狄利克雷函数勒贝格可积

大家好，今天呢，来讲一点不一样的东西哈，大家学了这么久的微积分了，那你觉得微积分或者叫高等数学这门课，他到底难不难呢？ 相信很多同学啊，都有过被纷繁复杂的积分柿子搞到焦头烂额算到昏天黑地的经历。但我想说的是，不管你觉得难也好，简单也好，我们在高等数学课本上学到的那个微积分理论，其实都是几百年前的理论了。而 在过去的一百年里，微积分的理论其实是经历了一次翻天覆地的变革。正如物理学中分为牛顿体系和爱因斯坦体系一样，微积分的理论也分成前后两个不同的体系及弥漫体系和勒贝格体系。 而我们大多数人哈，在高等数学课本上学到的都只是弥漫体系。今天呢，就给大家讲一讲这个乐贝格体系，他是 是怎么一回事。而一个比较有趣的巧合就是，诺贝格体系的提出和相对论的提出几乎是在同一时间。 故事呢，还要从十九世纪说起哈，在当时，人们在自然科学中接触到的函数基本都是连续函数，而连续函数的定积分都是非常容易求的，即使是有间断点，那也只是有限，多个只需要在每一段上分别求定积分，然后加在一起就可以了。 而人们对于函数的认识呢，也是比较肤浅的，当时人们觉得哈一个函数就是一个外关于 x 的表达式，而我们也可以自然的画出他的图像来。然而这种观点呢，很快就被打破了。 一八三七年，德国数学家迪雷克雷突破了这个框架，他认为哈函数呢，就是集合中两个元素的对应关系，而不是非得有 一个表达式，于是就提出了函数就是 x 与外之间的一种对应关系的这种现代观点。我们现在在教科书上关于函数的定义，哈基本上就是延续了这种观点。 为了说明这一观点呢，迪雷克雷就构造了一个人们以前从来没有见过的函数，哈，就是我们现在被称之为叫做迪雷克雷函数的函数，他的函数表达是呢，是这个样子，当 x 是有理数的时候，取之为一，当 x 是无理数的时候，取之为零。 这个函数的图像呢，让人想想就头皮发麻。哈，因为在实数轴上有无数多个密密麻麻的有理数，同时呢，还有无数多个密密麻麻的无理数，因此他的图像也是如此的诡异。在 外等于一的地方，哈密密麻麻的分布着无数个点，但是因为有五里数的存在，所以这些点呢，彼此呢，又存在无数多的 空隙，不能连成一条连续的直线。同样道理，在 x 轴上也是如此。这样的图像呢，我们是想用笔画出来是万万不可能的。 起初人们只是认为哈像迪雷克雷函数这种病态函数只是一个思维的游戏，我们干嘛要理他呢？但是随后啊，随着越来越多的病态函数不断的涌现，人们不得不去重新思考这类函数的意义与性质。 此时的数学家们惊恐的发现，这类函数彻底颠覆了人们之前关于函数的那种直观的想象，他甚至是不可求定积分的。 那这究竟是怎么一回事呢？我们以零一闭区间为例子哈，我们来反思一下零慢积分的定义，它是一个极限的表达式，而我们在学极限的时候就知道哈，极限有可能是收敛的，也有可能是发散的。因为有理数和无理数是密密麻麻的 排列在实数轴上的，所以一个小区间，无论他多么的短，他里面都包含着无数多个有理数和无数多个无理数。那我们可以进行以下的这样个操作哈，第一种方法，每一个小区间段上呢，我们取无理点为高， 那么他就是零吧，对吧？这样算下来呢，每个小长方形的面积都是零，加在一起呢，也是零。第二种方法，每一个小段呢，我取有理数的值为高，那么就是一吗？那这样算出来呢，每个小长方形的面积就相当于小区间的长度，加在一起，那就等于零到一的长度，那就是一呀。 所以啊，就算你的区间段长度趋近于零，但是我们总可以找到一种办法，让他的取值等于零。同时呢，有另外一种办法，让他的取值等于一，那就相当于发赞成了两个数列吧。那这样一来呢，他的极限不也就不存在了吗？而 定积分就等于这个极限的，极限不存在，就说明定积分不存在。于是啊，人们就发现了一个不可求定积分的函数。从此啊，数学家们就不得不把函数分为两类，一类呢，可以求定积分，称为叫离慢可积。 另一类呢，则是不可以求定积分，就是离慢不可及。那迪雷克雷函数就是最典型的离慢不可及函数。 吉雷克雷函数的出现哈，不仅使人们重新认识到了函数这个概念的本质，同时还动摇了人们关于微积分的信心。既然有离曼不可及函数的存在，那我们这套理论不是白弄了吗？数学家们心头就蒙上了一层阴影，哈， 每当遭遇危机，便是英雄出世的年代，此时，我们的英雄诺贝格终于出场了。诺贝格一八七五年生于法国，一八九四年到一八九七年在巴黎高等 师范学校学习。相信熟悉法国科学史的人对这个名字一定不陌生，哈，他是法国最顶尖的大学，诞生了拉格朗日、拉普拉斯柯西弗里叶卡罗瓦、勒让德等一大批数学大师。 贝格一九零二年在巴黎大学获得博士学位，从此呢，在巴黎多所大学任教，一九二二年当选为巴黎科学院院士。 诺贝格最大的贡献，哈，便是改造了传统的定积分理论，提出了勒贝格测度和勒贝格积分，这以全新类型的积分，因其在历史上的巨大贡献，被人们誉为法国数学界第四个 l。 那 前三个 l 分别就是拉普拉斯、拉格朗日和勒让德。那我们来看一下诺贝格是如何解决传统微积分的困难的。