画法几何及机械制图习题册第二版答案

真的懂，唯一的定义。

这是我们的一个挂钩，对，挂钩，然后我们首先啊，大概取到一个 中心线的位置，在差不多这里吧，差不多这里，然后我们画一条竖线，嗯，作为他的一个中心线 站着， 然后这个画的要比较长一点， 然后，嗯，这个挂钩的 这挂钩要不就是这个挂钩先画出他的这个上个部分，然后再用圆规把他的挂钩的主体给他画出来。所以说我们 先画一个二十的尺寸， 然后向下画一个四十毫米， 嗯，这个，这个好用一点， 对，四十，也就是四厘米， 然后另一边 也是一样 画下来一个四十的尺寸， 然后在这底下这个平面是，呃，二十五，也就是两边各分出去一个二点五。 好，然后，嗯，这里各向下延伸一小段， 画的轻一点，因为不知道要不知道是具体多少尺寸，所以先画轻一点，等具体知道多少再 画重，然后在这里要平移平移出他的另外一根线，也就是这个六点四。啊，这个六点四大概在这，在这里， 我们对着这个六点四呢，再做一个中心线， 然后这个充电线的尺寸是，呃，七十七十，我看一下七十七十刚好在这里， 这里的话我们换成硬一点的铅笔。这里 啊，然后由此我们就可以用圆规用用圆规， 然后用洋龟可以定一下我们的一个五十的一个尺寸。 环境， oh， 等我一下下， 然后这里还有一个，还有个二五，二五的话，我们要 找到他的圆心，也就是这里先再画一个五十五的圆弧， 先定一个五十五的圆弧，然后在这里再平移出来一个 五毫米，然后画一条竖线，哎，这个五毫米的 这个圆弧的圆心就已经定出来了，定到这个点对这个位置，然后我们再用圆规量一个五毫米，根据 这个点我们画一个圆弧， 然后小 u i 条件简陋，略有偏差， 然后我们再把这些辅助线擦掉， 然后再把这个原本没有画好的初始线确定下来， 大概在这里，然后 圆弧你就搞定了。然后另外这里在这个圆心上面有一个 five 四十的圆，嗯， five 四十半径就是二十，二十 四十，然后我们就这里直接取这个点， 大概的画一个浅一点的圆，等到时候再加深 好，那么这里也是给他 平移移出去一个四十四十画条竖线， 然后这个饭二十加一个饭四十，也就是饭六十， 通过这个发六十，通过这个二六十，通过这个二六十呢，你就可以 获得这个 five 四十的圆心。因为两条线已经可以确定到一个圆心了，所以找到这个点 画，哎，然后我们再把它找上一个四十的四十毫米的一个尺寸，根据这个点 这样进行一个光滑连接，我们就得到这段圆弧，然后把不必要的线擦除掉， 加粗，到最后再加啊，然后再是，嗯， 这里这里还有一这一段，这一段还有一个二四十五的一个圆弧，那么我们先要把这个这个这个中心线加长那么一丢丢，但实际上是不需要这个加长，就是画的轻一点， 画的轻点，自己看到那个线，然后最后还是会要擦掉的线，然后 然后因为这个 five 这个二四十八的圆弧跟这个 five 五十是相切的，所以说我们 完蛋出事故， 定个啊九十五，在这里取到一个圆心，然后 在这里取一个二四十五， 根据这个这个点， 然后 等一下给你端个卡垫一下， 嗯，这个位置擦掉， 然后再画一个二四十五， 经过这个点我们就可以确定到这里 为什么没有接到呢？是因为我这个圆弧画的还不够长，所以我们就 这样 看，最后还是会镶嵌 到的好。然后最后这里也有一个啊四十五，但是要移出来一个六十二啊，六十二，六十二，在这个点也是一条辅助的线， 这个最后就不标尺寸，所以这些辅助的线最后都是要擦掉的嘛。 那么这里这个 five 四十也就是相当于二二十加二四十五呢，加起来是六十五，六十五是 这样取到一个点，然后同理我们这里也是 用一个 r 四十五， 哎，他们香气的啊，然后他们中间呢要有一个二六点五的圆， 那么也就是两个四十五都剪掉，一个六点五就可以取掉它的圆心，也就是三十取一个三十八点五的，一个一个圆嘛，就可以 三十八点五的圆，这样轻轻的，轻轻的，轻轻的画一下，这里也是， 这里要加上，也就是四十一点五，五十一点五， 然后圆心就得到了，再拿一个六点五的圆， 根据这个圆心，你就可以画到一个最后的一个， 最后就一个圆弧了 啊，最后呢再把这些辅助线擦掉， 多余的线也擦掉， 要加粗的，要好好加粗一下， 还是用圆规的 gd 加粗起来 啊，中心线被擦掉了，再补画一下， 这边再加长一点， 这里削的补回去一下好。

那么我们现在来讲点的投影啊，为什么要讲点的投影？这个是为了方便后期讲结交线，相关线啊，包括那个三四图的补画，那么点的投影呢，是一个非常重要的内容， 那什么是点呢？点是构成物体的最基本元素啊，他点的投影则是物体投影的基础， 两个不重合的点可以组成一条直线，然后三三点组成平面，那么不管是直线平面还是体，都是从点开始来的，点是基础 那点的三倍。投影及投影规律我们是怎么来表示的呢？首先，那这里呢有三个平面，分别是 v， h， w 啊， v 代表的是正面， h 代表的水平面， w 代表的是侧面，那么有一个点 a 最牢空间点用大写啊，用大写啊，然后投影到三个面上的。这个点啊是不能用大写的， 正面用小写加一撇，侧面用小写加两撇，然后水平面用小写的字母来表示，然后这个 a 呢，要和这个 a 要对应啊，这个空间点用大写，这是他的规定的啊，规定的。 那么把这个呃点啊点的投影呢，他这个投影呢，是属于正投影啊，正投影呃，把这个点呢投影到三个面上， 那对应的这里呢？