24领航考研数学基础精讲高数篇答案

同学们好，我是方老师。今天我们继续讲解第十四题。第十四题呢，依然是一个极限题。那这个极限的话，我们可以跟他简单的进行一个归类。他的类型呢，我们可以看成是类型， 可以看成是已知极限啊，因为它告诉了我们一个式子的极限等于三。然后呢，让我们去求另外一个极限啊。已知极限 已制极限的话，我们有三种情况。第一种情况呢，可能是让你去求参数 啊，比如说里面有 a b 的值，让你去求。第二种情况呢，有可能是让你去求里面的抽象函数的表达式，求他的解析式， 求抽象函数。第三的一种呢，就是 不要求你把这个抽象函数给他求出来，让你去把抽象函数的极限求出来。这就是我们第十四题这种类型求抽象函数的，求抽象函数的 极限。好，那我们这个题呢，就属于第三的一种情况了 啊。不管呢，是上面的哪一种情况，其实他们的处理方法都是一样的啊。这种类型呢，我们的通用的处理方法就是分析法啊。当然其他老师教什么方法呢？这个我不知道啊。呃， 我把它叫做分析法。分析什么东西呢？就是去分析极限的类型啊，就是每一步都去分析类型，就可以把这个问题解决。分析极限的 类型啊，就是说呢，你去分析这个极限，他可能是什么什么类型，相当于是排除法。比如呢，我们来给大家展示一下。 当对于我们的这个极限 x 趋向于零时啊，它是 x 分之 loin e 加 x 加上 x 分之 f， x， 极限等于三啊，因为他的极限等于三。我们来分析一下，这个极限他可能是从 什么类型呢？首先呢，分母是趋向于零的好，他是一个分式的极限。分式的极限。我们分母趋向于零呢，他的分子就只有三种情况吗？分子可能是一个非零的常数，分子也可能是无穷小，当然，分子还可能是个无穷大， 是不是？那如果是第一种情况，第一种情况，分子你把它当成一个长数，分母要多小有多小，那整个值就会取，就会取向于无穷大，它不会是长数。 第三的一种情况，分母趋向于零，分子趋向于无穷大，就是分母在减小，分子在不断的增大，那整个比值是不是也会不断的增大？所以你看前后两种情况， 他们都是趋向于无穷的，那极限就只能是哪种类型了，就只能是零比零型。那既然是零比零型的话，那分子的极限当 x 趋向于零时， 分子的极限，那就应该是零啊， 对吧？ 而分子的极限要是零的话，也就说对于对数函数而言，括号里面，括号里面的这一坨要趋向于一，而这一坨要趋向于一，那我们立马就可以推得另外一部分，他就应该趋向于谁呢？那另外一部分就应该趋向于零。所以呢，立马我们就可以得到 x， 加上 x 分之 f， x 的极限就应该是零，那既然它 是零的话，所以 x 趋向于零时，我们 law in 一加多少是不是就可以等价于多少的形式啊？这里呢，就可以把我们的等价我胸小用起来了，他就等价于后面这一坨哈。 how？ 那既然是这样一个情况的话，那我们的这个极限呢？就好办了。所以圆式 原式就等于替换掉嘛， 分母呢？还是 x 分子上就替换成了 x 加 x 分之 f x， 即他就是谁的极限了啊。约掉一个。下面就是我们的一一加上，后面就是 x 平方分支 f x。 哎，你看这样呢，正好就出现了我们的结果。那它长数一的极限就等于一啊，所以就等于一。加上 x 平方分之 f x 的极限，而它的极限又等于三，那把一移过来，所以立马就可以推得 x 趋向于零时， x 平方分之 f x 的极限等于二。好，这个问题呢，就解决了。那其他的，下次你遇到的可能是其他其他的形式。他不管是哪种形式，反正呢就属于这种类型。 都是这样做的。就是从分析类型开始，看一下他只可能是哪一种类型。好了，这是我们的第十四题。