诺贝格首先分析了像迪雷克雷函数这种病态函数 之所以离曼不可及的原因，他认为，哈问题的关键就在于迪雷克雷函数，他震荡的太剧烈了，不管你的德塔 x 取得多么小，总可以找到两个外的差值为一。这样一来，自然是离曼不可及的。于是啊，乐贝格天才般的转换了一下思路，我， 我们为什么要把这个图形竖着切成长条呢？那对于迪雷克雷函数而言，你无论竖着怎么切都是不可以的呀，那我们如果横着来切会是怎么样呢？比如说，可以看一下这个图形哈，对， 同一个图形，上面就是按照林曼的方法竖着切，而下面就是按照勒贝格的方法横着切，可以看出来，如果横着切的话，当小长条的个数无限多，换句话说哈，当每一个小长条无限扁的话，他们求和的极限也可以整于整个 图形的面积啊，这就是乐贝格积分的核心思想。那为了准确定义乐贝格积分，我们还需要知道一点乐贝格测度的知识。那所谓测度呢？ marry， 具体来讲就是几何图形范围的一种度量，比如说线段可以用长度来度量，平面图形呢，可以用面积来度量，立体图形呢，用体积来度量， 这些都是一些测度哈，对于直线上，也就数轴上一些简单图形的测度是非常好计算的，比如说 b 区间 ab， 他的测度呢，就是 b 减 a。 但对于一些复杂的图形哈，比如说 b 区间上所有的有理点所组成的这个数级，那他的测度计算就非常的困难了。而利用传统的测度计算方法来计算这个数级的测度，不是无法计算，就是计算出来会产生矛盾。而勒贝格呢，他另一个伟大的 创造便是提出了一套新的计算测度的方法，就是所谓的勒贝格测度。用勒贝格的方法啊，可以非常方便的计算出来 b 区间零一上所有的有利点组成的这个数级，他的测度为零， 于是啊，就可以大致的来说一下，一个函数 fx 在 b 区间 ab 上的勒贝格积分，他是如何定义的？ 首先找到 fx 在 b 区间 ab 上的值域，然后把值域分成很多小段，每一个小段对应着一个横的长条，这个长条的宽度其实就是他的了贝格侧度，再用它乘以这个小的高度，就可以得到小长条的面积，所有小长条的面积加在一起，再求极限， 如果极限存在，那么就称这个函数是勒贝格可基的，积分值就是极限值哈，否则就是勒贝格不可基的。这 就是大名鼎鼎的乐贝格积分理论。那么乐贝格的这套积分理论是否解决了迪雷克雷函数可击性的问题呢？是可以的，就是说迪雷克雷函数他确实是乐贝格可击的。我们来看一下，按照这种操作方法，我们先在外等于零的附近给他横着切一个长条， 对应的就是所有的无理数，其勒贝格测度为一。而在外等于一的附近横着切一个长条，他对应的就是所有的有理数，其勒贝格测度为零。 那底下那个长条呢？当高度趋近于无限小的时候，面积也就趋近于零了，上面的长条呢？因为有理数级的测度为零啊，因此面积值也是零。而介于零到一之间的部分哈，无论你怎么分割直遇，他对应的都是全体有理数的测度为零啊， 所以啊，面积也是零，总体算下来，他的极限值就是零。因此，迪雷克雷函数在零一币期间上是乐贝格可积的，并且积分值为零。 诺贝格自己就曾经对这种新的思想方法做过一个生动的比喻，假设桌子上放着三落硬币，我想数一数，一共有多少枚？那传统的方法呢，是一落一落的数，第一落数出来有十七枚，第二落有四枚，第三落有十枚，于是呢，总共就有三十一枚， 代表的其实就是弥漫积分。而勒贝格的方法呢，他是横着来给你一层一层的数哈，比如说，一到四层，每层呢有三枚，一共十二枚，五 五到十层，每层有两枚，一共也是十二枚。十一到十七层，每一层有一枚，一共有七枚，这样总下来呢，也是三十一枚哈，这个例子 非常漂亮的揭示了勒贝格积分的思想方法。那讲到这里啊，估计很多小伙伴就会垂头丧气了。原来在大学课堂上，那个虐我千百遍的高数，那个让我熬夜刷题，费了九牛二虎之力才勉强凑了一个及格的高数，在一百多年前就已经过时了。 我们辛辛苦苦啊，只学了一个过时的东西，其实也大可不必如此哈。因为数学家进一步研究发现，但凡离曼可积的函数，一定是勒贝格可积的，并且他的离曼积分值就等于勒贝格积分值。也就是说哈，离曼积分只是勒贝格积分的一个特例。 从这个角度上来讲呢，我们学习的离慢积分仍然是有意义的。那数学家还发现了另外一个非常惊人的结论，诺贝格可及函数是离慢可及函数的完倍化， ctrl max。 这句话比较难， 难以理解哈，需要知道一点关于范数的知识，那勒贝格柯基函数是离曼柯基函数的完美化， 大致钙的意思说的就是函数本身具有范数，函数与函数呢，也可以相加相减，相乘相除。由此呢，由函数组成的集合也是具有一定的内在结构的。而把所有的离曼可及的函数拿出来做成一个集合， 这个集合的内在结构是残缺的。但是啊，如果把勒贝格科技的函数也给你放进来，那么正好把这个缺口给堵上，那结构就是非常完备的。 这个结论呢，也深刻的揭示出了勒贝格积分与弥漫积分的内在联系。对于非数学专业的同学，比如说功课、经济学、管理科学等等哈，学习高等数学里面的弥漫积分就可以了。这是因为在自然科学领域和经济学领域，我们碰到的 函数基本都是连续函数，碰不到像迪雷克雷函数那样的病态函数，所以林曼积分的理论就完全足够了。而 对于数学专业的同学而言呢，诺贝格积分则是必须要学的内容。因为在数学研究中，数学家所说的积分通常默认指的就是乐贝格积分，这是由诺贝格积分相较于弥漫积分的优越性而决定的 了。积分理论就到此为止了吗？远远没有哈，随着数学理论的不断发展，数学家们又发现了更多的积分类型，比如说概率论中的林曼斯蒂尔斯积分 等等。哈，在微分几何和拓谱学中，还有更多更复杂的积分形式，那数学中呢，有着太多的奥秘等着我们去探索，去发现。

