中科大数学竞赛教程

那么其实同学没什么可说的，这玩意还能咋办啊，复制就完事了，关键是怎么复制？同学们，你看他的技巧是什么呢？他的 x 等于 fy， 你说有没有意思？同学们， 那着急复制的技巧呢？很多时候你说老师我光会复个什么？ x 对零， y 对一，为什么这里会想到令 x 对 f y 呢？因为很明显，在这个等式里面，我们最讨厌最讨厌的是这个东西， 没毛病吧？那同学你说这个是不是最讨厌的？当然是最讨厌的了，对吧？所以说呢，我们会得到 f 零等于这个东西，那所以说呢， f f y 啊，就等于负 a 负 y 的平方，再加上二分之一，负零加二分之一，后面这个长数呢？这个不重要， 那关键是得到这样的东西好，然后怎么去替换呢？同学们，动动脑筋，对，我们刚刚说了吗？对，我们用这个 x， 用 fy 来代替是合理的。那么下面我们该怎么去处理呢？你会发现，同学们，就是说啊，就跟我们做事情一样，我们要循序渐进，就步子不能迈的太大。这个 x 和 fy 啊，这个是非常讨厌的啊，你会发现，我们先把 h 的先变成了 fy， 然后呢，我们怎么样？我们在退而求其次，应该使用 x， 怎么样变成 f f x？ 对啊，哎，为什么把这个 x 变成 f x 有什么好处呢？哎，因为呢，它在后面啊，可以利用我们已得的这个结论，也就是说，我们把 x 的 f x 塞进去之后啊，它的 f f y 加上这个不重要，等于这个，对吧？你发现利用我们第一个刚才得到这个信号的这个柿子，他可以怎么样替换掉，替换掉之后你还美滋滋，他居然能怎么样？配方， 那配方中呢？其实这个题目已经足够了，因为啊，这个题目当然是个填空题， 对啊，是个填空题，我们换个颜色的笔， 也就是说的，你发现你看，你把中间做一个整体啊，哎，不行，这颜色，这个太太太浅了， 紫色啊，用我母校的颜色，没毛病，就大家看这个，教你把这个做一个整体，他是不是已经呼之欲出了呀？ 他是不是就是 f s 对负 x 方加一辅零，加一辅零，是吧？好，那么呢，关键就在于啊，题目题你做完了吗？就你把这个，你就验证一下，发现这个是满足要求的，就这个是 ok 的，但是你发现，那既然是飞哥， 那，那包括我们既然写这样一个参考书，写这样一个教辅书，不能仅仅满足于答案吧，我们特别希望能够严格证明这是唯一的结，那同时动脑筋了，哎，怎么样才能够证明这是唯一的结呢？我们其实只需要说明，就这个 f x 减 f y 能够怎么样， 能够取变所有的次数，同学们能听懂不？没问题吧？打个比方，如果告诉你 f 二 x 等于四 x 的平方，请问同学们这个函数是不是就等于 f x 等于 x 方啊？为什么？因为你二 x 可以取变所有的实数啊，对吧？那么关键就在于我们这个 f x 减 f i， 它到底能不能取变所有的实数呢？ 哎，但咱们注意一下啊，这下面这个头可能有点顶不住了，但其实大家也不要害怕，能顶得住啊，我们用这个去替换，为什么用这个去替换呢？我们为了使得这个东西怎么样 变得简单，那么你看，哎，这么一听完呢，就特别的高兴了，就接头一年，他是等 x 减一，我们 x 减一是可以取变所有的实数的，这就意味着我们前面这一堆 f 减这个一堆 f 可以怎么样？可以取变所有的实数， 有没有毛病？没毛病，对吧？你甭管这里面多复杂，不用看它，总之它是一个 fm， 减去 fn， 他可以怎么样？取遍所有的时数，我只要给出适合的 x 就可以了。当然是，哎，老师啊，这个分母有没有可能是零啊？哎呀，不用管为什么，因为右边没有 y 啊，你只要取个 y， 让这个分母不是零，然后 x 怎么样取，随便取个 x 就可以取到怎么样所有的实数了啊，这就意味着呢，我们的这个东西啊，的确怎么样 是他的唯一姐， ok， 行，好吧，那屏幕前的伙伴们顶得住吗？