400米环形跑道每隔5米插旗是几年级奥数

大家好，我们来看一下这道题。在一个四百米的环形跑道上，每隔八米插一面红旗，由于环形跑道是两头封闭的，因此这是一个封闭的植树问题。一圈下来，红旗的数量应该和间距的数量是一样的，都是五十 相邻两面红旗间每隔两米插一面黄旗，我们可以聚焦在局部的两面红旗内讨论 红旗间距八米，中间插黄芪，这等价于一个两端都不种树的植树问题。显然，每两面红旗间应该插三面黄芪， 一共有五十个这种间距，因此黄芪总共需要一百五十面。本题是两个植树问题的嵌套，能够熟练运用植树问题的各种模型是快速解题的关键，你学会了吗？

大家好，看这道小升初数学题。小明在四百米环形跑道上跑了一圈，前一半时间里他每秒跑五米，后一半时间里他每秒跑三米， 他跑后半圈的路程用了多少时间？多少秒，你可以给他分一半， 这边是两百米，这边是两百米哈。社跑一圈用了 t 秒，这个是一半时间，二分之 t， 他在前一半时间里 每秒是五米乘以五，这时间乘以路程，乘以速度等于路程，这也是时间乘以速度等于路程，后一段时间你每秒考三米哈，一样的路程加路程等于走路程哈，然后你把这个二分之 t 提取出来，然后就等于五加三，五加 三点一八，然后跟这个二约呢点四 t 等于四百， t 等于一百哈，总时间是一百，他前半段时间呢，就是五十秒，然后后半段时间呢，也是五十秒， 所以五十乘以五点二百五，然后五十乘以三点一百五，也就是他前半圈这个跑呢，他就时间哈，前一半时间是跑呢，二百五十米哈，后一半的时间， 好的是一百五十米哈，好。他问的是后半圈，后半圈是二百路程，后半圈二百用多少时间？ 首先你看这个，他因为他速度在变，他这个后面呢，一百五哈肯定是属于后半圈了， 那就五五十肯定是要算上的，前半呢，他跑到二百之后呢，但是他速度还是五，所以呢，用这个路程二百五十，减去这个前半圈的二百，还剩五十米，这五十米的速度还是五，所以呢， 等于十秒哈，所以用这个十秒加上五十秒等于六十秒，答案就是六十秒。 你也可以用这个二百除以五，就前半圈的怒乘二百除以速度点，时间四十秒，然后再用总时间减去四十秒点零六十秒啊，都可以，有数学问题的朋友可以私信我，谢谢。

这是我们四五六年级的宝子经常遇见的环形跑道的形成问题。他说了，跑道熊大和熊啊，同时同地反向出发， 熊大速度六，熊二速度四，啥时候他们第五次相遇？来吧，咱简单画个图表示一下，咱先画出一个环形跑道，这就是一个环形跑道吧， 那环形跑道跑完画完以后呀，咱就开始找这个出发点了，任意找一个位置，你比如说熊大熊二都从这个位置开始， 熊大假如说顺时针，熊二假如说逆时针，反正同时同地反向出发吧，对吧？那你说他们啥时候相遇呢？因为熊大速度快，所以相遇的时候呀，熊大稍微跑的多一点，你比如说熊大跑到这，然后熊 熊二从这个位置开始，哎，到这和熊熊、熊二、熊二熊大是不是相遇了，你就发现了，其实从出发到相遇，那他俩人呀，一共不就是跑了一个环形跑道吗？那就是一共跑了四百米 来。咱看第二次，从第一次相遇以后，那，那就相当于俩人都在这个地方了啊。那再出发，那就是熊大继续顺时针，熊二继续逆时针，那就相当于还是同时同地 翻箱出发来。他们第二次相遇大概在哪里呢？咱也画画，那就是熊大继续往前，哎，跑的稍微快一点，熊二继续往前，跑的稍微慢一点。你发现当第二次相遇的 后，他俩人是不是还是一共跑了一个环形跑道？所以你就可以总结了吧，每次相遇就相当于他俩人一共跑了一个环形跑道。那行了， 一次相遇跑一个环形跑道，那五次相遇他俩人一共跑多少呢？那就是五个四百米呗。那就是俩人呀，一共是跑了两千米， 第五次相遇一共跑两千。那他们每秒钟一共能跑多少呢？速度都有熊大六熊二四，相当于每秒钟他俩人一共能跑十米。 每秒他俩一共跑十，一共跑了两千，你说几秒？两千路长除以十，速度和这一除一共需要两百秒。这就是环形跑道的形成问题。关注我，辅导孩子不上火。

