八上数学第一章测试卷勾股定理基础

八年级数学上册第一章公主定律专项练习。

哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第一章第一节探索勾股定理的习题练习。好，首先来看一下常见的题型啊，这里呢，给大家列出了两种好，第一种呢是跟这个图形有关的计算。好，我们一起来看一下。 好，第一题如图，以直角三角形 a、 b、 c 的三边为直角边，分别向外做等腰直角三角形。 若 a、 b 等于五，则图中阴影部分的面积是多少？他呢？跟我们在这个同步课程里面讲的不太一样，对吧？我们讲的是向外面做这个正方形，他做的呢是等腰直角，给了一个条件就是 a、 b 这条边啊，他的长度呢，是五。好，那阴影部分我们观察一下，是什么呀？ 是不是三个等腰直角三角形，对吧？等腰直角三角形，他的面积应该等于二分之一乘以底，再乘以高，对吧？好，那我看一下，如果我设这个中间这个直角三角形，他的三条边啊，如果我设这个短的这条边为 a， 长的这条直角边呢，为 b 啊，另外呢，斜边的长度是五，对吧？那你看一下左边这个三角形啊，一号三角形， 他的面积应该等于多少呢？我写 s 一啊，他应该等于二分之一乘以十啊，是不乘以 b 的平方啊，对吧？因为等腰直角三十，这里是 b， 这里也是 b， 二分之一乘以 b 的平方。好，接下来我看一下，那二号呢，下面这个二号 这个直角三角形，它的面积是不是应该等于二分之一 a 方啊，对吧？它们都是怎样直角？那么上面这个三角形呢？哎，三号它的 面积应该等于多少呢？ s 三是不是应该等于二分之一乘以多少啊？乘以五的平方啊，对吧？应该这样，他现在求的呀，是 s 一加 s 二加 s 三，对吧？求他们的和应该是多少？那这里面这个 a 和 b 的值啊，我不知道， 但是你看一下这道题，我需要求 a 和 b 各自的值是多少。我如果直接把 s 一和 s 二加在一起来看一下啊， s 一加上 s 二，这应该等于什么？是不是可以把一个二分之一提出来呀？哎，那里面是不是就剩下一个 b 方加 a 方了， 对吧？好，那 b 方加一方等于多少？这是个直角三角形，我们根据勾五定理，两条直角边的平方和应该等于斜边的平方，对吧？所以他应该等于二分之一乘以这个斜边，也就是五呗，四乘以五的平方，对吧？哎，所以呢，我不需要把 a 和 b 具体的直球，直接根据勾五定理， a 方加 b 方就等于五的平方，对吧？好，那现在求出了 s 一加 s 二之后，我再求这个 s 阴影部分的面积，是不是应该等于 s 一加上 s 二再加上 s 三呢，对吧？哎，那应该等于什么？二分之一乘以五的平方，再加上二分之一乘以五的平方，那所以呢，他就应该等于五的平方，对吧？ 所以呢，最后这道题求出的结果应该是 b 选项啊，面积应该是二十五，这个呢，就是啊，应用勾股定理来求图形的面积这样一种。好， 接下来第二题，如图所示，在三角形 a、 b、 c 中， a b 等于十五厘米，不要想啊， a b 等于十五厘米， 好，然后呢， a c 等于十三， b c 等于十四，好，求，这个三角形的面积，根据面积公式，应该等于这个二分之一，再乘以底，再乘以高，对吧？哎，那知道了，三边的长，我并 不知道这个三角形高应该是，那我应该做哪个边的高啊？其实做哪个边的高应该都是可以的啊，那因为这个三角形这样摆放的，我直接做 bc 的高，好像看起来比较舒服一点，对吧？好，我把 bc 边上的高给他做出来啊，说他的为 ad 啊，也就是那 ad 和 bc 啊，这里应该是垂直的。 好，那接下来我要做什么？我是不是要想办法求这个 ad 的长啊？求出 ad 的长度之后，我就可以求这个三角形的面积，对吧？那 ad 长应该怎么求呢？我看一下 ad 啊，他应该在这个直角三角形 acd 当中， 同时呢，他也在这个直角三角形 abd 当中，对吧？哎，这两个三角形应该都是满足歌舞定理，对吧？但是呢，下面这个 cd 和 bd 的长我并不知道，那这里我又应该怎么办？我虽然不知道 cd 和 bd 各自的长多少，但是我知道他们的和应该等于十四，对吧？哎，那这种情况下，我可以利用什么呀？ 设未知数的方法。怎么设未知数呢？我可以设这个 b d 等于 x 啊， b d 如果等于 x， 那 c d 应该等于多少？是不是应该等于十四减， 对吧？那你说 c， b， y， x 也是可以的啊，这都都是可以。好，这个时候呢，我在这两个直角形三角形当中啊，我分别运用一下来看一下。首先，在这个直角三角形 abd 当中，根据购物定理应该有什么呢？是不是 bd 的平方加上 ad 的平方应该等于 ab 的平方，对吧？ 那把句写数，在你的 b d 是 x， x 的平方加上 a d 的平方，然后呢，就应该等于这个十五的平方，对吧？好，然后呢？在这个直角三角形 a， c、 d 当中， 我应该是有这个啊， c d 的平方加上 a d 的平方，它呢应该等于 a c 的平方，对吧？ 好，具体的数单就 cd 应该是等于十四减 x， 哎，他的平方再加上 ad 的平方，就应该等于 ac 的平方， ac 平方是十三的平方，对吧？好，你看，我得到了这两个方程，一和二， 哎，但是呢， a d 的长是我，是我现在这个主要求的，对吧？哎，但是我观察一下这两个方程，我通过这两个方怎么样？我可以把 a d 平方给它削掉， 哎，我从第一个式子我可以得到什么呢？ a d 的平方，它呢，应该是等于十五的平方减去 x 平方，你看把这 x 平方给它移过来，是不等于这个？ 那通过第二个方程呢？我又得到这个 a b 的平方呢？它又应该等于十三的平方，减去一个十四，减去 x 的平方，对吧？应该等于这个。那很显它俩都是 a b 方，那是不是这两个是不是应该是相等的？它俩相等，我就得到了一个关于 x 方程，虽然呢，它的四这个指数是 二，我们好像没有学过这个指数是二的这样的方程，但是我发现什么呀，他两边啊，这个 x 含有 x 平方的这个项可以消掉，消掉之后呢，他就变成了一个一元一次方程，哎，这样我们就可以， 对吧？好，大家可以自己尝试一下啊，利用他等于他这个方程写一下 x 值是多少啊？最后呢，求出 x 值应该等于九， 好，如果 x 等于九，也就 b d 等于九，对吧？哎，那么在这个直角三角形 a， b、 d 当中，哎，斜边是十五，一条直角边是九，那 a d 的长度我是不是就可以求， 对吧？哎，你如果在这个三角形 acd 当中也是可以的，你都是利用这个勾股定理，对吧？好，最后呢，我求出这个 ad 的长度呢，应该是等于十二厘米，哎，他有十二厘米，好， ad 的长度如果求出来了，那这个三角形的面积也是可以吧，等于二分之一乘以这个 dc， 然后呢，再乘以个 ad， 对吧？