反三角函数有界性

r 和口肾呢？余弦直等于 x 的时候，所对应的那个角就是这个函数值，所以反含反三角函数就是知道了三角值去把角给表示出来啊。那么对于口肾，我们刚才介绍的它的基本区间是 零到派，零到派，所以这个地方的 x 代表的是口算直的取之范围，那么他就必须也是负一到一的 b 区间， 而求出来的这个东西是角啊，基本范围是领导派啊，所以你求出来的这个值就是在领导派之间的 啊，这就是反余，且函数余弦直是 x 的 角，就是这个 y， 所以这个东西呢，就是你习惯了给你一个角，你去算值，给另一个角去算值，现在呢，你要把这个习惯反过来给你一个值，你要把角表示出来，这样也是一种函数关系，对吧？这种函数关系需要反三角。

大家好，我们一起来看一下这道题。已知三英阿尔法加考三英阿尔法等于负一。求三英阿尔法的二零二一四方加上口三英阿法二零二一四方的值的集合是多少啊？给出四个选项。 很多同学一开那个题的时候有点懵，求这个三角函数的值可能比较容易理解，那么求值的集合，其实我们前面说过，很多题目的答案在题目当中都已经给出来了啊， 那么我们观察四个选项就知道，这道题肯定是利用三角函数的有界性来解题。那么根据这个题目给出的已知条件，我们能得出三一阿法等于多少，口三一阿法等于多少。 这个题其实就是三亚二法，口三亚法取特殊值。很多同学想，如果是利用辅助角公式来做的话，那么这个题基本上是无解的，那我们看他一定是利用三角函数的有界性。那么 三亚法口三亚法取特殊值的时候，题目在答案当中已经给出了他的特殊值。那我们看这个题如何解。 那么给出的是三页阿尔法加扣三页阿尔法等于负一啊。给出这样一个式子，那我们将那个式子两边同时平方，还是利用他的横等式，三页阿尔法的平方加口三页阿尔法的平方等于一。利用这个横等式来解题， 将给出的等式两边同时平方，就是三以阿尔法平方加上两倍的三以阿尔法扣三以阿尔法加上口三以阿尔法的平方等于一。那么其实就推出两倍的三以阿尔法扣三以阿尔法等于零。 那么我们将这个式子作为二式的话，将一式和二式连立就是解一个二元一次方程组。那么很容易求的这个二元一次方程的解其实就是三样 阿尔法等于负，一口三叶阿尔法等于零。这是第一种情况。或者三叶阿尔法等于零，口三叶阿尔法等于负一，就只有这两种情况。 那么我们将这两种情况分别带入这个要求的这个柿子。三叶阿尔法的二零二一四方加上口三叶阿尔法的二零二一四方，当三叶阿尔法取负一的时候，那么在前面负一的二零二一四方还是等于负一口三叶阿尔法等于零， 当三页阿尔法等于零，后三页阿尔法等于负一的时候，在二零二一四方也是等于负一。所以这个三角函数是他横等于负一啊。就是这种情况 就只能取一个值就负一，所以它的值的集合就是 c 啊。那么这个题到这就解完了，是利用三角函数的有界性求三角函数值的一个常用。那么这个题我 刚才说了，最唬人的就是集合这两个字，很多同学看的有点绕，其实从答案当中很容易的知道，这个题就是利用三角函数取特殊值求他的这个三角函数是的取值情况。这个题要讲到这里，关注我，做更少的题，提更多的分。

反三角函数的意思也就是把原来给定一个 c 的角，你去求他的正线值，求出来是 y， 现在呢，告诉你了，挣钱只是外让你去求这个角，那么这个角是多少呢？跟刚才我们所说那个对数关系是一样的，对吧？你要说三 c 等于一，你问我这个 c 他等于谁？我好给你回答， 这个 c 他等于二分之派加二太派，是吧？或者说就在这个一个单调区间，一个区间里边，在零到二派这么一个周期里边，他就是二分之派分 c， 他等于二分之一呢？ 那我就说有一个角是六分之派，没问题，是吧？六分之五派也没问题，可是你要问我三 c 的等于三分之一，这个角是多少，那我就不知道了，因为他不是特殊角，就不好说了，对吧？你写不出来，那你就用符号表示。所以呢，我们现在就直接这样， 当一个三角函数值一值，并且不是特殊值的时候，我们要想根据值去求角的话，我们用一个符号表示，那就是二克三三分之一就是你要求的那个角 c， 他 什么意思呢？这个啊，可表示的是角，这就说明这个函数的值是角度， 而且是小写的 a 开头的啊，可表示的是这个角的主要值。什么叫主要值啊？不算周期性的，比如说三 c 他等于一， 那这个 c 他就是二分之派，至于二分之派再加二派减二派的那些角都行，是吧？不管了，不要了，那些不是主要的，最主要的就是二分之派，有了这一个角以后，我就可以把其他的都写出来。

嘿，大家好，数学是思维体操，我是考研数学杰哥。反三角函数的欠套一直以来是很多学生学习的疑惑点，好多同学搞不清楚三引二克三引 x 等于多少，以及二克三引三引 x 等于多少？很多同学会误认为二克三引三引 x 呢，直接等于 x， 其实很容易知道这是错误的，因为 a x 三以三 e x 很明显是周期函数，以二派为周期，但是 x 呢，并不是周期函数，所以显然不相等。 好不容易搞懂了三引二克三引 x 等于多少，以及二克三引三引 x 等于多少？我们 cosine 二克 cosine x 以及二克 cosine cosine x 又等于多少呢？又不知道啊。然后呢，二克 tangent tangent x 以及 tangent act tangent x 又等于多少呢？直接很多同学就一脸懵逼，被我说中， 同学呢，可以在弹幕上扣个一，大家看视频学知识，多跟杰哥互动互动啊，你们都是我的弟子，虽然不会见面，但是希望我的课程对大家有用，今天我就用一节课的时间教会你直接把阿克三以三以 x， 阿克扣三以扣三 x 以及阿克 tangent x 图像给画出来， 我让你知道，不论 x 取什么，你都能够把它解出来。那我们系好安全带，安全发车上课。 好，我们一起来上课，反三角函数欠套，一个视频帮你永久解决啊！听完我这节课呢，可以直接超神 反三角二千套，是很多题目的设计的一些细节啊，由于很多颜宝呢，呃，在课程中没有专门学习过此细节，所以在做题过程中会理所当然的认为某一些错误的结论啊，所以说很多时候呢，很多同学会问， 今天呢，我希望把这个问题呢给终结掉啊，这个课呢，适合所有学习数学的考研学生，我们首先要知道以下几个常识，首先第一个， saying 二和 saying cosine 二和 cosine tender act tender 永远都等，都等于 x， 横等。 接着我们再说 ak 三以三以 x， ak cosin cosin x， ak tangen tangenex 啊，就把他俩的位置换一下，他俩位置换一下，他俩位置换一下就不等了。很容易理解， 这三个函数全部都是周期函数，而我们的 x 并不是周期函数，所以你要画等号是不可能的，对不对？这是第一个。第二个就是我们 y 等于三， x 在 x 属于负二分之派到正二分之派上的反函数是 x 等于 x， 以 y。 