哈喽，各位同学，大家好，可亲可亲可爱的大海老师又回来了，哎，很高兴跟我们各位同学又一次 见面了，哎，很久不见，是我非常想念大海老师呢。啊，佳佳同学呢，刚才在下面对大海老师提出了一个非常严肃的问题，说，大海老师，为什么你每回见到你的时候都是这样的一件衣服呢？你难道很穷，没有觉得这个钱买衣服了吗？哎，当然不是这样子了啊，等下一次同 我们再过一段时间，看到大海老师的时候，一定会带给你一个不一样的惊喜啊。好了，那接下来跟随大海老师继续来 开始我们今天的课程了，今天各位同学要跟着大家老师来学习的，叫做环形跑道的上。什么叫做环形跑道呢？如果经常看体育比赛，尤其是田径比赛，同学，我相信你对这个词肯定是非常的熟悉的，对不对啊，遥想当年， 在大爱老师比较小的时候，可以，我也忘记了，可能是九几年或者两千年的时候，那个时候中国女子的这个中长跑是非常厉害的，同学们知不知道呢？我估计可能不大知道了啊，那时候你还没有出生哎，那么那个时候呢，中国中长跑 出了一个叫做马家军哎，带这个领军人物王金霞在这个奥运会上夺得了女子五千米还有一万米的这个比赛的金牌或者是银牌。哇，当时啊，这个可是轰动了全世界和全中国呀，因为很难得能有中国人在这种前进比赛的这个大赛事上获得的这么好的成绩。 所以呢，大海老师当时看完了之后，哇，真是热血澎湃呀，对不对？也想要像这个王天下一样为国争光，所以有一天的时候呢，大海老师啊，也当然是小的时候还还在加加，在一个周长为四百米的环境跑道上也要进行万米长跑 啊，要进行万米长跑，好，那这样子的话，首先同学们能够了解什么叫做环形跑道吗？其实只要看看你学校的操场对不对，你就很熟悉了，我们平常在以前所学习的，像火车过桥啊，像这个相遇追击啊，我们基本上在那条路线都是怎么样的， 什么一条公路啊，什么一条铁路线啊，他都是怎么样的？类似可以看成是我们的直线的形式，对不对？是一条线的，那么环形跑道呢？是什么样子的？一个圈哎，很做形象，就是一个圈，哎呀，这个没有瘫痪好，对吧？哈，比较 像一个鸭蛋或者是土豆，对不对啊？就是一个圈，那么我们就任务就是在这个圈上就开始不停的往复，或者更为明显的区别，我们平常做的这种直线型的跑道可以看成是有头有尾的，那环形跑道呢？ 没头没头没尾的对不对？好了，那接下来咱们看看在怀宁跑道里面咱们到底要研究什么呢？来，咱们继续看啊。哎，小的时候还和佳佳还要为国争光，在周长为四百米的怀宁跑道上进行万米长跑， 哎呀，这个速度就稍微有点不尽如人意了哈，佳佳的速度是每分钟能跑四十米啊，还果然还是不一样啊，还是稍微快一点的，每分钟能跑六十米，反正基本上这个速度要去这个世界比赛，估计得这样比垫底啊，得被人套了好几圈，好几圈。现在第一个问题出来了， 佳佳和海海如果同时从同一地点出发，反向跑步，他们几分钟之后会第一次相遇，再过几分钟又会第二次相遇呢。那咱们常说做行程问题，一定离不开什么呢？图， 嘿，非常好，是不离不开这个非常形象直观的图形啊，所以接下来咱们马上画一个图来研究一下。好，这个不好好看的图哈，鸡蛋或者土豆又出来了。那么根据题目的技术，佳佳和海海是不是从同一地点出发？嗯，哎，比如说咱们在这插个小旗，对吧？表示这是他们 出发点。然后呢，佳佳和海海的出发方向，同学们看一下题目的说明是什么样子呢？反向，反向，就是两人的方向是不同的，对不对？哎，非常好，那也就是佳佳如果这样子跑，那么海海就是 这样子跑，对不对？