哎， 二分之一乘以十四，然后呢，再乘以十二，是吧，最后求的结果应该就是八十四平方厘米，这个题就给他解决掉了，那这个呢，就是利用这个购物定义求三角形的面积，这样的题目 中间呢，啊，结合了我们这个方程的这个思想，对吧？所以方程呢，是我们利用这个勾定点求线段长的，是一种非常得力的一种工具，哎，这个方法大家一定要尽快的把它掌握好。 第三题啊，如同在三角形 a， b， c 当中啊， a、 d 垂直于 b， c 与点 d 啊，这里是垂直的 好，然后呢， b， f 它平分角， a， b， c 啊， a b c， b f 是它平分线，对吧？就这两个角，这两个角它是相等啊，然后呢，交 a c 比点 f， 然后告诉我们， a c 的长是十三， a， d 的长是十二，这个长我标在中间吧， a b 长是十二，对吧？然后呢， b， c 的长是十四，哎，这几个长我都知道了，求的是 a、 e 的长，来看一下， 那求 a、 e 的长应该怎么办？我知道了， a、 d 的长是十二，对吧？哎，那 a、 e 的长呢？我如果说求出 d、 e 的长是不是也可以啊， 对吧？哎，求出了 d、 e 的长，我就可以求出这个 a、 e 的长，那这个 d、 e 的长我又应该怎样来求？首先根据题目当中给的这一些条件，我们看一下， a、 c 长是十三， a、 d 的长是十二，那我根据歌友定理，我可以先求出 c、 d 的长，对吧？ 哎，这就等于第一的平方就应该等于十三的平方减十二，对吧？算上他就等于五，那我为什么算那么快？五，十二，十三，这是常见的一组多补数。哎，这个点呢，我们会在下节课会给大家一起分析， 当然大家做题做多了，这个常见的这些数，应该很快就可以得到答案啊，这只是一个熟练度的问题。好，现在 c、 d 长等于 五，那 b、 c 的长就等于十四，我是不可以求 b、 b 的长， b 的长求来是不是应该等于九，对吧？哎， b、 d 等于九，然后我们再看吧， a、 b、 d 等于九，然后 a、 d 呢？等于十二。那在这个直角三角形 a、 b、 d 当中，我是不是又可以利用个五定点，我可以求出 ab 的长，对吧？这里是九，这里是十二，求出 ab 的长应该等于十五， 哎， a、 b 的长是等数，然后接下来又怎么办？好像思路到这里停住了，对吧？不要忘了这里还有一个角平分线的意思条件，对吧？那这个角平分线，平分线我们应该怎样来进行使用呢？哎， b、 f 是角平分线， 那这个点 e 他肯定在这个角平分线上，对吧？同时呢，这个 d e 呢，是垂直于这个 b z 这条边的，那我们注意，角平分线其实他有一个性质，在回忆一下，角平分线上的点，同样到脚两边的距离是相等，也就是说我如果过这个点， e 啊， 向 a b 这条边做一条垂线的话，那么这两条垂线段的长肯定是相等，对吧？好，我把这条垂线让你们做一下啊，我设这个垂足为 g， 哎，那我是不是应该就有这个啊？ e g， 他呢，应该是等于 d e， 对吧？哎，他俩应该是相等，那同理，我们还有一个什么条件很重要， b d 和这个 b g 是不是也是相等？你看一下 b g 啊，他呢，应该是等于 b d 的。 哎，这里为什么？因为这两个三角形全等三角形，三角形 b， e g 和三角形 b e， d， 他俩是全等三角形， 所以呢， b g 等于 b g， 也就是说他应该是等于九。好， b g 的长度如果等于九， a g 的长度是不是就可以知道？因为整个 a b 的长度是十五，对吧？哎，下面如果等于九，那上面很显示就应该等于六，哎，就说 a g 啊， a g 等于六，哎，到这我好像有一点点， 你看在这个直角三角形 a e g 当中，哎，这里是直角，对吧？我根据勾定理，我应该有什么呢？ a g 的平方加上这个啊， g e 的平方，他呢，应该是等于 a e 的平方，对吧？ 哎，这是根据狗狗定理，那把相关的数给代去 a g 求来，是等于六，对吧？也就是六的平方加上 g e， 我刚说完 g e 等于谁呀？它等于 d e， 对吧？ 哎，记忆和 d 是相等，那 d 又等于谁呢？ d 是不是等于十二减去 a e 啊，对吧，所以呢，我这里可以写成是十二减去 a e， 哎，加上他的平方，然后就等于 a e， 看到这，我是不是得到了一个关于 a e 的这个方程啊，对吧？哎，那这个还有平方的项呢，两边可以消掉，哎，所以呢，最后他可以转 转，换成为一个关于 a e 的一个一元一次方程，对吧？我再解一下这个方程是不是就可以学出 a 的字。同样这个也是勾股定理啊，跟方程结合的这样一，对吧，哎，这里你也可以先把 ae 设成 x， 对吧，就得到一个关于 x 的 这个方程，哎，解一下就可以，哎，计算量的话应该不大，这个重要的是大家一定要通过这道题啊， 掌握这种方程，结合购物定的这种解题的方法非常的常用啊。最后呢，求得这个 ae 的长度呢，应该是等于二分之十五啊，所以呢，这道题制作答案就是 b 选项。 好，这题啊，建议大家啊，到这里呢，如果之前没有做出来的话，赶紧暂停一下，梳理一下我们的解读的一个思路，好，下面第二种题型啊，勾股定理的实际应用。好。第四题，笔架 这个五米长的梯子斜靠在一个竖直的墙上，这时候梯足是什么？梯足对梯子的最下边呗，对吧，距离墙角是三米啊，如果梯子的顶端下滑一米，那么梯足将滑动 做产品，这是一种非常经典的梯子，这个移动的移动，哎，没给头上，对吧，我先把这个头给他画出来啊，就这样，然后下面这个呢就是地面， bb 是地面啊，这个呢， ac 呢，代表的就是墙，哎，那 ab 呢？斜靠在这，他应该就是这个梯子了，对吧？ 因为他说呢，梯子长是五米，也就是告诉我们这个 a b 呗， a b 应该是等于五米，对吧？哎，然后呢，梯足距墙角三米，那是不是就告诉我们这里是梯足啊，对吧？他到这个墙角这里是三米，也就是告我们 b c 啊， 它呢应该是等于三米。那根据这两个条件，利用购物定比，我是不是可以求出 a c 的长啊？ a c 的长求出来应该等于四米，对吧？这简单写， 根据勾定理应该很容易求出来。好， a c 的长，也就是目前这种情况啊，这个三角形 a、 b、 c 三条边的长度我都求出来。好，接来他要滑动，也就是这个点 a 这个位置要向下滑一米，对吧？哎，如果这个里向下滑一米，大家想一下，这个点 b 啊，这个 b 应该是向哪个方向移动的？ 肯定是，应该是向右，对吧？他肯定应该向这个方向移动啊，我把挪动以后的这个 好，我设挪动以后啊，这个题目呢，叫做 a 撇和 b 撇来两个对应的，那很显然，这个 a a 撇这个距离是不是应该等于一米啊？这里应该是等于一米，对吧？好，这里如果等于一米，那大家看一下，这个 a 撇 c a 撇 c 的长度应该是多少？是不是应该等于 a c 减去这个 a a 撇，对吧？ a c 的长呢？