实变函数论新编魏勇答案

好，各位同学，大家好，我们在假期里面哈学过了集合，那么在集合中啊，有一个经典的悖论叫做罗塑悖论啊， 那么他是这样说，他说理发师啊，只能给村子里所有的自己不给自己刮胡子的人刮胡子。第二个，理发师必须给村子里所有看好，这两个是不一样的，一个是只能给，一个是必须给 所有的自己不给自己刮胡子的人刮胡子，因为这两个东西好像看起来这个话呀，好像有点不太对劲，哪里不太对劲？所有的自己不给自己刮胡子的人刮胡子， 这所有的自己不给自己的人刮胡子啊，不给自己刮胡子的人刮胡子，这个话好像有点绕，对不对？好， 大家不要迷。假设这个村子叫做啊塞位尔村， 我们学过集合，我把塞维尔所有的人定义为一个庞大的集合 p， 那么每一个村名我们叫他为哎，他的元素， 那 p 呢？是等于什么？ p 是等于给自己刮胡子的人和不给自己刮胡子的人总和，这就是 p， 这就是塞尔维 村的人，萨维尔村的人还是集合 p。 第二，所有不给自己刮胡子的人定义为一个集合 a， 很明显 a 是 p 的一部分， a 是 p 的一部分， 因为他是什么不给自己刮胡子的，不给自己刮胡子的人。第三，理发师需要给这部分人刮胡子，那么 这部分人我们就叫做 b， 叫做 b， 我们看一下，不给和给 这两个家伙加一起就是 p， 也就是赛维尔村啊，萨维尔村的这个皮。哈，那么我们很明显皮是 a， 也就是 a 啊，包含在皮里面， b 也是包含在皮里面， 任务是什么？是否存在这样一个币？是币呢？也就是理发师给他刮胡子的人啊，是否满足什么？哎，一和二，我们来看一下。 根据题目的要求是，第一个是只能，那就是对任意的 y， y 呢？就是比里面啥原 速，那 y 就是 b 对任意的，这个元素都在几何 b 中，而且任意的，哎，这个 y 都在 p 中，他一定在屏，而且一定有什么 y 在 a 中， 而且 b 是 a 的字机， b 是 a 的字机，他这个符号打错了，不是属于，这是个包含。 第二，必须对任意的啊，这叫任意的谁呢？ xx 指哪些？指的是不给自己刮胡子的人。 对任意的 x 啊，都属于 a， 而且 x 既然属于 a 了，因为 a 在 p 中，那所以说 s 也属于 p， 那么一定有 x， 怎么滴？ a 在 b 里面，而且使啊， a 包含在 b 里面，那综上所述， ab 集合一定是等的， ab 集合一定是等的。那么 设理发师为外领，而且外领啊也在 b 中啊，因为我为什么要在 b 中，不在 a 中呢？因为理发师给他人，给他刮胡子的人， 他自己会被刮胡子，对不对？因为他只要是个人哈，他不刮胡子不可能，除非他不是个人。 所以说理发师也在 b 中，不会在 a 中出现。根据集合 b 的定义，理发师给 y 零，还有自己刮胡子，又根据集合 a 的定义， y 零又不在 a 中，那么前面已经震了， a 是和 b 相等，那么 y 零是怎么的？是不能等于 b 的 啊，不是不能在 a a b 的里头 y 啊， y 零就这个理发师，他是不能在 b 里，但你这不是矛盾了吗？一个即合，既然包含某个元素，又不包含这一个元素，那这样集合存在吗？是不存， 存在的是不存在的。这肯定会有同学说，老师，那么空急，空急他包含了元素，不包含。大家这句话这样说，一个集合既包含了一个元素啊，某一个元素，而且又不包含这个元素， 那很明显，这样集合是不存在的，空集都不会是个概念，空集是不包含任何元素的集合，哎，就是空集里面没有装任何元素，但是这个东西存在啊，存在的， 那这时候我们就引出了集合的一句话，还有元素的一个东西，大家记好，集这个概念是不可以精确定义的 概念之一，他一种描写啥意思？但凡有某种特殊性质对象的惠及，我们 称之为叫做集。比如说自然数的全体为自然数集，实现了点的全体 也是叫为县级或直线级实数为系数的多项式的全体，也叫做一类集合。