八上数学怎么画对称轴

这个视频咱来讲讲怎么画轴对称图形。我给你一个三角形，给你一条轴，让你画这个三角形对称过来的图形怎么画？这简单，选三角形的顶点，让他关于这条线对称，再连上就好了。也就是说，想要轴对称图形，只要对称几个点就可以了。那怎么对称点呢？比如这个点 a 怎么做他的对称点？ 你只要过 a 做对称轴的垂线，取这两条线段长度相等，这个点就是 a 的对称点 a 撇了，用同样的方法把每个点的对称点都做出来，再把对称点连线，就完成了图形的对称。 那如果对称轴刚好穿过图形怎么办呢？还是要做三角形 abc。 关于这条线的对称三角形，那就还找对称点点 a 对称过来是 a 撇点， b 对称过来是 b 撇，那点 c 呢？已经过来了呀，别急，你要做的是 c 关于 这一条线的对称点，既然 c 在右侧，那就这么对称过来，他的对称点在左侧，依然顺势连接， a 撇， b 撇， c 撇，这个三角形就是对称之后的结果了。 总结一句话，画肘对称图形的关键就是画出几个关键点的对称点，然后把对称点连起来，不全图形就可以了。好了，为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！

同学们大家好，欢迎大家来到小孙数学本节课我们学习的内容是画轴堆衬图形。 在前面的课程中呢，我们学习了图形柔对称的性质以及柔对称图形的性质。下面呢，大家观察这个图片，在一张半透明纸张的左边画一个左脚印，然后对折，根据这个左脚印呢进行描图， 打开对折的纸，就得到了对应的右脚印。现在大家想左脚印和右脚印是什么关系？对，他们的形状和大小是完全相同的。 在想右脚印上的每一个点都是左脚印上某一点的对称点吗？是的， 因为呢，这两个图形啊，是成轴对称的图形，是由点组成的，所以右边图形中的每一点都是左边图形中某一点的对称点。 比如呢，我在右图中取一点屁撇，点屁撇一定是左图中点屁关于直线的对称点，连接屁屁撇呢？线段屁屁撇还被对称轴垂直平分。 于是呢，我们可以归纳出以下几点，由一个平面图形可以得到与他关于一条直线 l 对称的图形， 这个图形与圆图形的形状大小完全相同，新图形上的每一点都是圆图形上某一点关于直线 l 到对称点连接任意一对对应点的线段，被对称轴垂直平分。好了，那刚才我们是通过折叠的方法画出了右边的图形，现在呢，我们用尺规做图， 只有一个图形和一条直线，能否画出与这个图形关于这条直线对称的图形吗？ 我们先从点开始以至点 a。 你能画出点 a 关于直线 l 的对称点吗？ 我们的目的呢，是要找到点 a 的对称点 a 撇 a， a 撇是关于直线 l 对称的，所以呢， a a 撇呢，是垂直直线 l， 并且被直线 l 平分。所以步骤呢，可以分为两步，第一是垂直，第二是平分。我们 先看第一步，过点 a， 做直线 l 的垂线垂足为 o， 这是第一步垂直。第二步，再平分， 在垂线上截取 o a 撇，等于 o a。 好了，那么点 a 撇呢？就是点 a 关于直线 l 的对称点。现在呢，我们知道了如何画已知点关于直线的对称点， 下面呢，我们开始画与已知图形关于直线对称的图形。看这道题， 已知三角形 abc 和直线 l， 画出与三角形 abc 关于直线 l 对称的图形。 我们知道啊，一个三角形，只要他的三个顶点确定了，那这个三角形呢，也就确定了。所以呢，我们 只要找到点 a、 点 b、 点 c 关于直线 l 的对称点，再顺序连接，就可以得到要画的图形。第一步， 过点 a， 画直线 l 的垂线垂足为 o， 在垂线上截取 o a 撇，等于 o a， 那点 a 撇呢，就是点 a 关于直线 l 的对称点。同理，找点 b 点 c 的对称点，和第一步做法是一样的，这是点 b 的对称点 b 撇，点 c 的对称点 c 撇。 第三步，连接 a 撇 b 撇 b 撇， c 撇， c 撇 a 撇。那三角形 a 撇 b 撇 c 撇，即为所求。好了，那三角形 abc 呢？关于直线 l 的对称图， 图形我们就做出来了，大家发现没有做已知图形关于直线的对称图形，实际上就是做已知图形上的点关于直线的对称点，为什么呢？ 因为几何图形都可以看作有点组成，那对于某些图形呢，只要画出图形中一些特殊点的对阵点，那这些特殊点，比如三角形的三个顶点， 线段的两个端点，做出这些特殊点的对称点，然后再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形了。 那以后呢，大家就可以根据这些归纳的内容做出已知图形关于直线对称的图形。好了，那以上呢，就是本节课的全部内， 下面我们回顾一下本节课都学习了什么。我们主要学习了如何做出一个图形关于某条直线成轴对称的图形， 大家做完之后呢，也可以通过折叠的方法来验证。好，本节课就到这里，同学们，我们下节课见。

同学们好，我是来自北京市第四中学的王亚婷老师。接下来我们要用两节课的时间来学习画九对称图形。在这部分内容中，我们将要学习 做已知图形关于给定对称轴的对称图形认识在平面直角坐标系中，图形的对称引起点坐标的变化特点，并运用他们解决一些问题。 在之前的课程中，我们学过两个图形呈轴对称的相关概念和性质，下面我们一起来复习一下。 把一个图 图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线呈轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 限制。如果两个图形关于某条直线呈轴对称，那么这两个图形全等 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如图，对应点 p p 撇所连线段被对称轴垂直平分。 如图，在一张半透明纸的左边部分画出一只左手印。 如何画出与左手印关于直线 l 对称的右手印对，将这个纸片折叠折叠之后描图就可以描出对应的右手印， 此时画出的右手印与左手印是全等的，右手印上的每一个点都是左手印上的某一个点。关于直线 l 的对称点 对称点所连线段 p p 撇被对称轴 l 垂直平分， 由一个平面图形可以得到它关于直线 l 对称的图形，这个过程我们叫做轴对称变换。 这个图形与原图形的形状大小完全相同，这个图形上的每一点都是原图形上某一点关于直线 l 的对称点， 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分，如图， p p 撇被对称轴垂直平分，对称轴垂直平分，线段 p p 撇。 我们可以通过折纸描图的方法做出轴对称图形，同样的，我们也可以采用夹眼踏印的方法。 那么如何用作图工具做出已知图形的轴对称图形呢？思考，如果有一个图形和一条直线，如何做出这个图形？ 关于这条直线对称的图形呢？刚刚有同学在描右手印的过程中，事先描出了几个关键的点，然后进行连线， 这也是我们数学中常用的一种方法。先从最基础的情况入手，我们知道点是最基本的几何图形，因此我们可以先研究做一个点关于直线对称的图形，再研究线，最后再研究图形。 例题一，求做点 a 关于直线 l 的对称点， 由轴对称的性质之，对应点的连线 a a 撇被对称轴 l 垂直平分，因此，我们可以先过 点 a 画出直线 l 的垂线垂足尾 o， 在垂线上截取 o a 撇等于 o a， 那么此时直线 l 就是线段 a a 撇的垂直平分线，则点 a 撇就是点 a 关于直线 l 的对称点。 第二问，求做线段 a b 关于直线 l 的对称图形， 线段由它的两个端点确定，因此我们不妨先做出这两个端点关于直线 l 的对称点。如图，分别做出点 a、 b 关于 与直线 l 的对称点 a 撇 b 撇，连接 a 撇 b 撇，那么则线段 a 撇 b 撇即为所求。 我们发现线段 a b 关于直线 l 对称的图形还是线段？那么如何验证画出的图形与线段 a、 b 是关于直线 l 对称的呢？ 我们可以用折纸的方法折叠一下，看是否能完全重合。当然，我们也可以在纸线段 a、 b 上任意取一点 p， 看点 p 关于直线 l 对称的点是否落在线段 a 撇、 b 撇上。 