八年级上册数学学习之友答案函数

哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来进行第四章第一节函数的习题练习。来看一下常见的题型，一共有三种，好，首先第一种，判断函数关系，也就是说判断一下这种关系啊，能不能叫做函数 好，看一下第一题，判断下列变量之间的关系是否具有函数关系，这个看什么呢？就根据我们这个函数的定义来的，对吧？首先什么呀，应该是两个变量，对吧？哎，然后呢啊，一个变量变化，另一个变量是随之变化的，对吧？那么对于啊，通常啊，对于这个 一个边来说呢，当它取一个值的时候，我说另一个边量要有唯一的值与它相对应，对吧？通过这几点呢，来判断这个函数关系好，首先来看第一个， y 等于正负 x， 这个 y 能不能说成是 x 函数呢？哎，这还是根据定义来的，比如说 x 任意取一个值啊，规定 x 等于一，当 x 等于一的时候，我们发现 y 等于多少？ y 是等于正负一，对吧，这很显然，怎么样，他有两个值跟他相对，对吧，所以这个呢，我们不能说 y 是 x 好。第二，第二个啊， y 等于 x 的平方，这个呢，对于任意一个给定的这个 x 的值， y 是不是有唯一的值分的规定，任一个数，它的平方肯定是唯一的一个数，对吧？所以呢，这个 y 啊，可以说它是 x 的值。别在这里，可能这个 会有一个疑问，对吧？哎，比如说这个啊， x 等于一的时候，哎，我们说呢， y 它呢，确实是等于一的，对吧？哎，但是呢，当 y 等于一的时候呢，我们说 x 又怎么样？ x 可以等于 正负一，对吧？那这不是有两个值吗？所以我们讨论的是什么呢？我们说 y 是 x 的函数，但我们并没有说 x 是 y 的函数，对吧？哎，我们判断 y 是不是 x 的函数，我只要呢 x 取一个值，看 y 有没有唯一值对应就行，我们并不需要反过来看，对吧？哎，所以呢，第二个啊， y 确实是 x 好。第三个，二， x 平方加 y 方等于十，那这个呢？五零， x 取任意的是，比如说，我觉得 x 等于零吧，这样计算简单一些， x 等于零的时候，很显然，怎么样，是不是变成了 y 方等于十啊？哎，那这 y 应该等于多少？是不是应该等于正负账号十啊， 对吧？哎，正当 x 取一个值的时候， y 是由两个值跟它对应的，对吧？所以 y 不能说是 x 好。第四个， y 等于 x 的绝对值，这个我其实我们在同步课程上讲过了，对吧？哎， x 取任一个数的时 时候呢，那它的绝对值肯定是一个唯一的数啊，所以 y 是有唯一的啊，一个值跟它相对应，所以呢，这个 y 确实是 x， 好 看一下啊，答案啊，一三，这里呢，它两个不是函数关系啊。二四是，注意啊，这里说的就是 y 判断 y 是不是 x 的函数啊，我们并没有反过来说看 x 是不是 y 的函数， 这里要注意一下，因为习惯意义上来讲，把这个 x 当成自理量，把 y 呢看成是函数嘛，习惯成这样，好， 那第二题在表中记录了一个同学十次练习立定调耳的这个成绩，这是一个表格的方式，表表示，对吧？问我们 y 是不是 x 函数，说明一下这个原因，那我看吧， x 表示的是次数，对吧？哎，从一到十， y 呢，表示是每一次的这个具体的成绩。我们发现， 当 x 取一个值的时候， y 是不是都有唯一的值跟它对应？所以说 y 确实是 y 的函数啊，是 x 的函数，对吧？这里啊，有的还会有一个疑问，什么呢？你看他说这个啊，比如说，这里啊，这里呢，第四次跳了这个二点四米，第六次呢，也跳了二点四米，对吧？ 那这说明什么？说明这不是你一个 y 的值对应了两个 x， 这啊，说来说去，又回到原来，我们说 x 这里呢，当它等于四的时候，对应的 y 的值呢？这个是等于二点四，对吧？ 哎，那么当 x 等于六的时候，对应的 y 的值同样是等于二点四。这个跟函数定义啊，其实不矛盾，你看是不是给定任意一个 x 的值，对，唯一的一个 y 值并没有反过来看。如果说反过来看，这道题啊，如果说怎么样情况下 y 不是 x， 我们以第二次为例，第二次，比如说 x 等于二的时候， y 等于二点三五。我这里如果再给你个 x 等于其他一个什么数，比如说二点三六，你看 x 等于二的时候，除了两个 y 的值，那这个时候 y 就不是， 哎，这是一个返利啊。但是我们实际上通过表格我们看 x 值任意一个时候， y 只有一个值，对吧？所以呢， y 就是啊，好， 这就是答案啊啊！接下第三题，如图所示的图像，分别给出了 x 与 y 的对应关系，其中表示 y 是 x 的函数，则是 这个用图像法来表示的关系，对吧？哎，那还是根据定义来呗，任意取一个 x 的值，看看对应的 y 有几个值呗，对吧？那我看 x 这个，这是一个什么呀？这好像是一个椭圆形，对吧？啊？ x， 比如随便取一个点啊，取一个这个值对应的 y， 我们发现怎么样 做这个 x 垂线呗，我发现跟这个图像是不是有两个焦点呢？也就是呢，我们取一个在 x 可取值的这个范围内啊，我取一个值， 我可以对应的有两个 y 的值，所以呢，这个 a 选项啊， y， 不是啊，啊，不是啊， b 选项，同样道理啊，比如说 x 取这做一个垂线，我们发现一下嘛，同样是两个 y 值，这里一个 y， 这里也有一个 y 值，对吧？哎，所以呢，他也不是函数关系，那么 c 选项呢， 给定一个 x 值，我们发现什么呀？这里，哎，是不是有唯一的一个点呢？跟这个函数图像啊，对吧？哎，有唯一的一个外置跟他对应，那么 c 选项呢，就是函数 d 选项呢？在这啊，取一个 x 值，然后呢，做一个垂线，同样是不是对应了两个 y 的值啊，对吧？哎，所以 d 选项呢， y 也不是 x？ 好，所以这个题呢，最后的答案就是 a 选项 图像，其实我们看的应该是更直观，更容易判断一些，对吧？好，第二种题型啊，读取函数图像中的信息。哎，这里考察的主要就是这个对函数图像的这个理解了啊，我们看一下第四题， 记者乘汽车负三百六十公里外的农村采访，前一段路为高速公路，后一段路为乡村公路，那么汽车呢，在高速公路和乡村公路上分别以某一个速度匀速行驶啊，汽车行驶的路程用 y 来表示， 那么他的行驶时间呢？用 x 来表示，他们的之间的关系，是这样的一个图啊，问这个记者呀，到达采访地的时间应该是多少？ 观察这个图像吗？这图像告诉我们什么样的信息啊？首先，是不是很显然在这里表示的什么？当 x 等于二的时候， y 等于一百八十，对吧？那么当 x 等于三点五的时候呢，对应的 y 的值是等于二百七十，对吧？ 那我们从图像的格格数什么细节，学生一看，哎，这不到最后三点五吗，对吧？ s 到三点五后面没有了，那是不是他总共就走了三点五个小时啊？ 我一看，哎呦，还好四个答案里面没有这个选项，有了三点五，说不定有一个就会选上去了，是吧？你要注意啊，三点五的时候对应歪的值是二百七，对吧？也就是说呢，走了三点五小时的时候啊，他只走了二百七十公里，人家告诉你什么呀，总路程是三百六十公里，那很显然走了三点五小时的时候没到达目的地，对吧？你才走了二百七十公里， 这道题我们应该怎样来求？前两个小时，这里其实也不用看了，走了一百八十公里，对吧？哎，时间呢？是两小时，那是不是告诉我们什么呢？前面两个小时啊，他在高速公路上走的速度应该是比较快的，对吧？所以这一段啊，从这 从这个圆点这里到这这一段表示的应该呢，是他在这个这个高速公路上 所行驶的这个距离。那么到了后面呢，我发现从两小时到三点五小时，这中间一共经历了一点五个小时，对吧？那行驶的路程呢？是二百七减一百八，是行驶了九十公里，那么我们用这个九十 去除以他行驶的时间是一点五小时，对吧？哎，就求来等于六十，也就是说呢，他在这个乡村公路上，他的速度降到了六十公里， 对吧？哎，好，那我看呢，从离开高速公路的时候已经走了一百八十公里，那他是不是相当于什么呢？在高速公路上走了一百八十公里，然后还需要在这个乡村公路上还要再走一百八十公里，对吧？因为三百六十减一百八就等于一百八， 也就说用乡村公路上的距离一百八十公里除以在乡村公路上的速度六十，对吧？哎，这里求出来是等于三，那么也就是说什么呢？在乡村公路上一共走了三个小时，好，那么我们结合两个点 一起来看，在高速公路上走了两个小时，然后我们又求助，在乡村公路上走了三个小时，那你说总的时间是不是就是两小时加三小时，最后算出来应该是等于多小时，对吧？哎，所以呢啊， c 选项才是，我们图像上也，其实也可以看出来，他到这里啊，到了三点五，这里还没有完，人家图像上面怎么还有，对吧？ 哎，这，他没有把最后的值告诉我，最后的值，我告诉你，这题没有意义了，对吧？你直接看这个啊，时间就就是答案了，是不是啊？这个还是需要一个计算啊？ 啊？第五题，假，两人在一次跨栏比赛中啊，路程用 s 表示啊，时间是 t， 他们的函数关系如图所示，那么根据图形，下列说法，正确的个数 有几个啊？第一个说法是这次比赛赛程一百一十，看一下吧，这个上面这个表示的甲，下面表示的乙，对吧？我发现什么呢？最后当他，他们停下来，这个时候， 也就这个图像的终点好像对应的呢，这个对应的这个 s 都应该是等于一百一的，对吧？哎，所以我们就说总的这个赛程肯定是一百一的一百一十米，哎，跑到一百一十米的时候，两个人都不跑停了吧，对吧？好，所以呢，第一个手法也是正确的。第二个呢，甲先到终点，这个对不对啊？ 你看甲，他到这，他对应的时间呢？这里应该十三秒，也就是他十十三秒的时间跑完了全程，那乙呢，是用了十四秒的时间跑完全程， 他很喜欢假式行动，但用时间少，对吧？这个对的好，一，在这次比赛当中的平均速度为七分之五十五米每秒，平均速度应该怎么起？ 是不是应该用路程除以时间呢？对吧？哎，那路程甲和乙的路程都是一样的，都是一百一十米，那你看甲的乙的时间呗。乙，最后呢，他是用了十四秒的时间跑，是不是一百一十除以十四，哎，这个结果就应该是等于七分之， 对吧？所以呢，这个第三个说法也是正啊。第四个，乙的平均速度比较快，这肯定错了，因为什么呢？