嗯，好在这里大小稍微都说一下，在相遇追击以前，做一种直线性的跑道上，咱们一般说的是相向同向或者相背，对不对？那么在环形跑道上，大家发现这个路线是一个圆圈了，对不对？哎， 这个时候呢，对于他们的方向来讲，有的时候可能会有另外一种叙述，就跟咱们这个表表有点像， 说，你看咱们现在这个表，对吧？或者大家如果看不清楚，看看家也可以，你看着那个指针走的方向，如果我们的跑步方向是沿着那个指针的方向来走，咱们把这个叫做什么方向呢？在环形跑道里面叫做顺时针方向 啊，那如果你走的方向正好跟那个指针方向相反呢？这个叫做啊反时针呢？哈哈，咱们在这里起个名叫做逆时 人方向，能明白这个意思了吧，有的时候在环球跑道里面可能会这样的叙述两个人跑步方向，那你知道怎么回事就可以了。好，那接下来咱们看吧，两个人从出一点出发同时出发反向而行。那看我的手啊，假设这是两个人，那是不是到了环球跑道跑啊跑啊跑啊跑啊跑啊 啊跑啊跑，嗯，是不是在这个位置俩人是不是就相遇了？嗯，那既然是相遇问题同学们 马上回忆一下相遇问题的公式是什么来的。咱们暑假讲的路程和等于速度和乘以相遇时间，现在是不要求这个相遇时间速度和，你知道了不？ 鸡蛋俩人速度不给你了吗？那现在就差个什么东西啊，鹿鹿成河。好了，那我们来看看。根据刚才的系数两人从这个地方出发，哎，佳佳跑到这， 然后海海跑到这，哎，两人是不是就相遇了，对不对？我让同学看的更清楚一些，我怕在外边啊。那大家来看两人从这里出发跑跑跑跑跑到这里相遇了，那你说两人走的路程和是什么呢？ 啊？一圈，哎，非常好，是不是就是这个环境跑到一圈的长度吧，对不对？那这样子的话一圈多少？是不是题目告诉我们了，周长四百米。好了，路程和也有了，再出一箱里时间。那么海和家家 经过多长时间第一次相遇我们能不能算出来了？那太简单了对不对？好了，那这个同学们可以自己算一下，是有同学可能口算就能解决了， 下面一个问题才是戴老师要重点讲的。再过几分钟，也就从这次相遇之后，再过几分钟，两个人能第二次相遇呢。想一想啊，一看你在这跑跑跑跑 走到这之后，两人是不是就第一次相遇了？相遇之后是不是继续前进呢？那你看好了，从这里开始，两人是不是还是从同一地点出发，对方向是不是还是反的？对，然后在这又相遇？ 那，那你说再一次相遇，两个人又和走了多少呢？还是一圈 非常好，再次相遇，两个人是不是又是还是和走了一圈，对不对？那这样的话，第二次相遇经过几分钟是不是又能算出来了？那同学们，咱们推广推广，如果到第三次相遇呢？ 还是是不是又是一圈啊？对不对？也就通过这个图，我们会发现，在环形跑道里面，如果两个人从同一地点同时出发，相向而行啊，也叫做反向而行的话，那么他们只要能相一次，两人走的路程和是不就是一圈？如果能相遇两次，两人路程和就一共走啦 两圈，以此类推，相遇三次就是三圈，相遇四次就是啊，四圈，是不是就是这样的一个关系式啊？好了，这是第一个就说到这里，能明白了吗？嗯，好简单，看 看一下解题过程，就是太简单了，直接路程和一圈长度除以俩人速度和就可以了。好，接下来第二个问， 哎，跑了一圈之后呢？这个佳佳和海还觉得老作相应没意思，咱们换一个试试啊？换一个情况，佳佳海还从同一地点出发，同一方向跑步，两人方向一样了， 那想想，要从同一点厨房同上跑，一个跑得快，一个跑得慢，很明显，这就是我们熟悉的什么类型的问题啦，追极，追极问题，对不对？好，那咱们看看环形跑道领数级问题又如何？求这个时间呢？好，还是画一个比较啊？画这个就像土豆了，对不对？好，两人在这里出发，佳佳和海海 好方向一样，假设都是顺时针，这个实际上就是我们经常看题比赛同学会知道的，套圈的问题，对吧？跑得快的人要 绕套好，跑得慢的人好几圈，对不对？