对于任何的对象，对，任何的对象，任何的对象啊，大家看一下这句话， 记好，对于任何对象，对于某一期 而言啊，某一集而言， 要么 属于什么呀？哎，该级 要么不属于，不属于。我们有这样写， 当然啊，书上写法是画杠、斜杠，要么不属于什么。哎，该己， 大家记好啊，两者必居其一，这是两者必居其一，两者必居其一啊，而且不可兼得。 这句话实际是在什么呢？十遍函数论里面出现过的啊，十遍函数论要十遍函数，哎，这是高等学里面十遍函数，十遍函数啊，这一块给大家教一下，因为高等学里面的话比较经验，而且啊， 为什么把高数相压到高中里面？高数啊，第一个才是准确，第二个逻辑性基本没有问题。 可能这个话不太好理解，但是他这句话没错啊，你找不出任何的毛病。 刚学有的时候，他话说的不一定很精准，你比如说我们说急了个概念，他是不可以精确的定义为数学概念之一的。是在啊，无穷极的，就第一章啊，十面函数第一章里面讲无穷极的时候，他就已经上面就给你指出了极这个概念哈，是不可以精确定义的数学基本概念之一， 他只能是一种描绘或者描写，但他不是一个精确的概念， 为什么？他书上有写？为什么？只不过这一大论的比较长，我肯定要减数减数。 那么比如说 a 为某集合的元素啊， a 为一个元素哎，元素 a， 他要么属于什么样？ 哎，要么属于一个集合。这集合我们设为一个啊， p 吧，要么怎么的，哎，不在 p 里头，不在 p 里面，不再 p， 这样写也对啊，这样写也对， 高中学是这样写，对吧？比如说我们所说的，比如说举个例子，四分之三，哎，他是属于什么有理数级的啊，属于 q 这个集合，当然他也属于什么 r 这个集合啊， 那么根号二是不属于啊，谁呀？ q 的啊，也不属于 r， 哎，他属于 r， 不属于 q， 不属于 q， 那么一个级的自身绝不能做他的元素。你比如说非常简单的例子， x 不能属于什么呀，哎， x 这个集合不能属于 s 这个集合的啊，一定要记住这句话，一定要记住这句话。然后呢， 两个集合， a 和 b 啊， a 与 b， 如果 a 所有的元素都是 b 的元素啊， a 的所有元素啊， a 的元素都是 b 的元素啊，那我们称 a 为 b 的子肌， a 为 b 的子肌。 av 的司机，那么也叫做 a 包含 b 或者 b 包含于 a， 这句话都是对的，包含于 a 都是对的，那么简称叫做 b 为 a 的包括级，它也叫做包括级， b 是 a 的包括级， 包括机。我们看一下，任何集合 本身是他的自己啊，任何集合本身是他的自己，而且空即是任何即的自己，空即是任何即的自己 啊，那么空即又是任何飞空集合的贞子集，空即又是任何集合的任何飞空集合的 真字记，大家要记住，大家要记住这句话了，那么今天概念就到这里结束。好，谢谢各位收听观看，下期再会。

哈喽，大家好，今天在 qq 群里有人问了一道十遍函数的问题啊，是集合的，是这块的这 f 是零一 b 区间上全体十函数组成的集合。求证， f 的是等于二的 c 字方， 那这个 c 呢，就是实数级的？是哈，有的书上也给他写成这个样子，就是阿拉夫。这是个西伯来文，就是犹太人使用的文字啊，比较难写，我们这块就写成 c 哈。然后二的 c 字方呢，就是实数级的密级的是哈，他比这个实数级的是要高一级。 然后我们一般的十遍函数课本上都会介绍这样一个结论，就是 b 区间上全体连续函数组成的集合，他的是是 c， 但是这道题呢，他把条件放宽了哈，就不再要求你连续了，就是只要是十函数就 可以，就是你的取值，可以是任意取值啊，随便取。那这样一来，函数的个数就增加了吧，对吧，他就让你证明增加到多少了呢？就是增加到 r 的 c 四方。这么多个， 我们来看一下怎么办？那这道题呢，是让你证明一个集合的是等于什么？