同济八版高等数学习题全解有用吗

嗯，到底是去卷这种高等数学还是去卷这个高中、初中、小学的数学，包括竞赛好呢？嗯，不少朋友他建议我去卷高高中数学以及初中小学的， 我看到不少做这方面的，以清华北大的博士什么的，以这些名义来做这种高中、初中、小学这种理科教育的。 确实，这个付费医院比较强，尤其是一些家长在他自己孩子理科不行的情况下，特别着急，各种询问啊。付费医院很强， 我觉得可能这个初等教育呢，确实，嗯，因为有家长把关很多。嗯，市场更大。嗯，尤其是这个，他们那个思维模式还没有形成的时候，很多时候确实需要人的引导。怎么呢？ 把这个理科给提高？因为我觉得像初等教育的这些理科啊，他通过努力啊，就可以学好的。呃，基本上不需要天赋，像这个，当然像这个高等数学这种微积分呢，现学代数啊， 还这个概率论，那努力也能学好的。我现在既然选择了这个高等数学，那我肯定要把这三门课先学完， 给他搞精了，然后。嗯，搞一搞考研数学，把这个弄好了之后再考虑以后是不是要也去去卷这种啊粗等的这些礼盒啊。哈哈哈， 确实也是比较明智的。那样的话，我今天其实有点有一点贪工了，我本来是想做习题的，做着做着我就一口气要把那 这个微分的应用以及长微分方程这一块给他看完了，也就是说这个同济高能数学的上册我就看完了。 其实这个是不好的，因为比较贪工，时间应该还是看一点做做习题，再看一点，再做习题，这样比较巩固，比较务实一点。看这个微积分的应用以及常温方程这一块的时候设计的大量的物理知识。 其实我感觉我的物理啊又又早就忘记了，像那里面什么电杆电阻电流，什么张张力各种力学， 其实只是简单的记得牛顿第二粒粒 m 灯，呃， f 的 m a 哈哈，但是最简单的受力平衡分析吧，其他的其实真忘记了。所以说学这一块有时候挺烦躁的，尤其是这个常温风尘这一块，你们的计算量实在太 太大了，而且那些打新号的那些，嗯，那些章节你们的计算量实在太恐怖了，一不小心就算错了。计算能力的培养也是非常重要的， 不然你在考试的过程中那错了，计算错了也也就错了，是吧，很可惜。嗯， 这个常规工程难倒是不难，就是里面这个计算量还有涉及到物理概念比较困难，我不知道。嗯，考研这方面。嗯，会不会真出一道和物理结合的这种题目啊。搞一点受力分析，我觉得如果从素质教育的观点来看，估计这样还是应该是。 嗯，比较好的。呃，跨学科嘛，这样来来做这些事情啊，比方说搞一点经济学的原理啊，搞一些物理学的原理，搞些生物学的这种化学的， 把这套进去啊，把它读懂见方程连力求解。哈哈，结果觉得可能是，说不定以后真这样搞呢。现在像小学的一些素质教育，不是像北京的一些改革试点，不就把试题搞的 很那个很跨，学课要需要大量的阅读理解，这个学了一点题外话。 嗯，我这个星期接下来就把这个上册的这书，这本书上所有的习题全部给他做一遍，就这个星期的任务 不再进行，这样走马观花的去往前跑了。跑的也没用，这个跑完了就是把下次再看完呢，可能你回头一看，很多知识没巩固好的话又忘记了。当然这个过一遍可能不一定行，后面可能还要还会再过一遍。 嗯，以后去买一点，在网上买一点习题，包括真题。真题我现在应该不会做，等以后我把它复习完了，我自己把这个十年真题自己测一下，看自己的水平怎么样。 嗯，所以说这在这之前真题是不能看的。嗯，那今天就分享到这里，拜拜。

同济大学那本书有没有必要买了学？现在大二，同济大学首先第一个同济大学那个高等数学那个绿皮书还是非常经典的。我的建议是 你现在大二，有大三的你像现在开始学的，你根本就不用看，看都不用看。大二的话我觉得你反正可以考虑买，买了之后呢，就是结合老师课上讲的有些如果不懂得再对照着去找到，再去看一看，加深一些理解都是好的。 你像于老师昨天上内部直播，内部直播的同学知道我昨天上了将近两个小时吧，对不对？只给同学涨了五道题，应该 讲的非常非常的细，就是为了让大家把级数搞懂，对吧？怎么去考的？两个小时讲五道题，而且是小题啊，不是大题。所以的话，你要相信你自己把某些题目某些概念 理解的越深，对你后面的学习是越有帮助的，反而你把一些知点学的很浮躁是没有什么意义的。所以同济大学。但是同济大学那那本书啊，我不建议专人本的同学以那个为主要的书去看，因为那上面超纲的太多了。我的建议就是你以我的课为主，然后的话能够结合那本书是没有什么太大问题的 好吧。嗯，但是千万不要以那个书为主干线，因为不适合专科的同学，这个那个书是非常好的，但是不适合，大家知道适合永远比最好的好，你说。嗯，这个东西再好，但是他不适合我 又有什么意义呢，对吧？啊，所以就是专科的同学可以买那个东西作为参考，但是他不是你做专专本的一个主，主的一个书啊，大二可以去买，大三的话我不建议现在你再去看，翻都不用翻，说真的。