如果说点 p 关于直线 l 对称的点没有落在线段 a 撇、 b 撇上，那么此时 a 撇、 p 撇、 b 撇就不在同一条直线上， 则它不是一条线段，显然是不对的。所以，点 p 关于直线 l 的对称点一定会落在线段 a 撇、 b 撇上，因此，线段 a 撇、 b 撇就是线段 a、 b 关于直线 l 的对称图形。 第三问，求做三角形 a、 b、 c 关于直线 l 对称的图形。 同样的三角形 a、 b、 c 是由它的三个顶点确定的，因此，我们不妨先做出三 顶点的对称点，然后再连接。如图，分别做出点 a、 b、 c 关于直线 l 的对称点 a 撇、 b 撇、 c 撇， 连接 a 撇、 b 撇、 b 撇、 c 撇、 c 撇、 a 撇，则三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇即为所求。因此，我们在做一些图形的对称图形时，可以先做出一些特殊点的对称点，然后再连接 好。我们看一个练习，求做三角形 a、 b、 c 关于直线 l 对称的三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。同学们可以动手画一画。 下面有三位同学的做法，我们一起来点评一下。 我们可以看到甲同学他画的 a 撇、 b 撇、 c 撇的位置都是正确的，但是在连线的时候，很明显他没有用尺子，那不是很规范。我们看一下乙同学的画法，乙同学用直尺 连出了这个对应的直线，但是我们能看出他画出的图形和原来三角形是不全等的。 我们能看出他画的对应点 a 撇是不对的，也就对应线段 a a 撇，他不是被对称轴 l 垂直平分的， 大家还发现有什么问题吗？对，他没有标上对应的字母。我们来看一下丙同学的画法，三个对称点的位置都找对了， 连线用直尺连起来，并且都标出了对应的字母，画的非常规范。 我们再来看一遍作图过程，分别做三角形三个顶点。关于直线 l 的对称点， a 撇、 b 撇、 c 撇。 顺字连接 a 撇、 b 撇、 b 撇、 c 撇和 c 撇 a 撇，这样就能得到三角形 a b c。 关于直线 l 对称的三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。因此，同学们一定 要养成规范作图的好习惯，练习把下列图形补成关于直线 l 对称的图形。 同样的，还是先做出这三角形三个顶点。关于直线 l 的对称点，我们可以发现点 c 是落在直线 l 上的，因此点 c 关于直线 l 的对称点就是它本身， 也就是说点 c 撇和点 c 是重合的，因此我们只需要画出点 ab 关于直线 l 的对称点 a 撇 b 撇啊，连接 a 撇 b 撇 b 撇 c 撇 c 撇 a 撇，则三角形 a 撇 b 撇 c 撇。即为所求。我们将图一中的三角形不动，将对称轴 l 向 向左平移一定的距离，就得到了第二个图中的问题。同样的，我们做出这三个点关于直线 l 的对称点，我们发现点 c 的对称点落在了直线 l 的左侧，顺次连接即可。 因此做已知图形的轴对称图形，不同的对称轴对应于不同的轴对称图形， 对于第三个图形，它是一个四边形，我们可以发现这两个点是落在直线 l 上的， 因此我们只需要做出左边这两个点。关于直线 l 的对称点，连线的时候不要忘了连直线 l 上的这个点 顺字连接。对于第四个图，我们发现它的特殊的对应点应该有五个，其中有一个点在直线 l 上，因此我们可以做出这四个点。关于直线 l 的对称点， 此时直线 l 是斜着的，因此我们可以要将三角尺斜过来去画对应的垂线， 做出这四个点的对称点，然后顺次连接就得到了它关于直线 l 对称的图形。 因此，做已知图形的轴对称图形，关键在于做出已知图形中一些特殊 勾点的对称点。我们将刚刚画好的这两个图形放在这。对于第一个图形五边形，我们从它的一个顶点出发，每隔一个点连一条线段， 大家可以看一看画出来的是一个什么图形呢？诶，是一个漂亮的五角星。同样的，对于第二个像风车这样的图案，我们也可以看成是由一个三角形经历一次、 两次、三次轴对称后形成的图形。在生活中，人们常常用轴对称进行图案设计，那同学们 回去之后也可以用简单的几何图形去设计一个美丽的图案。至此，我们可以得出做一个图形的轴对称图形的一般方法。 几何图形均可看作由点组成。对于某些图形，只要画出图形中一些特殊点，如线段端点、几何图形的顶点，他的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 我们还发现对称轴向的点的对称点就是它本身， 不同的对称轴对应于不同的轴对称图形。例题，如图，是一只停泊在平 近水面上的小船，它的倒影应是图中的哪个选项？ 我们可以进行分析啊。小船和它的倒影应该是关于直线 l 呈轴对称的，因此我们可以做出这个小船关于直线 l 的轴对称图形。那我们可以看到应该选的是 b 选项。 如图，有一个英语单词，三个字母都关于直线 l 对称，请补全字母，补全后的单词是， 那么这个图形是关于直线 l 对称的，因此我们可以做出这个图形关于直线 l 的对称图形， 那么我们可以看出补弦后的单词是 b、 e、 d。 下面我们来看一个折纸有关的问题。 将一个正方形纸片依次按图一中的 a、 b 的方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪成图 d 的样子，将纸展开铺平，所得到的图形是图二中的哪个选项？ 好，我们来分析一下。按照 a、 b 的方式对折，应该是将这个正方形纸片先往上翻折，再往右翻折，得到对应的图形 c， 然后减去 左上角和右下角的两个直角三角形，以及右下角的这个四分之一圆，得到的对应的图形。那么对于这个问题的话，同学们可以拿一张正方形的纸片动手操作，剪一剪，试一试。 当然我们也可以利用我们学过的轴对称的知识逆回去思考。我们知道折叠和展开是互逆过程，因此我们可以将最后得到的图形 根据对折方式逆回去还原，那么这一步是向右翻折，因此我们可以将它向左还原，我们可以做 这个图形。关于这条红色直线的轴对称图形，那前一步是往上翻折，因此我们应该是往下还原， 因此我们可以做这个图形。关于这条绿色直线的九对称图形，这样我们就得到了展开之后的图形。因此这个题目的选应该是选择的是 d 选项， 同学们可以用折纸的方式试一试，当然也可以锻炼一下你的空间想象能力。那么利用折对称的姿势逆回去思考，动手试一试如何剪。能剪出 b 选项，那我们可以将 b 选项按照图一中 a b 的方式进行对折。 a 的话是向上对折，所以将 b 选项的图形向上对折，那么上下是重合的，再按照图 b 的方式左右对折， 左右是重合的，因此就得到了右半部分的图形。我们来看一下向上对折，向下重合，得到上半部分图形。左右对折， 左右重合得到右半部分图形。因此我们只需要剪掉左上角和左下角这四分之一个圆，以及右下角的这个直角三角形， 那么就可以得到 b 选项对应的图。因此同学们可以通过动手操作试一试，那么也可以利用轴对称的知识 来解决这类问题。我们来看一个练习，如图所示，把一个正方形的纸片三次对折后，沿虚线剪下。三次对折， 先向上折，再向右折，再向右下方折，然后再沿虚线剪开，得到了这个图形。问，展开铺平后纸片所得到的图形是哪个选项？ 同样的，大家也可以回去拿纸片动手试一试，我们也可以利用九对称的知识逆回去思考。我们将最后得到的图形去进行还原，向右 下方折，因此我们可以沿着左上方进行还原，再向右折，那我们可以沿着左边进行还原， 向上折，因此我们可以向下进行还原，这样的话，我们就得到了展开铺平后的纸片。那么应该选择的是 c 选项， 那么是否能够剪出其他几个选项呢？那我们可以看到，如果要剪出其他几个选项，那每个图形是要能够折叠三次的， 也就是说这个图形上下是对称的，左右是对称的。那我们明显能看出 d 选项是 不符合条件的，它的上下是对称的，但是它的左右是不对称的，因此我们应该能折出对应的 a、 b、 c 三个选项。 