中职数学基础模块上册教学设计

好，同学们，我们开始上课啊，今天林老师要带着大家来完成我们习题一点一的内容啊，大家可以把你们的教材翻到十二页，对吧？可以同步和林老师一起来做这样一些题目哈。 首先我们看一看我们 a 组的知识，巩固第一个，下列结论是否正确，说出你的理由。第一哈，与一接近的所有时数可以组成一个集合，我们说可以组成集合的 元素一定是什么？确定的对象对不对？确定的对象，那你来看一看与一接近，什么叫做接近呢？二合一接近吗？一点一和一接近吗？一点零一和一接近， 这个是不是没有一个明确的标准，是没有一个确定的标准的，对不对？所以他是错误的啊，他是错误的。那我们集合除了有我们的确定性，还有其他两个性质，大家还记不记得 李老师给大家写过的，除了有我们的确定性还有哪些？还有我们的互议性，还有我们的无需性 啊，还有这两个性质，对吧？我们结合性质一共是有三个，对吧？那这里很明显考察的是我们的确定性啊，考察我们确定性。第二和第三，你看他都是什么？ 一个数字，然后没有打花括号，那他就是一个元素，然后这边是一个打了花括号的内容，对不对啊？那这是什么？考察的是我们元素 打了花括号的就是一个集合，所以这里考察的是我们元素与集合的关系。然后是强调过哈，元素与集合尤其仅有两种关系，一个是属于，一个是 不属于，那至于这个元素属不属于这个几何，就去看什么这个几何当中是否有这个元素，对不对？那我们来看一下偶数啊， 偶数当中怎么样？有没有零？是有零的呦，对不对？所以我的零属不属于我的偶数，这个集合属于的，因此它是正确的。 但是第三个，你看一看，这是一个描述法描述的一个集合，这个集合要满足什么条件？首先， x 要属于 z， 那 x 是一个整数。其次，这个整数要怎么样？要大于 等于负二小于二，对不对？大于等于负二小于二，那这个整数就有哪些，有哪些数就有负二， 有负一，有零有一，是不是有这四个数字，对不对？那这个数字当中有没有负一啊？ 是有的哟，对不对？所以我的赋予属不属于他是属于的吗？那你这里又不属于他，他就怎么样？错了，对吧？所以他就错了哈，那么这是第一个题啊，第一个题考察的 还是我们什么比较基础的一个基本概念定义哈。哎呀，这个要注意一下。好，我们来看我们的第二题，用符号属于或不属于填空，这是四排，对吧？这四排每一排 都是考察的同一个书籍。那我们先来分析一下， n 代表的是哪个书籍，还记不记得教材第八页啊？ n 代表的是自然书籍。 我们说自然数级是从谁开始？从零开始的哈，零一二三四五六七八九十，对吧？是这一数。 z 呢？ z 代表的是我们的整数级 啊，那整数级就啊，分为三个，第一个是正整数， 像我们一二三四五六七八九十这种，对吧？整整数。第二个是零，第三个是负整数啊，负一，负二，负三，负四，负五啊，负六这种，对吧？ 好 q， q 代表的是什么？ q 代表的是我们的有理数， 那有理数呢？也分为两个啊，有理数是分为我们的整数，整数包含的，他都包含，对吧？还有一个是什么？分数？整数和分数啊， 最后一个实数 r r 是什么？我们的实数记， 实数级有哪些数啊？同学们，这个你就不用纠结了， 我们学的现学的所有的书通通属于我们的实数记啊，通通属于我们的实数记，所以你像第四排这一种哈，只要他是个数字，对不对？他全部属于我们的实数记啊，全部填属于就可以，我们目前还没有学到 不是数数级的数字，对不对？像虚数啊，我们现在还没有学到，所以我们目前为止遇到这种题目，填数于就可以了啊，直接填数于，想都不用去想。好，我们来倒回来看一下。我们第一排自然数级啊，连一二三四五 五六七八九十，那里面有没有范？没有范，对吧？那没有范就不属于零点一，有没有零点一啊？也没有零点一，那也是不属于。有没有十呢？有十的，对吧？所以是属于 好整数级。负五负五是我们的负整数，所以属于他二二是我们的正式数，然后也属于他杠三杠三是无理数哦，不属于整数吗？对吧？所以他是不属于 好第三排。 q 有理数对吧？负一负一是有理数啊，它属于我们的整数的部分，对，三分之五哈，三分之五也是有理数，对吧？它属于分数的部分。那二排呢？ 我们说拍是一个非常非常明显的什么五里数啊，它是一个五里数，所以二拍不属于我的 有理数 gq 啊。看一看我们的答案，大家之前做的有没有问题，有问题的要改过来啊，有问题的要改过来。 好，我们来看一下第三题，判断一下下列哪些集合是有限集，哪些集合是无限集。 第一个 xxl 满足的条件是什么呢？绝对值要小于零。什么是绝对值？同学们，你还记不记得绝对值？我们说指的是这个数字啊，他在数轴上对应的点到原点的距离， 所以说我们的绝对值其实是一段，代表的是一段什么距离？距离可能会小于零吗？同学们，有没有谁和谁的距离会小于零的？没有吧？啊，没有啊，我们 最多最多亲密无间，哎，我们的距离为零，对不对？那也不能小于零啊，那小于零那都成什么了，对吧？穿越也不行，对吧？ 那所以说有没有 x 可以满足这个条件？没有，对吧？这个集合当中没有元素可以满足这个集合所说的条件。那他是一个什么集合？ 他是一个空级，空级属于我们的有限级还是无限级？空级是属于我们有限级的哈，因此第一个判断一下他是一个有限级。 第二个， x， x 满足什么条件？ x 平方加五， x 加六，要等于零。好，这是一个一元二次方程组的解，对不对？一个一元二次方程啊，应该是一个一元二次方程，它的解只有三种 情况吗？第一种情况有两个不相同的实数减。第二种情况有两个相同的实数减，也就是有一个减，对吧？还有一种情况是什么没有实数减，那也就是说我这个 x 的个数可能是二，可能是一， 可能是零，那你说数的完不是？不是三种情况都是可以数的完的，所以我们这都不用去算，对不对？他就是一个 有限期。那有同学问了，林老师，我不会解这个一元二次方程，怎么办呢？没关系哈，林老师这会来教你们解一下啊，教大家解一下，我们来看一下 x 平方加五， x 加六等于零。其实解这个一元二次方程呢， 在我们初中的时候，老师教了我们三个方法，一个是十字相乘法，一个是配方法，一个是公式法。那李老师这里主要给大家讲一讲公式法啊，因为我们的公式法是通解通法。那在讲公式法之前， 看一下我们的一元二次方程，它的标准形式，它一般形式是长这样的， ax 平方加 bx 加 c 等于零。那你对应着来看一看，我们原题目当中它的 abc 应该是多少， 这应该是什么？是不是应该是一对吧？ b 呢？啊？ b 是五， c 呢？ c 等于六。好，只要你能够去把对应的 a、 b、 c 给林老师找出来，那么林老师 保证你这道题就一定可以解出来，对不对？