好，我们现在呢，我们看一下， y 等于 x， y 等于三 e， x 啊，这是咱们 y 等于三 e， x， x 属于 r， 那 y 等于三 x， x 属于 r 的过程中，它不是一个单调函数， 它不是一个单调函数，就会导致一个 y， k 对应很多个 x， 所以 y 等于 c， x， x 属于，而这个呢，它是无法函数的。 好，现在我只需要做一个改变，我让 x 呢属于负二分之派到正二分之派， 也就是说，我现在选取这么一小节，我们知道 y 等于三， x 在负二分之派到正二分之派上，它是单调的， 单调递增的，一个 x 对应一个 y， 一个 y 对应一个 x， 所以这个情况下呢，它的反函数是 x 等于 r， c， c， y 啊，这个呢，是咱们这个数学家规定的啊。好，紧接着 我们再说，如果说呢，我想要知道，我想要知道， y 等于三 x， x 属于二分之派到二分之三派上的 反函数，怎么去求呢？你看，我们这一段也是单调的呀，所以它理音是存在反函数的，怎么去求？各位注意，我们呢，可以通过 x 等于 a x n y 去求，我现在画一条线，这就是 y 等于 y。 好，各位注意，当有了 y 之后，这个 x 呢，横坐标就是 a x n 以 y， 对吧？好，那我们来看这一点啊，这一点的横坐标，它实际上就是派减 ac 三引派， 为什么呢？因为这两点呢？关于直线 x 等于二分之派对称，所以它们的坐标之和除以二，应该是等于二分之派的。你看，派减 x 三于 y， 加上 x 三于 y 除以二，正好是我们的二分之派。 好，那也就是说它的反函数实际上是谁？是 x 等于派减 act 散以外， 对吧？当然，我们的 y 呢，全都是属于负一到一的，这个毋庸置疑。所以你会发现我们三 e x 呢，它在不同的 单调区间内，它的反函数呢，长相是不一样的。好，那比如说我们这一段，我再画一段这一段， 哎，这一段的是三 x 呢？在二分之三派到二分之五派啊，比如说 y 等于 三 e x， 当 x 属于二分之三派到二分之五派的时候，它的反应是什么呢？它实际上是二派加一个 r c c y。 有同学说，为什么呢？你看这个点和这个点，相当于 他挪了一个二派到这了，对不对？好，我只要知道这一点，坐标是 x 三以外呢？我加个二派，就知道这一点的坐标，横坐横坐标就是 xa， 二派加一个 x 以外， 对吧？好的，那么我们先把这个第二个给记住啊，这个是比较重要的。好，接着我们看第三个， y 等于 cosin x， x 属于零道派的反函数，是 x 等于 act cosin y。 那我们来看一下 cosin x 图像， 我们 cos x 图像呢？长这个样子。那么接着我们刚才所讲的 y 点 r 和 cos x 呢？ y 等于 q 三 x 啊， x 属于 r， 它是无法函数的。我如果说想要去 求反函数，必须要指定某个单调区间，那好说，现在我就指定一个领导派，哎，指定一个领导派，那当 x 属于领导派的时候， 数学家规定它的反函数是 x 等于 a cross x， 呃， crossing y 啊，好，那当然， y 是属于我们负一到一啊。好，那同学们，现在呢？我把这个领导派给他摆改成了派的二派， 我想再去求我们 y 等于 q 三 x 的反函数。那好说，现在呢，我们实际上说的是这一段了， 就是二排， pad 二排啊，这一段的反向数是多少？各位来看，我画一条线， 这是 y 等于 y。 好，当 y 已知时，这一点的横坐标呢？实际上就是 arc 啊， cosine y 啊。好，那请问我现在这一点啊， 这一点它的横坐标是多少呢？运用咱们刚才对称的理论， 这一点坐标应该是二派，减去 a， q， c y。 很显然嘛，这个点和这个点关于直线 x 等于派对称，所以它俩相加除以二，应该是等于我们的 pa 的，所以很显然，这个时候反而说是 x 等于二派，减去 a， c， q， c y， 对吧？哎，依次类推，我只要知道 y 点， cosex 在零道派上的，反而说是它，那我可以求出来， y 等于 cos x 任意的单调区间上的方函数。好，那紧接着呢，我们 y 等于 tangent x， 我们 tangent x 呢，它周期是 pa， 对呗，啊，它还有一个间接线，它方函数是 x x x 等于 act tangent y。 那么如果说我们想要去求 x 属于二分之派到二分之三派上的反函数的话，怎么去求呢？我还是画一条线 换颜色之后呢？我们知道啊，这是 y 等于 y， 那么已知这一点呢？坐标是 uptangeny， 那么他俩呢？周期相当于他加个派啊，所以这边应该是派加一个阿克 tangine y， 所以 y 等于 tangine x x x 属于二分之派到二分之三派时，这时候反而说是派 x 等于派加阿克 tangine 的 y， 对吧？好，所以这几点常识呢？首先得知道好，知道这个常识之后呢，我们现在把二科三以三 e x 图像给画出来啊，通过这个图像呢，以后同学们呢，就可以直接把二科三以三 e x 呢，到底等于多少直接写出来啊。 那这时候你看啊，首先 y 等于 arc 三 n 三 e x， 它的周期是多少？ 周期为二派，因为三引的周期是二派，对吧？好，呃，我们现在规定一下啊，叫什么呢？ 当 x 属于负二分之派到正二分之派的时候，当 x 属于负二分之派到正二分之派的时候，我们 y 等于三 e x， 它的反函数 是谁呢？是 x 等于 arc 三以 y 嘛，这是咱们刚才的常识。那现在呢，我们在这儿，由于 y 等于三 x， 反正说是他，所以我可以直接我 a x c 引我把 y 呢等于三 x 往里带， 哎，你就会发现， x n e x 呢，这时候就等于 x， 哎，就等于 x， 好，那么就是 x， x 属于负二分之排到正二分之排，这是很显然的嘛，对不对？好的， 当 x 属于二分之派到二分之三派的时候，我们 y 等于三 e x， 它的反函数 此时是多少呢？哎，我们已经说过了，我们二分之派到二分之三派是这条线，对不对？好， 我现在呢，这是 y 等于 y 这一点，这一点的横坐标是 a x saying y， 对不对？好，那 我们这一点的横坐标应该是一个派减 a c c y， 好，所以我们 y 零三 x 在二分之派到二分之三派上，反函数是派减 up 三以外，对吧？好，此时 我把我们的 y 等于三 x， 因为这时候 y 还是等于三 x 嘛，我往里带有派减去 ac 三引三引 x， 那么就说 x 是等于派减二克三引三引 x， 所以我们推出来 ac 三引 三 e x 呢，实际上是等于一个派减 x， 所以这些时候是一个派减 x。 i x 属于二分之派到二分之三派。好，那你看，从负二分之派到二分之三派，正好一个二派周期， 所以这个情况下呢，我们可以来画个图。好，这是我们负二分之派，这是我们正二分之派，这是我们的派，这是我们的二分之三派。很显然，负二分之派到正二分之派呢，是 x 啊， 好，那 x 斜率为一。好，那我们二分之 pad 到二分之三 pad 呢？是派减 x， 那么零点呢，是 pad 斜率为一，对， 对不对？