那有些同学问高等数学上册习题级问，什么时候能出版啊？谢谢我们这些同学的关心啊，正在紧锣密鼓的印刷之中啊，大概我觉得应该一个周之内吧。嗯，就是十月底，应该是没有问题啊， 我们起了个名字叫做高等数学上册七百五十题啊，精选了高数上册的，我们认为是经典的，比较有代表性的七百五十个题目啊，有简单的，有中等的，也有综合的，相信会对大家大一的期末考试会带来很大的帮助，敬请期待。

那有些同学问他的教材不是统计版的高数啊，问能不能也看孙老师的视频，成为孙老师的学生啊？啊，我们现在国内的教材啊，其实内容都差不多哈， 微积分上册和高等数学上册的内容也几乎是完全一样的，没有什么很大的差别。所以大家喜欢看宋老师的视频的话，那欢迎啊，这个大家订阅宋老师的视频，可能对大家的高数学习啊会有一些帮助。

考研数学的基础的教材，大家统计七版的高等数学统计六版的现代数，浙大四版的概率论语、数据统计，再配套课后习题讲解八本书考研数学，只要你考，先把这八本书买了。接下来是张宇的高数十八讲，现在九讲概率九讲。

我们再来看这套高等数学的辅导，高等数学也是使用最广的一套教材，不管你是专科、本科、专升本、考研等等，用的都是这套教材，只是呢，考察的难度不一样， 哎，你专升本考险了，你考研考的就深。我们先来看上册 章节， 上山分七个章节，他也是讲解细分到每小节里面 给出了详细的怎么的习题答案的沐浴露液，同时也给出了一定数量的视频讲解。 总书采用一个双色印刷课后习题全解， 这本书是个三十二开本的一个，好像比三十二开本大一点，看不懂四百二十一页， 再看下次前眼就不绕了，只看目录，从第八章开始。 最后十二张无穷极速 学习引导知识点常考知识点， 考研要求典型题，真题和解题方法。 最核心的课后的习题全解，课后习题全解满。上面还有很多的二维码，大家有自己看不懂的可以扫码看一下，老师的一个讲解 设计非常不错，而且这套这套书的折扣也是很大的，这么厚两百加起来 金钱叶 价格呢，可以看一下下方的小黄车，很实惠。

我们接下来看一下习题一杠二的第一题，他在问我们下面这些书列，哪些书列是收列，哪些书列是发散？ 并且让我们观察一下这个 x n 的一个变化趋势，让我们写出他的一个极限，这个实际上就是让我们看一下这些局呃，数列式的一个求一下他的极限就行了， 而且也不需要我们通过定义，实际上我们通过一下他的变化趋势就可以来判断。那么首先看一下第一个，也就是当恩趋近于无穷的时候，那么 显然这个二的 n 的无穷啊，二的 n 次方是不是就会趋近无穷大，那么一比上一个无穷大，那么最后他是不是就是零？那么所以他肯定就是收敛的，并且他这个应该是不是他的极限 就应该是零，我们就写在后边吧，是零。接着我们看一下第二个，第二个是负一的 n 次方乘以个 n 分之一，同样当 n 区于无穷的话，一除以 n， 那是，呃， n 是无穷，那么是不是也是取决于零的？ 那么你前面这个系数不管是正还是负，他最终都是零，所以他的极限也是零。接着我们看一下第三个，第三个的话，我们知道当 n 屈君无穷的话，这一部分是不是他是屈居于零的，那么剩下的是不是一个长数二，所以他的极限就应该是二， 那么再看一下第四个，第四个是 n 减一，比上一个 n 加一，那个我们直接把 n 无穷带进去的话，是不是个无穷比？无穷我们也看不出来，那我们可以对这个柿子做一下变形，我给上下，呃，分子分母全部同除一个 n， 他是不是变成一减 n 分之一，底下是不是一加 n 分之一？ 那么知道当 n 去于无穷的时候， n 分之一是零，那么一减零上面是不是个一？然后底下的话是一加零，是不是结果最终就是一，它的极限就是一？那么接着我们看一下第五个，第五个是让我们求的是 n 乘以负一的 n 次方，当 n 去于无穷的时候， 那么我们可以看到你屈俊无穷的话，那你可能如果这个恩呃是正的话，那是不是就呃偶数的话，是，他是不是应该正无穷？