八年级上册做对称轴的方法

这个视频咱来讲讲怎么画轴对称图形。我给你一个三角形，给你一条轴，让你画这个三角形对称过来的图形怎么画？这简单，选三角形的顶点，让他关于这条线对称，再连上就好了。也就是说，想要轴对称图形，只要对称几个点就可以了。那怎么对称点呢？比如这个点 a 怎么做他的对称点？ 你只要过 a 做对称轴的垂线，取这两条线段长度相等，这个点就是 a 的对称点 a 撇了，用同样的方法把每个点的对称点都做出来，再把对称点连线，就完成了图形的对称。 那如果对称轴刚好穿过图形怎么办呢？还是要做三角形 abc。 关于这条线的对称三角形，那就还找对称点点 a 对称过来是 a 撇点， b 对称过来是 b 撇，那点 c 呢？已经过来了呀，别急，你要做的是 c 关于 这一条线的对称点，既然 c 在右侧，那就这么对称过来，他的对称点在左侧，依然顺势连接， a 撇， b 撇， c 撇，这个三角形就是对称之后的结果了。 总结一句话，画肘对称图形的关键就是画出几个关键点的对称点，然后把对称点连起来，不全图形就可以了。好了，为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！

各位同学大家好，我们上一节课学习了与线段的垂直平分线有关的作图，那么这一节课呢，我们继续来学习作图，主要的是画作对称图形。 那么请大家看，我这里面有一个有一幅画，再有一根直线，现在请你以这条直线作为对称着画出关于这条直线对称的这个图形的另一个部分，那么能画的出来吗？ 那么这样呢？我们这幅图案就是关于这条直线成做对称的。那假如我再给你一条直线，叫你把这幅画关于这条直线对称，我们又可以画出来。如果接着画 右边的这根直线，都是左边这个图案，左边这个图案 跟这一条直线这个图案，这两个图案关于这条直线对称。那么经过这样画，我们就可以画出一幅很美的图案。这个图案呢，实际上是都是做对称的。 那么大家继续看，假如我给你这个图案，再给你这样一条直线，要你画出这个图案，关于这条直线成主对称的图形，能画的出来吗？同样的我们可以画出来，对吧？ 那假如再给你一条直线，把上面这两个图案看作一个整体，让他关于这条直线对称，画出他的对称图形，那我们又可以设 记错这样的一个比较漂亮的图形。再比如说我这里面给你一个福的灯笼，给你不同的对称着，那么我们就可以设计出这样的一幅福的灯笼的图案 啊。利用着对称，我们可以设计出一些很美的图案。好，那现在我们就来做一做， 请大家在一张半透明纸的左边部分画一只左脚印，然后把这张纸对折以后描图，然后打开对折的纸，我们就能得到相应的右脚印了。 我们把它把这张白纸透明的白纸对折对折以后描图， 秒了以后得到的就是右脚印，得到就是相应的右脚印。那么请大家注意观察，仔细观察这个图，左脚印和右脚印有什么关系？左脚印和右脚印什么关系啊？是不是称左对称啊？ 再看这个对称着呢，是折痕所在的直线，也就是直线 a l。 那么这个直线 a l， 它与图中的线段 p p p 是什么关系呢？ p 顶 p p 顶是一堆对称顶啊。这是什么关系啊？ p p p 与 a l 什么关系啊？ 是不是对称着 l 就是线段 p p p 的垂直平分线啊。那也就是说明直线 l 垂 直平分线段 p p p 对吧？直线 l 垂直平分线段 p p p。 好，我们归纳一下。 有一个平面图形，我们可以得到与他关于一条直线 l 对称的图形。一个平面图形，比如这个脚印 给你一条直线 l， 那我们就可以得到关于这条直线对称的图形。那么这个图形 画出来的这个图形与原来的图形形状和大小是完全相同的。这是第一个特征，画出来的这个图形和原来的图形形状和大小完全相同。第二个特点就是新图 图形上面的每一个点都是原图形上面的某一个点。关于这条直线 l 的对称点，你像 p p， 我可以在原图当中找到 pd 音。关于执行 l 对称 第三个特点，我连接任意一对对应顶的线段，都被对称着垂直平分。比如说我连接任意的这个顶 p 顶 p p 这一对对称顶，它都被这条直线 a、 o 垂直平分。 这是一个平面图形啊。我可以得到与他关于一条直线。哎呦，对称的图形。对称的图形。那么这个对称的图形跟原来的图形有什么有什么 特点呢？对称的图形与原来的图形形状大小是完全相同的。新图像新图形上面的每一个点都可以在原图形上面找到一个点。关于 l 对称。 第三个呢，就是零级任意一对对称点，这样的线段都被对称着垂直平分，都被对称着垂直平分。好利用这样的性质，我们来做两例题。你 将一张正方形纸片，按照图一、图二所示的方向对折，然后沿着图三中的虚线剪裁，就得到了图四。那么将图四的纸片展开铺平，那么再得到的 图案是哪个呢？看看再得到的图案是哪个？对折，再对折，然后紧，那么再得到的图案是哪个啊？ 我们只要动手做一做，紧一紧就可以得到了。是哪一个啊？就是 b， 就是 b， 就是这个形状，动手做一做就可以出来了啊。动手做一做好，我们再看一二。 如图将长方形 a、 b、 c、 d 沿着 d、 e 折叠，使得顶 a 落在 b、 c 上面的 f 处。 如果角 e、 f、 b 这个角等于五十度，那么角 c、 f、 d、 d 的度数为多少？ cf 角 cfd 的度数为多少？那么将长方形 a、 b、 c、 d 沿着 d 一这个折叠，那么折叠说明 d 一就是对称着折叠过来。这两个图形实际上就是关于 d 一 乘着对称对吧？那么乘着对称的两个图形一定是全等的图形对吧？所以这个是九十度，那么这个角也是九十度对吧？ 那么这是五十度，那么这个角呢？就是四十度了吗？所以角 c、 f、 d 的度数，那么就是选 c 了，四十度。说明一下，折叠实际上是一种做对称变换，折叠前后的图形形状和大小是不变的，对应边和对应角 都是相等的。折叠啊。折叠是一种左对称病患，像我们刚才把那个脚面折叠，折叠是这样，两个图案就是完全形状大小完全相同。好，下面我们就来学习如何做左对称图形。 那么如何画出一个顶的做对称图形呢？我这有一条直线， l 还有一个点哎，那么现在请你画出点关于这条直线哎呦的对称点。 ap。 我们从最简单的开始 画一个点关于 l 的对称点，那怎么画呀？第一步，根据大家想，假如我已经画出来了，心想啊，假如已经画出来了， 那么顶 a 和顶 ap。 关于 l 对称，那么把 aap 连起来，这一对对称顶的零线是不是 b l 垂直平分啊，是不是 b l 垂直平分啊。 所以我们画的时候怎么画呀？我只要过 a 点做 l 的垂线，做了垂线以后，然后在这个垂线上面 找到这么一点，比如这一个 hap 跟 ha 相等就行了。那就这样画。那么对称点呢？我们就画出来了，就是让 l 成为 aap 的吹的平分线。 