八年级上册数学平方差公式练习册

a 的四次方减去括号里面一减 a 乘一加 a， 快起来乘一加 a 的平方。 那么出现二项式相乘的时候，我们首先想到了平方差公式，嗯，比如说 a 加 b 乘 a 减 b， 就等于 a 方减 b 方。当然了，这地方这个顺序改变了，也要也可以套用公式啊，比如说这个地方， 哎，只要是符号相同，里面有符号相同部分和符号相反的部分，就可以套用平方叉勾式， 比如这一个一减一，一加一，那很显然，这两项首先符合平方差公式。方框加三角乘以方框减三角，方框加三角乘 等于方框减三角，就可以等于方框的平方减三角的平方，那就是方框的平方是一的平方，减三角的平方是一的平方， 一点一的平方，再乘一点一的平方，又符合完体平衡模式，那这地方是方框部分就是方框加三角，方框减三角，是不是方框是个一了？三角部分成了 a 方了？ 带套运公式，方框的平方就是一的平方，三角的平方是一的平方，那这两次都可以套运平方的公式，只不过呢，第一次呢，这个方框部分是一接了部分，呃，三角部分是个一，而第二次套运公式的时候呢，方框部分是个一，三角部分是一平方， 再就是这个顺序，哎，那就说合唱， 那么只要符合标同的部分，嗯，符号相同部分，嗯，一部分是符号相反的部分，符合这个模式的都可以套用公式，屏幕上公示。那么如果不熟练了，我们可以把这顺序改变一下，是不是， 哎，那就比如说这个可以改向顺序的是 a t 方减去，那个改向顺序是一加 a 的平方乘以个一减一的平方。对，同用你说一的平方减一的平方的平方， 然后这里面是一点 a 的四次方，然后再取括号，还没特别像你是二 a 的四次方减一。嗯，你说这个地方，我们 发现只要有呃两能够找出这里面这个像素相同符号相反的部分。你看符号相同的部分，看到方框部分，符号相反的部分呢？看到三角部分，然后呢就可以套用平板上公式。

三倍的二，一加一乘以负二，一加一乘减去括号二分之三一减三乘以三加二分之三一。那么注意只要出现两个二项式相乘，我们首先想的是平方叉勾四，比如这个平方叉勾四呢，就是说 有两个，有一个相呢，是符号相同，而有一个相呢，符号相反或写码数， 符合这种模式的呢，就是可以套用平板上公式，那么这个顺序不一样，要注意可以把它换成这个顺序一样的，比如说这一个啊，二，一加一，二负二，一加一，那个相同的部分是谁啊？一， 相反的部分是谁啊？二一，是不是啊？会写完书，那么我们可以把这顺序改变一下，变成 你看变成一加二一，一减二一，是不就符合平方差公司了？那这个平方的公司，我们可以用个方框加三九，乘以方框减三九，就可以等于方框的平方减三九的平方，那么这个方框部分是一、三九部分呢？十二一，是不是啊？ 方框加三角，乘以方框减三角，是不是来说套用公式就是方框的平方是一的平方，减去三角的平方是二一块钱的平方。他们后面这个你我们观察一下， 二分之三一，二分之三一，符号相同，负三三会相反，那我们可以把顺序换一下，把这盒放在前面，叉放在后面，是不是三加二一，你说换了顺序，把相同部分放在前面， 二分之三一加三，二分之三一减三，那么这方框加三角乘以方框减三角，是不是一加 b 乘以减 b， 方框的平方加三角的平方，那是二分之三 a， 阔气的平方减去三的平方， 拖一平，不差过十啊，那么他就是一减四一的平方，他就是四分之三，四分之九一的平方，那这个分数分别乘方啊，二的平方，三的平方，一的平方减九， 然后呢把这个三乘法分不对乘进去，那就三减十二一方，这后面呢取括号，注意变号四分之九一方减加九变号，然后在合并成立，像是三加九是十二负十二，一方负十四分 分之，就有一方和没可能相识四分之五十七 a 方，那么这个地方一定要注意， 哎，这个顺序只要符号相同，呃，两项二项是相乘，那么有符号相呃，有部分符号相同，有部分符号相反，就可以套用平方上公式，你们可以把顺序换一下，是不是 把相同部分放在前面，后期把数部分放在后面，把盒放在前面，插放在后面，哎，直接套运公司。