好，那一个周期已经画完了。这种王二派，那在其他方面的都都都长这个样子了，对不对啊？就一直是这种直线。那很显然，你看这个呢，是方程，是 y d x 啊， 这个方程呢，是 y 等于派减 x， 那请问这个方程是什么呢？当然我们很明白的知道他的斜率是一，肯定是 x， 然后呢，加一个 b， 对吧？加一个 b， 由于呢，它的零点是多少？零点是二派，零点是二派，所以当 x 等于二派的时候呢， 它是零啊，所以零等于二派，加一个 b， 显然 b 呢，是负二派好，所以这个方程是 x 减二派，也就意味着是 什么呢？当我们 x 属于二分之三派到二分之五派的时候，我们这里应该是写上 x 减二派， 当 x 这个范围的时候， x 三与三 x 仍然是等于它。好，那我们这个图画出来了，是不是一切都一目了然了？那这个呢，是不是好像斜率也是负一嘛？负 x 加一个 b， 由于呢，它的零点是多少？ 零派，二派？三派，那这就是我们的一个负 x 加三派啊，三派减 x， 所以很容易能够搞定。那我们 ark 三三 x 图像帮助大家画完了啊，那我们来看一下 ark q 三 q 三 x 图像，实际上它也是周期函数，它长的样子呢，也是这种折线形式的。很显然， x 属于零道派的时候呢， y 等于 q 三 x 与 x 等于 r x q 三 y 呢， 是互为反函数的。那这种情况下呢，我们把 y 等于 cos x 往这里可以带啊，那就是 arc cosin cosin x 了，那你看它等于它， 那这个情况下呢， a 和 cosin cosin x 是和 x 相等的啊， 当 x 属于零到派的时候，那么当 x 属于我们派到二派的时候呢？ 我们 y 等于 cosine x， 它与 x 等于二派减二 x cosine y 互为法函数啊，那这刚才已经已经解释过了，对不对？ 好，这是零道派，这是派的二派，画一个 y 等于 y 啊，这一点呢，由于我们知道 是 a x cosine y 啊，这个是 x 等于派，所以我知道这一点的横坐标就是二派减去 a x cosine y 啊，因为这两者关于直线 x 等于派对称，所以它们的 横坐标相加除以二，应该是等于我们的派啊，那这个情况呢，我们可以把 y 等于 q 三 x 再往这里带啊，有二派减， 减去 a c 扣三，这边是扣三 x， 好，所以 a c 扣三扣三 x 这时候等于多少呢？把它往这挪，把它往那挪啊，那就是一个二派减 x 了。好，那这是二派减 x 啊， x 属于一个 零道派。呃，二派的二派，我们知道二个 cosin cosin x 也是周期为二派的啊，所以我现在呢，把一个周期先画出来。零到派上， 这是二分之派，这是派，这是二分，这是二分之三派，这是二派。零到派上是 x， 那就长这个样子，零到派上好，派到二派上，二派减 x， 这是 一个周期，好，那么在其他地方呢，也是这样画，对不对？很好看了啊，这个呢，是 y 等 x， 这个呢是 y 等二派减 x， 这个呢？哎，由于它的 斜率呢，也是我们的一，有 x 加一个 b， 零点呢，是二派，那让他减二派，对吧？好，所以我们可以把所有的这个图像都给画出来，而且这个方程也容易求，什么二可扣三扣三， x 也画出来了。 好，紧接着我们看 arc tangentinex 图像，那你看， 我们知道，当 x 属于负二分之派到正二分之派的时候， y 是等于摊进的， x 与 x 等于 arc tangent y 互为互为反函数，这个时候把 y 等于 tangent x， 可以往这里带，那就是 arc tangent tangent x。 好，那这时候呢？ x 等于它。好，所以 x tangen tangen x 等于。当 x 属于负二分之派到正二分之派的时候，它就是 x。 注意到我们 time in x 周期是派，而负二分之派到正二分派正好是一个周期。哎，所以这个图呢，就画完了啊。那各位来看，负二分派到正二分之派是 x 啊，是 x， 那么所以它的周期就一直长这个样子，哎，它就一直长这个样子 好，比如说 x 呢，属于二分之派到二分之三派，那这个方程等于多少呢？啊？它斜率是一， 我的 x 加 b 零点呢，哎，这是零，这是我们的派好，那就是减派，就是 x 减一个派，所以 a x tint x， 当 x 在这个范围内时候，它是等于 x 减派的，对吧？好，所以这个图像呢，也帮助大家画出来了，全是周期函数。 好，那我们再看 y 等于 a q c 三 x 图像，各位来看啊，这个里面呢，有一个比较重要的等式，叫什么呢？叫 a c q 三 u 加 a c 三 u 等于二分之派，这个是横等式，以及 a 克 type g 的 u 加 r c 靠 t t 的 u 也是很等式，也都等于二分之牌。所以我们想要画出它的图像，那我们要知道， y 等于 r 克 call saying c x 实际上可以写成， 我把把这个里面的 u 呢，看作是三 x 的话，它就可以写成二分之派，减去 a c 三 三引 x， 对不对？而 arc 三引三引 x 图像呢？我们刚才是不是已经已经画出来了，哎，是长这个样子对不对？好，填一个符号， 填一个符号，在网上整体挪一个二分之派，对不对？咱们就出来了，所以说很好弄啊，我们这个时候呢，谁要是随便可以写一下，当 x 是属于负二分之派到正二分之派的时候，那这个呢？是 x， 所以它是二分之派减 x， 那当 x 属于二分之派到二分之三派的时候， 那这个呢？实际上是它等于派减 x 啊，那二分之派减去派减 x， 那现在就是 x 减去一个二分之派啊，是不是很容易能写出来啊？所以 accord cosine 呢，也是一个很简单的这种周期函数的形式， 周期是个二派，我们把二分之派减 x 画出来， 这是二分之派。另外呢， x 减二分之派是这样的，哎，他是长这个样子的，这是负二分之派，这是二， 二分之三排好，周期二排好。所以这个图呢，是我们 arc causing 三 x 图，实际上如果让你去再去画我们 arc saying cosine x 图，也就是说想要去求它等于多少也是一样的。我把它写成二分之 pad 减去 arc cosine cosine x 嘛，利用它的特性来把它计算出来。 好，那如果说我让你计算 arc tangent cold tangent x， 怎么算呢？哎，我让你写成二分之 pad 减去 act tanging act cold tangent cold tangent x， 对不对啊？或者说这边呢？ arc call tangent tangent x， 哎，我让你写成 arc tangent tangent x， 总之，你知道这个就可以把它算出来，所以呢，混搭也是可以的啊。 那我讲到这里呢啊，应该是属于说是讲的比较清楚了，同学们呢要下课把，这几个呢要总结总结，真的，当你总结过后，你会发现 三角反三角，他们互相欠套，对你来说是易如反掌，就跟翻个手掌那么简单好不好， 听懂同学可以在弹幕扣个六六六啊。扣个六六六。好，那咱们今天课程到这里啊，如果视频对大家有帮助的话啊，希望大家能给杰哥三连，多多支持杰哥创作好不好，那咱们今天课程到这里，我们下节课再见。拜拜。