把这个呃 h 面沿着 ox 走往下翻九十度，然后这个 w 面呢，沿着这个 哦，谁走往右翻九十度，那么就会形成这么一个展开图啊，展开图，那么我们所有的图呢，都是用这种展开的这个投影画法的啊，不会像这样画空间直观图不会是画这个的啊， 那么正面投影 a， 这个 a 这个点呢，是用 用一个实心小点来表示的啊，有的教材上面呢，是有也是用空心小点的，那一般来说我们是要表达的话是用空实心的小点啊，不要画太大，实心小点。然后这些线呢，是属于辅助线， 辅助线我们学过线型应该用辅助线，应该用细式线啊，你把不要把这些辅助线加的很粗。然后这个点呢，没表达清楚啊， 然后这个轴也要把它画出来，这个轴，那么最高的往上这里呢？这个圆点，这里焦点呢？写个 o 代表零零啊， 那么是往上这里呢，是用谁表示？然后往左呢，用 x 表示，然后这里和这里这个歪轴呢，就用这个 oy 轴啊， oy 轴呢，把它展开来以后呢，这其实是重合的，两重合的一个轴，把它展到两个 投影面上的啊，那么这个呢，就是歪轴，也是歪轴，歪轴在 h 投影面，所以说叫歪曲。 对呢，这个呢，其实也是在我歪，呃，也是这个往外走，翻到右边以后呢，在 w 同一面上，所以说写 y， w， h 和 w 用小写啊，不要用这么大，不要用小一点啊，小一号字不要写的太大。 然后这里呢画一条四十五度线，也有人呢，会用圆规做一条弧，这都是可以的啊。 然后这个笔点啊，这里加了一个笔点，同一点，一个笔点，那笔点啊，在哪里呢？笔点 可以从这个图上判断出来， p 点比 a 点更右方啊，更右方，那么这个 x 呢？更小一点，然后 b 点呢？从这个俯视 头上看，哦，是水平头顶上看啊， b 点在 a 点的更后方啊，更后方，那么在这个后方，然后从这个， 嗯打这个，从这个主式图或这个，呃， v 面或 w 面看啊， b 点比 a 点要高一点，再高点，那么他的一个投影的位置在同一个位置啊，在这里 比点啊，比点对应的比他要高，可以从这里表达出来，比他更幼，从这里表达出来，然后比他更厚，那可以从这里表达出来，或从这里表达出来啊， 那么他是一个点的三门同音关系啊。 水平投影，用小写的字母来表， 是正面投影，用小写字母加一篇来表示，然后这个就是 ax， 这里就是对应的黑两撇啊，这条只能就是这个，只能就是歪子啊，歪子。 再来看啊， 点的三面投影体系，几只小日本关系啊，这里这字就不看了啊，太累了，这么多字。 xx 就是 点 a 到 w， v 的距离，这就是 x， 那么相当于哦， x 轴的距离啊，就是 x 轴的距离，你可以这么理解， ok， 轴的距离这里 x， 那么 y 呢？就是 a 点 点到黑点到这个微面的距离，那就是往外走，这个走的这个直，这个距离， 那么还有谁？谁就是 a 点到 o 点这里这个高度子到 h 面这个高度子，这个段也是，这段也是，这段也是，这段，都是高度子啊。 那么点的每个面投影的仅能反应 axy 谁的两个坐标，那么在这个投影面上只能反映 x 是谁，这个投影面上只能反映 c 和 y， 因为 x 在这边， x 没有啊，然后在水平面上只能反映 x 和 y 两个坐标啊。 那来看一道题目啊，已知点 c 的正面投影 c 一撇和侧面投影 c 两撇，求其点的水平投影啊，这道题目呢，怎么做呢？那就是连线啊，把线做过来，然后这边呢也做过来， 连下来，然后通过四十五度线，然后在这里呢，就可以找到一个焦点，这个焦点就是 c 点啊，为什么？ c 点刚才空间直观图看过了啊，为什么是在这个位置？ 然后再来看第二题，已知点 b 的坐标为二十，十三十，求点 b 的上面投影啊，二十十，三十他坐标，那么这个坐标对应的指呢？就是什么指呢？就是 x 值是二十，十呢，就对应的 y 值是二 十，我还指是十，这个三十对应的是谁？只谁只是三十，那么在这个每个头里面只能对应两个，走两个坐标啊， 然后把这个画出来，那么得到了他的三个点啊，那么这个水平投影用小写字母，这里呢？小写字母加一撇，这里呢？小写字母加两撇来表示啊。 好，那么除此之外呢，这个空间点呢，有可能还会在投影轴上啊，就是在 oxoyolc 轴上，那么假如在哦栽在轴上，那么投影点应该怎么表示呢？我们来看一下啊， 假如是这里在这个 oc 轴上，那么 oc 轴上这个点呢？他的正面投影和侧面投影呢？都在这个同一个位置了啊， 整个位置，从空间直观图看，同位置，那么水平同一点呢？在这里啊，在这个圆点位置，水平同一点，在这里啊，在水平面上，在这里啊，就是这个圆点，那么用鼻撇和鼻梁撇来表示，这里要不要加括号呢？不用加括号啊， 然后投影面的点，投影面的点呢？就是这个点啊，在投影面上，不在轴上，那我们应该怎么表示呢？我们来看一下啊，我们如果说在这个图上展开来，把它 a 点表达出来，那么在哪个投影面上？ 比如说在 h 投影面上，那么谁就是零啊？在这个，呃， v 投影面上，那就 y 的等于零， w 投影面上 x 等于零，就这么样子 啊，然后找到他的一个点点的位置，那这里呢？是 c 等于零啊，投影面上可以找到他的侧面投影 那么点的相对位置啊。这个，这个我们 不用讲了啊，这个不用讲了，来我们来看一下这个点。重音点啊，重音点，重音点呢？怎么表达的问题啊？重音点怎么表达？就像这里有个 b 点，有个低点，空间两点啊， 他这个点呢，在这个正面和 w 面上不重影，但是在这个水平面上重影了啊， 他怎么表示呢？我们把它展开来，那这个比例呢？从上往下看，也就是在这个水平头顶上啊， 得到了这个点呢，这个 d 在下， b 在上啊，那么在下面这个呢，我们需要加个括号，这个以后我们做那个，呃， 表面小点的时候非常重要啊，直到要有一个点，假的不可见，要加括号啊。