乙，你用的时间长啊，对吧？你用了十四秒才跑完，甲用了十三秒就跑完了，那你们总的路程又是一样的，对吧？所以呢，我们知道速度呢，应该是用路程除以这个时间，对吧？哎，那总路程是一百一十， 那总时间呢？那甲，他用的时间少，所以呢，他的速度肯定更快一些呀，对吧？乙呢，用的时间多，所以呢，速度慢一些，所以呢，必须得回答错误啊，所以这道题最后答案应该就是这一项，在考察都是我们从这个图像当中啊读取这个信息啊，这样的一种能力， 好。第三种题型，求函数的关系日。第六题，端午节期间某商场搞优惠促销活动啊，活动内容是什么呢？凡是在本商场一次性购买终止超过 一百元者，那么超过一百元的这个部分按照八折优惠啊。那么在此活动当中，你们到该商场一次性购买了单价为六十元的这个礼盒多少盒呢？ x 件 x 盒呗，对吧，这里特别说明了是什么呢？他买的这个盒数呢是大于二的， 哎，是这样的一个关系好，那么问我们应该付款多少，付多少钱呗，对吧？哎，用 y 来表示，那么商品这个建入也就是和数啊，用 x 来表示，那他们之间的函数关系应该是怎么样？ 这道题我们应该怎么样？他首先是一个打折速效问题，跟我们学这个啊，约一次方程的时候其实比较比较接近了，对吧，我们先考虑什么呢？他以单价为六十元，哎，一盒六十呗，他买了 x 盒，那如果说不打折的话，你说这个啊，他付款应该是多少？是不是不打折情况下就应该是对折， x 总共就应该会这么多，那么既然 x 大于二， x 等于二的时候呢，是一百二， x 大于二的时候，他肯定是大于一百二，也就是他肯定是怎么样超过了这个商场规定的这个一百块钱这个标准，对吧？好，那如果超过了一百块钱，他说超过一百元的这个部分呢，才打八折， 那你说他总共付了这么多超过一百元的部分，应该怎样表示？是不是用这个总的钱数减去一百元，这个是超过一百元，对吧？好，这个部分呢，打了一个八折，八，打八折应该怎么样计算？是不是应该乘以一个零点八呀？这才叫打八折，对吧？ 好，那这个呢，是表示的是什么呢？超过一百元的部分应该付这么多钱，但是不要忘了什么呀，你还有个最基础的那一百块钱，对吧？那一百块钱以内的部分，人家不打折，所以呢，你还是不是还得把那一百元再给人家加上去，这才是你应该负担 这个呢，只是你超过的那部分，我们算出来他打折应该负的那个钱，但你不要忘了，最基本的一百块钱，人家前一百块钱就不打折，对吧？所以呢， y 啊，他实际上呢，应该是等于这个， 那么这里呢，我可以把它整理一下，把这个乘进去呢，就应该是四十八 x， 然后呢，这应该是减去八十再加一百，所以呢，就应该是加上二十，对吧？ y 等于四十八 x 加二十，我们看一下，哎，答案呢，应该是 b 选项啊。 好。第七题，按下图方式摆放餐桌和椅子，若用 x 来表示餐桌的张数，有多少张桌子啊？ y 来表示可坐的人数， 那可做人数就椅子数呗，对吧？有多少张多少个椅子就能做多少人吗？好，问我们啊，第一个问题，其中有几个变量，这不用说了吧，肯定是两个变量，对吧？一个是 x 表示的是桌子的数量， 正的是 y 表示的是人数，对吧？两个变量。好问，我们第二个问题，能不能把 y 看成是 x 的函数，如果能的话呢，把这个函数关系式和自变量的取值范围给他写上。这个呀，其实我们在学习找规律的时候接触过这种， 对吧？哎，那么你说这个做的总人数跟这个桌子的张数之间有什么样的关系？我们观察这个图形，它是一个有规律的，对吧？你看这里面呢， 两边，首先不管你放几张桌子，左右两边都是两个人，这两个人是不变的，对吧？所以呢，我这个二啊，可以单独的把它写出来， 哎，二，然后肯定要加上谁呢？如果一张桌子，我们看一二三四，可以摆四张椅，两张桌子呢，一二三四五六七八，也就是每张桌子啊，如果你不考虑两边坐的这个人数的情况下，每张桌子应该能坐四个人，发现了吧？哎，这张你看这张桌子坐四个人，这个也是坐四个人，如果三张桌子呢， 这四个人，这四个人，这也四个人，对吧？所以呢，如果是 x 表示桌子的数量的话，那这里就应该是用四 x 就可以表示上面这排和下面这排做的一个，哎，然后加上二呢，就是加上左右两个，所以呢， y 啊，就应该等于这个，哎， 这个啊，那么这边量的 x， 它的取值范围应该是它表示的是桌子的张数啊，对吧？首先呢，它肯定得是个正数，它不能是零，哎，肯定得是个正的。其次呢，它不能有半张桌子吧，它肯定得是个整数，是不是？所以 x 取值范围应该就是正整数啊，好答案啊， 好，四， x 加二啊，好，接下来第八题最后一道题了啊，如同四边形 a、 b、 c、 d 的两条对角线啊， a c 与 b d 这个是互相垂直的关系啊，然后呢， a、 c 加 b， b、 d 等于十， ac 加 bd， 两条对角线相加等于十，然后他说啊，设 ac 等于 x， 一条对角线发为 x， 然后呢， x 的范围是大于零小于十的，这个不用说了，因为他表示的是长度吧，对吧？肯定大于零，那他俩相加才等于十，所以他呢，肯定也得小于十。好，然后呢，四边形 abc 的面积为 y， 那么问我们 y 与 x 的函数关系是可以怎样来进行？那我观察一下吧，这里最重要的就是这个垂直关系了，对吧？要根据垂直，我可以怎么样来表示这个面积？这个四边形啊，很显他不是一个规则的四边形，他不是我们学的长方形，正方形或者平行四边形，我们没有办法直接套用一些面积的公式来求，对吧？ 所以我们的时候呢，肯定得用这个分割的方法把它转化为求这个规则图形的面积。既然给了一个垂直，我不妨啊，我就是 a、 c 和 b d 这个焦点，也就是这 标点，比如说这为点 e 啊，哎，这里为点 e， 那你看我是不是可以把这个正面正方形的面积，他既然用 y 来表示了，对吧？他是不是可以表示为上面这个三角形 a、 c、 d， 然后呢，再加上下面这个三角形 abc， 哎，三角形面积我可以把它分成两个三角形的面积，对吧？好，继续写。三角形 acd 的面积是不是应该等于二分之一乘以 ac， 把 ac 看成是底，对吧？那高呢？就应该是 d， e， 是不是 好，再加上三角形 a， b， c 的面积呢？我同样把 a、 c 看成型哎，二分之一乘以 a c， 把，那个高应该就是 b， 对吧？好，这里我们观察一下，这里有个二分之一 ac， 这里也有一个二分之一 ac， 对吧？可以乘法这个分配率，我可以把这二分之一可以给他拿出来，就可以等于二分之一乘以 ac， 然后呢，再乘以一个括号，里面应该是 d e 加上 b e， 是不是可以这样写啊啊？ b e 加 b e， 那是不是就是 b d 啊？所以他就等于二分之一乘以 a c， 再乘以 b d， 哎，他就等于这个啊，好，继续。既然我们已经是 a c 等于 x 了，写了啊，二分之一 a c x， 那 b d 怎么用 x 来表示？ b d， a c 加 b d 等于十啊，所以你说这个 b d， b d 是不是就应该等于十减去 x， 对吧？所以呢，这里就应该是再乘以一个十减，去 看下有没有这个答案啊，应该是 b 选项，对吧？二分之一 x 再乘以一个括号，里面是十减 x， 对，好啊，这个题答案呢，就应该是 b 选项啊，他把这个函数关系啊，跟我们这个几个图形的这个面积啊，巧妙的结合在一起， 就这道题还是很有研究价值啊。好，今天的练习呢，就和大家一起做到这里啊，我们下次课呢和大家一起来学习。第四章的第二节，依次函数与正比例函数，欢迎大家收看，如果喜欢的话记得点下关注，如果大家在学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见！

小胖子要减肥，决定一个月减两斤，两个月减四斤， x 个月减 y 斤有 y 等于二 x， 在这个式子里，每月减两斤是始终不变的。像这样数值始终不变的量就是常量。而 x 个月中的 x 是可以变化的，它是自变量。减外金的 y 是随月数 x 的变化而变化的，所以它是因变量。 字变量和音变量统称为变量。在同一个式子里的量不是长量就是变量，而长量除了可以是数字，也可以是字母。比如这个圆锥底面圆的半径是固定的，而圆锥的高是变化的。圆锥的体积微等于三 三分之一派， r 的平方乘 h。 在这个式子中，因为圆周率派是一个固定不变的数值，且半径 r 也是固定的，所以三分之一派和 r 的平方都是常量。 圆锥的体积 v 随 h 的变化而变化，那 h 就是自变量， v 就是音变量。 在刚才 y 等于二 x 的式子中，当 x 取一时， y 对应就是二。当 x 取二时， y 对应就是四。 当变量 x 取定一个值时，另一个变量 y 都会有唯一确定的值，与 x 对应。像这样满足这种性质的，就可以说 y 是 x 的函数，而这种表示 x 和 y 的关系的式子就叫函数解析式或者函数表达式。 如果把式子改为 y 的平方等于二 x， 那 y 还是 x 的函数吗？不妨假设 x 等于一，则 y 的平方等于二， y 等于正负根号二， 这时一个 x 就对应两个 y， 不满足 y 有唯一确定的值，与 x 对应了，所以这里的 y 不是 x 的函数。 综上，判断 y 是不是 x 的函数，首先要确定式子中是否有两个变量，如 x 和 y。 其次要看 y 是不是被 x 唯一确定，如果是，那么 y 就是 x 的函数，如果不是，那么 y 就不是 x 的函数。 来看看这些式子，哪些式子中 y 是 x 的函数。第一个式子， x 减二， y 等于零。给 x 找个数带进去看看，取二吧。当 x 等于二十， y 等于三，一个 x 对应一个 y， 所以 y 是 x 的函数。 第二个式子， x 的平方减 y 的平方等于一。当 x 等于根号二时， y 的平方等于一，那 y 等于正负一，对应 y 的值有两个，所以 y 不是 x 的函数。 第三个式子， y 等于根号 x， 当 x 取一个值时， x 大于等于零，根号 x 的值都是唯一的， 则 y 就有唯一一个确定的值，与 x 对应，所以 y 是 x 的函数。第四个式子， y 等于 x 的绝对值。当 x 等于一时， x 的绝对值等于一，即 y 等于一，一个 x 对应一个 y， 所以 y 是 x 的函数。 第五个式子， x 等于 y 的绝对值。当 x 等于一时， y 的绝对值等于一， y 等于正负一，这时一个 x 就对应两个 y， 所以 y 不是 x 的函数。 因此，在这些式子中， y 是 x 的函数的，有第一个、第三个和第四个式子。最后总结一下，在一个变化过程中，数值始终不变的量是常量，数值发生变化的量是变量。 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y， 并且满足一个 x 的值，对应一个 y 的值，那么 y 就是 x 的函数。另外，表示 x 和 y 的关系的式子叫函数解析式或函数表达式。怎么样，你都学会了吗？