那么如何能够剪出 a、 b、 c 这三个选项呢？那么 c 选项刚刚我们已经剪过了， 那我们再看一下对应的 a 选项。对应的 a 选项的话，先向上折，剩下了上半部分图形，再向右折，剩下了右半部分图形，接着再向右下方折，因此它剩下的是这样的一个梯形， 因此我们可以发现它实际上是在三次对折之后，减去了左下角的这个直角三角。 行，这样就能得到对应的 a 选项。我们再看一下 b 选项，同理，先向上折，再再向右折，再向右下方折， 那么得到的是这样的一个四边形，那么我们可以发现他应该是少了上面的这一块， 因此它应该是减去了右上角的这个小三角形，那么得到了对应的 b 选项的图形， 而至于这一类问题的话，我们可以动手操作，那么也可以利用轴对称的知识那么去进行分析。 我们在这节课中学习了做简单平面图形。关于给定对称轴 的对称图形，主要用到了轴对称的性质，连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 做图的一般思路是将图形的轴对称问题转化成点的轴对称问题，因此关键在于做出图形中一些特殊点的对称点。 不同的对称轴对应不同的轴对称图形， 那么我们还利用了轴对称的性质，解决了倒影、折纸、剪纸等实际问题。今天的课后作业有两道题，第一个题，把下面的图形补成关于直线 l 对称的图形， 那我们可以看到这三个图形都是不太规则的图形，那么对于第一个图形的话，我们可以做出这三个点关于直线 l 的对称点，那么连接即可 啊。对于第二个图形的话，它实际上我们可以看到它是由六个点所确定的，因此而这其中有四个点是在直线 l 上的，因此我们只需要做出这两个点关于直线 l 的对称点， 然后再对应的连接啊。此时不要忘记了连接对称轴 l 上的这个点。对于第三个图，我们应该知道他对称之后应该是一个五角星， 那么它有两个点是在直线 l 上的，因此我们只需要做出这一二三四个点关于直线 l 的对称点，然后依次连接即可。 同学们在画完他的对称的图形之后，一定要检查一下，看一看他折叠之后是否能够完全重合 好。第二题，将一个长方形的纸片按如图所示的方式对折 啊。第一个应该是先向右折啊，图二是向右上方折，然后沿着图三的虚线进行裁剪，得到了图四，那么最后 将图四的纸片展开铺平，得到的图形是那同样的，对于这个问题的话，我们也有两个思路， 一个是我们可以找一张长方形的纸片，按照他如图所示的方式动手操作剪一剪。当然，我们也可以利用我们所学的轴对称的知识来进行分析，可以提高我们的空间想象能力。对于图四这个图形， 我们可以把它逆回去还原，它是向右上方折，所以我们可以先把它向左下方还原， 接着他是向右折，所以我们可以把这个得到的图形再向左进行还原。这样的话，我们就可以得到他展开之 后的图形啊。同学们可以动手试一试。同样的，我们还可以进一步思考， a、 b、 c、 d 这四个选项是不是都能够按照这样的方式对折能够剪出来？ 如果能剪出来，那么应该如何剪？同学们可以回去继续思考一下。 好，今天的课就上到这里，同学们再见！

同学们大家好，欢迎大家来到小孙数学，本节课我们针对画轴对称图形讲一些习题。 看第一题，做图体，在图中画出三角形 cde 关于直线 ab 的对称图形，三角形 c 撇、 d 撇一撇。好了，我们看 做三角形 cde 的轴对称图形呢，我们关键呢，是要找到一些特殊点，做这些特殊点的对称点，我们看哪些是特殊点呢？三角形 cde 的三个顶点对不对？点 c， 点 d 和点 e。 把这三个点关于直线 ab 的对称点找到，依次连接就可以了。好，我们先做点 c 关于 ab 的对称点，怎么做呢？我们知道对应点连线，他 被对称轴 ab 垂直平分，所以首先呢，我们是过点 c 做 ab 的垂线， 截取这两段线段相等，那此时呢，点 c 撇我们就找出来了。好了，下面呢，用同样的方法，我们找到点 e 关于 ab 的对称点 e 撇，点 d 关于 ab 的对称点 d 撇，依次连接， c 撇， e 撇， d 撇。 好了，三角形 c 撇，地撇一撇，我们就做出来了。第二题，在三乘三的正方形网格中，格线的焦点成为格点， 以隔点为顶点的三角形称为隔点三角形。下面四个图中的三角形为隔点三角形。那在图中呢，分别画出与已知三角形成轴对 对称的隔点三角形，我们看在这四个图形中呢，画出与已知图形对称的三角形，我们可以根据隔点画出不同的对称轴，根据对称轴呢，可以做出已知三角形的对称三角形。 大家可以再开动脑筋，还能画出几种图形呢？自己刻下练习一下。 好，我们看第三题，线段 a、 b、 c 撇、 b 撇分别是两个以直线 m、 n 为对称轴的三角形的某一边是画出完整的三角形 a、 b、 c 和三角形 a 撇， b 撇 c 撇。 要想画出这两个完整的三角形，我们一定要知道这两个三角形的顶点是不是。好了，目前呢，我们 只知道其中的两个点，下面呢，我们把另一个点找到就可以了。先看点 a， 点 a， 关于 mn 的对称点是非常好做的，刚才呢，我们已经讲到了过点 a 呢做 mn 的垂线，截取这两段线段相等， 点 a 撇就找到了点 b 和点 b 撇是题中给我们的，那下面看点 c 撇，点 c 撇关于 mn 的对称点是点 c， 所以呢，我们可以过点 c 撇做 mn 的垂线， 截取这两段线段相等，那么点 c 就找到了。好了，每个三角形的三个顶点我们都找到了，依次连接就可以了。好，以上呢，就是本节课的习题精讲，同学们，我们下节课见。

今天我们来看这样一个题，如图，在正方形网格中有一个三角形 a、 b、 c， 每个小正方形的边长均为一 d。 小问，做三角形 a、 b、 c。 关于直线 m、 n 的对称图形，不写做法， 我们要想画对称图形，就要先去找关键点的对称点。我们来看这个三角形 a、 b、 c， 它的关键点就是 a 点、 b 点、 c 点，那么我们就先找出 a 点、 b 点、 c 点。关于 m、 n 的对称点怎么来找呢？ 因为这个题他是在方格纸上做图，所以我们不需要去画垂线，只需要去数格子，就可以找出他的对称点。比如说 a 点，他距离 m n 有两格，那么他的对称点应该在 m n 的右侧，距离 m n 同样是 两格一、二，所以这个就是 a 点的对称点，我们把它叫做 a 一，同样可以找 b 点的对称点。 b 点距离 mn 这条线，它是一、二、三、三格，那么它的对称点距离 mn， 同样是三格一、二、三，所以这个就是 b 点的对称点。 同理可以找出 c 点的对称点，在这这里是 c、 e， 那此时我们就用尺子将 a、 e、 b、 e、 c、 e 三个点依次连接起来，就构成了三角形 a、 e、 b、 e、 c， e 就是三角形 a、 b、 c 的对称图形。 作图要用铅笔做，并且一定要用尺规作图，这个是作图要注意的地方。那么第一问就结 中的那格式怎么写呢？解，第一小问，三角形 a、 e， b， e、 c， e 即为所求， 现在我们来看一下。第二小问，在直线 m n 上找到一个点 p 时的 p a 加 p， c 最小。这个是我们以前学过的最短路径问题当中的将军引马问题。像这种问题，我们的做题方法是， 第一步，先找出 a 点或者 c 点关于 m、 n 的对称点，那么你随便选一个就行了。假设我们找 a 点关于 m、 n 的对称点，那就是 a、 e 这个点。第二步，将 a， e 这个点和 c 点连接起来， 连接起来之后， a、 e、 c 这条线就和 m、 n 这条线有一个交点，这个交点就是我们所要求的 p 点， 那么因为它要 p a 加 p c， 所以我们用 p a， p c 这两段用实线连接起来， a、 e， p， 这里用虚线连接起来。好，下面写一下解体步骤， 如图，批点即为所求，做法如下， 下面我们来看一下第三文。求三角形 a、 b、 c 的面积要求三角形的面积，我们想到的第一个方法就是用三角形的面积公式，但是很显然在这个题当中行不通，那么怎么办呢？ 我们用另外一种方法叫做拼凑法。我们将三角形 a、 b、 c 放到红色的这个四边形当中，那么此时同学们看一下，我们可以把红色的这个四边形面积求出来，然后再把最小个三角形面积求出来， 再求出这一小个三角形面积，求出这一个三角形面积。用这个红色四边形面积减去这三个小三角形的面积，就可以得到中间这个三角形 a、 b、 c 的面积。这个方法就是我们常用的拼凑法。 首先先求出四边形的面积，这边长为二，这边长为三，二乘以三等于六，然后再求出这个 三角形的面积。这一小个三角形的面积可以看出它的底，如果这边为底的话，底就是二，高就是一，用三角形的面积公式来求，同理求出这个三角形的面积和这个三角形的面积， 求出之后用这个四边形的面积减去三角形的面积，所以 s 三角形 a、 b、 c 就等于六，减一，减二分之三，再减一， 这样的话这个题就完成了，同学们看一下。

