九年级上册数学反比例图像

朋友们大家好，今天我们来学习反比例函数的图像，首先我们可以回顾一下怎样画函数的图像啊，他分几步？那么前面我们已经学过正比例函数依次函数图像他的画法，那么一共分三步，首先第一步 列表啊，第二步描点，第三步连线。那么对于反比例函数啊， y 等于 x 分之四的图像，我们按照这三步看一下第一步列表， 看下面这个表格，在这个表格当中啊，我们取了很多的点啊，一共查了一下，应该是十二个点啊，而且在 x 的取值上， 同学可以看一下啊，负八，然后后面有一个八，然后负四，后面有一个四啊，也就是说啊，这里边 x 的取值啊，有正有负，而且是互为相反数的， 那么同时还要注意一点，这里面 x 的取值并没有零啊，因为啊，因为反比例函数当中 x 的值是不能为零的，那下面我们算出相应的 y 的值， 相应的 y 的值啊，算一下，这样的话，我们就确定了啊，这个反比例函数图像上的点 啊，那么接下来啊，就是在直角坐标系当中进行秒点连线，看一下我们刚将刚才找到的点，在坐标 习当中依次画出来。 好，那么画完之后，同学会发现啊，现在的图像啊，它分别位于第一象限和第三象限，然后 而且图像和坐标轴并没有焦点啊，并没有焦点，而且通过图像发展的趋势看，我们会发现啊，这个图像会越来越接近于坐标轴啊，这两侧都会越来越接近于坐标轴， 但是都不会和坐标轴相交，而且图像也没有断点，这是我们在画的时候需要注意的，那么他说你认为反比例函数的图像啊，应该注意哪些？问 好，第一个，我们看这个图里边啊，描完点之后，他用的是线段把点依次连接起来，这个是不对的。 第二个，这个图像啊，它和坐标轴有焦点啊，这个也是错的，因为 x 和 y 的值都不可能是零。而第三个图形啊，看一下 他的发展趋势啊，不是越来越接近于坐标轴，而是后边又远离了坐标轴，所以这个是不对的啊。这三个我们都需要注意。 好题列表时字面量的值，可以选取一些或相反数的值，这样即可简化计算啊，又便于对准性的描点。那列表描点时要尽量多取一些数值啊，多描一些点，这样既可以方便连线，有较准确的反映函数的变化趋势 啊。你就是多选取一些点的话，可能图像画的会比较准确。连线时啊，一定要养成按从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接啊，从中体会函数。

上个视频我讲了啥叫反比例函数，这个视频我来讲讲反比例函数的图像。先看 k 大于零时，以 y 等于 s 分之六为例，当 s 等于一时， y 等于六，除以一得六。 当 x 等于二十， y 等于六，除以二得三。用同样的方法，依次将 x 等于三、四、五、六、十的外值求出，在坐标系上将这些点描出来，再用光滑的线将他们连接起来，就得到了函数在 x 大于零时的图像， 它在第一象限，当然， x 还可以小于零，在这些 x 值的前面加个符号，那 y 的值自然就也得加个符号。把这些点在坐标系上描出来，再用光滑的线连起来，就得到了函数在 x 小于零时的图像，它在第三象限。由此，咱就得到了 比例函数完整的图像。而这两条曲线也有一个专门的名字，就叫做双曲线。不难看出，双曲线是关于二次象限的角平复线对称的，所以直线 y 等于负， x 就是他的一条对称轴。另外，双曲线还关于另一条直线对称， 即一三象限的角平分线 y 等于 x， 所以反比例函数的图像是有两条对称轴的轴对称图形。事实上，双曲线也是中心对称图形，你如果把他们以原点为中心，旋转一百八十度，就会和原来的图形重合，所以原点就是他的对称中心。 看来，凡美丽函数的图像，既是中心对称图形，也是轴对称图形。函数图像的对称性说完了，再说说函数的增减性。不难看出，在第一项线里， y 随 x 增大而减小。在第三、 三项线里， y 也随 x 的增大而减小。所以你可以说在第一项线和第三项线里，函数分别随 x 的增大而减小。如果我把可以变大一点，由六变成十二，用同样的描点连线的方法，就可以得到 y 等于 x 分之十二的函数图像。 不难发现，这两条曲线与坐标者的距离要比原来远一些。可见 k 越大时，函数图下与坐标者的距离越远。 现在 k 大于零的情况搞清楚了，接着来看看 k 小于零的情况。以 y 等于负 x 分之六为例，还是先把 x 等于一、二、三、四、五、六十的外值求出来，然后上坐标轴秒点连线，发现他在第四象限， 在 s 值前面都加个符号， y 值自然也得变成原来的相反数。然后上坐标轴秒点 连线，发现他在第二象限。不难看出， y 等于负 x 分之六的函数图像也是有两条对称轴，并且关于圆点对称的双曲线，但他是在二四象限，而且在每个象限里 yx x 增大而增大。 如果我把负六变成负十二，用同样的方法做出他的函数图像，不难发现这两条曲线与坐标轴的距离要比这两条曲线远一些。 那这时你能说 k 越大，函数图像与坐标者的距离越远吗？显然这么说是不对的，因为负十二比负六小。不过，如果你说 k 的绝对值越大，函数图像与坐标者的距离越远，那就没问题了。现在反比例函数的图像已经比较清楚了，一起来总结一下。 首先，反比特函数的图像是双曲线，它既关于两条直线对称，又关于圆点对称，而且 k 的绝对值越大， 函数图像离坐标轴的距离就越远。其次，当 k 大于零时，图像在一、三象限在每个象限里 y、 x 增大而减小。当 k 小于零时，函数图像在二、四象限，在每个象限里， y、 x 增大而增大。好了，内容就讲到这，速速刷题去吧！

同学们大家好，现在我们开始上课，今天老师呢给大家讲一点二节防变函数的图线与性质。我们讲函数的图线呢，我们一般是根据解析式列表，列表列表，然后呢， 在坐标线上描点，然后连线就构成了他的图线，对不对？那我们来看一下这个，呃，看一下书本，他说要你画出 y 等于 x 分之六的图线，对不对？你看他这里是不是列了一个表，对不对？ 那你从负六一直取，取到六六了，然后他分别对应的歪只是有一个一个数字，对不对？然后干嘛呢？然后我们在这个这个坐标线上把这些点描上来，描上来，然后是不是把这个线点连成一条光滑的曲线，就构成了他的一个图形， 是不是？那我们连出来以后呢？是这个图像，是这个图像，然后你看 y 等于二十分之六，他是不是在一三线线，对不对？其实这个很好理解，很好理解。老师给你讲一下，你看我们一开始是 y 等于 x 分之六，是不是？ x 乘以 y 等于六，对不对？那你想想 x， y 是不是要同号呀？对不对？你看 x y 同号的只有是在第一线线，两个都是正的， 然后第三线两个都是负的，对不对？第二线线和第四线线呢？它是一正一负，对不对？所以呢？呃外，等于二十分之六的图像呢，就不可能跑到二四线线去，知不知道？ 好，接着我们来看这个图啊，他有什么特点对不对？你看，我们看第一个在第一线线，他随着 x 的逐渐增大， y 是不是逐渐一个下键的过程，他是一个减小 过程，对不对？所以呢，在第一线线， y 随 x 增大逐渐的减小，是不是？然后我们来看下第三线线怎么出现？你看他从右左边往右边走， x 也是在逐渐增大，对不对？但是你看这个图像是不是还是往下走，他 y 也是在逐渐的减小，是不是？ 所以呢，我们就呃得出一个结论，凡比较函数的图线，当 k 大于零的时候，又大于零，对不对？他的图线呢？位于一三线线， 然后呢，在每一线线内， y 随 x 的增大逐渐减小，对不对？这个要记住了啊，一定要强调什么呢？每一线线内？为什么呢？你看，如果我不强调每一线线内，你看，我在这里描了一个点，在这里，对不对？这里描了个点在这里。 你看，从负二到二，这是不是一个 x 四增大的过程？但是它的值从负四变成变 成哦，从负三变成一个正三区了，对不对？他是一个增大的过程，晓得吧？所以呢，这个时候他就不是增大一点小，所以一定要强调什么呢？每一线线内，知不知道一定要强调每一线线内啊？所以你看啊，他这边也有写，你看 k 大于零的时候，反比例函数分别为一、三线线，对不对？刚刚老师讲了，然后它与 x、 y 字都不相交，这肯定的呀，因为它 x 不可能等于零， y 也不可能等于零，对不对？它不相交。然后每一线线内，你看，它说了啊， y、 x、 x 的增大减小，是不是一定要潜在这个每一线线内啊？你做题的时候，如果没有潜在这个每一线线内，那是不对的啊。 好，然后呢，老师，呃，讲一下这个练习，这个练习呢，是 y 等于 x 分之四，那它是一三线线， 是这样的画的，对不对？老师只画草图啊，好，二分之一， x 呢？二分之一 x 二二， x 分之一，他也是以上线线，对不对？只要 k 大于零，他的图像都是这样的，然后他只是说对应的什么呢？他的 x 值对应的 y 值不同，知道吧？你看啊，老师写一下啊， k 大于零， 位于三线线，对不对？然后一定要前调 每一线线内 yss， not 要减小，是吧？好，要记住这两个啊， k 大于零的车位与三线线，然后每一线线内 y， x， x 增大，逐渐减小。 好，接着我们来看一下 y 等于负，呃， k 等于负数的时候啊，你看，如果 k 等于负数， y 等于 x 分之负六， 它 x 乘以 y 是等于负六的，对不对？那是不是 x， y 要一号呀？对不对？一号的话呢？它是不是位于二四？现象 只有暗示线线的时候，他是一个一号的，对不对？他怎么做的呢？他还是在列表啊， 还是在列表就得到的是什么？左边这个图像， 左边这个图线，知道吧？这个带红色的这条图线，它位于 s 线线，对不对？其实简而言之就是干嘛的，把右边的翻到左边来，把左边的翻到右边来，因为它是对称的，晓得吧？ x 分之六，还 x 分之负六，这个对称的 好，然后我们讲一下他的性质对不对？他是不是位于二四线线， 然后呢，每一线线内 y， c， x 增大， 呃，增大也也同样的一定要选择美学室内啊，为什么呢？你看，比如说我这个 a 点在这里， b 点在这里， 你看它 a 点到 b 点的过程，它 x 是一个增大的过程，对不对？但是它的值是在减小，你看 a 是正的， b 是负的嘛？这里对不对？ y 它对应的 y 字，所以呢，一定要强调每一线线内啊。 好，这是这里。然后呢，我们看这个立体，他说画出 y 等于负 x 分之四的图线，他是不是还是列表啊？对不对？然后秒点连线得到这个图线啊， s 线线，对不对？ s 线线。 然后其实做这种反比，他数字题呢，你只要根据他的 k 值绘画他的图线，然后知道他的一些形式就可以了，就可以了。然后你看啊，他第一个练习一画 x 分之 负三，对不对？负三是不是在二四线线啊？ k 小于零对不对？然后呢，负的 i x 分之一呢？是不是也在一三二四线线，对不对？因为 k 是一个负的二四线线，就是就是这两个图。 好，那这个图像呢？老师先讲到这里，呃，谢谢大家。

