九年级上册全部解决问题公式

反比例函数在分析和解决实际问题时有着重要的作用，是煤气公司要在地下修建一个容积为十的四字方立方米的圆柱形煤气储存室。 一、储存式的底面积 s 与其深度地有怎样的函数关系？二、公司决定把储存式的底面积 s 定为五百平方米，施工队施工时应该向地下掘进多深？ 三、当施工队按二中的计划掘进到地下十五米时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为十五米，相应的，储存室的底面积应改为多少？结果保留小数点后两位。 第一小题，我们已经知道，储存室是一个容积为十的四次方立方米的圆柱体，根据圆柱的体积公式，底面积乘高得 s d 等于十的四次方， 所以 s 与 d 的函数关系视为 s 等于 d 分之十的四次方。第二小题由医可知， s 等于 d 分之十的四次方。现在储存式的底面积 s 定为五百平方米， 那么把 s 等于五百带入进去得五百等于 d 分之十的四次方解得 d 等于二十米，施工时应该向地下掘进二十米。第三小题，如果要把储存室的深度改为十五米，同样的 把 d 等于十五带入 s 等于 d 分之十的四次方，即 s 等于十五分之十的四次方，解得 s 约等于六百六十六点六七平方米。当储存室的深度改为十五米时，地面积应改为六百六十六点六七平方米。 最后总结一下，根据实际问题列出反比例函数的关系式，带入题目已知量，就可以求出相对应的另一个量了。同学们以后遇到等级类问题，可以列反比例函数关系式来求解， 怎么样，你都学会了吗？

同学们，大家好，我们来开始学习这个一月二次方程的第二种减法，叫公式法。那这种方法呢，其实我们是通过前面的特殊的配方的这个方法，我们把它转化到一般的形式的配方。 那也就是说，呃，公式法其实可以通过配方法呢来推的得出。好，那这是一点啊。那第二点就是那公式法后面我们掌握了之后啊，因为它呢是一般形式，那就是你的这个字母来表示啊。呃，这个二次项技术，一次项技术长数项。 因此这个公示法后面用到的就非常多，也没有好用啊，所以还需要大家呢去熟练的把它记忆和应用好。那这里我们首先来看，让配方法来推到公示法。好，那前面说啊，这把一元 二次方程啊，画成一般形式啊，一般形式啊。我们进行。第一步是啊，一项，因为我们要开始啊，配方之前啊，你这个长处像是需要我们自己人为来进行一个添加的对吧？那所以啊，你把原来的这个长处像就移到右边去。 好。第二步，因为这里面是一般显示有 abc 的字母，所以我们需要进行一个操作，就是二次向系数画一。 好，也就是说呢，哎，同出 aa 对吧？啊，同出 aa， 那我们就得到了这个 a 除以 a 是一啊， b 除以 a 是 a 分之 b。 然后这个 c 啊，这边是负 c 啊，因为它是一到右边去了，那就是负的 a 分之 c。 好，这个样，我们开始配方，我们知道配方你的长数项是这个依次项系数啊，除以二 平方啊，除以二再平方。所以啊，那他除以二是什么呀？ a 分之 b 啊， b 除以 a， 那除以二， b 除以二 a 啊， b 除以二 a。 括号外面平方。那所以这就得到了 添加了一个新的长寿相。好，那你添加的话，你要当等式成立，等式两边都要添加这个长寿相，所以右边就变成了原来的这个像保留，然后添加了一个长寿相。 好。所以啊，这块大家不要怕麻烦啊，要自己在呃纸上自己写一下。那每一步为什么这么写对吧。啊配方 好。接下来配方之后完全平方的形式啊。那很显然就是把括号内部的这个啊，跟 x 相加，然后他这个平方这样的形式，然后右边右边的部分啊，这个他省略了一下对吧。啊具体的 过程应该是我们先通分啊，通分那你这个把括号拆掉啊。首先我们第一个应该是负的 apc， 然后加上，那这个拆掉括号应该是四 a 方，然后上面是 b 方。那这样的两个是怎么通分呢？ 那很显然第一项的这个分母太简单了对吧？我要画到第二项或者是他们两个的一个最小红倍数啊，那这样的话就是四 a 方，就是他们那个同分母。那我这里要成立，上面就要成一个四 a 对吧？要分都分不同乘以四 a。 那因此啊，就换成这种形式了。 好，这一步也算同样不要怕麻烦，自己来写一下啊。知道这个过程好，我们得到了下面这个数字其实就比较简单了啊，因为这样的完全平方是我们来解的话，直接按这个平方根的意义就可 可以对吧？那首先你要判定这个等式的右边啊，他到底是跟零是什么关系啊？同样的道理，我们前面配方法的结法是一样的，我们就要讨论研究讨论啊。第一个前提是 a， 他是不等于零的， 那这是为什么？可以同出一个原因。那所以啊，那分母大于零，那上面这个狮子就决定了整个狮子的与林的关系， 那就分子就决定了整个柿子的与零的关系。那分子的关系就是他大于零啊，他可以大于零，他可以小于零。好分类来讨论 啊。这也是一个特点啊。就是我们在用特殊的方法来解决一般问题的时候，都会遇到形式比较复杂。那因此呢，大家是需要熟悉这个形式， 不要怕麻烦，一步一步的斜啊，那就是臂方减四 ac 大于零，这个时候他大于零，这很显然的。那油上面这个狮子 你就可以解读啊，把框框去掉是吧，平方的利益啊，他跟正负，然后四分母的部分啊，四 a 方，那就是开根号二 a， 但是上面呢，上面你就只能把根号老老实实写上 啊，因为没法花钱好，所以得到这样的一个形式啊。这个形式大家要记牢啊，能会写会用好。方程有两个不等的是树根 啊，那上面这个形式就写成 x 一和 x 二，分别等于什么形式好，等于他等于他啊。那这两个注意啊，那你是把这一项 移到了方程的右边对吧，等上六遍，然后分母都是二 a， 所以啊，就分子挪上来，那复辟那都是没没错啊，这两个都是复辟，那这个 x e， x 二区别就在于这个是那个正的加的那个部分，这个是那个负的啊，负好，那个部分 好，这就是非常常用的。那我们得到两个根的形式对吧？然后如果说那 b 方减 cc 的这种部分啊，他等于零， 分子为零，分母不为零啊，整个狮子是零。那很显然啊，两个相等的十根， x 一等于 x 二。好，那这个关键地方，根号里边是零了，那根号零等于零，所以加零减零都一样的。 我就只有这个负的二一好。第三个，那如果他小于零的话，那很显然啊，我们的逻辑是分子小于零，分母大于零，所以整个狮子小于零。 好，他完全配方是小雨林。没有根好。就是因为有三种讨论形式，然后这个式子我们就给他一般化了啊。比方减四 ac 是一元二次方程的判别，是根的判别。是 啊，然后简化一下一个三角符号，那表示他就是说叫带着他，带着他等于比平方减四 s。 得好。讨论的这个结果一二三对吧。大家自己会 写到这个本子上啊。熟悉之后啊，啊是一定要常用的。好。这是大于零，两个不等的十根，但是它等于零呢？是相等的十根，但是它小于零，无十分。 那这是判别师的部分，怎么来的啊？一步一步推倒出来配方吗？推到共识吧。好，接下来啊，那有了这个带着他的部分，那我们呀把它作为我们的先决条件 啊。你无十根的情况就不讨论啊。然后有十根呢，大于等于零，那十根呀，都是下面的形式 啊，就是加减零的部分。我也归到了啊，这个统一的形式里面。就复辟加减根号上。比方减四 a， 除以二 a， 那二 a 分之 复辟嫁接开放价。 b 平方减四 a c。 好，这个狮子虽然麻烦，但是这是他的求分公式，公式法的公式二字就出来，以后我们应用的时候就直接拿来用。 好一元二次方程啊，一般形式 a x 方加 bx 加 c 等于零， a 不等于零的情况下啊，就直接套用这个求婚公式，那这种方法就叫公式法好。接下来的一些例子啊，直接套的时候啊，我们第一个要把系数标出来 啊，给你一个方程，那这个方程啊， a 是什么啊？ b 是什么， c 是什么啊？标出来。这样的话，我写这个盘背式的时候不容易出错啊，对着写啊，负四，负四的平方对吧，减四倍的一乘以负七，最 后得到了大于零的情况呢，就自然而然的有两个不等的实属根。那不等的实属根啊，这个写法啊，要注意啊，就是我首先呢是把它写在一起，求关公式啊，通起在一起， 然后再拆成 x 一等于什么啊， s 一等于那个加号的部分啊， x 二等于那个减法那个，那就那个负号的部分。 好，这样以此类推啊。哎，第二题也是啊，这样的顺序啊，大家熟悉之后呢，就知道先把 abc 写出来啊， 然后把第二档写出来啊，判别一下他是大于零还是等于零还是小于零啊，然后知道这个根的一个特征。好，然后接着好。那 这样子啊，就说我们回到一开始的那个问题中啊，雕像那个方程，咱们不是得到了一个式子吗？啊，那这个式子用公式法解应该是 a 等于什么东西？ a 等于一，然后 b 呢，哎，等于二，然后 c， 哎，等于负四 啊。所以啊，给他把第二大解出来啊，然后啊，第二大是多少啊，第二大在里面啊，二十平方建四位的一乘以负四对吧。啊，然后等于是一个二十二十带领 好，最后公式法第三个写到里面，然后 x、 e、 f 分拆开来写 好，那最后得到两个数啊，我们可以约等一下，因为这个是硬铁，所以我们可以约等一下啊，实际问题去满足实际意义的啊，你富的 在我们市的项目高度没有负担啊，所以就只有这个一点四。好，这是下面的一些练习啊。啊，基本上都是按这个公示法的这个套路啊，一步一步来写，有的你要把这个同类项目给合并，有的呢，你要把括号给拆开 啊，总之你要换成 ax 双加， bs 加 c 的形式啊。大家自己做一些练习。本节课就上到这里，再见同学们。好，我们来学习。嗯，二十一点二点三啊，英式分解法解这个一月二次方程啊。我们还有第三种方法。 嗯，就是抛开啊，配分法和公式法之外，我们的第三种方法叫因式分解法。那咱们之前是学过因式分解的啊，所以在这里我们要呃要理解啊，就是为什么要有这种方法啊，就是因式分解，就是多项式啊，你看有个多项式啊，我们都可以换成是这个整式和整式的这个乘机的形式。 所以呢，你比如说这个 x 啊， x 方减二 x， 那这个呀，你就可以画成是 x 和 x 减二，那这最简单的形式就是 x 提出来一个对吧，然后那这两部分就是两个整式的成绩，然后就是原来那个都像是 因此啊，我们这种方法呢，就以此命名啊，叫因式分解法。因式分解啊，呃，的技术啊，用到了我们这种方法里面啊。呃，遇到一些特殊问题的时候，他要比公示法啊，快得多啊。所以啊，我们重点来介绍一下他。好，在这里呢，我们先来看一个呃，问题，就是说索要去建立这个呢，叫一元二次号称对吧？ 啊，是一个物理题。那么这个物理题来说是，呃，有这样的一个公式啊，就是我这个物体啊，从这个地面，嗯，然后以一个速度竖直上抛我这个物体啊，经过啊，多少秒？ 那这是 x， 然后他离地面的高度有一个公式啊，这边是属于这个变速运动对吧？啊。呃，其实呢，我们在高中才会接触到啊，他这里直接给到这个公式，但我们看一下，这个公式，是不是就是一个多小时啊，有这个一次项技术啊，有二次项技术啊，就是两个项啊，一次项，二次项， 那这样的一个式子，那他是高度啊，这是高度啊，所以说我们可以啊。其实你可以说这是，这是 h 啊，距离地面的。但是这个问题啊，现实这个问题要解决的一个手事呢，就是多少秒呢？他落回到这个地面啊，落回啊，这个 h 是什么意思啊？距离地面的话，那这里就是 h 等于零的时候。 好，所以问题就转化了啊，刚才只是个动向式啊，那现在有一个等号，然后有一个零了啊，就变成一个方程啊，这这点要理解啊，就是多项式，然后方程区别啊，怎么样 变成一方程好。然后呢，你求多少秒呢？就是截这个 x， 所以很自然的。但其实我们这个其实可以用英式分解啊，因为这个式子，我们的英式分解的这个技巧就用的上啊，把 s 踢出来是吧，就可以 啊。当然啊，呃，配方法公示法并不是不能用啊。一是分解啊，在这里面一个是啊，提高效率，另一个就是起了一个补充作用。好，然后啊，风乘一的这个右边是零，左边这个分解呢，把 x 踢出来啊，踢出来以后啊，里面是十减四点九 x。 好，这是两个依次因式的成绩。好，那我们快速读一下这块啊，就是能理解这个事情，知道怎么样来做啊。那那这个原理是什么呢？就是这个你两个因式的成绩等于零。那你说这是怎么解呢？就是这两个 是要么他等于零，要么他等于零，或者他俩都等于零，对吧。那就是这样的一个情况啊。所以说我们解的时候也是一个就是呃，要么什么对吧？或者是啊，下边后边这个狮子怎么样，他等于零， 那两个姐就出来了啊，迎刃而解啊。就是这个 s， e， d 等于零，然后 s。 好，那这里面为什么不用和了呢？啊，就因为我们已经把这个解分开了啊，这两个都是解。那所以啊，你就不用再去说这里这两个条件那怎么怎么样了，就和怎么样条件啊。这是直接把这个 x 列出来。 好，那这就是一种啊。那当然了，我们通过通过这个来说啊。其实你可以判断一下这个物理的一个现象，就是什么叫做零秒回到桌面啊，那说明就没抛啊，没抛嘛，所以肯定在桌面，然后那二点零四秒 就是大家都已经抛了，抛了两秒多，然后就这这个两秒多已经这个过程就已经回来了啊。所以这就是最终我们列这个一二次方程，然后解出来的一个物理含义啊。 好，那这里面是这个相册和一直分解啊。那用这个书面的语言呢来看这段话啊，无非就是说那刚才那个柿子，我不用这个开屏方来讲次， 开平方是一种降次的方法啊。但是我们在这降次的方法呢？是呃，就化成两个一字一式，然后相乘吗？ 当然这个前提条件是我给画出来跟右边是零，那这个好结，那右右边是不是零了，那就不不好结了啊。所以啊，一是分解要求的就是那这一点就是降次的方法，用了一种新方法，一次是的两个成绩啊，然后降次的这个必要条件就是 他在等一个零，那这叫饮食分解。所以这句话的逻辑大家要要能理清楚啊。就不是说光呃记住一些形式啊，记住就提醒完了都不行，就因什么得，为什么要用的，那他有哪些好处 啊？就是在这个地方就体现了一些数学的思想对吧？啊，降次的思想啊，其实就是花，就是把难的降到简单啊，你就想尽办法去做这个事情就好了。 好，然后具体的练习啊。其实这里面就涉及到就是我们呢，如果能够提供应试的啊，就直接啊，就是我们这个呃，眼光比较好，一看有供应室提出来，提出来就提出来啊。所以这种就比较简单。 然后然后再接的话，就是按照这个步骤啊，你说这点得什么，然后得啊，得的这些，这些要写啊，或字要写，然后最后 x 一 x 二写一下，第二个稍微麻烦一些啊。等十两个月他都不是零啊，所以我们一下一下完了，合并同一下 走。那你这个步步骤总是要有的，对吧？那得啊，所以你可以写啊，解啊，解什么解得，或者是解化解得。然后这个部位以后啊，就开始音十分解了啊，音十分解。 苹果商务室啊，得得这个，然后他得零，然后于是得啊，嗯，这个这个又是个得得。然后这是一个条件或另一个条件啊，就两个，一是分别等于零对吧。中间是用货来联系，然后结的时候不用拖了啊。 s e 是什么？ s。 当然这两个例子其实我们完全可以用配方法，也可更可以用共识法啊。这都是这都是这个。呃，没有任何问题的。所以配方呢 啊，就是我来配，完成配方，然后讲词，然后公示法呢，其实是配方法的一个推导啊，他是一般化了对吧？ abc 吗？啊，这种系数 abc 的。那这样呢，公示法其实就是省了那个步骤啊，我们直接背过这个公式啊，套进去。 音视分解呢，就考虑到了。嗯，就是要多一些，灵活一些啊，因为很多的音视分解是需要一些技巧的。我们下一个也会讲一下这个啊，十字相乘啊这一块。所以啊，就整体的啊，这三种方法就各有利弊啊，各有优势。但是核心思路呢，都是二次或一次啊。将词 好，那这里面先练习啊。那个我们只看一个英文的，有第二个说这个小圆。呃，小圆的这个场地啊，半径那小圆。那求什么？求什么？射什么啊，就二啊。那这个呢啊大圆二加五， 他说这个面积面积扩大了一倍，也就说大元面积我们算出来的话是小元面积的一倍啊。小元面积好办，那拍二对方，然后大元面积呢？大元面积是派，然后是二加五的平方。那他呢等于二倍的派，二平方 啊，是这样子的。好，那等式两边这个派其实我可以约掉了对吧？布丁林然后可以通出啊，约掉啊，然后就变成了什么这个二二方这边是二加五啊，平方 这个画脸啊，画脸，然后我们给他呃一项，合并同一项，然后把这个系数啊画到那个最简的形式啊，负一的话画成一对吧。那我们就挪一下是吧。然后这样的话就是八方啊，减去十二 啊，然后接二十五啊。那这个其实公式法 公式法是比较好用的，因为一手写的话要配啊，然后啊，不一定配最短，所以我们这个就公式法啊。然后那你这个是多少啊？等于然后里面是二一二一的话是二啊，然后是后面啊。 b 复辟啊，十，然后加减，然后更换下啊。 b 平方就一百啊，就十个平方减四位啊，减四，然后减乘一，然后呢乘以啊，负的二十五啊，就相当于加啊，四乘二十五啊，一百 啊。这不好啊。那这样的话我得出来是可以化解一下对吧？化解成二倍的十再减啊，这是两百，两百的话我有一百开平方出来， 然后里面是干号十块钱。然后呢，二一二二是吧，或者是就两个姐吗？两个姐那其中有一个那小雨林啊，不行。那所以啊，我们最后求出来这个半径应该是选那个合理的那个。那就加法那个加号那个。所以就是哦，加上我不得干二。这是单位米 啊。让一个题。那我们再来看一个另外一个题啊。嗯，在后边说粗边形。粗边形啊，共有二十条对角线。那他是几边形？ 这个其实我们以前见过啊。