啊，要顶得住， 那我的这本书的话，应该说难度的跨度还是比较大的。难度的跨度有点大，我的习题呢，也是分为 a 组和 b 组，对吧？ a 组的话大部分都是强劲的真题啊，占大部分，那么 b 组的话有少量的这些难题， 同时呢也有些强劲的题目呢，是放到 b 组的，比如说这道中科大的题目呢，我就把它放到 b 组，那肯定是 b 组啊，对不对？好的那好，那不知不觉呢，快一个小时了， 所以说屏幕前的伙伴大家注意啊，就大家不用紧张，因为长期考试，据我所知的话，比如说我记得是去年前年的北大考试的平均分是十七分 的，反正差不多就是说这个只有考了五分之一的分数，请大家注意啊，这个平均分，这个平均分不是说我们这个什么全省的平均分啊，因为去考的都是高手，那就这么多高手的平均分呢？就拿了五分之一的分数不到，那这说明什么呢？一方面 说明这题目有难度，我们很陌生，我们顶不住，对吧？因为我们从小没有接受过这样的训练。那另一方面呢，也说明什么？另一方面也说明呢，哎，如果你能够把这个数学你像人家考五分之一，你只要能考一半的分数，那你不就脱颖而出了吗？对不对？那清华北大那不就是探囊取物了吗？ 到了最后，那这也反映出的飞哥的价值所在，对吧？我反正会会坚持怎么样？哎，做这样的一些无偿的这个强劲课的，那至少呢，我会把这个系列的这十一讲， 把这个做完。那我也希望在屏幕前的伙伴们啊，那无论是抖音啊啊，包括现在我快手也有账号，还有呢 b 站。对啊，能够多多这个点赞投币支持，那在下呢，也是非常的感激啊，我们呢一起加油。

二零二二年中科大创新班考试。

中科大少年班和少创办的初试选拔呢，已于几天前结束，初试的笔试科目呢，为数学和物理。想必不少同学和家长都很好奇，少年班的初试难度究竟是怎么样？我的孩子也能考上少年班吗？来，金老师就带大家来盘一盘这次考试的数学题目。 第一题呢，是较为简单的复数问题，我们只需设出复数的时序步，将题目中条件等式转化为时步与魔的关系等式呢，即可解决。 第二题呢，向量问题。这道题呢，也相对容易讨论题目中五个向量的共面情况，用内机来判断夹角的大小即可解决。第三题呢，是概率问题， 通过题目中操作情况得到地推关系，并求出概率通向，再进行数列极限的计算，即可解决。第四题，数列不等式问题，第一问呢，有泰勒展开背景直接求导呢，即可 处理。而第二问呢，利用第一问的结论处理阵弦，进行适当的放缩求和，即可解决。那最后一道题，数列问题，猜测并证明下标为平方数的象的表达式，并在此基础上呢，推得一般的通向即可呢，将其转化为简单的不能式证明。 数学初试的五道试题呢，整体难度不算很大，考点呢，也基本围绕高中课标的范围。少数呢，例如数列极限的计算和泰勒展开的背景呢，也并不要求考生对系统知识的严格掌握， 难度上呢，大概接近于高联一式的平均水平吧。五道题里面的前三题呢，较为基础，后两题呢，则需要考生在解题时呢，尝试简单的变形。 看得出来，这次初试主要考察考生对于具体问题的理解和一些常见技巧的掌握情况。我是金老师，关注我，下期视频带你盘中科大少年班物理试题。

中科大少年班竞赛手册。