哇哦，刚才有一个初二学员问了我这么一道题，那我一看，竟然是要求比例系数的范围，这个在初中里考的并不多啊。那这道题呢，对于绝大部分孩子来说都是比较困难的。 在讲这道题目之前，我首先需要做一些知识铺垫。学过一次函数的同学都知道啊， y 等于 k， x 加 b， 对吧？当然，这个 k 是默认不等于零的， 这个 k 呢，我们把它称之为比例系数。 k 的正负其实决定了直线的倾斜方向。当 k 大于零的时候呢， y c， x 增大，而增大 体现在图像上呢，直线是上扬的。比如我们可以来看这样的三条直线啊， y 等于二分之一 x， y 等于 x 和 y 等于二 x， 他们的比例系数 k 呢，分别是二分之一、一和二，这个 k 呢，都大于零，你看直线是不是都是上扬的？同样 的啊，如果当 k 小运的时候，比如我取三条直线，当 k 等于负，二分之一负一以及负二的时候，我们发现这三条直线都是下降的。所以我们说啊， k 的正负决定了直线的倾斜方向，这个是都能理解的。 但我接下来要说的这个知识点，可能大部分同学呢，是没有思考过的。我们看这三条直线，他们虽然都是上升的，但是他们的倾斜程度不一样，比如这条直线呢，相对比较平缓， 这条直线呢，更加陡峭，换句话说，他更偏向我爱轴。这个是由谁决定的呢？其实也是由这个比例系数 k 决定的，这个 k 从二分之一到一到二呢，是在逐渐增大，直线呢，也是更加陡峭。那我们能不能说 k 越大，直线越陡峭呢？ 这句话是有问题的，只能说当 k 大于零的时候，这个结论是成立的。但是当 k 小于零的时候，我们让这个比例系数从负二到负一到负二分之一，他是不是在逐渐增大？可是这三条线是在逐渐变平缓的， 也就是当 k 大于零和小于零的时候，它结论是相反的。那如何统一呢？也简单，我们只要说当 k 的绝对值 增大的时候，直线越陡峭，或者说越偏向 y 轴，这个是没有问题的。大家看啊，从负二分之一到负一到负二，他的绝对值是在增大的呀，对吧？那他确实越来越陡峭啊。所以我们理解 k， 不仅仅要从正负角度来理解， 还要从他的绝对值的大小角度来理解。当 k 的绝对值越大，直线越陡峭，越偏向瓦尔轴。这个知识点呢，书上没有明确说，很多同 同学呢，也没有深入思考过，而这道题却需要用到这个知识点，让我们一起来看一下吧。已知依次函数 y 一，他是含有参数 a 的直线啊，这个 a 呢，就相当于是 k 是一个比例系数， 还有一条五二二呢，是确定的直线。如果两条直线交点在第三项线，要我们直接写出比例系数 a 的取值范围。这种题目啊，肯定是首先抓不变量，我们发现五二二的图像完全是确定的，那我们先把它绘制出来，就是图中这样的一条 直线啊。然后我们聚焦 y 一这条含餐直线，因为它有参数啊，所以它的直线是不确定的，但也不是完全无需变化的，这条直线在变化过程中是有不变的东西的，它是横过一个定点的，我们可以找到一组 x y 的值，使得这个等式呢，横成立，也就是跟 a 是没关 关系的。那我们只要把 a 拎出来，大家看啊，这条直线可以写成 y 一等于 x 加三倍的 a 加二，对吧？跟 a 无关，我只要让他前面的系数 x 加三等于零， 那么 x 是不是就等于负三了？ x 等于负三的时候， y 它始终都是二，所以它横过一个定点负三二，这是本题的关键。所以这条直线啊，它其实就只要穿过负三二这个定点就行了，它表示的就是这里面所有的穿过负三二的 线。当然，由于本题是依次函数，那这里面要扣除两条，一条是竖直线，还有一条是水平线。他说两条直线的交点要在第三象限，我们把这个交点找到，此时呢，这两条直线是有交点的，对吧？交点确实在第三象限。好， 我们晃动一下这条红线啊，我发现这个时候他们的焦点就不在第三象线了，对吧？我们再晃一下，那我们其实可以找到这条红线的范围。首先这个应该是一个临界位置吧，往上的话呢，焦点就不在第三象线了，往下的话呢，焦点还在啊，那我们就往下继续走吧。啊，逆时针转吧， 这时候焦点没问题，对吧？走走走，走走走。哎，走到这个时候，我们发现焦点他不在第三象限了，对吧？然后 直至回到刚才的临界位置。那这里的交点为什么会从第三象限突然间跳到这个上面去了呢？实际上他经历了中间这么一个临界位置，也就是这两条直线平行的时候打开， 对吧？此时呢是没有焦点的，如果这条直线往这边来一点，他其实会交代第三象限，当然现在 我们看不到，对吧？只要往这边来一点的话呢，就会交到上面去了，所以平行又是另外一种临界的位置，实际上这条直线呢，他就应该在这么一个范围内啊，就这么一个范围内，对吧？从平行的临界位置，一直到 这么一个临界位置，哎，这个范围就是这条直线的范围，我们只要在这个范围里面确定出比例 c 除 a 的范围就可以了。 那这个比例系数 a 到底是什么范围呢？那就要讨论。因为此时的直线啊，它既有上扬的，也有下降的，也就是这个比例系数 a， 它既有大于零的情况，也有小于零的情况，对吧？那我们就分类讨论，比如我们先看 大于零的情况，我们先让这条直线啊竖直，像是一个裁判一样啊，从这个位置我们转转转，转到平行的位， 是呢，此时的直线都是上扬的啊， a 都是大于零的，那么这时候的 a 的范围是什么呢？大家看啊，当他们平行的时候呢，他们的比例系数应该相等，所以这个 a 跟这里的这个一应该相等， 也就此时的 a 是等于一的。那从这到这呢，实际上直线是越来越陡峭，大家看从这个地方走过来，是不是越来越陡峭了，所以他的 a 呢，是越来越大的。刚才我们说过了，当 k 到零的时候， k 越大， 直线越陡峭，所以这段红色区域，它指带的 a 的范围呢，应该是 a 大于一， 不能取等啊，因为取等的时候刚巧平行，没有焦点，那么这个是 a 大于零的情况。接下来我们再考虑 a 小于零的情况。同样的，我还是把这条直线啊放在竖直的位置，然后我将它换一种颜色啊，大家可以看得更 加清楚啊，换成绿色，此时的直线呢，应该是走这么一段范围，那这里 a 的范围又是什么呢？我们先看这个临界线的 a 的值，这个焦点应该是负一零，对吧？又经过负三二，那不难算出此时的 a 等于负一。 然后我们看啊，从这到这，直线是越来越陡峭的，也就意味着 a 的绝对值是越来越大的，而 a 本身小于零，那么 a 本身它是越来越小的。所以在 a 小于零的时候啊，它对应的范围是 a 小于负一，能不能等于负一呢？ 不行，因为等于负一时，这个焦点刚巧落在 x 轴上，不属于第三象限，对吧？所以本题的答案就是 a 小于负一或 a 大于一。

在广东住过的人想必都有体会过一天之内感受春夏秋冬四个季节吧。阿道是住在广州的一个学生， 周末到了，他打算约上朋友们一起去白云山爬山。经历过广州变化多端的天气的阿道甚至要带上不同厚度的衣服，所以他提前查了爬山当天的天气预报，并查到这么一份曲线图。 根据图像，同学们知道阿道从凌晨四点开始爬山和从下午一点开始爬山分别需要带上怎样的衣服吗？ 很简单，通过图像我们能直观的看出，凌晨四点的气温在二十三摄氏度左右，所以这时候他需要带上春秋装的衣服，而下午一点的气温在三十三摄 十度左右，天气比较热，所以他可以只穿夏装的衣服哦。 曲线图表示了温度随着时间的变化而变化，也就是说他是温度与时间之间的关系的图像，所以图像是我们表示变亮间关系的又一种方法哦。 从图像中我们能直观的看出当天的最高气温是三十七摄氏度，最低气温是二十三摄氏度，也能直观的看出任何一个时间点的气温是多少，所以这是图像法区别于表格法、关系示法的一个特点，非常直观。 同学们看曲线图的横轴表示的是时间，而时间是字变量，纵轴表示的是温度，而温度是音变量。所以在用图像表示变量间关系的时候，我们通 常用横轴上的点表示字变量，用纵轴上的点表示音变量哦！趁热打铁，花花老师出道题考考你们！ 人类大脑的记忆容量是有限的，随着时间的推移，记忆的东西也会逐渐被遗忘。德国的一位心理学家就发现了记忆遗忘的规律，并根据得到的数据绘制了一条曲线。根据图像回答下列问题。 一、将记忆保持量和时间时填入图中括号处。二四时候记忆保持了多少？同学们可以暂停视频思考一下哦。 好了，我们来看第一题。题目中有说到，随着时间的推移，记忆的东西也会逐渐被遗忘，那也就是说记忆是随着时 时间的变化而变化的，所以时间是次变量，而记忆保持量是音变量。因此记忆保持量填在纵轴的括号里，时间时填在横轴的括号里。 看第二题，从图像中我们能直观的看出，四十处的记忆保持量在百分之四十左右，所以四十时记忆保持了百分之四十左右。 最后简单总结一下，一、图像是表示变量间关系的又一种方法。二、用图像表示变量间关系的特点是非常直观。 三、在用图像表示变量间关系的时候，通常用横轴上的点表示自变量，用纵轴上的点表示音变量。怎么样？同学们，我们本节课程到这里就结束了。