各位同学大家好，我们上一节课学习了与线段的垂直平分线有关的作图，那么这一节课呢，我们继续来学习作图，主要的是画作对称图形。 那么请大家看，我这里面有一个有一幅画，再有一根直线，现在请你以这条直线作为对称着画出关于这条直线对称的这个图形的另一个部分，那么能画的出来吗？ 那么这样呢？我们这幅图案就是关于这条直线成做对称的。那假如我再给你一条直线，叫你把这幅画关于这条直线对称，我们又可以画出来。如果接着画 右边的这根直线，都是左边这个图案，左边这个图案 跟这一条直线这个图案，这两个图案关于这条直线对称。那么经过这样画，我们就可以画出一幅很美的图案。这个图案呢，实际上是都是做对称的。 那么大家继续看，假如我给你这个图案，再给你这样一条直线，要你画出这个图案，关于这条直线成主对称的图形，能画的出来吗？同样的我们可以画出来，对吧？ 那假如再给你一条直线，把上面这两个图案看作一个整体，让他关于这条直线对称，画出他的对称图形，那我们又可以设 记错这样的一个比较漂亮的图形。再比如说我这里面给你一个福的灯笼，给你不同的对称着，那么我们就可以设计出这样的一幅福的灯笼的图案 啊。利用着对称，我们可以设计出一些很美的图案。好，那现在我们就来做一做， 请大家在一张半透明纸的左边部分画一只左脚印，然后把这张纸对折以后描图，然后打开对折的纸，我们就能得到相应的右脚印了。 我们把它把这张白纸透明的白纸对折对折以后描图， 秒了以后得到的就是右脚印，得到就是相应的右脚印。那么请大家注意观察，仔细观察这个图，左脚印和右脚印有什么关系？左脚印和右脚印什么关系啊？是不是称左对称啊？ 再看这个对称着呢，是折痕所在的直线，也就是直线 a l。 那么这个直线 a l， 它与图中的线段 p p p 是什么关系呢？ p 顶 p p 顶是一堆对称顶啊。这是什么关系啊？ p p p 与 a l 什么关系啊？ 是不是对称着 l 就是线段 p p p 的垂直平分线啊。那也就是说明直线 l 垂 直平分线段 p p p 对吧？直线 l 垂直平分线段 p p p。 好，我们归纳一下。 有一个平面图形，我们可以得到与他关于一条直线 l 对称的图形。一个平面图形，比如这个脚印 给你一条直线 l， 那我们就可以得到关于这条直线对称的图形。那么这个图形 画出来的这个图形与原来的图形形状和大小是完全相同的。这是第一个特征，画出来的这个图形和原来的图形形状和大小完全相同。第二个特点就是新图 图形上面的每一个点都是原图形上面的某一个点。关于这条直线 l 的对称点，你像 p p， 我可以在原图当中找到 pd 音。关于执行 l 对称 第三个特点，我连接任意一对对应顶的线段，都被对称着垂直平分。比如说我连接任意的这个顶 p 顶 p p 这一对对称顶，它都被这条直线 a、 o 垂直平分。 这是一个平面图形啊。我可以得到与他关于一条直线。哎呦，对称的图形。对称的图形。那么这个对称的图形跟原来的图形有什么有什么 特点呢？对称的图形与原来的图形形状大小是完全相同的。新图像新图形上面的每一个点都可以在原图形上面找到一个点。关于 l 对称。 第三个呢，就是零级任意一对对称点，这样的线段都被对称着垂直平分，都被对称着垂直平分。好利用这样的性质，我们来做两例题。你 将一张正方形纸片，按照图一、图二所示的方向对折，然后沿着图三中的虚线剪裁，就得到了图四。那么将图四的纸片展开铺平，那么再得到的 图案是哪个呢？看看再得到的图案是哪个？对折，再对折，然后紧，那么再得到的图案是哪个啊？ 我们只要动手做一做，紧一紧就可以得到了。是哪一个啊？就是 b， 就是 b， 就是这个形状，动手做一做就可以出来了啊。动手做一做好，我们再看一二。 如图将长方形 a、 b、 c、 d 沿着 d、 e 折叠，使得顶 a 落在 b、 c 上面的 f 处。 如果角 e、 f、 b 这个角等于五十度，那么角 c、 f、 d、 d 的度数为多少？ cf 角 cfd 的度数为多少？那么将长方形 a、 b、 c、 d 沿着 d 一这个折叠，那么折叠说明 d 一就是对称着折叠过来。这两个图形实际上就是关于 d 一 乘着对称对吧？那么乘着对称的两个图形一定是全等的图形对吧？所以这个是九十度，那么这个角也是九十度对吧？ 那么这是五十度，那么这个角呢？就是四十度了吗？所以角 c、 f、 d 的度数，那么就是选 c 了，四十度。说明一下，折叠实际上是一种做对称变换，折叠前后的图形形状和大小是不变的，对应边和对应角 都是相等的。折叠啊。折叠是一种左对称病患，像我们刚才把那个脚面折叠，折叠是这样，两个图案就是完全形状大小完全相同。好，下面我们就来学习如何做左对称图形。 那么如何画出一个顶的做对称图形呢？我这有一条直线， l 还有一个点哎，那么现在请你画出点关于这条直线哎呦的对称点。 ap。 我们从最简单的开始 画一个点关于 l 的对称点，那怎么画呀？第一步，根据大家想，假如我已经画出来了，心想啊，假如已经画出来了， 那么顶 a 和顶 ap。 关于 l 对称，那么把 aap 连起来，这一对对称顶的零线是不是 b l 垂直平分啊，是不是 b l 垂直平分啊。 所以我们画的时候怎么画呀？我只要过 a 点做 l 的垂线，做了垂线以后，然后在这个垂线上面 找到这么一点，比如这一个 hap 跟 ha 相等就行了。那就这样画。那么对称点呢？我们就画出来了，就是让 l 成为 aap 的吹的平分线。 所以做法的第一步，固定 a 做 l 的垂线，垂着为 o。 第二步 在垂线上面汲取 o a p 是等于 o a， 汲取 o a p 是等于 o a， 那么顶 a p 就是顶 a。 关于直线 a o 的对称底，那么这就画出来了，大家看到了吗？怎么画？ 因为 aap 这条线段被直线 l 垂直平分，所以第一步就是过顶 a 做直线 l 的垂线，找到垂着， 然后在垂线上面汲取 o， a p 等于 o a， 也就是让 o 零成比。 a i p 的终点又是垂线又是终点，那么 a o 就是垂的平分线了，对吧？这就画出来了。好，那么一个点关， 一条直线的对称点我能画出来了。那下面接下来你能不能画出一条线段关于某条直线对称的线段呢？同样的我们可以画。 那如何画一条线段的对称图形呢？要画线段，我们关键就是确定线段的两个端点，是不是找到两个端点就行了，怎么画呀？找到 a 点关于 a o 的对称点 a p， 找到 b 点关于 l 的对称点 b p， 然后 a p b p 一零就是 a b。 关于直线 l 对称的线段，这就画出来了，你们看到怎么画呢？画出线段 a b 的两个端点关于 a r 对称的对称点。对称点找出来，一拧，这条对称线段就画出来了。那我们再看 线端 ab， 如果是这样放的， b 点正好就落在对称着上，那么 b 点关于 l 的对称点，对称着上面的点就是它本身啊，就是它本身。 对称主上面对应顶啊，对称顶就是它本身。所以我只要画错 a 顶关于 l 的对称顶 ap， 那么再把这个 b 顶 bp 顶是重合的，然后再把 apbp 连起来就行了。 那假如 ab 两点分布在直线 l 的两侧呢？画的方法一样，画出 a 点关于 l 的对称点 ap， 再画出 b 点关于 l 的对称点 p a p b p。 