留着你一个， 想你，天色已黄昏，脸上还有。

这节课我们来讲平面切割圆柱，也就是圆柱的结交线。 平面切割曲面体时，结交线的形状取决于曲面体表面的形状，以及结平面与曲面体的相对位置。 那么这里有个圆柱，圆柱被结切有几种情况啊？有三种情况，一种呢是结平面与圆柱轴线平行的去接搭，像这现在这个立体图的形状， 那么他平行于轴线去结的形状产生的形状是一个畸形。 第二种，截平面于圆柱轴线倾斜，那现在是倾斜的去切他，那么结交线 为椭圆，这个结交线的形状为椭圆啊，那么这个也是椭圆。当我们这个结交线于去结他四十五度的时候，是一种特殊的情况，等一下我会讲啊， 那么还有一种情况，当我们截平面于圆柱轴线垂直的，也就是横着去结圆柱的时候，结交线的形状是圆。有这么三种情况啊， 那我们来看立体圆柱被正垂面斜切，已知主俯视图，求做左视图， 这是一个圆柱啊，从火车头上看，他是个圆柱啊，他被结切批用机械来表示这么一个平面，那么他去结切以后，我们来看一下， 形成的是一个什么形成的是个椭圆啊，那么这左字头怎么画呢？我们来看一下。先补画出完整的第三面投影啊，他是个圆柱，那就是个矩形。那么在分析 斜平面披于圆柱的轴线倾斜，那么这是一个正垂面，在正面积成了一条斜线。 结交线，他这个圆上面的点呢，都变成一条线了啊，就是一条线，那么侧面投影呢，是应该是个椭圆啊， 然后我们来做图，首先呢这种像我们这种情况呢，就是要做图的话就要这样子做，先求 特殊点，在求一般位置点，那么特殊点是哪哪些呢？比如说最高、最低、最前、最后、最左、最右 啊，然后还有呢一些比较特殊的位置，一眼就能看出来的点，这里的话我们给他表达出来 abcd 分别是他的最左、最右、最前和最后四点， 那么他的主主视图上面的这个点的投影也是很能很容易找到的，那么侧边投影， 那就根据他的一个高平齐和宽相等，分别找到 a 两撇、 b 两撇、 c 两撇和低两撇。那么找到这一点呢，我们只能做出一个菱形，或者说是一个平行四边形，但是根据我们圆柱背结线的形状，他应该是 一个什么，应该是一个椭圆吧。啊？那这个椭圆怎么画呢？除此之外，我们就应该找一般位置点了， 那么在这里的上面呢，我们再做几个这比如说这条线的中间位置，这一半边的中间位置，再做几个点，对应的 e、 f、 g、 h， 那这个点呢也可以命名为一二三四啊，这个随你自己，这个点呢都是为了辅助的啊。 然后在这里呢，根据宽相等和高平齐，在这两条线上分别找到 e、 f 和绝曲 的侧边投影。那么做完这些以后呢，我们就已经找到了一二三四五六七八八个点， 然后八个点呢，我们对他进行光滑连线，那么最终呢形成了一个椭圆啊，形成这个椭圆， 然后上半部分呢是被结切的，我们还要判断一下他可见域有没有哈，那上半部分呢是被结切，结切以后，这上边左是的，上边这个紫色 这部分，洋红色的这部分就没有了，那就要去除掉，那最后呢，把整个图形呢，我们给他绘制起来，就是这样子一个左视图啊，他是个椭圆，这里是个椭圆， 那么随着节平面于圆柱轴线倾角的变化，这个椭圆，假如当这里是四十五度的时候啊，这个角是四十五度的时候， 那么他的正垂面这里啊，这个倾角是四十五度，那么胶线的空间形状呢，是会变成个圆的，为什么呢？因为椭圆的长半轴和短半轴相同了吧，那么自然就是一个圆了啊，你看这里对应的这里，这里对应的高度， 高度啊，和这里对应的宽度相同啊，那么就变成一个圆，四十五度的情况特特别要注意啊，这可以简化我们很多时候画出的一个步骤，这是一个 圆，不是椭圆啊，如果椭圆的话，我们就要用找点光滑连接啊， 那我们来看一下这里圆柱体的侧 外面投影要做他啊，这里呢，这个圆柱被结切了啊，这结切的话是重的切一刀，横的切一刀，那么重的切一刀是与轴线平行的，对吧？那他应该是个什么形状， 是不是一个矩形啊？然后这里呢是一个水平面吧，在左左视图上是一条横的线啊，我们来看一下，用两个平面去解切他那么形成的这么个形状。 那么这个左视图，首先呢，我们先画出完整体的左视图， 然后再补画结交线的投影。圆柱切口由水平面 p 和侧平面 q 七 切割轴承，他是有两个平面去切的，然后先求 p 的一个交线，这个 p 面是水平面，那么在主式图上，在左式图上啊，他就是一条横的线，那么通过宽相等来找出这个横线的长度。 接下来再看 q 面， q 面在正面吃一条线，那么我们刚才刚看到过啊，他平行于轴线，那么一次性的畸形，那我们把这个畸形的形状画出来， 然后再判断。可监狱，由于截屏面 q 位于轴线的左侧啊，他最大的一个转向轮廓线这部分没有被切掉，那因此呢，最大的转向轮廓线还需要保留，最后的结果就是如图所示。

