九年级上册数学函数的图像

二次函数是什么？还记得一元二次方程吗？它的一般形式是， ax 的平方加 bx 加 c 等于零， a 不等于零。二次函数跟它长得很像。 二次函数的解析试试。 y 等于 ax 的平方加 bx 加 ca 不等于零。来认识一下。二次函数 a、 b、 c 分别是它的二次项系数、一次项系数和长数项。这里要特别注意，自变量的最高次数必须是二，也就是说 y 等于 ax 的平方加 bx 加 ca 不能等于零。 如果 a 等于零， ax 的平方就没了，而 bc 可以为零。含有自变量的代数式必须是整式， 不能是分式或根式。向外等于 x 的平方加 x 分之一或者外等于根号下 x 的平方加 x 加一，就不是二次函数。 当 bc 都等于零， a 等于一十，二次函数就变成了 y 等于 x 的平方，这是最简二次函数。来研究一下他的图像。先把外等于 x 的平方的图像画出来。第一步，找几个点，在列表把点的坐标确定下来， 当 x 分别取零一、二、三、四十带入外等于 x 的平方，计算出外的值对应是零一、四、九十六。这些 x 的取值除了零之外，其他都是正数，还得再找几个负数， 那就找他们的相反数，负一、负二，负三、负四来对比一下，这时计算出外的值对应分别是一四、九十六。 第二步，建立直角坐标系，把这些点标上去。最后一步，用一条线把这些点流畅的连起来，得到了一条圆滑的曲线， 这条曲线倒过来看，像投篮时篮球在空中划出的一道弧线，因此他有一个形象的名字叫抛物线。 观察这个图像，抛物线向上，敞开一个大口叫开口向上，他左右两边是对称的，对称轴是外轴，所以他具有对称性。图像在外轴的左侧递减，在右侧 递增，这是它的增减性点。欧是这个抛物线的最低点，在原点处，它是抛物线与对称轴的焦点，我们把它叫顶点零零，顶点是抛物线取得最值的点。 一般我们就从开口、对称轴、增减性、顶点这些方面来分析二次函数图像的性质。再来看看 y 等于三， x 的平方和 y 等于三分之一 x 的平方的图像 在外等于 x 的平方图像的坐标系上画这两个图像，找点标上外等于三， x 的平方与外等于 x 的平方的 x 的取值对应相同，但外的值是 y 等于 x 的平方，对应 y 的三倍。 画出来是这样的，比 y 等于 x 的平方瘦，再画 y 等于三分之一 x 的平方，找到点与 y 等于 x 的平方的 x 的曲值也对应相同， y 的值是 y 等于 x 的平方，对应 y 的三分之一。连起来 图像比外等于 x 的平方胖。来对比一下这三个图像，首先开口方向都向上，然后对称轴都是外轴。再看增减性，在左侧都是递减，在右侧都是递增， 还有顶点都在原点，并在顶点零零处取得最小值。最后他们的二次项系数 a 都大于零，这些都是他们相同的性质，唯一不同的就是开口的大 小不同，比较一下他们的二、四项系数，三大于一，大于三分之一。发现当 a 大于零时， a 越大，抛物线开口越小， a 越小，开口越大。 那当 a 小于零时，图像又是怎样的呢？把他们的二十项系数都成负一就得到，外等于负。三、 x 的平方外等于负 x 的平方外等于负三分之一， x 的平方， x 的取值不变，外的值就变成原来的相反数了。图像倒过来了， 看这个图像开口都向下，对称轴是外轴，在外轴左侧都是递增，在右侧都是递减，顶点还在原点，在顶点处取得 最大值。最后看开口大小，负三小于负一小于负三分之一，当 a 小于零时， a 的绝对值越大，抛物线开口越小， a 的绝对值越小，开口越大。 其实不管 a 大于零还是 a 小于零，都可以总结为， a 的绝对值越大，抛物线开口越小， a 的绝对值越小，开口越大。因为 a 的正负只影响抛物线的开口方向， a 的竖直才会影响抛物线的开口大小。 a 的数值越大，说明外在自变量 x 的变化下上升下降的更快，所以开口就越小。最后总结一下，一、一般的形如 y 等于 ax 的平方加 bx 加 c， a， b， c 是长数， a 不等于零的函数叫做二次函数。二、形如 y 等于 ax 的平方的二次函数的性质。一、图像是抛物线顶点在远点，关于外轴对称。 二、当 a 大于零时，开口向上，抛物线在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增，顶点零零处取得最小值。 三、当 a 小于零时，开口向下，抛物线在对称轴左侧递增，再对称轴右侧递减，零点零零处取得最大值。 四、 a 的绝对值越大，抛物线开口越小。反之， a 的绝对值越小，抛物线开口越大。怎么样，你都学会了吗？观看完整版课程，关注花花老师！