嗯，我们这里啊就是说传两下啊。遇到这种问题的时候你一开始不知道怎么弄啊，我就用地推的方法。你比如说找一下规律啊，我从突多边形啊，三角形正方形，然后五边形啊五边形 啊，然后从这边找啊三角形那最表现没有零哎。然后你这个这么两条对吧。然后这个 五条啊这两条这五条好。然后从这边找一个规律啊。然后这是画图方面找另一方面对角线。他要求的是他有什么样的一些联系啊。就是顶点 啊顶点我跟相邻的这两个顶点我是不能够建立这条线关系啊。但是如果我不相邻的我是不是都可以建立啊。 所以啊，你想想我这有 n 遍的啊。 n 啊相邻的不行我自己肯定不行对吧。那这三个排除掉。那就 n s n 减三。这就意味着为什么才有心这是零对吧。那三减三零了都没扁了我怎么连线呢。好，那也就说他这个点他只能跟就排除掉啊。 n 的话就 n 减三的点才能连 好。那一共多少层。那应该是 n 减三那 n 个点啊。乘以 n 减三。你在是不是算重复了。重复了啊。因为你每一个点连完了，连完以后你后面的点要跟他回来连的时候那其实是一根线啊。所以说我最终啊。我是重复了啊。正好重复了。 呃，都重复了一倍。大哥。所以初二。那这就是公式啊。你代替验证一下三零是吧。四四减一，四减三等于一，然后四啊。十二五也是五减三，然后五也是五。好，所以是这么个柿子啊。有这个柿子我们就好办了啊。问的问题是什么？问问题二十。 那我们来剪啊。那你同样的可以先化解，化解完了以后看看。能阴十分解最好就阴十分解了啊。那嗯，那个地方减三。然后这是减四十等于零。 好，那差三啊。五八对吧。那嗯是什么呀？嗯加嗯加五乘以 n 减八等于零。好。因此你这个式子就是呃，两个条件，要么 n 加五等于或 n 减八等于。那嗯，这个是八对吧。这个八。因为这个负不行 啊。复啊，不符合题。那十八呢？十八要重新画讲重新来。那这三六三六的话题弄不出来啊。一说就不行了。那我用公式法行不行？就公式法就算出来这个。哎，不吃这个数也不行啊。所以不存在。十八倒不存在。好， 咱们本节课其实就是熟练的用了一下这个，了解了一下。这个音是分解他在逻辑上啊。为什么有这种方法啊，方便我们更快速解题对吧。哎，要不的话就直接套用工程款就好了啊。然后配方也可以啊。就是这是一种方法。然后他呢核心的点就是 变成了一次饮食的成绩啊。就本来说多小时二次多小时啊。变成一次饮食的成绩。然后等十六个人等你啊。这个靠近啊。好，那本节课呢？就上到这里，再见 同学们大家好，我们来学习第四小节啊，就是这个一元二次方程的根与系数的关系。那这个根与系数关系啊，其实我们是用这个球根公式来推出来的啊，这个呀，嗯，也叫伟大定理啊，伟大定理这四个字 啊，在高中的时候也经常用到啊。然后呢，我们在这就是简单的来熟悉一下那这个方程的一般 形式。 abc 做系数的啊， abx 方加 bx 加 ca 零，那 a 也不等零。求跟公式大家都会写啊。啊，就是已经比较熟悉的情况下。那接下来如果说我们不想求这个跟啊，我们只是想看一下 x 一和 x 二之间的有关系， 那这很显然啊，我们其实是可以啊，利用这个求办公室的一些特点啊来进行处理。 好。比如说我们用这样的形式先从简入范啊，这个形式呢，是因式分解式的 形式。那这种形式有什么特点啊？啊，他的形式就是右边的零啊，左边两个仪式的乘机啊，能化成这种形式的，我们啊，一般就会得到啊。把它拆火号 豆豆你看，记住 x 一加 x 二，它作为了一个一次相的系数的相反数，也就是一次相的系数是负的。 x 一加 x 二，然后二次相系数啊，是一一， 然后 x 一 x 二呢，相当成这个是长竖向。好，那我们把这个逆时向系数啊，我给它变成了 p， 然后长竖向变成 q， 因此就有了。如果说这个方程能变成啊， x 方加在上面， x 方加 px 加 q 点零的形式的话，那两个跟啊，他的和是负 p， 然后两个跟的机呢，是 q。 好，那我们接下来要做的事情就是如果这个 a 啊，他不是一 对吧？ a 他不等于零，也不等于一啊，那既不等于零，也不等于零。那这种啊，那怎么再求这个事情呢？ 那其实啊，你想想，这 a 起到的作用，主要就是在你看分母二，而分子在根号里边啊，在这里。 所以啊，当我们进行一个哎，刚才的不是有个家和吗，我们听一个类比啊，就是这个地方啊，我们家和，那就把他两个带进去。 结果你发现我可以通风化解，因为这个正符号啊，如果你不关心他俩，而是求他俩的合的时候，他两个就消掉了啊。所以这个根号下的这一部分啊，就是根号下的这个，第二下这个部分就去掉了。那外面的部分呢？一通分一化解 形式很简单，副的 a 分之 b 好， x 一 x 二。那他呢，相乘的时候，你你来看啊，这个分母没什么，但是分子的部分呢，因为一正一副，然后其他的相是相同的。那这个 其实就是平方插空式的，我们就可以直接啊，变成都求不出平方来了啊，这是他的平方，前面这一项的平方减后面这一项的平方，那后面这一项，你把这个根号去掉， 好过完把把它一化解啊，那这部分 b 的平方，这部分的平方都削掉了。这个呢，是正的四 ac， 然后约掉一个四 a 等于 a 分之 c。 因此啊，这个方程的两个跟那 x 一 x 二和这个 abc 的这个关系呢，就 就是我们的这个伟大定理。 好，那这个形式大家呢，要会推啊，因为这个秋根功是很啊，就说已经要求大家一定要是记得特别熟练 啊。然后呢，嗯，你你选择一两个跟，然后用这个这个求婚公式呢，进行加可进行这个求击啊，最基本的运算能力啊，大家有。所以呢，选择一个负的 a 分的比，然后另一个是 a， 好，那两边同处也。哎呀，进行化解，其实节奏是一样的对吧？无非啊，就是这个 a 呢，给削掉了 啊。但你 a 的这个作用其实是一样的。所以大家可以去操作的时候自己演算一下。好，这表明什么问题？就是两个跟的和呢，他就 是等于啊，这个一次性系数与二次性系数这个比的相反数。那刚才不是说了吗，那如果是那一 pq 这种形式的话，那其实也就是负的一分之 p。 那其实就是哎，复辟对吧。那根的基呢？根的基啊，是另外一个啊，就是这个长数相比二次相细数的。也就是说呢，应该是呃 q 比上一，那就是等于 q。 所以这就是你就算是把 a 画成是一也是一个道理啊。就在这。 好，那我们的例题啊，一元二次方程的根与细数的关系。求下列方程两个跟 x 一 x 二的合影记。那第一个是我们先写啊，这是 abc 的形式， 或者是一 q 的形式啊。当然同一年写 abc 的形式也很快啊。那还想让这个 a 等于一啊，然后 b 啊，等于服六，然后 c 等于服十五。 好，然后带进去啊。一个是负的 a 分之 b 啊，一个呢，是 a 分之 c， 好，以此类推啊。第二个三七负九啊，第三个五负一。哎，不对，第三个要注意啊。那这个我要画成绳 啊，你要画成是最简洁的二字像写出来啊。那这样的话我们就是这样子，然后减掉五 x， 然后加一等于对吧， 四负一。所以这样的话比较简单啊，四分之五，然后再就是四分之一。好。还有练习题的部分也是如此啊。如果你需要 化成是标准形式啊，一般形式的话，那么就一项合并同一项啊。然后再根据咱们的这个两个公式，就根据习叔的关系的这个公式啊伟大定理。然后带你去求传好本节课的内容啊，就讲到这里啊，再见。

哈喽，同学们大家好，我是栗子老师，一日不见，甚是想念。今天我们来学习弧长和扇形面积。先来看一下本节课的学习目标， 第一，掌握弧长计算公式和扇形面积计算公式。第二，了解了弧长和扇形面积计算公式之后，我们能用公式来解决实际问题。好，我们来看新课讲解。 老师先给大家抛出两个问题，我们来看问题一，半径是 r 的圆，它的周长是多少？ 那根据前面我们小学的时候已经学习过咱们圆的这个周长了，我们圆的周长 c 就等于二派二，这个二就是半径。问题二，下 大图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几，我们知道咱们一整个圆，对吧？他的周长是二排 r， 我们来看第一个，第二个 我们来看把第一个一百八十度的，我们将它进行旋转之后，发现他这个圆心角，一百八十度的圆心角是不刚好对应的这个弧长这边，他是圆周长的二分之一，对吧？那我们来看第二个他这个九十度，对的，这个 弧长是不是圆整个周长的四分之一，是四分之一个半圆，对吧？好，我们来看一下这个，这个是不相当于是九十度的一半？是不是它是四分之一，它是不是就相当于分成了八份是八分之一？那我们来看这个，那这个我们要怎么算呢？我们 类比我们前面的这个，我们来看那圆周长，我们是拿圆心角，我们知道圆的一个圆圆心角是不是三百六十度啊？