如果是基数的话，是不是就富无穷？那不管是正无穷还是富无穷的话，他都是发散的，他肯定是不收敛的， 这是一个。接着我们再看一下第六个，第六个的话是二的 n 次方减一，比上一个三的 n 次方，这个直接我们是看不出来，我们还是做一下处理，我就给分子分母上下全部同除一个三的 n 次方， 那分子的话是不是三分之二的一个 n 次方，再减去一个三的 n 次方分之一，然后分母的话是不是就一了？我们再整理一下，那是不是三分之二的一个 n 次方，再减去一个三的 n 次方分之一，那显然的话 三分之二是小于一的，那么你取决于无穷大的话，那这个整体是不是取决于零的？那么同样的 n 取于无穷大三的 n 次方，取决于无穷大一，比上一个无穷大，他也是取决于零的，所以他这个极限还是零。 接着我们再看一下第七个，第七个说的是 n 减 n 分之一，那我们知道当 n 取于无穷的时候， n 减 n 分之一，他是不是零，那么剩下一个 n 也屈居于无穷，那所以他这个是不是还是发散的？ 接着我们看一下呃，第八个，第八个的话，我们首先先看一下这一部分吧，这部分的话，我们 们给分子分母全部同，呃同出一个 n 是不是一加 n 分之一的一个一，那么当 n 去于无穷的话，他是不是就是一？这一部分他当 n 去于无穷的时候是一，但是我们再观察一下这一部分富 一的恩赐方再加上一，那显然当你恩为偶数的时候，他是不是就是一个二？当恩为基数的时候，他是不是就是零？那么同样的话，当恩是为基数的话，他和前面这个关系成，他是不是就是取决于二？当你恩是基数的话，他就是零，那你就说明了，当恩 是那个肌肉性不同的时候，他屈居于两个不同的纸，所以他最终也是发散的，这样的一个树叶肯定也是发散的。那么接着我们再看一下第二题，第二题他是让我们判断一下，呃三个 命题是否正确，或者说是，呃判断一下这个，回答一下这个命题。呃，首先我们看下第一个，第一个就说数列的有界性是数列收敛的一个什么条件，那么也就是说是我数列。呃，首先我们判断一下，那么如果数列是收敛的话， 那么知道他一定是就是可以推出有界的，那这个没问题，那这个就是，首先这就是一个必要条件。那么接着我们来看段一下，如果他有界的话，能否推出来一个收敛呢？ 那这个我们知道应该是不行的。那么最简单的一个，我们知道一个负一的 n 次方，他肯定是一个有界函数，那么他是不是就是肯定是小于等于一的？ 那么但是当恩屈于无穷的时候，他如果是基数的话，呃呃，基数的话，他是不是就是负义？如果是偶数的话，是不是就是正义？那么他在不同的情况下取决于两个不同的职，所以他肯定也是一个发散的，一个熟练，所以的话，也就是说有届推不出来一个收敛， 那么所以的话这块我们就应该说是他就只是一个必要条件，这第一问我们就解决了。接着我们看一下第二个，第二个说是无界函数是否一定发散啊？那显然呢，你是个无界函数，那么也就说你区域无穷大，那么肯定是发散的。 那么第三个他说是有届数列是否一定收敛，这个是不一定。刚刚我们也举了一个这样一个例子，就是负一的恩赐方，这样的一个例子，我们刚刚也举过了，他是有届的，但是他是发散的，没有收敛。 接着我们看一下第三题，第三题说的是给了我们一些数，呃，数列 xn 的极限是 a 的一些定义，让我们判断一些这些定义哪个是对，哪个是错，对的话人们说明下理由，错的话人们给一个返利。首先我们看一下第一个，第一个说的是 对于任意给定的 epr 大于零，它存在一个大 n， 属于这个正整书籍，当小 n 大于大 n 的时候，只要这个式子成立，他就可以说明他这个机械呃的 有定呃有极限存在，并且这个极限是等于 a 的，那么这个应该是不行的。我们首先知道，我们先首先我们得知道如果这样的一个极限他要是存在的话，他本身的定义应该是什么？