所以做法的第一步，固定 a 做 l 的垂线，垂着为 o。 第二步 在垂线上面汲取 o a p 是等于 o a， 汲取 o a p 是等于 o a， 那么顶 a p 就是顶 a。 关于直线 a o 的对称底，那么这就画出来了，大家看到了吗？怎么画？ 因为 aap 这条线段被直线 l 垂直平分，所以第一步就是过顶 a 做直线 l 的垂线，找到垂着， 然后在垂线上面汲取 o， a p 等于 o a， 也就是让 o 零成比。 a i p 的终点又是垂线又是终点，那么 a o 就是垂的平分线了，对吧？这就画出来了。好，那么一个点关， 一条直线的对称点我能画出来了。那下面接下来你能不能画出一条线段关于某条直线对称的线段呢？同样的我们可以画。 那如何画一条线段的对称图形呢？要画线段，我们关键就是确定线段的两个端点，是不是找到两个端点就行了，怎么画呀？找到 a 点关于 a o 的对称点 a p， 找到 b 点关于 l 的对称点 b p， 然后 a p b p 一零就是 a b。 关于直线 l 对称的线段，这就画出来了，你们看到怎么画呢？画出线段 a b 的两个端点关于 a r 对称的对称点。对称点找出来，一拧，这条对称线段就画出来了。那我们再看 线端 ab， 如果是这样放的， b 点正好就落在对称着上，那么 b 点关于 l 的对称点，对称着上面的点就是它本身啊，就是它本身。 对称主上面对应顶啊，对称顶就是它本身。所以我只要画错 a 顶关于 l 的对称顶 ap， 那么再把这个 b 顶 bp 顶是重合的，然后再把 apbp 连起来就行了。 那假如 ab 两点分布在直线 l 的两侧呢？画的方法一样，画出 a 点关于 l 的对称点 ap， 再画出 b 点关于 l 的对称点 p a p b p。 大家注意，你在画的时候，线段 a、 b 和线段 a、 p、 b、 p 相交，焦点一定落在对称桌上，焦点啊，一定落在对称桌上。如果你焦点不画在对称桌上，那么你就画的有问题喽。 好，这是画一条线段的对称图形，我们可以把它画出来。 那么想一想，假如说我现在不是线段的，我现在有一个图形和一条直线，那么如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？ 我们看第三，假如我现在这里面是这样一个三角形 a、 b、 c 还有一条直线。哎呦，请你做错 三角形 a、 b、 c 关于直线 l 对称的图形做错。与三角形 a、 b、 c 关于直线 l 对称的图形。那怎么画呀？ 三角形啊，这三个顶顶吗？三个顶顶定下来，是不是这个三角形的形状就定下来了，三角形的位置就定下来了。所以我们只要 找到 a 点、 b 点、 c 点这三个点，关于 l 的对称点就可以画出来了。是不是？ 然后连接这些对称点，我们就能得到所画的图形？好了，动作画一下。故 a 点画直线 l 的垂线，然后得到垂着为 o， 在垂线上面截取 vp 等于 v， 那么 ap 点就是定 a 关于直线 l 的对称点。下面接下来同理，我分别画错 b 点关于 l 的对称点 bp， 再画作 c 点关于 l 的对称点 cp， 那么三个对称点都有了。然后只要连接 apbpcp 就得到了三角形 a p、 b p、 c p 这个三角形 a p、 b p、 c p 就是我们所要求做的三角形。会了吗？ 一个图形啊，我只要找到图形上面相应的点，他的对称点，对称点找到了，那么这一个图形只要把线段选刺连接起来，就可以得到我们所需要的三角。 行了，这就画出来了。好，那我们总结一下做左对称图形的方法。 几何图形我都可以看着是由点组成的，那么对于某些图形呢？只要做错图形中一些特殊点，比如线端的端点啊，做错特殊点的对称点， 然后连接这些对称点，就可以得到原图形的做对称图形。会了吗？ 因为几何图形都是由点组成的，所以呢，只要找出图形当中的特殊点，特殊点，做出它的对称点，然后连接这些对称点，就可以得到原图形的做对称图形了。好，下面呢我们再看个例题。 在三乘三的正方形格点图中，由格点三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 g、 f。 并且呢三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 g、 f 是关于某一条直线呈着对称的。 请你在下面给出的图中画出四个这样的三角形 d、 g、 f， 要你把这个三角形 d、 g、 f 画出来。这里面啊点了三角形 a、 b、 c， 那么三角形 d、 g、 f 在哪个位置？是由它的对称着所确定的，对不对？所以呢，你首先来找对称着的位置。假如说我的对称着是这一条正方形的这样一条对角线，那么你能 能不能画出三角形 a、 b、 c。 关于这条直线 l 对称的三角形啊，把这个 dj f 就画出来。这里面关于直线 l 对称。那么 这个 a 点的对称点，一点的对称点， f 点的对称点。大家看 a 点的对称点， d 点是不是就是跟 a 点重合啊？那么 c 点的对称点呢？是不是就是跟 c 点重合啊？ f 点。那 b 点关于 l 的对称点呢？是不是就是这一个点啊？那么三个点找出来了，这个三角形不就画出来了吗？对吧？所以三角形 d、 e、 f 与三角形 a、 b、 c 就关于这一条直线对称了。这是正方形对角线所在的直线。那假如我把对称轴的位置 再换一换，比如说我把对称着换成这样过来的。对角线所在的直线，这个是对称着。那么你怎么画呀？那么找到我找啊， 现在你就找啊，找对称顶啊。 c 顶的对称顶是不是就在这个地方啊？ b 顶的对称顶是不是就是它本层啊？那么 a 顶的对称顶在哪里啊？ 嗯， a 顶的对称顶是不是就在这啊？ c 顶的对称顶呢？是不是 c 顶的对称顶在这？那么 a 顶的对称顶在哪里啊？你能不能找的出来啊？那都可以把它找出来啊。 那 b 点它的对称零一点跟它重合， c 点它的对称零就在这个地方。那么 a 点 它的对称点就在这个地方。那么三个点找到了，所以这个三角形我们就可以画出来了，对吧？对称着在这。 那假如我们把对称轴的位置再换一换，比如我这个对称轴就在这儿，那么 c 顶它的对称顶就在这个位置，对吧？ a 顶的对称顶呢，是不是就跑到这儿啦？那 b 顶的对称顶呢？是不是就跑到这儿啦？所以呢， 这个对称顶找到了，那么相应的三角形我们就画出来了，对吧？好，那么这个对称着是这一条啊。现在我们把对称着再换一换， 假如我的对称着是这样一条直线呢？是这个三乘三方格的这个中线中间 这样一条线。那我们找找看， c 顶的对称顶是不是就跑到这了？ b 顶的对称顶是不是就跑到这了？ 那么 a 顶的对称顶呢？是不是就跑到这了？所以我们就可以对称顶找到了，那么这个三角形我们就可以画出来了，对吧？ 所以这里面要你画出四个这样的三角形。 djf 那你就给我找出四条不同的直线作为对称着，那么就可以把相应的图形呢画出来了。 这是画图总结一下方法，做一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键就是做错图形上面一些点关于这条直线的对称点，然后我们再根据 已知的图形将这些点呢连接起来，那么就得到了我们所要求做的图形。好，那我们这一节课呢，主要的是讲的如何做做对称图形， 我们的方法就是先找对称底，然后再把对称底呢拧起来。大家这个画做对称图形会了吗？ 那么课后请同学们把课本上面六十八一本逆袭两个题目呢，大家把它画一画。我们这节新课呢就先讲到这，各位同学再见。