哈喽，大家好，欢迎来到米老师初中数学课堂，我们今天一起来进行第四章第二节依次函数与正比例函数的习题练习。来看一下常见的题型啊，两种 好，第一种是这个概念相关的问题啊，我们一起来回忆一下，什么是依次函数啊，然后呢，什么是正比例函数？好看一下第一题，下列函数中， y 是 x 的，依次函数的是，哎， abcd 四个选项，这里大家自己暂停思考啊。 啊，第一个 a 选项，这里呢， x， 这个指数是二，对吧？哎，指数是二呢，很显然它不是一次函数。第二个呢，这个 y 等于六分之 x， 这个是不是一次函数啊？这个是符合一次函数的表达式的，对吧？哎，表示另一个啊， y 等于 k， x 加 b， 那么对于这个表达式来说， k 的值应该是等于多少？很显然是六分之一， 对吧？哎，那 b 的值就是零呗。对呀，所以呢， b 选项啊，他是一次函数，真选项， y 等于 x 分之六，这个 x 跑到分母下面去了，对吧，很显不符合这个一次函数的这个概念啊。 然后呢，第四个， y 等于六，减去 x 的负一次方，这个是什么意思啊？是不是就相当于是六减去 x 分之一啊，对吧？哎，那他很显然也是不符合这个一次函数概念，所以呢，这个题最后的答案应该是 b 选项 好。第二题，如果这个式子啊，这个它是一个一次函数，求这个 m 的值为多少？我们乍一看，好像这个形式比较复杂，对吧？但是没关系，我们就根据一次函数的定义来。 首先啊，既然是依次函数，你这个 x， 它的这个指数肯定得得是一，对吧？所以呢，我们就得到了啊，五减去 m 的平方，哎，这个肯定是等于一的，那通过这个，我是不是可以求出 m 的值， 对吧？哎，我可以算出 m 的平方，他呢，应该是等于四，哎，所以呢， m 就应该是四的平方根呗，对吧？哎，这种算出来 m 呢，应该是等于正负二。 好，说到这啊，咱们同学也可以看 a c 选项刚好正负二吗？对吧？哎，所以就把自己给选上去了，但是你不要忘了什么呢，这个题啊，它 x 前面这个系数里面也有 m， 发现了吧？哎，这是 m 加二。我们对于一份函数概念，我们在同步课程讲过，有一个非常重要的一点是什么呀？你对于这个 y 等于 k， x 加 b 来说， 这个 k 呀，他是怎么样不能等于零的，对吧？哎，哎，哎呀啊， k 他是不等于零的啊，这个呀， 在我们这个概念当中是一个非常重要的一个部分啊，也是一个常见的一个考点，所以我们要求什么呢？你这个 m 加二，既然它是 x 前面的系数，它一定就是不能等于 零的，对吧？那么关键你求出来这个正负二，如果当 m 等于负二的时候，那 m 加二是不是就等于零了，所以呢，等于负二的这种情况，我们要把它舍掉，哎，他是不符合题的，所以这道题答案应该就是 m 等于二啊，他只有一个值，所以答案呢，应该是 a 选项， 我们求出值以后，一定要带回原来表达式当中来检验一下啊。好，第三题，如果这个啊，他说呢，他是正比例函数，那么求这个 a 的值应该是多少？那正比例函数的表达式应该是什么？是不是应该就是 y 等于 k， x 就可以了，对吧？哎，这里 k 呢，也是不能等于零的，好，那我们看一下吧，根据这个定义，我们看这里，首先 x 的指数上面有这个 a， 对吧？他是一个绝对值的形式，那他肯定是等于一啊，也就是呢，这个 a 减二的绝对值，哎，他呢要等于一，哎，那这 a 的值可以求出来吗？也 也就说， a 减二应该是等于正负一，对吧？好，如果说 a 减二等于正一，我们可以求出呢， a 的值应该是等于三，哎，那么如果 a 减二等于负一呢？我可以求出 a 的值是等于一的，哎，我求出 a 有两个值，对吧？哎， d 选项三或一。 但是不要忘了什么呀，还没做完这道题跟刚才那个是一样的啊，我们要把这个三合一啊，带回到原来里面，看一下是不是正比的函数。因为我们发现什么呢？他的后面啊，还有一个 a 的平方减一， 对于正比例函数来说，他的长数项应该是零，对吧？所以呢，对于这道题目来讲，我还有一个要求，就是这个 a 方减一啊，他必须得等于零才行。 如果 a 方减一等于零，我们可以算出来， a 的值啊，应该是等于正负一的，对吧？也就是说，这道题啊，要满足两个条件，第一个条件呢， a 等于三或 a 等于一。 第二个条件同时要满足 a 等于一或等于负一，对吧？所以呢，对这道题来说，是不是只剩下 a 等于这一种情况，是符合题意的了，对吧？也就是说，当 a 等于三的时候啊，他后面这个长数项是不为零的，那这个时候啊，他是一次函数，但是呢，我们不能说他是正比的函数， 哎，所以这道题 a 的值只有一个啊，就是 a 的值要等于一，这考察的是我们对于这个啊正比的函数概念的理解。好，接下来第二种题型啊，一四函数的实际应用， 来看一下这道题，大家暂停一下，自己读下题啊。啊，这是一个收水费的问题，对吧，也是我们常见的一种问题，他说什么呢？如果啊，每户每月用水量不超过六吨，那么呢，他的水费就是每吨 a 元， 那么如果呀，你超过了六吨，这个时候应该怎么办呢？你不超过的那一部分，也就是六吨之内呗，对吧？哎，还是每吨 a 元，那么如果你超过了 那一部分，哎，超过六吨的那一部分呢，每吨就按 c 元来收费了啊。然后呢，他给了个表格啊，这个是某一个家庭啊，去年十一月和十二月的用水量和水费，你看十一月份的时候用了五吨，水费是十七点五元。十二月份的时候呢，用了八吨水啊，水费是三十一元，好， 他说呀，设用水量为 x 吨，水费呢就是 y 元，对吧？好，第一个问题，求 a 和 c 的值，并写出用水量不超过六吨和超过六吨的时候， y 与 x 之间的函数关系式。我们先求 a 的 c 的值吧，对吧？ 我们看，十一月份的时候，他用了五吨，五吨是不是没有超过六吨呢？对吧？没有超过六吨呢，他就是每吨收这个 a 元，那五吨他一共收了十七点五元，那你说一吨水价格应该多少？是不是用这个十七点五除以五就可以了，对吧？哎，十七点五除以五呢，这里算上 a 应该是等于 三点五的，哎， a 等于三点五，也就是说在没超过六吨的时候啊，每吨的水费是三点五元，好，那下面呢？这个八 他超过六吨了，对吧？哎，这时候交了三十一元的水费，那我们知道，这个八元没超过六元的部分，没超过六吨的部分，每吨还是按照 a 元，也就是三点五元来收费，对吧？也就是八吨里面啊，前面的六吨每吨还是收这个三点五元，那 一吨三点五元六吨是不是就应该是三点五乘以六啊，对吧？哎，这个是这八吨里面的前六吨的水费，好，前六吨的水费还得加上，后面还用了两吨，对吧？这两吨注意价格变了， 对吧？变成多少呢？变成了每吨是 c 元了，对吧？哎，那是不是应该加上二乘以 c 呀？每吨 c 元，他多出来两吨嘛，哎，这个相加呢，是等于三十一，哎，所以你看 这 c 的值是不是可以求出来了，哎，这几个方程就行了嘛，对吧？求出来 c 的值应该是等于五的啊，哎， c 呢，应该等于五， 也就是说呀，六吨以内每吨三点五元，超过六吨超过的部分，每吨要收五块钱，这提倡大家节约用水，对吧？好，我们看一下。接下来呢，他还让我们写一下不超过六吨时和超过六吨时 y 与 x 之间的关系式，那不超过六吨时，每吨三点五元，那很显然就应该是什么呀？ 啊，就应该是这个 y 就等于三点五 x 就可以了呗，对吧？哎，这是第一种情况啊，那么第二种情况，如果你超过了六吨，这个时候 y 应该怎么办？那就得分是前面的六吨和超过六吨以后的部分，因为他单价不一样，对吧？ 前面的六吨很显然就应该等于三点五乘以六了，这是前六吨的价格，对吧？哎，那么后面的价格呢？是不是得加上一吨变成五块钱了，对吧？哎，八呢，要乘以谁呀？是不是要乘以你 超过的那个部分呢？也就是 x 减去六，哎，这是你超过的那个部分，对吧？哎，这里呢，整理一下，就应该是等于五 x， 然后呢，应该是减去九，哎，应该减去九，对吧？哎，同时助理，第一个，第一种情况，我们要求的是什么呢？ x 应该是不超过六吨，应该是小于等于六的，对吧？ 哎，应该小于等于六了啊，这个是 x 的范围。那么对于第二种情况，那很显然就是 x 大于六的时候呗，对吧？哎，是这个表示。好，这是第一个问题啊。来看第二个问题，如果该户啊， 在这个今年一月份的时候，用水五点五吨，二月用水九吨，求这两个月分别应交的水费，那既然这两个表达式都有了，我们就往里带就行了呗。一月用了五点五吨，很显然他属于这个范围里的，没有到六吨，对吧？那我们算这个应交的水费的话，是不是就很简单了，只用这个啊？单价 也就是用三点五来乘以他用水量呗，用水量是五点五，对吧？哎，乘以五点五，哎，这个这个值，大家自己算一下就可以了。好，第二情况，如果说二月用水超过达到九吨了，那很显然他属于这个范围里的，所以你要往这个式子里面带，对吧？所以二月份呢，就应该是五乘以什么呀？ 乘以用的这个水量乘以九，再减去个九，对吧？这个就是二月份的水量啊，结果大家可以自己算一下，这个呢，就是我们啊，通过一次函数来解决实际的问题，你把两个表达式啊都给他设清楚了以后， 根据实际的这个用水量，哎，分别是大于六还是小于六，对吧？分别带到不同的式子里，就可以直接求出应交的这个水费了啊，这里是答案，可以看一下。好，第五题，某中学要添置某种教学仪器啊，然后呢，给了两种方案，第一种方案是直接去商店买啊，每件要八块钱。第二种方案 学校自己做啊，每件需要四块钱，但是如果你自己做的话，他他需要去租用一个制作工具啊，制作工具的租用费是一百二十元，注意啊，这个一百二十元是属于什么呀？我就直接把工具租回来了，不是说我每件 做每件教具在四块钱基础上，我还要一百二十块钱的工具费，那就乱套了，对吧？好，然后呢，他设 需要仪器 x 键啊，那方案一的费用 y 一，方案二的费用为 y 二啊，分别求出 y 一、 y 二关于 x 的这个函数关键字。那 y 一我算一下吧， y 一应该比较简单了，对吧？他呢，就是按件来收费呗，哎，一件八元，那 x 件呢，那就是八 x 呗，对吧？好， y 二呢， y 二要怎么来计算呢？ 一件现在变成四块钱了，对吧？哎，那他就应该是四 x， 但是要注意呢，他还要有一个工具的租用费，那是不是再加上一个租用费啊？加一百二，这是 y 一 y 二关于 x 的这个 关键。是了啊。好，第二个，需要仪器多少件的时候啊？用这两种方案费用相同。费用相同是什么意思？那是不是就是 y 一等于 y 二，对吧？哎， y 一等于 y 二，那 y 一等于八 x 啊， y 二呢，是等于四 x 加一百二的， 那是不是我就得到这样的一个关于 x 方程啊，我把这个方程解出来，求出 x 呢，应该等于三十的，也就是说呢，当这个啊，需要购买这个啊，需要三十件仪器的时候，我用这两种方案，你用哪一种费用都是一样的啊。 好，第三个问题，如果需要五十件仪器，用哪一种方案费用更低，那怎么办？五十件，那我就带到这两个函数关系式当中呗，我求出各自需要的费用就行了呗，对吧？五十件，带到这个 y 一里面， y 一应该得多少呢？ 是不是就等于八乘以五十啊？哎，这里算出来应该等于四百啊，那 y 二应该得多少呢？往里带呗， y 二就等于四 x， 那就是四乘以五十啊，然后呢，再加上一个一百二十，这里算出来应该是等于三百二十，对吧？哎，那他哪个费用低一些？很显然，这个第二种方案费用低一些，也就是说什么呀，你需要的仪器越多，那么我们用这个自己制作的这个方式啊，就是越省钱，对吧？好 答案啊，这个是属于一种利用这个异色函数解决我们一个方案的一个选择问题，对吧？哎，我们根据不同的实际情况，你选用哪种方案更好？ 好，那今天习题啊，就和大家一起练习到这里啊，下次课呢，学习第四章的第三节一四函数的图像啊，欢迎大家收看，如果喜欢的话，记得关注一下明老师初中数学课堂，如果有问题欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。