今天这节课呢，我们来给大家讲一道与反比例函数啊有关的一道题，那么这个题呢，他说，如图矩形 abcd 的边 ab 啊，与 y 轴怎么样平行啊？那么顶点 a 的坐标呢，是这个一和二啊， 点 b 与点 d 啊，在反比例函数 y 等于 x 分之六的图像上，他呢，让我们呀，去求这个点 c 的一个坐标，对吧？啊，那么首先通过观察，那么你会发现啊， 点 a 和点 b 他的横坐标应该是怎么样啊？应该是相等的一个关系，对不对啊？然后点 a 和点 d 他们两个的重坐标应该是相等的一个关系，对不对？所以呢， 我根据点 a 啊，他的坐标呢是一和二，我就可以把点 b 的坐标呢射出来，是不是？我们刚才说点 b 的坐标呢，他和我们这个啊，就是点 a 的横坐标是相等的，那他的横坐标也是一，然后呢，我把他的重坐标啊设为 y， 好吧，啊，那么接下来我们再来看点 d 啊，那么点 d 我们刚才说它与 a 点的纵坐标是相等的，所以它的纵坐标应该也是二啊，那么接下来呢，我们呀，把这个点 d 的横坐标设为 x， 对不对？那么既然点 b 和点 d 啊，这两个点都在我们的反比例函数图向上，所以呢，我们可以把这两个点怎么样啊？带入啊，带入到咱们这个 y 等于 x 分之六这个解析式里边去啊，从而呢，我们就可以计算出 b 点的坐标，实际呢是一个一和六，对吧啊，然后地点的坐标呢，实际上呢，是一个三和二，对不对？那为什么我们要去计算点 b 和点 d 的坐标呢？ 因为 c 点啊，因为 c 点它的横坐标和点 d 是相等的，对吧？啊，所以说 c 点的横坐标应该是三， 那么 c 点它的重坐标呢啊，与点 b 又是相等的啊，所以说 c 点的重坐标呢，就应该是六啊，那这样的话大家就知道了啊，我们算这个点 b 和点地的坐标，最终的目的啊， 还是为了解决我们这个 c 点他的一个坐标。好了。那今天这节课呢，就先和大家分享到这啊。

嗨，同学们大家好，现在呢，我们再继续研究啊，新的内容，聪明的你和老师一起来探索吧。 这节课呢，我们继续学习反比例函数的图像与性质，其实图像我们一节课时，性质我们一节课时，但是呢，在这里呢，还需要补充一节 啊，补充一节，反比例函数表达适中 k 的几何意义，这个呢，在我们平时的训练过程当中呢，经常的去出现啊，经常的去出现 k 的这个几何意义，所以说呢，我们在这里呢，再加一部分，再加一部分， 首先呢，我们看一下内容大纲，结合反比例函数的主要性质，提高从函数图像中获取信息的能力，研究表达式中 k 的几何意义啊，也就说我们主要是来看 k 啊，它是一个 如何在反比例函数当中呢，去考察。好，首先呢，我们对知识点进行一个复习，上节课呢，我们学习了反比例函数的性质，总共是三个方面，见金趋势，对成星。 再一个呢是增减性，可以大于零，可以小于零，是吧，从前面的这个函数图性函数性质上，我们能够发现 k 这个系数呀，他既决定了图像的什么位置型啊，位置对吧啊，位置他也决定了啊，他的增减型是不是，那么他还能决定什么啊，还跟什么有关系，那么这就是我们这节课所研究的内容 技术， k 的几何研究一研，呃，意义研究哈，几何意义研究一二，我们来看我们这节 啊，就是反比例还是图像当中啊，大部分都是 ytin x 分之四的，这样一个，这样一个例子，对不对啊，这样一个例子，在反比例函数 ytin x 分之四的图像上分别取 p、 q， 然后呢？像，呃，以这两个点呀，像 x 轴， y 轴做垂线做垂线，围成面积分别为 s 一、 s 二的矩形，请填写下面表格啊， s 一 s 二演员面积是多少？ s 一和 s 二是什么样的一个关系，对不对？ 那么根据我们所学习的知识呀，你看点屁竟然在这里，然后呢，他向下做垂线，向 呃左做垂线，是吧？你做完垂线之后，那么这一段线段代表的是什么？代表的是不是你横坐？点屁的横坐标的这个 绝对值是吧？点 p 的横坐标的绝对值。哎，为什么是绝对值呢？是因为你看它是线段的程度，线段的程度必须是 正的，对吧？你说老师在第一象限就是正的，对的了，第一象限就是正的，如果放在第二象限呢？如果放在第三象限呢？如果放在第四象限呢？是不是就不一定正了？所以说啊，我们在这里加个绝对值，他是不是横坐标的绝对值啊？然后呢，你想 x 轴做垂线的话，你这一段，这条线段是谁？ 这条线段是谁？是不是你 p 点的纵坐标的绝对值，对不对啊？然后呢， s e 是什么？ s e 是个矩形的，是不是长方形？长方形，乘乘以宽就是它的面积吗？而乘是谁？你看 是不是这一点的横坐标的绝对值，乘以这一点的纵坐标的绝对值，就是 s 一， 对不对？这个不难理解哈，这个不难理解啊，那么点 q 呢？点 q 也一样啊，你看它向 y 轴做垂线，向 x 轴做做垂线，那么你向 y 轴做垂线，你这个长的这个这一段 是吧？这一段是什么呢？这一段是不是你横坐标的绝对值啊？就是它的长度，那么你这一段呢？是你 q 这一点纵坐标的绝对值，是吧？就是这一段的这个宽的长度，然后呢，你用长乘以宽，也就是说用横坐标的绝对值乘以纵坐标的绝对值，就得到了它的面积， 对不对？好，那么我们来填写一下 s 一的值，当然二乘以二四四，对吧？ s 二的，呃，这个值呢？四乘以一四，那么 s 一和 s 二什么关系啊？ s 一等于 s 二呢？ s 一等于二十二，它等于四，对吧？四是谁？ k 吧，你看这里是不是 k 啊？ 既然你看我们取的这个点在图像上吗？在图像上了，那么你这个图像是不是就满足我这个 表达式，对吧？那么我变形一下，是不是 x 乘以 y 就等于四，也就说这一点的横坐标乘以这一点的纵坐标就等于四等于 k， 而这一点的横坐标的绝对值乘以纵坐标的绝对值，它是不是就是它所构成的这个矩形的面积？ 而这个矩形呢，只能往 x 轴上做和往 y 轴上画线，画垂线所构成的这和圆点之间所构成的这个矩形， 明白了吗？这样的话，我们去猜想的话， s 一等于 s 二等于 k 等于 k， 能理解吗？同学， 能不能理解啊？因为你在这里算这个面积的时候呢，你就是乘乘以宽吗？而乘呢，就是这一点的横坐标，而这个宽呢，就是这一点的纵坐标。那你横坐横坐的乘以纵坐标是不是就等于我的这个 k 横坐标乘以纵坐标就等于 k， 我在这里 p q 呢，就是这两点上任意取了两点，所以说它具有一般代表性，一般代表性，所以说呢，它就能够得到这个结论，能够得到这个结论啊。 ok， 好，那我们就先看到这哈，都是第一象限的，他本身就是正的，但是啊，但是因为我们还要在第三象限或者第二象限什么的去研究他们啊，为了保持他的这个 准确性，所以说呢，因为在这个只要是矩形的面积的面积一定是正的，对吧？那么它的长和宽一定是正的啊，所以说带成了 最值啊，在这里理解一下，如果它本身就是第一象限，你比如说都是正的，那就无所谓，不影响结果。好，那么再看一下，如果说 k 是小于零的啊， k 是小于零的，你看到了二四象限，到了二四象限，那么我们刚才所研究的内容还成立吗？我们来看看 s 一的值，刚才我们研究的内容是吧？ s 一的值呢？就是这一点，你比如说点 p 啊，点 p 的这个坐标，横坐标乘以纵坐标就行了吗？那么负一乘以四是负四， 也等于 k 吧，负四，可是你的面积能是负四吗？你的面积必须是四，对不对啊？这就是说的，你看，这就是说的，你的横坐标呢，要取绝对值，因为你的这个宽 不可能是负一样，你必须是一对不对，重的呢，正好是四，他正好是正的就可以了啊，一乘以四，在这里呢，只要记住，只要记住，一来呢是横坐标乘以纵坐标，二来呢是说 这个编程必须是正的，面积也是正的，就很好理解了啊，就很好去判断啊，这样的话，你看一乘以四是吧？四 s 二呢？负二二，那不是也是二乘以二也是四，那么 s 一和 s 二也是相等的， 对不对？也是相等的，那么它等于谁了呢？等于 k 负 k 了，因为在这里呢， k 等于负四，负 k 的话就等于四，是不是？这样的话，我们总结前一个和这一个啊，这个第二个，那么是不是就可以得到 s 一等于 s 二等于 k 的绝对值？ 是不是？这就是它的面积啊？面积不变，面积不变啊，在我们的这个系数 k 的几何意义里面，有一种就是说面积的不变性啊，因为你只要是从函数图像上取值，那么你就是 x 乘以 y 啊，矩形的话，矩形哈 就是 x 乘以 y， 而 x 乘以 y 呢，根据表达式你就知道它等于 k， 但是 k 有正负之分，所以说带上的绝对值 ok 啊，矩形啊，在这里呢，我们也能够看到，我们的矩形呢，都是像 x 轴或者是外轴做垂线，他都是和圆点 x 轴外轴之间呢，拼成的一个矩形啊。在这里呢，我需要 给大家再提醒一下，你比如说了，你看 q 点，我国 q 点连接这个 o 的话，那它是不是就是这个矩形的对角线？那么下面这个三角形，它的面积是什么？你看 q 点的 x 乘以 y 的话，它是不是这个矩形的面积啊？然后呢，它这个面，呃，它这个，呃 呃，三角形，我画的这个三角形，它是不是矩形面积的一半，对不对啊？那么它就是二分之一矩形了，那就是二分之一 k 嘛，对不对？因为它是第四线线啊，第二条线，所以说我带 绝对值，对不对？