伙伴们，好奇怪的不等式增加了，那三角函数啊，哎，居然还能够和我们的 x， y， d 有这样奇妙的关联， 这个不等式呢，被称为嵌入不等式，那这里的嵌呢？是镶嵌的嵌也不难理解，那他在我们的熟知的不等式， x 方加 y 方加 z 方大于等于 x， y 加 y， d 加 z， x 中啊，那嵌入呢？加了些三角函数名， 也不难发现，我们 a 等于 b 等于 c， 都等于六十度三分之派的时候呢，就是我们熟知的那个不等式，但 x 方加外方加对方大于 x， y 加外立加 z， x。 那么呢，本题对于这种一般情况，又该如何进行证明呢？那本题呢，有两种正法，那希望屏幕前的伙伴们呢，能够尽可能的掌 第一种啊啊，有一种天外飞仙的感觉，他说左边减右边 等于什么呢？我们都知道，做叉法是我们证明不等式的最常见的方法，那么我们做叉法想说明一个东西大于等于零，又有什么最常见的手段啊，就是我们的配方 啊，正比，当然有同学说，老师在哪正比了，这不神经病吗？这个，这从哪冒出来的这个配方啊，三项的 平方，很奇怪，这其实就对我们代数呢，有一些聊啊，有一些这个要求啊，那如果说老师我配不出来哎，但是配出来了之后呢，我们怎么样啊？不妨检验一下，真的如此吗？啊，我们来算算这两个平方和到底等于什么？ 我们注意观察，我反复强调，就是说我们不能怎么样啊，把东西呢，就一股脑全部都打开，一定要事先先观察好，要瞄准我们的方向，我们有 x 方，我们的 y 方在哪里？你 y 方口三 s 方加上 y 方三 s 方，怎么样？ 就正好呢，凑成了一个晚方，同理会有个 z 方。好，那么呢，第一个，这个三项的平方中会自然的产生减二 x y 口三元 c， 以及呢，减二 x z 口三元 b， 对不对？这是我们想要的，我们不想要的呢，有一个加上二 y z 扣三 a b 扣三 a c， 以及呢，我们第二个平方式里面啊，哎，会生成这样的一个中间项，那我相信伙伴们其实已经发现了 啊，我们只需要对我们这个多余的这个尾巴呀，用我们两角和的余弦公式，这个呢，就是怎么样口算 b 加 c， 而口算 b 加系呢，是口算派减 a， 也就是负的口算 a， 所以呢，它就等于怎么样 啊，就等于呢，我们这个不等式的左边减右边啊，非常的和谐自然。 那至于呢，同学们呢说，老师，这怎么能直接一步配出来的啊，这个呢，有的时候我们也得承认，那数学里面的有些这种直觉啊，很难办好，那有没有什么我们能够接受并且理解的方法呢？有 我们来看法，那也是呢，当年呢啊，我的第二种方法，我们永远不能忘记了数学中最朴素的思想和概念， 在我们初中的时候啊，就学习的怎么样，二字函数，或者说一元二次方程的判别式，我们呢将这个不等式啊，整理为一个关于 x 的一元二字函数， 对啊，我们三个变量，我们可以将崴力怎么样看成参数，那么呢，将它整理为一个关于 x 的二次函数，然后我们抓紧这些一些啊，这个并不难整理 好，那么对于这个二次函数而言呢，它的开口向上，我们想说明呢，它要横大于等于零，其实只需要说明怎么样啊，圆不等式，其实就等于这个跌，它要小于等于零， 那么这个跌到为什么会小于等于零呢？我们的跌他呢？等于 b 方四倍的这个的平方，那注意到后面还会减四 bc， 从我们的四 k 直接提取出来， 也就是 y 口三元 c 加上 z 口三元 b， 这个的平方减去四 y 方减四 z 方再加。哦，不好意思同学们，我们的四已经提出来了，这里的四是没有的，再加上两倍的 y z q 三 a。 好，那么呢，注意到同学们，我把这个平方展开之后啊，它是外方口三 a， c 方减去外方正好就等于怎么样？负的 y 方，三眼 c 方，同理，我会怎么样？负的 z 方，三眼 b 方，以及呢，我们多出来的一个，中间像二 y d 口，三眼 b 口三眼 c 加上二 y 的口塞啊，哎，哎，这里有没有哪里写错了呀？嗯，正负啊，减啊，那这里呢，我们不能出低级的错误，那负的这个 ok， 那没问题，检查一下。好，那么到了这里之后呢，我们其实可以理解，就第二种方法为什么好，那第一种方法就是为什么好， 那第一种方法好就好在怎么样啊？