什么？什么。那按照一般的定义啊，我们就应该建立一个从 f 到实数级的密集，他们之间的一个一一映射， 如果你能建立起来，那你就证明了 f 的是就是二的 c 字方。但是啊，这样做是非常困难的，因为 f 这个集合啊，它包含的范围太广了，任意使函数啊，你可以任意取值，没有任何规律的， 所以你想找这样一个一一对应不太容易。那我们考虑什么呢？我们证明一个集合式等于一个东西啊， 我们最常用的还有一个定理，就是博恩斯坦定理，不要忘了他哈，其实我们在很多关于集合的事证明里边都要用得到他，那一般怎么用呢？就是说 有两个方向，如果你能说明 f 的是小于等于二的 c 次方，同时你能说明 f 的是大于等于二的 c 次方，那么这个定理就告诉我们，他的是就一定等于二的 c 次方，对吧？ 他就大概是这样一个思路哈，那具体来说呢，就是我们需要找到 f 的一个子级， 他的是是等于二的 c 次方，同样呢，需要再找到比 f 大的一个集合，他的是也等于二的 c 次方。这样一来，哎，相当于小一等于大于等于一加，就说明 f 的是就是二的 c 次方，我们就这样来哈。所以首先来 看第一个方向，先找一个比 f 小的就是他的子级，然后使得他的是是二的 c 字方，怎么找呢？我们这样哈，构造 一个集合，我们叫他叫做 a 吧， a 呢，他是 f 里边你把谁挑出来呢？就是把那些零到一 b 区肩上所有的适性函数哈，那这个词可能有人没听说过，特征函数听说过吧，适性函数有的课本上也叫特征函数哈， 这个我们先简单的解释一下，什么叫诗情函数或者叫特征函数啊，就是他一定是跟一个集合联系在一起，比如说有某个集合 e 吧， 然后 e 里边是包含很多数的哈，那我让 f s 等于什么呢？如果你 x 等于呃，属于这个 e 的话，那我就让他的取之为一 f 不属于 e 的话，那取之为零， 这样的话就相当于由 e 导出了一个函数，那这个 fx 导出的这个函数就称为 e 的适性函数，或者叫特征函数。这样给我一个集合，你就可以写出他的适性函数。反过来啊，你给我一个函数， 他的取值只有一和零，那么他就可以导出一个集合，大家来想一下，是不是啊？对吧？因为你只需要把那些取值为一对应的 x， 把他们放在一起做成这个 e， 那这样一来就相当于这个 fx 就是这样，这个 e 他的一个事情函数，所以啊，一个 结合就和一个事情函数，他们之间就建立起这样一个一一对应的关系，那我们就利用这样一个关系来哈，怎么来呢？我们就这样， 我们这个集合 a 就是零一 b 区间上所有的失信函数，然后我再做出零一 b 区间，他的密集就是他的所有子集组成的集合啊，就是他。 那我们来看一下， a 和这个 p， 他们之间是不是可以有一个一一对应呢？按照我们刚才说的啊，这个一一对应其实很好做的，比如说我们就让他是从 p 到 a， 怎么对应呢？你屁中的任何一个元素，他都是零一币期间的一个子级，对吧？这样一个子级就导出了一个事情函数，而这个事情函数可能也是零一上的事情函数。 而如果你这个子集如果选的不一样，那这个事情函数也不一样吧，说明这个集合是一个单摄。而反过来啊，如果对于 a 中的任何一个元素，就是说 任意一个事情函数，我反过去能得到他所对应的那个集合，对吧？而因为 a 呢，是零一上的事情函数，所以他对应的集合也是零一上的一个子集，所以说明我这样建立的这个关系，他是一个一一对应哈。 既然是一一对应的话，所以 a 的是就等于这个 p， 他这个秘籍他的是，对吧？然后不要忘了这个秘籍他是谁的秘籍啊？他是零一区间的秘籍，而零一区间他他这个集合的是就等于 实数级的是，就是 c 吧，对吧？然后他的密集的是，那不就是二的 c 次方吗？于是我就得到了这个 f 他的一个子级 a， 对，写一下吧， a 是 f 的一个子级哈，然后他的是等于二的 c 次方，说明什么呢？