各位观众朋友大家好，这里是科学物理小知识，上一集我们讲述了在数学分析中起到基础作用的黎曼积分，同时也提到黎曼积分是有缺点的，比如黎曼可记的函数级不完备。这一集我们介绍在现代数学中的重要概念，勒贝格积分 与迪曼积分类似，而不同的是迪曼积分首先是将横轴做划分，乐贝格积分首先将纵轴做划分，然后将落在某一纵轴区间内的函数对应的横轴上的点击做长度或者体积或者更一般的测度做测量，然后将不同的这样的点击的测度 乘以函数的纵轴值求和，就得到了函数曲边梯形面积的近似，让纵轴划分越来越精细，就完成了积分。诺贝格积分首先遇到的问题在于与某一函数值对应的原 像点击的长度或面积或体积的测量。由于我们面对的点击不再是里面积分的区间，而这样的点击有一定的任意性， 就需要人们寻找出能对任意点击测量体积的方法。这一方面的考虑发展出了近代的测度论的内容。事实上，我们无法找到能度量任何的点击，且可测点击性质足够良好的测量方法。我们满足于被称为勒贝格可测级， 可以满足七个马代数性质的点击，并在此基础上建立乐贝格积分。乐贝格积分也不是完美的，但在操作上他能满足大多数现代数学应用的要求，具有足够好的性质。好了，这里是科学物理小知识，谢谢大家。

继任高斯碾压欧拉，数学天才迪丽克雷强的有点离谱。一八五五年，数学王子高斯去世，歌厅跟大学数学教授的职位空了出来，全世界的数学家们都想成为高斯的继任者，这代表了数学界的地位和无上荣耀。只不过这些人正头破血流，却一无所获。高斯的继任者注定只能属 一个人，这个人就是高斯最天才的学生迪丽克雷，只有他有足够的资格和天赋来继任高斯。说到迪丽克雷，可能很多人都没听， 但你肯定听过他的成名之战，那就是大名鼎鼎的废马大定理。自业于数学庄废马提出废马猜想之后，数学界都争先恐后的想要证明这个玩意，可惜的是，这个猜想从来都不是一般人有资格涉足的，只有欧拉这种级别的天才大神才能躬身入局。 不过即便是欧拉，也只是证明了当安等于三十飞马大典礼是成立的，然后就没有然后了，欧拉只能止步于此，直到迪丽克雷横空出世，一举证明了当安等于五十的飞马大典礼。当 说他年底十七岁而已，十七岁的少年竟能比肩欧拉，迪丽克雷想不出名都不行，最狂的是他还能更进一步，又给出了安等于十四时费马大帝里的证明，惊艳整个数学界，就连福利业都被这个不到二十岁的年轻人折服。迪丽克雷一战成名。一八三七年，迪丽克雷再一次 盯上了欧拉，当时欧拉正在研究贼塔函数，发现了数数与自然数之间的关系。但问题是欧拉根本给不出证明，这是还得是迪丽克雷，他好像生来就是要跟欧拉对着干似的，竟然破解了欧拉正不了的绝世难题，构造了迪丽克雷特征标和迪丽克雷 l 几， 也就是后来大名鼎鼎的迪丽克雷定理，开上了解析速论这一数学分支，被称为解析速论之父，开宗立派，霸天绝地。关于迪丽克雷这个伟大的数学传奇，给大家推荐一本神书七堂极简数学课。这本书给我带来非常大的震撼，没有比这更加逻辑清晰，有巨好读的数学科普书了。这本书从自然书到速论，从歌德巴克猜想到费马 怀尔斯，从欧式几何到几何学大成，从勾股定理到虚数及分析学，从数学公理体系到计算机数学。作者的文风幽默通俗，将枯燥的数学知识写成了普通人都能听懂的故事，非常生动，容易理解，强烈推荐此书。

师承高斯，收徒尼曼数学天才迪丽克雷我有一道任意门。迪丽克雷的名字很长，全称是彼得古撒夫乐乐娜迪丽克雷。他一个学生的名字更长，全称是格尔格弗雷德心里波恩哈德尼曼。是的，巧如尼曼都是迪丽克雷的学生。而迪丽克雷的老师更强，他不仅师从高斯， 还跟着富力乐学过一段时间。当高思与富力乐共同教导某个学生时，只要这个学生不是笨的无可救药，他就理应能够 在数学界大放异彩。迪丽克雷就是最好的例子，他对数学的很多分支做出过贡献，从速论到分析，再到这两门学科的结合，在解析数论领域中无人能出其右。而要说迪丽克雷最辉煌的战绩，当属任意一门。当时复利业如日中天，复利业极速大杀四方，无人不服。 于是富力业夸下海口，放言任何的函数都可以表示成富力业级数，但问题是，富力业根本给不出一个真正任意的任意函数。直到一 一八二九年，迪丽克雷横空出世，发表一篇旷世论文，名为论三角级数的收敛性，这种级数表示一个介于已知界限之间的任意函数。借着这个任意函数，迪丽克雷不仅证明了复利业的伟大，更是正否了科西积分。最最重要的是，他还启发了弥漫积分，承上启下，无可挑剔。