另外一个呢，就是你说老师，那我看出来他是他的一半了啊，呃，他的面积是绝对。呃，这个矩形的面积是绝对值的。 k 的绝对值吗？那么他的一半是二分之一 k， 这是第一种啊。第二种呢？你说老师，三角形的面积就是底乘高除以二吗？底乘以高，你看底 是不是他纵坐标高啊？不对，底是不是他横坐标高，是不是他的纵坐标？那你横坐标乘以纵坐标是不是也等于 k， 对不对？但是你啊，图形的面积你必须去正的啊， k 的绝对值，然后呢，再乘以二分之一，是不是也是二分之 k 的绝对值， 对不对？就是三角形的面积哈，三角形的面积在这里呢啊，总结一下。总结一下，三角形的面积比较常见啊。好，既然有了第一个研究和第二个研究， k 大于零的时候研 研究过了， k 小于零的时候也研究过了，那么我们就总结一下。总结一下，如果说点 p 是反比例函数， y 等于 x 分之 k 图像上的任意一点，那么做 p a 垂直于 x 轴， p b 垂直于垂直。 呃，与外轴与点 d 是吧？点 o 为坐标原点，那么这些点连起来的矩形的面积就是 k 的绝对值， 就是 k 的绝对值哈，一定是点 p， 一定是在图像上的，图像之外的口不一定了啊，一定是在图像上的啊，一定图像上的。 然后呢，你分别向两条坐标轴啊，分别向两条坐标轴分别做垂线，这样的话形成一个矩形啊，形成一个矩形和坐标原点形成一个矩形，那么你这个矩形的面积就是 k 的绝对值，就是 k 的绝对值，这就是它的几何意义？面积 啊，面积几何意义啊，那么由此呢，我们也能几呃，矩形有了，那么由此我们也可以推论出三角形，我画他的一条 对角线，那么是不是就把这个矩上面的这个矩形分成了两个三角形，而这两个三角形的面积呢，是相等的，并且呢，都等于矩形面积的二分之一，二分之 k 的距离值，刚才我们也演练过了，对不对？刚才我们演练过了，好，好，这个呢，就是我们 反比例函数系数 k 的几何意义，它就是所造成所组成的这个矩形面积啊，所组成的矩形面积， k 的绝对值就是矩形的这个面积，而这个矩形呢，必须是和坐标轴一起形成的，和坐标轴一起形成的。 ok， 那么在 此基础上，在此基础上呢，我们延伸出来一些常见的，常见的类型啊，常见的类型总共是三大类，总共是三大类，接下来呢，我们去一起去总结理解研究一下 与常见的这个关于系数 k 几何意义的常见模型。好， 我们先来看模型一，就是在同一象限内，为了便于啊，为了便于研究，我们都把它放在了第一象限啊，也就是 k 大于零的时候， k 大于零的时候，第一象限内，因为在第一象限内，你 x， y 都是正的，是吧？都是正的，便于便于书写。但是 你在写的时候呢，必须像这样一样哈，写上绝对值，因为你可能要研究第二象限，第三象限，第四象限的，对不对啊？好，同学们 看，这也是个矩形，这是我们刚才研究的， x 乘以 y 本身就等于 k， 是吧，带上绝对值就好了。呃，然后呢？这个是三角形，正好是它的一，它的一个三角形就行了嘛，我们中间画一个这样的一个，嗯， 对角线，那么是不是他有一半了？一半二分之 k， 对不对？那么你看，再看第三种，第三种你说老师这不是画一个对角线形成的一种啊，别着急，你看这个是垂直的吗？人家已经告诉你这个是垂直的，对吧？那么他就是，他就是一个外嘛，外有了，而这一条边上所对应的高，是不是过点 c 做垂线了， 是不是这个，那么这条线啊，这条线是谁？是不是 p 点的横坐标，对不对？因为你这是垂直的吗？这是矩形，是不是上下都相等啊？这你看，你要是做这个的话，这个也相等，也平行，对不对？所以说 p 点的横坐标也有了，那么你底乘以高，再除以二， 是不是就是它底乘以高， x 乘以外，是不是就是 k 啊？二分之 k 嘛，对不对啊，要注意变通啊，尤其遇到三角形的时候，找见底就找见底所对应的高，如果你找见高了，你就找这条高所对应的那个底边 啊，其中有必然有一条或者是两条啊，他都是容易起解答的，容易解答的，我们考试的时候关键考察的这种。呃，看图的能力啊，在图中我们刚才不是也说了吗？这个大纲啊，就是利用他的性质啊，在 训练我们在图中获取信息的能力。好，这是同一象限，模型一啊，我们来看看模型二，两个象限内，你看两个象限内，这是不是也是 k 大于零的时候啊？在一三象限，在一三象限，我们来看看他这个都是三角形，是吧？都是三角形，我刚才说了都是三角形，那你 就找高，找高，或者是说找高对应的底呀，找见底的话，你就找他所对应的高，找见高的话，你找高所对应的底，然后呢，乘以二分之一，用他的面积公式就行了，对不对？好，我们来看第一个和第二个，你看他的都是 k 啊，你看第一个，哎中有一个平行的，是吧？这是垂直的啊，这是垂直的哈， 垂直的话，你看它平行当中，那么 b 啊， b 点的这个呢，就是它的横坐标，是吧？横坐标，那么这条边上所对应的高是谁？是它 对不对？是它啊，我们延伸一下，是不是钝角三角形缩在外面了嘛？啊， 然后呢？你说老师，这个呢是底，这个呢是高高，你看对这两点， ab 两点什么关系啊？关于原点对称，是不是啊？关于原点对称，那么他的他们的坐标就是符号不一样数，呃，绝对值是一样的， 对不对？数值是一样的，那么你看这里是一个 y， 那么这里是不是也是 y， 对不对？所以说它是二 y 啊，然后呢，这里有个 x 乘以 x， x 乘以 y 是 k， 对不对？然后呢，这里是二 k， 二 k， 二 k 还没有乘以二分之一了呀，三角形的面积必须除以二，它就等于 k， ok 啊，自己理解一下哈，自己理解一下，没毛病的，没毛病的，那么这个呢，也一样，你看这个呢，是知道纵的了， 知道这条边，那么我要坐他边上的高，是不是坐过来，是这样的，对不对？那么你这个高是不是我两 a 点和 b 点的横坐标的？绝对值得和，是吧？或者说 a 点的横坐标的两倍， 对不对？也乘以二了啊，也乘以二了，所以说抵消了一个二分之一，所以它的面积是 k 啊，是 k， 我们来看这个，这个呢， 你看这两点关于原点对称是吧？啊，你坐标的数值都一样啊，这不是符号不一样，对吧？然后呢，你看 x x y y 二 x 乘以二 y 等于四 k， 再除以二是不等于二 k k 的绝对值，记得带上绝对值就行了。 ok， 不难理解哈，不难理解不难理解啊，抓住点的坐标啊，知道坐标的意义，知道点，知道坐标的意义，求出来， 求出来。呃，这阴影部分的线段的程度，线段的程度，然后呢，根据他们面积的公式去解答就可以了。 好，第三个模型三，双反比例函数，你看双反比例函数，我们以前都是。呃，一条线吧，你看这是两条，两条，你看第一个也好理解， 巨星的巨星的，你看 a， b， c， d 啊， a， b， c， d 中间这个阴影部分的看点， a x 乘以 y 是不是 k 一，是不是 k 一就有了？ k 一的话，你看 k 一是不是这样的，是不是这一大部分都是 k 一的，那么 k 二呢？ k 二 题二是这个哈，题二是这个啊，里面这个点 d 所在的，那么如果点 d x 乘以 y 而 y 的话，它是不是这一部阴呃，白色的部分，那么我们总体再减去白色的部分，是不是阴影的部分？所以说呢，它就是减的啊，减的。那么你看这个， 我先计算三角形 a、 o， c 啊，再计算三角形 b、 o， c 是不是二分之 k 一，减去二分之 k 二，对不对啊？啊，因为这是呃，第一象象有特殊性啊，所以说呢，带上绝对值就好了，带上绝对值就好了，就适用于其他象象了啊，那么第三个和第二个是一样的对不对？它只是， 呃，立起来了，立起来了，你看它的面积呢？也是 a c o 减去 b c o， 是不是啊？二分之 k 一，减去二分之 k 二， ok， 好，我们第四个，第四个呢，大家看准了哈，人家写的是三角形 a b c a b c 啊，和三角形 a b o， a b o， 他俩相等，不是说阴影部分整体的面积哈，是说这两个三角形分别的面积啊，那么你说了，有的同学说了，老师， 那我们来研究一下，你看 a 点，我先研究一下 a b c 这个面积哈， a b c 这个面，那么 a b c a 点 a b c， 你 a 点 a 点所对应的呃，横坐标，你比如说是 x 是吧？ x， 然后呢，你的这个纵坐表示 y 一，纵坐表示 y 一，是吧？但是你看 你的这个这条边， a c 所对应的底边是不是 a b a b 是不是就超过了 y 一了？是不是？你是不是还得加上一个 y 二？ y 二是谁？ y 二，你看他俩的横坐标一样吗？ ac 是不是等于 bo？ 这就说明他俩的横坐标是一样的，都是 x， x 带进去得到 y 一，是吧？是，是你这一段啊，带进去得到 y 二，是下面这一点点是 b 的这个对吧？他俩应该加起来是不是？那么我 x 乘以 y 一，加上 y 二，他就这个 x 是高，呃，是，是这个高吗？这是底边吗？对吧？乘以底边，然后呢，再除以二，你看你 x 乘以 y 一， 是不是得到 k 一？你 x 乘以 y 二的绝对值是不是得到 k 二的绝对值，是不是啊，这就是这个 公式过程的由来啊，公式过程的由来啊，关键是我们现在说的字母，如果你要是数字的话，你能很快的判断他是正负啊，判断他的正负。而在呃几何的计算过程当中啊，几何面积的计算过程当中，肯定都用正的，肯定都用正的啊，一般不会出错，不会出错，关键是你要找准谁是高，谁是底边。 好同学们，那么这个模型呢，这个我们就看到这里啊，那么这节课的重点呢，就是说我要掌握一下呃， k 的意义啊，就是我们总结的那个啊，然后呢，再看一看它常见的模型，熟悉熟悉，深化理解一下就 ok 了啊，那么我们来看 如图呢， y 一，呃， y 等于 x 分之一，三个点都是图像上的吧，三个点分别向 x 轴，外轴做垂线，是不是满足我们的要求啊，分别做垂线围成的矩 平的面积，矩形的面积 s a 是不是 x 乘以八， s b 是不是 x 乘以八？ s c 是不是 x 乘以八？