大家注意，你在画的时候，线段 a、 b 和线段 a、 p、 b、 p 相交，焦点一定落在对称桌上，焦点啊，一定落在对称桌上。如果你焦点不画在对称桌上，那么你就画的有问题喽。 好，这是画一条线段的对称图形，我们可以把它画出来。 那么想一想，假如说我现在不是线段的，我现在有一个图形和一条直线，那么如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？ 我们看第三，假如我现在这里面是这样一个三角形 a、 b、 c 还有一条直线。哎呦，请你做错 三角形 a、 b、 c 关于直线 l 对称的图形做错。与三角形 a、 b、 c 关于直线 l 对称的图形。那怎么画呀？ 三角形啊，这三个顶顶吗？三个顶顶定下来，是不是这个三角形的形状就定下来了，三角形的位置就定下来了。所以我们只要 找到 a 点、 b 点、 c 点这三个点，关于 l 的对称点就可以画出来了。是不是？ 然后连接这些对称点，我们就能得到所画的图形？好了，动作画一下。故 a 点画直线 l 的垂线，然后得到垂着为 o， 在垂线上面截取 vp 等于 v， 那么 ap 点就是定 a 关于直线 l 的对称点。下面接下来同理，我分别画错 b 点关于 l 的对称点 bp， 再画作 c 点关于 l 的对称点 cp， 那么三个对称点都有了。然后只要连接 apbpcp 就得到了三角形 a p、 b p、 c p 这个三角形 a p、 b p、 c p 就是我们所要求做的三角形。会了吗？ 一个图形啊，我只要找到图形上面相应的点，他的对称点，对称点找到了，那么这一个图形只要把线段选刺连接起来，就可以得到我们所需要的三角。 行了，这就画出来了。好，那我们总结一下做左对称图形的方法。 几何图形我都可以看着是由点组成的，那么对于某些图形呢？只要做错图形中一些特殊点，比如线端的端点啊，做错特殊点的对称点， 然后连接这些对称点，就可以得到原图形的做对称图形。会了吗？ 因为几何图形都是由点组成的，所以呢，只要找出图形当中的特殊点，特殊点，做出它的对称点，然后连接这些对称点，就可以得到原图形的做对称图形了。好，下面呢我们再看个例题。 在三乘三的正方形格点图中，由格点三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 g、 f。 并且呢三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 g、 f 是关于某一条直线呈着对称的。 请你在下面给出的图中画出四个这样的三角形 d、 g、 f， 要你把这个三角形 d、 g、 f 画出来。这里面啊点了三角形 a、 b、 c， 那么三角形 d、 g、 f 在哪个位置？是由它的对称着所确定的，对不对？所以呢，你首先来找对称着的位置。假如说我的对称着是这一条正方形的这样一条对角线，那么你能 能不能画出三角形 a、 b、 c。 关于这条直线 l 对称的三角形啊，把这个 dj f 就画出来。这里面关于直线 l 对称。那么 这个 a 点的对称点，一点的对称点， f 点的对称点。大家看 a 点的对称点， d 点是不是就是跟 a 点重合啊？那么 c 点的对称点呢？是不是就是跟 c 点重合啊？ f 点。那 b 点关于 l 的对称点呢？是不是就是这一个点啊？那么三个点找出来了，这个三角形不就画出来了吗？对吧？所以三角形 d、 e、 f 与三角形 a、 b、 c 就关于这一条直线对称了。这是正方形对角线所在的直线。那假如我把对称轴的位置 再换一换，比如说我把对称着换成这样过来的。对角线所在的直线，这个是对称着。那么你怎么画呀？那么找到我找啊， 现在你就找啊，找对称顶啊。 c 顶的对称顶是不是就在这个地方啊？ b 顶的对称顶是不是就是它本层啊？那么 a 顶的对称顶在哪里啊？ 嗯， a 顶的对称顶是不是就在这啊？ c 顶的对称顶呢？是不是 c 顶的对称顶在这？那么 a 顶的对称顶在哪里啊？你能不能找的出来啊？那都可以把它找出来啊。 那 b 点它的对称零一点跟它重合， c 点它的对称零就在这个地方。那么 a 点 它的对称点就在这个地方。那么三个点找到了，所以这个三角形我们就可以画出来了，对吧？对称着在这。 那假如我们把对称轴的位置再换一换，比如我这个对称轴就在这儿，那么 c 顶它的对称顶就在这个位置，对吧？ a 顶的对称顶呢，是不是就跑到这儿啦？那 b 顶的对称顶呢？是不是就跑到这儿啦？所以呢， 这个对称顶找到了，那么相应的三角形我们就画出来了，对吧？好，那么这个对称着是这一条啊。现在我们把对称着再换一换， 假如我的对称着是这样一条直线呢？是这个三乘三方格的这个中线中间 这样一条线。那我们找找看， c 顶的对称顶是不是就跑到这了？ b 顶的对称顶是不是就跑到这了？ 那么 a 顶的对称顶呢？是不是就跑到这了？所以我们就可以对称顶找到了，那么这个三角形我们就可以画出来了，对吧？ 所以这里面要你画出四个这样的三角形。 djf 那你就给我找出四条不同的直线作为对称着，那么就可以把相应的图形呢画出来了。 这是画图总结一下方法，做一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键就是做错图形上面一些点关于这条直线的对称点，然后我们再根据 已知的图形将这些点呢连接起来，那么就得到了我们所要求做的图形。好，那我们这一节课呢，主要的是讲的如何做做对称图形， 我们的方法就是先找对称底，然后再把对称底呢拧起来。大家这个画做对称图形会了吗？ 那么课后请同学们把课本上面六十八一本逆袭两个题目呢，大家把它画一画。我们这节新课呢就先讲到这，各位同学再见。

同学们大家好，欢迎大家来到小孙数学，本节课我们继续学习画轴对称图形。 上节课我们学习了如何画一个图形与已知图形关于某指尖对称， 现在呢，我们把对称轴想象为坐标轴，本节课呢，我们一起来探究关于 x 轴外轴对称的点的坐标规律，并做出关于 x 轴外轴对称的图形。 大家看这张笑脸，我们设左眼为点 a， 右眼为点 d， 左嘴角为点 c， 右嘴角为点 d。 点 a 的坐标为二三点 b 为四三点 c 为二一点 d 为四一。下面呢，大家思考几个问题， a、 b、 c、 d 四个点。关于外轴对称的点 a 一 b 一 c 一 d 一的坐标分别是多少？ 我们先看点 a， 根据轴对称的性质，点 a 与点 a 一，关于外周对称，那么点 a 到外轴的距离和点 a 一到外轴的距离是相等的， 这两个点呢，到 x 的距离也相等，那点 a 的坐标是二三啊，这段是二，这段是三，所以呢， a 一到外轴的距离也是二哎，这段长呢，也是三，那点 a 一呢，又在第二详细， 所以点 a 一的坐标是多少啊？横坐标是负二，纵坐标是三，对不对？ 用同样的方法，点 b 四三他。关于外轴对称点 b 一坐标是负四，负三 点 c。 关于外轴的对称点 c 一坐标是负二一点 d 呢？关于外轴的对称点的坐标 d 一是负四一。好了，那下面大家观察关于外轴对称点的坐标，他们都有什么关系呢？ 我们发现，关于外周对称的点的坐标啊，纵坐标是不变的，横坐标呢， 是互为相反数，对不对？看点臂点臂。关于外轴的顿衬点，第一，纵坐标是不变的，横坐标互为 相反数。好，我们再看第二个问题， a、 b、 c、 d 四个点。关于 x 轴对称的点 a 二、 b 二、 c 二、 d 二的坐标分别是多少？ 我们依然呢，是根据轴对称的性质，点 a 与点 a 二。关于 x 轴对称，因此呢，点 a， 他到 x 轴的距离和点 a 二到 x 轴的距离是相等的，同时呢，这两个点呢，到外轴的距离也相等。 那么点 a， 他的坐标是二三，所以呢，这段长呢？是二，这段长是三， 所以这段长呢，他也是三。大家看点 a 二，他到 x 轴的距离是三，到外者的距离是二。那又因 为点 a 二啊，他在第四相线，所以他的坐标为二负三。好了，那点 a 呢？关于 x 轴对称的点 a 二坐标是二负三，同理，点 b 四三。