七桥之谜一笔能画成吗

七哥趣味数学，专注思维进阶！看似简单的一笔画问题，却开创了一个全新的数学分支，这就是著名的七桥问题。今天七哥给大家讲一个小故事，可以看到七哥身后有一张哥尼斯堡七桥模型图， 这是在十八世纪处的哥尼斯堡有一条河穿过了这座城，河上呢有两个小岛，这里我们把它标注出来是 a 岛和 c 岛，那有七座桥，把这两个小岛和河岸呢联系了起来，大家可以看一下，图上有一二三 四五六七，有七座这样的桥把他们联系了起来。那有人就提出一个问题，一个人如果不重复，不遗漏，一次性走完这七座桥，并且最后还能回到出发点。 那屏幕前的小朋友们，你们知道是怎么走的吗？其实这个七桥模型是无法一次走完这七座桥的， 最后，并且还能回到出发点。不过大数学加欧拉把它转化成了一个企和问题，叫做一笔画问题。那什么叫一笔画呢？下期视频带你介绍。

各位同学大家好，我是李勇的老师。最近全国疫情持续紧张，尤其在我的老家吉林，半个多月的时间里，累计新增了两万多名新冠肺炎确诊病例。现在啊，吉林正在实行严厉的疫情管控措施。 有个小朋友跟我说呀，他已经很久没有出门了，以前呢，他经常和小伙伴一起去北山，北山有三百多年的关帝庙，药王庙，有民国实践的矿官亭，揽配桥，还有烈士纪念碑，还有滑雪场。对于很多吉林人来说呢，这些地方记录着自己的童年。现在出不了门，他只好在地图上寻找曾经的回忆。 他突然想到，如果一个人从北山的东门进入，能不能够不重复的走完所有的景区道路，最后再回到东门呢？这个问题啊，其实是哥尼斯堡技巧问题，也叫做一笔画问题。在很久以前呢，我曾经讲过这个问题，但是当时讲的时候，画图少画了一条线，翻车了。今天呢， 我准备把这个问题再重新讲透彻一点。我们来讲一讲哥尼斯堡七桥问题，大家知道哥尼斯堡是哪里吗？ 哥尼斯堡啊，曾经是普鲁市的一个城市，那么后来呢，在二战之后 就成为了苏联的领土，那么现在呢，是俄罗斯的飞地啊，名字叫做加里宁格勒。在十八世纪的时候呢，哥尼斯堡有一条河，这条河呢穿城而过， 河中间呢还有两个小岛，于是呢，人们就建了七座桥，把这个两岸以及中间的小岛呢连了起来。这七座桥分别是，这是一座啊，然后第二座， 第三座，第四座，第五座，第六座，还有第七座啊，这一共七座桥， 然后呢，当时哥尼斯堡的居民呢，就在周末的时候发起了这样的一个挑战，就是谁能够不重复的走完这七座桥，谁就可以获得奖金，很多人去走，结果呢，都没有成功。后来呢，这个问题就被著名的数学家欧拉知道了，欧拉说呀，这个问题啊，可以当做一个点和线的问题， 你看啊，呃，有一座小岛，这个小岛可以当做一个点 a， 另外一个岛可以当做点 b， 那一侧河岸当做点 c， 另外一侧河岸当做点 d， 而每一座桥呢，相当于一条线，所以呢，这个城市的地图其实可以画成几个点和几条线，我们来画一下啊，首先点只有四个，就是 a， b， c 和 d， 然后呢，在 a、 c 之间呢，他连接了两条线啊，你看这个一条线，两条线是吧？ a、 d 之间呢，有两座桥，其实也就是两条线啊， b 和 c 之间有 一条线啊， b 和 d 之间有一条线，还有 a 和 b 之间也有一条线，这一共呢就是七座桥，你能不能够从某一个点出发，不重复的一笔画出这所有的线呢？所以欧拉在研究这个问题的时候啊，把一个人能不能不重复的走七座桥的问题，变成了一个用一笔能不能画出这样一个图形的问题。 所以现在呢，我们通常称之为一笔画问题啊，一笔画问题，那么这个一笔画问题该怎么解决呢？在一七三六年的时候啊，二十九岁的欧拉就提交了一篇论文，哥尼斯堡技巧问题，彻底解决了这个问题。那那具体怎么解决？我们来先说几个概念，首先呢，我们来说一个概念，叫做度数 啊，度数。什么叫度数呢？每一个点呢，他都连接了一条线，比如说 a 这个点吧，他连接了一二三四五这五条线，这就是他的度数。