风吹起来了，远远的一个小小的影儿牵引了我的视线，一道婉儿亲力可爱的弧线飘进了我的世界。好久都没有见到荡秋千了吧， 记忆中的秋千很浪漫，很神秘。可爱的弧线有没有像二次函数 y 等于 ax 平方加 bx 加 c 的图像？让花花老师带大家走进儿时的回忆吧！ y 等于二分之一， x 平方减六， x 加二十一。经过配方可得 y 等于二分之一， x 减六的差，平方加三。 根据前面的知识，我们可以先画出 y 等于二分之一 x 平方的图像，然后把这个图像向右平移六个单位 长度，再向上平移三个单位长度，得到二次函数 y 等于二分之一， x 平方减六， x 加二十一的图像。由配方的结果可知，抛物线 y 等于二分之一， x 平方减六， x 加二十一的顶点是六三， 对称轴是 x 等于六。再利用图像的对称性列表，然后秒点画图，得到 y 等于二分之一乘 x 减六的差的平方加三的图像。 可以看出，在对称轴的左侧，也就是 x 小于六十， y 随 x 的增大而减小。在对称轴的右侧，也就是 x 大于六十， y 随 x 的增大而增大。大家都有坐过过山车吗？一会 跌进谷底，一会到达山巅，跌宕起伏，激情不已。抛物线就如过山车的轨道一般，有升有降，可好玩了。 一般的二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c。 可以通过配方化成 y 等于 a 乘 x 减 h 的平方，加 k 的形式。 y 等于 a 乘 x 加二， a 分之 b 的和的平方加四， a 分之四， ac 减 b 平方。因此，抛物线 y 等于 ax 平方加 bx 加 c 的对称轴式， x 等于负二， a 分之 b 零点是负二， a 分之 b 四， a 分之四， ac 减 b 平方。如果 a 大于零，当 x 小于负 二 a 分之 b 时， y 随 x 的增大而减小。当 x 大于负二 a 分之 b 时， y 随 x 的增大而增大。 如果 a 小于零，当 x 小于负二 a 分之 b 时， y 随 x 增大而增大。当 x 大于负二 xb 时， y 随 x 增大而减小。 那花花老师要考考大家了！二次函数 y 等于 a， x 平方加 b， x 加 c， a 不等于零。 与一元二次不等式， ax 平方加 bx 加 c 大于零， a 不等于零，即 ax 平方加 bx 加 c 小于零， a 不等于零。之间的关系是怎样的呢？我们还是主要分为 a 大于零， a 小于零 两种情况。当 a 大于零时，抛物线开口向上，当抛物线与 x 轴两个焦点时， a x 平方加 b， x 加 c 大于零的解集是， x 小于 x 一或 x 大于 x 二。 a x 平方加 b， x 加 c 小于零的解题是， x 一小于 x 小于 x 二。 当抛物线与 x 轴只有一个焦点时， a x 平方加 b， x 加 c 大于零的解题是， x 不等于 x， e a x 平方加 b， x 加 c 小于零的解级是无解。当抛物线与 x 轴无焦点时， a x 平方加 b， x 加 c 大于零的解级是全体实数。 a x 平方加 b， x 加 c 小于零的解题是无解。当 a 小于零时，抛物线开口向下，当抛物线与 x 轴两个交点时， a x 平方加 b， x 加 c 大于零的解题是， x 一小于 x 小于 x， r a x 平方加 b， x 加 c 小于零的解题是， x 小于 x 一或 x 大于 x。 二、 当抛物线与 x 轴只有一个焦点时， a x 平方加 b， x 加 c 大于零的解积是五解。 a x 平方加 b， x 加 c 小于零的解积是 x 不等于 x 一、当抛物线与 x 轴无交点时， a x 平方加 b， x 加 c 大于零的解积是无解。 a x 平方加 b， x 加 c 小于零 的解题是全体实数。你们都记住了吗？怎么样？同学们，我们本节课程到这里就结束了，有关二次函数的内容都学会了吗？我们要不要为自己聪明的大脑来狠狠的点几个赞呢？

数学犹如茫茫的大海，而我们就是一页小小的孤舟，只有不停地追寻真理，才能发现其中的奥秘。阿道在篮球场上训练投篮球，瞧，一道美丽的弧线飘过，不过球没有进。 阿道向前走了两步，用同样的力道，哇，球进了两次投球，球的轨迹相同，都是相同的抛物线， 只不过平移了两步。做工不同，人生轨迹不同。在直角坐标系中列表，然后秒点连线，轻松愉快 得 y 等于二 x 平方的图像。我们可以惊奇的发现，把抛物线 y 等于二 x 平方向上平移一个单位长度，就得到 抛物线 y 等于二 x 平方加一。把抛物线 y 等于二 x 平方向下平移一个单位长度，就得到抛物线 y 等于二 x 平方减一。对的，就是这么简单，只需要平移就对了。 在同一直角坐标系中，我们可以把抛物线 y 等于负二分之一 x 平方，向左平移一个单位长度，就得到抛物线 y 等于负二分之一乘 x 加一的和平方。把抛物线 y 等于负二分之一 x 平方，向右平移一个单位长度， 就得到抛物线 y 等于负二分之一乘 x 减一的叉的平方。一般的抛物线 y 等于 a 乘 x 减 h 的 x 的平方加 k。 与 y 等于 a x 平方，形状相同，位置不同。