同学们好，我是彭老师，我们接下来继续讲解第十五题。第十五题呢，他依然还是一个极限。 首先来分析一下我们问题的类型，对于这个极限呢，其实我们在呃，十四题当中呢，讲过 这种问题呢，就是它属于已知极限，已知极限，求抽象函数的极限的类型啊，我们之前讲过这种类型的问题呢，我们用的是分析类型法，分析类型法， 但是呢，这种方法对于我们这个题实物题而言呢，它是失效的。 比如你看，我们来看一下，它的类型是确定的，因为像我们之前那种类型是不太确定嘛，所以去分析它 啊，它的类型是确定的。它是什么型呢？是零比零型啊， 是一个零比零型。对于这个零比零型啊，很多同学呢，肯定会想到，呃，我们能不能够使用等价功效的替换呢？啊，这个地方呢，要注意了， 我们能不能这个地方把 loin e 减 x 替换成负 x 呢？ 啊，这个是不行的，之前我们讲过，加减的时候，你可以分别替换，但是呢，分别替换之后，相减不能为零啊，这样是可以的，或者相加之后不为零也行，但是呢，不能够分，不能够只替换 其中的一部分，比如你看我们后面无痕不动他，我就只把前面无痕替换，这种是不可以的。好了，那既然分析法用不了，等价微小也用不了，那有的东西想，哎，零比零星，我可以用路边的法则， 诺贝拉法则行不行呢？也不行啊，因为 f x 未知可导， 就是我们不知道他可不可考，人家都没有告诉你可不可考，那你当然不能够对他进行确保啊， 未知可道，所以罗维达法则也不行啊，那既然罗维达法则也用不了的话，我们就逆想他法。 这里呢，我们使用另外一种技巧啊，就是臭，就是我们要去求求一个抽象函数的 极限的时候，那你只需要从已知的极限当中去凑出那种形式就行，这和我们知道函数可导去求这个极限是一样的，就是利用导出的定义式去求的时候，也是去凑一个形式。 好了，这里呢，我们就要想办法凑出 x 分之 fx 减一啊。我们注意到呢一个问题，就是对于 fx 而言呢，他前面有一个 x， 那如果我们给他减一个 x， 这样的话，你看是不是就可以提个 x 出来？提个 x 出来之后呢，就会出现 fx 减一啊。想到这一点的话，那我们就可以跟他减一个 x， 再加一个 x， 所以可以把它写成这个样子论一减 x 加 x 啊，前面加嘛，后面就减 好，加上 x 乘上 f x 再减 x， 那得到这个式之后呢，我们可以把它拆开，可以拆成两个几线式子。 这里有一个问题，就是我们之前讲过要拆开的话，是要求两部分的极限都要存在的时候才能拆开，对吧？那这里呢，我们 实际做的时候呢，其实都呃不用去验证他，为什么呢？因为我都已经验证，验证出来，那我是不是都已经求出来了吗？ 所以用的时候呢，都是直接用，但是呢，你直接用没有去验证条件的话，那肯定有些时候会出现错误的，那最终如果求不出来，那说明 你这样拆开有一部分不存在，那就不行吗？好，我们单独来算一下。呃，如果我们把这部分的极限算出来，或者是说这部分的极限存在，那 就可以这样做啊，拆开之后，也就是说如果有一部分的经验是存在的，就可以拆开另外一部分不知道也可以啊， 因为又因为我们这个极限单独来研究一下，其实做熟悉之后呢，大家应该都能看出来前面这个极限 啊，现在大家还不太熟悉，不太熟悉，我们就来求一下，他依然是一个零比零星，是不是零比零星对于他而言呢，我们就可以使用 word 啊，因为里面的每部分都是刻导的，当 x 取向于零时，分母 二 x 上面就是一减 x 分之负一，再加一。好，对于这个式子再整理一下，再把它整理一下， 整理一下呢，看一下，下面是二 x， 上面通分就是一减 x 分之分之负 x 好，好了，对这个式子呢，我们就可以约掉一个 x， 可以约掉一个， 那约掉一个，下面就是二，相当于整理一下之后，结果 就是二倍的一减 x 分之负一，当 x 虚线于零时，极限就已经出来了，负的二分之一，对吧？所以我们接下来都不需要做其他的东西。呃，做其他的这个变化，所以呢，就是说我们在求线的时候，每个步骤 得到一个新的式子，一定要整理一下之后呢，重新判断他的类型啊，有可能极限呢，已经出来了。好了，那他告诉我们，最终的极限等于零啊，这个地方把它带进来，所以他就得负二分之一，加上后面这个极限 减一，它等于零。所以呢，所以我们就有了 x 趋向于零时， x 分之 f， x 减一的极限就等于二分之一。好，这就是我们的第十五题。