度数就是每 个点，每个图中的点，他所连接的，他所连接的线的条数啊，所连接的线的条数。比如 a 这个点啊，连接的线段有一二三四五五条，所以他度数就是五。而 d 这个点呢，连接一二三三条线，所以度数就是三。 如果度数是基数的点，我们就给他起个名字叫做基点。基点啊，如果度数是偶数的点，我们就也给他起个名字叫做偶点 啊，这就是基点和偶点的含义。那么基点和偶点有什么不一样呢？大家可以想象啊，我们用笔去画一条线，落笔的地方和收笔的地方往往是基点。举个例子，你看这个，我画出一个图形来，我落笔的地方只连一条线，对不对？所以它是个基点收笔的 地方，哎，他也是一个基点，对不对？但是中间经过的点，你像这样的点，中间经过必然是一进一出，对不对？或者两进两出，所以他一定是偶点，因此基点和偶点呢，是有所不同的，基点往往是落笔或者是收笔的地方， 落笔或者是收笔的地方啊，他才会出现积点。那么藕点呢，就是中间的经过的点， 他一进一出，所以呢才会调数是二四六八这样的一个情况，对不对？但是也有一种情况，就是如果你出发的点就是结束的点，比如说我这么画完了之后，我再回去 出发点就是结束的点，那么这样落笔和收笔在一块了，两个积点一合并，变成了什么点，就变成了藕点，所以你看这样的图形就没有积点了，对不对？所以我们总结一下就是如果你一笔画出一个图形， 落笔和收笔的地方不在一块，那就落笔一个几点，收笔一个几点，对吧？啊？其他地方点都是藕点，但是如果你落笔和收笔的地方在一块，那就没有几点，全都是藕点，对不对？那这个结论就是欧拉得出的一个一笔画图形的结论。欧拉在 一九在一七三六年的时候啊，提出了这样的一个结论，他说什么样的图形可以一笔画呢？可一笔画的图形他必须满足一个条件， 那就是积点的个数啊，他的积点的个数，积点的个数必须是零个，是零个或者是两个。哎，只有这种情况的图形，他才能够一笔画出来。那如果你的积点个数是零个的话，如果你积点 个数是零个，就像我们刚才所说的，你落笔和收笔的点必然是在一起的，所以你会形成一个闭合的回路，从一个点出发，画完了又回到这个点了，这种路径我们管他叫欧拉回路啊，欧拉回路就是你可以画出一个回路来， 那么假如说你的基点个数是两个，那么必然一个基点是落笔的点，一个基点是收笔的点，一个起点一个终点，这个时候这个路径不是闭合的，我们就管他叫欧拉路径 啊，所以啊，欧拉路径，所以呢啊，有零个极点和两个极点的情况还是不太一样的。

一个看似简单的地痞化问题，却开创了一个全新的数学分支，这就是著名的七桥问题。十八世纪的哥尼斯堡上有七座各区特色的大桥，这些桥联通着小鸟，有河岸。每当傍晚，居民与学生们就会来桥上散步，久而久之，人们的心中就形成了这样一个问题， 能不能既不重复又不遗漏的走过七座不同的桥呢？在问题出现后，哥尼斯堡的大学生们就开始了对问题的证明，可是经过他们的计算，发现看似简单的七条问题，居然有五千零四十种手法。在遭遇失败之后，他们写信码问题告诉了当时的著名数学家欧拉。 一七三六年，欧拉在经过一年的研究部，二十九岁的他发布了一个自保七桥论论，证明了根本不存在只走一次而经过七桥的路线，并开创了一个新的数学分支图论。在研究时，欧拉把七桥问题简化成一个一笔画问题，最终 得出结论，若是一个图形想要一匹法，必须满足两个条件，一、图形必须是联通的。二、我们打过一个点，只能有七数条路，选择的点叫基点，图形中的基点的个数必须是零后。二、经过观察， 我们可以发现，七桥问题中的基点是四，所以七桥一。