为什么接下来的我们就只剩一个背公式，那公式第一个要背的是灯塔，灯塔等于 b 平方减 c， c。 好，我们来看一下这里的话，那就是五的平方减四乘一乘六等于多少等于一，对吧。 第二件事就是去减 x 一和我的 x 二了，当灯塔大于零的时候，我 x e x 二，它分别等于是二 a 分之负 b 啊，减，刚刚下灯塔， 那下面就是二月分之负 b 加根号下都是他啊，这个加减，这个你可以随意调换啊，没关系，谁来等于都可以。那就是二乘一分之负五减个 根号一根号一是多少就是一嘛，减一对不对？就变成了多少，变成了多少。同学们，嗯？ 负三对不对？那现在呢？下一个是二乘一分之负五 加一，那就变成负二。所以我们解出来，我这个方程有两个解码，一个是负三，一个是负二。那我第二题如果我要写成另一句话，是不是负三 玩对不对？一二两个元素当然是一个有限级喽，是不是这一元二次方程，同学们，只要你能把公式背下来，对不对？你就一定 可以去做到。等于它大于零，说明我们 x e x 二有两个减，但是它如果等于零，你看看我这二 a 分之负 b 减零，下面这个是二， a 分之负 b 加零 减零和加零有没有区别？没有区别对不对？所以这个时候我们才会说得二等于零的时候，我们有两个相同的实数减，那得二小于零的时候呢？我们说根号下来说能不能小于零，不能嘛，对不对？所以 他怎么样他都不满足我们的定义，所以我们才说 x x 二，无解啊，无实数解。 好，这个大家搞清楚啊，搞清楚不？搞不清楚的同学要记公式啊，搞不清楚同学记一下公式对吧？好，我们来看第三题。第三题是什么呢？描述的是一组有序 其实，对啊，我们就把它看成一个什么呢？看成一个坐标，对吧？ x 的 y， x 的 y， 这个坐标满足的条件是什么？ x 要等于 y， 那在相当于在平面直角坐标系当中 横纵坐标相等的点其实就是什么 y 等于 x， 这条直线上的点，对不对？ 一到一，二到二之类的，你看这上面的点，你数不数的完？数不完哦，一条直线有多少个点组成你知不知道？不知道吗？对吧？数都数不完，所以第三小问他是一个无限极。 第四题啊， x 要满足什么条件？大于负二，小于等于一。好，我们来画 条竖轴， x 零，负一负二，然后一负二，这里没有等号，我们画空心一，这里有等号，我们画实心，对吧？ 好，这一段上面啊，我们换一个颜色，换一个黄色吧。这一段上面有哪些数字？ 密密麻麻的全是数字对不对？同学们，这里面有多少个数字，你数不数的完呀？ 你数不完嘛，对吧？你数不完，那所以我们这里是一个什么级？我们这里第四小文也是一个无限极。 好，这是我们第 三题。好，第四题用列举法来表示。下列结合那列举法，我们来看一看。第一个 x 属于 n， 刚刚才复习了， n 代表的是什么？自然数对不对？自然数级是从零开始的， 二零一二三四五六七八九十，而且这些数还要大于等于负二，小于等于三，那有哪些数？ 是不是有零？然后有一有二，有三，对不对？把我们的元素一个一个的写出来，中间用逗号隔开，最后我们要用什么括 对？画括号啊，括起来，对吧？这是第一个。第二个 x， x 要等于三， k 加一 k 又是多少呢？ k 是大于负二，小于等于二的。

余弦函数的图像和性质，我们上节课呢，先做出了正弦函数 y 等三， x 在零到二派上的图像，然后通过不断的向左向右平移，就是每次平移二派个单位 就得到了正弦函数在整个定律就是整 x 属于 r， 就是在整个实数集上的图像，然后通过对正弦曲线就是 y， x， x， 这是正弦曲线在整个定律上的图像呢。研究了函数的性质， 那么对于余弦函数在整个定义上的性质，我们可是否可以同样的方法来研究呢？当然是可以的，好，我们首先呢，用秒点法做出 余弦函数 y 等 q， 三， x 在零到二派这一个周期上的图像，那同样呢，我们也是要也是要三步就是列表， 然后呢秒点，然后连线，那列表呢？还是在零的二派呢？我们分成十二等份，然后得到十二个点， 也就是 x 等零， y 等于 x 等六位置 pa 呢，扣上 x 等二分之根号三， x 等三位置 pa， 扣上 x 等二分之一，然后呢一共得到十三个点的坐标，然后把点的坐标呢描在坐标系上， 还是要为了描的准确一点呢，我加上几个虚线，这就是 y 等二分之一， y 等二分之根号三啊，然后呢 两点，那 x 等零， y 等一，这是零一， x 等六分之派， y 呢，等二分之根号三。 好，要提醒大家的就是这个表呢，我们要这是通过诱导公式得到了这些特殊，这这些特殊角的三角函数值，这个是这个是要熟记在胸， 要我们要下功夫把这个表里边的数据要背下来，背的时候呢，就结合着单位元，就类似于正弦函数的那个值一样，结合单位元把它记下来。啊。 好，这次到了六分之五派，那就等负二分之根号三，然后派呢， x 等派 y 等负一， x 等六分之七派 y 等，这， 这个，呃，负二分之根号三，这样一路划过来， x 等二，派 y 等一啊，然后呢，最后呢，连线就是平滑曲线连接就得到了 y 等 q 三， x 就是余弦函数在一个周期零到二派上的图像。 好，那很明显呢，我们看起来这五个点就是零，一 二为是派零派负，一二为是派零和二派负二派一。这五个点 是确定余弦函数在一个周期上的图像的关键点，因此呢，和正弦函数类似，余弦函数的图像呢，也可以用 这五个点来画出图像，所以说我们就叫做这个，就是用五点法做出来。余弦函数的图像 原先还是图像，这个同样也是起点也是最高点，终点是最高点，然后中间的点是最低点， 然后有两个零点，就是二分之派和 x 等二分之三派，这两个呢是和 x 轴的焦点，就是零点。 这五个点呢，也是特殊的值，很容易接近。好，有了一个周期上呢，呃，图像以后呢，我们有诱导公式是吧？ cosin 二派二，开派加 x 等于 cosin x， 可以知道，将函数 在零到二派上的图像呢，沿 x 轴左右平移，二派啊，四派就得到了余弦函数在整个定义上的图像。好，这是零到二派，然后呢，我向左平移，再向左平移 啊，那，然后不停的向左平移到了负无穷大，然后向右平移， 再向右平移，然后呢，不停向右平移到了正无穷大，这样就同样我们得到了是一个 连绵不断的波浪起伏，连绵不断的一个曲线，他是和图像形状和正线函数的图像是一样的啊，就是他的在一个周期，就是零到二派的一个周期上， 形状呢，不一样啊，那么我们知道这个鱼线函数的图像呢，也是一个波浪起伏的连续光滑的曲线。 好，那我们把正弦函数的图像和余弦函数图像放在一个坐标系里边。