那咱们看一看啊，佳佳跑的有点慢，对不对？然后海海跑的比较快，我让同学能够看清楚，我把佳佳和海海走的路程，一个画在圈里，一个画在圈外。比如说，佳佳从这里出发，大概跑到了这，然后我们的海海呢？从这里出发， 首先是不肯定是要领先我们的家家吧，对不对？一直在前面，然后过到这之后，哎，注意看啦，然后再走到了这里，是不是就追上了？这么慢吗？啊，这个是意图吧，对不对？好，大概能看明白这个意思了吧，也就是我们的家家是不是跑到这里， 然后海海是不是这样子，然后是不是追上了我们的佳佳？嗯，那现在是追击问题，研究的是不是应该是路程差，这是海海，佳佳跑的，你看海海跑的 从这跑回来，是不是已经跑了一圈？嗯，然后是不是又跑了这一段路程？嗯，哎，大家发没发现， 海海又跑的这段路程跟佳佳跑的这段路程应该是怎么样的？一样的，是一样的，所以如果把两个人跑的路程做差，这个差值应该是什么呢？想想这一段跟这段就抵了， 就剩下啦，你看，哎，这不又是一圈吧，对不对？那也就是说，通过图，我们可以很明确的发现，在环形跑道里面，同时同地同上出发，快的人追上慢的人要比慢的人多跑一圈是不就可以了？嗯，好了，那这样子的话， 算追击时间是不是很简单？嗯，那同样呢，同学们思考一下，再过几分钟能第二次追上呢，你看这是不是第 次追上？嗯，追上的时候，相对两人是不是又是同时同地同向出发吧？嗯，那你说想要第二次追上海海比家呀，还得再多跑几圈呢，从这里出发，是不再多跑一圈又能追上了吧？嗯，哎，跟我们的相遇是不是很像啊？相遇是每相一次，是不合走一圈，嗯，那么追 就是每追上一次就得多跑一圈，你想追上人家两次，就得比人家多跑 两圈才可以。明白这一句句子了吗？明白好了，那么这道小题的过程也很容易就能够解决了。好了， 那么通过这个小事伸手的题目，我们就得到了在环形跑道里面最为重要的结论，而我们今天的课程主要就是围绕着这个结论来讲开的。那咱们来看一下大海老师的船工时间。首先，既然环形跑道归属于行程问题，那么行程问题里面 这三个经典公式我们同学是必须要牢牢掌握的。那第二个，那就是对于环境跑道里面来讲，我们经常 碰到的是两人同时同一地点出发。看好要求啊，得同时同地出发。那么如果两人是反向行进，每厢一次合作一圈，如果是同向行进，想要追上人家一次，就得比人家多走一圈。 好了，同学们，那这就是我们今天要着重来掌握和使用的知识了，你听明白了吗？明白了吗？当然明白。嗯，好了，那稍微休息一下，待会回来咱们就看看如何使用这些知识来解题了。

第一题，在四百米的环形跑道上， ab 两点相距一百米， 甲乙两人分别从 ab 两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑五米，乙每秒跑四米，所以甲从 b 点出发，乙从 a 点出发， 每人跑一百米都要停留十秒，问甲追上乙需要多少秒？甲追乙，其实追的就是这一百米， 两人跑一百米，我们先算甲，甲一百米需要一百除以五二十秒，以一 一百米需要二十五秒，他们俩都要停留十秒，所以假一百米其实用了二十加十三十秒，已用了二十五加十三十五秒， 那他们俩的差是五秒。 当前当甲跑三十秒的时候，他已经跑到一百米了，乙还没有到，等乙跑到一百米用三十五秒的时候，甲比他多跑了五乘五二十五米， 也就是说，每三十五秒 加追上以二十五米， 一百米里边有四个二十五米， 甲要追，乙追的就是这一百米，有四个二十五米，所以每三十五秒，甲追上一个二十五米，那么四个三十五秒， 假就追上瘾一百米了，所以假追上瘾需要一百四十秒。 第二题。