今天我们来分享一下反函数和反三角函数。首先看反函数，原函数如果是用 x 表示 y， 那反函数只需要用 y 来表示 x 就可以了 啊，那你把这个二除过去，那他就是他的反函数。那你再比如说第二个原函数是他还是用 x 表示的 y， 那我们要求他的反函数的话，我只需要用 y 来表示 x 就可以了，我把分母乘过了，然后再经过一系列的化解，就 可以得到 x 等于 y 加一除以一减二 y， 这样的话我们就用 y 把 x 表示出来了，那也就是他就是他的反函数。在这的话要注意点就是原函数和反函数的图像 是关于 y 等于 x 对称的啊，这个很重要。好了，完了以后我们再来看反三角函数，反三角函数的话主要有反正线、反正接反 甲鱼线和反鱼切啊，它的符号是阿尔克 arc、 阿尔克三叶 x、 阿克坦坦克斯 啊。我们在平时考试中的话，包括期末考试啊，包括考研啊，主要考的是三啊，反正弦和反正切，反于弦和反于切的话，他基本上不考。然后这四个反三角函数的图像我分别画出来了，包括他们的定律还有治愈。 从这个图像上我们很容易看出来，反三角函数都不是周期函数啊。你比如说拿这个反三音来说啊，阿尔克三音 x 啊，他的图像只有这一段，他的定义是负一到一，他的直率是负的二分之派到二分之派，这个一定要注意一下，我们画的这个对号和错号代表就是这两个基本上都考，这两个的话基本上都不考，包括后面的定积分啊，他主要积分，定积分主要考的是 这个阿尔克三因和阿尔克坦坦，这个考的比较多一些。好了，我们再来看一下阿尔克的这个意思，他基本上就我们可以理解为去求弧度。 你通过这两个例子可以看一下，三亿六分之派等于二分之一，他就等价于二，可三亿二分之一就会等于六分之 判。如果这个不太好理解的话，我们来可以用三 exx 等于三分之一，那么想三亿多少等于三分之一不知道，那这样的话，我可以把 x 用反函数表示出来， x 就等于阿尔克三亿三分之一。 好在这还要需要注意一个调，就是我反复强调的反三角函数都不是周期函数。你比如说我们拿这个反正切来举例子，二可摊退根号三啊，应该等于几呢？那我们首先想摊退多少度？是根号三，摊退有无数个根号三啊，那在如果在反 正确里头的话，他只能等于三分之派，因为他不是轴线，你可以通过这个图来很清楚的看到。呃，当 x 等于根号三的时候，他对应的这个值只能是三分之派啊，这个点一定要注意一下。好了，接下来我通过这个反 l 可三叶 x， 我把他的图像画一下，我们再来感受一下这个泛函数和元函数的图像，是关于外等与 x 对称的这句话。 好了，那我们来看一下这我先画的这个图。呃，用黑笔画出来的这个是三亚色图像，这个都很熟悉啊，这是他两个图像的对应轴， y 等于 x。 好，那我们来看一下 三， x 过了一个点是零零，那他的反三 ex 的话，那这个零零关于外等 x 对称肯定还是零零这个 点了。好了，那你再看。呃，这个三亚太过了一个点是二分之派一，那二分之派一这个点，如果他关于这个呃外等于这个 x 对称的话啊，他对称完的这个点应该是一二分之派。 好了，那我们在这里找到一二分之拍一的话，他大概在这个位置比二分之拍小一点，那二分之拍的话大概在这个位置，所以这个点我们描出来的话，大概就是在这个位置。好，那我把这个可以把他们连起来，这块连起来， 所以这就是这一段，这个这个对应的是这个一啊，这个是二分之拍。好了，那我们再来看啊，这半段处理完了以后，你再看这半段，那你想一想，这半段的话，他能不能给他直接翻上来啊？能不能给他直接翻上 啊？这个肯定是不行的，因为我们知道反三角函数，他也是函数，函数是一一对应的，如 如果你把它翻上来了以后，他的一个 x 这个时候就会对应两个外，所以这个是不对的。好了，这边的话，他就只有这一部分。完了，我们再看啊，负二分之派到零这半部分啊，这是坐标原点。 好了，这个点的话，我们很容易发现他就是这个负二分之判啊，负一啊，他关于外等于 x 对称的话，那就应该是负一负二分之判。好了，那我们大概找到负一啊，这是那个负一， 这个大概是这个辅导二分之派找到这个点啊，这个点大概在这个位置啊，那这样的话我们只需要把这个和坐标原点连起来就可以了，所以他画出来的图像应该就是从这一段一直到这一段，那剩下的 呃，那些反三角函数的图像可以根据这个道理以此类推。你看他画出来的图像和这个三页，反三页这个图像画出来就是一样的。好了，今天我们的呃反函数和反三角函数就分享到这里。

注意看，眼前这个函数叫小桑三秒钟暂停填空三二一错误答案， x 等于 x i n y 正确答案，等于 pi 减 x i y 如果你刚好这里不清晰，一定要看到最后。首先，大部分人对 x i x 的理解都是错的。我们知道输入一个弧度，二分之 pi 就可以输出一个 song 之一，那反过来，如果输入一个 song 之一，输出的是什么弧度呢？这就是 你可能会想到无数的角。但注意，反正写函数你叫函数就只能输出另一个值。所以数学上强行规定，只能在负二分之派到二分之派上输出，也叫主值 区间。这样结果就唯一了，不在这个负二分之派到二分之派上的角不能用 x i 反解。考考你这幅图是 x i x 的完整图像还是只截取了一部分呢？ 已经画完整了。 occine 没有周期性就负二分之派到二分之派上这一小段，再考考你 occine 二分之一等于几呢？你想，负二分之派到二分之派上，只有六分 之派的嗓音值是二分之一，所以唯一结果六分之派。有了这个基础，我们回到开头， x 不在主治区间，负二分之派到二分之派，千万不能直接反解 k r。 老师送你一个毕生套路。第一步，把 x 改写成 k， 派加进 x 移进负二分之派到二分之派。 本题中改成派件 x 就可以了。第二步，重新写一遍嗓音 k， 派加减 x， 利用诱导关系化成 y。 本题中我们重写嗓音派件 x 转化到嗓音 x 等于 y， 因为派减 x 在主治区间里它是可以反解的，所以派减 x 等于 x r 以 y x 就等于派减 x r y y 这个套路最大的好处就是不用动脑子，闭着眼都能做对其他反三角函数的主治区间，如唱图评论区留下测一测答案吧！学会的点个赞，学会的点个收藏。

试一题，做出这个就算完成 one 如果等于 accident x 相当于 x， 就等于什么三 y， 所以在这这就是所谓的谁啊？ x， 所以下一步相当于是三 x 减一就等于三 y 解除 x， x 等于三分之 sun y 加一都口算呢，移过去一除。好了，别忘了最后一步干什么， y 等于三分之， sun x 加一 可以了啊，其余的题当成加强练习就行。那么到此为止，反函数 给大家补充完了，就这些，那么前面的基本功后面呢？特别是这个什么给大家总结的哈，一个是指数函数，再给大家强调一遍，最核心就两个，知道一 y 等于 a 的 x 方相求 x， 一个斜法 x 等于 log， 以 a 为的 y 的对手。 第二个 y 等于 sun x， 能够把 x 解出来叫什么呢？ a， 可 sun y 最核心的就这一点，反反复复看看，就说只要会写符号就行。 还是说前面这一块让你做加减乘除那种基本运算？没有，全都是对于数学符号的这个写法，因为以后呢，你要经常碰到。好了，反函数到此为止。