关于 x 轴对称，点 b 二坐标是四负三， 点 c 呢？关于 x 轴对称，点 c 二坐标为二负一，点 d 呢？关于 x 轴对称点第二是四负一。大家观察关于 x 轴对称的点的坐标，他有什么特点呢？ 我们发现和刚才关于外轴对称的点的坐标正好相反，是不是关于 x 轴对称的点的坐标，他的横坐标是不变的，纵坐标互为相反数啊？我们 看点 c， 点 c 的坐标是二一。关于 x 轴对称的点 c 二的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数。好，那下面呢，我们总结一下坐标系内点。关于坐标轴对称的点的坐标变化特点， 点 x y。 关于 x 轴对称的点的坐标为 x 负 y。 大家看，关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数 点 xy 关于 y 轴对称的点的坐标为负 xy， 纵坐标不变，横坐标互为相反数。有一个简单的记法，大家可以这样来记， 关于谁对称谁不变，另一个变为原来的相反数。关于 x 轴对称呢，横坐标不变，纵坐标互为相反数。关于外轴对称，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。 好，这就是坐标 c 内点关于坐标轴对称的点的坐标变化特点，那下面呢，我们就可以根据这个特点画出与一个图形关于 x 轴或外轴对称的图形。 看这道题，如图，四边形 abcd 的四个顶点坐标分别为点 a， 坐标是负一点 b 是负二一点 c 呢，是负二五点 d 是负五四，分别画出与四边形 abc， 关于 y 轴和 x 轴对称的图形，我们先看关于外轴对称图形， 我们可以先求出 abcd 这四个点关于外轴的对称点，然后依次连接就可以了。我们看点 a， 关于外轴的对称点是谁啊？关于外轴对称，纵坐标不变， 横坐标变为原来的相反数。所以呢，点 a， 负五一，他关于外轴的对称点是五一啊，纵坐标不变，横坐标由原来的负五变为了五。 好了，那同样的方法，点 b 呢？它关于外轴的对称点，纵坐标不变，还是以横坐标变为原来的相反 数，变为二点 c， 关于外轴的对称点 c 一，坐标为二五点 d， 关于外轴的对称点，那是第一五四好，关于外轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数， 点 a 一 b 一 c 一第一我们都找到了，依次连接就可以了。好，这个四边形呢，就是与四边形 abcd 关于外轴对称的图形， 下面呢，我们画与这个四边形关于 x 轴对称的图形，用同样的方法，我们只需找到点 a、 点 b， 点 c、 点 d 关于 x 轴的对称点，再依次连接就可以了。先看点 a， 点 a 关于 x 的对称点，关于 x 轴对称，横坐标不变还是负五纵坐标变为相反数，变为负一， 用同样的方法，我们依次求出点 b， 点 c， 点 d 关于 x 轴的对称点，横坐标不变，重坐标变为相反数，然后再依次连接， 那这个四边形呢，就是与原来这个四边形 a、 b、 c、 d 关于 x 轴对称的图形。 那从这道题呢，我们可以看出，画一个图形关于坐标轴对称的图形时，只需求出已知图形中的一些特殊点的对称点，坐标描出个点，再一次连接就得到了已知图形关于坐标轴 对称的图形。好了，那以上呢，就是本节课的全部内容，下面我们回顾一下本节课都学习了什么。 我们学习了坐标细嫩的点关于坐标轴对称的点的坐标变化规律。关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数。关于外轴对称呢，纵坐标不变，横坐标变为相反数。 然后呢，我们利用了关于坐标轴对称的点的坐标规律，做出了关于坐标轴对称的图形。 怎么做呢？求出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标，描出各点，再一次连接就得到了。好了，那本节课呢，就到这里，同学们，我们下节课见。

让我们通过思维导图来快速高效的过关八年级数学上册 第十三章轴对称的整张知识。首先我们用一个呈轴对称的金字塔物价图做本章的中心图。 第一部分的知识是轴对称概念，一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果他能够与另一个图形重合 这两个图形。关于这条直线呈轴对称性质， 对称轴是轴对称图形任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 第二部分的知识是线段的垂直平分线性质，线端垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，这里可以联系角的平分线的性质来理解掌握 反过来判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。第三 三部分的知识是画轴对称图形作图，根据轴对称的性质，也就是对称轴是轴对称图形任何一对对应点所连线段的垂直平分线。关键词，垂直平分， 做出每一个端点的对称点，然后再连接起来，可得对称图形坐标规律， 平面直角坐标系中的点 x， 逗号 y。 关于 x 轴对称的点的坐标为 x， 逗号负 y， 也就是横坐标相同，重坐标相反。关于 y， 轴对称的 点的坐标为负 x， 都好歪，也就是重坐标相同，横坐标相反。 第四部分的知识是等腰三角形性值 一等边对等角，二三线合一，这三线是指等腰三角形顶角的平分线，底边的中线，底边的高， 判定等角对等边。第五部分的知识是等边三角形性质，三个内角都相等，并且都等于六十度。判定 一、三个角都相等的三角形。二有一个角是六十度的等腰三角形。 利用等边三角形的知识还有一个重要的推论，直角三角形中三十度角所对的直角边等于斜边的一半。 第六部分的知识是最短路径问题，通过轴对称转化成两点之间线段最短，典型的有将军引马。先做出点 b 关于直线 l 的对称点 b 一撇连接 a， b 一撇就找到了最短路径的引码地点。通过 平移转化成两点之间线段最短，典型的有造桥选址。像这个图一样，把 am 平移到与 b 成一条直线，就找到了造桥的一端 m， 再从 in 点垂直于河岸造桥就是最短路径的造桥方案。 我们这就通过思维导图把轴对称这章的知识都归纳出来了，所有的知识点在图中条理清晰，一目了然，你掌握了吗？

同学们好，我是来自北京市第四中学的王亚婷老师。接下来我们要用两节课的时间来学习画九对称图形。在这部分内容中，我们将要学习 做已知图形关于给定对称轴的对称图形认识。在平面直角坐标系中，图形的对称引起点坐标的变化特点，并运用他们解决一些问题。 在之前的课程中，我们学过两个图形呈轴对称的相关概念和性质，下面我们一起来复习一下。 把一个图 沿着某一条直线折叠，如果他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 限制。如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么这两个图形全等 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如图，对应点 pp 撇所连线段被对称轴垂直平分。 如图，在一张半透明纸的左边部分画出一只左手印。 如何画出与左手印关于直线 l 对称的右手印对，将这个纸片折叠折叠之后描图就可以描出对应的右手印， 此时画出的右手印与左手印是全等的，右手印上的每一个点都是左手印上的某一个点。关于直线 l 的对称点 对称点所连线段 pp 撇被对称轴 l 垂直平分。 由一个平面图形可以得到他关于直线 l 对称的图形，这个过程我们叫做轴对称变换。 这个图形与原图形的形状大小完全相同，这个图形上的每一点都是原图形上某一点关于直线 l 的对称点 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分，如图， pp 撇被对称轴垂直平分，对称轴垂直平分，线段 pp 撇。 