好，这是余弦函数的图像，就是 y 等扣三， x 在 x 属于二，上面 我们可以看出呢，嗯，这是，呃，余弦函数，然后呢，我们看这个呢是正弦函数，就是 y 等三， x， x 属于 r， 这条线呢是正线函数。正线函数一个周期就是 x 等零， y 等零， x 等于二倍拍 y 等一， x 等二，拍 y 等于是这一段整个函数的图像呢，那么这是 起伏，这是这个粉色的虚线，就是正弦函数的图像。我们可以看到将正弦函数的图像呢，向左平移二分之派个单位向左平移。你看，我们看这个起点， 这是我们看这个零零点向左平移，二分之盘就到了这个点。好，向左平移，和这个点 平移二分之派。以后呢，我们就发现正弦函数和余弦函数的图像呢，是完全重合了，也就是说把正弦函数图像向左平移二分之派的单位，就得到了余弦函数的图像， 那向左平也可以，我们再进一步弦，那我们把这，这是，这还是正向还是图向，这是 绿色的线，我们说那向右平移，可以不可以呢？啊？这个点，这个点向右平移，要平移到哪呢啊？这个零零点向右平移，要平移到 这个位置才能和余弦函数的图像重合。我们看平移好，向右平移二分之三 pad 单位好，他就完全重合了。好， 这就是说啊，下一个问题，说，若将正弦函数的图像向右平移，是否可以得到余弦函数的图像呢？如果是，需要平移多少呢？ 相应平移二分之三派个单位就得到了。那我们说那再考虑到的周期性是二分之三派加上二开派都可以，就是 连续移动二分之三派，然后再移一个二派的整数倍，同样可以得到余弦函数的图像。说，那会不会错位啊？不会啊，我没想到那个他的 x， 这个正弦余弦函数的定义都是 x 属于 r， 那个 r 呢？是一个无边无际的啊，他没有尽头，没有有负的最大值，有正的最大值，他都是无穷无尽的，你平移多少个单位，他都是重合。 好，接着我们看余弦函数的性质啊，余弦函数图像得到了。看余弦函数的性质，是吧？我们观察余弦函数啊，这就是余弦函数在整个定余弦的图像啊，这个没画完啊，还有这样，然后类比正弦函数的 图像啊，就得到了，没就得到。关于啊，余弦函数在整个定义上的性质，也就是说类比正弦函数什么呀，我们是从定义域、值域、 周期性、单调性和旧性这五个方面来研究的。同样呢，余显函数也是定域呢，是全体实数级。直域呢，就是负无穷，大到正无穷啊，负一到正一啊，是这个 b 区间啊，直域就是负一到正一。那么 当什么时候取到最大值呢？就是当 x 等呃零， 呃， x 等零， y 等于 x 等二 pa y 也等于，是不是余弦函数的图， 所以说当 x 等二开派的时候呢， y 取到了最大值是一，当 x 等派就是二开派，然后向前进派个单位啊，那这这个向前进派个单位到了最小值，所以说当 x 等派加上二开派的时候， y 呢，就取到最小值，最小值是负一。好，我们说得到了最小值是负一 啊，这是定义值域。接着看周期性，同样的余弦函数的，因为余弦函数和正弦函数的图像完全一样，他的周期呢，都是二派的， 是二派，是他的最小正周期，也就是二 cap， 都是他的周期啊，他应该准确的说应该是二 cap， 但是呢，说太周期太多了，我对我们研究没没有什么用处，我们考虑的性质就是最小正周期，最能够简洁明了的描述他的性质。好，这个周期的。 也就说怎么样每间隔二派，你看这三条虚线，红色的虚线呢？间隔呢？都是都是二派，那么这个虚线向左或者向右平移。 好，我们看他每一个区间里边的形状，你看每个区间里边的形状，都是他无论停在哪个位置，每一个，呃， 每一个段里边，那个整个图像呢，都是一个一个周期上的图像啊，这就是周期性啊。接着看教性，我们说 有这个图像呢，关于 y 轴对称，你看整个余弦函数图像，是关于 y 轴对称的，或者说有诱导公式，是吧？ q 三负 x 等于 q 三 x， 可以知道啊，它余下函数呢，是偶函数。关于外轴对称呢，是通过这个，就是在这个点，在这个图像上任意找一个点，他关于外轴对称的点呢？还在这个图像上， 同样我们还可以找到这个点，关于外轴对称点也在这，也在函数的图像上啊。 最后呢，我们看到的单调性，嗯，单调性呢，就是因为整个定义 它是没有单调性的，它是时而增，时而减，时而增，时而减，但是增减呢，它都是有规律的。所以说我们要说这个余弦函数呢，在每一个 b 区间，就是在 二开，就是零的零，向前数零到，这个什么呀？向前数， 向左数派，派个单位到零，这就是二开减一派到二开派，或者说是副派加上二开派， 它上边呢都是增函数，都是这个是增区间，这个也是，这个也是，你看这这些呢，都是增区间。 然后函数值呢，是从负一增长到了正一，在每一个 b 区间上，也就是说他从二派到派加二派，二开派啊，就是二开派到派加二开派，就是这一段，这一段啊， 这一段我们看到的这个区间上呢，都是减函数，减函函数值呢，是从正一减到了负一，你看这一个是正一减到了负一。 讨论了余弦函数的性质呢，我们就看这个利用五点法做出来函数的图像啊，这个函数呢，则余弦函数前面加了个负号啊，我们就用利用秒点 点法，五点法嘛做出来啊，那第一呢也是要列表，列表呢，我们列一个，我们还是我们要熟记上面这个表格，就是 x 等零二派这五个关键点，五点到五点嘛，五个关键点。然后呢再取他的 扣三 x 的相反数，就是负扣三 x， 然后呢取这个函数值的相反数啊，然后秒点，秒点的话是就是 y 等负扣三， x 的图像就是 x 等零， y 等负于 x 等二 pa， y 等零，然后把这几个点描出来， 最后呢用平划曲线连接就可以了啊，描点的时候呢，在这个图像里面描， x 等零， y 等负一， x 等二派， y 等零， x 等 ty， y 等一， x 等二分之三， 三派外等人， h 等二派外等负余好这五个点由平滑曲线连接 就得到了 y 等负扣三， x 在零到二派上的一个图像，就是一个周期上的图像，就是这个，就是反着的一个，像一个小三包一样，你看余下函数图像是把它反过来，就是绕着 x 轴旋转 一百八十度，它是一个小三股啊，这是余弦函数的图像，它，它这两个呢？这两个函数的图像就是关于 x 轴对称的 好看。例题二，呃，求函数 y 等三倍， q， 三 x 加一的最大值，最小值以及取到最大值最小 值的 x 的集合，这个也是利用函数的那个呃，单调性来求的，就是有什么时候值域吧，加和含利用函数的值域啊，我们说这个 呃，三倍的 cos x 加一是什么呀？我们首先呢，画出来这个 y 等 cos x 的图像加着呢， 他乘三乘三呢，就是把这个函数的图像呢，上下拉伸，拉了三倍，就叫 x 的取值范，零到二，二派不变， 拉了三倍，然后再加一呢，就是函数的图像呢，向上平移了一个单位，好，这样就得到了，这就是 y 等扣三倍，扣三 x 的就是 他的图像。