在上个视频中，你已经认识了基欧典，在这个视频里，咱再来讲讲他和一笔画的关系。那啥是一笔画呢？其实就是一笔画成，并且每条线都不能重复画 像，这些图形能一笔画成吗？这个能，这个也能。这个还能，那这个呢？ 哎，人和之间都没连在一起，显然没戏啊。看来能一笔画成的图形必须是连在一起的，也就是必须连通才行，所以不是联通的图形可以直接排除，比如这个笑脸就肯定没戏。 那所有联通的图形都能一笔画成吗？来看看这些联通的图，这个能一笔画成，这个也能。这个就不行了，因为这条线连画了两次，这个也不行。看来不是所有联通图都能一笔画成。 那能不能一笔画成跟啥有关呢？这就得看基欧点的个数了，分别来看看他们的基欧点吧。这些是能一笔画成的，这个有三个点，都是欧点，这个有十个点，也都是欧点，这个共三个点，一个欧点，两个基点， 还有这个共七个点，全是欧点。最后这个共五点，三个欧点，两个基点。 同学们能一笔画成的，要么全是藕点，要么有俩基点，也就是说基点个数为零个或者两个的图形才能一笔画成。 再看这边，不能一比划成了，这个有四个点，全是基点，这个共八个点，两个欧点，六个基点。看来基点数为四个或六个的图形就不能一比划成了。如果基点数更多呢？那就更没戏了。通过基欧点判断，你会了。那接下来我再加 这样具体的画法，先看零个几点的。从这个点出发可以一笔画成，从这个点出发也可以，这个点还可以，看来零个几点时，从任意点出发都行。那两个几点呢？从这个点出发可以从这个点出发，也可以 从这个点出发，哎，就不行了，看来当有两个起点时，必须从起点出发才能一笔画成。 好了，以上就是这个视频的全部内容，总的来说就三点，首先，不是联通的图形就一定不能一笔画成。 其次，联通途中只有零个或两个积点的才能一笔画成。另外，当零个积点时，从任意点出发都能一笔画成。当两个积点时，必须从积点出发才能一笔画成。你们要明白了吗？

今天我们来说一说七桥问题，也就是我们的一笔画是怎么来的呢？那相传在十八世纪初，福鲁士的哥尼斯堡有一条河穿过，河上有两座岛，有七座桥把这两个岛与河岸连接起来。大家经常吃完饭之后，在这个桥上岛上去散步。 那有一天就有一个人提出了这样一个问题，怎么样才能不重复，不遗漏的一次走完七座桥，最后回到出发点呢？大家想了很多的主意，但是没有一个人能够解答。 后来大数学家欧拉把它转化成一个我们今天都知道的几何问题，也就是咱们的一笔画问题了。那这个七巧问题到底能不能一笔画完成呢？ 欧拉把这里面的所有的岛浓缩成为一个点，所有的桥变成一条线，就形成了这样简单的点线图。后来他提出了欧拉路径，也就是我们现在一笔画的判断方法 法，如果是联通图，基点为零或者是二的，就肯定能够一笔画，显然显然这是一个联通图，不联通的图是什么样子的呢？比如说这样的里面跟外面断开的，我肯定是要把外面画完了以后，抬起笔才能画里面，所以这样的肯定就直接他不能够一笔画了。 那什么是基点？就是从点的地方去数线，线的数量为单数，那比如说这个地方有一二 三啊三条线，所以他是一个基点，中间这个位置有一、二三、四、五，所以他也是一个基点，右边这个点三条线 也是单数，所以他也是几点，下面的这个位置同样也是几点。这里四个都是几点，肯定是不能够一笔画成的，那我们还不由得提一提，如果从点出发线的数量为双数，比如说我在这个位置加一条线，四条线他都可以变成偶点。 因为这个徒步者提出的问题就是从一个地方出发，不重复的走完所有的桥，最后再回到出发点，在一笔画的里面，只有基点为零的时候，才能从原地出发，回到原地走完一次。如果基点为二，我们必须从一个基点出发，走到另外一个基点， 因此我们现在就要把它改造成积点为零的情况就可以了。那怎么改造呢？那我们就把它变成双数条线不就行了？我在上面这两条线之间加一条线， 下面两个点之间也加一条线，这样每个点出发他的线都是双数，所以现在就可以从一个地方出发，再回到这个最开始的点了。 那我们可以试着来走一走，比如说我们从最上面这个点出发，这是我们出发的地方，待会呢也要回到这个位置，在走的过程中，只要不要提前把这个图图形封 死，就是记得留回来的路，那就是一定可以成功的，他的走法是不唯一的。这就是今天的知识分享，觉得有用记得点赞、关注、收藏哦，我们下期见吧！