人类天才数学家的故事二十三迪丽克雷迪丽克雷是德国数学家，一八零五年二月十三日生于涤纶，一八五九年五月五日足于戈亭根。迪丽克雷出生于一个具有法兰西血统的家庭，自幼喜欢数学，在年少时将零用钱积攒起来买数学书阅读。 中学毕业后，父母希望他学习法律，但迪丽克雷却决心攻读数学。他先在涤纶学习，后到戈亭根受业于高姿。一八二年到一八二七年间旅居巴黎当家庭教师。 在此期间，他参加了以傅里业为首的青年数学家小组的活动，深受傅里业学术思想的影响。一八二七年在波兰布雷斯拉大学任讲时， 一八二九年任柏林大学讲师，一八三九年升为教授，一八五五年被歌亭根大学聘任为教授，直至逝世。一八三一年，他被选为普鲁士科学院院士。一八五五年被选为英国皇家学会会员。一八二二年五月，迪丽克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和 巴黎理学院攻读，期间因患轻度天花，影响了听课，幸好时间不长。一八二三年下，他被选中担任法医将军的孩子们的家庭教师。法医是拿破仑时代的英雄，时任国民议会反对派的领袖。迪丽克雷担任此职，不仅收入颇丰，而且受到是儒家人的善待，还结识了许多法国知识界的名流。 其中他对数学家复利业尤为尊敬，受其在三角级数和数学物理方面研究的影响颇深。另一方面，迪丽克雷从未放弃对高斯一八零一年出版的数论名著算术研究的钻研。据传他即使在旅途中也总是随身携带测试， 形影不离。当时还没有其他数学家能完全理解高斯的这部书。迪丽克雷是第一位真正掌握其精髓的人。可以说，高斯和复利业是对迪丽克雷学术研究影响最大的两位数学前辈。一八二五年，迪丽克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文某些五字不定方程的不可解。他利用代数数论方法讨论形入 x 五加 y 五等于 x 五的 几周后，雷让德利用该文中的方法证明了当安等于五十无整数结。迪丽克雷本人不久也独立证明出同一结论。一八二五年十一月，法医将军去世。一八二六年，迪丽克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的亚历山大冯鸿宝的影响下 返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格。他在法国为攻读博士学位，而尤克隆大学授予他荣誉博士头衔，这是获得讲师资格的必要条件。后升任编外教授。一八二八年，迪丽克雷又经红宝的帮助来到学术空气较浓后的柏林， 任教于柏林军事学院。同年，他又被聘为柏林大学编麦教授，后升为正式教授，开始了他在柏林长达二十七年的教学与研究生涯。由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，谆谆善幼，培养了一批优秀数学， 对德国在十九世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响。一八三一年，迪丽克雷成为柏林科学院院士。同年，他和哲学家摩西门德尔松 外孙女力贝卡门德尔松巴托尔特结婚。一八五五年，高斯去世，迪丽克雷被选定作为高斯的继任，到歌亭根大学任教。与在柏林玩众的教学任务相比，他很欣赏在歌亭根有更多自由支配的时间从事研究，这一时期主要从事一班力学的研究。可惜好景不长， 一八五八年下，他去瑞士蒙特乐开会，做纪念高斯的演讲，在那里突发心脏病。迪丽克雷虽平安返回了戈亭根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于一八五九年春遇事长辞。 迪丽克雷在数学和力学两个领域都做出了名垂史册的重大贡献，有以分析数论、卫士论为罪。挪威著名数学家阿贝尔说，迪丽克雷是一位极有洞察力的数学家。

上节课我们已经认识了这个人是谁，他是牛顿一生的死敌啊，叫莱布尼茨。然后莱布尼茨呢，收了一个徒弟，叫做约翰伯努利。伯努利收了一个学生，就是著名的欧拉，欧拉在他那个年代是无敌的，没有对手。然后 后欧拉收了一个学生，叫做拉格朗日。大家看过三题吧，就是那个拉格朗日点的拉格朗日，拉格朗日收了柯西，不等式的那个柯西，柯西收了高斯，求和的高斯， 高斯有个徒弟，就是迪丽克雷函数的迪丽克雷。迪丽克雷收了一个学生，也就是弥漫几何的弥漫，弥漫几何最终成就了爱因斯坦的相对论。什么叫传承？这就叫传承。不得不说，莱布尼茨的这一针太牛叉了。

