀？ 哦，我们可以发现啊，小韵应该是在歪轴的部半轴，也就是在 s 轴的 下方，非常好，那这一段我们想要求的这个边长 x 的范围应该从哪到哪呢？哦，我们就发现了，应该是找到这两个与 x 轴交点 才可以，那么这个焦点怎么求呢？我们发现啊，这个当 x 轴上的焦点是不是就是 y 等于零的时候呢？我们看当是个 y 等于零，也就是 不等式， x 方减十二， x 加二十，零等于零的时候，我想要求 x 为多少，想想这是什么呀？应该是我们的一元二次方程， 这个会写了吧。哦，十四相乘大公司减二乘 x 减十等于零，写出 s 一等于二， s 二等于十。好，那我们这个 就可以看到这个 x 一二 x 二为十，那这个范围可不可以看到呢？应该是从 x 大于二小于十。 好，如果我把这个不等式换成 x 方减十二， x 加二十变为大于零， 请问这个时候取值范围从哪到哪呢？还是一样，我们来看图像，这个图像上现在要取哪个部分呀？哦，很明显应该是歪的正半轴大于零，那么他应该就是 左边这一只和右边这一只。那我 x 的区域范围从哪到哪呢？好，有同学已经看到了，应该是从小于二和大于十， 我们一零二四不等式解的办法，首先我们要去看他与 x 轴的交点为谁找到这个 x 的端点，我们才能够通过他的范围去 小于，还是带领来得到 x 的区域范围。那我们现在呢，就规定使得这个方程 a x 方加 b， x 加 c 等于零的实数 x 为 零点，顾名思义，也就是令我们的这个函数值等于零的 x。 我们要记住零点不是对，而是一个实数。那比如说在我们这个方程，它的零点是什么呀？ 没错，它就应该是 m 一等于二和 m 二等于十。这个我们把二次函数与一元二次方程还有一元二次不等式 想要联系起来。我们回忆一下初中学过的，如果这个函数图像与 s 轴两个交流， 这个相当于说这个方程有两个时根的话，有什么判断呢？我现在想到了，应该是由根的判别是 delta， 那我们现在以 delta 为入手点，来探究一下函数方程不等式这三者之间的对应关系。 首先还是以刚刚那个为例，当我们的吊塔大于零的时候， 我的这个函数图像 y 等于 a， m 方加 b， m 加 c 的图像应该为什么 要吗？还有它对应的方程 a and 加 c 这个方程的根什么情况呢？以及我们的不等式， a x 方加 p， x 加 c 小于零， 这个不等式的解题为谁呢？还有当 a x 方加 b， x 加 c 大于这个不等式的解题又为谁呢？ 我们现在来探究一下，当 x 大于它的图像应该跟我们的四轴怎么样啊？没错，两个 焦点啊。这里我们先规定 a 是大于的，接下来如果他的根呢？哦，如果大于，我们应该有两个不相等的十根， 假设 x 一 x 二，并且如现在先规定 x 一是小于 x 二的， 接下来如果他取这个小令剪辑为谁呢？啊？我们刚刚已经看到，他应该是取这个范围，也就是 x 在大于 x 一，小于 x 二这两个零点的中间。那大于是哪个范围呢？哦，它应该是这两块，那应该是 小于 x 一或者大于 x 二。如果我想要写成集合的话，我们可以用表述法写成这样。用描述法。 好，那我们已经看完了德欧塔大于零的情况，我们再来看，当德欧塔等于零是什么情况呢？好，它的图像应该长什么样子啊？哦，有同学们说了，它应该是跟 x 轴几个焦点呢？没错，一个焦点。 好，那它这个方程的根为谁呢？哦，它应该是有两个相等的时根，那这两个时根还是 m 一和 m 二，这时候 m 一二 能不能确定啊？没错，他应该就是我们对称轴所对应的这个 x 负的二 a 分之一。 好，那这个剪辑呢？小于零的部分，哎，发现他怎么小于零？没有啊， 你们没有猜错，他就应该是没有满足小明。那么没有任何元素的集合，还记得吗？嗯，我们学过了，空集好大于零呢， 很多人说，哎，全部都在大理呢。是吗？我们刚刚说啊，当它 x 等于负二十一分之一的时候，它是等于零的，所以我们应该要去掉这个点，也就是 x 的范围在哪呢？在不等于不等 二 a 分之 b。 