呃，从前在青青草原上，有一只美丽的美羊羊，正在草地上放风筝，而沸羊羊呢，正在不远处摘苹果。突然美羊羊觉得有点口渴，就赶紧掏出来手机给沸羊羊打电话。沸羊羊，我口渴了，想喝水。 沸羊羊一听，哎呀，马上就准备把水送过去，但是发现把这个水瓶里的水没有了，需要呢，去不远处的这个小溪边再打一些水回来好了。那问题来了，问沸羊羊，怎么能最快把水送到美羊羊身边呢？ 这个就是个实际问题了，你们知道正常这个跑步的速度啊，打水的时间呐，应该都是差不多的。那其实这道题的关键就在于，我们要让沸羊羊跑尽可能短的路程才行， 越短越好。那该怎么办呢？我们先来拆解一下沸羊羊，既然想把这个水送过去，无非就这么几步， 首先需要跑到小溪边，然后打水就要把水送过去。那实际的路程呢，无非啊，就是一去一回这两段路，也就是说，这两段路的路程的价格要尽可能小。有同学一听啊，这路程尽可能小， 立马就想到这个点到直线距离这块知识点了。你看，我让美羊羊的位置到小溪做一条垂线，然后沸羊羊呢，打水呢，那肯定就得往垂足这个方向跑嘛。 你看，虽然说打水的距离稍微长了那么一点，但是送水这段距离那可是最短的，这确实是个不错的想法，但其实我想说，还不够短，还有更短的。有同学就开始乱来了，开始拿 歌词去量了，打住啊，这可量不出来。其实就像我们之前说的很多几何题目，我们看了半天也不知道怎么整，往往都需要一些额外处理，做点辅助线。这道题呢，需要我们找到美羊羊，关于这条小溪的对称位置大概在这里，有同学说，那你咋还得给整对岸去了呢？ 别急啊，对于这个位置来说，沸羊羊怎么过去是最快的呢？这回答案就呼之欲出了，你直接连一下，你看他这段路不就是最短的吗？ 两点之间线段最短吗？对于这段路来说呢，这段是接水的路线，这段是送水的路线。 好了，这回我们就要用到对称的性质了，不知道大家还记不记得上节课说的啊，对称轴上的点到对称点的两段距离，那是相同的，如果你不记得，可以复习下上一集，这里就不赘述了，因为 我们本来就是以小膝为对称轴做的对称点嘛，那所以这样的距离肯定是相等的，那也就是说，在实际的情况当中，这条路线肯定是最短的。 所以你看，通过对称轴这种方式，我们就把两段线路变成了一段线路的问题一下子就解决了。 好，那我们来看下一道题。在看下一道题之前呢，是需要你充分了解什么是平面直角坐标系的，如果不清楚或者忘了的话，建议你去复习一下七年级下册的第六和第七集。 好了，问题大概是这样的，在平面直角坐标系上有一个三角形，他的三个点的坐标呢，分别是负一二，负一以及负三四。让你在不画图的情况下，求出这个三角形。关于 x 轴的轴对称图形 三点坐标，以及关于歪轴的轴对称出行的三点坐标，有同学说，那那可咋做呢？没事，虽然说题目说不让画图，但你也别这么老实嘛，咱先画个图，看看这玩意有什么规律。 好，我们先画一个平面直角坐标游戏，按照题目给定的坐标点，咱们先把这个三角形呢给画出来瞅瞅，大概呢，就是这样。 接下来呢，就是要分别做一下关于 x 轴和 y 轴的对称图形吗？因为咱们有坐标器了吗，所以很容易画出精准的对称图形，也用不着歌词，我们就根据点到对称轴，距离相等这条性质来画。 好，我们来画一画。咱们呢，首先呢，就以这个竖着的这条，也就是歪轴为对称轴，先来画三角形嘛，就这三个点嘛，那对于点负一二，他到歪轴的距离是一。 那就是说，关于外轴的对称点呢，也应该是在跟外轴距离为一的这个位置只不过是在右侧，大概在这个位置， 但坐标很明显嘛，就是一二。那剩下两个点呢，也是同样的道理，他的位置呢，在这坐标点呢，分别为五一和三四。好，我们就把这三个点连好，你看，就画出这个轴对称图形了。 我们来看一看他前后的变化，很容易就发现啊，关于歪轴对称的这些坐标点，重坐标并没有变化，而横坐标呢，正好取的是相反数 这个规律。好吧，那咱知道这个规律，下回咱就不用画了。哎，你直接给我点，你让我去求他关于 y 轴的对称点，那咱张嘴就来，不就是重坐标不变，横坐标取个相反数吗？同样的道理，关于 x 轴的对称呢，也是差不多的， 这里呢，我就直接画了这个三角形关于 x 轴的对称图形长这样，他的三个顶点呢，也分别为负一负二，负五负一以及负三负四。这回咱观察一下，关于 x 轴对称呢，你正好相反了。这回这回呢是 横坐标没有变重坐标呢，取相反数了。所以下回再遇到这种问题，也同样咱不用再画图了，直接就能反应出来了。 好了，今天这集视频呢，嗯，还是挺水的。我还真不是故意水视频啊，实在是没办法，这点边角料内容吧，不讲吧，还不太好， 放到别的集里边吧。我感觉吧，还有点不太合适，不太搭。所以呢，只能单独出一集了，希望大家见谅。好，那我们下集再见，拜拜。

同学们好，我是来自北京市第四中学的王亚婷老师。接下来我们要用两节课的时间来学习画九对称图形。在这部分内容中，我们将要学习 做已知图形关于给定对称轴的对称图形认识在平面直角坐标系中，图形的对称引起点坐标的变化特点，并运用他们解决一些问题。 在之前的课程中，我们学过两个图形呈轴对称的相关概念和性质，下面我们一起来复习一下。 把一个图 图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线呈轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 限制。如果两个图形关于某条直线呈轴对称，那么这两个图形全等 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如图，对应点 p p 撇所连线段被对称轴垂直平分。 如图，在一张半透明纸的左边部分画出一只左手印。 如何画出与左手印关于直线 l 对称的右手印对，将这个纸片折叠折叠之后描图就可以描出对应的右手印， 此时画出的右手印与左手印是全等的，右手印上的每一个点都是左手印上的某一个点。