哈喽，大家好，我是马丁老师。上个视频呢，我给大家介绍了历史上著名的迪雷克雷函数，就是这个函数啊，我们还分析了它可以写成另外一种类似极限的形式。那在 视频结尾的地方呢，我给大家稍微介绍了一下，就是当初为什么迪雷克雷他要发明这样一个函数，他就是想举一个例子啊，来说明函数他不一定都有表达式。那 底下评论就有人说了，哎，队长，不对呀，你这个视频不就是介绍这个迪雷克雷函数，他可以写成这样一个类似极限的形式吗？那这个不就是他的表达式吗？为什么你又说他没有表达式呢？今天呢，就给大家介绍一下，因为这里边确实有一些深刻的数学理论在里面。首先，当我们说一个函数具有表达式是什么意思呢？一般 来说啊，就是指这个函数，它是一个初等函数。那什么叫初等函数呢？要弄清这个概念啊，就必须先弄清楚一个更原始的概念，叫做基本初等函数。注意啊，我多加了一个 形容词，叫做基本。所谓的基本初等函数，很简单啊，就是指如下的五大类函数。什么呢？密函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。这些 还是我们都是在高中课本上学过的哈。而若干个基本出的函数之间呢，我们又可以对其进行加减乘除四个运算。比如说这个函数啊，它就是一个三角函数，乘以一个对手函数。再比如说，这个函数，它就是一个咪函数，减去一个指数函数，再除以一个反三角函数等 等等等等哈。那除此之外呢？两个函数之间还可以进行复合运算。比如说 f x 等于丧引 x， g， x 等于 x 三次方，那么 f 复合 g 就是算 x 三次方 g 负和 f 就是算以三次方 x， 这个就 所谓的函数之间的复合哈。那么若干个基本初等函数和常数进行有限字加减、乘除和复合应算所得到的具有单一解析式的函数，称为初等函数。那什么叫 单一解析式呢？就是排除掉分段函数的情况哈。我们在高等数学中遇到的大部分函数啊，都是初等函数。而迪雷克雷函数呢，显然就不是初等函数了。因为它不管是哪个形式上，都明显不符合初等函数的定义。所以 可以在这个意义上讲哈。我们说迪雷克雷函数是一个没有表达式的函数，我相信啊。有人会再次发出质疑说哎，这也不对啊，你只是说了迪雷克雷函数他的这两种表示方式，他不满足初等函数的定义，那没准迪雷克雷函数还有其他的表示方式呢。那没准其他的表示方式他就满足出等函数的定义了呢。只不 如果目前我们还不知道或者没有发现而已啊。你怎么就敢确定他一定不是呢？哎，我告诉你啊，我就是敢这么确定，我敢确定，无论你迪丽克莱函数有什么样的表示方式，他都绝对不可能是一个初等函数。为什么呢？因为数学家们已经证明了，所有的初等函数在其各自的定义上一定是 是连续的。而迪雷克雷函数呢，明显是一个不连续的函数，所以说他绝对不可能成为一个初等函数。这块再说一下，他不仅是不连续的，甚至是处处不连续。这样的函数是非常罕见的。所以 我们也管迪丽克雷函数叫做病态函数，不是初等函数函数，我们称之为叫飞出等函数。而迪丽克雷函数呢，就是一个最简单最典型的 的一个非处等函数。另外还有一些著名的非处等函数啊，比如黎曼函数、康普洱函数、维尔斯特拉斯函数等等哈，如果有机会的话，我再给大家介绍。那问题就来了，为什么数学家们要提出这么多非处等函数呢？除了构造各种奇奇怪怪的反应之外啊，更重要的是，非 非除等函数的数量要远远远远远远多于初等函数的数量，这个是可以利用无穷基数的理论来证明的。那又有问题了，队长总是喜欢问各种各样的问题，当然，主要是替大家问的就是，既然非除等函数的个数远远多于初等函数 四个数，那为什么我们在学习中、考试中、作业中很少碰到非除等函数呢？其实原因也非常简单，就是非除等函数，他没有一个明确的或者一个良好的表达式啊，所以我们就很难去研究他呀。你 初等函数的话，他有具体的表达式，所以我们可以求导啊，算计分啊等等。那非处等函数，他连表达式都没有，那我们怎么去研究他呢？对吧？所以说我们一般就不去碰他们了，我们 直会在数学专业里边对他们进行一些定性的分析哈。而非数学专业的同学们就很少碰到非除等函数哈。但最后我想说一句啊，正如同物理学中的暗物质一样，其实非除等函数才是我们宇宙的真相。

最近呢，有同学问到了函数图像的问题啊，说有一些奇怪的函数图像他想象不出来，今天呢，正好就借助电脑这个工具来给大家画一画。对于一些比较规则的函数，他的图像呢，其实是可以想象出来的。那那些想象不出来的图像，主要就是震荡型的函数哈， 那最简单的震荡型函数就是三角函数，先给大家简单的画一画，比如说 y 等于上一 x a， 这个很明显，对吧？ 但是散演 s 这个图像，他是当 x 网无穷远处，他是无限震荡的。那我们也学过间断点中有一类非常特殊的点，叫做震荡间断点，震荡间断点呢，他不是在无穷远处，而是在某一点处震荡， 那咱某一点出这那的图形，他长什么样子呢？有一个最简单的例子，就是把 x 给你改成 x 分之一， 哎，比如说就是这个样子啊，这个函数呢，他就是在零点处震荡，我们可以简单的分析一下他为什么在零点处震荡，因为上瘾，这个函数他是由无数多个波峰波谷组成的。 然后对于这个函数而言呢，当 x 往零来走的时候， x 分之一是往无穷大来走，所以他就会造成无数多个波风波股在零附近给你来回震荡。所以他产生的效果就是，当 x 往零来走的时候，他是有无数多个波风波股，也就是说把这无数多个波风波股呢，给你压缩到零这一点的附近了。 我们可以看一下他的图像，表面上看起来呢，好像平平无奇，是吧？但是当我们给他放大之后啊，尤其是零这一点，我们仔细观察，你就会发现他是有无数多次给你上上下下来回震荡，已经密到无法分清楚的程度了， 给他放大一点啊，对吧？