今天呢，我们继续讲解六六零第五题。第五题呢，也是一个极限题。好，我们来分析一下这个极限是什么类型呢？当 x 趋向无穷时，那两个根号呢？都是趋向于无穷，那它的类型就是我们的无穷减无穷型啊。对于无穷减无穷型，我们一般的处理方法是怎么处理的？一般的处理方法就是通分 或者是有理化，这是我们的一般技巧。那通分和有理化之后呢，他就会一定会变成我们的零比零型，或者是无穷比无形无穷比无穷型当中的其中一种。 那变成这两种之后嘛，那就好办了是不是？那你可以用呃零比零型的方法和无胸不无胸型的方法分别去求解它。好，下面呢，我们来看这个例子。有根号的，那肯定就是优理化了。所以我们来看一下原式，对原式进行优理化，分值 分母同时乘以一个四指，乘完之后，上面上面根号就没有了，是不是那他们 x 平方就抵消了，所以上面呢就是二 x 没有符号，上面是二 x， 下面就是根号下 x 方加 x， 再加上根号下 x 方减 x。 好得到一个新的极限式子。得到新的极限式子呢，我们来判断一下它的类型。很简单的，分子是趋向于无穷的，分母呢，也是趋向于无穷的，所以它的极限类型是属于无穷比无穷型。对于无穷比无穷型，我们也有一些基本的方法。 其实有些时候呢，就是我们在考研的时候，就是对于一个题，对于一个修题线，基本的方法可能不一定能够直接把结果修出来，但是呢，如果我们能够掌握这些基本方法，那在过程当中是可以起到很多好的效果的。第一种方法 就是分子分母同除以同除分母的最高势力 最高次密啊。当然这种方法它只适用于就是分子分布式，多项式的这种情形，或者说呢，是多少多少次方的这种情形啊，能够抓住最高次密才行啊。当然对于这种类型呢，还有更简单的方法，就是抓大头。 就直接去比较分子分母最高尺之间的关系。如果分子的最高尺比分母高，那说明分子变化的速度，增大的速度，比分母要快，那这时候值就会越来越大，比起来就虚相如穷。如果分子分母最高尺是一样的，那极限就等于他们最高尺前面系数的比值 啊。如果分母的最高是比分子高啊，说明分母增大的速度，比分子呢要快很多很多啊，这时候值比起来就越比越小，所以就取向于零。 那你看我们这个题，如果说你用抓大头的方法的话，分子的最高是多少？分子的最高是是一次的，分母的最高是也是一次的。虽然里面有个平方，但他有个根号啊，有个根号是不是？ 注意分母的最高次也是一次，那他们一次项前面的系数是多少呢？上面一次项前面系数是一下面呢。注意哈，下面他相当于是有两个 x， 所以他们两个合并起来的话，分母上一次项系数前面也是 也是二是不是？所以那这些题二比二就等于一，所以作为作为填空题来说，就可以秒掉了啊。如果说你是一个计算题是吧？我非要写点过程，那写过程呢？也可以，你可以分次分布，同除以 x 啊，我们可以同除 x。 同学 x 之后，上面，上面就是一个常数二，下面呢，把它乘到根号里面去 啊。图出到根号里面去，就是一加 x 分之一，再加上一减 x 分之一。当 x 趋向无穷时， x 分之一是趋向于零的。那这样一来，分母的极限就是二，那分子的极限呢，也是二。这样呢，也可以得到结果啊，二比二，二比二，极限数还是等于一。 那有些同学在问，呃，我不这样做行不行呢？我能不能考虑用这个泰勒公式去做呢？泰勒公式呢？要注意哈， 泰勒公式呢，我们是什么时候用呢？虽然好用，但是呢，大家也不要乱用啊，它是 x 趋向于零的时候才能用啊， 而我们这条 x 是趋向于无穷的。所以呢，是不能够直接使用泰罗公式的。不过呢，你稍微变形一下也是可以的。所以呢，我们可以来看一下方法。二 如果你非要用泰罗公式的话，那你就要给他稍微的改造一下， 从这个根号里面提一个 x 出来，提一个 x 出来啊。大家看一下，提出来之后，里面 根号里面就是多少呢？就是一加 x 分之一减去后面一个，就是一减 x 分之一。好，那这样一来，对于里面的这个 x 分之一，它是趋向于零的。因此呢，对于我们的里面两个根式，是可以使用胎漏公式的。 好，我们来看一下。就是 x 趋向于无穷大时， x 分之一趋向于零，一加 x 分之一，它其实就是多少呢？一加 x 分之一的二分之一次方。然后呢，再用太多公式，它就可以写成一加 二 x 分之一，再加上啊，后面呢我们就不长太多了，就写到这个地方。 x 分之一的高级物学校。 同理。根号一减 x 分之一，就是一减 x 分之一的二分之一次方，他就是一减二 x 分之一，加上另外一个高阶部修桥。 好，现在把它带进来。把这两个东西带进来。 带进来之后呢，就会约掉一些东西， 减去，减一加二 x 分之一， 再减去 o 二 x 分之一，这个高阶无胸小。 里面约掉。约掉之后再把 x 乘进去。所以得到的结果就是 x 趋向于无穷。那就是一加上 x 乘上。乘上什么东西呢？他们两个高阶无穷小相加减是还是高阶无穷小啊？对乘上 x 分之一的高阶部胸小好， x 与 x 分之一的高阶部胸小相乘，那结果还是无胸小。所以最终的极限等于一好。这是我们的第五题的讲解。