是四，那 a a 撇长度是一，它是不是应该等于四减一？哎，它呢，是应该等于三， a 撇 c 的长度是三米，那现在我要求的是什么呢？其实我要求的是这一段，对吧？哎， b b 撇这一段的长度应该是多少？那 b、 c 这段我已经知道了， b c， 求来 b、 c 是三米，对吧？ 那我如果能知道这个 b 撇 c 的长度，我用 b 撇 c 的长度减去 b、 c， 是不是就是这个 b、 b 撇的长度，对吧？好，来看一下这个 b 撇 c， 它的长度又应该怎么样的情况，它是不是应该是在这个直角三角形 a 撇 b 撇 c 当中啊， 对吧？哎，那这个直角三角形当中，首先 a 撇 c 的长度求来是三米，那同时我还有一个什么条件，大家不要忘了，这个 a 撇 b 撇这个红色的，它表示的是 t 的长度，对吧？ 虽然它下滑了，但是梯的长度肯定不变呢，是不是？所以呢，这个 a 撇 b 撇后面啊， a 撇 b 撇它肯定还是等于五米，对吧？哎，所以呢，我这个 b 撇 c 撇啊， b 撇 c 要求的这个他的平方加上这个 a 撇 c 的平方，就应该等于 a 撇 b 撇的平方，对吧？哎，那把相关的数给带进去，也就是呢， b 撇 c 的平方加上 a 撇 c 是三 平方， a 撇 b 撇呢，是等于五的平方，对吧？等于这个，所以呢，我可以求出这个 b 撇 c 的平方应该就等于四的平方， 哎，所以呢， b、 b、 c 它的长度应该是等于四的啊， b、 c 它的长度应该等于四米，好，它的长度等于四米，那么这个段呢， bc 的长就等于三米，所以我是不是得到这个 bb 撇，它的长度应该等于四，减去三，最后应该就等于一， 所以这道题最后答案应该是 b 选项，但是这里我也要提醒大家，必须是通过这种方法计算出来，你不能想当然的认为顶 端滑了，滑下一米，这个底端呢，一定就向右滑出一米。哎，这两个不存在等待关系，他只是在这道题当中啊，他俩数字一样，如果换成其他的数，他俩就不一定相等。哎，因为在这里呢，我们还没有学习啊这个啊，二次跟跟式有关的这些知识，对吧？所以呢，我们出的这些相关的数啊，都是比较整的数， 对吧？哎，如果换成其他的数，他俩不一定是相等。哎，下滑的距离和向右滑的距离不一定相等，必须要通过计算得出最后的结论啊。好， 第五题教材一道题啊，如图，某储藏室的入口，它的洁面是一个半径为一点二米的半圆形，这是入口半圆形啊， 一个长宽高分别为一点二米、一米和零点八米的箱子能不能放进去？哎，这是什么问题啊？问，能不能放进去，其实就看这个尺寸呗，这个尺寸大小怎么样，对吧？如果你这个啊，半圆形的，这个 主要是入口太小了，那箱子可能就卡在那里了，是不是？哎，那我箱子可以怎么放呢？我看最长的这个应该是他的长一点二米，对吧，那我是不是可以选择把它竖着放进去？竖着放进去我就不用管这个长了，对不对，我只看他的宽，他的高是否满足就行。 哎，那这个箱子宽是一米，这个呢，半圆形呢，他的半径是一点二，也就是这个直径是二点四米，最宽肯定是没问题，肯定可以放进去，现在问题就看这个高够不够就行，对吧？ 好，我简单的画一个箱子啊，如果是这个，就是我们看到那个箱子啊，当然了，我们看到箱子这里是他的宽，这里是他的高长度，我们不用管，因为我们是竖着放进去，对吧？ 那如果我们判断他能不能放进去，我们是不是应该尽量靠在中间放？只要我们能从最中间把它放进去，我们就说他能放进去，我们不可能是靠着边给他往里塞吧，对不对？哎？靠在最中间，也就是说呢，这个半圆形的圆心呐， 他应该是我们这个长方形的这个箱子里边上的这个中点这个位置，哎，我要把它靠在最中间往里再看，行不行？那如果是这样的话，为了方便起见，我把各个点给他标上字母，啊，好，也就是说什么呢？这段 oa 这段 长度应该就是这个箱子这个宽度的一半，对吧？他呢，这段应该就等于零点五米， 哎，对，零点五米。然后我现在判断什么呢？我要判断这个 a c 啊， a c 这段的高度，它呢和这个零点八米 他们之间是什么关系，对吧？也就是你放在这个啊，主要是的最中间往里放的时候，如果这个高度，这个高度啊，如果他大于零点八，或者等于零点八，哎，就可以放进去，那如果他小于零点八，那箱子肯定到这强度了，对吧？ 我们不能看最正面的这一段，比如说这里不是一点二吗？他是大于零点八，那不要忘了我们这箱子有宽度啊，他不是一个简简单单的一个细细的，对吧？薄薄的，他是有宽度的，所以我们不能看这段的长度，必须要看这段的长度，比如说 ac 他的长度到底有多高， 那这个 ac 长度我们应该怎么求呢？我现在已经知道了 oa 的长度，对吧？哎，这里呢，又是一个直角，那我如果连接 oc， 这里是不是就会出现一个直角三角形啊，对吧？ oc 的长度我是知道的，他就等于半径啊，对吧？哎，所以呢，这里我自然而然的，我就要连上 oc， 那 oc 的长度我就是等于半径，哎，这里是等于一点二米， 一点二米，那我是不是就可以求出 ac 了，对吧？哎，这里呢，我应该这样算， ac 的平方他就应该等于什么呢？ oc 的平方减去 oa 的平方，你看是不是这样的，对吧？哎，直角边的平方应该等于斜边平方，减去另一条。 好，有关数带进去就应该等于什么呢？一点二的平方减去谁啊？ oa 是等于零点五的平方，对吧？哎，这里算出来应该是等于一点一九，哎， ac 的平方等于一点九 a ac 等于多少啊？这里大家不要紧，不需要去算具体的数值是多少，对吧？哎，这个算的应应该也是非常麻烦的一个数，他不是一个比较整数。 这里呢，那我们应该怎样去比较 ac 和零点八的关系？那我们就直接看什么呢？ ac 的平方跟这个零点八的平方的关系不就完了吗？看他俩谁大呀，对吧？这零点八的平方很显然他等于零点六四啊，对吧？ ac 的平方他等于一点一九，所以 ac 的平方一定是大于零点八， 既然它的平方比它大，那说明什么？说明 a c 一定也是零点八大，哎，我们只要判断一个平方就可以了，不需要把这个 ac 具体的值给他算，如果这样算的话，那应该是用计算器来算了，对吧，我们呢直接算平方也是可以的。好，既然 ac 呢他的高度是大于零点八的，所以呢，我把这个箱子沿着这个储藏室入口的这个中间的这个位置往里推。 好，这就是我们判断这道题的方法啊，好，看一下这个解题的一个过程，在这里好判断出 ac 大于零点八米，所以呢，箱子可以放进品质啊，这也是我们利用勾股定点来解决我们这个实际的一个问题。好， 那今天的练习呢，就和大家一起做到这里啊，我们下节课呢，和大家一起来学习。第一章的第二节一定是直角三角形吗？欢迎大家收看，如果喜欢的话记得点击关注，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。