本题考察公示法应是分解的综合应用。

各位同学大家好，今天我们来学习初中八年级数学上册第十四章整式的乘法与音式分解的第九课，平方差公式。 下面我们首先来探究平方差的公式，在这个地方呢，我们使用多项式的乘法来推倒平方差的公式。这里我们给了一个 乘法运算，括号 a 加 b 乘以括号 a 减 b。 下面我们使用多项式乘法的法则来计算。 那么我们首先呢，使用第一个多项是当中的第一项 a 去分别乘以，第二个多项是当中的每一项 a 乘以 a， 那么就是 a 的平方。 a 乘以负 b， 那么就是负 a b。 第二步呢，我们用第一个多项四当做第二项 b 分别乘以第二个多项四，当做每一项 b 乘以 a， 那么就是 a b， b 乘以负 b， 那么就是负 b 的平方。 第三步，我们合并同类项，负 ab 和正 ab 是同类项，他们合并之后等于零，那么他们最后等于 a 的平方减 b 的平方。 这样的话呢，我们就使用多项式乘法的法则推倒出平方差的公式。那么平方差的公式我们用语言是这样叙述的， 两个数的和与这两个数差的急等于这两个数的平方差。 下面我们来 对照平方差的公式来总结一下他的特点。第一点，等号的左边呢，是两个二相四相乘， 这两个二项式当中有一项是完全相同的，也就是 a， 另一项呢，是互为相反数，这个指的就是 b 和负 b。 第二点呢，等号的右边是城市中的两项的平方差，也就是一个是 a 的平方，一个是 b 的平方，我们用 a 的平方去减 b 的平方及相同相的平方减去相反相的平方。 下面呢，我们来看一个实力，在这个地方呢，括号四 a 加三乘以括号四 a 减三。这个地方我们可以直接套用 平方差公式，这个四 a 呢就相当于公式当中的 a， 这个三呢就相当于公式当中的 b， 那么他们就等于四 a 的平方减去三的平方， 四 a 的平方，那么他就有等于十六 a 的平方，三的平方等于九，所以最后的结果是十六 a 的平方减九。 下面我们对于平方差的公式在应用当中作为一个拓展， 平方差公式中的字母 a 和 b 可以是单向四，也可以是多向四， 只要符合这个公式的结构特征，就可以运用这个公式。下面我们举一个例子，下面呢，我们有这样一 一个多项式的乘法，括号 a 减 b 加 c， 乘以括号 a 减 b 减 c。 在这个地方呢，我们把它稍微变形一下，我们把它这样写，我们把它写成括号 a 减 b 加 c， 乘以括号 a 减 b 减 c。 在这个地方呢，我们可以看到他是满足平方差结构的特点的，你看前面一下，括号 a 减 b， 这个呢是相同的，然后后面一项他是互为相反数，一个是正 c， 一个是负 c， 所以呢，他是直接可以套用平方差的公式， 所以他的结果就是括号 a 减 b 的平方减 c 的平方。第二点，我们在运用公式的时候， 我们要分清楚哪个是相当于公式当中的 a， 哪个是相当于公式当中的 b， 这个不能够混淆。在我们上面举的这个例子当中，这个括号 a 减 b 就是相当于公式当中的 a， 这个 c 呢，是相当于公式当中的 b。 下面我们把这一节课的基本知识点做一个梳理。第一个知识点，平方差的公式，两个数的和与这两个数差的齐，等于这两个数的平方差。 我们用字母可以表示为，括号 a 加 b， 乘以括号 a 减 b， 等于 a 的平方减 b 的平方。第二个呢，是平方差公式的特征。第一点，公式的 左边呢，是二向四乘以二向四。第二点，前后括号中有两项相同，有两项互为相反数， 在公式的右边呢，第一个结果是一个二项式，第二个呢，他们是平方差的形式。第三点，相同相的平方减去相反相的平方。 第一题，下列乘法中不能够运用平方差公式进行计算的是哪一个呢？ 两个数的和与这两个数差的几等于这两个数的平方差，这个就是平方差公式的序数。下面我们首先来看 a 选项，括号 x 加 a， 乘以括号 x。 哎，在这个地方呢，第一项是相同的，第二项呢，是互为相反数，所以 a 选项是可以运用平方差公式的。 那么 b 选项呢，括号 a 加 b， 乘以括号负 a 减 b。 那么我们把第二个多项式，我们提一个负号出来，那么他就变成了负的括号 a 加 b， 乘以括号 a 加 b。 在这个地方，我们观察他是不能够运用平方差公式的，因为他要求两个数的和与两个数差的起，所以 b 呢，是不能够运用平方差公式。 下面我们来看 c 选项，括号负 x 减 b， 乘以括号 x 减 b。 我们把第一个多项式呢，我们提一个负 号出来，那么就变成了负的括号 x 加 b， 乘以括号 x 减 b， 这样的话呢，他就变成了两个数的和与两个数差的几，所以 c 选项呢，是可以运用平方差公式的。 下面我们看到 d 选项，括号 b 加 m， 乘以括号 m 减 b， 那么我们把第一个多项式的 m 和 b 交换一下位置，因为他是加法运算的，那么他就变成了 m 加 b， 乘以括号 m 减 b， 这样的话呢，是两个数的和与这两个数差的几，所以低选项呢，也可以运用平方差公式。 那么第一题呢，我们就应该要选 b。 第二题，下列各式中 计算正确的是哪一个呢？这个题目呢，是对于平方差公式的一个运用两个数的和与这两个数差的急等于这两个数的平方。下面我们把这四个选项都来计算一下。 a 选项，括号 x 加五，乘以括号 x 九五，那么我们运用平方差的公式，那么它就等于 x 的平方减五的平方，那么它的结果应该是 x 的平方减二十五。那么 a 选项呢，计算是错误的。 b 选项，括号二 x 加三，乘以括号二 x 减三。这个地方呢，我们运用平方差的公式，它是等于两个数的平方差，这两个数分 分别是二、 x 和三，那么就应该是括号 x 的平方减三的平方，二 x 的平方，那么它就等于四 x 的平方， 三的平方等于九，所以他最后的结果是四 x 的平方减九。那么 b 选项呢，也是错误的。 c 选项，二 x 加三，乘以 x 减三。这个题目，我们要注意，这个题目 不能够使用平方差公式，因为他是两个数的和与这两个数差的起，而在这个多项式里面的第一个多项式的第一项是 rx， 第二个多项式第一项是 x， 所以他不能够使用平方差公式。这个题目呢，我们只能使用多项式的乘法去计算， 我们用二 x 去乘以 x， 那么就是二 x 的平方，二 x 乘以负三，那么就是负六 x 三乘以 x， 那么就是三 x 三乘以负三，那么就等于负九， 然后合并同类项，负六 x 加三 x， 那么他就等于负三 x， 所以他最后的结果是二 x 平方减三， x 减九。所以 c 选项呢，也是错误的。 d 选项，括号五 ab 加一，乘以括号五 ab 减一，这个呢，我们可以应用平方差的公式，它是等于括号五 ab 括号的平方减一的平方， 然后他最后的结果就是二十五倍的 a 的平方， b 的平方减一，所以 d 选项呢，是 正确的。那么第二期呢，我们就应该要选 d。 第三题，第一小题，括号 x 加四，乘以括号负 x 加四。这个题目呢，我们要套用平方差公式，需要对它进行变形， 因为平方差公式呢，他是两个数的和与这两个数差的几，那么我们交换一下他们的位置，我们把第一个多样式呢， x 加四，我们把它交换一下四加 x。 第二个多项是呢，负 x 加四，我们交换一下位置，就是四节 x， 这样的话呢，我们就看到两个数的和乘以这两个数差的几，那么 他就应该等于四的平方减 x 的平方，四的平方等于十六，那么最后的结果就是十六减 x 的平方。 第二小题，括号三分之一 a 加上二分之一 b， 乘以括号三分之一 a 减二分之一 b。 这个题目呢，可以直接套用平方差的公式，两个数的和与这两个数差的及等于这两个数的平方差， 也就是括号三分之一 a 的平方减去括号二分之一 b 的平方。 三分之一 a 的平方呢，它是等于九分之一 a 的平方。括号二分之一 b 的平方呢，它是等于四分之一 b 的平方，所以它最后的结果是九分之一 a 的 平方减四分之一 b 的平方。第四题，若 a 加 b 等于五， a 减 b 等于三折， a 的平方减 b 的平方等于多少？这个题目呢，要利用平方差的公式， 那么我们根据平方差的公式， a 的平方减 b 的平方，我们可以把它分解为括号 a 加 b 乘以括号 a 减 b。 在条件当中， a 加 b 等于五， a 减 b 等于三，那么我们可以把条件带入进来，也就是五乘以三，那么他最后的结果就等于十五。 第五题，运用平方差公式计算这个题目呢，是运用平方差公式对于数值的进行解 点计算。第一小题，两千零二十五乘以一千九百七十五，那么两千零二十五，我们可以把它分解为两千加上二十五， 而一千九百七十五呢，我们可以把它分解为两千减二十五。这样的话呢，我们就可以使用平方差公式，两个数的和与两个数差的及等于这两个数的平方差，也就是等于两千的平方减去二十五的平方， 两千的平方呢，等于四百万二十五的平方等于六百二十五，那么他们相减之后， 他们就等于三百九十九万九千三百七十五。第二小题 四十又三分之二，乘以三十九又三分之一。这个题目呢，我们看到第一个数，四十又三分之二，我们可以把它分解为四十，加上三分之二， 三十九右三分之一，我们可以把它分解为四十减三分之二。这样的话呢，我们就可以使用平方差公式， 他们是等于四十的平方减去括号三分之二的平方，四十的平方等于一千六 三分之二的平方等于九分之四，那么他们的差呢？就是一千五百九十九又九分之五。