那呃，前面的课啊，讲完以后，有同学说这个反三角函数啊，高中没学， 那大学也不讲哈，因为大学里头啊，用到反三角函数的机会还是很多的，求导啊，求积分啊，反三角是函函数啊，很重要， 那我们也得给大家简单的介绍一下对不对？所以啊，今天我们就额外的先插一个这么一个小专题啊，就是反三角函数，所有的反三角函数，其实也是反函数呗， 那反三要函数啊，稍微有一点特别就是他这个函数的形式啊，大家有的时候看起来啊， 不是那么直观，那反函数啊，呃，最初的定义啊，啊，大概是这个样子的，举个例子吧，比方说啊， y 等于三 x 加五吧， 说这个函数啊，让你求这个法函数，那你就求呗，那三 x 呢，就等于 y 减五，那 x 呢，就等于三分之 y 减五，那这个其实就是它的法函数， 但是我们这个这个函数啊，总喜欢把这个 y 啊表示成 x 的函数，所以你 x 等于 y 的函数啊，我们总是感觉比较别扭，所以呢，我们就怎么着呢，我们我们把它那个啊，把它变成啊 y 等于三分之 x 减五，所以反数啊，就是把原来的那个 y 是 x 的函数啊，表示成 x 是 y 的函数，但是 xy 的函数呢，我们又把它写成了 y 是 x 的函数，这个就是反函数零一。 那么对于三角函数，第一种就是 y 等于三页 x， 我们想求他的这个，呃，发三角函数 y 等三 s 啊，大家还是呃这个这个比较熟悉的，他的这个图像啊，是这个样子的 啊，这样这样这样这样这样这样这样这样，对吧？那 嗯，首先啊，这个圆函数啊和这个反函数啊，是关于啊 y 等于 x 啊，他的图像啊，是对称， 这个是个不要常见的知识点，高中的时候也讲过哈，所以首先第一个 y 等于三亚 x， 首先这个表达形式就没法弄啊，你看啊，啊， y 等于三， x 加五呢，你能表示成 fx 等于什么的东西？ 你这个 x 等于什么 y 的东西啊，这个地方就不好表示了啊，所以啊，我们先引入一个形式，就是 y 啊， 等于一个啊，哎，其，其实一步步的写是这么写哈，就是应该写成 x 等于什么 y， x 等于什么 y， x 等于什么 y 呢？你这玩意三印，这玩意又不能说是直接弄过去，对不对？又不能除过去，对不对？三印本身三印，它本身这个符号是没有什么意义的，那，那他得和后边的角度配合起来， 所以这玩意 x 得什么 y 啊，就不好弄，所以啊，我们就引出一个新的符号，就叫阿克三赢啊，这叫阿克三赢。 所以首先这个这这个我我老师为为什么 x 呢？阿克三意外呢？你就想哈，就这，哎，相当于把原来 y 这个函数写写成 x 是 y 的函数，只是这个三因这个东西他他他怎么反过来写呢？这玩意实在是没 什么其他的符号，对不对？所以啊，咱们就引入一个新的符号， x 等于 x 三以外，这是为什么到这 到这呢？我们不是又习惯写成 y 等于 x 的函数吗？啊，所以咱就写成 y 等于阿克萨印 x 啊，所以首先第一个 y 等于三页 x， 这是个正悬啊，那它的反数就是阿克三页，这是第一个。 那原来 xy 等于三 x 啊，他这个 x 啊， 啊，他这个 x 啊，是从富无穷到正无穷啊，说白了 x 取啥都行，那这个 y 呢，是从这个负一到 到一，那三印 x 是在这个负一到一之间来回震荡，这个大家都知道，那如果我们按照这个元案数跟反案数啊，是关于 y 等 x 对称哦，这个图呢，你得把它关于 y 等 x 画一个对称的图， 画一个对称的图，那我们同学是吧，我们的哎，擅长画画的小朋友呢，那就开始画喽。啊，大概呢是这个样子的，嗯嗯嗯，对吧？嗯嗯嗯，大概是这个样子。 哎，正常话这个样子没问题，但是你画成这个样子啊，发现有一个问题，就是我们在定义函数的时候，函数的定义里头的最关键的一点是什么东西啊？一个 x 只能有唯一的 y 和他对应，那写成这个样子啊，画成这个样子就有问题了，如果你取一个 x 的话，这个 y， 这个 y， 这个 y， 这个 y， 这个 y， 这个 y， 这个 y 是不是和他都是对应的呀？对不对？所以这个按照函数定义来说，这个就不是函数了，而不满足函数的定义， 那怎么办呢？嗯，你得满足这个是吧，一个 x 只能对应一个 y 啊，所以怎么办呢？你对应这么多肯定不行啊。所以啊，我们啊，不留这么多啊，我们不留这么多我们只留这么多 啊，我们只留这么多，哎，只留这么多，好，这是第一个外等阿克赛印的 x 的图像，大概就是这个样子。好，我们再看定义跟直域，原来的直域啊，是从负一到正一， 因为法案数啊，把他的这个定义域啊跟直域啊都颠倒过来呢，原来的直域， 现在呢就变成了定义域，所以这里是负一，这里是一。哎，我们同学从图上看的非常的直观，所以呢，变成这个形式以后，这里是负一，这里是一， 所以这个 x 是从负一到一，所以外等 r 三一 x 的定义是从负一到一 带上它的直域，这个直域啊，其实是这一块到这一块，这一块啊是个二分之派， 这一块啊是个负的二分之派，所以啊，这一块啊是个负的二分之派，到这里对的是个二分之派，所以他的直域 y 呢，是从负的二分之派到二分之派， 所以啊，这个就是 y 的阿克三亚 x， 他的图像，他的定义域跟他的直域 那，呃，如果有一些，呃，当然这个我们在大学阶段哈，就说啊，这个函数取哪个点上他等于几这个玩意 我们一般不搞了，因为这个玩意比较简单哈，当然因为大家刚开始学，所以我们也是为了加深一下大家的印象嘛，所以简单的给大家这个这个呃，举上几个例子吧，比方说，请问啊， x 等于几的时候 啊， x 等于几的时候，说啊，阿克啊三 ex 啊等于几？好，咱先来个简单的说， x 等于零的时候，阿克三， x 等于几啊？零啊等于零， 那说 x 等于二分之一的时候呢？ 阿克三印二分之一， 这个阿克三印二分之一啊，大家在想的时候，你就在想三印神马等于二分之一，三印什么等二分之一啊？六分之拍 在这个和我们那个被三亿的那个表啊，刚好是倒过来了啊，倒过来了，好，那 l 四等于二分之跟二呢？ 四分之派， x 等于二分之，跟三呢？三分之派， x 等于一呢？ 二分之排， l 是等于负二分之一呢， 负六分之派，你看这不是负二分之一就等于负六分之派吗？一知道，当然中间我就不写了， x 等于负一十，阿克三呀， x 是个负的二分之派， 当然就这个这个表啊，其实我们大学里头用的比较少啊，比较少，但是啊，也会用，也会用，就说这个这个这个这个，你得记住，就是求阿克三印的时候，你的脑子得倒过去想，就是三，就比方说吧，阿克三要二分之一， 你得想三印什么，等二分之一，你得去倒过去写，哎，就和那个 ex 和那个老恩一样，对不对？