哈喽，大家好，我是考研数学小鲸鱼，今天我们继续来讲二八零的主题。听讲今天我们讲第二页的第五题和第六题， 我们来看下第五题。第五题这个式子我们看一，乍一看又非常复杂，我们可以先分 p 的看，先看前半部分， e 的 x 加 x 三次方， b x x 分之， x 三次方加 x 方加一。我们来思考一下这个极限是多少。 我们知道当 x 趋向于正无穷时， e 的 x 要比 x n 次方要远大的，这里面 n 只要是大于零的都可以。 那我们来看那分母是不是比分子非常大，那么这个极限就应该是零。比如说第一项的极限是零，我们看第二项，第二项 sine x 加 call sine x， 他本身的极限是什么？不就是善意无穷加 coser 无穷吗？我们知道善意和 coser 他们在无穷的极限上是不存在的，那这个题我们就要另寻思路了。这实际我们来看一下前面的极限是零，后边的极限善加 cosin。 我们知道赛和 call 赛他们的是非常明显的什么有界函数，所以这道题应该什么呢？应该是无穷小乘以有界，最后极限应该是零。 这个知识点非常容易忽略，因为他，但是他非常重要，所以大家一定要去注意，无穷小成有借， 最后的期限应该是零，这个大家一定要把它记下来，他非常容易被忽略，但是也非常容易考 好。我们来看下第六题。第六题我们先来看一下它的题目，一的 x 方式减一的二减二， x crossing x 的词密比上一的 x 方减一好，我们来看一下叫题目。 首先可以怎么做呢？我们来看一下分母 e 的 x 四次方减一，可以接点 x 小什么，什么等于 x 四次方？ x 相约零的时候。 好如我们看分子，分子和分母其实长得并不是相差很多，如果分子也可以量从小就更好了。但是我们发现等价无从小必须有个一，是不是？那意味什么呢？我们起码要把这个一给弄出来。那怎么弄呢？我们可以这样去考虑， 既然你要一，我就给你一，怎么给你呢？我同除以一的二减二倍的 call 三， x 是不是一就出现了呀？只不过第一项会变成 x 方减二加二， call 三， x 减一了。 好，我们来再来看一下这一项的极限是多少？ x 相于零时，它的极限是 calltain 零，也就是一，也就是二减二，应该是零四方， e 的零四方，也就是 e 的零四方，也就是一了。好， 就是一。后一项呢？后一项我们是不是可以用等加为中小化？对，就整体的话，要等加成什么呢？等加乘 x 方减二加二倍的扩散 x 好，也就是这个 整个了好。很多人都会问，为什么他可以直接写出来可以代数，而他为什么不能直接代数呢？这里面同学们一定要注意，代数有两个点，第一，你代完之后，这个函数呢，不能等于零，且必须存在， 而他的极限必须存在，而且不能是零。其次呢，这个函数啊，要与其他的部分，也就是说你极限肯定不止这一部分吧，要有其他部分 是一个乘积关系才可以，所以说它是可以借代数的。好，我们继续来玩看这道题目，分子数母都可以等价了，我们来看一 下，那这道题就变什么了？变成了 limit x 虚相于零 x 四次方分之 x 方减二加二括三 x。 好，这个式子我们来看一下这个式子，首先它非常简单，为什么呢？因为每一下都是单独分开的，那我们就可以用我们的常规的方法，什么呢？零比零型落比大，对不对？就这样去做， 求一次导航 success 方，二 x 减二倍三 x。 好，这个时候当然也可以录比档，因为它还是零比零的形。但是我们接着我们发现什么呢？发现 x 减三 x， k 就等于两个中小吧，是不是 x 减三 x 等于什么？等价于六分之一 x 三次方，所以说你就答案就是二乘以六分之一除以四，也就是十二分之一了。好，也就是第一种方法， 我们看第二种方法，还是这道题， e 的 x 方减一的二减二倍 call c x 比上 e 的 x 四次方减一。当然我们分母的话也可以直接先等价，这个其实并没有什么太多的其他思路。 好，我们来看一下我们据昨天的这个讲过这个题目，它是不是也是可以用什么样子？你看它的整个分子长得是不是很像啊？