我们可以通过折纸描图的方法做出折对称图形，同样的，我们也可以采用加眼踏印的方法。 那么如何用作图工具做出已知图形的九对称图形呢？思考，如果有一个图形和一条直线，如何做出这个图？ 关于这条直线对称的图形呢？刚刚有同学在描右手印的过程中，是先描述了几个关键的点，然后进行连线， 这也是我们数学中常用的一种方法。先从最基础的情况入手，我们知道点是最基本的几何图形，因此我们可以先研究做一个点关于直线对称的图形，再研究线，最后再研究图形。 例题一，求做点 a 关于直线 l 的对称点， 由轴对称的性质之对应点的连线 aa 撇，被对称轴 l 垂直平分，因此我们可以先过 点 a 画出直线 l 的垂线垂足尾欧，在垂线上截取 oa 撇等于 oa， 那么此时直线 l 就是线段 aa 撇的垂直平分线，则点 a 撇就是点 a 关于直线 l 的对称点。 第二问，求做线段 ab 关于直线 l 的对称图形， 线段由他的两个端点确定，因此我们不妨先做出这两个端点关于直线 l 的对称点，如图，分别做出点 ab 关于 与直线 l 的对称点 a 撇 b 撇，连接 a 撇 b 撇，那么则线段 a 撇 b 撇即为所求。 我们发现线段 ab 关于直线 l 对称的图形还是线段？那么如何验证画出的图形与线段 ab 是关于直线 l 对称的呢？ 我们可以用折纸的方法折叠一下，看是否能完全重合。当然，我们也可以在直线段 ab 上任意取一点 p， 看点 p 关于直线 l 对称的点是否落在线段 a 撇、 b 撇上。 如果说点屁 关于直线 l 对称的点没有落在线段 a 撇、 b 撇上，那么此时 a 撇、 p 撇、 b 撇就不在同一条直线上， 则它不是一条线段，显然是不对的。所以点 p 关于直线 l 的对称点一定会落在线段 a 撇、 b 撇上，因此线段 a 撇、 b 撇就是线段 ab 关于直线 l 的对称图形。 第三问，求做三角形 abc 关于直线 l 对称的图形， 同样的三角形 abc 是由他的三个顶点确定的，因此，我们不妨先做出三个 顶点的对称点，然后再连接。如图，分别做出点 abc 关于直线 l 的对称点 a 撇、 b 撇、 c 撇。 连接 a 撇、 b 撇、 b 撇、 c 撇、 c 撇、 a 撇，则三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇即为所求。因此，我们在做一些图形的对称图形时，可以先做出一些特殊点的对称点，然后再连接 好。我们看一个练习，求做三角形 abc 关于直线 l 对称的三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。同学们可以动手画一画。 下面有三位同学的做法，我们一起来点评一下。 我们可以看到假同学他画的 a 撇、 b 撇、 c 撇的位置都是正确的，但是在连线的时候，很明显他没有用尺子，那不是很规范。我们看一下以同学的画法，以同学用直尺 连出了这个对应的直线，但是能不能看出他画出的图形和原来三角形是不全等的， 我们能看出他画的对应点 a 撇是不对的，也就是对应线段 aa 撇，他不是被对称轴 l 垂直平分的， 大家还发现有什么问题吗？对，他没有标上对应的字母。我们来看一下丙同学的画法，三个对称点的位置都找对了， 连线用直尺连起来，并且都标出了对应的字母，画的非常规范。 我们再来看一遍作图过程，分别做三角形三个顶点，关于直线 l 的对称点， a 撇、 b 撇、 c 撇， 甚至连接 a 撇、 b 撇、 b 撇、 c 撇和 c 撇 a 撇，这样就能得到三角形 a b、 c。 关于直线 l 对称的三角形， a 撇、 b 撇、 c 撇。因此，同学们一定 要养成规范作图的好习惯，练习把下列图形补成关于直线 l 对称的图形。 同样的，还是先做出这三角形三个顶点关于直线 l 的对称点，我们可以发现点 c 设在直线 l 上等，因此点 c 关于直线 l 的对称点就是它本身， 也就是说点 c 撇和点 c 是重合的，因此我们只需要画出点 ab 关于直线 l 的对称点 a 撇 b 撇好连接 a 撇 b 撇、 b 撇、 c 撇、 c 撇 a 撇，则三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。即为所求。我们将图一中的三角形不动，将对称肘 l 向 左平移一定的距离，就得到了第二个图中的问题。同样的，我们做出这三个点关于直线 l 的对称点，我们发现点 c 的对称点落在了直线 l 的左侧，顺势连接即可。 因此做已知图形的轴对称图形，不同的对称轴对应于不同的轴对称图形。 对于第三个图形还是一个四边形，我们可以发现这两个点是落在直线 l 上的， 因此我们只需要做出左边这两个点。关于直线 l 的对称点，连线的时候不要忘了连直线 l 上的这个点 顺序连接。对于第四个图，我们发现它的特殊的对应点应该有五个，其中有一个点在直线 l 上，因此我们可以做出这四个点关于直线 l 的对称点， 此时直线 l 是斜着的，因此我们可以要将三角尺斜过来去画对应的垂线， 做出这四个点的对称点，然后顺势连接，就得到了他关于直线 l 对称的图形。 因此，做已知图形的轴对称图形，关键在于做出已知图形中一些特殊 书点的对称点。我们将刚刚画好的这两个图形放在这。对于第一个图形五边形，我们从他的一个顶点出发，每隔一个点连一条线段， 大家可以看一看画出来的是一个什么图形呢？哎，是一个漂亮的五角星。同样的，对于第二个像风车这样的图案，我们也可以看成是有一个三角形经历一次、 两次、三次轴对称后形成的图形。在生活中，人们常常用轴对称进行图案设计，那同学们回 回去之后，也可以用简单的几何图形去设计一个美丽的图案。至此，我们可以得出做一个图形的轴对称图形的一般方法。 几何图形均可看作由点组成。对于某些图形，只要画出图形中一些特殊点，如线段端点、几何图形的顶点，它的对称点连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 我们还发现，对称轴上的点的对称点就是它本身， 不同的对称轴对应于不同的轴对称图形。例题，如图，是一只停泊在平 进水面上的小船，它的倒影应是图中的哪个选项？ 我们可以进行分析啊。小船和它的倒影应该是关于直线 l 呈轴对称的，因此我们可以做出这个小船。关于直线 l 的轴对称图形，那我们可以看到应该选的是 b 选项。 如图，有一个英语单词，三个字母都关于直线 l 对称，请补全字母，补全后的单词是， 那么这个图形是关于直线 l 对称的，因此我们可以做出这个图形。关于直线 l 的对称图形， 那么我们可以看出补弦后的单词是 b、 e、 d。 下面我们来看一个折纸有关的问题。 将一个正方形纸片依次按图一中的 ab 的方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪成图 d 的样子，将纸展开铺平，所得到的图形是图二中的哪个选项？ 好，我们来分析一下。按照 ab 的方式对折，应该是将这个正方形纸片先往上翻折，再往右翻折，得到对应的图形 c， 然后减去 左上角和右下角的两个直角三角形以及右下角的这个四分之一圆，得到了对应的图形。那么对于这个问题的话，同学们可以拿一张正方形的纸片动手操作，剪一剪，试一试。 当然我们也可以利用我们学过的轴对称的知识逆回去思考。我们知道折叠和展开是互逆过程，因此我们可以将最后得到的图形 根据对折方式逆回去还原，那么这一步是向右翻折，因此我们可以将它向左还原，我们可以做 这个图形。关于这条红色直线的轴对称图形，那前一步是往上翻折，因此我们应该是往下还原， 因此我们可以做这个图形。关于这条绿色直线的九对称图形，这样我们就得到了展开之后的图形。因此这个题目的选应该是选择的是 d 选项。 同学们可以用折纸的方式试一试，当然也可以锻炼一下你的空间想象能力。