美化问题，却开创了一个全新的数学分支，这就是著名的七桥问题。十八世纪的哥尼斯堡上有七座各具特色的大桥，这些桥联通着小鸟，有河岸。每当傍晚，居民与学生们就会来桥上散步。久而久之，人们的心中就形成了这样一个问题，能不能既不重复又不遗漏的走过七座不同的桥呢？ 在问题出现后，哥尼斯堡的大学生们就开始了对问题的证明。可是经过他们的计算，发现看似简单的七条问题，居然有五千零四十种走法。在遭遇失败之后，他们写信把问题告诉了当时的著名数学家欧拉。 一七三六年，欧拉在经过一年的研究后，二十九岁的他发布了尼格斯堡七桥论文，证明了根本不存在只走一次而经过七桥的路线，并开创了一个新的数学分支。图论。在研究时，欧拉把七桥问题简化成一个一笔画问题，最终得出结论，若是一个图 图形，想要一笔画，必须满足两个条件，一、图形必须是联通的。二、我们把过一个点只能有基数条路，选择的点叫基点，图形中的基点的个数必须是零或二。经过观察，我们可以发现，七条问题中的基点是四，所以七条一定无法一次性走完。

好，我们来举个例子啊，比如说大家看这样一个图形，一个口，他能不能一笔画显而易见呢？口，这个图形有一二三四四个点，这四个点呢，每个点的度数都是二，都是藕点，所以他有零个积点。 那既然有零个基点，它当然是可以一笔画的，而且从任何一个点出发，都可以形成一个欧大回路，因为它落笔和收笔是在同一个点的，对吧？你看我这么一画，这一个口就出来了，对不对？甚至这个图形啊，可以复杂一点，比如说啊，我可以这加一笔，这加一笔，这加一笔 加一笔，加完了，加了这么多笔，请问这个图形有几个几点？咱们看这个点是一二三四，度数为四一二三四，度数为四一二三四，度数为四一二三四一二三四。所有点都是藕点，他依然是零个几点。因 因此这个图形还是可以一笔画的，而且你从任意一个点出发都是可以的，他能够形成一个闭合的回路，我们称之为殴打回路，对吧？好，这是零个几点的情况。那么也有的一些图呢，他可能是有两个几点的，比如说大家看这样一张图， 我把底下去掉，上面保留。这样一张图有几个几点呢？上面呢，全都是偶点，而这个点有一二三度数为三，是个几点，这个点呢，一二三度数也为三，是个几点。所以呢，他有两个几点， a 点和 b 点，他有两个几点， 有两个基点的话，它是可以形成欧拉路径的，你就是从一个基点出发，经过一笔，然后画画画，画到另外一个基点就可以了，我们来试一试啊，哎哎，失败了啊，失败重来 重画啊，应该是这样这样这样这样这样这样这样。哎，你看我画完了，对不对？他确实是从 a 点出发到 b 点结束，成为一个一笔画的问题啊。好，咱们有一些图形呢，他就没有办法一笔画了，比如说我把上面也去掉，变成这个样子， 变成这个样子啊，现在有几个几点？你数一二三四，他有四个几点，对不对？ 四个极点是没有办法一笔画的，你可以试一试，无论如何你没有办法把这个图形啊一笔画出来，那这个呢？就是欧拉的一个结论。那我们说到这来，回头看一下这个哥尼斯堡七条问题吧。 托尼斯堡七条问题一共有四个点， a 点是有一二三四五，度数为五，所以他是个基点， c 点，一二三基点， b 点一二三基点， d 点一二三基点，他四个点全都是基点， 所以他的情况和他类似，能不能一笔画，不能一笔画，对不对？因此哥尼斯堡七条问题是无解的，这就是当时欧拉的一个结论啊。好，那么既然欧拉说这个问题不能一笔画，那他能够几笔画呢？我们可以把它往前引申一点。