所以说他三个人的面积是相等的啊，因为在这里 k 是一样的嘛，他们都是同一个 函数图形的点是吧，都等于 k 都等于一，所以是相等的啊，相等的。在这我们要提醒的，面积的不变形啊，面积的不变形就是这意思啊，就是在同一个函数图形上啊，同一条直线上，我们分别取不同的这个 呃点，然后呢，像 x 轴和外轴做垂线，那么得到的是一样的，如果你要是对称到第三象限里面来啊，那么你这个 a 的对称点所做过来的，那你可能做出来是立下来的，是吧，也是一样的 啊，也是一样的，同学们啊，面积的不变形啊，有这个，有这个特点，有这个特点。好，第二题，你看第二题成了什么了？第二题成了一个 三角形的，告诉我们， p o a， p o a 啊，等于六，那么 p o a 它是不是二分之 k 的绝对值啊，这应该等于六三角形的面积嘛，对吧？那么你 k 的绝对值是不是等于十二？又，因为你是二次象限， k 小于零的，所以说 k 只能等于负十二， 是不是啊，是不是很简单，很简单吧。啊，很简单哈，同学们，很简单的啊，通过言，通过我们前一面学习的，如果你要是理解的话，那么你在做后面的题的时候呢，是比较容易的啊，比较得心应应手。好，我们看第三题， 如图呢，点 a 是反比例函数， y 等于 x 分之二，图像上的任意点 x 分之二 x， 别告诉你大于零的话，那么它只能在第一象限了，是不是？然后呢，过 a、 b 做 x 轴的平行线，得到一个 y 等于负 的 x 分之三，它是小于零的，那么它指在第二项线，以 a、 b 为边做平行线， a、 b 为边做这个 x 轴的。呃，为平行线做平行四边形， a、 b、 c、 d 做平行四边形，其中 c、 d 呢？在 x 轴上求平行四边形 a、 b、 c、 d 的面积。 我们先前所看到的图形基本上都是规则的，是吧？啊，当然，这个也不能说不规则 abcd 也不能说不规则哈。啊，因为平行四边形也是一个规则的图形，也是一个规则的图形。好， 那么我们再来看看，你看老师，那么这样的话，平行四边形的面积，嗯，他就是底乘以高吗？他是底乘以高，你看这个底， a、 b 或者 c、 d， 他都是，嗯，这个一样长， 样长。如果你求 a、 b 的话，我求 c、 d 就行嘛，对不对？求 c、 d 的话，我求 a、 b 长，长度也也可以，对不对？那么我们就用这种常规的方法，长乘以高。我们来看看 乘乘以宽啊，底乘以高， a 点呢？你比如说我假设它的横坐标是 x， 那么它纵坐标就是 x 分之二了，因为 ab 是平行于 x 如的，所以说 ab 两点的纵坐标是一样的， 对不对？那么对 b 点来说，他的纵坐标也是 x 分之二，那么他的横坐标是多少呢？纵坐标是 x 分之二，我把这里换成 x 分之二，我是不是求 xb， 是不是求他啊？求他，求他的横坐标 也不是三 x， 然后呢？再除以，再除以二，当然是负的啊，负的你就可以得到这里是负二分之三 x， 这样的话， a、 b 两点的坐标就有了，那么 a、 b 的长是多少？横坐横坐标减一下就行了吧，那么减去一个负的弦内，加上那么二分之三 x， 那你就等于二分之五 x， 对不对啊？那么你说 a、 b 等于二分之五 x， 那么它的高是多少呢？高，高， 那么高，我 c、 d、 c、 d 是不是也等于二分之五 x 啊？那么 c、 d 上的高是不是点？ a 的纵坐标 x 分之二，那你再乘以 x 分之二，约掉，约掉是不是等于五？ 面积是不是等于五啊？这是第一种方法哈，就用乘乘乘底乘以高啊。另外一个呢，是有的同学呢是这样做的，他说，老师，那我做一下垂线吗？啊，既然我们前面的要求不是都是做垂线的，那我做一下垂线，后来我发现这个三角形和这个三角形全等的，为什么？因为你是 平行四边形，所以这两条边相等，对，边相等，那么这个角和这个角相等，又有一个直角，这两个三角形全等，那么我把这个三角形移到这边来，那么你看，这是不是就成了一个矩形了？ 矩形呢？就分为这个矩形和这个矩形，那不是点 a 的 x 乘以半，加上点 b 的 x 乘以半，是不是两个 k 的绝对值相加起来就行了啊？二加三 五， ok 啊，所以说有两种方式，两种方式啊，看，移过来，哎，正好这一边加上这一边正好啊，正好就等于五。好，我们看最后一题， 呃，如图所示，在平面直角坐标系当中呢，过点 m 的直线啊，过点 m 的一条直线 p q 啊，它是平行 x 轴的分别与反。呃，反比例函数呢？呃， y 等于 x 分之六啊， x 大于零，那么就说这边呢，是 y 等于 x 分之六，对吧？ 和 y 等于 x 分之 k， y 等于 x 分之 k， 因为它是 x 小于零，那么它在这边，对不对？这就是相交于点 p q 啊， p 在这里， q 在这里，这没问题，对吧？这就对上了，先把这个两个呢？呃，这个表达式和图上图 形的先对上，然后呢，他得到三角形 p o q， p o q 啊， p o q， 他使的面积是八，你说老师，三角形 p o q， 他的面积等于他的面积加上他的面积，对不对啊？分别进行计算就行了吗？啊，你看这个面积， 这个面积，它是不是应该等于二分之 k， 是吧？二分之 k 啊，那么在这里的二分之 k， 二分之六，它等于三， 他点三呢？总面积等于八，那么这里是不是等于五，这是不是等于五，而这个五是怎么来的？是不是也是二分之 k 的绝对值？根据我们前面所学习的公式，二分之 k 的绝对值应该等于五，那么 k 的绝对值呢？就应该等于十，而又因为他在第二项线 k 是小于零的，所以说 k 等于负十， 简单吧啊，简单哈啊，不熟悉的话可以把我们前面的课程呢再复习复习啊，再研究研究 好。呃，刚才说错了哈，还有一道题，还有一道题啊，这是最后一道了啊，如图所示， p 是反比例还是 y 等于开升值一点过点 p 做 p b 垂直于啊， p b 是垂直于 x 轴的啊，点 a 是在外轴上，然后呢，三角形 a， b， p 的面积是二，面积是二，然后呢去 k 的值， 他是不是还是我们模型里面的一种？模型里面的一种，对吧？应该是。嗯， 第一类模型里面的，对吧？第一类模型里面的，你看你垂直的了，垂直的嘞，你看垂直的话，那么你你他就是这个 p 点的，呃，纵坐标嘛，对吧？他是 p 点的纵坐标，那么你看。呃，我知道了他的成，知道了我就找他边上的高就行了嘛， 往过一坐，一坐垂直，你说老师，这个垂直呢，就是点 p 的横坐标是吧？你横坐坐标一乘是不是就等于 k， 对不对啊？再除以二，那么是二分之 k， 它就是它的面积了嘛，它的面积等于二，那么你 k 呢？就等于四，是不是啊啊，因为在第一象限都是正的，所以说我就没带绝对值哈，没带绝对值，同学们要注意区分，要注意区分哈，知道它是为什么 对不对啊，这样的话是不是就便于大家理解了啊，便于大家理解了做这个辅助线的意思呢？也是这样哈，也是这样，也就是帮助大家去理解。你看这条边是不是他边上的高，那么你和这条是不是相等的 啊？这个矩形是相等的啊，相等的啊，关键是三角形，你只要如果三角形的面积问题，你就找底和高就可以了啊，其他的就不用管，其他的不用管，找出这些本质问题哈，找出 这些本质问题就便于你去理解。好，同学们，这节课呢，我们需要总结的内容呢？并没有啥啊，在课程当中呢，已经已经总结过了，对吧？呃， k 的这个几何意义啊，就是那个小姑娘指个手出来的。 k 的几何意义啊，把那个记住。然后呢，下面的三类模型，三类模型多看几遍， 看熟练了，知道他是怎么来的啊，弄懂弄通，那么你在做题的时候呢，就会比较轻松。好，同学们辛苦了，这节课我们上到这里，更多精彩课程请关注冯老师爱数学，谢谢大家再见！

撞击顾客，现在开始这节课，我们一起来学习反比例函数的图像和画法。什么样的函数是反比例函数呢？形如 y 等于 x 分之 k， k 不取零， k 为长数，这样的函数就称之为反比例函数。例如我们熟知的 y 等 x 分之一，还有 y 等 x 分之负一，他们都是反比例函数。 y 等于 x 分之一，他的图像位于第一象限和第三象限，是由两条曲线组成的，这两条曲线通常 称之为双曲线。而外等 x 分至负一，他的图像在第二项线和第四项线出现。我们总结为，当 k 大于零的时候， 反比例函数图像两个分支分别位于第一、第三项线，如图所示。当 k 小于零的时候呢，两个分支就分别位于第二、第四项线，如图所示。 我们注意以下几点，第一，由反比例函数 y 等于 x 分之 kk 不取零的解析室当中， k 的值， 我们不仅可以判断函数图像的位置，这里边是用 k 的正负来判断的，也可以画出具体的图像， k 每取一个值，都会有一个唯一的函数与对应。 第二，由反比例函数 y 等于 x 分至 k， k 不选零，当中 xy 的值不能为零， 所以他的图像及双曲线的两个分支可以无限的靠近坐标轴，但是他们永远不能与坐标轴相交。第三，反比例函数的图像呢，既是中心对阵图形，也是轴对阵图形，对称中心就是坐标原点。 对称轴呢，我们发现，像 y 等 x， y 等于副 x， 这两条直线都是他的对称轴，对称轴就是两个坐标轴夹角的平分线所在的直线。 我们认识了反比例函数的图像，下面我们研究一下如何画出反比例函数的图像呢？画反 比例函数图像，它基本的步骤有四步，第一步就是列表，因为反比例函数 y 等于 x 分之 k， x 不取零， k 也不取零。 我们在取 x 值的时候，应该以零为中心，在零的两侧取三对或者三对以上互为相法数的值。在填写外的值的时候，要注意技巧，我们只需要计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相法数。 第二，描点，描点，我们也只描一侧的点，另一侧的点可以根据中心对称的法则去描就可以了。第三，连线，原则上是从左到右的顺序连接 个点并延伸。连线的时候呢，要用平滑的曲线，按照自闭量从小到大的顺序连接，切记不可以画成折线哦。 