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生活中充满着许许多多有关联的变化的量，他们之间可能存在着一定的关系，如远处驶来的汽车，离得越近，声音越大。百米赛跑时，运动员跑得越快，用时越短。 火箭发射时，燃烧的燃料喷射的越猛烈，火箭飞的越快。降雨量增大引起河湖水位的升高。 以上粒子都涉及了两个变量汽车之间的距离与听到的声音大小，速度的快慢与时间的长短，燃料喷射的猛烈程度与火箭的飞行速度，降雨量的多少与水位高度。 接下来，我们先以常见的汽车行驶时间和行驶路程为例，观察一组 数据，若 t 等于一则 s 等于五十。若 t 等于二则 s 等于一百。若 t 等于五，则 s 等于二百五十。若 t 等于七，则 s 等于三百五十。 可发现，每当 t 取定一个值时， s 就有唯一确定的值与其对应。也就是说，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应。 就像一个环境的颜色确定了，变色龙就会根据环境的颜色确定自己的体色一样。 一般的，在一个变化过程中，如果有两个量 x、 y， 并且对于 x 的每一个确定的值 y 都有唯一确定的值与其对应。那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 函数。 如果当 x 等于 a 时， y 等于 b， 那么 b 叫做当字变量的值等于 a 时的函数值。例如，时间 t 是字变量路程， s 是 t 的函数。当 t 等于一时，函数值， s 等于五十。当 t 等于二时，函数值， s 等于一百。 同学们有个成语叫做侠鱼护剑，形容优点缺点都有。 接下来华华老师要讲的几种表示函数的方法也各有优缺点哦。 首先要讲的是列表法，把一系列自便量值 x 与对应函数值 y 列成一个表格来表示函数关系的方法叫做列表法。例如，一水箱中有水六百升，现 再往外放水，每分钟放水六十升，用列表法表示水箱中剩余水量歪与放水时间梯之间的函数关系为 大家看一目了然，有表中已有自辨量的每一个值，可以直接得出相应的函数值，但是我们没有办法把自便量一一列出，也不容易看出自便量与函数之间的对应关系哦。 不过接下来要讲的表示方法就能准确的反应整个变化过程中自变量与函数的关系，这个表示方法就是关系式法。 顾名思义，我们把用含自便量 x 的式子表述函数歪的方法叫做关系式法，又叫解析式法。例如刚刚 的函数关系用关系式表示为 y 等于六百减六十 t， t 大于等于零，小于等于十。这里要特别注意一下自便量 t 的取值范围哦。 仅从柿子歪等于六百减六十题看，梯可以取任意时数，但是考虑到梯代表的时机意义为放水时间，因此梯不能取负数。而放水量六十升每分钟，他不能超过水箱中现有水量六百升，所以梯最大只能取值为十。 用这种方法在求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且有些实际问题不一定能用解析式表示出来。 最后要讲的一种方法，能比较直观的表达函数关系，他就是用图像来表示函数关系的方 法及图像法。如图就是表示刚刚的函数关系的图像，但是观察图像只能得到近似的数量关系。 好了，讲了这么多，大家还记得讲了什么吗？接下来和花花老师一起捋一捋本节课程的知识点吧！一、函数的定义。二、函数值的定义。 三、函数的表达方法。那本节课程到这里就结束了，试看结束，看全集课程，点击下方小黄车购买！

哈喽，大家好，欢迎来到米老师初中数学课堂，我们今天一起来进行第四章第四节依次函数的应用的习题练习啊。今天是啊习题练习的第一部分， 这里给大家总结了五类啊常见的题型。说实话，虽然我平时啊也不主张大家过多的去这个刷题，但是因为依次函数啊，这部分的知识，一个是确实比较重要啊， 另外一个呢，他的题目啊，题种类也非常的多，大家呢，因为是刚刚接触这个一次函数，对吧，所以很多同学啊，对这个做题的过程当中啊，呃，可能会发现有很多的困难，所以呢，我这边啊多收集了一些题型啊 啊，大家不要看题型多，没关系啊，我们这个一次课呢，和大家啊专门的去学习一个题型啊。好，那么我们今天先和大家一起来练习一下第一种题型，就是确定 四函数的表达式。好，先来看第一题，一次函数 y 等于 m 减一倍的 x 加二，它的图像经过负二三这个点，哎，求 m 的值是多少哎，那这里面很显这个系数只有 m 这一个位置数，对吧？哎，这长数键已经给我们了，所以呢，我们只要一个条件就可以确定它的值了， 方法呢，就是把这个负二三呢，给他带到这个表达式当中，对吧？哎，把负二三带去呢，也就是把这个啊 x 用负二来替换呗，那就应该是啊， y 用三来替换，那就应该是三，然后等于 m 减一，然后这里应该是乘以负二，对吧， 然后呢，再加上二，哎，这里呢，就得到了一个啊，关于 m 的一个方程，我把这个方程只要解一下，就可以求出 m 的值了，对吧？哎，这个结果呢，大家可以自己去计算一下啊，最后的答案应该是 b 选项。 好，第二题如图，直线 a b 对应的函数表达是什么？这种呢，是给了我们图像，让我们来确定函数的表达是，对吧？哎，这里其实可以很直观的就能看出来图像经过两个点，然后这里呢是零三， 这里是二零，对吧？哎，我们用带定系数法，把这两点坐标带进去，就可以学会表示，但这道题其实有一些更快捷的一些方法。首先我们看这个呃， 直线的这个倾斜的方向，可以判断出 k 肯定是负的，对吧？所以应该是在 a 和 c 这两个选项当中来进行选择。哎，那 k 的值到底是负的多少呢？这里我们观察一下，因为他给了我们 x 轴和 y 轴两个焦点的坐标，我们可以用这个洁具啊，比如这一段， 这段我们叫它这个直线在 y 轴上的结距，用它呢来除以在 x 轴的上呢，这个结距那很显这段长，这个线段的长是三，对吧？哎，这个 o b 的长呢，应该是二，那就应该是 是三米二，哎，三米二值他的绝对值，我们还看符号，符号是负的，对吧？哎，所以呢，就应该是负的二分之三，所以呢，这样这个方法我们可以快速的判断，这个函数表达式啊，就是 a 选项，所以我们在这个 解题的时候，其实还是有一些很多的这个呃小技巧，大家可以去归纳，提高我们的这个解题的速度，对吧？好，接下来第三题啊，函数 y 等于 k， x 加 b 的图像经过点负二一 线与直线 y 等于二 x 平行，那么问我们这个函数的关键是应该是多少？首先它俩平行我们得到什么呀？那么 k 肯定相等呢，对吧？所以它肯定是 y 等于这个 n 二 x 加 b， 对吧？哎，那我观察一下四个选项，那是不是只有 a 是二 x 这个 d， 他俩的 x 系数才是二，所以答案一定是在他俩当中产生，对吧？然后呢，我只要把这个负二和负一往这两个表达式当中带一下，看 哪个成立是不是就行了。哎，再进去发现呢，这个 a a 选项啊，这个表达式是符合这个 不二负一的这个点的坐标的啊，所以呢，答案应该就是 a 选项，哎，我们尽量啊，去找一些能提高我们解决速度的方法，对吧？如果大家对这些方法不是很熟悉，那还是老老实实的，对吧？哎，因为这里可以判断出 k 是二了， 然后呢，就把这个表达式转化为 y 等于二 x 加 b， 然后再把这个负二位带进去，求 b 的值。哎，咱们还是用常规的做法，哎，我说的呢，都是一些可以这个啊，取小的一些这个方法，对吧，大家根据自己的情况啊，看一下适不适合自己啊。好，接下来第四个题， 如图，将直线 o a 啊，这里是 a 啊， a， 这里是 o a， 哎，然后呢，把它向上平移一个单位长度，得到了一个一四函数的图像，那么这个一四函数的表达 答式应该是多少？分享这个 ov 啊，我观察一下，他应该是一个正比的函数图像，对吧？哎，因为他经过了原点哎，然后又给了我们这个正比的函数上一个点的坐标横坐标是二，纵坐标是四，哎，那么经过这个二和四， 我是不是就可以确定这个正比例函数的这个表达式了，对吧？因为正比例函数呢，我们只要确定它上面除了原点之外，呃，另外一个点的坐标，就可以确定这个表达式了啊。 求出来的这个正比的函数代表是应该是这个 y 等于二 x， 好，接下来呢，把它进行平移，如果向上平移一个单位，我们根据平移的规律，对吧？上加下减，然后左加右减，上加下减呢？操作的是这个 y， 对吧？也就相当于在这个二 x 的后面，怎么样？ 直接加上一就行，因为他向上平移吗？直接加一。哎，所以呢，我得到这个意思。嗯，这个函数的表达式就是这个 y 等于二， x 加一。 好，下面第五题， y 减二与 x 成正比例，并且呢， y x 等于一的时候， y 等于六。 