很多同学在画法几何和机械制图的入门问题上产生了问题， 呃，总不理解这个东西，这条线为什么画这条线，为什么不画这条线，为什么虚线，这条线为什么是这样的？搞不明白。然后老师说了，呃， 常对症，高平起，宽向等啊，然后就拿一根线，一根线的，然后那个去对着画，很痛苦。其实呢， 学机械制图第一的你需要的能力是什么？能力是空间的思维能力， 这个空间的思维能力很多人是没有，那怎么办？可以不断的练习自己，教给你一个方法， 如果这个方法你反复练习，你就可以成为制图高手，能把任何物体的任何的形状表达清楚。来，开始了哈。 看这么一个弓箭，有这么一个小箭，你在脑子里边他的主视图，他的俯视图，他的左视图，你反复的思考，反复的想， 反复的想，怎么办？这些相关线是怎么回事啊？圆柱和圆柱怎么 产生的？相关？什么情况？在脑子里边不断的思考，闭上眼睛不断的想着他旋转的样子，模样啊，一个一个东西 在脑子里边不断的转，不断的转，转久了他长什么样子你就想想的非常清楚。 其实在看图纸的时候也是有的人他能看懂，但是看的非常的慢，就因为他的空间思维能力不够强，如果你的思空空间思维能力够强的话，那你看图是非常快的，非常灵敏，非常的 呃，反应，就是说接受的比一般的人要精准，要快，速度。 所以说要成为真正的高手，要不断的练习自己。好， 祝你能成为一个机械之徒高手。

啊，所以你像这个图的话，我们就是抄画啊，他原来是多少尺寸的，我们就是一比一的尺寸抄抄下来。所以我们第一步呢，先找到几个特殊的定位啊， 第一个圆啊，中间中间有三个圆，三个圆呢，我们是找到圆心的话，就可以把圆画出来，中间这个圆呢，我们可以直接画出来，他的尺寸是反二十，那么半径就是多少呢？半径的话就是十，对不对？ 所以先使用圆规啊，量取一个十毫米，也就是一个厘米的 宽度，每半径。 好，这是 是第一个圆啊，反二十半径，咱们就是十，这样的话，我们可以直接画成什么，画成粗实线， 那么这边呢，还有啊，实际上还有一个圆是反三十二，反三十二呢，他是这样的一个大圆，但是这个大圆呢，他不是完整的啊， 但是这边呢，他是有圆弧的，所以我们需要把它画出来。反三十二的话啊，那么半径呢，就是 一十六，嗯，就是一十六个毫米，这里的话还能长一点啊， 调一下 一十六个毫米， 两，一十六在这里啊，还有还有 好一十六，还是以它为圆心。那么这边呢，这边的话我们可以稍微画的轻一点，但是上面呢，因为是粗食线啊，把上下两边呢，可以稍微画的重一点啊，这是一个 辅助圆，我们待会再加粗都可以。好，然后找到左右两边的小圆的圆心，小圆圆心间隔是四十毫米，那么我们可以通过圆规， 那么一边是多少，一边就是二十呗，是吧，我们直接用圆规选取一个二十毫米为半径。 好，然后以它的圆心 找到两个点，左边一个点，右边一个点，那么这两个点的距离就正好是四十，是吧？四十的话，我们可以找到圆心了，这个圆的小圆的半径是五，直径是十， 我们直接用圆规量取一个五毫米的半径， 五毫米的半径很小啊， 圆规 在三角板上量取一个五毫米的半径，然后分别以刚刚的这加点为圆心画圆。好，那么这边呢，也有一个圆 没画好，画的太快了。 好，这两个圆画好之后呢，这外面还有一个什么？还有一个反时啊，那每一节是这一段圆弧啊，左边这一段圆弧和右边这一段圆弧，他的一个半径都是反时 啊，都是二十。二十的话，我们就直接选取一个，一个厘米，也就是十毫米为半径 啊，十二米的半径，以它为圆心啊，换一个半圆弧，那么以它为圆心呢？再画一个 半圆弧。好，这是这样一部分，那么第二部分呢？我们看到啊，圆弧与圆弧中间它是有条直线连起来的，那么这条线呢，实际上我们叫做什么？ 实际上我们叫切线啊，切线的话可以直接直接运用一个三角板，我们就可以画出来 啊，通过切点啊，切线的话，我们直接量取圆弧的边， 这是很容易找的啊，这边也是一样的啊，把两个圆弧边露出来一点点，然后用你的铅笔把两个圆弧边连起来。 嗯，这边呢也是一样的啊，切线啊，切线是很好画的啊，这边也是一样的 啊，这是这样一个图，这样一个图的话，我们看到某些地方他是啊粗实线，我们把它加粗，加粗完之后再给他标一个尺寸。 那你像我们刚刚画的这样一个位置他是有加粗的，加粗的话我们就给他加粗是吧。 这边呢我们要调一下啊找到半径之后同样的啊给他加粗。 好。咳， 加速完之后这整个一比一的插画就下来了然后再标一个尺寸。好，我们记住 啊这些多余的线条啊，你像这样的长一点的圆弧最好是能够擦掉啊，如果你觉得擦很麻烦的话啊擦不干净的话那你就这样子啊最好能够擦掉。好了这边的话我们先标两个尺寸吧。 嗯搬进 指针标的是用什么线啊吸水线是吧。呃箭头 收藏啊，这边还有一个箭头啊，同学们有那个模板最好用模板的箭头啊，我这里没有模板了啊。 好，这边是一个多少 摆三十二用中用中楷字啊。 好，这边呢还有一个直径 是中间的啊是中间的圆它的直径 好收场的。箭头这边有一个引引线啊引出来他是 five 二十。 好，这边呢有一个四十是吧四十的圆心的距离 记住啊齿轮接线他一定是今天要画垂直的。那这边呢我们也要画平行线啊七十线就可以了两个小箭头 这面是四十。 还有啊左边还有两个尺寸是吧。 左边两个尺寸呢，一个是直径。 嗯直径的话啊两个小箭头 引出线 写成数字二乘以 five 十。那这边呢有一个半径，嗯 半径它是指的左边这一段圆弧 小箭头半径是二十。 好，这是这样的一个作业啊。好，如果你有橡皮的 的话把相相关多余的这些线呢给他擦掉一点可能就更好看了啊。好，然后另外一个作业呢，是 按图中的尺寸用四星圆法做椭圆啊，我们说过四星圆法画椭圆，我们已经在课堂上已经讲过了， 画法步骤呢，也比较详细，那么这边呢，我老师啊，再做一遍啊，再做一遍的话，我们先第一步干什么？ 是不是四线圆法，先找到呃，长轴和短轴的点点是吧？根据已知条件，长轴的话是六十四，那么一半就是三十二，直接通过圆规啊， 圆规了，截取三十二的一个半径。 