注意，双曲线的两个分支他是断开的，延伸的部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但是永远不能与坐标轴相交。 第四步，注明，就是在函数的图像上注明函数的关系式。对于反比例函数图像的画法，我们注意以下几点，列表的时候自别量 x 取值要注意，一、在取值范围内取值，即 x 不可以取零。 第二，一定要有代表性，就是正负都要兼顾。第三，大小要适度，我们 要便于描点，易于操作，许相对的离得稍微近一点的点，不要许太远的点。 第四，要尽量多的取一些数值，也就是说你取的数值越多，画的点越密集，那么图像也就越精确了。通常 x 取十个数值，正负个五个。 第五，通常在解题的时候呢，画反比例函数的图像，只画草图即可。 所谓的草图，只要依据 k 的值的正负性能确定 y 等 x 分之 k， k 不取零的图像是在一三相信还是在二四相信，大致画出变化趋势即可，这就是草图。 第六，反比例函数的图像的分布是由 k 的符号决定的， k 为正直的，是 时候两个分支分别位于一、三相线，当 k 为副直的时候呢，两个分支就分别位于二四相线。我们学会了画反比例函数的图像，那么大家一起来应用一下吧。 已知函数 y 等于 x 减 m 乘以 x 减 n， 其中 m 小于 n 的图像如用处所示，这是一个开口向上的抛物线，抛物线的图像与 x 轴焦点的横坐标，一个是 n， 一个是 m。 从图纸当中我们发现了 n 的值为一，而 m 的值小于负一。现在请问给出依次函数 y 等于 mx 加 n 与反比例函数 y 等于 x， 分值 m 加 n， 它的图像可能是如下哪个现象？ 我们逐一的分析一下。由于直线 y 等于 m， x 加上 n， n 的之为一，就说明直线横过零一点，我们排除 b 下向， 而指信的斜对 m 呢，他是小于负一的，自然就小于零，所以我们又排除了 a 选项， 那么在 c 选项和 d 选项当中，都满足直线过零一点，且斜立为副直， 于是任务就落在了 y 等于 x， 分值 m 加 n 的图像上。我们分析过，由于 m 比负一小， n 的值为一，那么 m 加 n 就小于零， 于是反比例函数 y 等于 x， 分者 m 加 n， 他的图像应该是过二、四项线的。因此本道题答案选 c。 我们 再看一道题目，请做出反比例函数外等 x 分之六的图像。我们分析一下做函数的图像，它一般的步骤就是列表、描点、连线和注明这么四个步骤。 需要注意的是，这道题目当中反比例函数的 x 他不能取零， 因此我们在列表的时候就取零。两边对称的一、二三四五六、复一、复二、复三、复四、复五、复六，取这么十二个值，两边写上加加点，代表他有无数个点。 然后在计算外的值的时候呢，我们也就计算出 x 取一、二三、四、五、六所对应外的值分别是六、三二一点五一点二 一。然后至于 x 取负一、负二、负三，负四、负五、负六的时候，外的值我们只需要在右侧的基础上填上负号即可。第二步，我们根据表格 画出各组对应的纸作为点的坐标，然后在直角坐标系内描绘出相应的点。下面连线我们要用光滑的曲线顺次连接个点即可以得到 y 的 x 分之六的图像。如图所示。 我们观察到这个图像呢，在第一项线的部分，图像有下降的趋势，即 x 越大，外的值越小。在第三项线的部分也有下降的趋势及 x 越大，外的值越小。最后我们要注明这是外等于 x 分之六的图像。 那么就完成了这道题的解答。有关于反比例函数的图像画法，我们就要讲解到这里，同学下节再见！

同学们大家好，上一节课呢，我们研究了反比例函数的一个基本概念，今天呢是我们反比例函数的第二节课，反比例函数 y 等于 x 分之 k 的一个图像以及性质。 那先来复习回顾上一讲的内容，反比例函数的一个概念，如果说两个变量之间满足 y 等于 x 分之 k 这一个表达是，并且呢，常数 k 是一个非零的数， 那我们就叫歪式 x 的反比例函数。因变量是自变量的函数，那在定义里面呢，需要注意的有三个点，第一个呢，就是我们把 k 叫做比例系数，并且是一个非 零的常数。还有就是我们自变量和因变量，它的乘积呢，是一个非零的常数，也就是 x 乘 y 呢，等于 k， 自变量和应变量的乘积是一个非零常数，那这个表达是呢，对于本节课的学习有很重大的一个意义。 还有一个就是我们的三个字母都是不能为零的， kx 和 y 都是不能够为零的。那学完函数的概念，下一步当然就是研究函数的图像了。那同学们还记得画函数图像的一个步骤吗？ 应该都没有忘吧，是不三步呀，第一步呢就是列表，第二步描点，第三步就是连线了，结合画依次函数的图像的一个步骤。那列表呢，就是我们自变量呢是一行，因变量呢一行，然后呢，在我们的 平面直角坐标系中描出对应的一个点，那描完以后呢，进行连线函数图像呢，其实就解决了，那函数图像的操作呢，都是这样的，那你能够尝试的画出反比例函数 y 等于 x 分之四这样的一个图像吗？ 那这个函数 y 等于 x 分之四，他 k 的值是不是等于四呀？是一个正数。那第一步呢，先是列表格，但是呢，在列表格的时候，需要注意，他跟我们的依次函数取值的时候有没有不一样呢？ 一定是有区别的，那依次函数取值的时候是不是没有任何的限制？那我们全体时数呢，都是可以取的，那只不过我们取的是容易计算的一些数字了，但是呢，在我们的这个反比例函数里面就不太一样了，为啥呢？因为 反比例函数里面，我们的自变量和因变量是不是都不能为名啊？那这一句话他其实包含的知识量呢，是挺大的，自变量不能为零，也就是说我们反比例函数的图像不能跟我们的纵轴相交，也就是不能跟歪轴相交， 因为弯轴上所有点的横坐标是不是为零。那同理呀，歪不能为零，说明反比例函数的图像不能跟我们的横轴相交，也就是不能跟 x 轴相交，那他呢，也就一定不能跟我们的坐标远点相交了，因为 x 和弯呢，都是不能为零的。 先把这一个呢理清楚，那下面呢，我们来取自变量的值， k 的值呢是四，那我们取值的时候选取的自变量的值呢，一定要容易计算，这是前提。图像上吗？它是有无数 的一个点的取呢，是取不完的，我们呢，只需要取出具有代表性的一些点，也容易计算的一些点呢，就可以了。那我就可以取，比如说付八呀，付四，付三， 负二，负一，负二分之一这样的数，再取这些数的一个相反数，然后呢，计算出对应的我们的应变量的一个值， x 等于负八，将 x 等于负八呢，带入 y 等于 x 分之四，这一个表达是里面，那我们的 y 的值是不是等于负二分之一， 后面呢，依次的计算出自变量对应的音变量的一个值，那同学们有没有发现我们的自变量我是不是取的是相反数呀？那你再看一下音变量是不是它也是相反数呀？这是肯定的，因为 k 的值是四是不变的， x 的值呢是互相 返竖歪的，直呢，也是互为相反竖的，那我们就找出来了十二个这样的点，那下一步呢，就是我们要在平面直角坐标系中来描出对应的这些点的坐标了，那描出来以后呢，我们用光滑的一个曲线呢，顺复的给它连接起来， 那我们连接的时候呢，是按照自变量由小到大的一个顺序进行连接的，那这个图像同学们是不是以前没有接触过呀？他呢是不是一个曲线， 并且呢是有两条曲线的，我们依次函数是不是一条直线呀？同学们想一想，画反比例函数图像的时候，我们需要注意哪些问题呢？先思考一下，那第一个需要注意的 地方，无非就是选取自变量的时候，我们要选取易于计算，又要便于描点的一些数，那为了保证图像呢更准确，我们呢是要多描一些点的，比如说我们取互为相反数的一对一的一些数，便于研究反比例函数的一个性质。 那第二个呢，就是绝对不能够把点的位置呢给他描错，这个呢，大家应该都没问题。第三个呢，就是我们要按照自变量由小到大的一个顺序 依次画线，这样呢，就保证了不会漏掉一些点。那连线时呢，我们必须要用光滑的一个曲线给他连接，不能用折线连接。那有很多同学可能不理解，为什么是曲线而不是我们的折线呢？我们画反比例函数的图像的时候，是不是指 描了图像上少数的一些点呀？是不是描了少数的一些点，图像的构架呢，是不是比较空的？所以呢，我们自然的会认为看起来应该是不是用折线连接， 但是如果说你多描上几个点，那多到比如说密密麻麻的一种情况，那你就会明白，其实呢，这个就和我们的正多边形边数越来越多，是不是更接近于圆圆，是不是就是正多边形的边数无限大时候的一个情况？是不是这个道理是一样的，同学们理解了没？ 所以呢，反比例函数的图像是曲线而不是折线。那第四个呢，就是我们的图像呢，是延伸的，不要画的有明确的一个端点，还有无数个点，我们是不是没有渠道呀？当然不能有明确的一个端点了。第五个，第五个很重要， 曲线的一个发展趋势呢，是只能靠近坐标轴，但是呢，不能和我们的坐标轴相交， 不能和坐标轴相交。前面呢，已经给大家解释过了，只能靠近坐标轴，这一个怎么来理解？你看，就刚刚我们画的这个函数图像， y 等于 x 四，他的图像呢，大概就是这样来画的。 那你看是不是当 x 的值越来越大的时候，我们的 y 的值是不是越来越小呀？最后呢，他跟我们的零是越来越接近的，但是一定是取不到零的，因为我们的 x 是不能为零的， 所以呢，反比例函数的图像只能无限的靠近坐标轴，但是呢，不和坐标轴相交，这是最后一个需要注意的地方，主要是第五个很关键。那下面呢， 我们再画反比例函数 y 等于 x 分之负四的一个图像，那这个函数的图像，他 k 的值是不是等于负四呀？和我们刚刚 k 的值是不是互为相反数？我们前面呢，画的函数是 y 等于 x 分之四的一个图像， 那我们来看看，当 k 的值互为相反数的时候，我们的图像有没有关系，那跟前面的操作步骤呢？还是一样的。同学们呢，把这个函数图像直接画在你的课本上，课本上呢，由平面这样做标线，那画出来之后呢，是这样的图像，它呢是不是经过我们的二四向线的， 而前面我们的图像是不是经过一三项线的？那这两个函数他的图像的相同点和不同点有哪些呢？