是不是一对于任何的一个 z 大于零存在一个大 n 属于 n 星，当 n 大于大 n 的时候，是不是要满足 xn 减 a， 它是要小于 episode， 那么这个时候我们判断一下，这块显然是要一个带绝对值的，那你这块第一个他是没有带绝对值，那么就想会不会有一个返利，那么最典型的一个返利，那我们把 xn 如果取成一个第一的 n 次方，再加上一个分分之一，哎，我们取成这样的一个情况， 那么显然这样的一个数列他肯定是发散的，因为你这一部分是这部分是零，但是这一部分他有可能是正一，也有可能是负一，那么这个时候我们的就 说在这种，我们看在哪种情况下我可以满足于这个，但是他这个发散数列却可以满足他的一个条件，那么可以试一下，当 a 如果是不等于一的话，我们就假设他 a 等于一的话，那是不是那么 xn 减 a， 他是不是就等于 负一的一个 n 次方加上一个 n 分之一，再减去一，他是不是来我们知道这个式子是不是肯定是小于等于 n 分之一的， 那么你这只有两种情况，如果你是偶数的话，那么你这个是不是就是等于二分之一？如果你是基数的话，你是不是说负二再加上一个分之一，那么肯定都是小于二分之一的，那么我要只要你这个小于一个 epc 了，那么这个时候我们肯定也是可以找到这一个大恩的，我们 只要取这个大 n 等于向上，向上取整的一百分之一就行了， 明了，这样的一个发散数列他也可以满足于这样的一个条件，所以这样的一个就说是关于数列极限是 a 的一个定义，他就是个错误的，我们就会给他写一下是个错误的，我们再看一下第二个，第二个的话， 他是不是就说对于任意给定的一个 epc 了，大于零存在一个恩大于大恩，当小恩大于大恩的时候，有无穷多项 满池的这个不等式成立。我我们看一下他这块唯一的区别就是说是我这块是说的是只要你这个大恩大于小恩大于大恩之后所有的都要成立，他这个说的是有无穷多项成立，那我们就想着我举一个反例，一个是鸡，一个是藕，那么比如说我们 成这个样子 sn， 那么如果他本身的一个基础就一减 n 分之一，那么我就说他是 啊， n 等于二 k 减，呃，加一吧，这样就是一个基数加另外一个话，他如果这个 n 是偶数的话，就是二 k 的时候他是这个样子，那么显然的话，我们知道对于第一个，第一种情况，我们只要 a 等于一，那个这个时候的 就是我们就这样说吧，就是 n 等于二 k 加一十，那么 xa 减去一个 a 是不就等于一减三分之一，再减去一个一 啊？这不对，这会有个大夫绝对值，他是不是等于 n 分之一，然后只要他小于一 p 了，那么是不是也就说明了，同样的，就跟上面一样，我只要取了这个大 n 等于取个上限的 epc 分之一，那么对于这一部分来说的话，它是不是说肯定是有无穷多个满足于这样的式子， 我满足了他的条件，但是这个 xn 这一个整体而言的话，他是不是肯定是个发散的？因为当 n 为偶数的时候，他是屈均于无穷的，那么这个整个的一个就是一个发散的，那么就说明了我们找到了一个发散的数列可以满足于他给定的这个条件， 那么所以说明他这这个给出的定义就是错误的，我们的后面给他写一个错，那么再看一下第三个，第三个的话前面我们就不说了吧，前面都是一样的，然后他是要满足于不等式是 xn 减 a 小于 c 的一个 epc 楼，其中 c 为 某个正在常数啊，那我们可以看到的话，本身这个 epc 楼是不是就是任意给定的？那么我只需要就相当于我把这个 epc 楼是不是再换成一个 c 这一的一个 epc 楼的话，那么是不是这个式子就可以满足于 xa 减 a 小于 epc 楼？ 实际上的话，我这边要是说你本身就是个任意给定的一个大于零的常数，那我给你再乘一个正常数，实际上是不影响的，我可以把它看作一个新的一个 epc 了，是没有问题的，那么基本是，呃，如果这样考虑的话，是不是和我们的定义本身是一样的，所以的话他这个定义的就是正确的。 那么第四个的话，我们再看一下，就是任意给定一个 m 属于这个正整书籍是否存在这样的一个 大恩，当小恩大于大恩的时候，那个他满足于这样的一个不等式，那么我们知道你这个 m 是一个正整数的话，那么的话你这个 m 分之一是不是 也肯定是大于零的？那我们就可以取这个 epc 就是他就可以了，因为你这个是 m， 如果是任意给定的，那么你 m 分之一的话，肯定是一个大于零的数，并且我可以根据你这个 m 的变动对应的话，这个 epc 楼是不是也是任意的？ 那么如果你能这样子取的话，那是不是说这样的一个不等式也就满足了 xn 减 a 是小于 epc 楼的，因为前面的这些条件都是一样的，我们不用管，那么也满足于我们本身的这个定义了，所以说的话这第四个这个定义也是正确的。 