所以我们还是可以用中间电影去做的，也就是令 f 负 x 等于 e 的 x。 那这个题目变什么？分子变什么？ f x 方减去 f 二减二倍 call 三 x 等于 f 撇儿，可惜乘以两个键的差就是 x 方减二加二倍 call 三 x。 最后我们发现最后的结果可以换成什么呢？可以换成 x 方减二加二倍，括号 c x， 比如说四方乘以 f 票，可惜， 好，我们可以发现，因为柯西是在 x 方和二减二比 cos x 之间的，这两个的极限都是零， 所以科技最后的极限也是利用，所以我们 jk 代入零 f p 二零了。那左边这部分呢？左边这部分就可以再次用我们刚才的方法路必达 去做就可以了。这两种方法好，如果你觉得这条视频对你有帮助，欢迎大家在评论区留言点赞、收藏关注我，下次不会迷路哦！

接下来我们继续讲解第九题，第九题是一个带有变异线函数的极限，这种类型的问题呢，处理方法都是固定的诺贝纳法则，而且往往呢都是零比零型，不是零比零型，那你要想办法给他画成 零比零型啊，总之呢，就是我们要通过求导才能把这个积分号给他去掉。 但是对于这个问题呢，我们很多同学呢，都会就这个题本身他不难，但是很多同学呢，都会出现错误，错误呢就是大家都是直接对他使用诺贝拉法则，事实上呢，这个题不能够直接使用诺贝拉法则。 给大家写一下我们的通用的一些形式，就是 a 到 x f x f t， 哈，这 这个式子呢，我们直接求导就等于 f x， 那如果是这种呢， 它的 x 在里面，那这时候呢，注意到我们求到的话，实际上是对哪个变量求的呢？是对 x 求的，并不是对 t 求的。所以你如果直接按照我们刚才上面那种方式把 t t 换成 x 的话，那里面不就是 x 平方吗？ 这样是不行的，相当于是这个 x 啊，他其实没有没有被求到，这种不行啊。那遇到这种类型的问题呢，需要先处理一下， 需要怎么办呢啊？需要换一下圆令，令这个 x 乘 t 为一个新的变量进行换圆就 可以了。比如你看我们这个题叫先怎么办呢？对于 x 平方到 x 这样一个变现积分，它的上下线呢，都是都是变量，我们首先要令 u 等于 x t， 那 t 就等于 x 分之 u， 好将原式替换掉，相当于就是一个第二还原法，上面就是三 u， 下面是 x 分之 u 乘上 d， x 分之 u， d， x 分之 u， 那就相当于是 x 分之一生产 d u 好，他的积分范围。积分范围 来看一下，当 x 取 x 平方的时候， u 等于 x 三次方，当 t 为 x 的时候，上面是 x 平方。好，那这个式子来给它化减一下，化减一下，它就化为了 x 三次方到 x 平方 里面是 u saying u d u 啊，现在呢，你看，这里面就没有 x 了，现在就可以求到了。所以原是 i， 当 x 趋向于零时，它被我们化成了 x 平方分支 x 的三次方到 x 平方 u 分之三 u 接下来对它使用诺贝塔法则， 分子分母分别求导啊，下面求导就是二， x 上面求导，它是上下线都是变量，那就上线处的导数减去下线处的导数，因此呢，就是 x 平方分支 三 e x 平方减去 x 三次方分值。 啊，这个地方求到的时候呢，要注意他们还是一个复活函数啊，还要乘上内函数的倒数。 二 x 减去下线处的倒数，下线处它也是一个复合的函数，那就是减去 x 三次方。我们指晒因 x 三次方乘上三倍 x 平方。 好，对，这个式子呢，我们把它拆开，拆开的话就可以约掉一些 x 拆成两个式子，第一个式子约掉了一个二 x 就是 x 平方分支三， x 平方加上啊，减去减去第二个式子 约列个 x， 整理一下，就是二分之三，二分之三。把它写到外面来， 好看一下第一个，第一个是不是就是我们的第一个重要曲线 就是一，第二个上面替换之后，那就是零了，他极限应该就是零，所以极限就等于一。