同学们仔细的来观察一下， 那相同点很明显，第一个呢，就是这两个函数的图像是由两只曲线组成的，你看 y 等于 x 分之四，这个函数的图像，它是不是这一条曲线，还有这一条曲线是不两条曲线？ y 等于 x 分之负四这个函数图像呢，它还是两只曲线的， 那我们把它就叫做什么？就叫做双曲线了。因此呢，反比例函数的图像就是双曲线，前面一定是没有接触过的，那不同点有哪些呢？刚给大家呢，其实提了一嘴，当我们的 k 是大于零的时候，图像是位于一三向线内的， 当 k 小于零的时候，图像是位于二四向线内的。那比如说当我们的 k 等于六的时候， k 大于零，那我们的函数图像是不是就在第一三向线内啊？这个 这个很关键， k 大于零十一三， k 小于零十二四，那这个呢，是反比例函数里面很重要的一条性质了，那下面我们再来研究反比例函数，他是不是一个中心对称图形，那如果是的话，找出他的一个对称中心。 其实啊，由我们前面取出的一些点就可以看出来是中心对称图形的，那不管图像在一三象限还是在二四象限，分布在两个象限内的点的关系是横纵坐标都互为相反数的， 那对称中心就是我们的原点了，因为只有关于原点对称的点，他的横纵坐标才是互为相反数的，所以呢，反比例函数是中心对称图形，对称中心呢是我们的原点，这是一个。 那同样反比例函数，他是轴对称图形吗？那一定是的，重点呢，是找出我们的一个对称轴， k 大于零的时候，图像呢，是在我们的一三向线的， 那他的一个对称轴是 y 等于负 x 这一条直线，你看两个向线内的图像，给他沿着 y 等于负 x 这一条直线呢，给他对折，图像是完全重合的， 那可以小于你的图像呢，对称轴就是啊， y 等于 x 这一条直线了。其实呢，一个是一三向线的叫平分线， 一个呢是二四向线的一个角平分线。那最后我们一起再来总结一下反比例函数的一个图像以及性质。首先反比例函数的图像是一个什么？双曲线？那当 k 大于零的时候， 图像在第一三相线 k 小于零的时候，图像在二四相线 还有一个很重要的一个性质，当 k 大于零的时候，在每个象限内 ycx 的增大而减小。 当 k 小于零时，在每个象限内 ycx 的增大而增大。那为什么一定要强调在每个象限内呢？ 那依次函数我们描述的时候是不是只有 ysl 在那增大呀？或者说 ycx 的增大而减小。那为啥反比例函数一定要强调在每个象限内这六个字呢？因为反比例函数的图像是不是双曲线， 他呢是有两个分支的，所以呢，必须要强调在每个象限内，那这一条性质呢，在很多 选择题里面都会设计到这个考点，同学们做题的时候呢，一定要注意陷阱，他呢跟依次函数是不太一样的。那最后图像既是中心对称图形，右舌轴对称图形， 这个表格呢，很重要的，课下呢，一定要反复的研究，弄清楚反比例函数的图像以及性质。 那好，反比例函数的图像和性质呢，已经给大家讲完了，下面呢我们就开始做题，题目呢，都是有关图像和性质的第一道题，下图呢，给出了反比例函数 y 等于 x 分之二和 y 等于 x 分之负二的一个图像。 那你知道哪一个是 y 等于 x 分之负二的图像吗？为什么 y 等于 x 分之负二， k 是负二，是不是小于零的？那图像是不是就在我们的二四下线呀？ k 小于零， 双曲线位于第二四向线内，那剩下的一个 y 等于 x 分之二的图像，不就是我们的第二个一个图像了吗？ 再看一下第二题，反比例函数 y 等于 x 分之负五的一个图像大概是多少？ k 是不等于负五呀？负五是小于零的，因此呢，函数图像是位于二四向线的，选择我们的四的，这是第二题。 再来看一下第三题，在同一个平面直角坐标系中，函数 y 等于 kx 减 k 和 y 等于 x 分之 k 的一个大致图像是多少？ 那这个题型呢，很重要是在同一个平面直角坐标系中，画出两个函数的一个图像。那这个题型呢，对于大多数学生来说呢，是一个难点，但其实呢，这 总题相对来说呢，不是那么难的。那我们一起来看一下，第一个 y 等于 k， x 减 k， 这个是不是一个依次函数呀？那后面的这一个是不是一个反比例函数？那并且反比例函数 k 是小于零的，既然 k 小于零，那反比例函数不就在二四向线内了吗？ 那下面的选项在二四上线的是不是只有 b 和 c 这两个选项呀？那我们就可以把 a 和 d 这两个选项呢给他先排除， 再看一下依次函数，那我们的依次函数 x 前面的系数 k 呢？是小于零的，这个地方的 k 呢，就决定着我们的依次函数是上坡的还是下坡的。那既然 k 小于零，是不是下坡的， 但是我们的 b 和 c 是不都是下坡的？所以我们如果说啊， k 小于零的话，我们的 b 和 c 呢，还不能拍出掉一个， 那再看一下我们后面的副 k， 副 k 是不是相当于我们表达室里面的 b 呀？那现在 k 小于零，副 k 是不是就是大于零了？那副 k 大于零，也就是我们的 b 呢，是大于零， b 大于零。依次函数跟歪轴的正半周相交，是不是只有 b 选项跟歪轴的正半周相交呀？所以说我们的第三题呢，选的是二 b 第二个选项，这道题呢，还是比较重要的，考试的可能性呢是非常大的。那我再给大家呢梳理一遍。做这种题的时候呢，我们首先要判断反比例函数所在的象限， 因为反比的函数在哪个象限，是不是只跟我们的 k 是有关系的呀？是不只有一个量，但是呢，依次函数是有两个量的，那判断出反比例函数所在的象限后呢，排除错误的选项，先给他，把错误的选项呢给他排除，然后。

嗨，同学，大家好，今天呢，我们又要学习新的内容了，聪明的你和老师一起来研究吧。我们今天学习的是六点二，反比例函数的图性与性质的。第二个课时，反比例函数的性质。 首先呢，我们看一下内容大纲，理解并掌握反比例函数的图像的性质啊，能利用反比例函数的图像和性质呢，去解决实际的问题。 我们一般学习的时候都是这个东西是新的知识点是什么？然后新的知识点如何在实际当中呢，进行一个运用，对吧？都是这样，我们呢对上一节课的知识点呢进行一个复习。上节课我们学习了梵比利函数的图像啊，形状是吧，双曲线啊，无限接近坐标轴，但不相交。 有的同学呢问，无限接近坐标轴但不相交，这属于什么呢？这属于呀，有一个词呢，叫渐进性渐进。呃，这个近啊，远近的近渐进趋势啊，或者渐进性啊，渐进趋势， 这个呢，就属于这个意思，它其实呢，它也是性质的一部分啊，它是我们性质的这个一部分啊。再一个呢是这个图像呢的位置是由 k 决定的， k 大于零一三象限， k 小于零二四象限。 再一个呢是对称性，对称性呢，其实也属于性质的一部分哈，也属于性质的一部分，只不过是我们在前面呢，就给他研究过了。再一个呢是画图，画图的时候呢，注意自变量的互为相反数，然后呢，数量要稍微多一些，这样的话呢，我们画出来更标准一些。如果你平时呢，只简单的画一个草图，那么你至少也需要两点，对， 至少也需要两点，画一个草图。好，这是我们对上节课的知识点呢，进行一个复习，反比例函数的图像的特点， 那么这节课呢，我们继续去研究一下啊，继续去研究一下反比例函数图形的性质，它还有哪些？除了我们刚才所说的渐进趋势啊，还有这个对称性，那么我们在图像里面，其函数图像里面其实研究的更为 多的一个，使用的更多的一个就是他的增减性，对不对？依次函数我们也讨论的增减性，那么我们再补充一下，在第二个课时里面，我们在完整的啊看一下， 补充一下反比例函数图性的增减性质，好观察反比例函数 x 分之二啊， x 分之四， x 四分之六的图像，你能发现他们的什么共同特征在下面呢，你看，首先呢，我们能够知道这 k 呢，都是大于零的是吧？他说给的这几个函数 k 都是大于零的，那么他都在一三象限是吧？都与呃坐标轴不相交，但是无限的去接近，都是对称的 对不对？轴对称，中心对称啊，这是我们根据上一课时的学习的内容呢，就能就能总回答出来这些， 那么我们再进一步的去观察，进一步的去观察，来回答这些问题。每个函数图像分别在哪个？呃，分别在哪个象限都一样，都在一三象限对不对？都在一三象限，那么在每一个象限内，随着 x 的增大外如何变化？既然是一三象象，我们先看第一象限， 看随着 x 的增大是不是往右走，随着 x 的增大，你看 y 越来越接近 x 轴， y 是不是越来越小 小，也就 x 在增大的时候呢？ y 其实是减小的，我们看看这个，虽然 x 增大， y 是不是也是减小？ x 的增大， y 减小啊，这个也一样， x 的增大， y 减小，对不对？越来越靠近 x 轴啊， x 会越来越大，但是 y 会越来越小， 那么在第一象限都是这样，那么在第三象限是不是满足这样的要求呢？你看 x 越来越大的话，是不是就是往这边走了？ x 往右走是不是越来越大，但是 y 呢？你看 y 的值是不是越往下走，那么在 y 轴上越往下走，他是不是值越小？ 也就随着 x 增大， y 也是减小的，那这个也满足这样的规律，这个也满足这样的规律，那么也就是说在第一项线，在第三项线呢，同时满足 x 增大， y 减小， x 增大， y 减小，如果有表达式来说明的话， 因为它本身就是这样的吗？对不对？自变量在分母上，那么随着，呃，分母越大，分数越小，对不对啊？分母越大，分数越小，是不是啊？ 好，那么我们再来看看，对于反比例函数 k 大于零的时候，考虑问题一和二，你能得出同样的结论吗？什么结论？就是我们的 x 增大外减小是不是都是一样的？我们把 第一个问题和第二个问题一整理，是不是在 k 大于零的时候，他都满足这样的一个结论，也就 k 大于零的时候，函数图像就在一三象限，并且随着 x 的增大外在减小， 明白了吗？这就是我们得到的第一部分的结论啊。第一部分的结论，也就是说 k 大于零的时候啊，在这里呢，我们能够得出来， k 大于零的时候呢，其实这个 k 啊，在我们上节课学习的时候， k 它绝 决定了位置对不对？决定了图像的位置，在这里呢，我们也能够决定啊，也能决定他的增减性， 是不是？