关于直线 l 的对称点 对称点所连线段 p p 撇被对称轴 l 垂直平分， 由一个平面图形可以得到它关于直线 l 对称的图形，这个过程我们叫做轴对称变换。 这个图形与原图形的形状大小完全相同，这个图形上的每一点都是原图形上某一点关于直线 l 的对称点， 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分，如图， p p 撇被对称轴垂直平分，对称轴垂直平分，线段 p p 撇。 我们可以通过折纸描图的方法做出轴对称图形，同样的，我们也可以采用夹眼踏印的方法。 那么如何用作图工具做出已知图形的轴对称图形呢？思考，如果有一个图形和一条直线，如何做出这个图形？ 关于这条直线对称的图形呢？刚刚有同学在描右手印的过程中，事先描出了几个关键的点，然后进行连线， 这也是我们数学中常用的一种方法。先从最基础的情况入手，我们知道点是最基本的几何图形，因此我们可以先研究做一个点关于直线对称的图形，再研究线，最后再研究图形。 例题一，求做点 a 关于直线 l 的对称点， 由轴对称的性质之，对应点的连线 a a 撇被对称轴 l 垂直平分，因此，我们可以先过 点 a 画出直线 l 的垂线垂足尾 o， 在垂线上截取 o a 撇等于 o a， 那么此时直线 l 就是线段 a a 撇的垂直平分线，则点 a 撇就是点 a 关于直线 l 的对称点。 第二问，求做线段 a b 关于直线 l 的对称图形， 线段由它的两个端点确定，因此我们不妨先做出这两个端点关于直线 l 的对称点。如图，分别做出点 a、 b 关于 与直线 l 的对称点 a 撇 b 撇，连接 a 撇 b 撇，那么则线段 a 撇 b 撇即为所求。 我们发现线段 a b 关于直线 l 对称的图形还是线段？那么如何验证画出的图形与线段 a、 b 是关于直线 l 对称的呢？ 我们可以用折纸的方法折叠一下，看是否能完全重合。当然，我们也可以在纸线段 a、 b 上任意取一点 p， 看点 p 关于直线 l 对称的点是否落在线段 a 撇、 b 撇上。 如果说点 p 关于直线 l 对称的点没有落在线段 a 撇、 b 撇上，那么此时 a 撇、 p 撇、 b 撇就不在同一条直线上， 则它不是一条线段，显然是不对的。所以，点 p 关于直线 l 的对称点一定会落在线段 a 撇、 b 撇上，因此，线段 a 撇、 b 撇就是线段 a、 b 关于直线 l 的对称图形。 第三问，求做三角形 a、 b、 c 关于直线 l 对称的图形。 同样的三角形 a、 b、 c 是由它的三个顶点确定的，因此，我们不妨先做出三 顶点的对称点，然后再连接。如图，分别做出点 a、 b、 c 关于直线 l 的对称点 a 撇、 b 撇、 c 撇， 连接 a 撇、 b 撇、 b 撇、 c 撇、 c 撇、 a 撇，则三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇即为所求。因此，我们在做一些图形的对称图形时，可以先做出一些特殊点的对称点，然后再连接 好。我们看一个练习，求做三角形 a、 b、 c 关于直线 l 对称的三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。同学们可以动手画一画。 下面有三位同学的做法，我们一起来点评一下。 我们可以看到甲同学他画的 a 撇、 b 撇、 c 撇的位置都是正确的，但是在连线的时候，很明显他没有用尺子，那不是很规范。我们看一下乙同学的画法，乙同学用直尺 连出了这个对应的直线，但是我们能看出他画出的图形和原来三角形是不全等的。 我们能看出他画的对应点 a 撇是不对的，也就对应线段 a a 撇，他不是被对称轴 l 垂直平分的， 大家还发现有什么问题吗？对，他没有标上对应的字母。我们来看一下丙同学的画法，三个对称点的位置都找对了， 连线用直尺连起来，并且都标出了对应的字母，画的非常规范。 我们再来看一遍作图过程，分别做三角形三个顶点。关于直线 l 的对称点， a 撇、 b 撇、 c 撇。 顺字连接 a 撇、 b 撇、 b 撇、 c 撇和 c 撇 a 撇，这样就能得到三角形 a b c。 关于直线 l 对称的三角形 a 撇、 b 撇、 c 撇。因此，同学们一定 要养成规范作图的好习惯，练习把下列图形补成关于直线 l 对称的图形。 同样的，还是先做出这三角形三个顶点。关于直线 l 的对称点，我们可以发现点 c 是落在直线 l 上的，因此点 c 关于直线 l 的对称点就是它本身， 也就是说点 c 撇和点 c 是重合的，因此我们只需要画出点 ab 关于直线 l 的对称点 a 撇 b 撇啊，连接 a 撇 b 撇 b 撇 c 撇 c 撇 a 撇，则三角形 a 撇 b 撇 c 撇。即为所求。我们将图一中的三角形不动，将对称轴 l 向 向左平移一定的距离，就得到了第二个图中的问题。同样的，我们做出这三个点关于直线 l 的对称点，我们发现点 c 的对称点落在了直线 l 的左侧，顺次连接即可。 因此做已知图形的轴对称图形，不同的对称轴对应于不同的轴对称图形， 对于第三个图形，它是一个四边形，我们可以发现这两个点是落在直线 l 上的， 因此我们只需要做出左边这两个点。关于直线 l 的对称点，连线的时候不要忘了连直线 l 上的这个点 顺字连接。对于第四个图，我们发现它的特殊的对应点应该有五个，其中有一个点在直线 l 上，因此我们可以做出这四个点。关于直线 l 的对称点， 此时直线 l 是斜着的，因此我们可以要将三角尺斜过来去画对应的垂线， 做出这四个点的对称点，然后顺次连接就得到了它关于直线 l 对称的图形。 因此，做已知图形的轴对称图形，关键在于做出已知图形中一些特殊 勾点的对称点。我们将刚刚画好的这两个图形放在这。对于第一个图形五边形，我们从它的一个顶点出发，每隔一个点连一条线段， 大家可以看一看画出来的是一个什么图形呢？诶，是一个漂亮的五角星。同样的，对于第二个像风车这样的图案，我们也可以看成是由一个三角形经历一次、 两次、三次轴对称后形成的图形。在生活中，人们常常用轴对称进行图案设计，那同学们 回去之后也可以用简单的几何图形去设计一个美丽的图案。至此，我们可以得出做一个图形的轴对称图形的一般方法。 几何图形均可看作由点组成。对于某些图形，只要画出图形中一些特殊点，如线段端点、几何图形的顶点，他的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 我们还发现对称轴向的点的对称点就是它本身， 不同的对称轴对应于不同的轴对称图形。