那我们来看那一百八十度所对的这个圆周角，那这个弧长是不我们拿一百八十度比上三百六十度， 是不相当于是占了整个弧长的二分之一。我们拿圆心角去除以咱们整个圆心角的这个占比，整个圆周的这个圆心角的占比看，占整个圆周长的几分之几，是不就相当于他占了整个圆周长的几分之几啊？ 那我们来看一下，那九十度，是不是拿九十度除以三百六十度，是不是占了占了整个圆周长的四分之一？好，那四十五，拿四十五度除以三百六十度，是不是相当于就占了整个圆周长的八 八分之一？那我们 n 度，那是不是相当于我们拿 n 乘以三百六十除以三百六十度，看看 n 这个度数占了整个圆心角的这个几分之几，是不是相当于占了整个圆周长的这个几分之几？他这个弧长。好，我们把这个来做一个 小节，我们来看圆心角是一百八十度，他占整个周角的三百六十分之一百八，所以他对应的弧长也是圆弧长的三百六十分之一百八。 好，类比圆心角是九十度的时候，他占周角九十，占三百六十度的这么多，对不对？那他对的弧长也占了圆周长的这么多，那依次类推， 四十五度的，我们占整个圆周角的三百六十分之四十五，那圆心角是 n 的时候，那占整个周角的三百六十分之 n， 就相当于他这个圆 圆心角占了整个周角的几分之计，那么它对应的弧长也就占了圆整个周长的几分之计。由此我们来给出我们这个弧长公式， 这个弧长也就是他所对的那一段的弧长到底是多少呢？我们来看一下，他就等于 我们这个啊，圆心，这个圆心角弧长对应的圆心角是 n 度，那 n 他到底占了整个圆周角了这个多少？就拿 n 除以三百六十度，这是他的占比，我们要求的是这一段的弧长，那他占了 角，占了占比了多少？是不是弧也占了整个圆周的弧了多少？所以他是几分之几？我们要看乘上整个圆周是二派尔，所以我们就看约分，经过约分之后，我们把这个二和三百六十度约了之后，上面剩下一，下面剩下一百八， 所以我们的弧长 l 就等于一百八十分之 n 派 r， 这里的 n 就是圆个圆心角的那个度数，圆心角的那个度数，然后这个 r 就是它的半径。 好，我们就得出来了，这个弧长公式 l 就等于一百八十分之 n 派 r。 我们需要注意一个点，就是用弧长公式来计算公式的时候，要注意中，要注意公式中 n 的这个意义， n 表示的是一度圆心角的倍数，因为你不知道这个角是多少度，比如说他是一百八十度，是不是相当于是一百八十个那个一度，对不对？ 他是不带单位的，因为我们经常说就说，嗯，他的圆形角是 n 度，对吧？他已经相当于这带了单位，所以这 n 我们在带数值的时候，我们带数的时候，我们直接带那个数值就可以了， 不用再带这个度数了，他是不带单位的，同学们要注意一下。好，我们这个哭场公式啊，大家要牢记记清楚。我们现在来做一道例题，来看一下 已知弧所对的圆心角是六十度，是不是咱们这个 n 呐？ n 他就等于六十，对吧？半径是 r， 是不是那个 r 就是四，那弧长是多少？那根据我们刚才学的这个弧长计算公式， l 就等于什么呀？一百八十分之 n 派 r， 那现在我们把代进去，那就是一百八十分之 n 是六十，好，乘以派乘以 r r 四，那我们来看一下，进行约分之后，我们来看 一百六十和八十，我们一百八，我们能够相当于是约去六十，还是上面还剩下一，下面还剩下三，那就是三分之四派， 好，所以这个弧长就是三分之四派。我们要把这个公式啊记清楚啊，你在记这个公式的时候不是老死记得，你可以就是借助你那个去推理，对不对？咱们这个弧长是怎么算的呀？ 就是他占了整个圆周的几分之几，是不是相当于先看他的圆心角占了整个周角的几分之几，然后这个占比出来之后，我们再去他拿他去乘以整个这个圆周的这个周长。所以说咱们就把这个弧长的公式咱们就推出来了，我们来看一下咱们与扇形面积相关的计算， 我们先来回顾一下什么叫做扇形，圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的这个图形，我们把它叫做扇形。我们来看好，我们看圆的一条弧，比如说这个弧 a b， 对吧？好，弧 ab 和经过这个弧端点的两条半径，这个弧 b 是它的一个端点， a 是它的一个端点，经过这个两个端点的半径分别是 oa 和 ob 组成的这个图形，我们把它叫做扇形， 这个我们就把叫把它叫做扇形 o a、 b 啊，比如说我们这个黄色的部分是一个扇形，记住扇形 o a、 b， 那假设啊，老师随机画出一个，我们来看一下， 那你看这个它叫做扇形吗？它并不叫做扇形，因为为什么？因为你有了一段弧长之后，你必须要有两个经过这个端点的半径，我们看这一节和这一节没有做连接，所以它不是扇形，再画一个，那同学们 们看这一节是扇形吗？这一节他虽然对吧他有一段弧，但是他这有一段弧是不错，但是我们来看一下，必须是经过这两，这条这条弧两个端点他也经过端点了，但是必须是半径。我们来看一下， 半径是不连接圆心到圆上任意一点的这个距离定，但这个线段啊，他并没有经过这个圆心，所以这两个他并不是半径，所以说这两个他都不 不能称为扇形。好，大家需要注意一下啊，必须是一条弧和经过这条弧端点的两个半径啊，必须要和这个 o 有连接，对不对？半径好，所围成的这个图形，咱把它叫做扇形。那我们来看一下 半径为 r 的圆，我们来记，我们来想一下它的面积是多少？我们之前学过圆的面积公式， s 就等于派 r 的 平方。好，那我们来看下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几呢？具体又是多少呢？我们来看一看， 我们来看第一个圆心角占周角的这个比例，我们看一百八十度，他占圆周角是不相当于是一百八比上三百六十度，对吧？那我们类比一下刚才我们学习的弧长，那圆心角占了周角的几分之几，我们拿 这个占比去乘以那个整个的周长，是不就算出来那个弧长。哎，那我们今天是不是可以相当于圆心角占了整个周角的几分之几？好，那我们来看一下圆心角占了周角的这么多，那我们看扇形面积占了圆面积的是不是也是这么多呀？因为你看 圆心角都占了一半了，那你扇形这个面积是不是也占了圆面积的一半了？所以说我们圆心角占周角的占比，就跟我们扇形面积占圆面积的比例，它是一样的。 那我们来看，那我们整整个扇形面积占了圆面积的这么多，我们想要求这个圆的面积，是不是拿这个比例乘以咱们这个圆整个的这个周长？ 好，我们来看一下他的占比是一百八除以三百六是不二分之一啊？然后我们来看一下那扇形的面积是不是二分之一个这整个圆周的面积啊？这是派，这是派二分之一派尔的平方，我们就把这个扇形的面积算出来了，那我们接着往下看。 好，我们来看一下这个他圆心角占周角的比例是九十，比上三百六，那是不是也等于咱们单 形这个面积是不是也占了圆的这个面积的四分之一，对吧？也是三百六十度，分之九十，那扇形的面积是不是四分之一占了它的占比，对吧？四分之一，那是不是相当于是四分之一胎儿的平方？ 好，那我们接着往下看，四十五度，对吧？那四十五度，我们先看那四十五比上三百六十度，扇形的占比跟他是一样的，那相当于是我们是占了他的八分之一，那扇形的这一点的面积就是八分之一配 r 的平方，因为你 后面是整个圆的周长，你占了他的几分之几，我们就写几分之几分，几分之几派 r 的平方。 好。最后一个，那 n 那是不类比，我们 n 除以三百六十度，那扇形的面积也占了圆的三百六十度，那我们就是拿它的占比 去乘上整个圆周的这个面积，派儿的平方，所以扇形的面积就是 n 除以三百六十乘上派儿的平方，也就是我们把三百六十放在下面，就是相当于是分母，那分子上面就是派儿的平方。 好，这是我们圆面积的计算公式，我们来做一下总结。半径为 r 的圆中圆心角为 n 度的扇形面积，我们来看一下， 就等于三百六十分之 n 派 r 的平方，这个前面这一部分就相当于是那个圆心角 占整个周点的这个占比，然后再乘上整个圆的这个面积，看看扇形的面积占了圆的这面积的几分之几，一乘，我们就把扇形的面积计算出来了。好，我们需要注意，公式中 n 的 e 跟刚才咱们计算这个弧长他是一样的，他表示的是一度圆心角的倍数。不带单位啊，我们带带的时候这个 n 他是一个数值，不用带单位。公式啊，要理解记忆还是跟老师刚才说的啊，我们要按照推导的这个过程去记忆他是怎么推导出来的。圆心角占了 圆周角的几分之几，那就相当于是占了整个圆面积的几分之几，对吧？扇形面积占了整个圆面积的几分之几，我们拿圆形角比上三百六十度去乘以那个圆的面，整个面积就可以了。 好，我们来类比学习。扇形的弧长公式和面积公式，他们之间有联系吗？