问我们 y 与 x 之间的关系是是怎样的这种形式，我们在这个课上好像没有跟大家一起提到他与他成正比例，其实这个告诉我们是什么意思？如果告诉你 y 与 x 成正比例，那就 y 等于 k x， 对吧？那现在告诉我们 y 减二与 x 成正比例，其实就是我们可以设这个表示，就为 y 减二 等于 k x。 哎，它其实就是告诉我们这个啊，你稍微给它变了一个样而已，对吧？好，这个表示设出来之后呢，把这个 x 等于一， y 等于六，往里边一带就可以求出 k 的值了，对吧？然后把这个负二移到这个等号的右边来，是不是就是这个啊， y 与 x 之间的这个啊，关系式了，对吧？好，这个结果呢，大家可以自己算一下啊，最后答案是 d 选项。 好，接下来第六题，若直线 y 等于负四， x 加 b 与两坐标轴围成的三角形的面积是五，然后呢，问我们这个 b 的值是多少啊？这个题呢，好像也不太一样了，他告诉我们围成三角形的面积，然后求这个 b 的值，对吧？啊，我们简单的给他画一个，画个图吧。啊，看 他呢 k 的值是负四，对吧，也就是这个直线呢，应该是这样这样倾斜的，对吧？但是呢，这个 b 啊，我暂时不知道他的正负，所以呢，我就先大致的画一下啊，大致画一下，应该这样， 哎，我大致的这样画一下，那么我知道这个直线呢，有 y 轴的焦点坐标，这里肯定是零 b， 对吧？也，这里是 b， 但是如果在下面的话， b 也有可能在下面，我们先考虑上面这种情况啊，这里是零 b， 那么这个焦点他的坐标又应该是多少呢？我们之前也学过， 对于 y 等于 kx 加 b 来说，这里应该是负的 k 分之 b 零，对吧？负的 k 分之 b 零。哎，这个呢，是依次函数与这个 x 轴的焦点坐标，那把这个 k 啊，等于负四给他带去，所以呢，这个点他的坐标是不是就应该是四分之 b， 然后零，对吧？哎，这里呢，我们讨论都是 b 大于零的情况。好，那接下来呢，它这个三角形面积，我如果用这个 o a b 来进行表示的话，这个三角形的面积是不是就可以写成是二分之一 乘以 o a， 再乘以 o b， 就这个，然后呢， o a 的长度是多少呢？ o a 的长度肯定就是四分之 b 了，对吧？哎，但是呢，为了防止 b 也有小于零的这种情况，所以我应该怎么样，我是不是可以考虑给它加个绝对值啊？所以，这应该是这样，我可以这样写啊，四分之 b 的 绝对值，哎，这样总没错了吧，不管你 b 大于零，小于零，我都可以这样表示，对吧？啊，继续 o b 的长呢，那肯定就应该用 b 的绝对值值来表示，对吧？哎，肯定是这样的，然后呢，他呢，是等于五的， 好，进一步整理会发现的，是吗？这里是不是就可以写成是二分之一，然后怎么样乘以四分之一， 然后呢，乘以 b 的绝对值，再乘以 b 的绝对值，那两个 b 的绝对值相乘，那他肯定就可以写的是 b 平方了，对吧？这没错，哎，他呢，就等于五，所以呢，就是说 b 的平方应该等于这个四十，哎，那一开方呢，对应的 b 肯定是有两个值，对吧？应该是正负这个二倍根号十。所以呢，这个题答案应该是 b 选项啊。 好，接下来第七题，如果点 a， 这个点 b， 这个点 c 五 a 在同一条直线上求 a 的值，三点共线，哎，那我们 是不是怎么样根据前面这两个点，这两个点的坐标是明确的，对吧？哎，我把这两个点的坐标呢，带到我设的那个函数的表达式当中，哎，比如我设的要直线呢，就为 y 等于 k， x 加 b， 我把这两个坐标往这里一带， k 个 b 的值是可以求出来的，但是系数法吧，对吧？哎，求出直线的表达式以后，然后呢，我发现这个 c， 他这个五 a 也在这个直线上面，我再把五 a 往这个表达式里一带， a 的值是不是就可以求出来了，对吧？哎，得数呢，大家自己计算一下啊。这个呢，答案应该是，我看一下。 首先直线的表达式啊，应该是 y 等于三， x 减九。好，有了这个表达式之后，把这个五和 a 往里面一带， a 呢，就应该等于三，乘以 xx 就等于五，然后再减九，对吧？这里算出来应该就等于六，哎，所以 a 的值就是六。好，这同样是考我们这个 啊，怎样确定依次函数的这个表达式？ 好，在这里 好，接下来第八题，如图，直线 y 等于负 x 加十，与 x 的 y 轴分别交于点 b c， 也就这个 b c 这条直线啊，它的表示是 y 等于负 x 加十，然后呢，点 a， 告诉我们，它的坐标八零点 a 在这里啊， 然后呢，点 p， 坐标 x y， 它呢，是这个直线上面的在第一象限内的一个重点，对吧？哎，它不能乱跑啊，它是第一象限，也就是说它的横坐标和纵坐标，这个 x y 一定都是大于零的，对吧？ 然后第一个问题，求三角形 o p a o p a， 它的面积用 s 来表示，那么它与这个 x 这个函数关系是？ x 是谁啊？ x 就是点 p 的这个横坐标呗，对吧？然后呢，还要写出自变量 x 的这个取值范围，那我们根据这个三角形的面积公式，它是不是在二分之一底乘以高啊，对吧？底就是 o a 就行了，高呢，这里我可以过点 p 座椅调高，对吧？哎，比如呢，它是 p q， 那大家想一下，这个 p q 的长应该等于多少？ p q 的长其实是不是就等于点 p 的重坐标啊，对吧？哎，也就是呢，这个 p q 啊，等于点 p 的重坐标。重坐标我这样写啊，我用 y p 来表示 y p 就表示点 p 的重坐标，所以呢，这里，嗯，这个三角形 o p a， 它的面积 应该就可以写成是二分之一乘以 o a， 然后再乘以一个啊 y p， 对吧？哎，再乘以 y p， 正常的应该写成 y p 的绝对值，对吧？因为我在不确定这个点 p 的重则标是正是负的情况下，应该加绝对。 在这里呢，因为已经告诉我们第一项线了，对吧？哎，就这个绝对值符号也可以直接去掉。好， 那么他呢，就应该是啊，等于呢二分之一，再接写啊， oa 的长度点一个坐标八零，所以 oa 就等于八，对吧？哎，然后呢，点批他的重坐标， 横坐标呢，是这个 x， 那重坐标 y 应该是什么？点 p 在这条直线上呢，对吧？哎，所以呢，它的重坐标就应该是等于负 x 加上十， 哎，就等这个这里呢，给它再进行一个呃整理，就应该是等于负四倍的 x 加上四十，哎，这个就是 s 与这个 x 之间的这个函数关系式了。 那么这个自变量 x 的取值范围应该怎样来确定呢？他第一象限吧，他最多从这个点 c 这个位置跑到点 b 这个位置，对吧？哎，点 b 的坐标是多少呢？点 c 的横坐标是零啊，点 b 的这个横坐标呢，我只要求这个直线与这个 x 交点就行了，对吧？哎，交点的这个横坐标是十， 所以呢，你说这个点劈啊，他是不是一定是应该是大于零小于十的，对吧？他只能是在这个范围，哎，他不可以等于零或者等于十，因为他第一象限内嘛，不能跑坐标轴上去了，对吧？所以这就是我们第一个问题答案，哎，就是 s 就等于负四， x 加四十。好，第二问题告诉我们面积求点批的坐标，那是不是就告诉我们 x 啊， x 等于二十四啊，对吧？也就是呢，这个负四 x 加上四十，就它等于二十四就行了呗，对吧？哎，这里可以可以，就是 x 的值呢，应该是等于四的 x 的，如果等于四就是没点 p 啊，横坐标是四，那纵坐标怎么办？带到这个表示当中啊，因为他在这个这个直线上嘛，对吧？哎，所以呢，他的纵坐标应该等于负 x， 负四加上十，这里呢，应该等于六，哎，所以点劈的坐标是不是求来了，横坐标就是四，纵坐标就是六，哎，这个问题解决了啊，好，我们直接看一下答案啊。 好，这里啊，大家自己检查核对一下，看自己做的答案对不对啊。 好，那今天的练习题呢，就和大家一起练习到这里啊，下次课呢，和大家进行第二次习题练习，欢迎大家收看，如果喜欢的话，请关注明老师初中数学课堂，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。

哈喽，大家好，欢迎来到明老师初中数学课堂，我们今天一起来学习第四章依次函数，第一节函数，那么从这一节课开始啊，我们就正式开始进入函数这一部分的学习了。 函数啊，可以说是我们数学当中啊非常重要的一个知识点啊，在我们中考当中啊，也是一个非常热门的一个特点，同时呢，学好了函数啊，也可以帮助我们解决很多生活当中的实际问题，所以啊，大家对函数这部分的知识一定要非常的重视。 好，既然是刚开始吗，我们肯定要从这个最基本的开始学习，对吧？来看一下知识点清单啊，总共有三个知识点。好，第一个函数的概念，那在学习函数概念之前呢，我们先来一起复习一下啊，我们呢在七年级这个下册的 时候啊，学过啊，一个变量间的关系，对吧？那么我们现在复习一下什么是变量呢？好，我们一起看一下， 说变量啊，就是在某一个变化的过程中，可以取不同数值的量，就是变量， 那么这个呀，通俗的来讲是变量，变量，也就是会变化的量，对吧？哎，这个量呢，他的数值会发生变化，这样的量就叫做变量，哎，其实非常的简单，我函数啊，其实研究的主要就是变量，哎，他是一个在啊变化过程当中的这样的一个量啊。 好，我们看教材当中给的一个例子啊，如果说坐在这个摩天轮上，我们观察一下啊，这个轮摩天轮他是这样转的，是吧？哎，咱们不管做没做过，想象也能想象的出来，是吧？那么随着这个时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？哎，那么 思考一下吧，如果你一开始在下面，对吧？那随着时间的变化，你可能慢慢慢慢的跑到上面去，然后呢？到了上面以后呢？哎，慢慢慢慢的又转起来了，对吧？随着随着时间的变化，你的高度肯定是从下到上，然后又从上到下，是这样的一个循环变化的这样的一个过程，对吧？好。 接下来他画了一幅图像，就这个啊，他呢反映了摩天轮上一个点他呢的高度啊，与旋转这个时间之间的关系， 哎，是通过这个图像来反映的好。第一个问题，根据这个图像让我们来填空啊，这个填空里面主要填什么呢？他给了我们一些 t 是时间，对吧？哎，给了我们一些时间点， 让我们呢来找出在这个时间点的时候呢，这个摩天轮上这一点呢，它的高度应该是多少？