hello， 大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天继续来学习第一章勾股定理的第三节，勾股定理的应用。 其实关于勾股定理的应用啊，我们在前面的这个一些习题当中也已经和大家一起学习过，对吧？哎，所以呢啊，今天这次课主要是给大家啊，一起学习一下教材上面讲的两种题型，哎，正确来说应该是题型啊，好，两个指点，第一个是确定立体图形上的最短路线， 好，我们一起来看一下啊，好，教材上的例子啊，如图有一个圆柱啊，这是个圆柱体哎，他的高呢，是十二厘米，然后呢，底面的这个圆啊，周长是十八厘米，然后呢，在圆柱体的下底面上这个点 a， 哎，这里有一只蚂蚁，他想吃到上底面上 与 a 点相对的 b 点， b 点在这，对吧，他是在上面这个底面呢，与这个 a 点呢是相对的哎，这样的一个点，这里有食物，小蚂蚁呢，想去吃这个 b 点的食物。然后呢，他说这个沿着圆柱的侧面爬行的最短路线应该是是多少？ 那为了搞清楚这个问题，首先我们应该怎么样？我是不是应该知道你这个对的路线应该是一条什么样的路线，对吧？哎，我只要把这个路线搞清楚了，我才能去求他的长度吧，是不是？ 好啊，第一个问题啊，自己做一个圆柱，尝试着从点 a 到点 b， 沿着圆柱的侧面画几条路线，哎，你觉得哪条路线最短？ 这个圆柱啊，大家如果有兴趣可以做一下啊，如果自己做一下，其实呢，印象应该更深刻，做法也很简单，你找一个稍微硬一点的纸，把它这样卷一下，对吧？哎，这里呢粘一下，这里就应该 会啊，形成了一个圆柱，对吧？好，然后呢，你可以尝试着画一条，画一些线，哎，你看看哪条路线最短好，我们呢 随便举几个例子啊，因为这个线我们现在暂时不知道哪最短的，对吧？哎，我可以随便的画，比如说啊，第一种情况，我可以这样画过来，对吧？哎，这样可以画，或者呢，你也可以这样， 哎，这样从上面这样绕个圈，这样过来，是吧？哎，或者呢，你上面这个先先不是直着走的啊，先这样关着，这样上来，然后再走到点臂，哎，或者呢，你也可以这样走，对吧？沿着这个侧面直接上来，好像直观的看。第四种，这个情况，好像这个路线比较短一点，对吧？哎，好， 接下来呢，我们看第二个问题，他说呀，把这个圆柱的这个侧面剪开，展成一个长方形，那展开当然就成一个长方形了，对吧？然后再问我们 从点 a 到点 d 最短的路线是什么？问，你画对了没有？因为我们刚才在没有展开的情况下，大家想一下，因为它这个侧面呢，它是一个曲面，对吧？所以呢，你画出来的这条线也是一条曲线， 那么这种情况下，你是不好判断，那你画出来的这个 a 到 b 啊，因为你你不能画直的吗？咱不能从圆柱中间穿过去，对吧？哎，你画的曲线呢，你不是线段，所以你不好判断你画出来的到底是不是最短的，但是呢，我们如果把它展开，大家想一想啊，哎，我这里把图形给他画一下，展开应该沿哪条线展呢？你就假装的沿侧面这条线， 用一把剪刀，哎，给他剪开就行了，对吧？剪开以后把它铺平，就变成了一个长方形了，对吧？哎，长方形应该是这样的，铺出来好点， a 呢，应该在这里。好，那这个时候大家要注意一个问题，你说这个点 b 在展开以后的图形上，他应该在哪里？他应该在 这里吗？大家想一下，很显他不可能在这个角这里，如果在这个角这里，你再把它卷回来的话，他是不是就跑到 a 点的正上方来了，那就跑到这来了，对吧？那肯定是不对的呀，因为他说点 b 啊，是在这个上面，这个底面当中跟点相对的，这个点应该在这个位置，对吧？ 所以你想一下，你把它展开，他一定应该是在这条边的终点这个位置，对吧？哎，这个位置才是点臂，这里要注意啊。哎，我们一定要把点给他找准 好，既然点 b 在这里，那我现在要找的是从点 a 到点 b 的最短路线，这个最短路线应该怎么找？那太简单了，两点之间线段最短，对吧？我把 a 和 b 连起来就行了呗，是吧？哎，所以呢，线段 ab 就是这个最短的路线， 那我现在如果说想求这个对角路线，我应该怎么办？我是不是很显，这里应该是个直角啊，对吧？哎，这里是个直角， 也就是我给这个点啊，定义一个，如果这里叫 a 撇的话，那这个三角形 a b a 撇是直角三角形啊，对吧？我只要知道两条直角边的长度，我是不是就可以求出 ab 的长度了，对吧？哎，那根据信息呢，这个圆柱的高是十二，那是不是这个这个 a 撇应该等于十二，对吧？ 然后呢，底面圆的半径是十八厘米，那告诉我们什么底面圆的半径，我如果展开，他是不是相当于这个长方形，这个底底边的这个长啊， 这里是十八，那点臂呢，是在他的终点上，所以这段是不是应该就是九啊，对吧？哎，所以呢，这个 ab 的长度我就可以求出来了，哎，好，具体的求法呢，应该就是比如这里，刚才我们已经说了啊，这里应该是十二，对吧？哎，这里应该是九，在这个直角三角形当中， 我直接用勾入定理就可以求出 a b 的长度了，对吧？好，这里求出呢 a b 的长度，最后求出来呢，应该是等于十五厘米啊， 接下来我们一起来这个啊，搞清楚一件事，就是啊，我们做这种题的时候，很重要的一个是什么呀？一定要弄清楚两条直角分的边长，比如说什么，你如果刚才找点，你就找错了，你如果把点臂找到这个位置来了，对吧？哎，你这样一连接 ab， 那你很显然你求的肯定是错误的， 哎，所以呢，把两条直角边的长度给他弄清楚，这个是非常非常重要的啊。好，我们总结一下，求这个立体图形上面最短路线的一个步骤，哎，步骤应该是怎么样的呢？一起归纳一下啊。首先呢，我们把这个立体图形给它展开，展开，变成了一个平面图形， 哎，这样呢，就把一个立体图形问题啊，给他转化为了平面图形问题，对吧？因为立体图形呢，我们虽然接触的比较少，那平面图形我们是比较熟悉的，这是一种转化的思想。第二步呢，是确定好相关这个点的位置，哎，比如刚才那个点 b， 对吧？找到他的位置是 非常重要的。好，接下来第三步呢，就是连接相关的点，哎，然后呢，构造出直角三角形，最后呢，利用勾股定理来修剪。好， 我们一起来看道例题啊，如图所示，长方体的底面啊，相邻的两边的长度分别为一厘米和三厘米，哎，这底面啊，这里三厘米，这里是一厘米，好高呢，为六厘米 啊。接下来他说如果用一根细线，从点 a 开始啊，从点 a 开始，经过四个侧面，缠绕一圈， 到达点臂。点臂在哪里？点臂其实就在点一个正上方，但是他不是直接这样上去的，对吧？他是绕着这个四个侧面，因为长方体他只有四个侧面吗？上下两个小底面，对吧？哎，四个侧面，他现在这样绕了一圈，然后绕到这个点臂的这个位置，然后他问我们，你要用到这个细线最短需要多少厘米？ 这个问题怎么解决？有了刚才那个例子的这个基础啊，我想我们大家思路应该都已经很清楚了，对吧？就按照我们归纳那个步骤来。首先怎么办？把它展开呀，展开成平面图形，对吧？我们需要展开的是哪些面？很显然，我们要展开这四个侧面，两个底面我不用管，对吧？