就是说大家通过这个图啊，就可以大概感受一下什么叫在一点处震荡。这个三亚 s 分之一就是一个最典型的一点处震荡的函数， 当然我们还可以把这些函数给你改造一下，比如我们还拿散引 x 举例子，我前边呢，还可以把他的正符变一变，我随便乘以一个二，那他的正符就变成了二，但是如果我跟你乘以一个变化的 x， 于是呢，他就呈现出这种效果哈，因为现在 x 是他的正服，而你 x 他是可以无限增大的，所以说当 x 走向无穷的时候，他的正服也是越来越大，并且走向无穷，他换来的图形呢，就长成这种效果。 那我们也可以把一点出震荡也给他做一个改造，比如我还是把图形 改成赛引 x 分之一，然后前面呢，我也给你乘以一个镇服哈，比如说我们就乘以一个 x 吧，那我们知道当 x 屈居零的时候，他这镇服也是屈居于零的，所以就呈现出一种向零来走，并且呢无限震荡，镇服越来越小，最终屈居于零这样一种效果，对吧？ 当我们除了让他最终这个正服去去领，我还可以让他正服越来越大呀，比如说我把前面这个系数给你改成 x 分之一，哎，这个样子啊，大家看起来就比刚才那个就奇怪的多了， 他在零点处是要震荡到无穷大的，但这个效果呢，看起来不是很好啊，我把它压缩一下吧，比如说我给你乘以一个零点零一哈，咱试试。哎，这样的话，他这个效果就出来了，对吧？就是在零点处啊，他要震荡到无穷。好了，刚才呢，就是几个 比较奇怪的函数图形，但是这几个图形啊，仍然还不够奇怪，因为还有比他们更奇怪的。我们都学过一个著名的函数，叫做迪雷克雷函数，当 x 是有理数时，取之为一， x 是无理数时，取之为零。那这个函数的图像他长什么样子呢？ 注意啊，这个函数的图像你是不可能用笔画出来的，因为有理数和无理数，他们都是密密麻麻的分布在实数轴上， 用一个专业的词语叫做稠密性。有理数和无理数在十数轴上都是满足稠密性的，那满足稠密性的集合也就相当于你这无数多个一给你密密麻麻的挤在一起，无数多个零呢，也是密密麻麻的挤在一起，所以说，你不可能用笔把他们给一个一个点出来。 所以迪雷克雷函数的图像你是不能画出来的。但注意啊，我说的只是不能画出来，而不是说这个函数不存在图像， 他理论中是存在图像的。也就是说哈，有一些函数，他的图像虽然是存在的，但是呢，我们不能用笔给他画出来。 那有没有函数他不存在图像呢？当我们这里来界定一下，我们这里讲的函数就是指普通的一元十函数哈，那有没有不存在图像的函数呢？告诉大家哈，没有，就是任何一个函数都是存在图像的，因为在数学上，我们可以做如下定义， 设 fx 是定义在地上的一个函数，那么我们就把这个集合 xfx 就是由 x 以及它的函数值组成的这样一个有序对， 然后所有的这些在丁英玉之内的有序对，他组成的这个大的集合称之为这个函数的图像。所以说只要有函数他就有图像，无非就是这个函数的图像很奇葩，很特别，你画不出来而已。但是存在肯定是存在的哈， 其实我们对他的研究是非常深入的，比如说在范函分析里边有著名的 b 图像定理，是范函分析的四大基础定理之一，研究起来呢也是深不见底的。

各位同学大家好，我是刚老师，咱们本节课来学习一下微积分基本定理，那么它又叫做牛顿来不宁次公式。 在咱们之前啊，已经学了导函数以及定积分的相关概念，我们发现有些函数的定积分用概念来求还是可以求的出来， 但是呢，部分函数啊，再用他的概念来求的话，是比较难求的，甚至呢，还有求不出来的情况。那么这个时候啊，我们就得考虑有没有更方便更快捷的方法来求一个函数的定积分呢？咱们今天所说这个内容啊，就是为了求一个函数的定积分的，所以啊，在这之前，我们务必要学习到 导函数的概念以及定积分的相关概念。那么有关导函数以及定积分的概念啊，在之前的视频里面已经有做过讲解，那么有不懂的同学可以翻看我之前做的视频。好，我们来看一下这个定理。 我们有个函数，大 fx 提完岛之后呢，变成了小 fx， 所以呢，小 fx 就是大 fx 的导函数，那么反过来呢，大 fx 是小 fx 的原函数， 并且呢，小 fx 一定要在 ab 这个圈上连续才可以。那么我们假定啊，我们知道小 fx， 但是呢，我们要求个东西，要求大 fb 减去个大 f a， 这个时候应该怎么求呢？好，我们先来画个图。好，我们结合图像来看一下大 f 和秀 f 之间的一些联系。我们假定 fx 图像如图，那么求的东西， f b 减肥不就是 b 点处的纵坐标，减去个 a 点处的纵坐标，那也就是说这个长就是咱们所求的东西，我们把它继承德尔塔外，那么我们用另一种方式把这个德尔塔外给他求出来， 那么这个方法呀，跟咱们求定积分的这个方法有点类似，也是分的是四步，但是呢具体的过程啊，跟咱们求定积分的过程还是有所不同的，注意观察好，我们来看一下有哪几步。第一步， 第一步我们用 n 减一个点，将这个 ab 区间给他等分， 分成 n 范，那么每一范的距离不就是 n 分之 b 减 a 吗？那么第一点就是 x 零，第二点就是 x 一，第三个点呢就是 x 二，那么最后一点就是 x n， 那么等分完之后啊，我们还是过这些点做一下 x 图的垂线。 