好啦，各位同学，休息的时间又结束了，赶快回来跟随大海老师继续并肩奋战吧！要么就跟大海老师一个人，好孤单的啊。来，我们看一下第三，家乡的海，还在操场上比赛跑步， 海海每分钟跑二十六米，佳佳每分钟跑二十一米，估计是刚才那个万米长跑太累了是吧，越跑越慢了 啊，这个跑道也很神奇，一圈就长五十米啊，那么现在呢，他们同时从起跑点出发对吧？那么请问哈，还第四次超过家家得需要多长时间呢？呦， 既然问的是超过，那意味着两人做的就是一个椎体运动了。哎，马上想，两人是不同时从同一个地点，都是同起跑点出发了。那马上回忆刚才大概是这样的结论，在环形跑道里，两人同时同一地点同向出发，那么快的人也就 海，还想要追上慢的佳佳，想要追上一次就得比佳佳多跑一圈，那想要追上两次，就得多跑两圈好了，现在想要追上佳佳四次吧，那就得比佳佳多跑四圈好了。路程差是不是就出来了？再除以数字差？哎，这题 轻松搞定对不对？很容易！好了，那接下来我们就一起来看这道题目。首先，第二要注意的，追上一次海海比大家多跑了多少？记住了，是一圈，因为是从同一地点出发的对不对？好了，那接下来跑了 第四次追上，是不是应该就是追多跑了四圈？那用四乘以五十，再除以他们的速度差，最后得到的就是四十分钟的追击时间了。好了，那这道题目就帮助同学巩固一下，同时同地同向出发，每追上一次就是多跑一圈，这个结论大家知道了就 ok 了。 好啦，这位同学，休息的时间结束了，咱们继续看下一道例题，律师再来巩固一下咱们好不容易学会的那些基础的结论。 在四百米的环形跑道上，加加、海海两个人分别从 ab 两地同时出发。啊，加加海海两人真是生命不息锻炼不止啊，天天的每道题都是锻炼跑跑啊。四分钟之后，海海第一次追上了加加， 哎，为什么是又经过了十分钟，海海才第二次之上加加怎么不是四分钟呢？动脑琢磨琢磨想一想，知道海海的速度是每分钟一百八十米，问加加的速度和 ab 两地的距离。好了，现在回答我的问题，那其实就是这个问题了，大家想一想， 海海第一次追上佳佳的时候，他比佳佳多跑的那个追击路程差会是什么呢？好，各位同学，你选对了没有？是不是一圈的长 长度呢？不是，哎呦，这回大家很明确的长迹象了对不对？为什么不是一圈的长度呢？那回忆一下，咱们刚才也说过了，在追击问题里面欢心跑到追击问题里面， 是同时同地同向出发，追上一次是不是才能多跑一圈？但是现在很明显，题目说的是家家孩两个人是从 a、 b 两地出发，是两个地方同时出发，并不是同一地点。所以这个时候还想要第一次撞上架架需要跑一圈呢，不需要，就跑个 ab， 两点之间的距离是不是就可以了？好，那这时我们再来看 第一次追上了佳佳，这个没问题了吧？那当然是顺便再问一个，那他第二次追上佳佳，他这十分钟是不是第二次的追击时间？那你告诉我海还从第一次追上到第二次追上佳佳，这一段时 间里他比佳佳多跑的又是多少呢？嗯，这回是一圈了，非常好。这回是一圈了吧。因为你讲啊，从第一次追击开始。第一次追击追击什么意思？是不就追上了？嗯，那追上就两人就在同一位置了。嗯，那从这个时候开始是不是就变成了两人同时同地同 重向出发了吧？那这是不就符合我们的结论了？哎，也就是说从第一次追击之后开始，也就是下面这个十分钟的第二次追击，对应的是不就是我们那个标准的结论的应用了？嗯，那这样子的话就要提节气来，是不是就很简单了？嗯，好， 我们来看一下具体的解题过程。首先他还第一次追上加压之后，就相当于两个人是同时同地同向出发，咱们在前面做那个第二相遇的时候是不是也有这样的处理方式啊？嗯，那也就是说只要我们看到他后面是同时同地的，是不就可 可以来使用了？但是第一次一定要看好了到底是什么样的情况。然后第二次追上加压的时候那么喊还睡不着，比加加多跑四百米是不是就可以了？