我把这四个侧面都给他展开。好，我们展开一下， 展开之后，我应该会得到四个长方形，对吧？哎，然后呢，我们确定点一个点臂的位置，那横向点一个点臂应该是正上上方，对吧？点一在这里，点臂应该在他正上方，在这里， 那那个细线要怎么走啊？那细线会是直接从点一到点臂这样拉上来的吗？很显然不是，他要绕一圈，他要经过这四个侧面才能到达点臂，对吧？那在这个图形上你说怎么办？我不可能画一条折线，他到点臂这个位置啊，对不对？那你说点臂的位置应该怎么样来处理呢？哎，我们看一下，这 这四个侧面展开的时候是这样的，但我发现如果把它折叠起来，你想想这个点臂，他是不是跟这个点，这两点应该是重合到一起的，对吧？哎，这里如果实在想不出来的话，找一张纸叠一下也可以，哎，叠一下，只要把它一折叠，这两个点重合在一起，所以你这里是点臂，那这个点是不是也是点臂啊？ 对吧？哎，应该这个点 b， 所以呢，我从点 a 出发，哎，绕这个经过这四个侧面到达点 b， 实际上呢，我是到达这个点 b 的这个位置，哎，所以呢，我把点 a 和这个点 b 的 e 连起来，哎，这个就是 这个需要走最短路径的时候啊，我们那个细线他所经过的这样的一条路线，对吧？也就是对这道题来说，我求出这个 a b 的长，就是所用的细线最短的那个长度，哎，那这个 a b 可以求吗？哎，他很想在一个直角等角形里面， 对吧？哎，这样三角形相关的边，我看一下，这里是三，这里是一。那展对于展开图来说，是不是这里就是三呐？这里是一，哎，这里也是三，对吧？这里也是一，所以呢，下边这条，呃边就应该是等于八 八厘米，对吧？那这个高呢？高已经告诉我们了，是六六厘米，对吧？哎，这高是六，所以呢，在这个直角分角形当中，两条直角边分别为六和八，所以斜边应该就等于多少等于十啊，对吧？哎，所以呢，这样的最后答案就是需要的这个细线最短是十厘米， 这个同样啊，也是一个把立体图形啊展开，然后求最短路线，这样一个问题。好，关键点呢，是要确定这个点臂的位置，哎，这也是这样的一个关键点啊，好， 接下来第二支点啊，利用三边的关系来判断垂直。好也是教材上的一个例子啊，比如说写 想要检测这个雕塑啊，这是一个雕塑啊，他的底座这个正面的这个边 ad 和这个边 bc， 哎，他是否分别垂直于这个底边？ ab， 哎，就这里啊，这两个是不是都是垂直的？ 哎，然后呢，但是他随身只带了卷尺，对吧？他没有两角器，是不是？哎，首先第一个问题，能不能啊替他想一个办法完成这个任务，哎，在只有卷尺的情况下也卷尺是测什么呢？测量这个长度的，对吧？哎，怎么样来通过测量长度的方法来判定这两个是垂直的关系？ 这里啊，我想应该难度就不大了，对吧，因为我们已经学了勾股定理的逆定理啊，对吧，他呢，完成的任务就是用通过长度的方式来判定这个角度，对吧？哎，所以呢，我们想可以用什么方法呢？我们可以分别测出 a、 b 和 a、 d 的长，哎，这两个长 算出来之后，然后呢，我用他们算出他们的平方和，然后呢，我再测量出 b、 d 的长，哎，我看一下 a b 的平方加上 a、 d 的平方是否等于 b、 d 的平方，如果等于的话，那么这里这个角就是直角，对吧？也就是说呢，这个 a d 和 和这个 a b 是垂直的，用同样的方法呢，我也可以测量出 a b 和 b、 c 的长，看看他们的平方和是否等于 a、 c 的长，对吧？然后呢，我就可以判定出来这个角 是不是等于支架，对吧？哎，这就是通过这种测量的方法来实现。好。第二个问题，李叔叔量得了啊，这个边，哎，他就用这个方法，对吧？ ad 的长呢，是三十，他一量，哎，这里呢，是三十厘米， 然后呢，呃，边 a b 的长是四十厘米，下面这个是四十，然后呢点 b d 之间的距离也就 b d 呗，对吧？ b d 呢，这个距离 是五十，我这线我就不连了啊，所以呢，他问你这个 ad 是否垂直于 ab？ 三十，四十五十，那很显然这是勾股数啊，对吧？哎，所以呢，这个是个直角三角形，那角 a 当然就是直角，所以呢，这个 ad 和 ab 呢，确实就是垂直的，对吧？好， 我们再看第三个问题，说这个啊，小明啊，他呢也想测量，对吧？哎，但是呢，他随身啊，他只带了一个长度为二十厘米的刻度尺，哎，然后问他能有办法来检测这个 ad 和这个 ab 是否垂直， 你说只有二十厘米刻度尺是什么意思？也就是他没有办法测量出 ab 的这个长度呗，对吧？二十厘米太短了，这刻度尺不好测量啊。那这种情况下我又该怎么办呢？其实大家通过刚才的这个步骤是不是已经感觉到了，我其实没有必要怎么样把 ab 的全长测出来，我 是不是可以在 a b 上只要截取一个一条线段就行了，哎，我截取一个在二十以内的，对吧？然后呢，我在这个 a b 上面呢，也截取一个二十以内的，哎，最好呢，他们是构成我们公勾股数当中的两个数，对吧？哎，截取了之后，我再把截取的这两个点一连，我再测一下 这一段线段的这个长度，看他们三个是否满足歌舞定理的一定理，对吧？哎，具体步骤呢，比如我可以在 ab 上我截取一下，我截取一个这个 am 啊，我让他，比如就等于四厘米，对吧？然后呢，我在这个 ad 这条边上呢，再截取一个 an， 哎，截取让他等于三厘米， 那我再连接一下 mn， 哎，然后呢，我测一下 mn 呢，是否等于五厘米，对吧？哎，如果等于五厘米的话，那么这个在这个三角形 amn 当中，他的边分别为三厘米，四厘米，五厘米，那刚好是符合勾五定理逆定理的，所以我就可以判断出这个角是直角， 对吧？哎，进而呢， a d 和 a b 也就垂直的了，哎，那么我判定 b c 和 a b 呢，同样的方法呗，对吧？我在这个 b a 和 b c 上也进行截取，哎，同理，对吧？哎，所以呢，在这种情况下，我们通过截取的方式也可以来判定这个边是否垂直。好， 接下来看一个例题啊，如图所示，如果只给你一把刻度使，你能否检验这个角 c 是不是直角，哎，减数这个做法，并说明理由，那是跟刚才那个思路是不是很像啊？哎，只有一个刻度数，我就只能量长度呗，对吧？哎，那这角呢， c m 和 c n 这里应该是两条射线，对吧？我这射线上面 截取一下就行了呗，对吧？好，我可以在这个 cm 上，哎，我先截取一条线段，比如叫它 c a， 我令它的长度呢就等于三厘米，对吧？然后呢，我在这个 cn 这条射线呢，我再截取一个 cb， 我可以令它的长度呢 等于四厘米，然后呢，我连接一下 ab， 看看 ab 是不是等于五厘米，对吧？哎，如果等于五厘米的话呢，他符合这个勾股定理，逆境里我这个可以判定角 c 是直角，如果不等于五厘米的话，那他这个角 c 呢就 不是直角，对吧？哎，所以截取的时候咱们也尽量取这种比较好算的一些数，对吧？你不要算出来一个小数啊，或者一个什么其他的比较奇怪的一些数，对吧？哎，这个给自己增加一些这个计算量，对吧？好，看答案啊， 答案就是这样的一种做法，哎，注意这个啊，怎样来描述啊？在 c m 上截取，对吧？哎， c n 上截取。哎，这些这个术语大家要给他说的准确一些。好 好，那么这次课内容呢就到这里啊，课后呢就不再啊，专门的对于这次课内容做一个稀奇的练习了，我们下一次课呢和大家一起进行一个啊，第一章的一个复习课啊，欢迎大家收看。好，如果喜欢的话记得点下关注，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。

哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习八年级数学上册第一章勾股定理的第一节探索勾股定理，今天呢是这节课的第一个课时， 好，首先来看一下知识点清单，这节课呢，因为是啊，第一次课，对吧？哎，我们呢就只有一个知识点，哎，就是客户定好。 既然说到这个勾股定理，大家有没有很好奇勾股定理，这个勾和股，这表示的是什么意思，对吧？这里呢简单的给大家做一个介绍，作为一个数学的小知识， 何为勾股，对吧？哎，再看一下这个语气，像不像这个文言文，对吧？哎，其实啊，勾股定理这个名字啊，在我们古代啊，我们古代的数学家就已经发现了这个定理，当， 当时呢，我给大家先看一下这个图形啊，这里应该是一个直角三角形，那么当时的数学家把这个直角三角形的三条边给他起了个名字， 什么名字呢？我们看一下。首先下面这条，哎，这是一条直角边，对吧？哎，这条边呢，是比较短的一条直角边，那么我们以前古代的数学家把这条比较短的直角边呢，给他起名字就叫勾， 然后呢，把这个比较长一点的这条直角边啊，给他起名字就叫鼓，哎，那么这条斜边呢，给他名字就叫做弦， 哎，那通过这个大家看一下勾股定理的勾股，哎，他的名字就是由此而来，那大家可以试猜想一下，那这个勾股定理他应该是跟什么有关系？他是不是一定是跟直角三角形有关系，对吧？哎，因为直角三角形的两条直角边，名字叫勾和股，对吧？ 哎，所以呢，我们这个勾股定理啊，它主要研究的就是这个直角三角形三条边之间的关系。 哎，那么可以说呀，这个勾股定理在我们数学学习当中啊，是一个非常重要的一个定理，大家呢一定要把这个定理啊给他掌握好。 那么关于这个勾股定理啊，其实呢，也不光是我们国家古代的数学家，在外国呀，这个啊，以前的数学家们也都有过这个相关的一个发现，只不过呢他们给他起的名字不同， 那么关于这部分的知识啊，大家可以呢啊，有兴趣的话啊，可以到网上去搜索一下我们这个郭武定的如来，以及呢中间发生的一些小故事，保证呢比我讲的还要精彩，是吧，在这里呢，这个数学史啊，我们就不再和大家做过多的一个讲解。好，那么我们 接下来呀，就一起来探索一下啊，古老而又著名的这个定律就是勾股定律。好，我们先呢自己进行一个探索的活动啊，大家可以尝试着一下自己啊，在这个纸上可以用这个直角的三角板，对吧，画出几个直角三角形， 然后呢测量一下这个直角三角形三条边的长度，并且呢填表。我这里呢，假设他的两条直角边分别为 a 和 b 啊，斜边呢是他为 c， 大家测出来这个 abc 的长度之后啊， 计算一下他们的平方是多少，然后呢分别的填入这个表当中。哎，我们建议大家呢，这里是画三个不同长度的这个直角， 对吧，为了方便起见呢，你最好把这两个直角边画成是两个整数，这样计算起来比较方便一些，对吧？要不然不是自己给自己这个制造困难，对吧？好，然后呢，填完表格之后， 仔细的观察一下啊，看看能不能通过这个表格上面的数据猜想出来，咱们这个直角三角形啊，它的三边的长度应该满足怎样的一个关系？这里建议大家按下暂停键， 哎，自己动动手，哎，只有经过自己动手总结出来的这个知识才是自己的知识，同时呢也会让大家这个印象更加的深刻。 好，我现在大家都已经做完了，应该能得到一个结论，是什么结论呢？那就是这个 a 方加 b 方等于 c 方，哎，也就是说呢，这两条直角边，他们的平方和应该是等于斜边的平方， 这个主要是我们自己啊，通过动手测量出来的，对吧？哎，也就相当于呢，我们跟随着这个古人的这个足迹，对吧？一起来揭秘这个直角三角形三边的一个关系。好，这个呢通过测量的方法 就到这里，那么接下来呢，我们再看一下，我们在这个一张方格纸上来画直角三角形，哎，那么通过这样的图形，我们能不能验证啊，我们前面猜想这个数量关系是不是正确的， 好看一下图啊，这个图当中啊，直角三角形三边的平方分别是多少？哎，当大家计算出来以后，看一下他是否满足我们前面猜想的这个数量的关系， 哎，大家能不能看到直角三角形在哪里？那这里啊，这里，这是一条直角边，这里呢是一条直角边，这里是一条斜边，对吧？哎，这个方格纸大家应该都都不陌生，对吧？他都是小正方形的小格子组成的，每一个正方形的边长我都设他为一啊，好，那我看一下。首先第一个，这个比较大一点的这个直角三角形， 哎，他的两条直角边长分别有多长呢？很显然，这条直角边长应该是三，对吧？哎，那下面这个直角边长呢，应该也是三， 对吧？那三的平方呢？那很显就应该是九呗，对吧？哎，所以呢，这个直角边平方为九，这个直角边的平方也是九，哎，那这个斜边的平方，这个我应该怎么样来计算呢？这里好像会有一点难度，对吧？ 哎，不要忘了我这怎么样，我图冲图上怎么样？我利用这个三角形的三边啊，分别向外做出了三个正方形，对吧？ 哎，那你想想，这条直角三角形，呃，这条直角边啊，他的平方实际上还可以等于什么？他的平方是不是等于这个正方形的面积啊？来思考一下，这个正方形 a， 他的面积是不是就等于这条直角边的平方啊？ 那同样道理，下面这个正方形 b， 它的面积是不是也应该等于下面这条直角边的平方，对吧？哎，那根据这个道理，大家看一下，这个正方形 c， 它的面积应该等于什么？是不 就应该等于斜边的平方啊，对吧？所以呢，我如果想求出斜边的平方是多少，是不是我只要求出这个正方形 c， 它的面积是多少就可以，那这个面积好求吗？ 哎，面积我们这里有两种方法，第一种方法是什么？简单的啊，数格子，我们看一下这个正方形 c 当中一共包含了多少个小正方形， 因为每个小正方形啊，面积都是一，对吧，我可以数一下，你看这可以这样数，一二三四五六，然后呢七八九十，十一十二，应该有十二个完整的小正方形，对吧？然后边上这个呢，这里我可以认为他是半个正方形，零点五个正方形，因为这是一个三角形，对吧？ 哎，他刚好是一个小方格面积的一半，哎，我，所以呢，我把这里所有的这些三角形和小正方形的面积都给他加在一起，那是不是就是正 方形 c 的面积啊？我求出了它的面积以后，那它是不是就应该等于斜边的平方呢？对吧？好，这里呢建议大家自己去进行一个计算，好，有了结果之后啊，咱们再继续进行播放，好 总结一下。