好，三十二的半径以它为圆心，我们可以找到主要两个长轴的端点，那么短轴呢，短轴是三十二，一半呢就是一十六 啊，我们要调整圆规了啊，调整圆规， 找到 e 十六的半径， 好，一十六，以中间这个点为圆心，在短轴上找到两个焦点， 这呢我们说得到 a、 b、 c、 d。 第一步是干什么？四线圆法画圆，大家还记不记得第一步啊，我们要连接 a c 啊，中间这个标个点 o， 第一步是连接 a、 c 啊， a 和 c， 我们辅助线啊，轻轻的画连起来。 第二步我们要在 a c 上找到一个点，这个点呢，我们叫它点一，这个点是怎么来的呢？它是用 o a 减去 o c， 所以呢，我们直接怎么做啊？可能大家忘记了啊，我们直接选取 o a， 选取 o a， 然后在 o c 上画一个距离啊， o a 减 o c 嘛，那么把这一段我们延长一点， 好得到一个加点是吧？这样的一个加点，我们以 c 点为圆心， 以十一点到刚刚的这个焦点为半径， 好是吧，以它为半径，在 a c 上啊，画弧，这样的话，我们会找到一个点吧，这个点我命名为点一 啊，点一，这是这一步啊，第二步，第三步，我们需要画什么呢？ 需要画 a c 啊， a e 的垂直平分线啊。垂直平分线呢，我们已经讲过多次了啊，比如说我们直接啊，可以直接用这个半径来做，直接用这个半径来做垂直平分线啊， 大于 a e 的一半为半径就可以了，是吧？这是我们画垂直平分线的这样的一个要求。垂直平分线呢，我们需要画很长啊，画长一点， 嗯，因为要和这一条垂直线要有一个啊，要有一个焦点，是吧？这样的话，我们是不是得到两个焦点呢？第一个焦点 称之为 o 一，那这边呢，还有一个点，我们叫 o 二，这是这一步吧， 啊？下边一步呢？我们要找什么呢？我们要找 o 一 o 二，关于 o 的对称点。对称点我以前也讲过啊，还是比较容易的啊，你像我们 这个边的话，我们直接用 o o e 可以找到对称点， 这个对称点呢，我们命名为 o 三 m。 那么 o r 的对称点呢？哦，可能这个两角七，可能我这个圆规没有这么宽啊， 这个图可能做不了了，我们先找到对上点吧，如果不用圆规的话，用尺子量一下啊，大概也多 四十二毫米啊，四十二毫米不到。好，然后我们在这边找一找四十二啊， 那么在这里啊， o r 的对称点在这里啊，这里是 o 四。 最后一步怎么办？ 最后一步我们是不是很简单，我们以 o e 为圆心是吧？ 以 o e 为圆心，以 o e a 为半径 画 湖， 那么这边呢，也是以 o 三 b 为半径 画弧，上下两段弧呢，我们以哦圆规啊，圆规没有这么大啊，所以说这种圆规也有一个局限线，他只能打开， 比如说我们要以 o 二和 o 三为半径的话，可能就够不上了，够不上怎么办？我看看，看看最大能打开多少啊？ 哦，完了啊，最大只能打开这么多啊，打开不了了，这圆规也有局限性啊。所以呢，这个图， 那我们讲到这里的话啊，因为老师的圆规啊，这个 o 二和 c 的半径够不上啊，所以按道理的话，我们就以 o 二为半径， o 二 o 二 c 为这个半径啊，然后画一个圆弧 是吧，那么上面这个圆弧的就有了，然后以 o 四为这个圆心，以 o 四 d 为半径 画下边这个圆弧，那么我们这个椭圆用四线圆法啊，就做完了啊，那么同学们的圆规有这么宽啊，你可以可以画出来啊。

我们看一下这个三杠十一，这个第二题啊，这第二题呢，让你选择这个俯视图是哪是对的。我们看主视图 五十图的话呢，这是一个 l 型的这么一个东西，这有两个，这这是一段虚线，这是一段虚线。然后我们看他的左视图啊，这下面是空的啊，因为这个没有连线。从这个底边这没有连线可以判断出来这底也是个空腔， 就是从这左侧一直到右侧是通的，也就是这根虚线。这根虚线 你看这个上面这根这根虚线，这根虚线和这两个缺线呢，是表达的是同一个结构。嗯，我们不是太确定他这个东西是长什么样子的哈，但是我们可以从俯视图上看 普式图，我们看一下这这四个普式图呢，都是这个一个一个矩形的这么一个缺口哈，那就证明了这两边呢，就是这个缺口的这个 缺口这个轮廓。我们看啊，这上面这两条线呢，就是缺口的这个这个上边和这个下边这两面形成的轮廓线。然后这个主视图，这个上面这个竖的虚线呢，就应该是这个缺口了。 左边这个这个面形成了这个这个虚线，一个两个、三个、四个，这四个答案里面都有一个凹槽，就是右侧有个凹槽，那就说明那个这两根线呢，就是这个凹槽的线。 那我们首先看第一个啊，第一个的话，这两根虚线呢，嗯，没有到头就是没有到头。那从 从我们这个左视中看呢，这个空腔呢，是空的，因为这没有任何其他的这个轮廓线说明这地方是空的，那这两条线应该是贯穿这两个虚线，应该贯穿，应该到头， 那这第一个肯定不对，那这个是到头了，这个也是不到头，那这个也不对，那这个也是到头。那这两个有啥区别呢？两个区别是在这个这个里边，他多了一条这个虚线，从这里到这里的虚线，这条虚线到底有没有？我们看一下。 呃，我画了一个三维图啊，比较方便的能展示这个东西。看一下呢，我们看一下他的正视图 啊，这是 l 型的是吧？我们看一下它这个 这有一条虚线啊， 这是，这是一条虚线啊，然后这也是一条虚线，这个和我们这个这张图上是一样的，和这张图上是一样的。你看，这有一条虚线，这有一条虚线，这主视图是吧？然后我们再看看这个其他视角的啊，再看其他视角， 左视图啊，左视图呢，这也是一根，这是一根虚线，这也有一根虚线。然后下面是他的空腔，下面是他的空腔。