说明 你这个 f 的是他是大于等于二的 c 字方的，对吧？ 这是一个方向，已经正出来了，我们接下来来正第二个方向。那第二个方向就比较简单了啊，我们考虑什么呢？ 我们做一个集合啊。 b 他是等于什么？你这个大 f 是有很多函数组成的，对吧？那每一个函数都有自己对应的图像啊。那我把这些图像啊，做成一个大的集合，我就直接这样 写了，小 fx 他是属于大 f 的，那这个图像你可能能画出来，也可能画不出来，但不管怎样哈，每一个函数肯定都有自己的图像，这个是没问题的。 那接下来啊，我们看一下 f 和 b 之间是不是可以建立一个一一对应的关系。这个对应法则很容易啊，就是把 fx 映射到他的图像上，那我们考察一下他是不是一一的哈。首先你如果函数不一样，那你这个图像肯定也不一样，对吧？因为函数不一样的话，肯定至少有一点的函数取值是不同的，那也就相当于这两个点他就是不同的，所以肯定是图像也不一样的。 那反过来啊，你任意给我一个图像，就任意给我一个零一 b 区间上的点组成的这样一个东西，那他肯定都能对应回去。找到一个 函数吧，因为这个函数他是没有任何限制的，他是随意取值的，任意是函数，所以说他肯定也是一个满射，那既是单射，也是满射，所以这就是一个一一对应哈，就是一个双射， 所以 f 的是就等于 b 的是。那我们接下来来思考一下， b 是什么东西啊？ 不要忘了， b 是由所有图像组成的集合，也就说 b 的每一个元素都是一个图像，而一个图像呢，又是由很多点组成的，而这些点呢，都是平面，就是 r 二中的点哈，所以说， b 中的每一个元素都是由很多 r 二中的元素组成的，所以 b 中的每一个元素都是 r 二的一个子集。 大家仔细来理一理啊，我把这句话再说一遍， b 中的每一个元素都是 r 二的子级， 所以啊， b 就是由很多 r 二的子集组成的集合。所以 b 实际是什么呀？ b 实际上就是 r 的密集的一个子集。 来仔细思考啊，这个不太好理解，你多想几遍就把他想清楚了。行了，那接下来啊， 因为我们知道啊，你 r 二的是，他跟 r 的是实际上是一样的，他都是 c， 所以 r 的密级的是就等于二的 c s 方法。现在你 b 呢，又是他的一个子级，所以 b 的是呢，就小于等于二 二的 cc 方，而我们前面又说了，你这个 b， 他跟这个 f 实际上是一对应的，所以就证明了 f 的是也小于等于二的 cc 方，所以啊，有了第一个方向大于等于二的 cc 方，现在我们也有第二个方向小于等于二的 cc 方，所以我们综上 那只能有 f 的是就只能等于二的 c 字方，那这道题呢？就算整明完了。

好，各位同学，大家好，我们今天来讲一下啊，一一对应，什么叫做一一对应？我们来看一下，假设 ab， ab 是两个有限级， a 和 b 啊，是两个有限级， a 等于什么呢？ a 等于集合 abcd， a， b， c， d 啊，那比等于什么呢？比等于的是啊，阿尔法贝塔噶嘛咬他啊， c 嘛啊，那么阿尔法贝塔噶嘛啊咬他 等于这四个严肃能观察下表，观察下表 a b 啊，我们来看一下，当 a 为 a 的时候，那么对应的 b 就是阿尔法， 当 a 为 b 的时候对应的。哎， b 里面元素背他，当 a 为 c 的时候，对应他里面元素就是伽马，伽马当 a 为迪的时候，对应的元素加他加他加他。 那么这时候我们虽说不数，但是我们可以发现 ab 两者的元素个数是相同的啊，是相同的。 那么上面所说的比较法有这样一种特性，就对于任一个集合，他的每个元素，另个集合中有且只有一个元素一直对应，反之亦然啊，反之亦然的。用这种比较法，优点是用于什么？