就是啊，然后，当然我们做题的时候，这是在言传纸上画啊，我们做题的时候是什么呀？我们说 我们把这整个过程写用文字写出来，因为考试写文字比画图要简单的多，因为脑子里有图， 然后在纸上写的时候，就是我们由余弦函数的性质之道。 cosinex 呢，是大于负一，小于小于等于一的好，这是它的值域，利用它的值域，然后呢把这三个，把这个不等式呢，我们三边同时乘上三就得到了，它 加的呢，三边同时加一就得到了，就是你看这个加一，这个加一，这个再加一啊，就得到了三倍扣子。 x 加一是大于负二，大于等于负二小， 小于等于四，好，这个呢就是 y， 所以说 y 呢，取之呢，就是小于等于四，在这个四和这个 four 之间啊这是这还有一条线，就是 y 等于 four 啊，这是负一。 函数的最大值呢，就是正四，最小值呢，就是负二，就是这条线啊， y 等负二，那说它还为什么呀？取到最大值时候那个 x 的集合，因为这个只是一个周期上的，我们要考虑的， 接着就考虑函数的单调性啊，周期性他需要加上而开派，所以说那么当 y 就是这个，当 y 等 cos x 就是这个 余弦函数取到最大值的时候，这个 y 呢就是三倍，扣上 x 加一也是取到最大值，所以说函余弦函数取到最大值的集合就是这个函数取到最大值的 x 的集合，那么余弦函数取最大值的集合就是 x， x 等于二，开派开水 z 啊，就是它等于零二派，四派负二派，负四派就是二派的整数倍， 那函数余下函数取到最小值的集合是这个函什么数啊？求这个函数取到最小值的那个集合，就是他是等于二开派加派， 或者你写个二开派简派也行。但是我们如果能写假，我们就就都是习惯啊， 就是因为二开派减派是这个点，这个点照样是取到了最小值啊，就是这个副派这个位置啊。我们写成二开派，统一的规定就是二开派加派比较，因为在这个图像上可以看到在这个位置，这是立体二。 接着看 bt 三所不比较啊，不求值，比较下列各种数值的大小啊。这个就是利用函数的余下函数的单调性啊。 第一个呢是什么呀？好，这是余香函数的图像。在整个定律上，第一个是五分之二派和五分之四派， 那我们说这个五分之二和五分之四呢，就在这个单调区间，零到二 派上，这个单调区间上，五分之二派在这五分之二点五就是二派吗？所以说他在上面五分之四派呢？在这，那很明显，这个五分之二派和五分之四派呢，是在这个单调递减的区间上面。 这个图像是这样的，我们要把它写出来。怎么写呢？我们说因为这个五分之二派是小于五分五分之四派，它又大于等于零小于派，也就说五分之二派和五分之四派都在一个， 都在这个区间。零到二派啊，零到派这个减区间上啊，好，余弦函数在这个区间上是一个减函数，那减函数了五分之二派小于五分之四派，所以 说口算五分之二派就大于五分之四派，这是利用函数的单调性就可以了。但下边这个图呢，咱们做题的时候呢，不用画上，但是你 如果你要是没有把握，最好是在研究纸上画一个草图，帮助你不容易犯错误啊。 所以说这个就要求什么呀，我们这个五点法画这个余下函数的图像要非常熟悉。第二题，口三负十分之八派和口三啊，负十分之派和负八分之派。 那同样的，我们说这个鱼线函数的图像，根据鱼线函数的图像，这个负十位置派和负八位置派的都在负派到零这个单调的递增区间上来说，这是负十 分子派，负八分子派在这好，所以说，因为负负八分子派是小于负十分子派， 同时呢，它都大于，都大于复派小于零，并且余下函数在这个区间复派到零上是个增函数啊，所以呢，它既然是增了，那么 cosine 负是非数，哎，这是负的啊， 好，这个是负的啊，负八分之判小于负十分之判，他呢，在这个区间上，这个曾函是说一说，那负扣三负十分之判就大于扣三负八分之判。好，接着我们看练习题，还是同学们自己要先动手做，然后呢 呢，咱看答案啊，这五点法做出来，函数 y 等扣三， x 减一， 嗯，在零到二派上的图像，那其实呢，我们就说他是把余弦函数的图像呢，减一了吗？就是向下平移一个单位就可以了。好，我们的列表这是 x， 呃，那 cos x 减一好，好，列表的话，我们就算 cos x 减一， 那么 q 三 x 等零啊， q x 等零， q 三 x 等一，一再减一是等零。好，我们依次算出来。 q 三二分之派呢是等零，零减 零减一呢，就是负一口算 pa 呢，等负一负一再减一呢，就是负二啊，我们依次得到。 好了，这个也是负一扣三，二拍呢，是一，一减一是零。好，把这五个点呢，描在坐标系上， 这个就是零零， rfith pi 负一 pi 负二，这个 rfith 三派负一和二派零这五个点。然后呢，平滑曲线连接，这个是 函数的图像，它其实就是什么呀？啊，就是这个，因为余线函数的图像是这样的啊，它就是图像呢，余线函数的图像，这个啊，向下平移了一个单位。 第二题是吧，求下列函数的最大至最小值，以及取到最大 追效值是质变量 x 的集合。这个呢，和我们的例题是例题三是类似的啊，我们做就行了。好，我们说 现在呢，我们说有余弦函数的性值，我们知道这个 q 三 x 是大于等于负于小于等于一的，然后就开始往这变啊，两边同乘二就得到了这个值，再减一就得到二倍 q 三 x 减一， 好，这个呢，就算出来是二位扣三， x 减一呢，是大于负三，小于等于一。好，知道了，他的那最小值就是负三，最大值呢，就是一，什么时候取到最小值呢？就是， 所以说啊，这个函数的最大值就是什么时候呢？当 x 函数，就是 当 q 三 x 取到最大值的时候，那么这个二倍 q 三 x 再减一就取到了最大值，所以说他取最大值的那个 x 的集合就是 x x 等二开派开水 z。 好，这样，这就这个就是余显函数取到最大值的 那个 x 的所有的结合要考虑到周期性。这个开水 z 呢，不能漏了啊，你不能只写一个 x 等零，等零就错了， x 等零加上而开盘啊，加上呢？那什么时候取到最小的负三呢？就是 x 等于 派加上，而开派开属于 z 的时候，就是取到了最小值。这是第一题，第二题呢，是同样的，这个是负，这是 负的二分之一扣三。 x， 那这个乘负二分之一以后，那个它的负。呃， 这个式子就是 cos， x 大于等于负一小于等于一同城负二分之一以后，他就变成什么样？还是这个负二分之一是大于等于负一小于等于二分之一，不过是 他是怎么样？他是乘乘负二分之一要变号，这个就是负二分之一扣三。 x 本来是小于等于负二分之一的一乘负号呢，他要改符号，所以说这边就变成了大于等于负二分之一，他转到了左边来了啊，这个做两次题就熟练就有这个结果了啊，那么我们有这个结果，知道函数呢，取到最 最大值呢，就是二分之一，什么时候取到最大值呢？