那其实这个也比较简单，我们已经学过这个平面直角坐标系了，对吧？哎，那我就看一下吧， t 等于零， t 等于零时候，高度肯定在这里，对吧？哎，这里呢，虽然看的不是特别清楚，但我们大概可以估计一下，好像大概是在这个三米左右的这个位置，对吧？ t 等于一的时候呢，我们可能到这，对吧？哎，那我们应该怎么办？我是不是应该过这一点来做这个横轴的这个垂线呢？ 看他跟这个图像交点在哪？哎，交点大概在这，差不多在十左右这个位置，对吧？哎，等于二的时候呢，我再做垂线再找找找，哎，大概在这个位置，那么用这个方法呢，我们就可以把这个表啊数据都可以给他填上，大家呢，可以自己 在教材上那个表自己去找一下啊，这个具体的数呢，我就不和大家一个一个的来找了，我们一起来看一下啊，大概是这样的一个数值。好，接下来第二个问题，他说啊，对于给定的一个时间 t， 那问我们他对应的这个高度 h， 他是不是一个确定的？这样的一个值，那肯定是确定的，你只要随便给我 一个 t 的值，那我都能找出一个确定的这个 h 的值，跟他是这个对应的，对吧？所以呢，这个是一个肯定的啊，可以找到。好，那我们思考一下，在这个问题当中啊，他一共是有几个变量， 当然是两个变量，对吧？一个变量是 t， 一个变量是什么呀？是 h， 对吧？哎，那应该说谁啊？随着 t 的变化，这个高度 h 也是随之发生变化的，对吧？那我们在学变量关系的时候，我们叫 t， 我们可以把它叫做自变量，对吧？ 那 h 应该叫做什么呀？应该叫做音变量，对吧？哎，这是我们学习这个变量关系当中学到的这样的一些知识啊。好， 再来看第二个例子，说这个罐头盒等的一些圆柱形的物体啊，圆柱形啊，那长长的按照这个下面这个图这样堆起来，那随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？然后呢，让我们填这个表层数， 什么叫长度啊？第一个，这就一层呗，第二个，这两层，这三层，这四层，对吧？哎，然后呢，那我们数呗，第一个，第一层，那肯定是一个了，对吧？第二层对应的一二三，那就是一加二呗，第三层应该就是一加二加三，那如果有四层的话，就一加二加三，加四， 那五成的话，就从一一直加到五呗，对吧？哎，所以呢，这个乘数和这个物体的总之间对应的这个关系，这个表，哎，我们应该是可以给完成的啊， 好，就是这样的一个数据。好，那么到这大家思考一下啊，只要说我给定了一个具体的乘数，我是不是都能求出这个物体？ 这道题其实他不是一个找规律的问题，如果按照我们以前找规律的话，如果乘数定为 n， 我们是不是可以用什么呀？用 n 来表示这个啊？ n 乘这个物体的时候，他的总数应该是可以列出来这一个这样的代表字啊。那这道题我们得出的结论呢，就是，只要你给定我们一个乘数，我们 都能够求出这个物体有多少个，对吧？好，那么在这个问题当中呢，我们又有几个变量，那肯定也是有两个变量，一个变量是乘数，哎，乘数发生变化，那么这个物体的总数呢？是随着乘数发生变化哎，所以两个变量一个乘数也是一档，那么物体的总数呢，是随着乘数的变化而发生变化。好， 接下第三个例子啊，说一定质量的气体，在体积不变时，假如这个啊，温度降到这个零下二百七十三度，那么气体压强变为零，因此啊，物理学当中把零下二百七十三度作为热力学温度的零度啊， 热力学温度这几个用大 t 来表示啊，单位是是个 k 啊，它呢，与这个摄氏温度小 t 摄氏度之间有如下的数量关系，大 t 等于小 t 加上二百七十三，还有这样的一个关系，这是一个关系式，对吧？ 好，第一个问题，当这个小气分别为零下四十三度，零下二十七度零摄氏度和十八摄氏度的时候啊，问我们相应的这个热力学问，大气应该是多少？ 既然他给了我们这样的一关系，那我们怎么办？我们就分别把这个小 t 用下面这个值给他带进去，是不是就可以求出一个大 t 的值，对吧？哎，那就简单的算一个加减法，这个难度应该不大啊。啊，第二个问题呢，给另一个 大于零下二百七十三摄氏度的小 t 的值，是不是都能求出相应的大 t 的值？那肯定了，因为它关系是在这里面，对吧？你任意给定我一个小 t 的值，我都可以求出大 t 的值，对吧？哎，好，一起来看答案啊，一二三四。 然后呢，这个问题当中啊，又有几个变量，那我们看这关键式就知道了，肯定是两个变量，一个变量是小 t， 一个变量是大 t， 对吧？随着小 t 的变化，那么 大地也是随之发生变化，好到这为止啊，我们呢啊，一方面呢，把我们以前学过的这个变量键的关系啊这一块的知识一起又复习了一下，同时呢也为我们学习这个函数的概念呢，做好一个铺垫。我分一下刚才的几个例子，有一个什么过程铺垫，是不是每个例子当中都是由两个变量， 对吧？哎，所以呢，我们看一下啊，什么叫做函数呢？函数的定义就是一般的如果在一个变化过程中有两个变量 x， y， 那么并且呢，对应啊，对于这个变量 x 的每一个值，那这个 y 啊，都有唯一的值与他对应，注意这个红色的字啊，都有唯一的值， 那么这个时候呢，我们就称 y 是 x 的函数，其中呢， x 是自变量，这其实跟我们学习变量关系的时候是非常接近。 这里呀，我们又第一次引入了函数这样的一个概念。好，我们把这个前面的三个例子我们再拿出来进行一个思考啊，你说这两个变量之间存在着怎样的函数关系？首先我们看下第一个例子，是这个，对吧？两个变量分别为 t 和 h， 那怎么样？ 是不是说随着 t 的变化， h 也是发生变化的，对吧？你任意给另一个 t 的值，是不是都有一个唯一的一个 h 的值与他对应，是不是？哎，你等于二的时候，高度是唯一的，对吧？哎，唯一的值跟他对应，所以呢，我们说可以说什么 h， t 的函数，哎，这样是可以的， 对吧？因为任意给定一个 t 都有唯一的一个 h 跟大型对应，哎，那么 t 呢？就叫做，那么如果这道题我反过来说，那你说 t 是不是 h 的这个函数 啊？这样可以吗？如果我给定任意一个 h， 这个话，我反过来了啊，给定任意一个 h， 比如说我取三十啊，当 h 等于三十的时候，是不是只有一个 t 跟它相对应呢？我们看图像就知道了，当 h 等于三十值的时候，你看 t 可以等于这个， 这个呢，大概是一点几分钟，哎，高度是三十，同时到这的时候，我们发现七呢，等于四点几分钟的时候呢，这个 h 也等于三十，那在这呢，七点几分钟也等于三十，在这呢，十点几分钟也等于三十，是不是你给定一个 h 的值，会有多个 t 的值跟他相对应，那你说这个 t 可以叫 h 的函数，那肯定不是啊，对吧？哎，因为他不是有唯一的值，与他相比，这个也是我们判断这个函数关系一个非常重要的一条依据啊。所以呢，对于第一个例子来说，我们可以说什么呀？ h t 的函数，但是我们不能说 t 是 这里的好，那第二个例子啊，这个乘数和总数的这个关系，对吧？哎，我们是不是说只要给定任意一个乘数，我们都能求出唯一的一个总数啊，对吧？ 哎，所以我们说总数，这个 y 是 n 的函数，哎，注意啊，这两个边上他说的是 x 和 y， 其实是不一定的。你说 a 和 b 啊， mn 啊，什么 p 和 q 啊，都是可以的啊，只要只要是两个字母就可以啊。所以我们这个第二个例子呢，可以说 y 是 n 的函数， 那你说 n 是不是歪的函数？这个其实如果是，这样讲也没有问题，因为什么呢？你给定任意一个总数，怎么样都有唯一的一个成数跟，对吧？哎，他俩确实是一一对应关系，如果这样说的话，也可以。好， 我们看下的当例的说，这个大 t 和小 t 之间是这样的一个关系，对吧？哎，是不是给任意一个小 t 都有唯一的一个大 t 的，是跟他对应，对吧？哎，所以说大 t 是小 t 的小 t 呢？十次变量，那我这道题如果反过来，我肯定认一个大 t， 有没有一个唯一的一个小 t 跟他对应，其实也是有的，对吧？哎，所以呢，这个反过来说也是可以， 我们在学习这个函数的这个概念的时候，一定要确定啊，把握这样的一句，首先两个变量，另外一个要有唯一的词。好，我总结一下啊，关于函数的概念，我们学这个概念的时候要注意哪几点？ 一点就是有两个变量，这不用说了，对吧？好，第二个呢，是一个变量变化呢，另一个变量是随之发生变化的。哎，这个要注意，不能说一个变量变化，另外一个变量不跟着一起变，那肯定不行。第三个呢，是 对于自变量 x 的每一个值，函数 y 仅有一个值与它对应，这一点是非常重要的，也是我非常容易考虑的一个数列啊。这里啊，我也可以简单的给大 举个例子，比如说什么叫 y 有唯一的一个值比它对，比如说，我举个例子，我列一个这样的一个，关键是 y 等于 x， 是不是非常简单？你说 y 是不是 x 函数，那肯定是 x 函数啊，对吧？这里有两个变量，然后呢，随着 x 变化， y 也是跟着变化的， x 如果确定下来是一个数，那么 y 是不是有唯一的一个数跟他对应，所以 y 是 x。 好，我再写一个 y 等于 x 的绝对值， 那么这种时候 y 又是不是 x 的函数呢？我们可以一起分析一下啊。首先有两个变量没错，对吧？ x 变化， y 肯定数字变化了，然后呢， x 取任意一个数，比如说，我认这个 x 等于一， 那 y 是不是也等于一啊？也就是说呢， x 如果任取一个值， y 是不是都有唯一的一个值跟它相对应，对吧？哎，所以呢， y 是 x， 这个没错，然后呢，我如果再换一种形式，我如果这样写 y 的绝对就很难。你说我如果这样写，我可以说 y 是 x 的函数吗？我要告诉大家啊，如果是这种形式，我不能说 y 是 x 的，为什么？就是因为这个一对应的这个关系。如果我 x 取一个数，比如说我取 x 等于一， 那这个时候是不是变成了 y 的绝对值等于一啊？那 y 的值有几个呀？ y 的值是不是可以等于正负一啊？ 也就是说，在这个关系式当中啊，一个 x 对应了什么呀？是不是对应了两个 y 呀？你看对吧， i 等于一的时候， y 可以等于一，也可以等于负一。 