那么做完抽烟之后啊，我们看一下第 xi 区间，也就是说从 xi 进一到 xl 这个区间，那么在这个小区间上外的变化量怎么体现呢？小区间上呀，这点长就是他的外的变化量，那么这个图案有点小，我们把它局部放大一下。 好，我们来观察一下在 dx 区域上它的外的变化量 多少，那么在这里啊，也就是他的动作标减去一个他的动作标，那么不就是这点长度吗？我把它记成第二他外癌，那么把他局部放大之后啊，就是 这点高度，然后呢，我们过这个点做一个曲线的切线，那我们得到一个三角形，我们看这个长，我们把这个长啊继承是第二套 y i 片，那么现在来看啊，他俩的这个值啊，还是不相等，但是呢，当咱们把这个区间无 线的等分，也就是等分成无群大范之后啊，也就说这个距离要无穷的缩小，当他缩小到一定程度的时候，他们两者的这个值啊，几乎就是相等的。那么这就是咱们的第二步，叫做进四替代。 我们先让这个德尔塔 y i 啊进四等于德尔塔 y i p， 那目前他是不相等的，我们看一下德尔塔 y i p 又怎么求？我们发现他是一个三角形的一条直角边，这点长啊， 不就是德尔塔 x 吗？他是德尔塔 x， 那么他们之间有一个比例，这个比例不就恰好是啊这个角的正切直吗？哎，我发现这个角的正切啊，不就是这条切线的斜律吗？ 所以他们之一个关系是，那么德尔特外片就等于 k 成一个德尔塔 x， 他们怎么来的呢？我们发现对边比零边等于角的正切就等于 k， 那么对边就等于 k 成一个零边， 然而这个 k 啊，又是啊，这个点处的切线的斜率，也就是说这个点处的倒函数，那么他就等于 f x i 减 一片德尔塔 x。 第三步求和，我们把每个区间上的这个德尔塔 y i。 片给他求和。我们继承人士啊，德尔塔外片， 那么这个德尔塔外撇就等于德尔塔外一加德尔塔外二，一直加到德尔塔外。恩，我们给他用求和符号表示，那么他又可以写成， 那么他就可以写成他，因为德尔投外挨片就等于他，我们给他求和。好，紧接着是第四步，叫做求极限，那么我们所求这个德 外，本来一个是静思等于德尔特外片，那么如何让他们相等呢？我们只需要给这个德尔特外片啊曲极线，让这个区间的距离无限的缩小成零 的时候，那么第二头外挨撇就等于了第二头外挨，那么他的和也就是上等了。这个时候我们再看一下这个东西又是什么，那么这个时候啊，第二头外就等于了给这个式子曲奇线 让这个德尔塔 x 啊无限的接近于零。哎，我发现这是 f p r， 那么大 f 的导航数不就恰好等于小 f 吗？所以大 f p x i 仅一，就是啊，小 fx i 减一啊，把它换掉。 好，我们换完之后就变成他了。哎，我发现这个东西啊，不就是一个函数的定积分吗？他不就是需要 fx 在一个区间上的定积分吗？我们根据定义 知这个东西就是小 fx 在 a b 区间上的定积分，那么他又等于 doty， doty 不就是 fb 减 f a 吗？哎，所以我们正出大 fb 减大 f a 就是小 fx 在 a b 区间上的定积分， 那么这个式子啊，就叫做微积分的基本定理，我们又叫做牛顿莱布尼子公式，为了方便表示啊，我们把大 fb 减去个大 f a， 可以写成，我们可以写成这个形式， 他就等于 fb。 简爱妃，好，以上啊，就是咱们这节课的所有的内容。

用人话啊，让你听懂啥是狼道膝盖零点猜想。那么张玉堂到底有没有解决这个问题，科普这个问题啊，对我这个学理工的确实有点困难，毕竟这是非常非常专业的数学知识，但我相信我可以让你听懂啊，这到底是咋回事？好，那下面我们开始啊， 要想了解啊，最近到底发生了啥事，必须从弥漫猜想说起。弥漫猜想其实就是一句话，弥漫塞纳函数的所有非平凡零点都处在十步等于二分之一的一个轴上。 好，不要着急啊，这句话很明显啊，不是人话。那为了搞懂这句话，我们又要说到欧拉啊，曾经研究过的一个极速求和，最简单的一个例子就是， 一加二分之一，加三分之一，加四分之一，加加加到 n 分之一，那么这个结果他最后是收敛，开始发散，很明显他会发散到无穷大，这个非常好证明啊，那么这个技术呢？ 一加二的平方分之一，加三的平方分之一，加四的平方分之一，加加七加到 n 的平方分之一，它的结果是发散还是收敛啊？由于现在密色变成了平方以后，它的后面的每一个像变小的会越来越快，所以它的结果会收敛到某一个确定的值，这个值经过计算啊，是六分之派的平方， 其实只要这个密次是大于一的啊，这个级数都是收敛的，你怎么就可以构建一个这样的函数？ fx 等于一的 x 次方分之一，加上爱的 x 方分之一，加上三的 x 次方分之一，加加加加到 n s 次方分之一啊。 这个函数在 x 大于一的时候都是瘦脸的，当然 x 属于啊，哎，意思就是它是一个实数，这就是欧拉级数。那么这个欧拉级数和林曼 z 的函数之间到底有啥关系？