第二题，先画剪，根据画剪结果，你发现该试的值与 a 的取值有关吗？ 有什么关系？不必说理，那我们就先按照题目，他让我们化解，我们就化解观察一下，这个式子呢，前面是一个多成多，后面呢，是一个单成多，然后再减 a， 所以总共呢，这里有两个符号，有三项啊，相当于分成了三大项。第一项是多成多 解原式等多乘多。我们观察 a 加一乘 a 减一， a 的符号相同， 加一的符一和负一的符号相反，最它符合平方差公式。平方差公式是什么？ s 加外乘 s 减外，等于 x 方减外方。那套用一下公式，那我们这一项就得到了 a 方减一，一的平方还是一吗？第二部分是一个单程度，那我们需要把这个单向式和多项式的每一项都相成，先让 a 乘一的 a， 再让 a 乘负 a 减 a 方，然后呢，这还有一个减 a， 接下来我们和平同类项 a 负 a， 然后呢，加 a 减 a， 也抵消了剩一个负一，所以原式等负一。那么该柿子的值与 a 的取值怎么样呀？无关，它的结果不含 a， 当然与 a 的取值就无关了。

第六题，计算题，这个题目呢是运用平方差公式进行计算，我们首先来看到第一小题，括号七减六 x 乘以括号六 x 加七， 这个题目呢，他可以直接运用平方差公式，我们把这个式子呢改写一下， 括号七减六 x 乘以括号七加六 x。 我们把第二个多项，六 x 加七呢，我们把它交换一下位置变成了七加六 x， 我们可以看到这个呢，就是一个可以应用平方差公式的，两个数的和与两个数差的急，那么就等于这两个数的平方，也就等于七的平方，减去括号六 x 的平方，我们知道七的平方等于四十九六 x 的平方呢，那么就是三十六 x 的平方，所以他最后的结果是四十九减三十六倍的 x 的平方。 第二小题，括号负五分之一 x 加二外，乘以括号负五分之一 x 减二外。这个题目呢，我们要运用平方差公式，需要把这个多项式呢做一下变形， 在这个地方呢是两个多项式相乘，那么第一个多项式呢，我们要提一个负号出来，那么把它变成负的括号 五分之一 x 减二万。而第二个多项式呢，我们也需要提一个负号出来，那么把它变成负的括号五分 之一 x 加二外，因为两个式子都提了一个符号，那么负负得正，那么我们就把它变形为括号五分之一 x 减二外，乘以括号五分之一 x 加二外。我们可以看到这个呢就是一个可以运用平方插孔式的， 所以在这个题目做的时候呢，我们事先需要观察，然后呢对他进行变形，下面我们就可以运用平方差的公式，那么他就等于括号五分之一 x 的平方减括号二外的平方。 五分之一 x 的平方，他等于二十五分之一 x 的平方。二 y 的平方呢等于四 y 的平方，所以他最后的结果是二十五分之一 x 的平方减四 y 的平 方。 第三小题，括号负四 x 的平方减五万，乘以括号四 x 的平方减五万。这个题目呢，我们要运用平方差的公式，那么我们需要把第一个多项式做一下变形， 那么我们首先呢，需要把第一个多项式呢，提一个负号出来，那么他就变成了负的括号，四 x 平方加五万，然后乘以后面的四 x 平方减五万，这样的话呢，我们就可以运用平方查公式， 那么他们的结果就是四 x 的平方的平方，那么就是十六 x 的四十方，然后要减去五万的平方，五万的平方就等于二十五万的平方。最后一步 呢，我们要去括号，括号外面是一个符号，那么去括号之后就要变号，他最后的结果是负的。十六 x 的四次方加上二十五万的平方。 第四小题， a 乘以括号一减二，一加上二倍的括号 a 加一，乘以括号 a 减一。 这个题目呢，前面是一个单项式与多项式相乘，而后面呢，需要运用平方差的公式， 那么首先前面 a 乘以一，那么就等于 a 乘以负二 a， 那么就是负二 a 的平方， 然后在后面呢，我们运用平方差的公式， a 加一，乘以 a 减一，那么他就等于 a 的平方减一， 然后呢再来乘以二。第二步呢，我们去括号二乘以 a 的平方，那么就是二 a 的平方，二乘以负一，那么就等于负二。 第三步呢，我们来合并同类项，负二 a 的平方和正二 a 的平方是同类项，他们合并之后等于零，最后的结果就是 a 减二。 第七题，在等式括号负三 x 的平方减四， y 的平方乘以括号等于十六 y 的四十方，减九 x 的四十方。 这个题目呢，明显是运用了平方差公式，那么我们首先呢，把这个等式的第一个多项式，我们提一个符号出来，那么我们 把它变成负的括号三 x 平方加四外的平方，这个地方呢，我们就有了两个数的和，然后呢，我们再乘以这两个数的差，也就是三 x 平方减四外的平方，下面我们来计算一下。 首先呢，我们运用平方差公式，三倍的 x 的二十米的二十方，那么就是九 x 的四十方，然后减去四倍的 y 的二十米的二十方，那么它等于十六 y 的四十方。 然后我们去括号之后呢，因为括号的外面是一个符号，那么就变成了十六 y 的四十方减九 x 四十方， 那么证明我们填入的这个多项式呢是正确的，我们来比对一下答案。第七题，我们应该要 雪梨。 第八题，若 a 减 b 等于二，则 a 的平方减 b 的平方减四， b 的值是多少？这个题目呢，我们首先利用平方差公式对 a 的平方减 b 的平方进行变形， 那么变形之后就得到括号 a 加 b 乘以括号 a 减 b， 这个呢，是利用平方差的公式， 然后我们看到 a 减 b 是等于二的，那么我们可以把这个值带进去，然后呢我们看到 a 和 b 的关系呢？ a 减 b 等于二，那么 a 呢，就等于二加 b， 那么我们做一个代换， a 减 b， 我们就代换成二，然后呢这个 a 我们就代换成二加 b， 然后再加 b， 然后呢我们去括号合并同对象， b 加 b， 那么就等于二 b 二乘以二等于四，二乘以二 b， 那么就等于四 b 后面有个减四 b， 那么四 b 就抵消了，那么最后的值呢，就是四。 所以第八题呢，我们应该要选 c。 第九题，下列算式中，能够连续两次用平方差公式计算的是哪一个呢？ 什么叫平方差公式呢？两个数的和与这两个数差的急，下面我们来看一看 a 选项， 这个 a 选项呢，我们来观察一下，第一项是括号 x 加 y， 第二项呢，是 x 的平方加 y 的平方，第三项是 x， 括号 x 减外。那么第一次呢，我们可以把第一项和第三项运用 平方差公式，因为两个数的和与两个数差的急，那么他们运用之后，那么他们就得到括号 x 的平方减 y 的平方， 然后呢，他和原来第二个多项式搭配，也构成了可以使用平方差公式，所以 a 选项呢，能够两次连续使用。 b 选项呢，我们看一看， x 加一，乘以括号 x 平方减一，再乘以括号 x 加一，这个呢就不行， c 选项也是一样的， c 选项呢，他只能够运用一次他的第一个 多项式和第三个多项式，那么可以运用平方差公式，计算完之后，他就变成了 x 平方减万的平方，那么他和第二项就是一样的，不符合平方差公式的结构，所以说 c 呢，也只能用一次 a。 第十题已知 n 是大于一的正整数，则下列整数中能够整出四指的是哪一个值呢？这个题目的解题思路，我们是把这个代数四进行计算， 计算完之后看一看，他是下面四个数中的哪一个数的倍数，这个代数四呢，我们可以看到前面的三跟加一乘以括号，三跟减一，这个是可以运用平方差公式的， 他是两个数的和与两个数差的及。后面这个也是一样，括号三减根乘以括号三加根，也可以运用平方差的公式， 三根加一乘以括号，三根减一，我们运用平方差的公式，那么就是三恩的平方减去一的平方，三根的平方，那么就等于九根的平方，一的平方呢还是等于一 后面的括号三减根乘以括号三加根，他也可以运用平方差的公式，三的平方就等于九 九，然后呢减去 n 的平方。第二步，我们去括号，因为这个括号九减 n 的平方呢，外面是一个负号，那么我们去括号之后，里面的两项就要变变号九呢就要变成负九，负恩的平方就要变成正恩的平方。 然后呢，第四步，我们来合并同类项，九恩的平方加恩的平方，那么他就等于十恩的平方负一减九，那么就等于负十。 做到这一步呢，我们来观察一下，我们发现这两个式子呢，都可以提出一个十来，那么我们把这个式子提出一个十来之后，那么就变成了十倍的括号 n 的平方减一，这个呢是可以整出于 十，或者说他是十的倍数，那么就说明这个下列整数中十能够整除这个式子。那么第十题呢？我们就应该要选 c。