哎，也可以用于 无穷极啊，比如说自然书中的什么，哎，书是一对应的啊，一对应的，那么 a 与 b 啊，为两个集合，那么还有如下的两个性质法则，第一个 a 里面任意一个元素都有 b 里面的唯元素与之对应， 那么且使 b 为任你元素也有 a 里面的为元素与之对应。那么看一下 sy 之间的配对关系，其中外部需要 与 x 不同，称之为叫对应。必须满足四个属性才能成。第一个十之 a 啊，为任意的一个原因是必须有什么，哎，存在，也就是说他是对的。什么？任意和存在？这首先第一个逻辑， 任意和存在对应，也就是说 a 里面随便调， b 里面必须得存在，哎，至少一个元素就配对。还有 句话是什么呀？哎，任意和这是什么呀？每一个也就每一个和什么呀？每一个和，至少 没有，这这两句话是不一样的两个词语。第二，没有 x 的元素可以与 s 多于一个元素配对，没有 x 的元素可以与他多一个元素。那就说什么呢？ 不能比他多，必须得是满足个数的，他多他少的起，不能是他里面多，就是不能是碗里面多，对不对？哎。 第三， s 元素必须与什么样？ s 至少一个元素配对。第四，碗里面的任何元素都不能与 x 的成多个元素配， 注意一二是对。那什么呀？哎，玉 x 的函数函数，我们知道函数是不可怎么样，可不可以一对一？可以，可不可以多对一是可以的，但是不能一对多 啊。半，但是不能一对多哈，不能一个 x 值对应多个外值品。那三，称为的什么呀？哎，函数被称为道外，也就是叫做抛射或投射函数， 而四呢，函数被称为。哎，一对一函数，或者叫注入函数啊，这函数上一个定义，那怎么更加的形象理解这一对应的关系呢？ 说白，大家都知道学生找座位是最好的一对一，为什么这样说呢？第一个，每个学生都要坐在座位上，这是满足第一个要求。 x 白，就好比 s 就是学生，白就是座位，没有人会站立起来，就是没有人不坐座位，你即便叫什么，现在就算没有位置，他肯定也要什么，也要让你坐位，那所以说也就说每个孩子都有什么，哎，座位坐，座位坐，那么没有一个学生在什么一个以上的座位上， 你说没有学生呢？在几个？是不是坐两个凳子，对不对？是不是？而且每个座位都有人坐在那里，也就说没有空座啊，我还是不能对应空的，那么没有座位乘 又不止一个学生，那就一个作业上不能做两个，包括一个学生也不能占多个座位啊，那么这样得数，结论是学生和座位一样多，而且不必计算任何。哎，东西，东西，好，我们来看两个实际的 例子啊我们来看两个实际例子，这两个实际例子非常的啊客观。我们看一下，我们看一下，这是两个圆啊，同心圆，大了叫 b， 小了叫 a 啊，小了叫 a。 我们看一下，把两个圆展开啊，就剪开啊，剪开成直线，那么我们看一下， 我们看一下 b 上面的点到 a 上面点，是不是相当于是 哎，一一对应的，我们看看大汉是不是？虽说这两个现在不一样长，但是我们可以说，哎， a 是 b 的真字机啊， a 是 b 的真字机。如果说用投射角的 来，我们往这地方点出发，往这地方投直线，我们看这个点会对应到这这个点，哎，我再拉一条直线，会对应到这这个点，会拉到对应到这这个点会拉到这对应到这这个点，哎，拉过去对应到这。也就是说任 a 任何的什么样一个点都会在 b 上有投射啊，这就是一个很好的例子。 对等级的概念，这叫对等级，也就说 a 与 b 之间能建立一对应，而且 a 和 b 是对等的，那么叫做对等级，那么也叫做 a。 这个鱼 b， 这叫对等级。对等级。 那我们再用一个例子来说，长方形啊，矩形，矩形。我们知道啊，一对边平行上点击都是对等的，也就是说我从 a， 哎，做什么呀？哎？做垂直 直的直线都在 b 上，有什么呀？哎，有微的点对应，哎，都是无数的对应啊，这个线有无数个，那么点击也有无数个，哎，你看是不是 头射就行了啊？头成垂线啊，垂线，那么这就叫做一一对应。好， ok。