首先我要说这样的一个结论呢，就是说， 呃，一个图形，他的基点的个数，他的基点个数不是随意的，他的基点的个数是必为偶数的， 基点的个数必为偶数。因为你只要落笔，你就得提笔，如果落笔和提笔不在一块，就出现俩基点，如果落笔和提笔在一块，那就是一个偶点，没有基点，所以基点要出现就是两个两个出，因此他一定是偶数。我们假设这个偶数叫做二 k 吧， 啊？ k 是一个整数。然后我们就说，那么假如啊，不能一笔画，那么你可以几笔画呢？结论就是你可以 k k 笔画，你通过 k 笔可以画出。我举个例子啊，比如说，那你有几个几点呢？你有两个几点，那 k 就等于一，所以你就可以一笔画。如果你有四个几点，你需要几笔？你需要两笔。 比如说这个图形吧，我一笔画不了一二三四，画完了还少一条，对吧？我再加一笔，哎，我就可以把这个图形画出来了。哥尼斯堡题桥问题呢，他也是四个积点，对不对？所以我可以用两笔把它画出来，咱们看 这样画一个，这样画一个，这样画一个，哎，少一条线，我再画一条就够了，对不对？所以啊，哥尼斯堡七条问题，四个几点，他就可以用两笔把它画出来，那你说我就想一笔画怎么办？你可以往上面加路径，是吧？我们可以增加， 增加 k， 减一条线干什么呢？其实就是把 k 减一对积点消去，那 这个时候呢，你就只剩下两个基点了，只剩两个基点你就会出现什么，你就会出现欧拉路径，哎，就是一个不闭合的一笔画路径。比如说啊，你从这四个基点的情况，你把它增加一条线，变到这种情况，就增加上面这条线，这样一来，你本来是有四个基点的， 你增加完了一条线之后，你就只剩下这两个几点了，那这回你是不是就可以一笔画了？当然这个一笔画他不是封闭的，叫做欧拉路径，因为你这么干了之后，你消除了两个几点嘛？是不是？好，那么如果我还可以再怎么做呢？我还可以增加 k 条线 啊，在基点之间，我增加 k 条线，我再增一条，把底下这俩基点也划掉，就变成了第一个图了。这个时候你会发现他完全没有任何基点，那你就会出现什么，你就会出现哦啦，回路了。也就是说你完全可以从一条，从任何一个点出发，画完这个图之后又回到了这个点，对不对？

只写一笔，既不离开纸面，也不重复，你能写出一个田字吗？这实际上是十八世纪一个经典的数学问题，哥尼斯堡七桥问题。 在普鲁市的哥尼斯堡有一个公园，公园里有七座桥，一七三六年呢，当地的居民举办了一项有意思的健身活动，一次不重复的走过七座桥， 有许多人进行了尝试，但是最终呢，都失败了。当时啊，世界上最伟大的数学家欧拉刚好在这里，他敏锐的发现这里隐藏着深刻的数学内涵，并且把他称之为一笔画。问题， 欧拉把七座桥化作七条线段，并且呢，把问题转化成，是否可以通过一笔将这个图形画出来。 经过思考，欧拉确认这是不可能的，他还得出了哪些图形是可以一笔画的，哪些是不能一笔画的条件。首先呢，图形中的点分为两种，如果过该点的线段数目是偶数，就称之为偶点。如果 够该点的线段数目是基数，就称之为基点。比如下面的图形中，红色圆圈的点就是藕点，而绿色圆圈的点就是基点。 欧拉指出，如果一个图形可以一笔画，那么他的基点个数要么就是零个，要么就是两个。如果基点个数是零个，那么从图形中任何一个点出发，都可以一笔画。如果几点个数是两个呢？那么只能从一个几点出发，画到另外一个几点，才能将图形完整的画出来。比如说，我们来看日这个字能不能一笔画呢？ 由于日字腰上的两个点有三条线段，因此是基点，其余的点呢，都有两条线段是偶点，因此日字是可以一笔画的，而且必须从腰上的一个点出发，到另外一个点结束，这样就能画出来了。我们再来看一看哥尼斯堡七条问题， 在这个图形中，过 a、 c、 d 各有三条线段是基点，过 b 点呢，有五条线段也是基点，图中有四个基点，因此呢，是不能一笔画的。说了这么多，朋友们是不是可以看一看田字有几个基点了，他能不能一笔画呢？