好，最后来看，然后它小于零的情况，图像是什么样的呢？ 我们小于与 x 轴几个焦点啊？没错，是没有焦点的，我们开口又往上，所以应该是如此。那它这个方程的根呢？ 哦，我们发现没有焦点，他还有根吗？当然是没有啦，所以他应该是没有实数根据。 好，那这个小于零时候的姐姐呢？跟这个一样没有，所以还是空级，那么大于零呢？哦，这时候我就发现了，他应该确实是所有单词代入进去函数值都是， 所以我们取什么呀？没错，应该取得实数级啊。那这里我们除了后面两种比较特殊的情况以外，经常啊，遇到的是第一种情况，老师对这两种不等式的解题进行一个口诀 给你们看看。如果我们小于零，取得的是两个零点的中间，我们就可以说小于取中间， 如果是大于呢？应该取哪边呢？哦，很明显，大于应该取到两个零点的左右两边，我们就可以说大于取两边。那我们进行一下总结，今天学了什么呢？啊，没错，同学们说了，我们今天学了一元二次 等式的概念，还学了什么呀？啊，学了零点是什么？还学了什么啊？我们还学了这个二次函数方程以及不等式三者之间的关系。那我们 对这个写定二四不等式进行一下总结，他的步骤分为哪些？首先第一步，我们刚刚有人看到老师规定这个 a 大于，为什么我要这样呢？是因为我们如果统一都大于的话， 这个口诀就能独自使用，小于零的话，我们口诀就要反过来了。那为了方便，我们就用所有的不等式 x 方的 c、 u、 a 都先令他大于零，如果他从小于零怎么办呢？我两位同成一个后一呢，这个很简单。第二， 我们要判断什么呀？判断这个红色的根，判决是北欧塔，如果我们的北欧塔大于或者等于零，那么他存在十根，也就是我们这个方程是有解的，我就可以把它解方程 得出我们的两个十的。呃，如果说 delta 代理我们就可以用到这个口诀， 我们用到了一个口诀，如果没有他等于零分，这样两个情况小于零也分不同的情况。

各位同学大家好，今天同大家共同学习二字函数与 es 方程不等式。二字函数与 es 方程是咱们初中就学过的内容，你还记得他们吗？ 我们先来复习一下二蚕树的图像与性质。二蚕树的图像是一条抛物线， a 大于零时开手向上， a 小于零时，开手向下。 抛物线都有对肯轴，方程是 x 等于负，打二一分之 b， 抛物线与 x 轴的焦点个数由判别是 bertie 来决定， bertie 等于 b 方减 c， a， c 跟着大于零时，对应着图中蓝色的抛物线，抛物线与 x 勾交于两个不同的点，跟着等于零时，对应着图中黑色的抛物线与 x 勾，尤其仅有一个焦点，但是小于零 对应的图中红色的抛物线与 xo 无焦点。那么如何求解二次函数与 xo 焦点的横坐标呢？ 对，我们要借助一二方程， ax 方加 bx 加 c 等于零，这个方程的根就是焦点的横坐标， 当然要分情况讨论，当嘚的大于零时，方程的两个不等的十根就是两个焦点的横坐标。当嘚的等于零时，方程有两个相等的十根是负的二， a 分之 b， 这就是焦点的横坐标。当嘚的小于零时，方程无十根， 图像与 x、 o 也无焦点。接下来我要给出一个定义，二次函数的零点，对于二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 我们把使 a x 方加 b， x 加 c 等于零的十数 x 叫做二次函数的零点。所以求解二次函数的零点，就是求二次函数的图像与 x 柔焦点的横坐标，也就是求 e， x 方程 ax 方加 b， x 加 c 等于零的十根， 所以二次函数的零点的情况与一元二次方程根的情况是完全相同的。 那么何为一元二次不等式呢？顾名思义，他也是咱们一元二次大家族中的一员， 只不过他是一种不懂事。在咱们深入学习他之前，我们先来看一个实际问题。 我家里有一块空地，根据它的大小呢，我买了一段二十四米长的栅栏，我想用这段栅栏围成一个面积大于二十平方米的矩形苗圃， 设该矩形的一边长为 a 米。请你确定实数 a 可以取哪些纸？