例题，如图，是一只停泊在平 近水面上的小船，它的倒影应是图中的哪个选项？ 我们可以进行分析啊。小船和它的倒影应该是关于直线 l 呈轴对称的，因此我们可以做出这个小船关于直线 l 的轴对称图形。那我们可以看到应该选的是 b 选项。 如图，有一个英语单词，三个字母都关于直线 l 对称，请补全字母，补全后的单词是， 那么这个图形是关于直线 l 对称的，因此我们可以做出这个图形关于直线 l 的对称图形， 那么我们可以看出补弦后的单词是 b、 e、 d。 下面我们来看一个折纸有关的问题。 将一个正方形纸片依次按图一中的 a、 b 的方式对折，然后沿图 c 中的虚线裁剪成图 d 的样子，将纸展开铺平，所得到的图形是图二中的哪个选项？ 好，我们来分析一下。按照 a、 b 的方式对折，应该是将这个正方形纸片先往上翻折，再往右翻折，得到对应的图形 c， 然后减去 左上角和右下角的两个直角三角形，以及右下角的这个四分之一圆，得到的对应的图形。那么对于这个问题的话，同学们可以拿一张正方形的纸片动手操作，剪一剪，试一试。 当然我们也可以利用我们学过的轴对称的知识逆回去思考。我们知道折叠和展开是互逆过程，因此我们可以将最后得到的图形 根据对折方式逆回去还原，那么这一步是向右翻折，因此我们可以将它向左还原，我们可以做 这个图形。关于这条红色直线的轴对称图形，那前一步是往上翻折，因此我们应该是往下还原， 因此我们可以做这个图形。关于这条绿色直线的九对称图形，这样我们就得到了展开之后的图形。因此这个题目的选应该是选择的是 d 选项， 同学们可以用折纸的方式试一试，当然也可以锻炼一下你的空间想象能力。那么利用折对称的姿势逆回去思考，动手试一试如何剪。能剪出 b 选项，那我们可以将 b 选项按照图一中 a b 的方式进行对折。 a 的话是向上对折，所以将 b 选项的图形向上对折，那么上下是重合的，再按照图 b 的方式左右对折， 左右是重合的，因此就得到了右半部分的图形。我们来看一下向上对折，向下重合，得到上半部分图形。左右对折， 左右重合得到右半部分图形。因此我们只需要剪掉左上角和左下角这四分之一个圆，以及右下角的这个直角三角形， 那么就可以得到 b 选项对应的图。因此同学们可以通过动手操作试一试，那么也可以利用轴对称的知识 来解决这类问题。我们来看一个练习，如图所示，把一个正方形的纸片三次对折后，沿虚线剪下。三次对折， 先向上折，再向右折，再向右下方折，然后再沿虚线剪开，得到了这个图形。问，展开铺平后纸片所得到的图形是哪个选项？ 同样的，大家也可以回去拿纸片动手试一试，我们也可以利用九对称的知识逆回去思考。我们将最后得到的图形去进行还原，向右 下方折，因此我们可以沿着左上方进行还原，再向右折，那我们可以沿着左边进行还原， 向上折，因此我们可以向下进行还原，这样的话，我们就得到了展开铺平后的纸片。那么应该选择的是 c 选项， 那么是否能够剪出其他几个选项呢？那我们可以看到，如果要剪出其他几个选项，那每个图形是要能够折叠三次的， 也就是说这个图形上下是对称的，左右是对称的。那我们明显能看出 d 选项是 不符合条件的，它的上下是对称的，但是它的左右是不对称的，因此我们应该能折出对应的 a、 b、 c 三个选项。 那么如何能够剪出 a、 b、 c 这三个选项呢？那么 c 选项刚刚我们已经剪过了， 那我们再看一下对应的 a 选项。对应的 a 选项的话，先向上折，剩下了上半部分图形，再向右折，剩下了右半部分图形，接着再向右下方折，因此它剩下的是这样的一个梯形， 因此我们可以发现它实际上是在三次对折之后，减去了左下角的这个直角三角。 行，这样就能得到对应的 a 选项。我们再看一下 b 选项，同理，先向上折，再再向右折，再向右下方折， 那么得到的是这样的一个四边形，那么我们可以发现他应该是少了上面的这一块， 因此它应该是减去了右上角的这个小三角形，那么得到了对应的 b 选项的图形， 而至于这一类问题的话，我们可以动手操作，那么也可以利用轴对称的知识那么去进行分析。 我们在这节课中学习了做简单平面图形。关于给定对称轴 的对称图形，主要用到了轴对称的性质，连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 做图的一般思路是将图形的轴对称问题转化成点的轴对称问题，因此关键在于做出图形中一些特殊点的对称点。 不同的对称轴对应不同的轴对称图形， 那么我们还利用了轴对称的性质，解决了倒影、折纸、剪纸等实际问题。今天的课后作业有两道题，第一个题，把下面的图形补成关于直线 l 对称的图形， 那我们可以看到这三个图形都是不太规则的图形，那么对于第一个图形的话，我们可以做出这三个点关于直线 l 的对称点，那么连接即可 啊。对于第二个图形的话，它实际上我们可以看到它是由六个点所确定的，因此而这其中有四个点是在直线 l 上的，因此我们只需要做出这两个点关于直线 l 的对称点， 然后再对应的连接啊。此时不要忘记了连接对称轴 l 上的这个点。对于第三个图，我们应该知道他对称之后应该是一个五角星， 那么它有两个点是在直线 l 上的，因此我们只需要做出这一二三四个点关于直线 l 的对称点，然后依次连接即可。 同学们在画完他的对称的图形之后，一定要检查一下，看一看他折叠之后是否能够完全重合 好。第二题，将一个长方形的纸片按如图所示的方式对折 啊。第一个应该是先向右折啊，图二是向右上方折，然后沿着图三的虚线进行裁剪，得到了图四，那么最后 将图四的纸片展开铺平，得到的图形是那同样的，对于这个问题的话，我们也有两个思路， 一个是我们可以找一张长方形的纸片，按照他如图所示的方式动手操作剪一剪。当然，我们也可以利用我们所学的轴对称的知识来进行分析，可以提高我们的空间想象能力。对于图四这个图形， 我们可以把它逆回去还原，它是向右上方折，所以我们可以先把它向左下方还原， 接着他是向右折，所以我们可以把这个得到的图形再向左进行还原。这样的话，我们就可以得到他展开之 后的图形啊。同学们可以动手试一试。同样的，我们还可以进一步思考， a、 b、 c、 d 这四个选项是不是都能够按照这样的方式对折能够剪出来？ 如果能剪出来，那么应该如何剪？同学们可以回去继续思考一下。 好，今天的课就上到这里，同学们再见！