有题目我们可以得知， x 加 y 减五的绝对值加上 x 减 y 减三的平方等于零，那么绝对值出来的数是大于零， 某个数一个数的平方也是大于零，那么所以 x 加 y 减五的绝对值等于零， x 减 y 减三的绝对值等于零，那么都是。 所以说就可以算出 x 加 y 减五等于零， x 减 y 减三等于零，那么 x 加 y 就等于五， x 减三就等于减 y 就等于三。 那么要求的是 x 平方减 y 的平方。运用平方差公式的逆运算，也就是 x 的平方减 y 的平方就等于 x 加 y 扩起来成 x 减 y， 那么我们已知已经求出了 x 加 y 是等于五， x 减 y 是等于三，所以 x 的平方减 y 的平方也就等于五乘三，也就是等于十五。

学习了英式分解的知识后，老师提出了这样一个问题，是 n 为整数，则 n 加七的平方减 n 减三的平方的值一能被二十正除吗？若能，求，生命力有，若不能求，取出一个返利。 你能解答这个问题吗？我们首先把这一个式的呢，利用平复差公式，一方减 b， 方减等于 a 加 b 乘以减 b， 把它分解一四。再说一加七的平方减去一加三的平方，这个一加七看的是 a， 一加三看的是 b， 通用公式就是 a 加 b 乘以 a 减 b， 是不是？这是 a， 这是 b， 这是 a， 这是 ba 加 b 乘 a 减 b。 然后在取快号和名特里向 n 加七加 n 减三，这地方取快号 n 加七，这地方前面是负， 注意编号减 n 加三，然后里面的合并成立线， n 加 n 是二， n 七减三十四，这里面合并成立性 n 加 n 消掉了，七加三是十，然后这里面这个二呢，七提供于十，把二七提出来，二乘以 n 加二，后面是个十， 然后再用触摸交换率把十和前面这个二相乘二十倍的一加二。很显然，这一个这一个柿子呢分解，因此以后呢，得出一个 一四是二十乘以一加二，还有一个二十很小呀，他能被二十整除。