大家一定要明白，学习的本质在于培养思维，逻辑在于学会学习。本期视频希望大家回归本质，培养抽象思维能力。 大家好，我是用哲学和经济学讲考研数学的陈浩老师。本期视频希望大家能够通过具体的形式看到本质问题，培养我们抽象思考的能力。 每晚八点半，我会直播讲解考验数学题目，分享学习思想和直播答疑。在正式做这道例题之前，我们先进行第一步工作，就是简化这个题目的形式，因为题目给你这个函数表达是有明显的简化空间。 你看这个括号里面，我们是不可以通过英式分解去简化？ fx 是不是等于 s 加二，乘以 s 加一，然后这个绝对值里面是不 可以提一个供应式 x 出去就变成了 x 的绝对值，然后提 x 出去之后呢？是不还剩下 x 的平方减一？ x 平方减一是不可以通过平方插公式继续简化？是不是在乘以 x 减一，然后是乘以 x 加一的绝对值？ 好，做完这个简化工作，进入正题。那么对这个题而言，我想横的同学一看到，哎，你让我去看可不可道我会做，那不就用倒数第一去做吗？ 因为我都不知道可不可到，我只能通过源头去解决问题，是吧？通过定义去看他是否可到啊。但是我想请你们先按耐住自己急迫的心情，先不要着急做，我们先做一些研究。 大家请看，在这样的形式里面，只有三个点可能不可到，哪三个点呢？一个是 x 的绝对是告诉你零这个点不 可能不可到 x 减一的绝对值，告诉你一这个点可能不可到。 x 加一的觉得值，告诉你负一这个点可能不可到。我举例来说，比如说我们关注 x 绝对值吧，那研究可不可到，是不是通过导数定义去研究啊？哎，你看 x 去零的时候， 哎，根据导数的定义，是不是 fx 减 f 零啊？ fx 是不就是 x 的绝对值？这是我们研究的主体， 那 f 零呢？是不是零的绝对值是不是就等于零，再比上 x 减零？像这样的形式，我们要用左右极限去看，你看在 x 去零证的时候， x 区域零针的时候， x 像零的右边啊，无限接近于零，但是不等于零，是不？ x 大于零，这个时候绝对是直接去掉，是不就是 x b x 等于一在 x 区域零负的时候， 表示 x 从您的左边无线接近于零，这个时候 x 是不是小于零的，所以把绝对是去掉，前面是不是停复号就可以就负 x， bx 等于负一，哎，你发现左右极限都不等，左右极限不等是不意味着左倒数并不等于右倒数，因为这个形式叫倒数，是第一，对吧？ 那么左倒数不等于右倒数，根据低音是不是不可倒？所以在零这个点不可倒。虽然如果你们知道 x 绝对值的图像，哎，你们发现 你看这是 x， 觉得这个图像这个点是尖的，因为你们知道倒数反应的变化率，那左边呢的变化率是很规则的， 右边呢？哎，是单调递增的，在这个点零这个点产生的突变，我们也用导数利益去解释，零这个点不可到，那么除了零这个点之外，其他所有的点应该都是可到的，对吧？所以 x 一的觉得这也是这样的， x 加的觉得是也是这样的。好，这是第一个问题，第二个问题。哎，如果我们关注于 x 绝对值的时候呢？零这个点首先是不可倒的，那么其他所有的部分是不是可倒的？ 关注 x 减一的绝对值的时候， x 在一这个点对 x 减一的绝对值来说是不可盗的，其他所有的地方都是可盗的。我要捡什么东西哦， 哎，你们会发现，哎，我写一下你们就知道了。如果我们关注的是 x 的绝对值，那么其他所有地方都是可当的。其他所有地方叫什么呀？是不是 x 加二乘以 x 加一， 乘以 x 减一的绝对值乘以 x 加一。如果我关注的是 x 减一的绝对值，其他所有的部分是不都是可到的？其他所有部分是 x 加二， x 加一， x 的绝对值， x 加一的绝对值。关注于 x 加一的绝对值的时候，逻辑也是类似的，哎，你发现这个是不可道，这个是不可道，这个叫可道。你看这个可道的形式在发生变化。我前面讲过一个重要思想，就是形式与本质的问题。 形式在变化，但是这个不同的形式，他们的本质好像没有发生变化。什么叫本质？一些不变的性质规定的他的本质，他的本质是什么呀？什么叫可道？ 这个孩子的形式在发生变化，但是不同的形式背后好像都是可到的。你这个 x 的绝对职业好， x 减一的绝对职业好，或者是 x 加一的绝对职业好，他们的形式是不是也在发生变化？但是他们有一个本质是不变的，就是在某一个点都叫什么 叫不可盗，所以我们积极抽象好不好，你看这个形式才发生变化。我假定啊，叫 fx， 这个 ffx， 为什么叫 fx 呢？我用 fx 来代替他们的本质， ffs 是可道的。 由于 fx 是不是抽象的函数没告诉你，具体函数具体形式没告诉你，他是不是可以包容万物啊？哎，这个不可盗的呢？我叫七 x 对吧？我也没告诉你具体形式，我就涵盖了所有的这样的形式，可以吧？