那首先，在 z 的 s 这个函数当中， s 可跟 x 不一样， s 它是一个负数， s 等于七个码加 at， 这是离曼把 fx 这个函数的定域啊扩展到了负平面内，可以写成 z 的 s 啊，等于一的 s 次方分之一，加上二的 s 次方分之一，加上三的 s 次方分之一，加加加加到 ns 次方分之一。 虽然 s 啊现在是一个负数，但它依然有一个范围， a s 大于一， s 属于 c， 意思就是 s 的十步大于一， s 属于负数。 那么花在负平面空间里啊，就是这样的，横坐标是西个码，竖坐标是 t， 当西个码大于一的时候， z 他 s 是收敛的，也就是说 z 他 s 指在这条横杠的左边，是有意义的。 好，那接下来黎曼又干了一件非常非常重要的事情，对 ztas 进行了解析研拓。你可以理解成把 zts 的定义与范围啊进行 扩展。刚才我们说了， zts 只在 c 个码大于一的时候才有意义。那么现在经过解析研拓以后，只要啊一 s 不等于一 s 属于 c 啊，那么 zts 在整个副平面内都是有意义的。当然，解析研拓以后的 zts 就变成了另外一种表达式啊，他长这个样子， 这个东西啊，不是一般人能看懂的啊。不过我们不用管他是啥，只是要知道，他就是所谓的里满载他函数啊，当 s 大于 s 属于 r 的时候，里满载他函数就是欧拉奇数。 当你把欧拉级数扩展到负平面内，并得进行解析研拓以后，就会变成离麦子界的函数，这个函数在负平面内，除了十步一这个点以外啊，都是有意义的。那么现在我们就可以解释这句话了，离麦子界的函数的所有非平凡零点都位于十步等于二分之一的一个轴上。 好，我们先说啥是黎曼 ca 函数的零点，这个其实很好理解，就是当黎曼 ca 函数等于零的时候，这个 s 他等于多少？ 其中有一些值啊，非常好计算，比如 s 等于负的 i， n 啊， n 等于一二三四等等这些值的时候，你把这个 s 所对应的值啊带进里面，最少含出一算，结果就是零。 黎曼认为这很简单，所以叫平凡零点。但黎曼他觉得有一些零点他不简单，而他肯定也存在，所以叫非平凡零点。 他猜测这些非平凡零点都处在 s 等于二分之一加 it 的上面，其中二分之一就是这个负数的十步，画在负平面上就是十步等于二分之一的一个轴上，那么他的虚部到底是多少？不知道啊，总之，非平凡零点都处在这根轴上，这就是弥漫猜想啊，这是弥漫的一个假设，对吧？那么 这么多年来，数学家想证明的就是黎曼说的这个假设就是这个东西啊，弄了这么长时间啊，都没有结果，最后还搞出来了一个广义黎曼猜想，他就是迪丽克雷 l 函数啊，他长这个样子，其中这个像 x 这个东西啊，他读概。当凯恩这个函数等于一的时候，这就是普通的黎曼猜想啊，所以说 迪丽克雷 l 函数是黎曼 c 的函数的一个推广，那么他也有一个相应的猜想，他的非凡零点也处在十部 i es 等于 i 分之一的这个轴上，这个猜想就是广义黎曼猜想。那么啥是朗道膝盖零点？ 一帮数学家在研究的这个迪丽科雷 l 函数的时候，就发现可能会存在一个零点啊，位于这个一的附近啊，就这个一的这个位置，比如说不是所有的零点啊，都处在二分之一的这个轴上啊，这个零点就是朗道膝盖零点， 那么朗道膝盖零点猜想说的是在这个区间内啊，不存在这个零点，那么所有的数学家都相信广义黎曼猜想是正确的，因此朗道膝盖零点的猜想也是正确的，不存在这个零点，但是你必须给出证明啊，证明在这个区间内没有零点，这就是张一堂的工作， 那么他有没有解决这个问题呢？这个就是张玉堂的结果啊，可以看出朗到膝盖零点猜想是负一啊，他这里是负的二零二四， 所以这还是有差距的啊，他想要确定的证明朗道膝盖零点猜想的话，他这里必须变成复印，但是这个过程啊，是非常非常困难的，因此张玉堂并没有证明朗道膝盖零点猜想，他的结论并没有告诉我们这个零点他到底是存在还是不存在，他只是把这个工作啊向前推进了一大步， 但这也是一个非常了不起的成就啊，好，这就是所谓的朗道膝盖零点拆墙的这个问题啊，不知道有没有听懂。

考试可不是现场发挥，像这种迪丽克雷函数的性质呢，你看一眼就应该把它记住了。你看这是四个，那么它的图像性质呢，叫做客观存在，但是无法画出结束了啊，定律应该是什么？而 直域呢？要说明一下啊，这里的直域是要么零，要么一，只有这两个数啊，不是这样的一个区间。好，那 c 选项也很简单啊，你看 fx 要么是一，要么是零嘛，那就 意味着里面的资本量要么是一，要么是零，你看这里是不是要么一，要么零啊？那 f 一应该等于几？ f 零等于几？那括号内的一跟零都是有理数，所以输出一定都是一嘛，所以这里改成一就对了，并且这里呢，可以改成任意啊。 好，下一个呢，你看括号内的资本量拿出来，你看，首先 f 括号的等式关系加对称减周期，一定是对称或者周期其中一种嘛，如何判断对称还是周期呢？括号内的资本量拿 出来发现怎么样能得到一个长数，是不是相减啊？加对称减周期相减得到一个长数，周期性问题。接下来 f 跟 f 相等，意味着周期，周期呢，就是这里的长数 t。 好，你看他说了他的呃，任意一个周期都是多少都是有理数 t， 并且非零啊，你看，满足结束啦，是不是很快就能把它记住啊？