本题考察提供英式法分解英式。

第五题，分解因式第五题呢，要求我们使用平方差公式分解因式。第一小题九 x 的平方，减外的平方。那么我们首先写解原式，等于 在这个地方，我们知道九 x 的平方，我们是可以把它写成括号三 x 括号的平方，这样的话呢，我们就把它写成了两个数的平方叉的形式。下面呢，我们就来御用平方叉公式， 他是等于这两个数的和，也就是三 x 和 y 的和，与这两个数差的几，也就是三 x 与 y 的差，那么我们最后的结果就是括号三 x 加 y， 乘以括号三 x 减 y。 第二小题四 a 的三次方， b 的三次方减 ab。 这个题目呢，我们要运用平方差的公式，那么第一步呢，我们首先要提一个供应式，我们观察到这两个单样式呢，他们有一个供应式就是 ab， 我们先把 ab 提取出来， 我们提取 ab 之后呢，括号里面就剩下四 a 的平方， b 的平方减一。 为了让同学们更加清楚的看到我们运用平方差公式，在这个地方呢，我们把四 a 的平方， b 的平方，把它改写为即的乘方的形式，也就是括号 r、 a、 b 括号的平方。 这样的话呢，我们就清楚的看到这两个数一个是二 ab， 一个是一。然后呢，我们把它写成这两个数的和，与这两个数 差的几，也就是括号二 ab 加一，乘以括号二 ab 减一。所以这个题目他最后的结果就是 ab 乘以括号二 ab 加一，乘以括号二 ab 减一。 第六题，把下列各式分解英式，这个题目呢，要求我们使用平方差公式来分解英式。第一小题二十五 x 的平方外的平方减一， 那么我们首先写减元是等于，我们首先呢，把这个四指写成两个数平方差的形式， 也就是括号五 xy 括号的平方减一，然后呢，他就等于这两个数的和与这两个数差的几，那么他 就等于括号五 x y 加一，乘以括号五 x y 减一。 第二小题，负九分之十六 a 的平方，加上四分之八十一 b 的平方，这个呢，我们首先把它写成两个数的平方差，我们把这两个数的位置交换一下，那么我们把它写成 括号二分之九 b 括号的平方减去括号三分之四 a 括号的平方，然后他们就等于这两个数的和与这两个数差的几， 也就是括号二分之九 b 加上三分之四 a 乘以括号二分之九 b 减三分之四 a。 第三小题，括号 号二 a 减 b， 括号的平方减去九 a 的平方，在这个地方呢，我们首先写减原式等于，然后我们把这个九 a 的平方，我们把它写成括号三 a 括号的平方，这样的话呢，我们就把它写成了两个数平方差的形式， 但是你要注意前面这个数呢，它是一个多项式，然后呢，我们来运用平方差公式，那么它就等于这两个数的和与这两个数差的几， 也就是二 a 减 b 加上三 a 乘以括号二 a 减 b 减三 a。 然后呢，我们来合并同列下二 a 加三 a， 那么就是五 a 前面就变成了五 a 减 b， 在后面的二 a 减三 a， 那么就等于负 a， 他就变形为负 a 减 b。 然后呢，我们应该要把这个负号提取一个出来，那么最后就写成负的括号 a 加 b， 乘以括号为减 b。 第四小题， a 的平方，括号 x 减 y， 加上 b 的平方，括号 y 减 x。 这个题目呢，如果我们要运用平方差的公式，那么第一步我们首先要提取公益式， 在这个四当中呢，他前面有一个括号 x 减外，后面有个 y 减 x， 那么我们首先把后面的 y 减 x 做一下变形，我们提一个负号出来，那么就把它变形为 a 的平方，括号 x 减 y 减去 b 的平方，括号 x 九 y， 这样的话呢，我们就可以提取供应室。我们首先第一步呢，把括号 x 九 y 提取出来，然后呢，里面就变成了 a 的平方减 b 的平方，那么这一项呢，我们就可以运用平方差公式， 他就等于这两个数的和与这两个数差的几，所以最后的结果就是括号 x 减 y， 乘以括号 a 加 b， 再乘以括号 a 减 b。 第五小题，三减三分之一 x 的平方，这个题目呢，我们要运用平方差的公式，那么我们第一步首先要提取公益式，这个公式呢，我们提取的是三分之一，这样的话呢，提取三分之一之 后，那么第一项就变成了九，因为三除以三分之一就等于九，而后面一项呢，负的三分之一 x 的平方就变成了负的 x 的平方，这样的话呢，我们就把它转换为两个数平方差的形式， 九呢，我们知道是三的平方，那么九减 x 的平方，那么我们就把它写成括号三加 x， 乘以括号三减 x， 所以这个题的最后结果是，三分之一括号三加 x， 乘以括号三减 x 第六小题九、括号 a 加 b 的平方减四、括号 a 减 b 的平方 这个题目呢，我们首先把它写成两个数的平方差的形式，那么我们写成括号三倍的括号 a 加 b 括号的平方 减去括号二倍的括号 a 减 b 的平方。然后呢，我们运用平方差公式，它是等于这两个数的和与这两个数差的几， 也就是括号三倍的括号 a 加 b， 加上二倍的括号 a 减 b， 乘以括号三倍的括号 a 加 b， 减去二倍的括号 a 减 b。 第三步呢？序括号合并同类相三 a 加二 a， 那么就是五 a， 三 b 减二 b， 那么就等于 b。 在后面一项当中呢， 三 a 减二 a， 那么就等于 a。 三 b 减负二 b， 那么就等于三 b 加二 b， 那么就等于五 b。 所以最后的结果是， 括号五 a 加 b， 乘以括号 a 加五 b 第七题，下列各式其中能够利用平方差公式分解英式的是哪几个呢？我们在前面学习过平方差公式的特征， 他的左边呢，是两个数的平方差。那么我们首先看到第一个负 a 的平方减 b 的平方， 这个呢，是两个数的平方和，因为我们提取一个负号出来，他就变成了负的括号 a 的平方加 b 的平方，他是没有办法去使用平方差公式的。 那么第二个呢？九、 a 的平方减四 b 的平方，这个呢，是两个数的平方差，所以呢，他是可以 使用平方差公式的。那么我们最后把它分解为三 a 加二 b 乘以三个一减二 b。 第三个呢？ x 的平方减万的平方减四，这个地方有三项，而我们使用平方差公式只有两项，而且这个三项没有办法化成两项，所以第三个呢，是不能够使用平方差公式的。 那么第四个呢，负九 a 的平方， b 的平方加一，这个呢，是可以使用平方差公式，我们画了一下， 我们把它画成一减括号三 ab 括号的平方，然后呢，我们就可以使用平方办公室。 第五个呢，括号 x 减减外的平方减去括号 b 减 a 的平方，这个地方呢，是两个数的平方差的形式，只是说这两 个数给的是多项式的形式而已。所以第五个是可以使用的。第六个， x 的四十方减一， x 的四十方可以画成 x 的二次米的二十方，一呢，可以画成一的平方，所以呢，他也是满足平方差公式的特征的， 所以在这个题目当中，二、四、五、六是可以使用平方差公式分解因式的。所以第七题呢，我们应该要选 b。 第八题，将 a 的三次方 b 解 ab 进行应试分解， 正确的是哪一个呢？这个题目呢，我们首先要提供应式 a 的三次方 b 减一 b， 我们观察一下 有公共的这个字母 a 和 b， 然后呢， a 的指数最小只是一， b 的指数最小只是一，所以我们就提出一个供应是 ab， 然后 a 的三次方 b 除以 ab， 那么他就等于 a 的平方，负 ab 除以 ab， 那么就等于负一，所以我们首先提供一式，把它分解为 ab 乘以括号 a 的平方减一， 然后 a 的平方减一呢，可以运用平方差公式，那么他就等于这两个数的和 乘以这两个数的差，所以他最后的结果是 ab 乘以括号 a 加一，乘以括号 a 减一。那么我们观察一下这个第八题呢？我们应该要选 c。