如图，这是一段二十四米长的栅栏，我们把它集成四段，围成一个矩形， 那么我们设其中一边是 a 的话，他的林边自然就是，哎，十二减 a 对不对？那同学们，你能把面积大于二十这个要求转成一个不等式吗？ 对矩形的面积适用，长乘以宽，所以自然就是 a 乘以十二减 a， 那么不等式就是 a 乘以十二减 a 大于二十。 在实际问题中，大家一定要注意未知数的实际意义，他往往会带给我们一些额外的限制。在这里， a 和十二减 a 均表示栅栏的长度，所以呢，他都是正的，所以 a 应该是 大于零小于十二的。那么如何解决一个不懂事呢？ 大家肯定都跃跃欲试了对不对？我们先来看一看不懂事的形式特点。他的左式是 a 与十二减 a， 这两个音是相乘， 那同学们肯定会想，二十能不能分解一下？二十可以分解成四乘五，二乘以十，也可以是一和二十。那么 a 和十二减 a 与这几个数有没有固定的大关系呢？ 我们来尝试一下。通过尝试不难发现，你看我这里，我取了 a 等于三等于四等于六，十二减 a 分别是九、八和六，带入到不懂事里，是不是都成立啊？所以我们可以看到， a 的值与四和五好像没有什么雇应大家关系。另外， 如果我们把二十换成一个分数，那么这个方法是不是就不太好用了？所以这里我们需要换到这了，对不对？ 我们再来看，有的同学可能早注意到了， a 是大于零的，十二减 a 也是大于零的，那我们能不能用这个特征呢？ 嗯，同解原理对吧？根据不等式的同解原理，两侧可以同时除以 a 或者除以十二减 a 不等式转为下式的形式。我们可以看到，左侧已经是一元一次的形式了，而右侧是分式形式，这个不等式能解吗？ 好像还是有点困难，对吧？仍旧不能求解，所以有以上尝试，我们可以看出，这个不等式不属于我们学过的某一类不等式，不能用我们以前 的方法来求解。那么他是不是一元二次不等式呢？我们来回想一下，一元一次不等式，他只含有一个位置数，所以我们叫做一元。我们来看这个不等式的形式里 是不是也这还有一个未知数， a 呀，所以他也是一元的。然后我们来看次数， 把左式的括号去掉，变成十二 a 减 a 方，然后将左式一到右侧，这样 a 方的系数就变正了，整理为 a 方减十二， a 加二十小于零 位置数 a 的最高四项是 a 方，次数是二。所以按照方程和不等式的命名规则，我们应该称它为一元二次不等式。 接下来给出一元二次不等式的定义。我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二的不等式称为一元二次不等式。他的一般形式是 ax 方加 bx 加 c 大于零，或 ax 方加 bx 加 c 小于零。当然，我们可以把不等号为大于等于或小于等于的这两类也包含进去，其中 abc 为长数， a 不等于零。 在这个实际问题中，我们涉及到的一元二次不等式的一般形式为， a 方减十二， a 加二十小于零。 那么怎么求解呢？观察左视的形式，我们不难发现，如果把 a 换成了 x， 大家会想到什么？ 对二次函数外等于 x 方减十二， x 加二十，那这两者之间有什么联系吗？ 如果你还想不出来，那么不妨换成一次函数。以一元一次不等式，你是否受到一点启发了？ 首先， a 方减十二， a 加二十小于零，就是二次函数的函数之外小于零。其次，解不等式 就是减 a 取合值时，能够使 a 方减十二， a 加二十小于零转化为二次函数，就是求自比亚 x 取合值时，能够使函数之外小于零。说到这里，大家肯定会想到现在咱们该用到二次函数的图像了。 来，咱们看图，当 x 在这个范围内取值的时候，图像是位于 x 左下方，还有之外都是小于， 很显然，这个范围就是咱们要求的范围。而且咱们知道 x 的取值有无穷多个，不可能一一列举。所以要想求出 x 的取值范围，我们必须知道这个范围的边界值，那边界值怎么求呢？ 聪明的你一定要发现这个边界值正好是二次函数的零点，怎么求零点？对，我们要依靠一元二次方程 a 方减十二， a 加二十等于零来解除边界值。