同学们大家好，欢迎大家来到小孙数学，本节课我们针对画轴对称图形讲一些习题。 看第一题，做图体，在图中画出三角形 cde 关于直线 ab 的对称图形，三角形 c 撇、 d 撇一撇。好了，我们看 做三角形 cde 的轴对称图形呢，我们关键呢，是要找到一些特殊点，做这些特殊点的对称点，我们看哪些是特殊点呢？三角形 cde 的三个顶点对不对？点 c， 点 d 和点 e。 把这三个点关于直线 ab 的对称点找到，依次连接就可以了。好，我们先做点 c 关于 ab 的对称点，怎么做呢？我们知道对应点连线，他 被对称轴 ab 垂直平分，所以首先呢，我们是过点 c 做 ab 的垂线， 截取这两段线段相等，那此时呢，点 c 撇我们就找出来了。好了，下面呢，用同样的方法，我们找到点 e 关于 ab 的对称点 e 撇，点 d 关于 ab 的对称点 d 撇，依次连接， c 撇， e 撇， d 撇。 好了，三角形 c 撇，地撇一撇，我们就做出来了。第二题，在三乘三的正方形网格中，格线的焦点成为格点， 以隔点为顶点的三角形称为隔点三角形。下面四个图中的三角形为隔点三角形。那在图中呢，分别画出与已知三角形成轴对 对称的隔点三角形，我们看在这四个图形中呢，画出与已知图形对称的三角形，我们可以根据隔点画出不同的对称轴，根据对称轴呢，可以做出已知三角形的对称三角形。 大家可以再开动脑筋，还能画出几种图形呢？自己刻下练习一下。 好，我们看第三题，线段 a、 b、 c 撇、 b 撇分别是两个以直线 m、 n 为对称轴的三角形的某一边是画出完整的三角形 a、 b、 c 和三角形 a 撇， b 撇 c 撇。 要想画出这两个完整的三角形，我们一定要知道这两个三角形的顶点是不是。好了，目前呢，我们 只知道其中的两个点，下面呢，我们把另一个点找到就可以了。先看点 a， 点 a， 关于 mn 的对称点是非常好做的，刚才呢，我们已经讲到了过点 a 呢做 mn 的垂线，截取这两段线段相等， 点 a 撇就找到了点 b 和点 b 撇是题中给我们的，那下面看点 c 撇，点 c 撇关于 mn 的对称点是点 c， 所以呢，我们可以过点 c 撇做 mn 的垂线， 截取这两段线段相等，那么点 c 就找到了。好了，每个三角形的三个顶点我们都找到了，依次连接就可以了。好，以上呢，就是本节课的习题精讲，同学们，我们下节课见。

今天我们来看这样一个题，如图，在正方形网格中有一个三角形 a、 b、 c， 每个小正方形的边长均为一 d。 小问，做三角形 a、 b、 c。 关于直线 m、 n 的对称图形，不写做法， 我们要想画对称图形，就要先去找关键点的对称点。我们来看这个三角形 a、 b、 c， 它的关键点就是 a 点、 b 点、 c 点，那么我们就先找出 a 点、 b 点、 c 点。关于 m、 n 的对称点怎么来找呢？ 因为这个题他是在方格纸上做图，所以我们不需要去画垂线，只需要去数格子，就可以找出他的对称点。比如说 a 点，他距离 m n 有两格，那么他的对称点应该在 m n 的右侧，距离 m n 同样是 两格一、二，所以这个就是 a 点的对称点，我们把它叫做 a 一，同样可以找 b 点的对称点。 b 点距离 mn 这条线，它是一、二、三、三格，那么它的对称点距离 mn， 同样是三格一、二、三，所以这个就是 b 点的对称点。 同理可以找出 c 点的对称点，在这这里是 c、 e， 那此时我们就用尺子将 a、 e、 b、 e、 c、 e 三个点依次连接起来，就构成了三角形 a、 e、 b、 e、 c， e 就是三角形 a、 b、 c 的对称图形。 作图要用铅笔做，并且一定要用尺规作图，这个是作图要注意的地方。那么第一问就结 中的那格式怎么写呢？解，第一小问，三角形 a、 e， b， e、 c， e 即为所求， 现在我们来看一下。第二小问，在直线 m n 上找到一个点 p 时的 p a 加 p， c 最小。这个是我们以前学过的最短路径问题当中的将军引马问题。像这种问题，我们的做题方法是， 第一步，先找出 a 点或者 c 点关于 m、 n 的对称点，那么你随便选一个就行了。假设我们找 a 点关于 m、 n 的对称点，那就是 a、 e 这个点。第二步，将 a， e 这个点和 c 点连接起来， 连接起来之后， a、 e、 c 这条线就和 m、 n 这条线有一个交点，这个交点就是我们所要求的 p 点， 那么因为它要 p a 加 p c， 所以我们用 p a， p c 这两段用实线连接起来， a、 e， p， 这里用虚线连接起来。好，下面写一下解体步骤， 如图，批点即为所求，做法如下， 下面我们来看一下第三文。求三角形 a、 b、 c 的面积要求三角形的面积，我们想到的第一个方法就是用三角形的面积公式，但是很显然在这个题当中行不通，那么怎么办呢？ 我们用另外一种方法叫做拼凑法。我们将三角形 a、 b、 c 放到红色的这个四边形当中，那么此时同学们看一下，我们可以把红色的这个四边形面积求出来，然后再把最小个三角形面积求出来， 再求出这一小个三角形面积，求出这一个三角形面积。用这个红色四边形面积减去这三个小三角形的面积，就可以得到中间这个三角形 a、 b、 c 的面积。这个方法就是我们常用的拼凑法。 首先先求出四边形的面积，这边长为二，这边长为三，二乘以三等于六，然后再求出这个 三角形的面积。这一小个三角形的面积可以看出它的底，如果这边为底的话，底就是二，高就是一，用三角形的面积公式来求，同理求出这个三角形的面积和这个三角形的面积， 求出之后用这个四边形的面积减去三角形的面积，所以 s 三角形 a、 b、 c 就等于六，减一，减二分之三，再减一， 这样的话这个题就完成了，同学们看一下。

有很多轴对称的影子，比如俄罗斯国旗、喜字、窗花、剪纸、雪花等等。若把这些图形像这样对折，折痕两旁的部分就完全重合在一起了， 像这样的图形就叫做轴对称图形。折痕所在直线就是他们各自的对称轴。我们也可以说这些图形关于某条直线对称，比如雪花。关于直线 a 对称。 需要注意的是，轴对称图形是针对一个图形而言。看这个五角星，我们给他的每个角都标上字母， 中间这条直线记做 l。 沿着直线 l 对折，可以发现直线 l 两边的图形重合了，说明这个五角星是轴对称图形，直线 l 就是它的对称 轴。对折后， b 点和 e 点重合，我们就称 b 点和 e 点为对称点，或者说 b 点和 e 点是关于对称轴 l 的对称点， c 点和 d 点重合也是对称点。如果我们把这个五角星沿直线 l 剪开，分成两半，现在它就变成两个图形了。沿着直线 l 折叠，这两个图形完全重合， 这时我们就说这两个图形关于直线 l 呈轴对称，但不能说它们是轴对称图形了， 因为现在这是两个图形了。如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么他就是一个轴对称图形了。如果把一个轴对称图形的两部分看作两个图形， 那么这两个图就成轴对称了。