本题考察平方差公式的应用。

第十四题，利用因式分解简便计算，这一个题目呢，是要求我们使用平方差公式实现数值的简便计算。第一小题， 他的分母呢是二百五十二的平方减二百四十八的平方，他的分值呢是一千的平方。 那么我们首先对这个分母使用平方差公式，那么它就等于括号二百五十二加上二百四十八 乘以括号二百五十二减二百四十八分时呢，我们把它写成一千乘以一千， 那么二百五十二加二百四十八就等于五百二百五十二减二百四十八， 八就等于四，那么分母我们就画成了五百乘以四，五百乘以四是等于两千，然后他和这个分值一千乘一千进行约分，那么最后的结果就是等于五百。 第二小题，括号一减二的平方分之一，乘以括号一减三的平方分之一，乘以括号一减四的平方分之一，一直乘到一减二零二零的平方分之一。 这一类题目我们在小学就已经做过很多，像这种题目呢，他是做了因式分解之后， 中间的各项都是可以约分的，他最后剩下第一项和最后一项 这个题目呢，我们首先看到第一项一减二的平方分之一，我们看到一呢可以写成一的平方，而后面这个二的平方分之一实际上就是括号二分之一的平方。 那么我们运用这个平方差的公式，就可以把它分解为括号一减二分之一，乘以括号一加二分之一。后面的各项依次内推。 我们看到最后一项呢，我们把它分解为一减二零二零分之一乘以括号一加二零二零分之一。 第二步呢，我们来做加减预算，一减二分之一，那么就等于二分之一。一加二分之一，那么就等于二分之三，一减三分之一就等于三分之二，一加三分之一就等于三分之四，这个后面呢是一减四分之一， 那么就等于十分之三。一次推到最后呢是一加二零二零分之一，那么就是二零二零分之二零二一。 然后我们观察到，从第二项开始，第二项的二分之三和第三项的三分之二是可以越分的，那么依次向后， 最后就剩下了第一项和最后一项，二分之一乘以两千零二十分之两千零二十一。最后呢，我们把这两个数相乘，他们的最后的结果是四千零四十分之两千零二十一。 第十五题，如图，在一个大圆盘中镶嵌着四个大小一样的小圆盘，以至大小圆盘的直 都是整厘米数。图色部分的面积为七派平方厘米，求大小圆盘的半径。 这个题目呢，我们首先是大圆盘的直径为第一厘米，小圆盘的字迹直径呢为第二厘米。然后呢，我们依据题，我们可以列出这样一个方程， 现在我用这个大圆的面积，也就是派二的平方，这个二呢是二分之一。第一，因为我们设的是直径嘛，这样的话，它除以二，那么就是它的半径， 然后减去四个小圆的面积，小圆的面积呢也是拍二的平方，他的半径呢是二分之一。第二，那么我们就 四乘以派乘以括号二分之一第二的平方。然后已知条件里面告诉我们图色的阴影部分的面积是七派，那么我们就等于七派，这样的话呢，我们就列出了这样一个方程， 然后我们把这个方程将它整理一下，那么我们就得到括号第一的平方减去括号二倍，第二的平方等于二十八。 在这个地方呢，我们可以看到这个地方我们可以使用平方插工式把它分解一下， 那么我们就把它分解为括号第一加上二倍的第二乘以括号第一减二倍的第二等于二十八。这个题目呢，解到这一步 后，我们就要思考一下下面我们如何解这个题目，因为这里有两个未知数，但是他只有一个方程，所以呢我们是没有办法按照以我们以前学习的那个二元一次方程的方法去解题的。 在这个地方呢，我们就需要利用一个条件，在椅子条件里面，他告诉我们椅子大小圆盘的直径都是整厘米数，也就是说第一和第二他们都是整数， 既然第一和第二是整数，那么第一加上两倍的第二，第一减去两倍的第二，他们的结果他们的值也应该是整数。 现在这个两个数，两个整数相乘等于二十八，那么我们按照以前在小学学过的，那么哪两个整 数的几等于二十八呢？我们来把它分解一下， 第一组呢 就是二十八乘以一，在这个地方呢，我写的是第一加两倍的，第二等于二十八，第一减两倍的第二等于一，因为两个整数相加，而且还有个二倍，肯定是那个比较大的做差的，之后呢肯定是这个小的。 然后第二种情况就是二乘以十四等于二十八，也就是第一加两倍的，第二等于十四，第一减两倍的，第二等于二。还有第三种情况，也就是 四乘以七十七，二十八，第一加两倍的，第二等于七，第一减两倍的，第二等于四。在这个地方，我就 按照乘法的运算，把二十八分解为两个整数的级，这里呢一共有三种情况，我们把这个三种情况全部列举出来，然后呢在这个地方我们就可以去解那个二元一次方程， 这里解出来要求第一和第二他都必须是整数。所以说我们解第一种情况，你看我们把这两个方程一加，那么就十二倍的，第一等于二十九， 那么第一呢就等于二分之二十九，二分之二十九，他不是一个整数，所以第一种情况我们要舍去， 那么第二种情况呢，我们解出来，第一呢是等于八的，第二呢是等于三的。 那么第三种情况呢，我们来解一下，我们解除第一的指是二分之十一，这个呢也不是一个整数， 所以这个情况我们也需要舍去。所以在这个地方，我们就求得了 一个大圆的直径是八厘米，小圆的直径是三厘米，然后他问大圆和小圆盘的半径，那么我们把它除以二， 大圆盘的半径就是四厘米，小圆盘的半径呢就是三除以二，那么就是一点五厘米。

初二数学解答题场考题完全平方公式与平方差公式的化减求值。

大家好，今天我们来看这个人教版数学课本八年级上册第一百二十页的典型题，那这类 这类是属于找规律的题目，但是他也有一些跟我们新型题、阅读理解题是相似的，因为你首先需要读懂题目， 在题目中找出规律，找到解题办法，然后参照类比这个方法去解决同类的问题。 我是这样理解的，那么针对这类的题目，怎么去找到其中结论跟前提之间的 关联呢？然后最后推出由特殊推出一般的结论呢？我们一起来分析一下。 大家看到这个题目在他结论三的平方是一个特殊的对不对？ 七平方，十五平方，那我们来看一下三平方是如何得到的，他的劣势是二乘四加一， 那我们提到这类是属于规律题，那么他的结论和前提的假设是有一定关联的，那我们来观察三和二有什么关系啊？我们知道三 减二，三减一是等于二的，而三加一等于四，那我们按照这个规律继续来 由第一步的假设，第二步我们来验证一下是不是这样， 那第二步结论是七七减一等于六，刚好对应到了前提条件的六，再来七加一等于八，是不是对应到了这个八？那我们第二步的验证 看到了一些曙光，感觉这样猜测这样的假设假设是对的，那我们再来进一步验证实物 减一等于十四，十五加一等于十六，这样子是不是进一步验证我们的假设应该来说是对的了？ 那我们再有这个特殊，推出一般假设书说我们最后这个位置推出来的一般规律是 n 的平方，那按照我们刚才的假设验证过程这边等号的左边就应该写为 n 减一乘 n 加一加一 等于 n 的平方，对吧？所以我们结论是这样，所以手 首先这个题目可以先回答第一个问题，你能得的得出什么结论？那我们可以写解， 结论是 n 减一乘 n 加一 加一等于 n 的平方。接着第二个问题，是说你能证明这个结论吗？那我们写出结论之后说理由如下， 那在这里呢，答题的过程把它分成左右两栏来写， 要不然有可能位置会不够，这是什么零？我们看一下 n 减一乘以 n 加一，这个是我们学过的整式惩罚里面的玩呃平方差公式，所以我们可以写，因为 n 减一 乘 n 加一，他是等于 n 平方减一的，那进而呢？所以 n 减一乘 n 加一加一，他就会等于 n 平方减一加一， 那么负一和正一是不是抵消了？所以得到结论，恩，平方，所以这个结论就得正了。