接下来就是初中咱们觉得解方程的步骤了，计算判别是得了等于六十四， 然后利用求人公式，我们可以求出两根，一个根是二，一个是十，所以他的边界是一个是二，一个是十，然后集合图像，二在左侧， 十在右侧，所以我们可以得到不等式的解题为 a 大于二，小于十，因为它是一个实际问题，所以我们要进行答题，这个矩形苗圃的边长 a 应该取大于二且小于十的实数。 通过这个例题，咱们接触到了一类新的不等式，一元二次不等式，并且咱们尝试利用二次函数和一二次方程对他进行了求解。同学们，接下来你们能不能自己写出一个一元二次不等式，并对他进行求解呀？ 好，大家来看，我写出了两个，你能不能把我写出来两个解出来呢？ 我们先来 看第一题， x 方减五， x 加六大于零，他的特点是什么？哎，不等号为大于号，那么不等号凭大于号的跟之间小于号，是不是求解的道理是相同的呀？ 我们来看，第一步，我们还是设一个二三数外等于 x 方减五， x 加六，然后画出来的图像要关注开口方向，开口方向而向上的。 然后呢，我们要求出这个区域的边界值，也就是利用一元二次方程 x 方减五， x 加六等于零来解除二次函数的零点。写完了，零点是一个是二，一个是三， 一个是二，一个是三，然后接下来看，这是大于零，所以我们应该取外大于零的部分的图像，也就是 上方的图像，那么对应的 x 的取值范围就应该是 x 大于三或 x 小于二，最后再把它写成集合形式，就可以得到不等式的。解急了， 接下来我们来看第二小题。第二小题的特点是什么？发现了吗？它不是标准的一般形式，二， x 是一思想，负 x 方是二思想，所以我们应该先把它整理为，一般是负 x 方加二， x 加三小于零。 接下来的处理方式有两种，第一种我们可以测函数是外围，负 x 方加 x 加三。画图的时候一定要注意了，因为 x 方的系数是负的，所以我们这里的图像 拍手向下，然后接下来同样我们要解出两个零点，设一二方程，负 x 方加二， x 加三等于零，解出两个零点是负一 和三， 不等式是小于零，所以对应的应该是 x 轴下方的图像，对应的 x 的取值范围应该是 x 大于三或 x 小于负一。 那么在这种结法里，其实还是有一定错误的隐患的，因为在你画韩式图像的时候，一定要注意函数的开口方向，所以很多同学也会感觉到比较繁琐，而且画图的时候很容易就忽视了开口 方向。那么我们能不能对法医进行下改进呢？能避免我们忽视开尔方向呢？哎，是这样可以的，利用不等式的性质，我们可以把 x 方的系数变成正的，也就是在不等式两侧同时乘以负一， 这样 x 方的系数变成正义。但是同时要注意，不等号要变成大于号， 那么变成这样以后，我们设二次函数是 y 等于 x 方减二， x 减三，那么他的图像自然就是开口向上的。 那么解方程 x 方减二， x 减三等于零，我们可以得到相同的两个零点，负一和三。然后这时候大于零对应的图像应该是外轴上方的这两部分，然后 与之对应的 x 的取值范围就应该是 x 大于三或 x 小于负一。 通过上面的两个例题和前面引力，我们发现在解决 e 二四不等式的过程中，二四函数和一二四方程发挥了举读轻重的作用。确切的说，咱们在二四函数的图像中观察出 x 的取日范围， 再利用一二方程解出这个范围的边界值，就完成了对一二四不等式的求解，得到了解击。 由此可见，二次函数、一二次不等式和一二次方程是紧密联系在一起的，你能够用你自己的语言来描述一下这三者的关系吗？对于每一个二次函数， 我们都可以构造与之相对应的一二方程和一二不等式，他们左侧的带后式与函数的解气式是完全相同的。从这个角度讲，方程实际上就是在求解 字面量取合值时， y 会等于零。不等式就是在求解字面量取合值时，函数之 y 会大于零或小于零。不等式解集的边界值就应该是二次函数的零点，也就是一元二次方程的根。所以 方程与不等式合在一起，解决了自备量取合之时，函数值为正为零为负的问题。 