那么接着我们再看一下第四题，第四题的话说的是给了我们一个树立 xn， 他的一般项是 n 分之一乘以 consine 的 二分之恩派，问我们这个 xn 的一个极限是多少，那个的话我们质疑上我们可以考虑一下，首先知道 cosin 的这一部分他是不是肯定是小于等于一的 个，或者就肯定是小于等于一的是个有界的。然后这个 n 分之一的话，他是不是当 n 区均无穷的话，他是零，那么这个整体是不是也是区均于零？那么所以我们就直接可以写一下 a mate 的 n 区均于无穷的 x n， 他的结果就是零， 那么呃，这样一写的话，我们是如果想要证明他的话，是不是还得需要用利用定义来证明一下？再接再加上他后面是不是然后我们 求一下这样的一个大恩，然后并且让我们求在 epc 了等于零零点零零一的时候要求出这个恩，那实际上我们那个利用定义来证明一个数列的一个极限，实际上的核心是不是就要求出这样的一个恩， 那么我们就是来证明一下，我们本身要证明的是不是就是说是对于任何的 epc 了大于零就要找到一个大恩，当小恩大于大恩时， 我们这边是一个分析的过程啊，当大 n 小 n 大于大 n 的时候，是不是要满足这个 xn 减 a 是要小于 epc 楼，这个 epc 楼是任意一个大于零的数，那么对于这道题来说的话，我们想要证明这个是字，实际上它是不是要证明的是不就是 n 分之一的一个 cosy 的一个二分之恩派？再减去一个零，这里的 a 是不是就零，那他是不是就等于绝对值的 n 分之一乘以一个 cosy 的二分之二分之恩派？ 那么知道三角函数他是不是肯定是小于等于一的，那么这一部分是不是小于等于分分之一的绝对值，那我们知道 n 是一个正整数， 那么他是不是就等于 n 分之一？也就说这一部分我们只要证明了 n 分之一小于 ebc 了 的话，我们是不是就证明了这样的一个柿子？那么接的话，我们就说当 n 大于什么样的一个柿子就可以了，那么我们把这个 n 给它解出来，那么我们这个移出来，那么 n 是不是就要大于一百分之一？ 但是我们知道这个大恩是一个整数，然后这个一百九十分之一，他他有可能不是一个整数 或者是一个小数，那么也也没有关系，我们就取这个 n 向上取，因为我们这个 epc 喽，反正 n 是可以取到无形大的，那我们想找到这个大 n 的话，如果一个大的数字就是让他尽可能大，只要成立的话都是可以的，那我们所以对这个 epc 分之一，我们就对他进行一个向上取找， 尽量让他取得大一些，那么对应的话，我们这个实际上是不是就找到了这样一个数字？然后接下来我们可以这么来写一下，那么说明对于任何的 etc 大于零是否都可，我们都可以取这样的一个小 n 等于 像 epc 分之一的一个向上取整，然后当小 n 大于大 n 时，那么 xn 减 a， 它是不是就等于一个 n 分之一 一的一个高三的二分之 n 判减零的话，我们就不用写了，那他是不是小于等于一个 n 分之一，那么他是不是就小于一个 n 分之一 啊？对，是小于 n 分之一，那么 n 分之一的话，他这块有向上去找，他是不是肯定小于等于 e、 b、 c 六分之一，那么翻过来他是不是就等于 e、 b、 c 了？那是不是这个也就证明了 x n 减 a 就小于一个 epc 了？这里的 a 实际上我们就直接可以写成零吧，应该准确的写成零，因为我们已经知道了判断的他的这个极限就是零， 那么这个我们根据定义是不是就证明了这个式子是正确的？那么接着的话他就问我们，当 epc 楼等于零点零零一的时候，让我们求说一个 n， 那么就给他算一下吧，就是直接去利用这个式子 分是不就等于向上取整的一三六分之一，我们给他带进去，他的话是不就是一除以零点零零一，结果是不就是十的一个三次法？ 这个的话实际上就是在考察我们对于定义的一个理解，我们判断出来了一个数列的一个极限之后，我们还是要利用呃定义去证明一下，要证明的关键实际上就是要找到这样的一个恩，要找到这个恩的话，实际上我们就是通过 这样的一个不等式，然后把这个小恩给他解出来，然后再进行一个向上的一个取整，就是找出来的这个值就是一个大恩。

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