这张图呢，和我们这个这个 这个走势都是一样的，一模一样的啊。那么这样的话，我们就可以看一下这实际的效果是长什么样的哈，实际呢，我们这个东西呢，是长这个样子的是，这是 l 型是吧？然后下面有一个通槽，还穿从这边一直 打到这边，然后上面呢往从上往下呢，也有一个通槽，这两个槽的宽度是不一样的。如果是一样的话呢，这个图就就更简单了，我们把它这个画到这个那个图纸里面是什么样子呢？是长这个样子， 这是他的主视图，就是一条虚线，一条虚线啊。然后这个左视图呢，这是两条，这是一条线，这是一条虚线。然后看一下他的投影， 那投影里边这个两个虚线表达的是这个，就是这个位置和这个位置。这两个线在这个主视中看是点了，在主视中看是虚线了，他是贯穿的，就是贯穿过来的，没有这个这一条虚线哈，没有从这边到这边那个虚线。 因此这道题呢，我们看一下他这个答案呢，就应该是这个。第二，这个应该是正确的。

我们来看这题，那么这道题基本上每个 ct 级上都会出，这道题对很多同学来说是有一定难度的，它是平面上直线和点的重属性的综合运用， 那这题应该怎么来解？可以看到这两个平面，他们都是这个，很显然都是在空间当中是一个一般位置的这个平面， 一般位置平面，那所以说我们很难去找到他这些焦点，从而去啊作图。那么这个题要求我们求两个平面的交线，并表明平面的可见性，所以这个两个部分都是比较难的地方，一个是交线，那么交线就要找到他们的这个交点 角的点，那么由于这两个平面是一般位置的平面，所以说找点并不容易。另外呢，就 就是即使我们找到焦点以后，那么判断他的可见性，他有很多线段的可见性，包括上面和下面，那么这些判断方法，那么如果大家没有认真去掌握的话，可能也是比较难的地方。 好，我们一起来看一下。既然他找这两个平面的交线，那首先我们可以看到他们交线一定是什么？一定在他们重合的区域，对吧？一定在重合的区域，所以说这个是肯定的， 不能在这个以外了，对吧？这是他们共有的线，所以说一定是在这个区域内，好，在这个区域内呢，我们就知道了，胶线他有可能是什么， 有可能是在这条上面啊，是这样，是这样的一条交线，对吧？他们的交点可能在这两条边上，那么也有可能是交点呢？在这两条边上，那么形成了这样一条交线， 是不是都是可能的，对吧？都是可能的，所以呢我们就要去排除啊，就是排除，那怎么来找呢？我们这个地方啊，需要这样，就是大家可以看到，比如说我们看到这一段线， 这段线呢，它是你们可以理解成它是这个 d、 e、 f 这个平面上的一条线， 可以这么去一一去理解。然后他是不是也可以去把它看成是 a、 b、 c 平面上的一条线段的投影，对吗？但这个这条这条线，那么对这两个平面来说，他可能不是同一条线，只是在这个地方他的投影产生一个重影。 那么怎么来验证这个？我们来看一下，我们假想用一个啊，用一个正垂面去这样去切进去， 从这个地方切进去，比如说我们这个地方一个 p、 v、 e 切进去，切进去以后，那么是一个正垂面，所以说它跟两个平面都相交，那我们这个地方可以命名啊，这个地方，那比如说交这个 e、 d、 f， 我们假如它是 啊一二点，一撇二撇，可以这么去假设，那么他教这个 a、 b、 c， 那么可能是三、四点，那至于谁在前谁在后，那这个地方我们 先暂时不管，我们先比如说这个三点在后面，那四点在后面。好，那么这有四个点，那四个点我们是不是 就可以找到下面他们分别的投影在哪里，对吧？所以大家要理解，这是一个辅助平面，这样正垂面这样切进去，现在在这个位置两个平面都被切到了，那这个地方 一、二、三、四，我们分别找到他的水平投影，那么一点，我们说在这个一第一上，第一的话在这个位置，所以说那么就是这个点啊，啊，就这个是一的水平投影，那么这点就找到了。然后我们再来看一下点二， 点二，他在 e f 上面， e f 在这条边上，所以说我们这个点就是什么二点的水平投影。好，这样的话，那么一二他的水平投影是不是这条直线呢？我们可以把它轻轻的先连一下， 轻轻连一下，那么是这条直线。好，我们再来看一下，那么三和四同样的位置，重影的位置，三和四在 a b 上啊，都是在 a b 上，所以说呢，我们来找到三和四的位置，是这点，所以说那么这个点就是三等水平投影，这个是 是的水平投影，所以说这一段啊，就是这段他的水平投影。好，我们可以看到，那么其实在这里虽然是重影的这么一条线段，但是在水平投影他们分别是两条线段， 那么这两条线段他们在空间当中相不相交呢？如果他相交的话，说明这里有一个交点，对吧？他们两个交线上一个点在这里，那我们看看他相不相交，很显然这个地方从水平头以上看得到他是这个相交的，对吧？可以看到他是相交的， 我们连连过他相交于这一点，那么这一点，那么这样对上去可以看到啊，五一一撇点，五在这个位置，那么很显然没有在他们的这个啊，这个区域内，所以说那么这个点那么不是他们的焦点啊。当然这里的这个一二和这个 一五，其实他不是一条啊，他不是一条直线，对吧？他不是，他不是一个平面类的直线，那如果是一个平面类的直线的话，那这一部分就是一个平面了，那说明他们就共面了，那很显然这里是不对的啊，所以这个是不对的，所以那么通过这些可以排除掉，那么这一段 和这一段上面是没有他们的焦点的。好，没有焦点，那这个时候我们就可以知道他应该在这两段上面。好，我们把它擦一下， 好通过这个方法呢，主要是让大家知道呢，为什么啊？