哎，一击秒杀，坏就坏在呢，这看不出来啊，那这谁能配出来这个三项的配方呢？很难的，对吧，我们大部分人是做不到的。那第二种方法好在哪？ 我们熟知的思路，而且呢，当我们把 x 看作一个字背上之后啊，这个跌塌里面还有 x 吗？哎，相当于变相的帮我们修了个圆啊，这是非常好的。好，那么呢，把这个事情大家整理一下，那也很简单， 我们的负矮方三元 c 方减负日方三元 b 方是这样写的，而我们的口算 a 等于什么？我们的口算 a 就等于负的口算 ab 加 c， 对吧？带进去 啊，简单一点啊，负的口才必加系，就负的二 y z 口三眼 b 口三 c， 正好抵消掉，再加上，怎么样？我们的二 y z， 三眼 b， 三眼 c， 那这正好怎么样？ 是一个负的完全平方。 那至此呢，我们的本题也就水落石出了，你看，非常的轻松愉快，那我们呢，就增长了一些新的知识，那如果屏幕前的伙伴们呢，已经知道了也不要紧，那这个东西有没有用啊？有用的， 前年呢，中科大的这个少年提交班啊，就考了这样的题啊，在三角形 a、 b、 c 中呢，证明二分之根号三口算 a， 加口算 b， 加根号三口算 c， 小于等于二。 那这个问题呢，你看啊，呃，当年呢，有一种参考答案呢，在写的很啰嗦，那就把这个 a 拆开了，一种一顿的，这个放心变凑。那其实呢，我们如果有了嵌入不等式，这个题目，是不是直接秒杀掉了？我们来写一写，我们现在复习 一下啊，我们的嵌入不等式到底是说了个什么东西呢？它并不难记啊，因为它的形式怎么样啊，非常的好，那你 a 呢？你 a 呢？对的是 x， 所以肯定是用 y d 给它配，你这样也怎么样啊，便于记忆和书写， 所以同学我们就理解了，我们的目标是怎么样，哎，我们的目标呢，是去找到这样的 x， y， d， 使得怎么样？二， y， d 等于二分之根号三， x， y 呢，等于二分之一，以及我们的晚，哎，写错了吧，这个，哦，不好意思啊， x， e 等于二分之一，以及呢，我们的 x， y 啊，等于呢？二分之根号三，那这个怎么解？那这个就四分之根号三。那还 很简单，这就类似于我们这个内切圆，那切点到顶点的这个距离的球法一样。那个是把三个相加，这个呢，把三个式的相乘，会得到 x 方， y 方， z 方等于， 嗯，四分之根号三，二分之根号三，四分之三，八分之三，十六分之三。所以呢， x， y， d 也就垂露时数了，怎么样？它是四分之根号三，请同学们注意啊，你说，哎，老师在这里呢，为什么你这个选用正的呢？不选用负的呢？ 为什么？那因为选和负的没区别。那如果你把这个里面的变成这个负的，意味着怎么样？你三个数都是负数，对这个成绩是没有影响的，但你总是可以不妨盛，怎么样？三个数都是正数。好，那么 x， y， d 等于四分之根号三，我们呢带进去，那就可以把别的东 全部都求出来了。那我们带到第二个式子里面呢，就可以把 y 求出来。 y 呢是二分之根号三，那 x 是多，那 x 就是一啊， z 呢？ z 是二分之一，那检验一下有没有问题啊？嗯，没有问题，所以呢，你看我们的把这个是带进去就知道了。我们左边怎么样？ 左边小于等于二分之一的平方，加二分之根号三的平方，再加上一等于二，你看我们就怎么样？轻松的顺秒了一道中科大少年班的题目。 那当然了，可惜了，我们可能已经有点老了，没法再去考了。好的，这样，以上的就是飞哥今天给同学们分享的一个啊，三角函数，哎，与我们这个史书的相结合，那个有趣的不等式，那看起来很复杂的，有六个边上， 其实没那么恐怖啊。