他是倒过去写好，就是阿克三印，那么阿 三 ex 你大概看他是个增的还是减的呀？单调增的啊，这个比较明显啊，这个比较明显，好，这个是今天我们要介绍的第一个，这个三 e 跟阿克三 e， 阿克三叶，大家记住你这个图啊，你得绘画啊，图，你得绘画，它的定义域是什么？它的直域是什么啊？这个比较重要哈， 好，这是第一个三音，第二个扣三音， 第二个口才 y 等于 扣三页， x 扣三页。如果大家画图呢，大家也都会，对吧？啊，这个这个大概的图呢？是这样的一个图啊，这样这样这样这样。 那 x 啊，是从富无穷到正无穷，这个 y 啊，是从富一到正一，这个大家都知道， 那么还是如果啊，想整他的这个法函数，法函数啊，还是关于外等 x 画那个对称啊，画对称的图， 你如果硬画那个对称的图啊，还是那个问题，就是画出来的那个不是个函数，所以啊，嗯，你正常 的话，以后啊，你最终啊，这，这个这么说吧，大家画出来以后，大概应该是这个样子的啊，应该是这个样子的啊，这样啊，这样 大概应该是这个样子的，然后呢，下边再再来，再来，再来，上面再去，再去，再去。那我们啊，就得留一小段，所以啊，这个扣三音啊，我们留一小段，就留这一段 啊，我画的不是特别的标准啊，啊，就留这一段啊，所以空三印它的反数是 y 等 于阿克扣三叶 x， 好，那他的原来的这个直域啊，是从负一到一， 现在的这个定义域啊，是从负一到一，所以现在的 x 是从负一到一 l 从复印到 e， 那 y 呢？ y 这里是个零，这里啊是个 pie， 所以 y 啊，是从零到 pie 啊，领导派， 当然了，那个刚才那个一一对应的那个啊，你举一些特殊的点，然后在上面求他的那个阿哥后算一职。那个我就不再一个个去试了，你啊，大概 从这个表上你也能试出来。好，那他的这个增减性，这很明显是个减的啊，很明显是个减的 好，就是 agqueson， 那是第三个，就是 y 等于 tangent x 摊着的 m 四啊，如果大家画图啊，会是这个样子的，所以我们说这个画图挺重要啊，画图挺重要，好，摊着呢，是这个样子的啊，这来一下子啊，这来一下子 啊，这来一下子，对不对？这是外等谈着呢还是那个 问题就是你如果关于外的 m 四啊，画他那个对称的图的时候，你就发现把这个说白了就是得那么弄过去呗。好，我们先画这一条吧，啊，我们先画这一条吧， 这条啊，这里是个负的二分之派，这里是个二分之派。所以啊，哎，我们从 啊这个二分之派到负的二分之派， 然后我们先把中间的这条啊，先把它弄过来啊，它的反数啊，是这个样子的。 关于 y 的 x 对称是这个样子，那你如果继续画的话，又会出现同样 问题，就是你如果把这杠子再画出来啊，他画的话是这个样子的。又那个问题了，一个 x 对应多个弯。所以啊，咱们这个阿克贪真的 x， 他的图呢，咱只保留这一块 只保留这一块，那这个就是 y， 等于阿克坦真的 x， 只保留这一条曲线就行，其他的都不要了。 好，那原来 tangent x 啊， x 啊，咱就不说了，因为 x 你也能看出来哈，在这个二分之派啊，负二分之派这些点上是不能取值的啊，其他地方都有值。 x， 咱就不说了，那这个 y 啊，啊，那，那 y 是 从富穷到中无穷呗，对不对啊？外都能娶到呗。那咱来看一看阿格滩镇的 x， 首先这个图啊， x 啊，你看，从这到这都能取到，所以他的 x 是从富穷到正无穷，这是 x， 他的 y 啊，你看下头到负的二分之派，上头啊到这个二分之派，所以他的 y 啊，是从负的二分之派到二分之派。 那么这个富的二分之派啊，跟这个二分之派啊，他是取不到啊，他虽然是无限接近啊，这个地方也没有取到，对不对？这是阿克坦真，这是坦真的和这个阿克坦真的， 那下一个就是这个 q 弹， 下一个就是 q 弹，真的 q 弹着呢，他原来的图啊，是这个样子的 啊，扣他念他原来的图是这个样子的啊，这么弄一下对吧？然后呢？还这么弄一下啊然后呢？这么弄一下 他这个图啊，也是这个问题，取对称以后啊啊你啊不能都留啊， 不能都留，所以啊啊个 q 弹着呢，我们最终啊就留了这一个 最终就留了这一个， 就是把这个图啊做对称就留这一个。那这个 x 啊，是从富无穷到正无穷， 你看朝左无限取，朝右无限取，那这个 y 啊，是从零到派，从零到派， 这个就是这四种啊，三角函数，他对应的这个反三角函数。呃，大家注意，我们在大学数学里头啊，我们后面接触到比较 多的哈，最常用的三印扣，三印弹，真特扣弹真特赛肯德扣赛肯德这六种是最常用的 这六种是最常用的，就是三角函数这六种是最常用的。那么反三角函数啊，大家就掌握我们刚才讲的这四种就行。 那个塞肯的跟那个扣，呃，扣塞肯的，他那个反三角函数啊，那个不用掌握哈。呃，反三角函数啊，在大学里头用到的，呃，这个机会还比较多啊。有的同学说这个啊，孙老师能不能讲一讲？没问题，咱就给大家讲一讲哈。 嗯，我这个课啊，有些地方啊，需要补的我就给你补哈。你比方说极坐标，当然是下一期学的极坐标啊，有同学原来学的时候学的也不是特别好，所以呢，我在极坐标那部分啊，讲的就挺仔细哎， 就是说急着就是那个急坐标那部分啊，讲政客的时候我才讲了三十分钟，但是急坐标之前我补充的急坐标那个基本的知识就讲了一个多小时 啊。所以说你把那个基本的知识看完了以后，就是后边的内容就就都不用看，对不对？你按照我的基本内容啊去去，这这个这个理解啊，就能掌握。

好，知道这个之后呢，我们来看一下我们之前记得的公式啊，看他现在会不会做证明。横等式 a c c x 加上 a c 高 c x 等于二分之派。好，我们来证明一下这个啊，取值是负一到一，因为这两函数的定义都是负一到一，证明这个横等式。这个公式呢，可能之前呢，大家都是直接记公式的，我们现在把这两个主导公式都给大家说了，那我们来看一下啊，那正反是非常非常简单， 我们来考虑左边这个函数啊，考虑函数 f x 等于就是这两个相加啊，我们看它是个什么东西，如果它是一个，哎，我先给它去透网，我们先看 好这个函数呢，那肯定是 x 带负一二一啊，定义啊，好，那我们来思考一下，我们刚学了求导，我们把这个函数的导数求一下，把这 函数导数求一下啊，那我现在先给大家剧透一下下列克的求导的法则，两个函数相加求导就是 f x 导数啊，我们可以分别求导再相加，这是下列可能啊，接下来的内容啊，不是下个视频内容，接下来我先给大家说了，我们把阿克森 x 导数求一下，就是这个玩意啊，根号一减， x 平方分之一啊，加好了是拉法。 还没给大家说啊，我先给大家提一下，还没给大家推到，我们提前给大家说一下，后面这个车道那刚好相差一个符号。 好，大家看啊，这两个球岛刚好相差一个符号，那这个倒数呢，就横等于零了。好，大家注意是横等于零，横等于零的意思就是说这个函数啊，你不论 x 取几，那求道总是等于零的，并不是说它在某一点的倒数是等于零啊，你 x 不论怎么取，它总是等于零的啊，那这个就说明什么呀？