为什么是应该在这边啊？通过这样的排除法我们来看到。好，所以说那么肯定是在这两条线上，那么这两条线我们刚刚讲了跟刚刚是一样的， 它既可以是这个平面上的一条直线的投影，也可以是这个平面上一条直线的投影， 说在这个地方他们投影重影的，但是他们的焦点一定在这个上面，所以我们只需要找到这个这个地方重影线啊，这个两个平面分别重影线的下面的投影，那么找到以后，那么他们的焦点必然是这个地方的公共点，就是他们的交线的一个公共点。 好，那我们这个方法呢，也是跟刚刚是一样的，我们可以这个假想这个地方啊，这个地方是切了一个， 切了一个正垂面进去，对吧？就是这个 pve 接进去，接进去的话就切了两根线，这个地方就有两根线了，比如说先定义一下这个一三，那这个地方二四， 那比如说我们假如这个一二点是在这个 e、 f 上，然后三四点是在这个是在这个 a、 b、 c 平面上，那我们来分别找一下。好，我们现在看一点一点是在这个 e f 上，那我们找到一点的水平投影，那么就是 点一的水平投影。然后我们再来看一下二点，二点也是在 e f 上，那么这一点就是点二的水平投影。然后我们再来看一下点三，点三的话，就应该是在 ab 这条直线上啊， 我们是点三的水平投影，然后点四呢？它是在 a c 上面，那么在这个地方上面就是这一点，它是点四。好，因此我们知道了连接三四， 连接三四，那注意连接三四这个地方是不是跟这个一二是不是有一个共用的焦点，这个地方就是焦点，焦点，我们这里假如是 k k 一啊， k 一，这个点 k 一，那是不是就是这两条直线他们的共同点，对吧？我们可以往上做投影，可以看到他应该就在上面， 那这个地方，那么这一点，那么就是 k 一的啊，这正面投影，所以我们就找到了其中的一个啊焦点， 那么同理，我们在这个地方再做一个正垂面，比如说是 p v 二，那么这个地方，那么它切下去是不是同样又切的啊？又切了两根啊，两根线，那这里我先把这个点擦掉， 因为暂时不知道谁在上谁在下，所以说我这个地方只是啊，为了方便大家看我这个标几个点，假如这个地方我又标这个一三一撇，那这个地方二四一撇。 好，我们再来假设一三在这个 e d 上啊，这个没关系，哪个在上都没关系。我们先找到他的水平投影，他应该是在 e d 上， 所以这点那么在 e d 上，那么就是点一的水平投影，然后是点二点二的水平投影，他是在也是在 e d 上 点，那么这一点就是点二的水平投影。好，那么一二就找到了。我们再看三四，三四的话，三四在这个 a b 上， a b 上，那我们把它延长这里，所以这个点就是第三点，然后四点的话，它也是它四点的话，它是在这个 a c 上，那么我们找到 a c， 那么就是这点好，这点是好，所以说那么三四年 且它跟 ear 就产生了一个焦点啊，产生一个焦点，那么这个点， 这个点是不是就是 k 二的位置？那么我们网上做投影也可以看到，那么这个点刚好也是在他们这条线之间啊区域内，所以这个点是 k 二 好， k 一撇，那么这样的话，这个 k 一 k 二点是不是就是他们的这个胶线了？所以说我们连接 k 一 k 二啊，连接 k 一 k 二，它的这条胶线我们就做出来了。好，胶线做出来以后，我们接下来要判断它的可见性。 可见线怎么判断就是这个交线呢？是他们可见与不可见的分界线，就说如果这里可见，那这两边可见，那么这两边就不可见啊，是这样一个含义， 就是这两个可见，这两个不可见，那如果是这两个不可见，那么就是这两个可见，那么这两个不可见，这两个可见，那怎么判别？我们来看一下， 首先我们要看这一部分的可见性，那么我们可以利用他的这个这个点 啊，这个点，这面投影的可见性就是看谁在前，谁在后啊？谁在前谁在后，所以我们看这个点，假如我这个点，比如说我标一个点，那假如他是一个五六点， 那么就是这个点，那么五六点，它一一一个点呢？是在 e f 上，一个点是在 a c 上，所以我们就看谁在前，谁在前的话，那么那条直线就在前。好，我们往下做投影，我们可以看到先是什么，先是跟 a c 接触的啊，先是跟 a c 接触了，这这个点是先是碰到 a c， 然后再是什么？再是碰到了什么？碰到了 if 啊，再碰到 if， 所以说那么这个点它是什么？它是点六，那这个点什么点？五 年纪吧，相对是点五在前啊，因为这个点在 a c 和 e f 上，那么这样的话就是说在这个位置，那么 e f 是在前，那么 e f 在前的话，那么这里是 e f 在前， 注意这里在前啊，这个点在前，那么他要到到这个交线的时候才变可见性，所以说这一部分啊，是可见的，那么这条可见，那么当然这条他也是可见的。去通过，通过这个二四点可以去判断二四点，我们 可以看到它要么在 e d 上，要么在 a c 上，那么看它先是到 e d 还是 a c， 很显然这个地方它是 先到了 a c， 最后往下才是 e d， 所以说还是他在前二在前，说明还是这个地方可见，那么他可见，那么这个地方就不可见啊，这条交线可见啊，我们把它加粗一下。 好，这个地方那么大家注意一下，需要用虚线啊，虚线的话，这个画细一些， 这表示一下这个地方是有虚线的啊，那么这一段也是虚线，注意他是初始线，演唱线，我们稍微断开一下。好，这样的话这两段可见，那么说明这段可见，对吧？这段可见，那我们把它这个直接进行一个加粗，好， 那么这条交线可见，那么这一段那么就是不可见，那么这个地方就是出实线， 好，这个地方虚线， 好，这段是虚线，那么这段就应该是实线， 注意好，这个就是他的这个最后的结结果，大家注意看一下。