是这个 余弦函数 y 等扣三， x 取到最小值的时候，它取到最小值负一的时候，那么它又成了个负二分之一，是它取到了最大值。所以说好，我们 做解答题的时候，只要简练的这样写就行了，你只要把答案写出来就可以了。就是我画的图呢，就是害怕有同学呢不理解，所以说加上图以后讲解， 真正我们对于下函数的性质已经了解以后，你直接就出来给他结果，他为什么我答什么，你答对就得分啊。那也就是说，当 x 在这个集合里边，就是 x 属于 x， 在 x 等于派加上二开，二开派开 three z 的时候呢，函数取到了最大值，那同样呢，这个余弦函数取到最大值的时候呢， 这个函数呢，所求的这个函数就是负二分之一。 q 三 x 呢，取到了最小值，函数最小值是负二分之一，也就是 x 等 二开派开谁的？你看这个恰好是这两个，是因为你看这个第一题呢，这 q 三 x 前面的系数是大于零，那么它就和 呃余下函数的取值那是一样的，取最大值最小值一样，如果他成了一个负数，就是负，这是负二为之一，那么他取最大值最小值的那个集合呢，就颠倒过来就可以了。 好，下面我们看第三题，说不求值比较下列各组数的大小啊，这个相对来说也比较简单啊，就是利用余项函数的单调性。第一个呢， t v s 派， t v s r 派，好，它都在零的 pi 这个单调区间里边， 都在这个，这是个单调递减区间。我们说因为余下函数在这个领导派上是减函数，并且呢，这 cosine 派呢？呃 呃， cosin 派派呢？呃， tibetapine 呢？就小于就大于 tibeta 二派 啊，这个啊，这还少一些。好，接着呢，我们补一下啊，就是这个应该写上，因为这个字变量，七分之 派和七分之二派都在这个单调区间，就是零到派里边。我们这样写，所以说有这个结果，就是，那么因为它是减函数，所以说扣三七分之派呢，就大于扣三七分之二派。 第二题是同样，是吧，因为这个余下函数在零到派里，副派到零里边呢，是一个真函数，也就是这段是真函数，并且呢这个 扣在负八位置派在这，扣负负七位置派在这，也就是说那么负八位置派是大于负派，小于等于负七位置派有小于零，所以说他也是在这个单调区间里面，我们就这样写， 所以呢就有了 cosine， 嗯，负八分之派要大于，这是 cosine， 负八分之派大于 扣上一副起飞者牌。好，这样我们好，这节课呢，我们就 内容就讲完了，我们小结一下，我们讲的是余弦函数的图像，就是要知道五点法 图做下孩子的图像就可以了。那把它变到整个周期就简单了啊。接下来呢，就是看他的整个周期上的性质，就是定义域、值域，周期性、单教性和单调性啊， 这五个性质和正向函数是类似的。好，这节课呢，我们就讲到这里，好，同学们再见。

来，同学们好，今天我们学习一点二、集合之间的关系。 来，首先我们看一下这两个集合哈， p 集合是亚运会中国体育代表团成员，然后 q 集合是亚运会中国女子排球队成员是吧？一个是中国体育代表团，一个是中国女子排球队成员，是吧？ 来，我们想一下，这两个集和 p 与集和 q 之间有什么关系呢？如果有关系是怎样的关系呢？ 那今天我们就学习一个新的内容，集合之间的关系。首先分为大类，就是子集的关系。来，我们看一下哈，如果集合 i 的每 一个元素都是集合 b 的元素，我们称为集和， i 是集合 b 的子集。来看下子集符号哈，记住， a 包含于 b， i 包含于 b 哈，来看一下这个是 这个符号哈，我们叫它包含于哈，包含于那个于，然后还可以写成反过来写，就是这个符号，我们叫它包含哈，就是包含于啊，这个大家一定要区分一下哈， 来看一下这个例子哈，集合 c 里面有元素一三，然后集合 d 里面有元素一三五，是吧？啊，这时我们可记住，嗯， c 包含于 d， d 包含 i 为 d 包含 c。 通过这句话看一下这个例子，对吧？ 嗨，这是子吉哈，看下下面一个概念哈， 哦，这个是 win 图，表示两个集合之间的关系哈， 嗯，在数学中，我们经常用平面内封闭曲线的内部表示集合，这个图我们就称它为微音图哈，也就是 c 包含于 d， c 包含于 d 啊， c 在里面啊， d 是在外 来。由子吉的定义可知，任何一个吉和都是它本身的子吉吉， i 包含于 i 啊，还有空级，是任何集合的子级。嗯，这个我们在后面讲例题的时候，老师会给大家具体讲一下哈，现在就是大家把这句话重点看一下哈，给他画下来就行了哈。 来，这里，如果 g 和 i 不是 g 和 b 的子级，我们记做 i 不包含于 b 哈，这个符号是不包含于，加个斜杠是吧？然后也可以记作 b 不包含于 i 啊，这个 符号哈，是不包含哈，不包含。来，他给了一个例子是吧， g 和 i 里面有二三两个元素， g 和 b 里面有二、四五，则 g 和 i 不是 g 和 b 的子级。来看一下这里的二三 这两个元素不在集合 b 里面，是不是呀？所以 a 就不包含于 b 哈， a 不包含于 b， 那看这看一下，探究与发现。集合 m， 嗯，是两组对边分别平行的四边形。两组对边分别平行的四边形是什么呀？啊？是平行四边形是吧？ 那 n 级和两所对边分别相等的四边形呢？这个是不是也是平行四边形呀？ 那他们之间是有什么关系呢？来，我们看一下下面。嗯，根据集合之间的关系，子集的关系又具体划分为哪些啊？咱们看一下下面两个 两个集合相等啊，如果集合 i 的元素与集合 b 的元素完全相同哈，完全相同，一定要记住哈，完全相同。我们称集合 b 与集合 i 是相等的哈， 做 a 等于 b， 它这两个集合里面的元素必须完全一样，这两个集合才相等哈。 来，当集和 a 的每一个元素都是集和 b 的元素，同时集和 b 的每一个元素也是集和 i 的元素时，我们集 a 包含于 b， b 包含 a， 这时 a 等于 b 啊， v n 图这张表示它两个重合了，就是 来看下这个例子哈，对于集合 c 里面有元素一三，然后集合 d 有元素一三五，显然 c 是包含于 d， 是吧？ c 包含于 d， 但是集合 d 的元素五不在集合 c 中，即五这个元素是属于集合 d 的，是吧？五在这个集合 d 里面，是不是？然后五 不在集合 c 里面，对不对？所以它是不属于 c。 来，我们看一下哈，如果集合 i 是集合 b 的子级，并且集合 b 中至少有一个元素， 来看一下，至少有一个元素啊，不属于 g 和 i， 我们称 g 和 i 是 g 和 b 的贞子级。