当然了，这一定只是从第一次之后开始到第二次追上需要多跑四百米，那么追击时间是十分钟，很容易投入速度 他是四十米每分。因为是海海追上了加加，所以是不是还还要快一些，所以用海海的速度减去四十，这样可以啊， sorry 啊，对啊， sorry， 海海的速度减去四十可以得到加加的速度应该就是一百四十米每分。好了，第一个小问是不是就解决了？那第二个问， ab 两地相距多少米呢？ ab 两地相距多少米？大家想一想，刚才提问问的是不是就是这个 ab 两地？待会大家选对的话，你会知道 ab 两地相距的距离是不就是海和加加多 第一次追击运动的时候的那个追击路程叉，现在收下来求的就是第一次的追击路程差是多少，那路程差等于什么？速度差乘以追挤时间，速度差 四十，最佳时间四分钟。哎哦，这呢，没有看到四分钟。好了，那一百六十米非常好。第二个小问， ab 两地距离相距一百 六十米，只要你处理好第一次和第二次，他们哪一次是符合我们提供要求和结论的就可以了。好了，那同学们，我们的第四就说到这里，能明白了吗？那 类似最为重要一点还是大海老师反复强调的，当你新学了一个公式和结论之后，一定要先弄清楚他能够使用的条件和限制要求是什么。做题的时候先看看这些要求和条件是否满足了，满足才能用，不满足就不用。 好了，各位同学，休息的时间又结束了，马上跟随大海老师来看一下我们今天的第一个题型，基础环境跑道的最后一题， 哈哈，和佳佳最后又换了哈，在湖的周围练习于长跑对吧？老在那个操场上没劲对吧？都是一个一成不变的景色，就会在湖里看看水啊，看看天鹅啊，对吧？看看小鱼啊，还能心情宽阔一些，对吧？然后你看，一开心就成这个结果了， 还每分钟跑二百五十米是吧？哈。呃，佳佳每分钟能跑二百米，哇，这俩人的速度一下涨的好快呀！哈， 现在呢？两人同时同地同向出发，四十五分钟，海海追上佳佳问，那如果两人是同时同地反向出发，经过多长时间两人能相遇呢？好，仍然问第一个问题，海海追上佳佳，他的那个追击度同差是多少呢？非常简单吧，对不对？因为 非常符合要求，同时同立同向出发，所以还想要追上家教的话，只要比大家多跑一圈就 ok 了。现在你知道追击时间是四十五分钟，又知道两人的速度，那么这个多跑的这个一圈是不是可以很容易算出来？那 知道了，多跑了一圈，换句话说，是不是就是这个环形跑道长，你知道了？嗯，那如果两人是同时同地反向而行的话，相遇时应该也是合照一圈，鹿城河也知道了，再处以速度和相遇时间是不是就出来了？哎。 对于利物这道题来讲，其实一个非常简单的把环形跑道里的相遇和追击综合在一起的考察，只要你弄清楚他们的初始条件，是否同时同地就可以了。如果是这样子的，直接使用结论，这题迎刃而解好了。首先看一下环形跑道长追击时间四十五乘以他们的速度差可以得到是两千两百五十米，那 在下而行的时候，他们的相应路程和仍然也是环形跑道一圈的长度用二两千两百五十除以两人的速度和最后结果是五分钟。好了，六，这道小题轻松搞定好了，那么到这里为止，我们的第一部分基础环形跑道就全部都说完了。最后请同学要记住， 在基础滑行跑道里面，我们重点研究的就是同时同地出发的情况，如果是同向会是怎么样的？如果是反向又会是怎么样的，对吧？同向的时候，这个追击路程差就等于这个滑行跑道的一圈的长度，那么你追上一次就多跑一圈，那你如果 想要追上六次，这个需要比别人多跑六圈。相向的时候就是反向作为下运动，那么这个路程和就是一圈的长度相，一次合作一圈，两次就合作两圈， 教你三次就合作三圈。但是最后再强调一遍，一定要注意使用要求先同时并且要同定，一定要注意这一点。好了，如果没有问题的话，那第一部分的题目咱们就说到这里了。