来思考下一个函数，你不论 x 取几，它求道都是都是等于零的，那什么意思啊？那就说明这个函数它就是一个常数， 应该没问题啊，看能不能跟上。固 f 固函数 y 等于 f， x 为长数，应该没问题啊。我们证明这两个，这两个相加是个长数了，那我们随便带个 x 进去，那就把这两个的合求出来啊， 任取 x 属于负一到一，如取 f c 零，你随便取，当然取，最简单的啊。啊，那 x 如果取零的话，那就是 x c 零加上 act 靠 c 零啊，等于这个东西呢？是零，因为 c 零等于零啊， 那么高森引二分之派等于零，所以呢，阿克高森引就是二分之派了。好，现在加是零，加二分之派就等于二分之派。好，那我们就把阿克三引 x 加高森引等于二分之派就正出来啊。大家想啊，他是一个等于个长数，所以呢，把零带你等于二分之派，那把其他的 x 带进去，肯定也是等于二分之派的啊，那我们就正完了啊，这个思路大家能不能跟的上呀？就是我们先证明这两个函数啊，这两个函数相加是等于常数的，是等于常数的，然后我们把这个常数求出来就行了。 好，那相同的方法，那大家下去后，自己动一下， a tandent x 加上 ak cotton light 等于二分之派啊，因为这两个函数的定义都是 r 啊，所以呢， x 就可是大于啊，纯手写的这个问题啊，大于负无穷，小于正无穷啊。

对正弦函数来说，我们一般选取的是负二分之派到二分之派这样一个完整的单调增区间，对吧？ 只有在单调区间的范围内这个情况才是能够定义反函数的。因为这个时候呢，正弦直等于 x 的角只有一个，你这个直定义出来以后，你看这个角只有一个，不会有两个角的，对应的直相同的 在后边。我们到后边讲函数的那个，呃，定义性质的时候，他有一个对应关系的问题，是吧？那个所谓的对应关系指的就是 x y 的对应性， 给定一个含自变量，你对应的一个函数值，反过来给定一个函数值以后呢，他也要对应的自变量啊。所以这个时候对于反正弦函数来说，他的角度我们就把它限制在负二分之派到二 分支派之间，其他的都不要了。这就是刚才要求大家记住那个基本的那个区间的一个目的啊，那个基本的区间，负二分之派到二分之派是使得正弦单调增的一个完整的区间，那么在这个区间上我们要去求反正弦喊出的话，一定是可以定义出来的， 这个时候呢，也就是正先直是 x 的脚，就在负二分之派到二分之派之间去，不会跑出这个范。

那么下面我们来看反三角函数。反三角函数他并不是指三角函数的反函数，这里一定要区分好，他不是反函数，因为反函数一定是必须得是 xy 一对应的，他如果不是单角函数，不可能存在反函数，那么他又和三角函数的反函数有一定的关系。什么呢？ 他其实只是三角函数某一对的反函书啊。所以记住，反三角函数不是周期函数， 千万不要错误的以为和三角函数一样，他是周期，他不是周期函数，他的图像就那么一小段， 但是他的图像需不需要记呢？图像不需要去记，只需要记太真的，他的反三角函数怎么去画即可。这个图像不需要去记，我待会说过，需要记的就记，不需要记的就不需要记。他的图像不需要去记， 需要知道他不是周记函数，但是是有界的。下面 ppt 上所显示的图像就是二个三 x 的所有图像。 反三角函数的解析是，就前面在三角函数前面加了仨字母，二可 a、 rc， 碰见这三个字母就表示他是反三角函数啊，后面写的谁就是反谁的函数，所以他是反正线，反正线，他的定义是负一到一直欲是负二分之派到二分之派。 那么在这里只需要了解什么呢？比如说我随便写一个案，如果二课，我想问你二课二分之一等于几？ 立几句推，它等于的就是六分之派，为什么呢？因为我们知道 say 六分之派是等于二分之一的，所以二个三二分之一，他表示的就是 每个角的正弦值等于二分之一，这个角必须在负二分之派到二分之派里面去取，只在负九十度到正九十度里面去取即可。所以就是三十度六分之派会这个就可以了啊，会这个就可以了。在这个范围上，在这个范围上的三角函书 y 等于三，以 x 立即去反解， x 就等于二克三以外，把它当做公式记下来。当然这里的范围啊，也是，这里的 x 是属于负的，二分之排到正的二分之派只是局限在一个单调区间上啊，知道他怎么去反解即可， 再写一个，比如说二个三，二分之高二三等于什么呢？是不是立即去推三分之拍呀，对吧？就是问的哪个角的正弦值等于二分高二三角在哪，哪个范围里面，就在这个范围里面，直接去找即可。所以只需要知道我上面写的这个公式会换算即可。其实用到的也不多啊，用到的也不多，那对于一些啊，不是特 书角函数值的，比如说我写个二可三四分之一，那这里就不用去画了，这个做题出现这个结果，你就写他就行了啊，在不是特殊角函数值的时候，那不用写出角等于多少，这个就是最终的结果。最高等数学里面有很多，不是必须我们得去算的啊，我们知道就算，不知道不用写。 所以反三角函数只需要知道他的定义欲是负一到一，后期我会强调在定义那里，直欲是负的二分之派到二分之派，仅此而已，并且知道他是几函数即可。 反余弦函数，同理，就是在余弦的前面加三个字母 arec 二可扣赛，那他表示的是反余弦函数，他所代表的定域也是负一到一直域是零到派，接下来即可。图像也是不需要去记， 图像无需记忆，只需要知道他也是有界函数，和三一样，知道他怎么去换算就可以了。在领导派里面怎么去换算， 反正切这个图像很重要，也是我们后期的重点。当然我们并不是说这个函数本身是重点，是在一些计算题里面，他经常会出现，尤其在极限能力这里有一个比较特殊的地方， 它的解析是是 y 等于二，可 tigentxx 呢，是属于 r 的，但是它的直域是负的二分之派到二分之派开局键。那它的图像我们可以看到啊，它是关于圆点对称的，是这个样子的 上下我都画了一个虚线，那就说明他的函数值就在负二分之派到二分之派里面取。但是永远不会懂 二分之排和负二分之排。那根据这个图像，我们需要知道什么呢？第一个，他关于原点对称基函数 单调递增的。其次，大家来思考这么一个问题，观察一下图像，我们会发现，当他的 xx 不是属于 r 吗？而是从父无穷到正无穷。我们会发现，当 x 无限无限往无限正无穷远走的时候，他的函数值逐渐的趋向于谁？ 我们会发现，当 x 逐渐的趋向于正无穷的时候，我们会发现二个胎枕的 x 的函数值在无限的接近于二分之排。 同理，在 x 趋向于负无穷的时候，二克胎枕的 x 在逐渐的趋向于负的二分之派。所以呢，这里有两个结论就是极限了。那大家不认识这个极限的符号也没有关系啊，你们把上边第一行和第三行记下来 即可，后期我们会一个一个去讲什么是极限，他只是一个符号而已，上面这个式子就代表的是这个意思， 当 x 取向于负五成的时候，阿尔克胎枕的 x 取向于负的二分之排，把它当做一个见四的情况就可以了。所以这两个极限啊， 可以把它记下来，后期会涉及到极限什么时候计算数分左右啊啊，他就是其中的一个条件，就是碰到二可胎诊的无穷的时候，我们就需要对这个极限分左右极限去讨论。 