来，大家把这句话读个两三遍哈， 感受一下甄子吉哈，记住，来，我们具体把这个符号看一下哈，这个符号写的有点嗯，不规范啊，给大家写一下 啊，这样写哈，这个是真包含语哈。哎，真包含于 b 啊，这里就是 这里这样写哈，这就是 b 真包含 i 啊，这个是真包含，与这个是真包含哈，区分一下哈， 来看一下下面一句话哈，空即是任何非空即合的真 自己。嗯啊，把这句话大家先画下来，好吧，下面讲题目的时候再结合讲一下这句话啊， 大家看这里啊，例子，同我们学习贞子级啊，它和它的关系是吧？ c 真包含于 b 哈，这样写， 然后 b 针包函 c。 来，我们看例一哈，例一，他说用这几个符号填空是吧？然后首先我们看一下前两个是属于不属于是吧，他应该是元素和集合之间的关系哈，元素和集合的任务 之间的关系，选择这两个，然后面啊，这三个，这个符号是这样写哈，这个符号是这样写的啊，后面三个是集合与集合之间的关系哈 啊，他们合起来是子吉的关系哈，子吉又具体划分为他们合起来是子吉的关系哈， 自己，然后自己又分为相等。 甄子姬， 好，这样写，记住，这样就行了，咱们看一下具体的题目哈。 来，首先我们观察一下这个题哈，啊，第一题是不是集合和集合呀？然后第三个也是集合和集合 啊，第五个也是集合和集合，第六个也是集合和集合，然后第二个是元素和集合啊，第四个也是元素和集合，是吧，咱看一下哈，在判断 集合和集合之间的关系的时候，首先看他是不是相等啊，相等是不是很容易看出来呀？就看两个元素是不是一样的，是吧。来看一下第五题这一题啊， 这里有一个元素一，是吧啊，这里我们看一下 x 减一等于零，这里 x 是不是也等于一啊啊，这里的 元素也是一，是吧，所以他们两个就是相等的哈，所以他们两个相等只是用两种不同的集合方法去表示的哈，这前面是用的列举法，后面是用的描述法哈，这两种是相等的集合。 另外呢，集合的贞子集哈，贞子集也就是这两个符号哈，你就看谁的范围大哈，谁的范围大，开口朝向谁，记住这句话哈，谁的范围大，开口朝向谁 开口，快点开口炒香水， 嗯，把这个记下来哈。来，我们就看第一题哈，从第一题开始看，嗯，一二三四，嗯，这个是二三，嗯，那谁的元素多呀，谁的范围大呀？啊，很显然，前面是不是，所以这个就开口朝向他就行了哈。 来第二题，呃，元素和集合是吧？ m 这个元素在不在这个集合里面在，是吧？所以它就是属于哈。来看一下这个哈， n 大， n 是什么？是自然数集是吧？然后 z， z 呢？啊？ z 是整数级，对吧？谁的范围大呢？整数级的范围大哈，所以排骨朝向大哈啊，整数不是分为整数，分为等于什么？ 分为正整数，零负整数不是吗？是吧？然后正整数和零是自然数是吧？很显然 整，嗯，整数级的范围大，对吧？来看一下第四点哈，领的是元素，然后空级啊，是集合啊，大家注意一下哈，空集是里面没有任何元素的集合哈，空集是里面没有任何元素的集合， 零这个元素肯定不在空级里面，是吧，所以它是不属于哈。 来看下第六题哈，这两个集合肯定不是相等，对吧，可以看出来，那就看谁的范围大，谁的范围大呢？啊，那我们就画竖轴哈这样的题哈。 嗯，负二到三是吧？ 好， i n 小于等于三， x 大于等于三啊，画错了，不好意思， 我把这个那个给你。 x 大于等于三，是往这划是吧？来划竖轴，我们可以看出来，很显然 x 大于等于三， x 大于等于负三的范围大，对吧？所以都开口朝向他哈， 是吧？看看后面，哎，好， 嗯，他这个上面的符号书写的不对哈，就按我给大家讲的这个符号书写哈。 嗯，这个也是快速走的。来看 leo， 这个 leo， 我要重点讲一下哈，还要解释前面两句话， 然后写出集合 m， 嗯，的所有子集，然后并指出他的贞子集哈。嗯，这种写的话，嗯，我给大家出个格式吧。首先我们写这种题目的话，嗯，就写先从嗯 嗯，先从没有元素开始写哈。首先没有元素哈， 没有元素是什么？是不是就空级啊？对吧？来有一个元素， 有一个元素就是嗯一嗯二三，有两个元素 一二嗯一三，嗯二三，是吧？有三个元素 是不是就一二三呀？这是他的所有子级哈啊？他说并指出他的，呃。贞子级是吧？他贞子级就是去掉他本身哈。他贞子级就去掉啊，去掉这个哈，把他给去掉，去掉他本身就是他的贞子级哈。 哎，还有前面我们讲的嗯，一句话哈，就是空即是任何即刻的子即，是吧？就你写任何即合 子级的时候都有空级哈。就是首先我们就写没有元素的，第一个就写空级啊，按这个，按照这顺，按照这个顺序去写哈，不容易漏。空级是任何集合的子级啊，这句话就是对的哈。 还有就是空级是任何级和的，呃。非空真子级。来，大家想一下，呃空级这个级和嗯他呃的他的子级是什么？是不是只有他本身呀？空级的子级是不是只有他本身，对吧？ 那他的贞子级呢？没有是吧？没有贞子级吧，去掉它本身啥都没有了，他没有贞子级，对不对？空级是没有贞子级啊，所以这句话空级是任何 飞空集合的贞子集哈。前面有句话，呃，这句话就是对的哈，大家体验一下哈。 来看书上啊，他直接然后按顺序写吧，是吧啊，但是你要记住哈，他这个思想是告诉你先写没有元素，再写有一个元素，再写有两个元素，然后有三个元素，这样写哈。嗯，你最好以后按这种形式来写， break no 哈， 来，我们看一下哈。嗯，让你用 v n 图来表示述集，嗯，他们之间的关系是吧？然后，首先啊，你在写这一题之前呢？之前呢，你肯定要那个 要先理解啊，哪个字母代表什么数，是不是来看一下 a 是什么？是自然数对不对？来 c 呢，是整数级是吧？来 q 呢，是有理数级，来二呢，是实数级是吧？来看一下啊，最大的应该是实数二，是不是我们首先把大最大的呃给他表示出来哈。嗯，大二 啊，用它来表示哈。然后其次呢啊，其次是不是应该是有理数呀啊？ q 表示出来，然后就是整数，是不是整数是 z 哈啊？最后就是自然数哈， 是 a 啊，你只要表示就行哈啊，并说出他们之间的关系哈 啊，根据集合你去判断，就谁的范围大，开口朝向谁，你 写一下就行了。其实这题哈，你就呃二的范围最大哎，开口朝下二，然后其次是 q， 然后，呃，其次是 z， 最后是 a， 是吧，这就是他们之间的关系哈。 嗯，来我们看练习哈。练习一，嗯，和立一是一样的是吧？前面两个符号是属于和不属于，是元素和集合之间的关系是吧？元素和集合之间的关系， 在这里写上元素集合 来，后面三个啊，他是集合和集合之间的关系哈啊，这个符号他就是 这里这个符号是这样写的，这两符号写的不规范哈，等号是规范的哈。大家记录一下。这三个的话啊，就是集合和集合之间的关系哈， 啊，大家记住啊，刚刚立体已经讲了啊，相等的话，他很好判断 啊，就看里面的元素是不是一样的，是吧？