我们来看一下，扇形的弧长是 l 等于一百八十分之 n p r， 那扇形的面积公式是三百六十分之 n p r 的平方，那大 r 跟高 刚才咱们写的那个小啊，都是一样的啊，就是你只是用来表示咱们这个扇形他的这个半径，或者是圆的这个半径。 那我们来看一下，我把这个扇形的面积公式去做一个变换，下面分子，下面分母这三百六十，我给他写成什么呢？写成一百八十乘以二， 不改变它的大小，对吧？上面这个 n 派 r 的平方，我把这个 r 给它拆成两部分，拆成 nprr， 再乘以 r， 把这个 r 的平方拆成两部分，那整个式子就变成了前面的 一百八十分之 n 派 r， 乘以后面的二分之 r， 所以这个啊，并没有改变它的大小。你乘起来之后，下面还是三百六十分之 n 派 r 的平方，那我们看， 我现在把中间的 n 派 r， 我把它挪出来好，因为二分之 r 它其实就相当于是二分之一乘上 r。 好，所以我把这个二分之 r 二分之一挪到前头，把一百八十分之 n 派 r 挪到中间，把 r 放在最后头。那 刚才咱们这个一百八十分之 n p r 就是等于咱们这个 l， 所以把中间这个 n p r， 我们给它换成 l， 扇形的面积公式跟弧长的面积公式就有了关联， s 就等于二分之一 l r。 好，扇形的面积啊，就等于二分之一 l r， 这个 l 就是我们的弧长。假设下次有道题直接告诉你这个弧长，让你计算这个扇形的面积，我们直接可以代代数值，我们就可以把它算出来了。好，这是他的一个推导过程啊。那我们来看列， 已知扇形的圆心角为一百二十度，半径为 r， 那问扇形的面积是多少？那刚才啊，我们学了那个扇形的计算公式啊，我们一定要熟练啊，那是三百六十分之 n 派 r 的平方，我们现在把 该带的带进去。三百六十分之 n， 现在相当于是一百，这个 n 就相当于是 nn 度，对不对？ n 就是一百二十，我们不用带单位。好，乘以派，再乘以 r 的平方，我们来看一下， r 是二，他的平方是四。 好，那我们来将它进行约分，一百二和三百六，我们可以约一个一百二，他剩下一，他剩下三，所以他的扇形面积是三分之四派。好，就算出来了。如果他这半天带了单位，你这后面也要记得要带单位啊，因为他这没有 在单位，所以老师也没有在单位，我们就牢牢把握住咱们这个扇形的面积计算公式就可以了。好，我们看例三，已知半径是二厘米的扇形，那就是二等于二。 弧长为三分之四派，那就是 l 等于三分之四派，那问他的面积是多少？刚才我们推到了咱们扇形和弧长之间的扇形面积和弧长之间的一个关联， s 就等于二分之一 l r， 那我们就把 l 和 r 分别带进去，二分之一乘以三分之四派，再乘以咱们的二。好，那我们得出来，咱们的扇形就是三分之四派，但前面咱们是有单位的，所以是三分之四派。 cm 的平方是我们扇形的面积。 好，咱们还是就牢牢把握住这个公式，以及他的推导过程是怎么得来的，然后会利用咱们这个公式去 进行计算就可以了。我们来做一个小节，咱们本节课主要学习了无常的计算公式， l 等于一百八十分之 npr， 我们不要应用这个公式来进行计算。 扇形的面积公式 s， 扇形等于三百六十分之 n p， r 的平方。好，这里跟咱们这个弧长做一个区分啊，这里的面积它是一个平方，对吧？ n 同样是那个圆形角的度数， r 就是我们的半径。 好，第三个弧长， l 和面积 s 之间的关系， s 扇形就等于二分之一 l r， 并能以知一方求另一方。比如说我们知道了弧长，我们去求善行，但是我们如果知道了善行，我们去求这个弧长。反推，正推啊，我们都要能求出来，以知一方，求另一方。那咱们今天的课程就上到这里，同学们记得来评论区完成老师的作业，我们下节课见。

各位同学大家好，今天这节课由我和大家一起来学习解一元二次方程。第二课时公式法， 下面我们来看一下本节学习目标， 一、会用公式法解一元二次方程，理解用根的判别式判别根的情况。 二、经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，培养运算能力，进一步体会分类讨论的数学思想方法。 带着学习目标，我们一起来进入今天的学习吧。通过前面的学习， 我们知道，对于形如 x 平方等于 p 和形如 x 加 n 和的平方等于 p 的方程，借助平方根的意义可以求得他们的解。 在解的过程中需要注意对 p 进行分类讨论。当 p 大于零时，这两个方程均有两个不相等的实数根。 当 p 等于零时，这两个方程均有两个相等的时数根。 当 p 小于零时，两个方程无实数根。对于形如 a， x 方加 b， x 加 c 等于零的数字性 数的一元二次方程，又该如何使用配方法求解呢？我们先把数字系数的一元二次方程配方得 x 加 n 和的平方等于 p 的形式， 然后直接降四，求出这个方程的解。通过配方程完全平方的形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。 那么配方法的基本步骤又是什么呢？我们通过一个具体方程来回顾一下。 用配方法解方程， x 方加二， x 减四等于零。 下面我们逐步来看这个方程的解答过程。解，第一步是一项得 x 平方加二， x 等于四。 第二步是配方在方程两边同时加上依次项系数一半的平方，也就是二的一半，一的平方 得 x 方加二， x 加一等于四加一， 所以 x 加一和的平方等于五，由此可得 x 加一等于正负，根号五。进一步整 求得方程的解为， x 一等于根号五减一， x 二等于负，根号五减一。 我们知道任何一个一元二次方程都可以写成一般形式， a， x 方加 b， x 加 c 等于零。我们能否也用配方法得出它的解呢？ 我们来分析一下。要想求得这个方程的解，结合上节课对配方法的学习，我们要先把一元二次方程 a、 x 方加 b， x 加 c 等于零，配方程 x 加 n 和的平方等于 p 的形式，然后类比这个方 成解的结果，分为三种情况，对一元二次方程 a、 x 方加 b， x 加 c 等于零的解进行分类讨论，请大家按照分析，自己尝试完成 好，下面老师和大家一起来求得这个方程的解。 首先把一元二次方程 a、 x 方加 b， x 加 c 等于零，配方程形如 x 加 n 和的平方等于 p 的形式。 第一步一项得 a， x 方加 b， x 等于负 c。 二十项系数化为一，得 x， 次方加 a 分之 b， x 等于负， a 分之 c。 为了完成配方， 方程两边同时加上依次项系数一半的平方，也就是 a 分之 b 的一半。二 a 分之 b 的平方， 得 x 方加 a 分之 b， x 加二， a 分之 b 的平方等于负， a 分之 c 加二， a 分之 b 的平方， 即 x 加二， a 分之 b 和的平方等于四， a 方分之 b 方减四 a、 c。 这个方程已经满足了 x 加 n 和的平方等于 p 的结构，记为方程一类比解形如方程 x 加 n 和的平方等于 p 时，分为 p 大于零、 p 等于零、 p 小于零三种情况。分类讨论， 大家思考如何来解方程 e。 我们观察这个方程的结构，方程左边是完全平方，形式方程右边是代数是四， a 方分之， b 方减四 a、 c。 因为 a 不等于零，所以分母四 a 方大于零，因此方程一的解的情况由 b 方减 c、 c 决定。显然，我们也要分为三种情况，对 方程一是否有解进行分类讨论。第一种情况，当 b 方减 c， a、 c 大于零时， 方程一右边的值大于零。类比方程 x 加 n 和的平方等于 p 的解法， 方程一两边进行开平方运算，得 x 加二， a 分之， b 等于正负二， a 分之根号下 b 方减 c、 c。 由此可得 方程有两个不相等的实数根，它们是 x 一等于二， a 分之负 b 加根号下 b 方减 c， a、 c、 x 二等于二， a 分之负 b 及 点根号下 b 方减四 a、 c。 第二种情况，当 b 方减四， a、 c 等于零时，方程一右边的值等于零， 由方程一得 x 加二， a 分之 b 和的平方等于零。 类比方程 x 加 n 和的平方等于零。十方程的解为 x 一等于 x， 二等于负 n。 由此可得方程一有两个相等的实数根， x 一等于 x， 二等于负二， a 分之 b。 第三种情况，当 b 方减 c， a、 c 小于零时，方程一右边的 值小于零，由方程一得 x 加二， a 分之 b 和的平方小于零，而 x 取任何时数都不能使 x 加二， a 分之 b 的和的平方小于零，因此方程无实数根 好。