由此可见，在解决一月二次不等式的过程中，利用到二次函数是很自然的事情，因为二次函数 他的本质吗？ 接下来咱们来概括一元二次不等式的通用结法。对于一般形式的一元二次不等式来说， 我们第一步一般就是设二次函数外等于 ax 加 bx 加 c 会出去图像观察开尔方向。当然这一步是可以改进的，因为 抛物线开口向下的情形，我们可以通过在不等式两侧同时乘以负一，将其转化为开口向上的情形，只不过要注意不等号变号 啊，这样我们就能避开漏盘开口方向的这个失误了。所以接下来总结通用解法的时候，我们只需要总结 a 大于领，也就是开口向上的时候这种 情况就可以了。 第二步，通过解 ef 方程来得到二次函数的零点。前面几道题从所涉及的二次函数都有两个零点，但是实际上呢，二次函数零点应该有三种情况， 根大于零的时候有两个零点跟着，等于零的时候有一个零点跟着，小于零的时候无零点。那么对于这三种情况，这个二次不等式的解急分别是什么呢？你能写出来吗？ 好，来咱们一块完成这个表。第一行呢，对应的是判别师的三种情况，第二行是与之对应的二次函数的三种图， 第三行是与之对应的一元二次方程的解了情况。第四行、第五行是两 不等式分别的解题。请大家把第四行和第五行的空格填出来。 好，我们先来看这是大一点的时候，这时抛物线与 x 油是有两个交点的， 二残数有两个零点，我们记为 x 一， x 二不防射， x 一小于 x 二，那么大于零的不等式所对应的图像位于 xo 的上方， 那么与之对应的 x 的取值范围就应该是 x 小于 x 一或 x 大于 x 二。 小应的不等式对应的 x 的取值范围就应该是 x 大于 x 一小于。 接下来在这等于零。这时抛物线与 x 轴 尤其仅有一个焦点，焦点的横坐标是负的 r f 之 b， 也就是说只有 x 等于负的 r f b 的时候，败会等于零。除此以外， y 都是大于零的，所以大人的不等式对应的解击就应该是 x 不等于负的 r f b。 小人的不等式在图中是找不到图像与之对应的，所以他应该是空姐。最后我们来看嘚的小约定式， 根在小于零时，抛物线也 x o， 没有焦点，图像全部在 x o 上方， y 呢，横大于零，所以我们说大于零的不等式的解急就应该是全体实数，而小于零的不等式解急应该 是空击。由此可见，在解一、二四不等式的过程中，关键点是运用二次函数的图像，大家绝对不要死记硬背，一定要学会用图。 接下来进入到练习环节，这两个题可要难一些哦，你能做出来吗？ 好，我们先来看第一题。九 x 方减六， x 加一大于零，我们设二残数， y 等于九， x 方减六， x 加一。图像是开口向上的，我们算一下，嘚儿他，嘚儿他等于三十六减四乘九等于零 啊！这个二参数只有一个零点， x 等于三 b。 我们来看图，抛物线与 x o， 尤其仅有一个焦点， x 等于三 b， 所以大一点的解 题就应该是 x 不等于三个 b。 第二题，我们设二次函数是 y 等于 x， 方减二， x 加三， 他的图像开口向上判别是等于地方减 cc 是小于零的，所以二残就是无零点的。接下来你想写什么？你想写解急是空急吗？这里你一定要注意区分， 五解的是一二方程，五零点的是二字函数，那么二次不等式到底解题是什么？你要等着，你要看图。在图像上，二字函数的图像都位于 x o 上方，所以 y 是横大于零的，所以大于零的不等式，自然它的解题就应该是十数级， 不应该是空姐。同学们回顾一二二四不等式的解的过程是不是特别神奇啊？解一个不 上市的过程，竟然用到了韩式的图像，同学们肯定想到了什么。在初中咱们学没学过类似的数学概念， 有没有三个数学概念之间也有类似的关系的，你能想到吗？只不过他不是一元二次的。对一次函数，一元一次方程与一元一次不等式， 一元一次方程的根恰好是一四函数的零点，而且一元一次不等式的时候，我们也会用到一四函数的图像， 对不对？数学真是太神奇了，不仅函数方程和不等式各自有各自的体系，同种类型的函数方程不等式之间也存在着紧密的联系，这说明什么？ 数学是一个整体，是一张密不透风的网，有他完整而要严谨的体系。我们对数学特别喜爱的同学，一定要究其一生来进对他进行探索。 最后，我们回顾一下这节课的内容，请同学们思考以下的问题，第一，二次函数 e s 方程以及 e s 不等式之间有何关系？ 第二，如何求解一二四不等式？ a x 方加 b x 加 c 大于零，或 ax 方加 b x 加 c 小于零， 就是在 a 大运的时候就可以了。 好，今天我们的课就上到这里，同学们再见！