你看，我就把这个具体的形式上升到了一个层次。哎，我们进行抽下， 关注于这个东西。好，现在题目就变成了，假如说 fx 在一个点，比如说 x 零这个点是可到的， gx 呢？在 x 零这个点是不可到的，那么它存在一 起，什么时候可到，什么时候不可到呢？哎，我们脱离了这个具体的形式，我们去抽象思考，现在我们要研究这个问题，对不对？研究这个问题还是按照之前的逻辑，是不是要通过导数的定义去研究，因为我都不知道是不可到的，是不是要用定义去研究。我先把导数定义的形式写在左边， 机械 x 去于 x 零， fx 减去 fx 零，比上 x 减 x 零，这是倒数第一的公式，对吧？ 好，写完之后呢？现在我们要研究的主体是不是这个整体啊？ fx 乘以 gx， 我们条件告诉你， fx 在 x 里这个可道， gx 在 x 零，这点不可当，所以你要研究呢？你把它看成一个整体，那么根据导数定义的形式是不就是机线 x 区域 x 零， fxgx 减去 f x 零， gx 零比赛 x 减 x 零，这个是你研究的目标对吧？如果他的极限存在就是可到，如果极限不存在，就是不可到的。 在你研究这个目标之前，你要明确你的条件，你的条件告诉你 fx 在 x 零这天可到的，你怎么去刻画这个条件，是不还是导出定义啊？所以这条件告诉你，极限 x 区域 x 零， fx 减去 fx 零，比上 x 减 x 零，是不是导数存在是可到的呀？好，这是你的条件对吧？好，接下来一个概念，我前面讲过很多次了，叫什么 联系，你现在要把目标和你的条件联系在一起吧？要构建联系。 怎样构建联系呢？那很明显了，从我的目标形式里面，我一定要把条件形式把它变出来，我才能构建联系吧。所以这点明确之后呢？哎，好简单了哦，我们可以怎么样 把目标形式？我非得把你变出条件这样的形式出来。那么 fx 是不是一定要减 fx 零，为了达到这个目标呢？我这个 fxgf 是，我减去一个 fx 零， 乘以一个 gx， 是不就可以达到目标了？你看，我把 gx 当成一个供应式提出去， fx 是不就减到 fx 零的呀？ 然后呢，你不能平白无故剪他呀，你要加上 fx 零 gx， 然后再减去后面的部分 f x 零 gx 零好比上 x 减 x 零，这时候我们是不是可以拆成两部分？ 极限存在的可拆信，这个我后面还会甚至去讲解。所以呢，把它拆成两部分，是不是极限 x 去于 x 零， gx 作为一个供应式提出去，这个呢？是 f x 减去 f x 零，再比上 x 减 x 零，然后再加上极限 x 区 x 零，这个是不是有个供应？是叫 fx 零吧，把 fx 零提出去，然后是 gx 减去 gx 零，再比上 fx 减 x 零，根据已知条件，这个极限是存在的吧。因为你告诉我了，他是可到的呀。导数，根据导数定义，极限肯定存在吧， 是不是所以他可到？哎，我们研究的主体是不是肯定是连续的？因为你不连续研究可不可到都没有意义了，对吧？你不连续肯定不可到了。 gx 既然是连续的， x 区 x 零的时候，这个 gx 就是 gx 零啊，所以整个这一块是不存在的。结果是不就是 gx 零 乘以 fepx 零八，这个设备是存在的，根据条件。好了，接下来我们关注的重点是不是这个板块，这个板块按照我们前面讲的，为什么 x 的绝对值不可到？ 为什么 x 简易的绝对值在一字典不可倒啊？为什么 x 加一的绝对值叫负一责点不可倒，是不是由于左右极限不相等呢？哎，这个是不刚才讲的这个倒数定义，你把这个接 x 就相当于这里面的 x 的绝对值吧，是不是他极限为什么不存在？是不是左右 极限不等啊？好，那你想想看， fx 为什么的时候，他为己的时候，我不管你是什么东西，我就一定想等了。是不是 fx 等于零的时候， 我不管你去接日记，我不管你等不等，你是负一也好，是一也好，我一乘以零是不是都是零啊？所以只要你把 x 零带入到这个可道的函数里面，他的指使零， 那么他的整体一乘是就一定可到了。因为这里 f x 零等于零的时候，这个整体的极限是不存在的呀，因为这部分极限是不是就是零了？左边极限我们刚算是存在的，所以只要 f x 零等于零的时候，就一定可到的。你看我们是不是在进行抽象思考，这样，这个题是不是就秒杀了呀？