另外，同学们要注意一点，既然两边的图形是重合的，那也就是说两边图形是全等的，他们对应的角和线段也都相等。 接着我们来看一道题， m、 p 分别是三角形 a、 b、 c 的边， a、 b、 b、 c 上的点在 a、 c 上求做一点 n 是三角形 p m n 的周长最小。 由于三角形 p m n 的周长等于 p m 加 m n 加 n p， 而 p m 是定值， 故只需在 ac 上找一点 n， 使得 m n 加 n， p 最小即可。首先我们做点 p。 关于直线 a c 的对称，点 p 撇连接 m p 撇，交直线 ac 与点 n， 再连接点 n 和点 p。 由轴对称的性质可知， np 等于 np 撇。因此三角形 pmn 的周长也可以写成 pm 加 mn 加 np 撇。因为两点之间线段最短， 所以当 a c 上的点 n 同时在线段 m p 撇上时， m n 加 n， p 撇最小。 此时的三角形 p m n 周长也最小，最小值等于 p m 加 m p 撇。 最后总结一下，把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分如果能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做他的对称轴。把一个图形沿着某一条直线折叠，如果 他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形。关于这条直线呈轴对称折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。轴对称的两个图形是全等的。怎么样，你都学会了吗？欢迎关注，方便后续收看！

第十五章第一节轴对称图形第一课是基本概念。人们很欣赏物体的对称美，常利用对称性使作品美观大方。 比如我们图片展示的太和殿、天坛铁路的路辉以及人民银行的标志。 在自然界里呢，也有许多物体的平面图形常具有对称性，比如蜻蜓、雪花、枫叶等等。上述这些平面图形的对称性有什么特点呢？ 我们以这两个图为例来看，这太和殿将它沿着中间这 这条直线，哎，对折，折完之后正好跟右边的一半重合。这边的蝴蝶也是如此，沿着中间这条直线 m 折叠，他正好可以跟另外一半重合。 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线脸旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做折对称图形，这就是折对称图形， 这条直线就是它的对称轴，这直线 i 直线 m 就是对称轴。 你能取出一些折叠成图形的例子吗？这里太多了，比如京剧的领谱， 还有我们的剪纸等等。再看下面哪些属于折叠成图形，这个太简单了， a 和 c 做一做，找出下列图形的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多。 第一个是矩形，它有两条对称轴。第二个菱形，它也有两条对称轴。第三个正方形，它有四个对称轴。 第四个这个圆。我们发现了，任何一条直线都是他的对称轴，只要能经过圆心就行， 所以你怎么折都行。这里它的对称轴有无穷多个。所以啊，我们就知道了，圆的 的对称轴最多，下面这是等腰三角形对称轴，就一条等边三角形对称轴有三条，正六边形对称轴有六条， 同学们可以自己动手操作一下，用折纸的方法剪出一个折叠成图形。比如我们制作一个枫叶， 先把纸折叠，然后画出枫叶的一半，再把它剪下来，最后再展开，就得到了一个折叠成图形。 这是课本上的练习，指出下列图形各有几条对称轴，并画出每个图形的对称轴。 我们直接看答案，第一个有两条对称轴，第二个也是两条对称轴， 第三个有四条对称轴，第四个有六条对称轴，第五个只有两条对称轴，第六个有三条对称轴，第七个有四条对称轴。 刚才讲的是一个图形折叠之后可以重合。我们再看下面这个图形此时已经变成了两个，虽然是两个，但是我们把左边的折叠过来，他也可以完全跟右边的重合。 你看这个 a 点对应的是 a， b 点对应的是 b 撇， c 点对应的是 c 撇。讲一个图形沿着一条直线折叠，他能够与另外一个图形重合，就说明这两个图形成折对称度，这条直线就是他的 对称轴。我们看下列四组图片中，有哪几组图形形成轴对称，那这显然只有 b 和的 a、 c 不是。 比较一下刚才讲的折对称图形和现在所讲的两个图形成折对称，首先就是他们的区别。折对称图形呢，他是一个图形具有的特殊形状啊。两个图形成折对称呢，是指两个全等图形的特殊位置关系， 他俩的联系就是都可以沿着一条直线折叠后重合。你要是把一个折对称图形把它撇开，变成两个图形，他也可以形成折对称。再看折对称的性质，如图，这三角形 a b c 和三角形 a 撇 b 撇 c 撇。关于直线 m a 对称，这对称点是这些。下面问，线段 a a 一撇， b b 一撇， c c 一撇，与直线 m a 有什么关系？ 连接之后，我们很容易发现，这三个线段都和直线 m 垂直， 也就是 a a 一撇，垂直于 m a b b 一撇，垂直于 m a c c 一撇，垂直于 m a。 假如他们的焦点，我们称之为 o 一 o 二 o 三。问， a o 一， a 撇 o 一， b o 二， b 撇 o 二， c o 三， c 撇 o 三，他们之间有什么数量关系？ 那也很容易得到， a o 一等于 a 撇 o 一， b o 二等于 b 撇 o 二， c o 三等于 c 撇 o 三。这里我们看到了两个点，关于直线 m n 对称， 你把它一连接，得到线段 i b， 就必然会与对称轴 m n 垂直，这里的角一等于角二等于九十度， 并且这个 c 点就是线段 a b 的终点，也就是说， a c 等于 b c， 也就是说，直线 m a 平分线段 i b。 这里我们看到了这条直线经过线段的终点，并且垂直于这条线段， 这条直线就叫做线段的垂直平分线。这是简单的线段垂直平分线的定义，知道就行了。图形呈折对称，它有什么性质呢？ 刚才我们的对应点连线 a a 一撇， b， b 一撇， c c 一撇，都被这条对成轴垂直平分了，也就是说， m a 垂直， a a 一撇， a p 等于 a 撇 p。 直线 m a 是线段 ai 一撇的垂直平分线，任何一对对应点所连线段都被它垂直平分。 那么类似的轴对称图形，它的对称轴也是任何一对对称点所 连线段的垂直平分线，就是这个 m a 呢？垂直平分 a a 一撇，垂直平分 b b 一撇。 由此我们就可以看个例题了。