由此我们得到用配方法解一元二次方程 a、 x 方加 b， x 加 c 等于零的结果为， 当 b 方减 c， a、 c 大于零时方程的解释， x 一等于二， a 分之负 b 加根号下 b 方减 c， a、 c、 x 二等于二， a 分之负 b 减根号下 b 方减 c， a、 c。 当 b 方减 c， c 等于零时方程的解释， x 一等于 x， 二等于负二， a 分之 b。 当地方减 c， a、 c 小于零时，此一元二次方程无时数根。 在这个分类讨论过程中，我们发现，一元二次方程 a、 x 方加 b， x 加 c 等于零，是否有实数根取决于代数，是 b 方减四、 a、 c 的取值。 一般的式子， b 方减 c， a、 c 叫做一元二次方程根的判别式用希腊字母 dart 表示，即 dart 等于 b 方减 c， a、 c。 那么 dart 的取值与方程解的情况有什么关系呢？ 回忆刚才用配方法解方程的结果， dot 表示，可以归纳成，当 dot 大于零时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 当 dot 等于零时，一元二次方程有两个相等的实数根。 当 dart 小于零时，一元二次方程无时数根。 根据解方程的结果，如果一元二次方程在实数范围内有解，需要满足什么条件呢？ 我们可以发现，当 dot 大于零或 dot 等于零时，一元二次方程在实数范围内有解。 由此可得，当 dart 大于或等于零时，一元二次方程的实数根可写为 x 等于二， a 分之负 b 加减根号下 b 方减 c， a、 c 的形式， 这个式子叫做一元二次方程的求根公式。求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果。 解一个具体的一元二次方程时，把个系数直接带入球钢公式，可以避免配方过程而直接出根。这种解一元二次方程的方法 叫做公式法。如果局限于配方法，解一元二次方程方法比较繁琐。数学史上，数学家们希望用公式来求一元二次方程，这是理性精神的体现。 下面让我们尝试一起用公式法解方程吧！请看例二 第一题， x 平方减四， x 减七等于零。 求根公式是在一元二次方程的一般形式下用配方法推导得到的，因此，在使用公式法解一元二次方程时，该方程必须是一般形式。首先 大家观察一下这个方程，它是一元二次方程的一般形式， 由此直接确定二、四项系数、一、四项系数和长数项的值。解， a 等于一， b 等于负四， c 等于负七。 这里提醒大家在确定 a、 b、 c 的取值时，应注意它的符号。接下来求 der 的值 等于它等于 b 方减四， a、 c 等于负四的平方减四乘一乘负七等于四十四。这里提醒大家注意，代入公式时，如果 a、 b、 c 为负数， 应加括号，避免因去括号而出现的错误。嘚特等于四十四大于零，这时方程有两个不相等的使数根。 把 a、 b、 c 代入求根公式。 x 等于二， a 分之负， b 加减根号下， b 方减四， a、 c 等于二乘一分之负的负四加减根号四十四等于二，加减根号十一， 即 x 一等于二，加根号是一， x 二等于二，减根号是一。 第二题，二 x 方减二倍，根号二， x 加一等于零。 根据第一题的经验，我们先观察这个方程，它是一元二次方程的一般形式，直接确定二次项系数、一次项系数和长数项的值 解， a 等于二， b 等于负二倍跟二， c 等于一。 这个方程的 b 是负数，也是无理数。接下来求 der 的值， der 等于 b 方减 c， c 等于负二倍。根号二的平方减四乘二乘一等于零。 假如它等于零时，方程有两个相等的实数根。利用求根公式计算， x 一等于 x， 二等于负二， a 分之， b 等于二分之根号二 用公式法解一元二次方程属于通法通解，所有形如 a、 x 方加 b， x 加 c 等于零的一元二次方程都可以直接使用公式法求解。有了前面两个立即的经验，我们来看第三题。 第三题，五 x 方减三， x 等于 x 加一。我们先观察这个方程是否是一般形式，不是，需整理。 提醒大家注意，一项变号解方程化为五， x 方减四， x 减一等于零。在一般形式下，直接确定方程各项系数， a 等于五， b 等于负四， c 等于负一。接下来求单，他的值 代入 dert 等于 b 方减四， a、 c 计算得 dert 等于三十六大于零。方程有两个不相等的使数根，把 a、 b、 c 代入求根公式化减， 求得方程的根为 x， 一等于一， x 二等于负五分之一。 例二第四题， x 方 加十七等于八， x 公式法解一元二次方程。首先我们要先观察这个方程是否是一般形式， 明显这个方程不是一般形式，去化为一般形式。解方程化为 x 方减八， x 加十七等于零。 方程化为一般形式后，再确定 a、 b、 c 的值， a 等于一， b 等于负八， c 等于十七、 接下来求 dout 的值，代入 dout 等于 b 方减四， a、 c 计算得 dout 等于负。四。由于 dout 小于零， 方程无实数根。通过立二的学习，相信大家已经会用公式法解一元二次方程了，让我们来回顾一下。 使用公式法解一元二次方程，就是直接用求根公式求解。在用公式法求解的过程中，要经历如下步骤， 一、把一元二次方程化为一般形式，在此过程中要注意一项变号的问题。 二、确定二次相系数一次相系数和长数相的值。这里提醒大家注意确定 a、 b、 c 的取值应注意它的符号。三、 判断 dart 等于 b 方减 c， a、 c 的曲值。四、求解提醒大家注意 dart 的曲值不同，解的结果不同。 相信通过刚才的例题的解答，大家已经掌握了公式法解方程，下面让我们来试一试吧！请大家独立完成三道练习，稍后和老师对招。 一、 x 平方加二倍，根号五， x 加十等于零。这个方程是一元二次方程，一般形式，确定 a、 b、 c 的值解， a 等于一， b 等于二倍，根号五， c 等于十。然后求 dert 的值，带入 dert 等于 b 方减 c， a、 c 计算得 dert 等于负二十小于零。由于 dert 小于零，方程无实数根。 第二题， x 乘以 x 减四等于二减八 x。 首先要先把这个方程化为一般形式，解方程化为 x 平方加四， x 减二等于零， a 等于一， b 等于四， c 等于负二， 代入 dart 等于 b 方减四， a、 c 计算得 dart 等于 二十四大于零。方程有两个不相等的使数根把 a、 b、 c 带入求根，公式 化减得 x 一等于负二，加根号六， x 二等于负二，减根号六。 第三题三、 x 方减十，二， x 等于负十。二 解方程化为 x 平方减四， x 加四等于零， a 等于一， b 等于负四， c 等于四。代入 dert 等于 b 方减四， a、 c 计算得 dart 等于零， dart 等于零。时方程有两个相等的实数根， x 一等于 x， 二等于负二， a 分之， b 等于二。 大家这三道练习题都做对了吗？下面让我们尝试着用公式法去解决一个实际问题，大家请看， 这是本章的彰显引力的雕像问题，大家还记得吗？ 在本章的第一节，我们设下部长为 x 米，列出方程并化减得 x 方加二， x 减四等于零。大家对这个方程还熟悉， 没错，这就是这节课我们复习配方法解二次项系数唯一的一元二次方程时所选用的方程。下面我们用今天所学的公式法解这个方程，并完成张潜引力的解答。 先观察这个方程是一元二次方程的一般形式， a 等于一， b 等于二， c 等于负四， 代入 dot 计算得二十大于零。 把 a、 b、 c 带入求根，公式， x 等于二， a 分之负， b 加减根号下 b 方减四， a、 c 化减求 求得方程的根为 x 一等于根号五减一， x 二等于负，根号五减一。 现在我们完成了解方程的基本步骤，作为实际问题，我们还要讨论解的合理性。 我们观察方程的结结果要求保留小数点后两位代入根号五的近四值，二点二、三六， x 一等于根号五减一约等于一点二四， x 二等于负根号五，减一约等于负三点二四。 用方程解决实际问题，两个结果要考虑其合理性，只能 能保留大于零的结果。这两个根中只有 x 约等于一点二四，符合问题的实际意义。因此雕像下部高度应设计约为一点二四米。 同学们通过例题和练习题，相信大家都已经学会了用公式法解 e、 r、 s 方程了，下面让我们来回顾一下这节课所学内容吧。 一、什么是公式法？