最后的答案应该就是九九十八，也就正方形 a， 它的面积是九，正方形 b， 它的面积也是九， 正方形 c 呢，它的面积是十八，哎，我们可以通过数格子的方式就可以确定，那我也可以说是什么呢？这两条直角边的平方分别都是九啊和九，对吧？那么斜边的平方呢就是十八，所以那是不是九加九刚好等于十八呀？那刚跟我们刚才猜想的那个结论是不是一致的， 对吧？那么除了鼠格子以外，其实呢我们求这个正方形 c 的面积还有一种方法，哎，这种方法应该是怎么样的？我可以这样，我可以把这个 这个正方形啊给它切开，你看大家看一下啊，我如果这样切一刀，哎，那么上面的这一部分是不是刚好是一个直角三角形呢？这个直角三角形的面积可以求吗？是不是应该等于二分之一乘以这个一二三，对吧？二分之一乘以三，然后一二三，这里也是三，对吧？然后又乘以一个三， 这里就是这个直角三角形的面积。哎，那一个直角三角形的面积，我算出来之后，那这个直角三角形的面积是不是应该是这个正方形 c 面积的四分之一啊？ 哎，我用它的面积乘以四，我也可以得出这个正方形 c 它的面积，对吧？哎，得到了它的面积，就相当于得到了这个斜边的平方，这两种方法，一个是数格子啊，一个是给它分割成直角三角形，都可以算出这个正方形负数面积，大家可以多尝试一下。好，那同样道理，再看一下这边这个小的直角三角形， 这里我就不多说了吧，对吧？哎，大家可以自己尝试计算一下啊，应该计算量呢，应该是都不大的啊，直接给大家看一下结果 啊，四四八，也就是说正方形 a 这个小的正方形啊，它的面积是四啊，这个正方形 b 呢，面积也是四，这个呢，正方形 c， 它的面积是八， 哎，也就相当于呢，两条直角边的平方都是四，斜边的平方是八，那刚好四加四也等于八，对吧？所以呢，他也满足我们前面猜想这个数量，但是这个地方有个特殊的是，我们这两画的这两个直角三角形啊，他都是等腰直角三角形，大家发现了，对吧？ 那么对于等腰直角三角形，他存在的这样的数量关系，那对于一般的直角三角形，他是否也存在的这样数量关系呢？对吧？哎，我们不能在等腰三角形上得出结论之后，我，我就下个结论，我说对于所有的直角三角形来说都是这样，对吧？你要严谨一些，所以呢， 来看下下面这个啊，这两个直角三角形，很显然他就不是等腰撑直角三角形，对吧？那他是否也符合我们刚才所说的那个短杆关系呢？ 这里同样，我可以计算一下 a 和 b， 这个面积应该很好算了， a 应该等于，这个是一二三四四的平方，对吧？ b 的面积呢，应该是等于一二三三的平方，这个是应该，这个是十六，这个是九，那这个斜边他的平方，也就是说呢，这个正方形 c， 他的面积到底应该怎样来进行计算？ 这里再数格子是不是不太合适了，对吧？哎，因为这里呢，虽然有完整的，但是这种不完整的，你不好不好算，哎，他也不是半个小格子的面积，对吧？不好算，所以这样呢，我们不能数， 那我们可以用什么方法？我不妨尝试一下刚才所说的那个分割的方法，大家看一下，我如果把这个正方形 c 呀，我给它切割一下，能不能切割成一些比较规则的一些， 大家看一下。我第一刀怎么切啊？我这样切一刀，大家看一下。我如果这样切，那上面这一块是不是仍然是一个直角三角形，对吧？他的面积可以求吗？应该就等于二分之一乘以下面这个底应该是四，高是三，应该是就求来面积应该是六，这个直角三角形的面积是六，好，再切第二刀， 我再这样切一刀，来看一下，这里是不是又出来一个直角三角形，对吧？他的面积多少一算，同样也是六，因为他俩是全等，对吧？哎，也是六，那好吧，按照这个思路，我是不是可以继续切啊？好，我再这样切一刀，然后再这样切一刀，来看一下，这下面又切了两个直角三角形，对吧？哎，他的面积应该都是六， 所以呢，这四个直角三角形的面积加起来应该就是四六二十四，对吧？别忘了中间还有一个小正方形，小正方形的面积应该是一，所以呢，这个正方形 c， 它的面积是不是就应该用二十四加上一，这等于二十五， 对吧？哎，所以呢，我就可以得到这个直角三角形，它的三条边的平方应该是怎么样的？应该是分别为这个是九，它是十六，这个九二十五，那你看九加六是不是刚好等于二十五，所以呢，它仍然满足我们前面猜想那个关系， 对吧？哎，那么我把这种求面积的方法给他叫做一个什么样的方法？很显然，我们这种分割的方法，对吧？所以呢，我给你起个名字叫哥。哎，用分割的方法简单的记一下，可以求出这个增化型这个面积。好，那我看一下 右边这个小的这个直角三角形，那他的两头直角边的平方可以求吗？正方形 a 的面积应该是一， b 的面积应该是等于九，对吧？所以呢，这个小直角三角形，它的两条直角边的平方应该分别为一和九，那么这个斜边的平方，也就是说这个正方形 c 啊，这个小正方形 c， 它的面积又应该怎样？求？ 这里同样也可以用风格的方法，哎，大家可以自己尝试一下，可以这样切一刀，这样切一刀就切出直角形来了，对吧？哎，其实呢，方法跟这个差不多，但是这里我想换一种方法， 因为老人常见的方法没有意思，对吧？如果找到学习的乐趣，我可以换一种方法来求这个小的正方形这个面积，大家看一下啊。我这回啊，我不给他求我怎么样，我把放大来看一下，哎，我把它放大成这个红色的正方形， 哎，那你说这个正方形 c 蓝色的这个啊，它跟外面这个红色的正方形它们的面积之间有什么样的关系啊？ 是不是我用这个红色的正方形，它的面积减去什么呀？减去这一二三四，哎，我减去四周这四个直角三角形的面积，就等于这个蓝色的正方形这个面积，对吧？哎，那这个红色的正方形的面积可以求吗？很显然， 边长是一二三四，面积应该是十六，对吧？哎，那这个四个小直角三角形的面积可以求吗？当然也可以求，然后做一个减法，是不是仍然可以得到这个正方形 c 的面积，对吧？好，具体的数啊，大家可以自己尝试去算一下，对吧？好 给大家看一下，算出来结果啊， a 的面积是一， b 的面积是九，那么这个 c 的面积算上是十，那是不是刚好一加九就等于十啊？所以呢，仍然存在的两条直角边的平方和等于斜边的平方， 对吧？哎，仍然满足。那么我们把这种求正方形面积的方法又给他叫个什么？他肯想想，他不是切割的，对吧？他应该叫什么呢？他应该叫做补，哎，我给他四周啊，给他补上这个直角三角形，把他补成了一个大的正方形，也规则的大的正方形补起来之后算出大正方形的面积，然后再减去 四个小直角三角形面积，对吧？对，这个方法我总结出来应该叫做一个补字，那么这两种方法综合起来来看，就应该叫做割补法来求正方形的面积。哎，在这种方格子当中，哎，可以用割补法来求面积。 大家记住这个方法啊，不光是在学歌舞定的时候，我们后面学其他知识的时候都是可以用得到的啊，这个歌舞法 好，经过以上的这些探索，我们及时就可以得出结论了，对吧？也就是说在一个直角三角形当中啊，这两条直角边，他们的平方和应该是等于斜边的平方，那这就是我们这个著名的勾股定好来看一下啊。 