我们最后呢，再额外的补充一点，首先呢，第一点就是说我们这个不等式的条件啊， a 加 b 加 c 等于派，显然可以怎么样，哎，改成 a 加 b 加 c 等于派的基数倍，这个不影响。以及呢，这个球的这个取等条件是什么呀？ 你看这里呢，就可以体现出我们第一种方法的好处了。但我们第一种方法，包括我们的第二种方法呢，那都可以看出这个确诊的条件。那第二种方法呢，说明确诊条件是怎么样？是 y 撒盐， c 要等于 z， 三眼 b， 也就是 y 比 z 等于呢？三眼 b 比三眼 c， 那同理，我们会不会怎么样？那 x b y 呢？就应该等于三 a b， 三 a b， 但是同理的，你只要把 z 看成怎么样，字面上就可以了，把它看成关于 g 的函数，那这是意味什么？要意味着我们的 x y d 啊，它所构成的这个 怎么样？这个 x y d， 它是怎么样啊？构成的三角形的三边，正好咱们满足这个正确定理，那这是我们的通俗的理解，那当然这个理解不准确，为什么？因为 abt 不一定是这个能够构成三角形的这个内角啊，那说不定人家变成三百七十度，那变成二派五派一百派，那通俗理解就是这样的， 那举证条件就在这里的， x b y 比例等于三 a 比三 a b b 三 a c， ok。 那么以上呢，就是飞哥给伙伴们分享的一个，还是挺不错的不等式，我们下期再会，拜拜。

好来，我们今天看一道二零二一年中科大强奸计划数学题。题目是一只正时数 x y 满足 x 分之八加 y 分之一等于一，求根号下 x 方加 y 方的最少值。这道题呢，具体的做法如下。 因为题目告诉你了， x、 y 它是正时数，也就是说 s、 y 都是大于零的时数， 并且有呢 x 分之八，再加那个 y 分之一，它是等于一的。所以呢，一可以写成呢 x 分之八再加那个 y 分之一 x 呢，你可以写成呢 x 的平方的二分之一次面，八可以写成呢四的二分之三次面二分之三，也就是一加二分之一次面。 y 同理，可以写成外方的二分之一次面。一可以写成一加二分之一次面。好，这样我们有全方口不等式，它大于等于呢，也就是 x 方加外方的 二分之一次密分子就变成了四加一的 一加二分之一次密，它就等于呢，就是杠下 i 方加外方分之五的二分之三尺米。因为 x、 y 都是大于零的，所以呢，根号下 x 方加外方， 它必然大于等于呢五的二分之三尺米，它就等于呢五倍的跟五。好，我们看等号成立的条件，当车紧张呢， 全网口不等式，等号成立条件是 s 方比四， 它是等于呢外方比一。我们再结合呢 x 分之八， 再加上一个 y 分之一，它是等于一的。有第一个等式，我们很容易求出 u s、 y， 大量求出了 x， 它是等于二 y， x 等于二 y 代入第二个式当中，我们就得到了。因为这是等于二 y 也就等于 y 分之四， y 分之四再加 y 分之一，也就是 y 分之五，它是等于一也值呢。 有第二个等式，很容易求出。 y， 它是等于五， x， 它是等于十。这时候呢，等号成立。 所以呢，括号下 s 方加外方，它的 最少值就等于呢五倍的跟五。 好。这道题呢，我们用拳法口不等式，很容易求出刚好下一个方加外方的最少值等于五倍的歌舞。关于这道题呢，我们今天就讲到这，下次再见。