你看， 你知道了，哎，你研究 x 的绝对值的时候，零这个点是不可倒的，那么其他的地方是可倒的。只要其他的地方在 x 等于零的时候，他是等于零，原函数就一定是可倒了，对吧？而你发现，当 x 等于零的时候，其他的地方是不等于零？不是啊，零 带进去，带到这些地方去的都不是零，所以零肯定是不可倒的。对 fx 来说，在您这个点肯定是不可倒的，这是第一个，第二个呢？你如果研究的是 x 减一呢？那你就看其他的部分， 把一带进去，他是否是零啊？你把一带进去，好像也不是零，所以一也是不可倒的。如果你研究的主体是 x 加一的绝对值呢？你是不是把负一带到其他的部分？如果其他的部分，哎，你一算是零，是不是就可倒了？哎，你发现其他的部分刚好是零啊，因为这里有个 x 加一吧，你把负一带进去， 负一加一是不等于零啊？哦，所以其他地方就等于零了，那么一定是可到了吧。所以零一、负一这三个点，只有负一这个点是可到的，其他的地方都不可到。所以，选什么？选必啊，重要 不是这个结论，重要的是你思考的过程，这是学习的本质。所以我们看到这个题，哎，当你推到出这样的一个抽象关系的时候，所有的这种形式都包容进来了，不管出题这个形式如何去变化，你根据你这个推冠推到的这个过程呢，你全部都可以秒杀了。 所以听懂这个之后呢，我们看作业，这个作业基本上是一分钟之内必须能够做出来，好吧？所以每一期的课后作业你们做完之后呢，可以在评论区评论，也可以私信发给我， 每一次的作业我每周会集合起来，统一的跟大家直播讲解，这就是我们今天的内容，我们下一期再见。

同学们大家好，今天来讲六百六十题的第六题。首先大家观察这个极限， 很多同学可能在看到这个极限分子这么长，第一反应就是觉得肯定这个极限很复杂，觉得头都大了，看到这样子的分子，但是其实一般看到这样子的分子的话，我们一般会对其进行一个化解， 这里先打开括号就可以得到二倍三 x， 这里的话是二倍三 x 扩三 x， 那么他是等于什么？等于三二 x 是不是？ 然后我们对分子进行化解以后， a 就等于 这个富豪，前面也是富豪，富富得振，千万不要搞错了，哦，对，就是加 sci r x 分母不变。 然后我们观察到在 x 区域零的时候，这是区域零二三 s 区域零，区域零，那么分子分母是零比零型的极限 是可以用罗比打法则的是不是？但其实像分子这样比较复杂的狮子的话，我是不推荐用罗比打法则的啊，我觉得用泰勒公式是 比较简单的计算。那么首先我们就要记住一些常用的泰罗公式，让大家来和我一起回忆一下翻译 x 的 talo 展开是什么呢？大前提是 x 区域领啊。 然后三 x 是等于 x 减三的阶层分之一 x 的三次方， 这个 x 的四次方的系数是零，那我们这里就不写，我们这里的话记一个 高阶无穷小亮，这个无穷小亮是千万不能忘忘记的，因为三 ex 和这个他是不等的，而是再加上这个 无数小量以后，他们才可以说是相等的，因为这个分母的话，它是 x 的四四方，然后这个三 x 比 x 的四次方，那我们这里的话就记为 x 的四次方， 然后我们就可以得到三 a 二， x 的话是二 x 减三的阶层分之二 x 的立放，然后这里也是加上一个 x 的四次放的高阶五圈小， 然后我们还可以得到这个 x 倍三引 x 平方，它是等于， 然后 x 平方的三次方的话就是 x 六次方， x 六次方是比四次方还要高阶的无球小量，那我们这里的话就直接 接记一个无穷小量， 我们通过整理这几个式子就可以得到分子式，对，他就只剩下一个 这样子，一个无穷小量是不是？然后分母不变，这个分子是趋于零的， 这个分子是比 x 的四次方还要高阶的五寸小量，那么这个极限就等于对等于零。 好了，这道题到这里就解完了，通过这个题的话，我们是要记住两个点，一个的话 就是在进行泰勒展开的时候，后面的这个无虫小亮是千万不要漏掉的， 然后第二个就是常用的 tale 展开，一定要记住，比如说像 fine x， 还有还有 call， fine x e x 等等。今天的分享就到这里了，大家如果有什么想听的题可以打在评论区或者私信我， 有时间的话会尽量满足大家的需求。以上分享仅供参考，感谢大家的观看，喜欢的话点个赞吧，祝大家考验成功上岸！