哎，那这个时候呢，我就不能说，对于自变量 x 的每一个值，函数 y 只有一个值，那这里有两个值跟他，所以呢，这个表达式大家注意啊，他就不是一个函数 啊，不能说 y 是 x。 好，这里是举几个例子啊，以防止大家这个把这个概念给弄混淆了。好，第四点呢，就是函数， 它不是数啊，一定要注意，虽然名字叫数，对吧？它不是一个数，它主要是什么呢？它是在一个变化的过程当中，两个变量之间的关系，这个点一定要注意，它不是一个具体的数啊，它是变量之间的一种关系的一种表达。好， 进来我们看第二字典啊，函数的表示方法，这个点其实也非常简单啊，我们一起复习一下变量间的关系。哎，我们学过的啊，有哪几种表示的方法呢？当时我们一起学过的，我们为了表示变量间的关系，有以下几种方法，第一点就是可以用表格，对吧？哎，表格对应的 就可以表示两个被亮间的关系。第二个呢就是关系式，我们刚才写的那种，哎，关系式，这也是一种被亮间关系的一个表示方法。第三个就是 画图像，对吧？那对于我们弹数来讲，其实也是同样的方法啊，就是列表法，关键式法和图像法只有三种，其实在我们刚才三个例子当中啊，这三种表的方法我们都已经见到了，哎，你看刚才这个， 这个就叫列表法，对吧？哎，表格一对应，哎，这是列表法，那么接下来的关系式法，就这个大题和小题之间这个关系，对吧？哎，这个就是列了一个关系式，这个就是关系式法来表示的，那么图像法呢？就是这种，对吧？哎，他是用图像法来表示， 那么各个方法他的优缺点，其实啊，我们在以前学这个对两件关系时候也也总结过，对吧？列表法有什么优点呢？就是一个值，对一个值，我可以看的特别清晰，哎，给另一个值，我们可以马上找到另外一个值 表示的清晰，那么他的缺点是什么呢？你只能表示这个函数的一部分，对吧？你不可能把所有的字全部都列出来，对吧？点点点就说明问题，他表示的不全面。 那关于式法有什么好处呢？表示特别精确，你看一个表达式，简简单单的，对吧？他可以把两个变量之间的关系啊，反应特别的精确，但是呢，他的缺点是什么呢？不够直观，对吧？哎，你给一个这变量的值呢？你这个 另外一个变量值我还得算这首先第一点，对吧？另外一个呢，就是不是所有的函数啊，我们都可以列出关系，比如像像这样的函数，最起码以我们初中阶段学的这个知识，我们就画不出，表示不出来他的这个啊，函数的表达式是对吧？不是每个函数都没有表达式来表达的，这也是他的缺点。 那图像法的优点呢，就是非常直观，可以明显的感觉到这两个边量之间变化的这种趋势，到底是啊，随着他到底是增大了还是减小了，对吧？哎，那他的缺点也很明显，首先他不够精确，对吧？你画图的话，你中间的一个点有很多其实是我们这个啊，自己跟着感觉这样慢慢连过来的，可能不是特别的精。 其次呢，他也是只能反对吧，也不可能反整个的这个各方法的优缺点就一起分享，这块知识我也不想多讲，也跟我们以前学过的知识都是有重复的啊。好， 接下来最后一个支点啊，函数值以及自变量的取值范围。我们先来看一下什么叫做函数值啊，对于自变量在可取值范围内的一个确定的值，比如说自变量就让他等于 a 了， 那么函数呢，有唯一确定的一个对应的值，这刚才说过了，对吧？哎，那么这个对应的值就称为什么呀？当自变量等于 a 十的函数值， 哎，这就是函数值的一个概念，我们可以举个例子啊，比如像刚才这个表达式，大 t 等于小 t 加二百七十三，那么说了，当小 t 如果等于负四十三的时候，大 t 呢，可以算出它的值得是二百三十，那这个二百三十其实就是什么呀？就是在这个函数关系当中，这 量取这个负数四十三的时候，他的含。所以呢，这里我们强调几点注意的。首先我们说函数值，哎，他确实是一个数值，对吧？哎，算函数不是数，那你函数值他就是一个数了，他是一个明确的一个数值。 另外第二点呢，就是一个函数的函数值啊，他是随着自变量的变化变化，哎，你自变量如果变化，你的函数值肯定是跟着变的，对吧？第三点呢，就是 我们在求函数值的时候，我们一定要明确啊，到底是自变量为多少时候的函数值，对吧？你如果不明确这个自变量的这个值，我们不能直接说这一个函数他的函数值是多少， 比较先讲这四边上是多少的时候，然后对应的那个函数是多少。还行啊，好，我们看一个例子啊，已知一个函数 y 等于二分之，这个二 x 加一，求当 x 等于零一五时候，它对应的 y 值，那其实这就是 一个什么呀？这就是一个求函数值的问题，对吧？哎，色变量给了我们三个值，让我们求对应的函数值是多少，那方法是不是也很简单？比如说第一种情况， x 等于零，我带你去就行了呗。那这里变成零，零加一就等于一，所以对应的函数值是不是就等于二分之一啊？哎，所以我就说 x 等于零的时候，对应的函数值是二分之一，你也可以说对应的 y 的值是二 啊。那 i 等于一的时候呢？是不是就是二？二乘以一加一，那就是二分之三呗，对吧？ i 等于五的时候，大家自己算啊，那明确这个函数的概念就可以了。 好，接下来我们看一下自变量的取值范围啊，这下面呢，给了我们四个函数，让我们呢来确定一下，在这四个函数当中，自变量取值范围应该是怎么样？我们一起来看一下。首先第一个 y 等于三， x 平方减二， x 加一，这个自变量应该取什么呢？我们想了又想，好像自变量取什么数都可以， x 是不是取什么数都可以，对吧？哎，所以呢，第一个函数它的字边上的取值范围我们就出来。二是全体实数，因为我们现在就学到了实数这个概念吗？对吧？哎，所有的实数，哎，能想到的 都可以满足，对吧？好，也就对他没有什么限制。那第二个呢，我们说看 y 等于 x 加三分之二，那这个自变量也没有什么情况，你看呢， x 在分母上，我们是不是有要求怎么样啊？分母是不能为零的，对吧？也就是说呢， x 的取值一定不能让这个分母为零， 那也就是分母为零的时候， x 等于多少？我可以算一下， x 加三，如果等于零， x 就等于负三，对吧？所以呢，为了使这个分母不为零，我们就说这个 x 它不能等于负三，你只要不等于负三，你等于啥都行，对吧？所以它的取值范围呢，就是 x 不等于， 好。第三个是什么呢？ y 等于根号下面 x 减六，那根号下面这个备开方数，我们要求它一定是怎么样？大于零， 零或等于零的，对吧？也就是这个 x 减六啊，必须是大于等于零的，那是不是要求怎么样？ x 必须是大于等于六的，如果小于六的话，你变成变成负的了，你这个就没有意义了，对吧？哎，所以呢， 第三个函数自变量的取值范围就是 x 大于等于六，好，第四个呢，是什么？ y 等于 x 加二的零四方，我们说这个零四方怎么样？有什么要求啊？是不要求这个底数不能为零啊， 对吧？那也就说 x 加二不能为零，那什么时候 x 加二等于零呢？那很显然是 x 等于负二的时候，这个是零，对吧？我为了不让他是零，那也就是 x 不能等于负二呗，对吧？好，第四个啊，取值范围就是 x 负二， 这里面我们归纳一下，我们怎么样来确定一个函数当中啊，自变量的这个储值范围呢？就是，首先你这个自变量啊，要使这个代数是有意义，比如说这个代数是，对吧？你得让他有意义才行。 其次呢，你要满足实际问题，对吧？实际问题当中我们字面量往往是有实际意义，但是这个意思当中没没看到，对吧？那实际问题上确实你要考虑到实际的意义啊。好，这样，我们看这样一个问题，这就是实际问题了，对吧？ 一个水箱五百升水，现在他往外放水了啊，每分钟放水五十升，那么问我们水箱当中剩余的这个水量，用 y 来表示啊，与这个放水的时间 t 之间的函数关系是应该是多少？ 看原来有五百，如果呢，放一分钟就少五十，放两分钟就是少两个五十，对吧？放三分钟就少三个五十，那你说剩余的这个水量怎么办？是不是应该用总的水量 减去谁呀？减去每分钟这个水量再乘以一个时间呢？哎，那这是不是就是 y 和 t 之间的函数关系，是，对吧？哎，所以第一份答案就出来了啊，就这个。好， 那你说这个 t 他的取值范围是吧？所以 t 表示的什么呀？他有实际意义，他表示的是时间，对吧？那时间可能小于零吧，不可能是负的，所以我们说这个 t 怎么样， t 应该一定他得首先得大于等于零吧，等于零也没事，还没开始放吗？对吧？那 其次呢，他大一点零之后，他有没有，他可以无限的增大吗？你大不了就把这个水里的水放成零了，水里的水剩余的水量也不可能是负的呀，对吧？最多你放到零呗，那水里的梯啊，你不能无限增大，放到一定时候把水放干了 就拉倒，对吧？哎，那我看 t 等于多少的时候，这个 y 是零啊，是不是 t 等于十的时候， t 等于十的时候，这水箱里面就没水了，对吧？那 t 如果再大于十的话，可以，那就不行啊，对吧？你再怎么放你，你放剩余的水量，他始终始终都是零的，对吧？你不能再用这个表示来进行做，他不能是负的，所以我们就说 t 怎么样，他还得小于等于十，对吧？那综合这两个来看，所以呢， t 的取值范围就应该是大于等于零，小于等于十的。哎，这个呢，就结合了我们实际的意义来确定这个啊，自变量的取值范围。好， 我们一起来总结一下我们今天学的内容啊，学的内容其实难度都不大，对吧？哎，主要学习就是函数的一些基本的一些概念。那什么是函数呢？一般的如果在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y， 并且对于变量 x 的每一个值 变了 y 都有唯一的值与它相对应，非常重要啊，一定要记清楚，那么我们称 y 是 x 函数，哎，其中呢， xx 是自变量，好表示方法不说了啊，一二三三种。 最后呢，讲一下什么是函数值。函数值的概念就是对于自变量在可取值范围内的一个确定的是 i a 函数呢，有唯一确定的对， 那么这个对应值我们就把它称为当自变量等于 a 时那个函数值。那么求函数值的方法也很简单，我们把给定的这个自变量值啊，带到这个函数关键式里面，就可以求出这个函数的值了。 好，以上呢，就是我们今天这一课呀，最主要的一个内容，下次课呢，我们一起进行一个习题的练习，欢迎大家收看，如果喜欢的话，记得点下关注，如果大家学习中有问题，欢迎留言或者给我发私信，我们下次再见。