好，来，我们今天看一道二零二一年综合大强击计划数学题，题目是一只正手数 s y 满足 x 分之八加 y 分之一等于一， 求个号加 x 方加外方的最少值。这道题呢，具体的做法如下，好多人见到这道题以后，他采取了全网所加科技不等式来做，你看这么做对不对啊？他说，因为 xy 为证实数，也就是说 xy 他都是大于零的， 并且有呢 x 分之八再加上一个 y 分之一，它是等于一，它有全网络不等式，一，它是等于呢， x 分之八可以看成是二跟二的平方，然后再加那个 y 分之一 一的平方，他大于等于呢？因为 x y 大于，他是大于等于 x 加 y 分之二跟二加一的平方，他就等于呢， x 加 y 分之，就加上一个四倍的跟二。 因为 x y 大于零，所以呢，我们就有了 x 加 y， 它是大于等于呢，九加四倍的跟二。 好，我们再看啊，因为题目叫你求个号下 x 方加外方， 他的最少值要用到 x 加外大于等于九，加上四倍的跟二，我们呢，他再乘上一个一律平方，再加一律平方。目的要出现 x 加外， 我们有科学不等式，他是大于等于呢， x 加 y， 他就大于等于呢，就加上一个四倍的根二。所以呢，因为个二加一的平方再加一平等于根二，两边都除一个根二，就得到了 个加 s 方加外方，他是大于等于呢，根二分之九加上一个四根二 分组，分母在右里画同字，长乘个二，就变成了二分之九跟二再加八。 好多人说个二加一个方加外方，他最少就等于二分之九个二加八，这么做对不对呢？我们看全方口不等式出等的条件呢？他出等条件是什么东西呢？也是 x 比乘 二跟二，它是等于角 y 比一，然后呢，科技不等是指是等条件，它是 x 比一，它是等于角 y 比一， 这两个吃等条件不一致，所以这么做肯定是错的。因为吃等条件用 y 比一，一个等于 x 比二跟二， y 等于 外比一，还等于孩子比吃等条件不一致，所以这么做肯定是错的。好，这道题呢，正确的做法怎么来做呢？我们怎么呢才能用全方位不等式，还有科学不等式使他的吃等条件一致呢？我们再给他变下形。好，正确的做法，我们这么来做。 好，题目告诉你了，因为 x y 是正时数， x y 都是大 二零的，并且有呢， x 分之八再加 y 分之一，他是等于一，我们呢，一，他是等于。我们把它的分子分母同字乘成二，第一项就是变成二， x 分之十六十六，可以看成四个平方， 再加上 y 分之一的平方，这样我们再用全方块不等式，它是等于角二 x 加 y 分之 四加一的平方，它就等于呢？二 x 加 y 分之五的平方就等于二十五。因为 x y 大于，所以呢，我们就有了二 x 加 y， 它是大于等于角二十五。好，我们再有可惜不等式，因为高二下题目就 求高二下的方加外方，他们最少值，要要想出现二 x 加 y， 我再乘上一个高二下二的平方，再加一的平方，这样有科学不等式，他就大于等于二， x 再加 y， 他是大于等于几啊？二十五个二下二的平方，再加一的平方等于根五，这个说两边都同时除以根五，我们就有了个二下 x 方加外方，他是大于等于几啊？ 根五分之二十五，然后分母有理化，我们就得到了五倍的根五，所以他最少值五倍的根五。我们看这次等条件，也就当时紧张了。 我们 前面用全方格不等式出等，条件是二， x 比成四，他是等于几啊？ y 比一。好科技不等式出等条件是 x 比一，他是 x 比二啊， x 比成二， 它是等于呢？ y 比一我们还要结合呢， x 分之八 再加 y 分之一，它是等于一的。好，因为二 x 比四也是等于 x 比二，所以前面两个是条条一致的。这几个和第三个等式我们很容易求制，值呢也值 x， 它是等于呢， 等于十四， y 等于五， 这时候等号成立， 所以呢，高二下 x 方加 y 方，它的最少值呢， 就等于呢？五倍的跟五。好，这道题呢，我们今天就讲到这，下次再见。

今年的高联一试要开始了，给同学们推荐这本中科大出版的全国高联一试强化训练题级，带大家看看。这本书的目录基本上涵盖了一试所考的内容，而且最后还有十套的模拟题。我们看看书里内容，每一节都有大量的例题，例题后面还有配套的练习，非常好的一本书。