来，前面两个贞子级，我们就判断的时候就想想的话，然后就是看谁的范围大哈，谁的范围大就开口朝向谁啊，记住这句话，谁的范围大，开口朝向谁。 来，我们看一下第一题哈，零元素后面是集合，零这个元素在这个集合里面，所以是属 哈。来看一下啊，前面空级啊，空级是集合啊，后面零这个啊，里面有零元素，这个集合，是吧？啊，两个集合之间就看谁的范围大，是不是啊？我首先写这一题之前哈，啊，这个集合他的所有子积能不能求出来呀， 他的所有子集是不是有空集啊，对吧？没有元素，然后还有这个集合本身，是吧， 来看一下谁的范围大，是不是后面范围大呀，所以就开口朝向后面哈， 来看一下第三题哈，小 i 是元素啊，元素小 i 在后面这个集合里面，是吧，所以就是属于哈。来看第四题哈，嗯，这个 集合，这个集合，他这个集合是不是在这个集合里面，对不对啊，是吧，所以他的范围大，很简单，你就直接开口朝向他就行了哈， 来看一下第五题哈，啊，负四和负四，然后这后面是 x 平方等于十六，那 x 就等于正负四呀，是吧，解出来的 正负四是不是都一样呀，所以是相等的哈，嗯，前面是用列举法，后面是用描述法，是吧，然后看一下第六题哈，这两个集合肯定不是相等，对吧，你就看谁的范围大，是吧，你画竖轴呀，嗯，二 三，嗯， x 大于三，这画的有点那个了哈。 x 大于二 啊，很明显是吧。 x 大于二，范围大，你开过就朝下， x 大于二哈，就行了啊，其实这样题哈。嗯，特别简单是吧，没什么难度 来看一下啊。第二题哈，他让你写出这个集合的啊，所有子集是吧，并指出甄子集是吧。啊，这一题啊，我们在讲例题的时候是不是也讲了呀？啊，首先做这样的题哈，你就先写啊，先写没有元素哈啊，没有元素 啊，就空气是吧啊，有一个元素 这个集合，这个集合是吧，然后有两个元素就是它本身是吧？ 来，这是他的所有子级哈，有五个来指出他贞子级，他的贞子级的话，是不是就去掉他本身呀，去掉他就行了哈，其他三个就是他的贞子级哈。 来看第三题哈，判断下列各组集合之间的关系哈。来看一下集合与集合之间的关系哈。看第一题啊， x 属于 z 啊， z 是什么呢？ z 是不是整数呀？整数来再负二 和三之间的整数有哪些呢？二和三之间的整数啊，是不是有负一啊？嗯，有零是吧？ 嗯，有一啊，有二是吧。然后你用集合来表示的时候，中间多放啊，两边花括号。这个写的有点不规范啊，是不是和他相等 等呀，所以这里 a 就等于 b 哈。 来看一下第二题哈，嗯，判断两个结合之间的关系，嗯，很明显他不是相等的对吧，你就看谁的范围大呀。嗯，负一 零， x 小于负一啊，空心的看看 x 小于零 啊，是不是很明显呀，在数值上可以看出来 x 小于零反而更大是吧，所以它开口就朝向后面哈。 啊，这里，这里是前面结合 c 啊，这个应该是结合 d 哈，结合 d， 看一下题目啊。就是，呃， d 的范围大是吧？你开口就朝向 d 哈，这是 c 哈，开口朝向 d 啊，这样写就行了哈。 来，我们总结一下哈。啊，这节课我们主要学习了集合之间的关系，然后集合之间的关系分大类，就是子集哈，就是子集啊，就是这两个符号，大家给记录一下哈。 然后呢，子极又分为相等和贞子级啊。相等是不是很好判断，就他里面的元素要完全一样是吧？相等哈啊，贞子级，你就判断的时候贞贞子级啊，这就是，这是贞贞子级的符号，我写一下哈。 哎，你判断是不是贞子级的时候，你就看谁的范围大哈。嗯，谁的范围大开口就嘲笑谁哈。嗯，结合之间的关系很简单哈。 嗯，那这节课我们就到此结束了哈，同学们，再见。

同学们好，前两次课我们学习了三点一行数的概念。三点二行数的表示方法有哪几种方法？同学们回顾一下， 解析法、列表法、图像法。好，这节课我们学习三点三函数的性质。 行数是描述客观事务运动变化规律的数学模型，了解行数的变化规律，也就基本把握了相应事务的变化规律。 因此这一节课我们来研究行数的性质。好，我们三点三点一行数的单调性。 同学们观察一下，左下角这幅图形是某次天气温度 y， 学者时间 x 的行数图像，这个行数 y 等于 fx， 同学们观察一下有什么 规律吗？或者说有什么性质？当诸必量 x 变化的时候，行速 fp 开始有什么变化呢？ 左边这边 tom 四到了 十四这边是不是随着 x 的增大，外值也是不断的变大？当从十四十到二十四十这边 是总的是整个下降趋势，也就是说当 x 属于十四到二十四十，含蓄五百等业务给 x 的值随着质变量 x 的增大反而减小，从四到十四的时候是 增大，从十四十到二十四十是学的增大减小，这就是我们今天要学的 横竖的单调性。 我们如果说用数学的符号表示在给定区间四到十四上， 对于图像上的任意两点， p x e y e p r x r y 二，当 x 一小于 x 二时，都有 y 一小于 y 二，即 f x 一小于 f x 二。 啊，这个就是我们要讲，等一下要讲到的是，这是当他增大的时候增大，同号是增行数， 我们看图像也可以看出来，他是一个上升的趋势，当你这边是不是一个上升的趋势， 这边是十四到二十四，是一个下降的趋势。当在给定区间十四到二十四上图像上的点 p 三 p 四，那么当 x 三小于 x 四的时候，外伤大于等于大于 y 四及 f x 三大于 f x， 他是一个下降的。好，这样其实是一个减横数。 好，这个就同学们课本翻到第九十商业这边概念 要给我画一下，如果对于区间埃上的任意两点，我们学增函数或者减函数，都是对于一个期间来说，要强调 期间这个概念。对，而且是对于任意的两点，当 x 一小于 x 二时， f x 一小于 x 二，那么称行数 y 等于 f， x 是正行数。 就像左边这边涂一，这边当 x 从 x 一到 x 二 是变大的，他的外置 f 也是变大的，那么 x 一到 x 二就是他的真区间。 同理，对区间爱上的任意两点， x e x 二，当 x e 小于 x 二十都有 f x e 这边是大于，那么称是减行数， 而且一定是在区间爱上的简行数。好，五、图二 这边是一个上身的一个，这边是下降的一个真的一个简的。其实方便同学聚会的话，一般是 这边是小鱼的时候，这边也是小鱼，他是铜像的 同向为针， 反向违建， 这边是小鱼的，这边他的对应的值却是大鱼的，是反下的，这边反过来的是几行处。这个概念是不是比较好理解？ 如果行数 y 等于 f， x 在区间爱上是真行数或减行数，那么称行数 y 等于 f， 是在区间爱上具有 单调性区间还称为单调区间，真区间也为单调真区间。简区间也称为单调简区间。 