把抛物线 线 y 等于 ax 平方，向上下向左右平移，可以得到抛物线 y 等于 a 乘 x 减 h 的叉的平方加 k。 简单来说就是左右平移，左加右减，上下平移，上加下减。 平移的方向距离要根据 h k 的值来决定。抛物线 y 等于 a 乘 x 减 h 的差的平方加 k 有如下特点， 一、当 a 大于零时，开口向上，当 a 小于零时，开口向下。二、对称轴是 x 等于 h 三，顶点是 h k。 趁热打铁，考考大家的领悟能力。抛物线 y 等于 x， 减一的差，平方减三的对称轴是 a y 轴 b 直线 x 等于负一 c 直线 x 等于一 d 直线 x 等于负三。由二次函数的表达式之，抛物线的顶点坐标为一负三，所以抛物线的对称轴是直线 x 等于一， 不选 c。 你们都记住了吗？怎么样同学们，我们本节课程到这里就结束了，有关二次函数的内容都学会了吗？我们要不要为自己聪明的大脑来狠狠的点几个赞呢？

一元二次函数的一般是外等于 ax 的平方加 bx 加 c， 里面有三个参数 abc， 这三个参数的大小关系变化可多了， 我们来看看这道题吧。一元二次函数 y 等于 ax 的平方加 bx 加 c 的图像如下，判断不等式负四 a 加五， b 减二， c 大于零是否正确？ 先把图像中隐藏的信息整理出来，首先这个一元二次函数的对称轴是 x 等于一，那就是负二 a 分之， b 等于一，得 b 等于负二 a。 该图像与 x 轴的一个焦点是三零，把它带入函数中，九 a 加三 b 加 c 等于零，因为 b 等于负二 a 把它带进九 a 加三， b 加 c 等于零中就是九 a 减六 a 加 c 等于零，得三 a 加 c 等于零， c 等于负三 a。 现在 b 和 c 都可以换成 a 了，那我们就可以对不等式进行替换，负四 a 加五， b 减二， c 大于零，替换成负四 a 减十， a 加六， a 大于零，即负八 a 大于零。 判断负八 a 是否大于零，只需要判断 a 是否小于零的就可以了。根据函数，图像开口朝下， a 肯定是小于零的，所以负八 a 肯定大于零，该不等是负四 a 加五， b 减二， c 大于零是成立的。从这里可以看出， 解决一元二次函数外等于 ax 的平方加 bx 加 c 中与 abc 有关的不等式问题，可以利用图像的已知信息得到一些等式或不等式，接着根据问题把不等式坐下替换，最后再进行判断。 熟悉了这道题之后，接着来看这道题。一元二次函数 y 等于 ax 的平方加 bx 加 c 的图像如下，判断不等式负八 a 加 c 小于零是否正确？ 这里只给了一个对称轴， x 等于负三，那么负二 a 分之 b 等于负三， b 等于六 a。 这里还标注了两个点，负四零、负二零，但这两个点不在图像上，因此 不能列出等式，只能根据大小关系列出不等式。可以看到，当 x 等于负四十 y 是小于零的，也就是十六 a 减四 b 加 c 小于零，当 x 等于负二时， y 也是小于零的 ca 减二 b 加 c 小于零。这两个不等式目前还看不出和要判断的不等式有没有关系，但是我们可以削去一些参数， 这样子就能看出有没有关系了。把 b 等于六 a 带入到十六 a 减四， b 加 c 小于零中， 变成了十六 a 减二十四 a 加 c 小于零，即负八 a 加 c 小于零，正好和要判断的不等式一样，所以这个不等式是正确的。对比这两道 题目都是利用图像的已知信息得到一些等事或不等事，不同的是要根据问题选择性的削去其中的两个参数或一个参数，最后再进行判断。 再来看看这道题，一元二次函数 y 等于 ax 的平方加 bx 加 c 的图像，如下判断不等式三 a 加 c 大于零是否正确？这道题连对称轴具体在哪都没告诉我们，但是不要着急，先观察一下对称轴的位置， 对称轴的位置在负一和零之间，也就是负二 a 分之 b 大于负一小于零，负一小于负二 a 分之 b， 可以解得 b 大于二， aa 小于零。再看看图像，当 x 等于一十 y 小于零，也就是 a 加 b 加 c 小于零，当 x 等于负一值外小于零，也就是 a 减 b 加 c 小于零。因为三 a 加 c 大于零中只有 a 和 c， 那我们把 b 去掉， 因为 b 大于二 a， 所以就有 a 加 b 加 c 大于 a 加二 a 加 c， 即 a 加 b 加 c 大于三 a 加 c， 又因为 a 加 b 加 c 小于零，所以三 a 加 c 小于 a 加 b 加 c 小于零，得到三 a 加 c 小于零，即不等式。三 a 加 c 大于零是错误的。 总结一下，解决一元二次函数外等于 ax 的平方加 bx 加 c 中与 abc c 有关的不等式问题，可以利用图像的已知信息，比如对称轴与 x 轴的焦点或已知的点等，得到一些等式或者不等式， 然后根据问题选择性的削取一些参数，最后做判断就好了。怎么样，你学会了吗？