现在我们来看点中点的第四十九题啊，那这道题目呢，也是一样，不画主视图，他是不用画全坡啊，只要主视图就行了。 首先呢我们来分析一下他这个结构形状啊，他从这个左视图上看，我们可以分为上中下三部分啊，因为他这有两条西点划线，把它分割成三部分， 它的最大外形轮廓在服饰图上看呢，就是一个圆，对吧？那么我们从下往上分析下部分的这里呢，这条横的线和这个圆可以分，可以知道啊，他这个下底部呢，应该是一个圆 啊，下礼物应该是啊，应该半球，说错了，半球，然后这部分是什么？这部分是两条竖直的线，然后在这里呢是一个圆，所以说呢，他应该是个圆柱啊，应该是个圆柱这样子， 那顶部呢是什么呢？顶部这个可以是球，也可以是 两个圆柱相交，那这里是什么情况呢？要根据我们分析啊，这里虚线代表的是框，对应的应该是一个矩形，应该应该是一个四人柱孔，对吧？ 那我们来看四人出口这里看一下啊，这里是求 的话啊，假如上部分是球，那我们这里看出来他应该是被一个四弹珠孔挖切，挖，切完以后我们来再来看他的左视图，左视图，哎，和这里是对不到的 啊，那里面呢？里面的这里虚线是有的啊，存在的，但是这里这条线对不到，所以说他的上部分呢，应该不是球，那应该是什么呢？ 三部分应该什么呢？三部分呢？应该是一个圆柱，这里是一个圆柱，然后呢这边呢再来一个圆柱，这部分再来个圆柱给他挖掉啊，就是两个圆柱相交， 那么左视图上看过去啊，他这里呢就形成一个半圆弧，对吧？啊？然后现在呢，我们来看 一下啊，现在呢他的这个，呃，主体上中下我们已经分析出来了啊，再来看一下，他这个从上往下打的是一个圆柱孔，对吧？ 这里是一个圆柱孔啊，圆柱孔，但在上面最上面不是往圆柱孔啊，就是这部分是圆柱孔，那我们现在呢给他在上面呢，给他再处理一下。从辅食图上看， 它的顶部呢，应该是一个四四轮柱孔，应该这样子，四轮柱孔，大家走势头看过去啊，它的形状呢，就是能够对到了啊，就是我们能够满足要求的。 然后下部分这里呢，因为他是球吗？球和圆柱相关，那么他的相关线正关的时候呢，是一个水平源，对吧？ 所以说他这里呢是去除材料的，这里呢就是变成一条横的线啊，然后这里还有一个圆，从辅食桌上看，他应该是个圆柱口，然后这里呢是一个，这是一个什么？ 这里从这个图形上看，宽相等对过来应该对的是这条线啊，所以说他这应该是一个侧平面，对吧？那我们相当于这里是一个圆柱孔啊，这里是个圆柱孔，然后两边呢被挖掉啊，这边被挖了一个平面啊，侧平面， 侧平面哈，侧平面，那这个水平投影上看过去呢，就是会形成一条竖直的虚线啊，竖直的虚线在右边呢，也是一样对称的，再给它挖掉啊，对称的挖掉，然后两边呢都形成两条线 线啊，所以说最后的结构情况呢，就是 logo 所示啊，这这么一个模型，它是这样子的啊， 那这里两条虚线，对的，就是这一条和这条轮廓，这个平面啊，和这两个平面啊， 那这两条虚线对的是什么呢？对的就是这个圆柱孔，是吧？好，接下来我们来做一下它的一个主视图啊，主视图结构形状，外部形状啊。嗯，回退一下吧， 这一步呢，就是我们之前啊没有被挖切之前呢，写过形创下部球中间圆柱，上面是圆柱和圆柱相交，是吧？三部分啊，是这样子，你把它画出来，然后接下来呢，这里打了一个圆柱孔，上面打了一个圆柱孔啊， 那两条虚线在这里呢？还有挖了一个方孔啊，挖了一个方孔，挖了一个方孔以后呢？你看这里分为两部分啊，三部分， 呃，外表表面圆柱，他是圆柱，对不对？这个前面是个圆柱，圆柱和这个，呃，四人柱孔相贯的时候呢，他产生像里面偏移的一条 实线啊，向里面偏移了一条实线，然后这边呢就是 他这里呢是一个盲孔，不是瞳孔啊，打到这里为止了。那么这个左视图上呢，就对这个线好。主视图上啊，对这个线，呃，应该对这两条线啊，对这两条线，那对过来高平齐和长对正 对应的这个虚线矩形框啊，然后接下来呢，这里又打了个圆柱孔，对吧？打了个圆柱孔以后呢，他的结构又发生了变化啊？什么变化？他这里 虚线啊，虚线你打过去本来是两，这里两条虚线，那这里再画两条虚线，但是这两条虚线呢要考虑啊。什么考虑什么呢？下部分呢？取这个圆柱孔的下半部分圆，下半个半圆呢是和球相关的， 这上部分呢和是和圆柱相关的啊，都是正观的，那里面呢是整近两条相交的这虚线，这里呢是对称的，这里是一条弧，这里呢是一条直线，这里是条弧，这是一条直线，这个样子啊，好， 这个我们这个还没画好啊，这里还有一个平面，对吧？这个平面， 呃，挖切是会发生变化的，所以说这里这里其实这个结构不一样啊，还要往下翻这里平面看一下，这里呢是被挖掉的，看到吗？整个挖掉，这里呢也被挖进去了，这部分不用画啊，这部分不用画，这部分我们要考虑下面这边挖掉的情况， 所以说这里呢是形成两条垂直的相交的两条线啊。 呃，这里最后的模型的结构呢就是这个样子的啊。好，然后我们看一下答案吧。啊，这答案呢就是和我这里画的应该是一致的，就是在这里呢多了两条细点划线啊，三条，一条，两条，三条，三条细点划线啊，你给他加上去， 这两条弧呢是以这个圆形做的弧啊。呃，画，刚开始画的时候呢，要，要这样子画啊，一步步画， 就从这里开始，一步一步一步往下画，不能说一口气把它画出来，除非说你这个图画的多了，那么到时候呢你就可以一起画啊，一起画，嗯。