大家好，欢迎来到双讲课堂，我是大江老师。本节课我们进入不懂事第二个板块，医院二次不懂事与二次函数分为呢三个内容。医院二次不懂事定义解法与二次函数的关系 首先是定义啊，我们把形如以下五种类型的不等式称为一元二次不等式，其中呢， abc 均为长数，且 a 不等于零。其实呢，就我们类比一下等式来理解就可以了。另外， a 不等于零很关键，它决定了这个不等式是否为二次不等式啊。 那么应该怎么来解约二次不等式呢？我们可以按照一个最简单的解不等式的套路来操作，无论现在的不等号是大于还是小于。第一步呢，我们先把 a 处理成大于零，注意处理之后不等号可能会出现反号的这样一个情况。第二步，按照解等式的方法，解出 a x 方加 b， x 加 c 等于零的两个根， x e x 二，并且假设 x e 小于 x 二。第三步，如果不等式的符号是大于，那么解及取两根的两边，如果是小于，则取 中间。一般来说，我们在平时作业和考试中都会碰到有两个根的情况，不照原理的情况下，掌握这个套路也可以解除大部分的题目，前提是必须保证 a 为证书。 我们遇到巩固例题，来巩固一下刚才的套路啊。对于这个不等式呢，首先，我们把它化成 a x 方加 b， x 加 c 大于零的标准形式，同时乘以负一，把 a 变得大于零，不等号也需要返号 因式分解，解出两个跟 x 一等于负二分之一， x 二等于一，那么因为不等号是小于号，所以最后的解题取中间 x 大于负二分之一小于一。那么当 a x 方加 b， x 加 c 等于零，没有根或者只有一个根时，我们又应该如何解这个不等式呢？我们可以把一元二次不等式与二次函数的图像联系起来。 假设函数解析式为 f x 等于 x， 平方加 b， x 加 c， a 大于零。开口向上可以看到左边有三条二次函数的图像，以第一条为例，函数与 x 周没有交点， 相当于 y 不等于零，也就相当于 f e x 等于零。无解啊，那么此时 derta 一小一点。 同理呢，对于第二条函数图像只有一个焦点，那么就是 f r x 等于零，有一个解，当然他二就等于零。 f 三 x 与 x 轴有两个焦点，等价与 f 三 x 等于零，有两个解， 都是它三大于零。我们首先来看有两个焦点是，假设两个焦点为 x 一 x 二，如果要使得 f 三 x 大于零，从图上我们可以知道，要么 x 小于 x 一，要么大于 x 二。 同理呢，当 f 三 x 小于零时， x 必须取在 x 一和 x 二之间。这就是从根本上去理解为什么在 a 大于零，也就是开口向上时，我们可以使用大于取两边，小于取中间的这样一个套路来解答一个题目。 我们再看有一个焦点 x 三十，如果要使得 f 二 x 大于零，从图上可以知道，只要 x 不等于 x 三就可以了。同理，由图可知，不存在 x 使得 f 二 x 小于零。最后是 没有焦点的情况，如果要使得 f e x 大于零，可以知道对于任意 x 属于 r 都满足这个条件，并且呢，不存在这样的 x， 使得 f e x 小于零啊，所以解级为空级。 我们来总结一下整个一元二次不等式的解法。首先呢，第一步是变形，通过变形将不等式化为 a 大于零的一般形式，然后求根，求出一元二次方程的根，可能有嘚他大于零，小于零等于零三种情况，需要分别来进行讨论。然后使画图 图画出对应二次函数的草图。大将老师强烈建议大家不要省略第三步，至少要在脑子里画一下草图。