用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ 解一个具体的一元二次方程时，把个系数直接带入求根公式，可以避免配方过程而直接出根。这种解一元二次 方程的方法叫做公式法。那么公式法解一元二次方程的步骤是什么呢？ 把一元二次方程化为一般形式，在此过程中要注意一项变号的问题， 确定二次项系数、一次项系数和长数项的值。这里提醒大家注意确定 a、 b、 c 的取值，应注意它的符号 判断。 door 的取值求解，提醒大家注意 door 的取值不同，解的结果不同。现在我们掌握了用公式法解一元 二次方程，它与上节课的配方法区别与联系是什么呢？ 这节课我们从特殊到一般，用配方法解一元二次方程的一般形式， a、 x 方加 b， x 加 c 等于零。 我们先把一般形式配方，得到方程， x 加二， a 分之 b 和的平方等于四， a 方分之 b 方减 c、 c 再降次求出这个方程的结。 而使用公式法是在一元二次方程一般形式下，直接 把 a、 b、 c 的值带入求根公式求解。显然配方法是推导一元二次方程求根公式的工具，而掌握了求根公式，可以直接用公式法求一元二次方程的根。 这个过程体现了从简单的特殊的问题出发，通过逐步推导而获得复杂的一般的问题，进而获得这一类问题的解，这是具有普遍性的数学思想方法。 现在我们完成了用公式法解一元二次方程的学习，相信大家都掌握了，现在对学习内容进行目标检测，并对照答案进行冰正。 本节课的学习到此全部结束，很高兴与大家一起学习了用公式法解一元二次方程，希望大家有所收获，同学们再见！

哈喽，同学们好，今天我们继续来学习咱们一元二次方程的第三个方法叫做公式法啊，前面呢我们学了配方法里边的第一个直接开方法，以及我们的由直接开方法引入的一个配方法， 今天呢我们继续来学习他的一个什么万能法法，也称之为他的一个公式法啊，那么我们来看一下本节课的重点啊，重点呢就是要这个什么，你知道我用会用公式法呢去解咱们的一元二次方程， 那么我们来首先回顾一下，那么之前的话去用这个配方法解一元二次方程，咱们的步骤第一步是什么来着？第一步我们说移项，是不是？哎，移完项以后呢，给他的二次项系数化为一啊，二次项系数化为一之后呢，我们 接下来就要给他配方，那么配方的时候呢，我们注意配的是一次项系数一半的平方，方程的左边和右边都要去加上这个东西啊，配完以后呢，我们去给他开方啊，开完方以后呢去解方程， 开方的目的呢就是达到一个降次，我们给他降成两个一元一次方程，然后呢去解出这两个一元一次方程啊，最后呢我们去写出方程的一个，那所以这是我们上一节课我们讲的配方法 啊，那么我们来看一个题啊，那么这个题呢，我们用我们上一节课讲的配方法来去给他解一下，大家来看一下，那么用配方法来解的话，我们第一步就要干什么呀？是不是需要给他进行一个移项呀？是不是？哎，我们写 解啊，那么第一步移了项以后会有四 x 平方减六 x 是不是等于三？然后第二步我们说二次项系数化为一，两边同时除以四 啊， x 方减去二分之三， x 是不是就等于四分之三呀？当然这个六除以四，我们要给它约分一下，约成二分之三啊。那么接下来的话，我们要在这个什么方程的两边同时加上依次项系数一半的平方， 那么负的二分之三的一半是这个什么负的四分之三，所以它的平方呢，就是十六分之九，对不对？哎，右边呢，我们也给它加上一个什么十六分之九啊，那么左边你看， x 方减二分之三， x 加上十六分之九，咱们是不是就可以写成 x 减去四分之三的一个平方了呀？十六分之九就相当于四分之三的平方呗。啊？右边我们通了风以后啊，这个什么十六分之二十一吧，你看这个 四分之三的话，通了分以后是十六分之九吧，哎，不对，十六分之十二吧，是不是分子和分母同时乘以一个四啊？十二加九就是这个二十一 啊。然后呢，我们给它开方，那就会得到 x 减去四分之三呢，就等于正负四分之根号下二十一， 这样的话，得到 x 一呢，就是四分之根号二十一，加上四分之三，是不是啊？ x 二呢，就是负的四分之根号二十一，再加上四分之三。然后我们就利用 上节课讲过的这个配方法呢，去把这个方程给他解出来啊，那咱们来看一下他的这个什么，呃，完整的一个解题步骤啊，何老师刚刚说的基本上是一样啊，第一步呢，需要一项， 然后二次项系数化为一，紧接着我们给他进行一个什么配方，最后呢去解出来他的一个什么解 啊？解出来他的一个解啊，那么我们来看一下，那么今天呢，我们继续来用我们之前的一个配方，大家来看一下，那么我们的一般是 ax 方加 bx 加 c 等于零 啊，这是一个方程一元二次方程的一个什么？一般是，那么我们能否也给他进行一个配方呢？那么首先第一步呢，我们就可以给他进行一个一项一个项以后就会得到什么 a x 方加 b x 是不是就会等于负 c 呀？是不是 a。 第一步一项，然后第二步二十项系数化为一方程，两边同时除以 a， 左边除以 a 就是 x 方加上什么 a 分之 bx 是不是就等于负的 a 分之 c 呀？ 不对哎，我们给他移项，移完项以后要配方配多少？配 a 分之 b 的一半的平方，是不是 他的一半是多少？是不是二亿分之 b 呀？所以呢，左边加一个二亿分之 b 的平方，右边呢也给他加上一个什么二亿分之 b 的一个平方， 是不是啊？哎，这就达到一个配方的一个目的了。那配完分以后呢，写成完全批方式的一个形式，那么左边 天我们写出来就是 x 加上二 a 分之 b 括住的一个平方，左边写出来是不他呀？那么右边我们来给他通分一下，负的 a 分之 c 加上四 a 方分之 b 方， 通风以后就是负的四 a 方分值，这个是 c c 加上四 a 方分值 b 方，那么合并了以后，他是不是就是四 a 方分值，哎，我把这个 b 方写在前面，是不是负的 c c 加 b 方，也就是说 b 方减 c c 呀， 对不对？哎，那老师写完以后呢？哎，他就变成这个样子了啊，变成这个样子，那么变成这个样子之后呢，我们紧接着啊，继续来看一下，哎，那我接下来是不是要给这个方程进行一个开方呀？ 是不是啊？哎，开方的时候呢，那我们说我们给到的方程数字的话，我们直接能够看到，哎，等号右边这个数，他是正数还是负数， 是不是？哎，他是正数还是负数啊？那么在这个地方啊，如果说是一个什么通用的方程啊，那么在这里我们知道四的一方啊，我写到这里 四 a 方，它是不是一个恒大？因为我们这里已经强调 a 不为零了，是不是？所以说这个东西是不是一个恒大于零的数呀？ 对不对？ a， c 方是恒大于零的数，所以这个时候我们是不是就得开，就得考虑 b 方减 c c 的一个符号呀？是不是啊？ a 就得考虑他的一个符号，如果说 b 方减 c， c 大于零了，那我后面这个式子是不是就大于零的？那就有两 两个不相等的实数根，是不是？如果说 b 方减 c， c 等于零，那分子等于零，整个右边都为零了，那说明这个方程是有两个相等的实数根啊，那如果说 b 方减 c， c 小于零呢？那说明这个方程是没有解的， 对不对？所以咱们写到这一步，我们来往后看哈，所以说我们在这里呢，那我们就会得到 a， 那写到这一步，我们开方的时候呀，就得考虑符号问题了， 是不是啊？哎，咱们就得考虑符号问题了啊，那么考虑符号问题就是要考虑这个什么 b 方减四 ac 的符号， 是不是啊？哎，咱们就得考虑这个什么 b 方减 c， c 的符号，所以我们来看一下啊， b 方减 c， c 的符号啊，把第一页放到这啊， b 方减 c， c 的符， 我们怎么来考虑呢？当 b 方减 c， c 大于零的时候，大家来看一下。那么当他大于零的时候，哎，那我们说这个什么方程是有两个不相等的实数根的，是不是啊？哎，那么我们刚刚写到这一步， 是不是啊？哎，刚刚是不是写到这一步了？然后我们就需要给他进行开方，是不是？那么说明 x 加上二 a 分之 b 就等于什么 正负，他根号是不是根号下四 a 方分之 b 方减 c， c， 是不是他呀？ 那么这样我们分母给它开出来以后，就是正负二 a 分之根号下 b 方减四 a c 啊，那么这样我得到 x e 呢，就是这个 什么二 a 分值，这个什么复 b 加上二 a 分值，根号下 b 方减 c c 八， 知不知道？哎，也就是说 a 二 a 分之负 b 加上根号下 b 方减 c， c， 那么对应的 x 二呢？是不是就是二 a 分值负 b 减去根号下 b 方减 c， c 呀？ 对不对？哎，我们就求出来了，哎，求出来。那么如果说，哎，我们继续来往后看啊，当这个什么 b 方减 c， c， 他怎么样呢？ 