同学们啊，既决定位置，又能决定增减性啊，这就是我们这节课啊，研究内容的其中的一部分。这是 k 大于零的时候，那么 k 小于零的时候，也满足这样的条件吗？那么一起来看看哈，一起来看一看， 那 k 小于零的时候看，如果我把 k 换成负二负四负六，那么就是 x 分之负二， x 分之负四， x 分之负六，那么他们还有刚才的共同特征吗？ 是吧？那 k 小于零的时候，他都在二十四上线啊，与 x 与坐标都都不相交，但是无限接近，对吧？呃，对称性啊，满足周对称和中心对称的要求，对不对？还是这些？那么在他们个子的上限之内啊，随着 x 的增大， y 是怎么样的？你看，随着 x 的增大哎， y 是不是也在增大，也在往上走啊？ x 的增大， y 也在增大，是不是？这个也满足？这个也满足？我们看看第四象限，虽然 x 的增大往这边走，那你看 y， y 是不是也无限无限往上走了啊？往正半轴上走了，那是不是他也是越大，随着 x 增大， y 也在增大， 对不对啊？ y 也在增大，随着 x 的增大， y 也在增大啊，你说老师那 x， 呃，那用表达式来关系的话，你看 x 越来越大，那么这个分母增大，呃，这个数值就应该变小了嘛，但是别忘了，人家是相反数负的 负的，如果你的绝对值小，那么你这，呃，如果你的这个，呃绝对值小啊，你再加上一个负号，那么是不是他算负数的话，他是不是就越来越大了啊， 明白了吧？啊，很好，好，明白了，这个也比较容易理解哈，比较容易理解。这样的话呢，我们也可以得出结论啊，在 k 小于零的时候，分别位于二、四象限，他们与 x 轴、外轴呢，都不相交，并且在每个象限内外随 x 增大而增大 啊，这样的话， k 大于零的情况有啦， k 小于零的情况也有啦，因为反比例函数只讨论两种嘛， k 不等于零是吧？ k 大于零的时候， k 小于零的时候，我们现在都有了结论了，那么我们对它呢？对今天的这个性质呢，做一个总结。一般的反比例函数 y， d， x 是双曲线，它具有以下的性质 啊， k 大于零的时候，一三象限 y， x 的增大而减小。 k 小于零的时候，位于二、四象限，在每一象限内， y， x， x 的增大而增大。理解啊，呃，它具有以下性质，这个性质呢， 是我们今天所学习的哈。随后呢，我们还会进一步总结，把它的性质总结到一起哈。那么在这个方面呢，我们还能够延伸出来一个什么呢？就是 k 的正负也是 k 的大小，决定了反比例函数图像的位置和增减性。 位置和增减性，对吧，这个容易理解对不对？ k 大于零呢，在第一课的时候呢，我们学习了 k 的正负，他决定了函数的位置啊。这个课呢，我们学习的 k 的大小，他决定了这个 k 的正负，它决定了函数的增减性，对不对啊？ k 大于零的时候，一三象限啊，跟着我一起一起去记一下哈。 k 大于零的时候，一三象限， y x， x 增大而减小， k 小于零的时候为二四象限啊， y x， x 的增大而增大， ok， 好，那么这就是我们这节课的新内容了啊，新内容了，然后呢，我们看一看，练一练，已知反比例 函数， y 等于 a 减，一括起来 x a 方加上 a 减七次，是吧？再去向前内， y x x 的增大而增大， y x x 的增大而增大，那就说明 k 是啊，小于零的，他位于二四上线，对不对？ k 小于零的话，那么你看我们在这个反比例函数里面，是不是他就应该小于零？而同时呢，这个 x 的次数他是不是应该等于负一， 是不是啊？那么把这两个式子放在一起，你就能够解出来 a 的值啊，解出来 a 的值，好，第二题， 已知反比例函数，它也是反比例函数，你看它都没有写成分数的形式，那就说明 x 的次数必须保持啊，是负一，对不对？在这，现在的 y x 的增大而减小减小，那就说明 k 要大于零，也就是它大于零，对不对？把它和第一题一样，把它列成一个 式子，然后呢，同时满足这两个条件，解出来 m 就 ok 了，解出来 m 就 ok 了。在这里呢，我就不带着大家去解了哈，学习到现在，我们必须也一定啊，应该去解决了大家的计算问题 啊，不要出错，不要出错，尤其如果要是解一些方程问题的话，你就要代入求职一下啊，代入求职一下，如果是一个不等式，那么你取一个特殊的值去验证一下 啊，都很简单，大家呢，老师比较着急，比较着急，解出来就赶紧跑啊，别着急，别着急啊，磨刀不误砍柴工啊。我们的问题呢，不是做的有多快，我们的目标是要把题做对 好。第二题，已知反比例函数的图像经过这个点，那么这个函数呢，位于哪几个象限？ y、 c， x 增大如何变化？这个呢，就是说了，你看 a 点在哪里了， 是不是在第一象限，那么也就说这个函数图像经过第一象限，只要是经过第一象限，那么他就一定经过第三象限，对不对啊？因为我们对 x 的呃，自变令的范围并没有什么限制，对吧？并没有什么限制，根据他本身的性质去走就可以了啊，他在第一象限，那么另一只肯定就在第三象限了，对吧？ 那么啊，你在一三上线的话啊，那么你的 k 就应该是大于零的，对吧？ ycx 增大而减小，这是不是我们刚才所学习的性质啊？ 第二题呢，他问的点 b、 c、 d 是否在这个函数的图像上？我们第一课程的时候就学习过怎么判断一个点在不在这个函数的图像上，那么你要带入他的解析式，是吧？看看这个左右相等不相等，相等的话，满足这个点的坐标，那么他就在，而不满足这个点的横坐坐标，那么他就不会 在，是不是？那么就这这个点呢，就成了求解析式了。求解析式是待定系数法对不对？先假设它是 y 等于 x 分之 k， 是不是？然后你带入这一点的坐标，已知点的坐标，那你就能解出来 k 在这里呢， k 等于十二，对吧？一眼就能看出来 啊，一眼都能看出来。然后呢，你把这个 b、 c、 d 都带进去，看看满足不满足， 是不是啊，这都很简单哈。呃，我们的这个训练题呢，都是直接紧紧地扣题啊，扣住今天所学习的知识点，对大家呢有一个强化和认识 和了解啊。第三题，已知反比例函数 y 等于 x， 分就是 k 经过点 a， 二都三，那么这就更简单了，求这个表达是直接代进去是吧？ k 就等于六啊， k 等于六，那么判断 b、 c 是 不是在这个图像上，那是不是和刚才一样？和刚才的题一样哈，那么我们看一下第三题，求 x 的范围，给了你之后求外的范围，你看这个，我们做这个函数题啊，就是，呃，一定要尽可能的去画上一个草图哈啊，如果人家要求你画图的话，那肯定很标准，如果人家不要求你画图的话，你画一个草图便于你去理解。 k 既然是等于六， k 大于零的是吧，它也经过第一行线嘛。啊， k 大于零的，你看它就是这样的， 我们能够知道随着 x 的增大，外在减小，你看，而且这这个正好呢，你看人家没有跨这个零是吧，人家就就在低。呃，这个，呃， 按说图像呢，应该对应的是在第三象限内，对吧？第三象限内是负三到负一，是不是 x 在增大啊，是吧？负三到负一是不是 x 在增大，那么 y 就在减小，那也就是说我在负三的时候呢，去 到最大值，在负一的时候呢，取到最小值，对不对？这就是外的范围啊，根据定。呃，这个自变量的范围，求一个音变量的这个范围啊，这个题呢，在依次函数里面也多次见过， 所以说呢，他不难理解，不难理解哈，根据增减项确定他的最大值和最小值，并且他中间也没有断的，他都是连续的，那么你就让 y 就这个大于他的 最小值，小于他的最大值就 ok 了，对不对啊？对应起来，对应起来去解决就行了啊，对应起来去解决就行了。好， 我们看一下这个材料的结果啊，我主要是呢，担心有的同学在第三问上出问题，在第三问上出问题啊，要考虑他的增减性，要考虑自变量的范围，自变量的范围。 好，同学们，那我们对这节课呢进行一个总结，就是反比例函数的性质呢，包括这个渐进趋势啊，无限接近坐标轴，但与坐标轴不相交，对称性中心对称图形也是轴，对称图形增减性就是我们今天所学的， k 大于零的时候怎么样， k 小于零的时候怎么样 啊，都不难理解，大家一定呢牢牢的把这些东西呢，记住，记住，你比如说你考虑渐进性的时候，你就在你的脑海里快速的画一个，呃，这个，呃，草图就行了啊，对称性也画一个，增减性也画一个啊，这样的话呢，就是把你的图形和文字对起来啊，对起来啊，这样的话呢，因为他们的图形，你比如说他依次函数， 它是一条直线，而这个反比例函数呢，它是两条曲线。其实呢，呃，都不复杂，都不复杂啊，你再说说一些知识点的时候呢，就把这个图呢画在自己的脑子里，画在自己的脑子里，这样的话呢，呃，更印象 更加深刻，也不容易出错啊，也不容易出错，不要死记这些文字啊，死死的记住啊。然后呢，给你个图像吧。然后呢？又对应不起来啊，只是学的呃，零散了啊，只是没有串联起来。 好，同学们辛苦了，这节课呢，我们就上到这里，更多精彩课程请关注冯老师爱数学，谢谢，大家再见。