直角三角形，两直角边的平方格等于斜边的平方。好，如果用字母来表示的话，如果用 a 和 b 还有 c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边直角边分别用 a 和 b 啊，斜边为 c， 那么呢， 这个关系就是 a 方加 b 方等于 c 方。然后如果用我们古代数学家的这个专业词汇来描述，就应该是勾方加古方等前方，对吧？但是现在我们通常都用的前面这个方法来表示 这个呢，大家为了给大家加深印象啊，特意也给他这个提出来一下，那这里要注意一个什么呢？注意前提条件，他的 abc 啊，这里已经明确了，对吧？ ab 表示的是直角边， c 表示的是斜边，如果没有明确的情况下，大家要注意这个 c 啊， 他一定表示斜边吗？这里是不一定的。谁说 a 不能表示斜边，对吧？如果图上已经明确告诉你谁是斜边了， a， 如果我没告诉你，或者说我把这个图改一下，我就另斜边，斜边是 a， 对吧？哎，一条直角边是 c， 另外一条直角边是 b， 那可不可以啊？当然没有问题了，那这个关键式应该怎么写？是不是就应该是 b 方加上 c 方等于 a 方位，对不对？哎，所以呢，我们大家利用这个定理的时候一定要注意啊，一定要认清到底哪条边是斜边，没有人规定 c 必须是斜边，哎，这里呢，必须要一个具体的说明，或者给出具体的图形。 好，这里是要注意的地方。为什么说购物定理啊，是这么一个神秘而又伟大的这样一个定理，你看，他很巧妙的把数和形结合在一起，数是什么呢？这里就是一个数，对吧？他可以认为他是一个式子，一个等式， 那行是什么呢？就是直角三角形，只要一个三角形是直角三角形，哎，它的三条边就存在着这样一个关系，它是一个非常典型的将竖和形结合起来的一个并，所以说呢，是非常的是有用的啊。好， 接下来我们通过两个例题来巩固一下啊。第一个求出下列直角三角形中未知边的长度，我们看一下，第一个给出两条直角边了，对吧？求这条斜边为 x。 那应该怎么根据勾股定理呗，对吧？我应该有，呃，六的平方加上八的平方，应该是等于 x 的平方，对吧？哎，那六个平方加八的平方应该是等于一百，所以呢，我就有 x 的平方应该等于一百， 那这个 x 应该等于多少？很显，一百应该等于十的平方，对吧？哎，那么 x 呢，是不是就应该等于十啊，对吧？哎，同时大家注意一下，如果 x 平方等于一百，那 x 的值除了十以外，是不是还应该有？应该是十啊，是不是还应该还有一个负十啊？ 哎，应该有个负十，对吧？哎，这单纯的从这个方程角度来讲，应该是这样的，但是对于这道题来说呢，因为 x 表示的边长边长不能是负的呀， 对吧？所以呢，这个负十呢，我们就把它使掉，哎，所以呢，这道题啊，最后答案就是 x， 因为我们这两还没有学一元二次方程，对吧？学了一元二次方程之后，大家对于这种啊，他有两个解的情况，应该了解的更熟悉一些，这里你只要知道因为 x 不可能是负的，对吧？所以呢，他只有一种情况，就是 x 好看一下后面这个三角形，他应该怎么办？ y 这条位置的边是一条直角边，对吧？那我根据勾定的应该等应该有这个五的平方加上 y 的平方等于十三的平方，对吧？ 哎，这里呢，如果算出来 y 的平方呢，应该是等于一百四十四，那 y 应该等于多少？一百四十四，可以算出来，他应该是等于十二的平方，对吧？哎，所以呢， y 就应该是等于十二的，对吧？还有一个呢，是负十二，但是呢，边长不可能负的，对吧？所以把它省掉，所以呢， 这个 y 的值就应该是等于十二啊，看一下啊， 好，下面第二个例题，在直角三角形 a b c 中啊， a c 等于三， b c 等于四，求 a b 平方的值是多少？ 好，这里啊，还有一个，呃，要提醒大家地方啊，每看到一道题啊，大家一定要先按一下暂停键，自己思考一下啊，如果看我们前面课程，同学应该是都已经啊习惯了这种停车的方式，对吧，所以呢，我就不再特别的进行强调了， 有自己的答案之后呢，再继续播放好，这个 a c 等于三， bc 等于四，四，求 ab 平方的值，他是一个直角三角形，但是呢，这里有个问题，我并不知道哪个角是直角，是不是？哎，也就是说呢，我并不知道哪条边是斜边呢，对吧，那我这个购物定律我应该怎么用呢？我是不是是应该分情况来进行 考虑，对吧？好，我先画出来一种图形，这样的，我说这个角， c 啊，它等于九十五，哎，那很显然， a c 等于三，也就它等于三呗，对吧？ bc 等于四，哎，这里应该等于四，那求 a b 的平方， a b 的平方呢，是不是就应该等于这个啊？ a b 的平方呢，就应该等于 ac 的平方加上 bc 的平方，对吧？哎，应该等于三的平方，加四的平方，九加十六，应该是等于二十五。好，那这道题还有没有其他的情况？因为没，人家没告诉你， ab 一定是斜边的，对吧， ab 可不可能是直角边？当然有可能了，大家自己可以尝试一下啊。这个图应该怎么画 好，我给它画出来，你看 a b 如果是直角边的话，在这里呢， a c 等于三，它等于三，对吧？ b c 呢，等于四，那你说这个 a b 的平方，这个时候应该等于多少？是不是 a b 的平方，这个时候呢，它就应该等 等于斜边的平方，就 bc 的平方减去 ac 的平方，是不是应该是这样子的，对吧？他就应该等于十六，减去九，应该是等于七的，对吧？哎，这也是勾股定理，一个变形啊，对吧？哎，直角边的平方应该等于斜边的平方，减去另一条直角边， 对吧？哎，所以呢，也就是说呀，当 b c 为斜边的时候，那你这个时候 a b 的平方就等于七了，这两种情况都是符合提议的， 对吧？那还有没有第三种情况，大家看一下，角 c 可以等于九十度，角 a 等于九十度，角 b 能不能等于九十度，我们可以画一下啊，如果说角 b 等于九十度了，那么 bc 呢，等于四啊，这里 cbc 呢等于四，然后呢， ac 等于三， 这里是直角，这里可以吗？很显然不行，因为 a、 c 是斜边的，斜边一定要比这个直角边要长啊，对吧？哎，这个，这个跟这个直角三角形，这个是 矛盾的，对吧？所以呢，角 b 是不能等于九度，哎，所以没有这种情况不存在，所以这道题呢，就应该分这两种情况来进行。好，我们看下答案， 这里呢，也给我们带来一个一个启发，就是说什么啊，我们啊，如果说题目当中没有给出具体的图形的时候，一定要按照什么呀？按照所求，这条边他到底是斜边还是直角边？哎，来进行一个分类的讨论，这里呢，大家一定要注意，很容易漏掉其中的一种情况啊。 好，那么这次课内容就和大家一起学习到这里啊，下一节课呢，将和大家一起来学习探索勾股定理的第二个课时。好，欢迎大家收看，如果喜欢的话记得点下关注，如果大家学习中有问题可以留言或者给我发私信，我们下次再见。