那么利用折对称的姿势逆回去思考，动手试一试如何剪能剪出 b 选项，那我们可以将 b 选项按照图一中 a、 ab 的方式进行对折。 a 的话是向上对折，所以将 b 选项的图形向上对折，那么上下是重合的，再按照图 b 的方式左右对折， 左右是重合的，因此就得到了右半部分的图形。我们来看一下向上对折，向下重合得到上半部分图形，左右对折， 左右重合得到右半部分图形。因此我们只需要减掉左上角和左下角这四分之一个圆，以及右下角的这个直角三角形， 那么就可以得到 b 选项对应的图。因此同学们可以通过动手操作试一试，那么也可以利用轴对称的知识 来解决这类问题。我们来看一个练习，如图所示，把一个正方形的纸片三次对折后沿虚线剪下。三次对折， 先向上折，再向右折，再向右下方折，然后再沿虚线剪开，得到了这个图形。问，展开铺平后纸片所得到的图形是哪个选项？ 同样的，大家也可以回去拿纸片动手试一试。我们也可以利用九对称的知识逆回去思考，我们将最后得到的图形去进行还原，向右 右下方折，因此我们可以沿着左上方进行还原，再向右折，那我们可以沿着左边进行还原， 向上折，因此我们可以向下进行还原，这样的话，我们就得到了展开铺平后的纸片。那么应该选择的是 c 选项， 那么是否能够减出其他几个选项呢？那我们可以看到，如果要减出其他几个选项，那每个图形是要能够折叠三次的， 也就是说这个图形向下是对称的，左右是对称的，那我们明显能看出 d 选项是 不符合条件的，他的上下是对称的，但是他的左右是不对称的，因此我们应该能折出对应的 abc 三个选项。 那么如何能够减出 abc 这三个选项呢？那么 c 选项刚刚我们已经减过了，那我们再看一下对应的 a 选项，对应的 a 选项的话，先向上折，剩下了上半部分图形，再向右折，剩下了右半部分图形， 接着再向右下方折，因此他剩下的是这样的一个梯形， 因此我们可以发现它实际上是在三次对折之后，减去了左下角的这个直角三角， 这样就能得到对应的 a 选项，我们再看一下 b 选项，同理，先向上折，再再向右折，再向右下方折， 那么得到的是这样的一个四边形，那么我们可以发现他应该是少了上面的这一块， 因此他应该是减去了右上角的这个小三角形，那么得到了对应的 b 选项的图形 啊。对于这一类问题的话，我们可以动手操作，那么也可以利用轴对称的知识那么去进行分析。 我们在这节课中学习了做简单平面图形。关于给定对称轴 的对称图形，主要用到了轴对称的性质，连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 作图的一般思路是将图形的轴对称问题转化成点的轴对称问题，因此关键在于做出图形中一些特殊点的对称点。 不同的对称轴对应不同的轴对称图形， 那么我们还利用了轴对称的性质，解决了倒影、折纸、剪纸等实际问题。今天的课后作业有两道题，第一个题，把下面的图形补成关于直线 l 对称的图形， 那我们可以看到这三个图形都是不太规则的图形，那么对于第一个图形的话，我们可以做出这三个点关于直线 l 的对称点，那么连接即可 啊。对于第二个图形的话，它实际上我们可以看到它是由六个点所确定的，因此而这其中有四个点是在直线 l 上的，因此我们只需要做出这两个点关于直线 l 的对称点， 然后再对应的连接啊。此时不要忘记了连接对称轴 l 上的这个点。对于第三个图，我们应该知道他对称之后应该是一个五角星， 那么他有两个点是在直线 l 上的，因此我们只需要做出这一二、三、四个点关于直线 l 的对称点，然后依次连接即可。 同学们在画完他的对称的图形之后，一定要检查一下，看一看他折叠之后是否能够完全重合 好。第二题，将一个长方形的纸片按如图所示的方式对折 啊，第一个应该是先向右折啊，图二是向右上方折，然后沿着图三的虚线进行裁剪，得到了图四，那么最后 将图四的纸片展开铺平，得到了图形式。那同样的，对于这个问题的话，我们也有两个思路， 一个是我们可以找一张长方形的纸片，按照他如图所示的方式动手操作剪一剪。当然我们也可以利用我们所学的轴对称的知识来进行分析，可以提高我们的空间想象能力。对于图四这个图形， 我们可以把它逆回去还原，他是向右上方折，所以我们可以先把他向左下方还原， 接着他是向右折，所以我们可以把这个得到图形再向左进行还原。这样的话，我们就可以得到他展开之后 后的图形啊，同学们可以动手试一试。同样的，我们还可以进一步思考， abcd 这四个选项是不是都能够按照这样的方式对折能够减出来， 如果能减出来，那么应该如何减？同学们可以回去继续思考一下。 好，今天的课就上到这里，同学们再见。

前面我们学习了平面直角坐标系的知识，那同学们能写出这个坐标系图中各点的坐标吗？ 小芬说，老师，我能， a 点的坐标是二六， b 点的坐标是五四， c 点的坐标是二四， d 点的坐标是二一。嗯，小芬知识掌握的不错哦！ 老师最喜欢画轴对称的图案了，所以老师先把坐标系中的四个点连接起来，组成一面小旗。接着分别以 x 轴和 y 轴为对称轴，画出了关于 x 轴对称和关于 y 轴对称的轴对称图案。 同学们知道这两个图案标的点的坐标又是多少吗？阿道说，我知道 a 的坐标是二负六， b 的坐标是 五负四， c 一的坐标是二负四，第一的坐标是二负一。小知说， a 二的坐标是负二六， b 二的坐标是负五四， c 二的坐标是负二四，第二的坐标是负二一。嗯，同学们真棒！ 接下来我们来看看关于 x 轴对称的图案对应点的坐标有什么特点。 同学们看，通过对比能发现， a 点和 a 一点的横坐标相同，纵坐标是相反数，其他对应点的坐标也有这样的特点。那就说明关于 x 轴对称的两个点的坐标横坐标相同，纵坐标不为相反数哦。 再来看看关于歪轴对称的图案对应点的坐标有怎样的特点？列出来后，能发现， a 点和 a 二点的纵坐标相同，横坐标却是相反数了。对比其他对应点的坐标，也能发现这样的特点，那也就说明关于 y 轴对称的两个点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数哦！ 同学们看这条鱼，它是由平面直角坐标系内的点，零零五四三零五一五负一三零四负三零零， 依次连接得到图案。假如将个点的横坐标保持不变，纵坐标分别成负一，那依次连接这些点，你们觉得会得到怎样的图案呢？ 我们来看看。横坐标保持不变，纵坐标成负一，那么个点的坐标就变为，零零五负四三零五 负一五一三零四三零零。与原来的坐标相比，横坐标相同，纵坐标变为相反数了，依次连接起来后得到的图案也是一条鱼。通过观察能发现，这条鱼与原图案是关于 x 轴对称的 图案对称了，那么对应的点也就会对称了，那也就是说，横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点。关于 x 轴对称， 假如是将这条鱼的各个点的纵坐标保持不变，横坐标分别成负一，然后连接起来，又会得到怎样的图案呢？ 纵坐标保持不变，横坐标成负一，那么个点的坐标就变成，零零负四负三零 负一负负一负三零负四负三零零。与原来的坐标相比，重坐标相同，横坐标变为相反数了。得到的图案也能发现是与原图案关于歪轴对称的 对应的点，也关于歪轴对称，那就说明纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点。关于歪轴对称了。 简单总结一下，一、关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标或为相反数。二、 二、关于歪轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。三、横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点。关于 x 轴对称。四、纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点。关于歪轴对称怎么样？同学们，我们本节课程。