哎，当这个 b 方减 c， c， 我就擦了啊，上面都有，我只不过给大家描述了一下过程啊。那么如果说当 b 方减 c， c 等于零的时候，哎，那么大家看一下，我们刚刚是不是写的这一步呀， 是不是分子为零，整个等号右边就为零了，那么也就是说这个方程呀，他就会变成 x 加上二分二分之 b 的平方是不是为零？那我们说等于零的话，那说明 x 加上二 a 分之 b 是不是就等于零 啊？那这样 x 一等于 x 二是不是就等于负的二 a 分之 b 啊，它就变成负的二 a 分之 b 了。所以说，如果说当这个 b 方减 c， c 等于零的时候呢？方程有两个相等的实数根，叫什么负了二 a 分之 b 啊？当然还有一种情况，就当它的分子 b 方减 c， c 小于零的时候呢，那我们说这个方程哎，它是小于零，无法开根的，也就是说无解的。那所以我们对于我们的 a a x 方加 b， x 加 c 等于 a 不等于，也就是说任意一个一元二次方程，那咱们是不是都可以用这种方法来求解呀？ 大家看看，也就是说我们第一步要想判断他有没有根，得看看谁的符号呀？是不是得看看 b 方减 c， c 的符号呀？ 是不是啊？所以说啊，我们第一步得求一求这个 b 方减 c c， 你说给了你一个方程以后，我以后就可以直接不用给他配了，我先看一看他有没有解是不是？我先去求一求 b 方减 c c， 如果说 b 方减 c， c 小于零，那我就不用求了，直接没减 是不是？那么如果说它大于零呢？那咱们的减是不是就可以带到这个二亿分支负 b 加减根号下， b 方减 c c， 那么其中 a 呢，是二次项系数啊， b 是一次项系数， c 是长数项，所以在这里啊，我们注意，那我们这里呢，就出现一个 b 方减 c a c， 是不是啊？那么我们把这个 b 方减 c a， c 呢， 叫做根的一个判别式，也就我们要根据这个判别式来判断这个方程有没有解， 咱们用希腊字母，这是什么呀？这念 dot 啊， dot 等于 b 方减 c c 啊， dot 等于 b 方减 c c， 我们用 dot 来判断这个方程是否有解。 那么当这个 door 大于零的时候，有两个不相等的实数根，当这个 door 等于零的时候，有两个相等的实数根，当 door 小于零的时候，没有实数根啊，所以说，哎，如 果说我们最后呢，就可以归结为，当 der 大于等等于零，也可以归到里边，因为等于零的时候， b 方减 c， c， 是不是直接代成零啦？它的解就是二亿分之负 b 为，是不是啊？哎，当 der 大于等于零的时候呢，方程是有根的 啊，右根的，那么这个根呢，我们就可以写成二 a 分之负 b， 记住啊，需要大家记住，二 a 分之负 b 加减，根号下 b 方减 c c。 那所以我们来先看一个题啊，求根公式里啊，根式号下面的那个式子是什么呀？是不是 b 方减 c c 呀？对不对？ a 根号下 b 方减 c， c 啊，那么我们一这个什么，呃，一般是求根是什么？二， a 分之负 b 加减，根号下 b 方减 c a c， 所以选什么？选 d 选项哈，选 d 选项，所以大家要清楚啊。好了，那么接下来我们就我们刚刚去讲的，我们来判断一下下列的方程啊，像第一个方程，大家来看一下他的二次项系数 a 是几啊？ a 是一是不是？ b 是负三， c 是负四，是不是？我们来求一，求 b 方减 c， c， b 方减 c， c 就等于多少啊？九减去四乘以一乘以负四，那等于多少？ 九加上十六是不等于二十五呀？那么说明这个方程它有几个根？有两个不相等的实数根，是不是？哎，有两个不相等的实数根，那么我们再来看下一个啊，大家再来看一下下， 换一个第二个，我们把 a 写出来， a 是不是等于一？这个啊？ b 也等于一， c 等于三，那么判别式是什么？ deta 等于 b 方减 c， c， 是不是啊？哎，就是一的平方减去四乘以一乘以三， 那就是一减去十二，会发现是不是负的呀？是不是啊？哎，小于零了，这个方程有没有减？没有减呀，是不是？哎，没有实数根的，所以我直接就不用求他的解了啊，那么下面的都是类似的啊，那我们再随便选一个吧， 随便选，我们来看一下最后一个吧。啊，大家来看一下这一个，来看一下这个，这个 a 等于多少？ a 等于一，是不是？ b 等于多少？ b 等于 four， c 等于多少？ 好一，我们要判断他的根的情况，求什么求得他等于 b 方减 c， c 是不是求他的符号？那么 b 方呢？负二的平方减去四乘以一乘以一，也就是四减四，是不是等于零啦？ 等于零说明有解没解，有解有什么呀？有两个相等的实数格 啊，所以说类似的后面还有几个，我们课堂上就不一一去讲解了，大家可以去把 a、 b、 c 的值去给它标出来，然后我们去求一求这个 b 方减 c， c， 也就是说在不解方程的情况下呢，我们直接可以判断根的一个情况 啊。好了，那么紧接着大家来看这一个方程啊，人家要求我们用公式法，我们刚刚讲 好的呢，就是公式法啊，公式法呢，就是第一步我们要去把小 a， 小 b， 小 c 啊写出来，然后呢去用判别式判断一下这个方程是否有根，有根以后呢，我们的公式法求出来，如果有根的话，它的解是什么？二，一分之复 b 加减根号下 b 方减 c， c， 让我们求一下他啊，所以首先呢写解字，然后我们知道 a 是一， b 是负四， c 是多少？负七，也就是给了你一个方程，如果不是一般是我们要给它变成一般。是啊，等号，什么是一般？是呢，就是 ax 方加 bx 加 c 等于零的一个情况 啊，等号右边一定是零的一个情况，那么第一步我们求 der 它等于 b 方减 c， c， 是不是？ 那就是负四的平方减去四乘以一乘以负七，那就是十六，加上多少啊？二十八，你算一下是多少啊？ 四十四是不是啊？啊，所以第一步我们求 b 方减 c， c 求下去它，那么是不是大于零的呀？啊，大于零，所所，所以说明方程是有两个不相等的实数根的，那么 x 呢？就等于二， a， a 是多少？一 复 b， b 是负四，复 b 是不是四呀？加减根号下 b 方减 c， c， 那么根号下 b 方减 c， c 是不是四十四呀？那么开出来就是二倍，根号十一，是不是啊？那么这样我们得到 x 一呢，就是二分之四加二倍， 根号十一就是二加根号十一，可约一个二吧，分子和分母啊， x 二呢，就是二分之四减二倍，根号十一，那我们给他约了分以后呢，就是二减根号十一， 这样呢就求出来了啊，所以第一步我们刚开始的时候呢，大家需要把这个 a、 b、 c 呢先给它标出来，那标出来以后呢，我们去求判别，是求完以后呢，再求方程的结啊， 所以大家来看一下啊。第一步我们需要把它画成这个什么一般式啊，然后呢写出小 a， 小 b， 小 c 的值，然后求出 b 方减 c， a、 c 的值啊，继续带入求根公式里边，求根公式这里再给大家看一下它是什么 二 a 分之负 b， 加减根号下 dart 啊，其实就是加减根号下 b 方减 c， c， 必须牢记，那必须牢记，所以最后呢，我们写出方程的解即可啊。 好了，那么类似的我们可以再求一个啊，那么再求一下这一个结， a 是一， b 是二， c 是负四，是不是啊？那么求一求嘚，他 b 方减 cc 等于二的平方减去四乘以一乘以负四，就是四，加上十六，是不是二十呀， 对不对？所以这样我们求得 x 等于二乘以一分之负二加减根号加二十，根号加二十四，可以开出来，是不是二 根号五，所以这样我可以直接得到 x 一呢，是不是负一加根号五， x 二是不是负一减根号五？这里老师直接就约分了分子和分母，是不是就给他同时处理一个二了呀？ 对哎，所以大家也可以这样去做他啊，所以我们就不看了啊，不看了，所以最后我们来总结一下啊啊，所以我们今天呢就学了一个什么公式法啊？公式法第一步呢，需要求咱们的 b 方减 cc 的值， 那么这个呢，我们也给它称之为判别式，这个值可用来干什么呢？哎，他得有大于零，小于零是不是啊？哎，大于零的时候呢，有两个不相等的实数根啊，等于零的时候呢，有两个 相等的实数根，那么小于零的时候啊，这个应该改成小于，如果说是小于零的时候呢，他这个是五解的 啊，那么大于等于零呢，又可以归到一起，如果他们有解的话，方程的解解出来呢，就是 x 等于二， a 分之负 b 加减，根号下 b 方减 c， c 有两个减， 需要大家牢记这个东西啊，那么这个呢，对于任何一个一元二次方程都是通用的，都可以去来求解啊。下来之后我们再找一些相关的练习题去练习一下吧。