最后求解，结合图形，我们求的不等式的阶级。最后我们在于要立起来巩固一下。第一步呢，还是先把系数 a 化为一个正 数，只是不等号要进行个反号，那么这个时候我们就可以尝试去因式分解了，发现无法做出十字相乘啊，这个时候再算一下灯塔，我发现是小于零的。第三步，画出草图，发现不存在这样的 x， 使得整个表达式呢小于零，因此呢，得到解极为空极。 对，我们这里判断是基于做完第一步，也就是把二次项系数变正之后的式子来进行的操作，而不是题目中原来的 原式来进行判断。那这个题我们其实还有另一种结法，就是去配完全平方案，这个方法也希望大家能够去掌握啊通， 这个式子呢，我们去配一个这样的完全平方，可以得到是二倍的一个完全平方，加上八分之七小于零，很明显不存在这样的 x， 让这个表达是能够成立啊，因此解极为空级。好了，今天内容就到这里，谢谢大家收看千里之学习，左下角就是上下更多基础加关注，让学习变得更轻松。

同学们好，这节课我们讲二次函数与一元二次方程不等式参数的问题。我们来看一下通过这样一个表格，如何来弄清他们三者之间的关系。 通过刚才的分析，我们会发现他们三者之间都始终会联系的一个，也就这个方程的根。 它是图像与 a 轴焦点的横坐标。所以我们利用这个 delta 判别式作为我们讨论的一个标准。 当 d 它大于零时，方程有两个根，那么图像与 l 轴也有两个交点。再来看这个不等式。大于零， 也就是函数值大于零时，对应图像的 x 的范围。 通过图像我们可以得出 x 小于 x 一或 x 大于 x 二。函数值小于零，也就是 x 下方的图像对应的是 x 大于 x 一，小于 x 二。 再来看，得他等于零有两个相等的时根，那么图像与 x 轴有一个交点。那通过图像我们可以知道， 大于零的话，除了 x 零不行，其他的都可以。而 x 轴下方没有图像，所以说小于零就是空间。但是它小于零，与 x 轴没有交点， 因此方程没有实数根。所有的图像都在 x 上方，所以它所对应的 x 范围是全体实数，而 x 下方没有图像。所以说小于零的就是空级。下面我们看不等式的横乘零问题。 若对于一切实数 x m x 方减 m x 减一小于零，横成立，求 m 的取值范围。 根据刚才我们所总结的这一个 e r 次不等式的二次项，系数上仍然含有字母。 当看到这类问题的时候，我们首先要想到的就是讨论他是否为零，因为他等于零的时候就不再是一元二次不等式了， 它可能是一次不等式，还可能是长数，还可能是零等等。所以我们要先讨论当 m 等于零时， 我们来看，此时变成了负一小于零。那我们知道负一一定是小于零，它是横乘力的，那说明了 m 等于零，符合题。 那么当 m 不等于零时，此时它就是一个一元二次不等式， 那这个婴儿是不等式。怎样画图像才能够让它小于零横成立，也就是让所有的图像都在 x 轴下方的，我们只需要这样画图就可以了。也就是 要满足开口。 m 小于零，与 a 轴还不能够有交点。 thirt 等于 m 方加四， m 要小于零。 下面我们来解一下这个不等式。 m 方加四， m 小于零。可以解出 m 大于负四小于零。 结合 m 等于零时，也符合题。所以综上， m 小于等于零，大于负四。 我们来总结一下一元二次不等式的横乘立情况。 a x 方加 b， x 加 c 大于零，横乘立。当然 a 不等于零时，要满 足 a 大于零，但是它小于零。 a x 方加 b， x 加 c 小于等于零。横成立，满足的是 a 小于零，但是它小于等于零。 下面我们再来看一下有关一元二次不等式的另外一种形式，就是含参数的，这也是比较难的一种。 看这个不等式 a x 方加 a 减一， x 减一大于零。解这类不等式的时候， 我们首先先来看一下他能否因式分解，而不是上来就去看得。如果能够进行因式分解的话，再用得他就显得比较麻烦了。首先我们先试一下他的二次项系数是 a， 那可以分 解为一 a 长竖向是负一。