来，初三的同学们，我们今天看凡不离函数的一个图像，好，我们说凡不离函数图像，他是有两条曲线组成的，而且，嗯，随着 我们的 x 的增大或者说减小，不断接近于坐标轴，但永不相交，这样的一个定义啊。好，我们来画一下反面的函数的图像，当 k 大于零的时候，以及 k 小于零的时候，他的图像分别是， 好， k 大于零的时候，我们经过的是一三下线，是一个平滑的曲线。对，要接近阿克苏，但是永不相交的，而且是一个对称的关系。 好，就这样子，这是一三象限啊， k 大零， k 小零的时候，经过的是二四象限， 二四，一三，二四，这样子。 好，那么我们来看看哦。 嗯，对于反比例函数呢，他的图像呢？是，他是一个什么图形呢？他是不是一个对称图形？那他是不是一个 中心对称图形呢？就是说，比如说这是 a 点，照着某一点旋转印八十度之后，能用多少多少的对称点 啊？这个 a 撇是他的对称点，他也是中心对称图形，对吧？那我们再一看一下哈，就说，对于 k 大零的时候，当 x 等于 x 不断在增大，比如说 x 从一增大到二的时候， y 再减小，那图案看这边 x 再增大，这是负二， y 是负一再减小，是不是 x 才增大， y 在减小。所以呢，我们说当 k 大零的时候，他经过的是一三象限， 而且呢，他是他两个图像。关于圆点对称， 那我们说他 yss 增大而减小吗？不对，是应该是在每一 象限内，因为他有一个临界点，他是不连接的啊。内，我们的玩随着 x 的 增大而减小。好，同样，这边好，总结了，他会经过二十四小一些，然后关于原点对称，同样在每一项线内外，随着 x 的 增大而增大。来，你看 x 在增大， y 是不是也在增大，对不对？这边这边也是一样， x 在增大， y 也在增大啊。 嗯，他的图像呢，其实就是个这啊，但是说他的题呢，就是考的花样还挺多的。那在这里，在这之前呢，老师，比如说举个例子啊，嗯，还有一种题型会用到我，比如说我写一下这个 y 等于 x 分之五，是吧？ s 分之五。然后呢，那我现在呢，给你一个，嗯，一逗号玩一， 负二逗号玩二，以及三逗号玩三，我让你比较玩一玩二玩三的大小。 好，我们这种题呢，有两种方法，第一种直接代入算出完一完二完三。第二种，画图在图上描一下就好了，这个是必须画图的，不像一层，他是单调的那个增减性啊。来，如果是一的时候，比如说这是一啊， 那对应的这个就是歪一。呦，我的妈呀，歪一对吧，然后负二加这个是负二， 那对应的这个值呢，就是我们的玩，再看三三跑这了， 那对的这个值呢，就是我们的 玩三。那么你比较一下，我们是不会发现，玩一大于玩三大于玩二，是不是你带着也可以啊？都行。那么接下来跟老师一起来看几道题目。 嗯，说如果这个利器，如果这个 abc 都在反目的函数，请比较玩一玩二的大小，此时 k 大零。 这个题是不是说 k 大零，但是没有告诉你他的那个 k 是几，但是 k 大零就够了啊，画图去做题，美得很。来试一下， k 大于零的话，图像经过的是一三象限。 好，秒点进行了。负二 零， xy 负二，那 这个是负二，对应的是我们的完结完一。好，还有一个就是负一， 对的是玩是吧？这个是二，对的是 玩三，那你看谁最高是玩三，最高大于玩一大于玩二，这样的话他就搞定了。观看一是同样的题型啊，咱就不说啊。好，继续看。观看二。 呃，反比例函数，我还等于 x 分之六，图像必然经过这个点，那带入吗？来，那我还等于把四带进去。六除四等于二分之三。哎呀，我还等于二分之三。第一个正确， 图像经过一三下线， k 大人经过一三下线正确，然后接下来。是， 哦，接下来是 c 选项， x 小于负一， y 小于负六，这啥意思？ 好， x 小于负一，我们看一看啊。图像经过一三象限，这样子的图像和这样的图像， 这比如说是负一，那我还比如说这时候是负六，是吧？ x 小于负一，那 x 小于负一，那 x 十五越来越往越往后，那我们对应的 y 值是否越来越增大？ 那我还是大于负六小于零的啊。这块错的，我还大于负六小于零，他不能超过零，所以不正确的就是 c 选项， d 选项遮住了，没办法弄啊。好，来，我们继续再看一道题，这道题是很巧妙的道题，我非常的喜欢他啊。 你看，嗯，我们说三个图像画在这，问你，科一科二比科三的大小？来，你自己看一下啊。科一在第二象限，所以我立马判断了，科一小六六， 那科一二科三第一，相信科二大于零，科一三也大于零，那么我知道科一是最小的科二，科三怎么比较呢？这么比较看，学会个套路啊。如果找着这是一， 就我随便，我假设他是瞄一个点啊，来，这是一啊。好，这是一的话，那么比如说这个点呢？我们给他假设一个字啊，一对号减。看着像一对号三吗？对吧？一对号三代替你，你会发现这个 y 等于 x 分之三。 第一个啊，来，再看这个好，比如说这是一都好，这都到五了啊，一都好，五带进去，那我还等于 x 分之五，你会发现越演越大，越远越大啊。所以在这里呢，我们得到的是 k 三大于 k， 二大于 k 一。好，今天就讲到这里啊。

上个视频我讲了啥叫反比例函数，这个视频我来讲讲反比例函数的图像。先看 k 大于零十，以 y 等于 s 分之六为例，当 s 等于一十， y 等于六，除以一得六。 当 s 等于二十， y 等于六除以二得三。用同样的方法，一次将 x 等于三、四、五、六、十的外值求出，在坐标系上将这些点描出来，再用光滑的线将他们连接起来，就得到了函数在 x 大于零时的图像， 他在第一项线，当然， x 还可以小于零，在这些 x 值的前面加个负号，那外的值自然就也得加个负号。把这些点在坐标系上描出来，再用光滑的线连起来，就得到了函数在 x 小于零时的图像，他在第三项线。由此，咱就得到了反比 含数完整的图像。而这两条曲线也有一个专门的名字，就叫做双曲线。不难看出，双曲线是关于二四象线的角平浮线对称的，所以直线 y 等于负， x 就是他的一条对称轴。另外，双曲线还关于另一条直线对称 及一、三向线的角平分线 y 等于 x， 所以反比例海数的图像是有两条对称轴的轴对称图形。事实上，双曲线也是中心对称图形，你如果把他们以原点为中心旋转一百八十度，就会和原来的图形重合，所以原点就是他的对称中心。 看来，反比例函数的图像既是中心对称图形，也是轴对称图形。函数图像的对称性说完了，再说说函数的增减性。不难看出，在第一项线里外随 x 增大而减小，在第三 象线里外也随 x 增大而减小。所以你可以说，在第一象线和第三象线里，函数分别随 x 增大而减小。 如果我把可以变大一点，由六变成十二，用同样的描点连线的方法，就可以得到 y 等于 s 分之十二的函数图像。不难发现，这两条曲线与坐标者的距离要比原来远一些。可见 k 越大时，函数图像与坐标者的距离越远。 现在 k 大于零的情况搞清楚了，接着来看看 k 小于零的情况。以外等于负 s 分之六为例，还是先把 x 等于一、二、三、四、五、六、十的外值求出来，然后上坐标轴秒点连线，发现他在第四项线 在 s 值前面都加个负号，外值自然也得变成原来的相反数。然后上坐标轴秒点连 线，发现他在第二象限。不难看出， y 等于负 x 分之六的函数图像也是有两条对称轴，并且关于原点对称的双曲线，但他是在二四相线，而且在每个象限里， y 随 x 增大而增大。 如果我把负六变成负十二，用同样的方法做出他的函数图像，不难发现这两条曲线与坐标轴的距离要比这两条曲线远一些。 那这时你能说 k 越大，函数图像与坐标者的距离越远吗？显然这么说是不对的，因为负十二比负六小。不过，如果你说 k 的绝对值越大，函数图像与坐标者的距离越远，那就没问题了。现在凡比例函数的图像已经比较清楚了，一起来总结一下。 首先，凡比卡数的图像是双曲线，它既关于两条直线对称，又关于圆点对称，而且 k 的绝对值越大， 函数图像离坐标轴的距离就越远。其次，单 k 大于零时，图像在一、三象限在每个象限里外随 x 增大而减小。单 k 小于零时，函数，图像在二、四象限在每个象限里 y 随 x 增大而增大。好了，内容就讲到这，速速刷题去吧！

上一节课我们学习了反比例函数的定义，现在我们一起来回忆一下反比例函数的定义是什么？首先我随机抽取一名同学啊， 好，请蓝佳伟同学来来回答一下，反比的函数的定义是什么啊？形如啊形如，什么样的诗词呢？ k 不等于零是吧？很好。还有一个问题，他的自变量取值范围是什么？ x 的语言问的理由是什么？ 因为他在灯笼上，所以 x 能不能去啊？同学们，这是他们要自己的限制，但是一般我们如果是带动技术法的话，这个条件是暂时不用写进来的，是吧？很好，请坐好。下一个问题， 上学期我们学习的一次函数，那么大家回忆一下，一次函数的图像是什么？这个一次函数的图像又是什么幸运式呢？ 我们再次随机叫一位同学了好吗？看看这次的幸运能抽到哪位同学啊？有没有什么同学来请大声的告诉大家一次，牌子的图像怎么样？ 一条直线啊，一条直线在这边系上一条直线，然后有没有不同的趋势 啊？分为 k 大于零， k 小于零啊， k 大于零的情况和什么？ k 小于零的情况， k 大于零的时候是什么样的一个图像？ 过一三，过一三上线，而且我们说的正义函数 一定过哪一点？同学，远点，远点，那就是说当黑带动的时候是一三象限是吧？而且过远点我们把他的一个其中一项画出来啊， 是这样吧。嗯，很好。来，那请您要向同学继续来说，当 k 小于列的时候， 你觉得又是什么样的图像呢？向下的趋势啊。向下的趋势怎么说？应该是首先过哪些象限？二四在二四象限同样过哪一点啊？圆点，圆点， 我们把它的趋势放出来，这是 y 等于 k x， 其中 k 小于分成。好，现在我们一起来总结一下，请坐， 图像画出来了，性质就是 ysx 增大而增大，增大了图像多哪些项线一三，而且一定多哪一点？圆点，当 k 小运营的时候，一次啊，这么一点函数 过来，中间二四同时一定要过哪一点啊？圆一点， ok， 非常好。 那下面问题就来了，我们上节课学过反比的函数，然后又知道两个次函数啊，这里的函数图像和性质，我们肯定今天要讨论什么反比的函数的图像和性质。那说到讨论函数的图像， 大家觉得怎么来画一个函数的图像？列列列表描点，点线是什么列表列表描点和什么列线。好，现在请大家看你的学案， 同时结合我们 ipad， 我现在想 画出 y 等于六 bs 和 y 等于负六 bs 分别的图像，但是是在同一个作怪其中画出。好，请同志们看着你的屏幕稍等，我们要讨论一下，在画函数图像的时候，我们需要注意几方面呀， 随机找个同学哈，看看他知不知道。好，后边的同学 啊，在这个图像中 s 能不能为零？不能，那我说了是他的什么，这边的曲范围受限制对吧？还有呢，怎么取点呢？ 最好是取整数。为什么？是便于我们找这些以后画在坐标席上的点是吧？嗯啊，很好，请坐在这里给大 提示，大家在屏幕中也能看到。好，下面请大家找到 x 对的点，你觉得合适的同时只画第一个函数图像 y 等于六 bs， 画完以后请大家拍照上传啊，我们一会来看大家的一个反馈。