各位同学们好，我是来自北京市第八中学的窦博，今天我们来学习平方差公式，在前面我们已经学习了同底数密的乘法、除法和乘方运算， 以及整式乘法中的单项式成单项式、单项式成多项式和多项式乘以多项式。今天我们来先学习平方叉公式，它可以帮助我们简化运算，提高运算效率。 请同学们和老师看这样一个问题。小明和小蓝分别负责两块区域的值日工作，小明负责一块边长为 a 的正方形空地，小蓝则负责一块长方形空地。长 为正方形空地，边长加五米，宽为正方形边长空地减五米。现在有一天小明对小兰说，咱们换一下值日区域吧，反正这两块的面积大小都是一样的，你觉得小明说的对吗？ 如图，绿色部分就是小明的值日区域，黄色部分就是小蓝的值日区域。小明说他们的面积大小是一样的，下面我们来计算一下， 正方形的边长为 a， 所以它的面积为 a 方平方米。长方形的长为 a 加五，宽为 a 减五，所以它的面积为 a 加五，乘以 a 减五。 前面我们已经学习了多项式乘以多项式的法则，乘开以后化减得到 a 方减二十五平方， 容易看到长方形的面积比正方形的面积少了二十五平方米，所以小明说的是错误的。请同学们和老师计算一下下面这些式子，通过计算你能发现什么规律呢？ 相信你已经很快的计算出来了结果，他们的结果分别是 x 方减一、 m 方减四和四 x 方减一。 我们首先来观察一下这些式子的左侧，他们是两个多项式相乘，而且这两个多项式中其中一项是两数之和， 另外一项是这两个数的差，所以我们能总结出来规律就是两数的和与这两数差的乘积。而右边呢， 你能尝试总结一下吗？没错，右边就是这两个数的平方叉，所以我们能得到这样的规律，两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差。 那你能用含有字母的一般式来表达一下这样的规律吗？我们不妨可以设这两个数为 a、 b， 左边可以表示成 a 加 b 乘以 a 减 b， 而右边可以表示成 a 方减 b 方。 这样我们就得到了一个规律， a 加 b 乘以 a 减 b， 等于 a 方减 b 方。那同学们想一想，我们怎么推导这个规律呢？没错，我们前面学 学习了多项式乘以多项式的法则，利用法则呈开以后为四项，中间两项合并同类项后就能消掉了，所以最后得到 a 方减 b 方。 那么这个规律我们发现它的结果为两个数的平方之差，所以我们称它为平方差公式。用文字序数来表达，就是两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差。 我们观察到平方差公式是多项式乘以多项式化简之后却只得两项，因此我们可以利用它简化运算。那什么样的多项式相乘可以利用平方差公式呢？我们先来看一下公式的结构特点。 在公式的左侧是两个多项式相乘，这两个多项式中都有字母 a， 并且 a 的符号相同，这两个多项式中也有 b， 一个是 b， 一个是复 b， 他们的符号相反。 而右边呢，是两数的平方之差，是谁的平方减谁的平方呢？没错，是相同。向 a 的平方减去相反，向 b 的平方。 利用平方叉公式可以大大提高我们的运算效率。这里 a 和 b 不光光只能代表字母，也可以代表数字单项式或者是多项式。除了从代数的角度说明平方叉公式，请同学们想一想，如 何从几何的角度说明平方差公式呢？还记得我们引力中的问题吗？这里 a 加 b 乘以 a 减 b， 可以看成长方形的面积。这个面积我们可以看成由一个长为 a、 宽为 a 减 b 和一个长为 a 减 b、 宽为 b 的两个小长方形组成。现在我将这块浅黄色的长小长方形切割下来，拼接到大长方形的下方， 如图所示。我们发现这块面积可以看成是大正方形，面积缺了一小块，而缺的这部分面积恰好就是边长为 b 的正方形，所以它的面积可以表示成 a 方减 b 方。 那我们知道这两块图形的面积大小是不变的，所以我们得到了 a 加 b 乘以 a 减 b， 等于 a 方减 b 方。这样我们就从几何的角度说明了平方差公式。 下面请同学们利用公式尝试做这几个习题吧。注意能否利用平方差公式计算，需要找到公式中的相同项 a 相反向 b， 所得结果应该为相同项 a 的平方减去相反向 b 的平方。 我们先来看第一个题， x 加二分之一乘以 x 减二分之一，这里 x 是相同项，相当于公式中的 a 二分之一和负二分之一是相反项，相当于公式 中的 b。 对应结果 a 方减 b 方可以得到。最后结果为 x 方减去二分之一的平方，化减后得到 x 方减四分之一。 再来看第二小题，你能尝试说出相同项和相反项吗？ 我们来看一下三 x 加二乘以三 x 减二，这里三 x 是相同项，相当于公式中的 a， 正二和负二是相反，向二相当于公式中的 b。 利用公式的结果得到三 x 的平方减去二的平方。注意，这里是三 x 整体的平方化减之后应该得九 x 方，所以最后我们这 这道题的结果为九 x 方减四，你做对了吗？再来看第三题和第四小题，你能尝试说出它的相同项和相反项，并尝试利用公式计算出结果吗？你可以在你的导学案上尝试画出来。 我们来看第三题，负 x 是相同项，正二 y 和负二 y 是相反项，所以利用公式得相同项的平方减去相反项的平方，也就是负 x 的平方减去二 y 的平方 化减后得到 x 方减四 y 方。在第四小题中，负二 a 是相同项，三和负三是相反向，所以利用公式得到负二 a 的平方减去三的平 放，最后结果为四 a 方减九。 通过上面的学习，你是否掌握了平方差公式呢？下面跟着老师一起练习一道题吧！ 在下列公式中，不能运用平方差公式的是，我们知道如果能够利用公式，则必须要满足公式的结构特点， 也就是我们需要在式子中找到相同项 a 和相反项 b。 如果两项均为相同项或者均为相反项，则无法利用公式进行计算。 我们来逐项分析一下。在 a 选项中， m 是相同项， n 和负 n 是互为相反项，所以它可以利用平方差公式。 b 选项呢， x 方是 相同项，外方和负外方是相反向，也就是他也可以用平方叉公式。在 c 选项中，负 m 和 m 是相反向， n 和负 n 也是相反向， 所以我们发现他不符合平方叉公式的特征，因此 c 选项不能利用公式。最后来看一下四 d 选项。在四 d 选项中，二 x 是相同项，三和负三是相反项，因此他也可以利用公式。 所以综上所述，最后不能运用平方差公式的是 c 选项。 下面请大家尝试计算这四道题。我们先来看一下第一小题。 第一小题是一个混合运算，其中他有两部分。通过观察我们发现前半部分是可以利用平方差公式进行减算，化减结果得外方减四。 