那关键看一下这个负号的位置，假如放在这 交叉相乘相加，正好 a 减一，说明它可以进行因式分解。所以我们先化减不等式，可化为 x 加一，乘以 a， x 减一大于。 那。下边其实我们就知道了这个方程的两个根，一个是负一，一个是 a 分之一。但是问题来了，你写 a 分之一的话，万一 a 等于零怎么办？所以我们要先讨论 二次项系数。当 a 等于零时， a 等于零尺时，我们把它带进去看就可以了，它实际上就是负的括号。 x 加一大于零，所以 x 小于负一。然后再讨论 a 不等于零时。 方程的两根 x 一等于负一， x 二等于 a 分之一。根。知道了，现在不知道的是 两根的大小以及开口方向。这个时候我们该如何讨论呢？教给同学们一个办法。我 我们以两根的大小相等作为讨论的标准。我们来看 a 分之一减去负一。我们比较 a 分之一和负一的大小 等于 a 分之 a 加一。假如 a 分之一减负一大于零，也就是它大于它的时候。儿解这个不等式， 这是个分式不等式，它等价于 a， 乘以 a 加一大于零。 那解这个我们可以得出 a 大于零或 a 小于负一。你看现在这两个根是 a 分之一大于负一，但对应的开口却是两个。所以我们要分开来写。当 a 小于负一时， 此时这个不等式的开口是向下的，我们可以画成向下。有同说，那既然是负的，我为什么 不乘以负一，把它变成正的呢？同学要注意，这是函数的问题，我们尽量就不要给他变了， 因为前面是具体的数字问题，我们把符号拿掉，能够清楚的看到没有符号，但是字母它自身有正负，它不是像数字那样符号在外边能看到。所以这个时候我们就不需要再换了。根据它自身的开口来画图像就可以。 a 小于负一，说明的开口向下。再来看根的大小， a 分之一大于负一，说明这个是负一，这个是 a 分之一。 我们要解的不等式是大于零，因此是 x 轴上方， 所以 x 要小于 a 分之一，大于负一。然后再讨论 当 a 大于零时，此时开口变成向上， 仍然是 a 分之一大于负一。根据图像我们可以得到 x 大于 a 分之一或 x 小于负一。 好了，现在我们就讨论完 a 分之一大于负一。再讨论当 a 分之一等于负一，也就是 a 等于负一时，此时开口向下， 那我们会发现在 x 上方没有任何的图像，所以不等式解集为空级。在讨论当 a 分之一减一小于零时，那就应该是它的补机不带等号。也就是 a 小于零，大于负一时。开口向 下，与 i 格有两个交点，此时负一在前， a 分之一在后。 根据要求，大于零的解积 i 勾上方，所以 x 小于负一，大于 a 分之一， 这样就减完了。最后不要忘了下个总结了。综上，当 a 等于零时，点击为 负无穷到负一。当 a 小于负一时， 是负一到一分之一开区键。当 a 大于零时，为 a 一分之一到正无穷并上负无穷到负一。 当 a 等于负一时，为空级。当 a 大于负一小于零时， 为 a 分之一到负一开始键。 下面我们来总结一下解含参数的一元二次不等式应该怎么做。我们主要从下面三个方面来进行讨论。 第一，不等式类型的讨论。二十项系数开口向上，开口向下和等号就是二十项系数 为零。第二个是不等式对应方程根的个数，一般用 dot 时候是这个方程不能够进行因式分解，我们要以 dot 为标准讨论。而如果能够因式分解的话，我们就按照根的 大小相等来讨论。在讨论的同时，如果里边的参数会影响到开口方向，那么就根据这个 解出来的参数范围的正负来画图像讨论。第三，不等式对应的方程跟着大小，刚才说了就是这个。 下面我们来总结一下这一节课的主要内容。重难点就是三个二次之间的关系，以及一元二次不等式的解法。 易错点接不等式。注意二十项系数的正负，也就是二次函数的开口。实际问题不要忘了考虑实际情况。 横成的问题要注意考虑周全必会的题型。解一元二次不等式。不等是横成的问题，以及不等是实际应用问题。 所涉及的数学思想有分类讨论思想，树形结合思想。当然我们还可以再加一个转化发挥思想。好，这节课我们就讲到这里，同学们再见。