所以以上是三角函数和反三角函数所有的内容，那大家只需要记住我上面强调的部分就可以了，就可以安心的去备考了。说到这里，我们下面来看一个概念，什么是初等函数？初等函数用书面语言去讲呢，它表示的是 咱们上面所学的这六种函数，就是反对密指三以及长数函数，由他们经过由限次加减乘除以及符合运算所形成的，能够用一个数字来表达的叫做初等函数。说了这么多，是不是有点混？其实说白了呀， 有限字的加减乘除以上的函数你随便用啊，比如说 e 的扣三 x 加上二 x 方乘以三 x 加上太挨诊的 x， 你也可以继续去写，甚至你就写一项也行，这就是初等函数加减乘除吗？对不对？就乘，或者说你再除一个 x， ok， 这就是初等函数，就是经过咱们刚才学过的这几个基本简单的函数，由他们经过有限制的符合运算和四则运算所联系成，能够用一个识字来表达的就是初等函数，那我说的更通俗一点，到目前为止，我们后期在高速里面所学到的函数啊， 除了分段函数和函绝对值的函数 都为初等函数，那为什么要学这个概念？其实啊，只是为了解释后面。嗯，如果我们去讨论这个函数是否连续啊，是否可导啊，你会发现我们所研究的点啊，都是分段函数，分段点或者说含有绝对值的地方， 所以那是什么结论呢？其实就是初等函书在其定义区间上都是连续并且可导的。 好了，我们今天的内容就到这里结束了，我们下期再见。之后有什么问题的话可以私信我，也可以在视频下面给我留言。 如果大家之后有什么其他的疑问或说，呃，需要想要了解或者想要更深入的知道某一个问题或说某一个东西的话，也可以私信跟我讲，我后期会给大家出视频剪出来， 如果现在你已经听完了，那可以点一下关注哦。

好，那下面把我们大学里头经常用的反三角函数啊，给大家讲一讲啊。我们这里头啊，主要讲四种，阿克三印，阿克扣三印，阿克弹针的和阿克扣弹针的。 嗯，像阿克塞肯的和阿克口塞肯的呢，用的比较少，我们就不不说了哈，塞肯的和口塞肯的学过没有？ 没有啊，终于，终于找回一点自信，对不对啊？终于不是你，我说什么你都学过了哈， 我们先看第一个阿克三印和这个阿克。呃，和三印，刚才那个视频里头讲过了哈，一个就是啊，我们为了他能取到法函数， 所以这个阿克三印呢，就是取的这一段啊，就取的这一小段，因为要保证他是个一一映射嘛，对不对？ 所以呢，这时候的这个 f 四呢啊，是属于这个负的二分之派到二分之派， 他的 y 呢，是属于从负一到一，哎，这个地方是负一，这个地方是个一，那么反反函数和原函数关于 y 的对称，所以他的图呢，就是这样画的。哎，这样画的 啊，这样画的哈，那刚才说了，他的定义与跟直域啊，要交换过来，所以这时候的 x 就是负一道一， 因为你原来负一到一是 y， 现在负一到一是 x， 那么这时候这个 y 呢，其实是一 个负的二分之派到二分之派啊，当然我们其实一般啊，就光写定义域就行了哈，我们一般不写这个治愈啊。好，这是阿克萨印啊，刚才我们说过了， 那下面看这个 y 等于扣三 ex 和 y 等于阿克扣三 ex。 这个蔻赛 l 四也是这个问题，他的这个函数吧，哎，我们朋友都都知道，这样这样这样这样这样这样， 你如果全要的话，他不是一应射，他没有反复，对不对？所以原来这些呢，咱不能全要，咱就取一一小部分，咱取哪一部分呢？咱就取这个零到派的这一小部分啊， 就取这一小部分，所以呢，这个扣三亚克斯，我们只取这一部分 啊，这样的啊，这样的，那么所以呢，这时候的 x 是从零到派啊，零到派 这个，然后把它呢关于 y 的 x 画对称，这个对称其实不是特别好画，我建议下去呢，你自己画一画啊。所以呢画出来的对称函数啊，大概呢是这个样子的 啊？大概是这个样子的，哎，这个也差不多，你看这个点呢 话关于他对称，那这个点，关于他对称说大概在这个点啊，对不对？这不是跑到这来了吧，是不是啊？你看这个地方 关于他对称的话，是跑到大概这个地方来了就到这吗？对不对？哎，这个地方这么一对称，是不是跑到这来了？哎，跑到这来了，大概差不多吧差不多哈， 那么这时候那原来的这个职狱啊，是从负派啊，不好意思，职狱是从负一到一，那他的这个定义欲是从负一到一， 对吧。所以呢啊，他的定义与 x 是属于负一到一，这是阿个口反应，阿个口反应这个东西挺特别， 就是他取的是原来这个扣三是取的零到派这一块哎，然后把它对称哈。哎，这个扣三这个图的阿克扣三这个图呢，不是特别好画啊，不是特别好画。 下一个 y 等于弹枕头啊，弹枕头 他人的图啊，也有个问题，就是他原来的图啊，是啊，嗯啊，嗯嗯嗯，对吧？是这样一个图，这样一个图啊，他不是一一影射，你想哈，如果这些图啊，你都搞过来， 那么这时候多个 x 对一个 y， 如果取反函数的话，那就变成了一个 x 对多个 y 了，所以这就不行， 所以呢，我们就取一小部分，我们就取中间的这一块就行，所以呢，他们的 s 啊，其实我们就取的这一块啊，就取的这一块他是个阴影射，这样的话才能保证他有反函数。 然后呢，他关于啊啊啊 y 等于阿克坦真他 x， 他关于这个 y 等于 x 去画对称啊， y 等于 x 去画对称，倒好，画哈，那直接就变成了这个样子了 啊，就变成这个样子了，那么这时候你看哈，这时候你看哈，这个地方啊，是一个二分之派。这个地方啊，是一个负的二分之派， 然后他弄过来以后呢，因为这个地方啊，其实是个渐进线哈，向他延伸，那么这时候你如果把这个虚线画出来，把这个虚线画出来，那么这个地方啊是个二分之派。这个地方啊是一个负的二分之派， 所以这个 x 其实是从负的二分之派到二分之派啊，因为他这个负二分之派和这个二分之派啊，你看他是都是取不到的，他到达不了的哈，所以呢，这个地方是个开区界， 那么这个 x 就比较自由了，那 x 这不全有吗？对不对啊？当然这个地方呢，负的二分之派到二分之派啊，其实是阿个弹指的他的 直域，他的直域呢，是原来他的定义率，负的二分之排到二分之排这个弹，这是弹枕的和这个啊，阿个弹枕的 下一个 y 等于 q 弹枕头和 y 等于阿克 q 弹枕头， q 弹着呢，也是那个问题，也是好多好多，对不对？没办法，我们就只能娶一个，所以 q 弹着他，咱啊就娶的这一个 啊，口塔就取得这一个，所以他这时候的这个 x 啊，是属于零到派，也是那个问题， 联合这个派啊，都取不到的，那么这时候他的这个图呢， 你把它关于外等 x 去对称啊，去画啊，去画啊，这首这个图其实也不是特别好画哈，大家想哈，原来的这个派啊，这条虚线关于 y 等 x 画呢，就到了这， 这个地方啊，其实是个盼，这个地方啊，这条线其实也是他的渐进线啊，这条线，那么现在关于 y 的 x 呢，其实就是这条线了， 所以他的图呢，现在就是这样的一个图 啊，就是这样的一个图，对吧？那么这个地方啊，是个二分之派，那么这个地方是个二分之派， 所以这首 x 呢，当然就属于 r 了啊，你看 x， 这不随而来吗？对不对？所以我们常见的就是大学里头啊，呃，大家能掌握这四种反三角函数其实就可以了， 那个阿克赛肯，阿克扣赛肯，那那个很少用啊，很少用啊。