好，我们看课本九十三，音乐的利益根据行序物在二上的图下，如下图所示，写出单调期间，左边这边 这一段，这一段是不是上升的，这边是下降的， 读一所是，其实这边他还没有全部画出来的啊。如果他这边是其时尚是到有一直到富无穷，这边是一直到正无穷，左边这边 是小于零，小于等于零的是负无穷到零，他是一个正区间，减区间是零大零到正无穷。好，右边第二幅图二，那 图二首先他就是不能取到这个顶点吗？如果同学们有一局的话，第三个小结的话，他是仿比立堂数好，这边是没有取到的这个点圆点。 第一是富穷到最无穷，他在这边的时候也是真期间，在这一块的时候也是真期间吗？ 好，他的正确纤维这里这两块 函数 fx 等于 x 分之一的减去间，能写成负无穷到零或者并上零到正无穷吗？啊，这是 不可以的，同学们自己回去思考一下，你可以去吃你负的，带两个纸进去，挣的两个纸带进去你就会发现 是不能的，我们当掉区间一定是在不能说你一个区间是真的，一个剪的，你说这个是他的卷期间， 如果说这要在两个区间， 好，我们 六二 讨论。 fx 等于二 x 加一再复活，穷到正无穷，也就是二上的单调性， 要判断断断掉性。其实我们在学习或者是大小时时速的大小的比较的时候学过一个做擦发，我们这个其实也是可以，又可以用做擦发 取任意的 x 一 x 二属于二，取 x 一小于 x 二，我们再用做叉法， f x 一减 f x 二， x 一带进去就二 x 一加一减去二， x 加二 加一跟加一这边减掉，减掉，那么去扩化之后变成等于二， x 加减一减去二， x 减二，那么提取个二变成二 一，两边的 x 一减 x 二的差，那么 x 一小于 x 二，那么 x 减 x 二是小于零的，乘以二也是小于零的， 所以 fx 一减 fx 二小于零及 fx 一。小鱼是二，我们刚刚有学到，这边是小鱼的，我们这边也是小鱼的，同号同向， 喂，真 反向为减啊。所以行数 fx 等于二， x 加七，再二上是分行数。 我们再看历上这边是不是稍微更复杂一点，他是在小于零这边区间上是要证明他证明的，就证明两个字先写上去吗？也是论取两点， x e x 二属于负无穷到零，且 x 一小于 x 二， 一般说是判断或者证明的都是这样去设置好，我们再用做插法， f x 一减 f x 二大进去， f x 一等于这个， f x 二等于这个。做叉之后就等于 x 一和一 消掉，那么剩下 x 一分之一减 x 二，通分一下就变成 x 一分之 s 二分之 s， 二减 x 二，这边两个小于零的数相乘是大于零的， x 二是大于 x 一的，这边是大于零的，那么整个呢？ 是不是大于，那么变成 fx e 减 x 的大于零，即 f x 一大， f x 二，这边是小一号的，这边是大一号的。我们先记住口诀，反向 回见 好同学们，这两题有掌掌握吗？其实我们一般做题的顺序，一是曲直吗？是曲 x e x a match 排序。 第二步，坐插变形就是我们有坐插法吗？ 第三步，判断符号吧， 下定结论。 好，这个步骤同学们要掌握啊。 我们课本翻到第九十五页，做一下习题，三点三点一， 行数 y 等于 x， 加一，再二上是正行数还是减行数？其实我们带两个纸进去啊，你比如说带一和二， f 一等于多少？一加一等于二， f 二等于多少？ f 二等于三， 他是不是正行数？就你 x 值二大一，他的值对应的外值也是大于的，是正行数，同向为正啊， 这个负二 x 也是。你也可以带大衣吧，这边 一等于多少？ f 一等于负二， f 二等于负四，负四是小于负二，那他是 减行数啊。同理，这边也是，你带两个数，带几个在第一，一定要在这个范围内啊，他这边是负无穷到零，你带。比如说你带负二和负一进去吗？你可以发现他是一个减行数 啊，这边一同力的啊，这这边就不再写了。你这边他要是在这边，你就可以带一个一，比如说带个五进去，就可以判断发现他是真函数。 其实等到学到第三小节，你们有的实际上一看，这边大于零，这边就是正函数，这边是小于零，这是减函数啊，这个后面会学习的， 我们继续看。第二，一只函数 y 等于 fxx， 属于 for 到四，如图所示，是写出行数的单调区间，并说明每一单调区间上的行数的单调性。这个就相当于看图说话了，是不是比较简单， 在负二到零这一段，是不是单调减区间？在零到一这一边是单调正区间，这边一到二是减的，二到 四这边是减的啊，你可以整个一起写，这边是当掉减期间是吧？是 啊，逆商是比较麻烦一点。可有的同学又回想一下，刚刚我们做利业利商的时候是怎么做的？是 先取两个色，两个字， x ex 二，再再再做叉，再做叉了再看结论吧。我们看到这些题目，不用怕吧，同学们一看到有不多，不知道这边有个 m 就慌了，其实没关系， 好在二三十点上数一样的好。我们是就 x e 小鱼， xr 他们都是属于 r 的吗？ number 换一个笔，同学们自己思考一下，稍微等一下， 那么 have you exit 是等于多少？等于 mx 一加二， x 一 减五， f x r 等于 m， x r 加二， x 二减五，两个相减 applex 一减 applexr， 副跟五消掉，就变成剩下 m 加二， x 一减七， m 加二， xr 等于 m 加二， 一减 x 二， x 一减 x 二是小于零的，因为他是减行数，那么只能这边总的是要大大于零吗？这边是不是也要小于零？那么就是 m 加二要小于零及 m 小于负二。好，我们再看一下第四题， 致敏函数 fx 等于负，是减函数吗？你就又是一样，是说 x e e x r 是属于二吗？ 伴奏是这样设置的，那么 这边 f x e j f x r 等于多少？负到 x 一？好，这边先跨起来，减去二减去负到 x 二减二，负二下掉， 等于辅导 x 一加 x 二，也就是等于 x 二减 x 一。 x 二是大于 x 一的，是大于零。 这边是小鱼，这边只是大鱼的啊，也就是 这边是大鱼，那么他急，所以得正。我们再看第二题， 同样的事我就不写了，我们看 f x 一减 f x 二，如等于二倍的 x 一的平方加一 减去后背的 x 二的平方加一 等于两倍的 x 一的平方减 x 二的平方，等两倍的 x 一加 x 二乘以 x 一减 x 二， x 一减 x 二是多少？ 他是不是小？这边是小鱼鳞的，这边两个是小鱼鳞的，数相加也是小鱼鳞的，那么整个指是小鱼鳞的，乘小鱼鳞的是不是大鱼鳞， 那么所以得证他是减行数。好，练习就做到这边，我会把 参考答案也练习的，参考答案也放到这边。嗯，含蓄的性质单调性就讲到这边。感谢同学们的聆听。 好，当函数的单调性就讲到这边，还有。嗯，既有性。第二节三点三点二的下一节课再讲了，谢谢。