而后半部分呢，他不符合平方差公式的特点，因此我们需要利用多项式乘以多项式的法则进行计算。 通过计算后半部分，我们可以计算出结果为外方加四百减五。注意减这个整体需要带上括号，所以最后我们的划减结果为负四百加一。 再来看第二小题。第二小题是两个数字相乘，这两个数字非常有特点，一个是一百零二，它可以写成 一百加二。一个是九十八，他可以写成一百减二。写成这种形式后，我们发现他可以利用平方叉公式进行减算，减算为一百的平方减去二的平方，因此我们化减后得到结果是九千九百九十六。 所以我们发现平方差公式不光可以运用在整式乘法中，如果数字中满足这样的特点，同样可以利用它进行简算。 再来看第三个小题， x 的 n 次方加四乘，以 x 的 n 次方减四，这里 x 的 n 次方是相同项，可以看成公式中的 a 四和负四是相反项，四可以看成公式中的 b。 利用公式我们就能 够得到结果，为 x 的 n 次方的平方减去四的平方。前面我们学习过密的乘方，所以最后我们的化减结果为 x 的二 n 次方减十六。 再来看最后一个小题，最后一个小题我们发现它是三项相乘，而前两项相乘符合平方差公式的特点，因此我们可以把前两项先计算出来， 利用平方插空式得到前两项的结果为三 a 方的平方减去二分之一 b 的平方。 化减的结果为九 a 的四字方减去四分之一 b 方。我们发现这个结果和后面的一个结果相乘，还是可以利用平方差公式。所以 最后我们化解的结果为八十一 a 的八次方减去十六分之一 b 的四次方。所以我们在遇见多个多项式相乘时，需要先观察能否利用公式简算。 若发现有可利用的公式的式子不在一起时，可利用乘法交换率交换位置，进而再使用公式计算。 我们再来看下面一道例题，在括号中填入适当的整式。这道题与前面有些不同，是给了我们运算的结果，根据运算结果去反推原来乘法中的一个因式。 怎么来做呢？首先，我们需要先观察此题的结果为两数的平方之差，所以我们想到可以利用平方差公 式，再对比左侧已知的音式，分析一下谁是相同项，谁是相反项，进而求出另一个音式。 来看一下第一个小题，它的化减结果为， a 方减 b 方， a 方是相同项的平方，在左边多项式中有 a， 因此它应该作为相同项。所以先把 a 填入括号中， b 方是相反向的平方，左边多项式中有 b， 因此括号中应该填入它的相反数复 b， 这样我们这道题就完成了。 再来看一下第二小题，第二题中化减结果为 n 方减 m 方，也就是 n 方是相同项的平方。 在已知多项式中有一项为父恩，因此括号里应该填入他的相同项。父恩， m 方是相反向的平方，在已知多项式中有一项为 m， 所以括号中应该填入它的相反数负 m， 因此括号里应该填入负 n 减 m。 听了上面两个小题的分析，你能不能自己尝试做后面两个小题呢？三、中化减结果为一减九 x 方， 则我们可以得到相同项为负一相反向为正三 x 和负三 x， 所以我们得到括号中的因式应该为负一加三 x。 在第四题中，化解的结果为， a， a 的四次方减 b 的四次方。对比左边的已知多项式，得到括号里应该填入 a 方减 b 方。 这四道小题我们就做完了，你都做对了吗？对于这类题，我们一定要抓住公式的特点，结合已知条件去分析相同项、相反项，问题就会迎刃而解。 再来看这样一道例题，已知 x 方减 y 方等于十二， x 减 y 等于二，则求 x 比 y 的值。 首先，通过已知条件，我们发现给了我们 x 方减 y 方的值和 x 减外的值，所以很容易能够联想到今天所学的平方叉公式，也就是 x 加 y 乘以 x 减 y 等于 x 方减 y 方。利用这两个已知条件代入公式，我们就可以得到 x 加 y 的值， x 加 y 计算出来等于六。 结合已知条件中的 x 减 y 等于二，我们可以发现这两个可以组成一个二元一次方程组，从而我们可以解得方程组求得 x y 的值，进而可以求出 x 比 y 的值。 这是我们这道题的思路，我们来看一下具体的解题过程。 由 x 加 y 乘以 x 减 y 等于 x 方减 y 方。还有已知条件中的 x 方减 y 方等于十二， x 减 y 等于二。将这两个 条件代入公式中，得到二倍的 x 加 y 等于十二， x 加 y 就等于六。结合已知条件中 x 减 y 等于二和我们刚刚求出来的 x 加 y 等于六，求得 x 等于四， y 等于二， 所以 x 比外的值我们就很容易求出来了，最后的结果为二。 好了，同学们，本节课到此就接近尾声了，下面请你想一想我们今天学习了哪些知识呢？ 首先，我们学习了平方叉公式， a 加 b 乘以 a 减 b 等于 a 方减 b 方。对于这个公式，它有自身的结构特点，所以我们在应用公式时，需要 要先观察所给式子是否满足结构特征，再利用公式进行计算。注意，这里的 ab 具有广泛含义， 平方差公式用文字语言来描述，就是两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。 我们不光学习了平方差公式，还学习了平方差公式的推导过程，利用代数法推导，本质上就是利用多项式乘以多项式的法则化减运算得到结果。 我们还可以利用几何推理法，也就是把这个长方形剪切后重新拼接，利用总面积不变，从而证明了平方差公式。学完了本节课， 你是否掌握了本节课的知识呢？下面是一道拓展习题，热爱思考的你不妨试试吧。 我们先观察一下这个式子的结构，都是和的形式，而前半部分它的数字很有特点，二二的平方，二的四次方，二的八字方和二的十六次方，后半部分都是加一。 那这样的式子不能利用平方差公式，为什么呢？因为他没有差这一项，所以我们想到可不可以构造一项差，从而利用平方差公式求解呢？ 这里我们前面可以构造一项二减一，成了一个二减一，要保持原式不变，所以我们需要除以一个二减一， 这样我们就可以看到分子上是满足平方差公式的特点。我们把前两项乘出来，就是二的平方减一，从而逐项利用平方差公式，最后就可以求得了结果，最后的结果为二的三十二次方。 同学们，相信你经历本节课的学习一定收获很多，但是也需要继续的巩固和练习，才能掌握的更加牢固。这是本节课的课后作业。 第一题，下面各式计算的对不对？如果不对，怎样改正？括号一 x 加二乘以 x 减二，等于 x 方减二，括号二负三， a 减二。乘以三 a 减二等于九， a 方减四。这是第 第二道题，是一道计算题。这道题和我们课上讲的习题非常类似，同学们可以尝试自己完成。 好了，同学们，本节课就上到这里，谢谢各位同学们！同学们，再见！