如图，这是一种滑翔伞的形状，它是一个左右对称的角， b i 等于一百五十度角， b 等于四十度角 b c 得的度数。 你看这个角，因为这是主对称的，所以这个角就等于一百五十度的一半。七十五度，这个角是四十度，所以很容易就得出这个角等于六十五度。 那这边这个角呢，跟他一样大，也是六十五度，这两个放一块，结果就是一百三十度，所以利用着地 求出一个角的度数，然后再结合三角形的性质求解。 正方形边长等于四图中阴影部分面积，这个一看就会了，这个空白跟这个阴影部分周对称呢，它俩面积相等，所以阴影部分面积就等于正方形面积的一半。 选 b， 有了以上轴对称的性质，我们就可以画图了。已知直线 l 和一个点 a， 画出 a 点。关于 l 的对称点 a 撇。做法过 a 点做直线 l 的垂线垂足为 b。 第二步，延长 a b 至 a 撇，使得 b a 撇等于 a b， 此时这个点 a 撇就是我们要求的点，同学们可以自己动手画一下。点的对称做出来了，再看。如何画一条线段的对称图形呢？ 已知线段 a b 画出线段 a b。 关于直线 l 的对称线段，线段嘛，我们知道它有两个端点，我们可以先画出端点的对称点 a 撇 和 b 撇，然后把 a 撇、 b 撇连接出来，就得到线段 a、 b 的对称线段。 这里也就是说，我们要画出他的对称线段，其实就是找出关键点，先画出关键点的对称点，然后连接 出来就可以了。图案也是如此，画出 a 的对称点 a 撇、 b 呢，就不用画了，他就在对称轴上直接连接。 图三也是如此，画出 a 点对称点 a 撇， b 点的对称点 b 撇，此时他俩交叉了，再连接 a 撇、 b 撇。所以啊，做图其实就是找出关键点，做出其对称点，然后连接线段， 那线段可以做对称线段图形，已知三角形 a、 b、 c 和直线 l 做出于三角形 a、 b、 c。 关于直线 l 对称的图形， 跟刚才一样嘛，我们还是先找到关键点，然后做出这些关键点的对称点， 点 a 的对称点 a 撇，点 b 的对称点 b 撇，点 c 的对称点 c 撇，然后连接 a 撇， b 撇、 c 撇，就得到了三角形，这就是我们要求的三角形。 所以啊，做着对称图形的方法，几何图形都可以看着由点组成，所以我们只要做出图中一些特殊点的对称点，然后连接这些对称点，就可以得到着对称图形。 再看难一点的例四，在这个三乘三的正方形格点中，有三角形 a、 b、 c 和三角形 d、 e、 f， 并且他们关于某条直线对称，在下面给出的图形中画出这样的三角形，我们看他俩的对称关系哈，一种可以是上下对称， 比如这条对称轴经过点 c， 则三角形得 e、 f， 必然会长这样。 当然，这种上下对称的三角形呢，他不止长这样，他也可以呢往上移一点， 你看此时它也是中低声，或者呢，你把它往下移一点， 这样也可以啊，也满足条件，也是上下对称。既然有了上下对称，那 必然就会有左右对称对称出，在这里的时候，你看左右对称就长，这样 上下左右都有了。还可以是左斜对称对称轴在这里，那么三角形得 e f 就长这样。或者是右斜对称，三角形得 e f 就长这样。 从不同的角度和思路出发，画出不同的轴对称图形。 先尝试做出可能的对称轴，再根据轴对称图形特点补充图形， 同学们可以自己做个练习啊。这是由三个小正方形组成的图形，现在我们补 左画一个小正方形，然后使画出后的图形成为轴对称图形。根据刚才例题，我们知道这个图形有四种对称方式，分别是上下对称、左右对称、左斜对称、右斜对称、 上下对称对称轴在这里，这两个小正方形轴对称，这一个要找出对称的，只能在上面一的位置。 再看左右对称对称轴在这里，这两个已经轴对称了，要再找一个与右下方的轴对称，增加的只能在左下方二的位置。左 斜对称对称轴在这。此时这两个轴对称呢，要再增加一个与他轴对称，只能在这里。 右斜对称对称轴在这，它两个已经关于对称轴对称了， 再增加一个，必然要与黄色的正方形呈着对称，就只能在四的位置， 这就是本节课内容。轴对称，我们先讲了它的定义和它的性质，这里对称轴就是对应点所连线段的垂直平分线， 轴对称图形也是如此。后面我们要学会画轴对称图形，它的原理就是对称轴是对称点所连线段的垂直平分线。 方法呢？先找特征点，再做垂线截取登场，依次连接。

今天我们一起来走进八年级上册数学第十三章轴对称十三点一轴对称线段的垂直平分线的性质。某地由于居民增多， 要在公路上增加一个公共汽车站，路边有两个新建小区，要使两个小区到车站的路程一样长，这个公共汽车站应该建在什么位置呢？哈哈，听完这节课的内容，你们就知道答案了。 我们来看这个图，直线 l 垂直平分线段 abp 一、 p 二、 p 三是 l 上的点，分别量一两点 p 一、 p 二、 p 三到点 a 与点 b 的距离。 我们可以发现，点 p 一、 p 二、 p 三到点 a 的距离与他们到点 b 的距离分别相等。如果把线段 ab、 颜值线 l 对折线段 pa 与 p 一 b， 线段 p 二 a 与 p 二 b， 线段 p 三 a 与 p 三 b 都是重合的，因此他们也分别相等。由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质。 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。利用判定两个三角形全等的方法也可以证明这个性质。 如图，直线 l 垂直于 ab， 垂足为 cac 等于 cb。 点 p 在 l 上求证 pa 等于 pb， 因为 l 垂直于 ab， 所以角 pca 等于角 pcb， 又因为 ac 等于 cbpc 等于 pc， 所以三角形 pca 全等于三角形 pcb， 所以 pa 等于 pb。 反过来，如果 pa 等于 pb， 那么点 p 是否在线段 ab 的垂直评分线上呢？我们继续来探究吧。 过点 p 做 pc 垂直于 ab， 垂足为 c， 因为 pa 等于 pbpc 等于 pc。 斜角 pca 等于角， pcb 等于九十度，所以 rt 三角形 pca 全等于 rt 三角形 pcb， 所以 ac 等于 bc， 因此点 c 为线段 ab 的终点，又应为 pc， 垂直于 ab， 所以直线 pc 为线段 ab 的垂直评分线。所以点批在线段 ab 的垂直评分线上，通过证明可以得到与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直评分线上。 同学们，现在你们知道这个公共汽车站应该建在什么位置了吗？哈哈，应该建在 ab 的垂直评分线与公路 l 的焦点处， 这样两个小区到车站的路程就一样长了。同学们再来思考一下，经过已知直线外一点，如何做这条直线的垂线呢？跟着花花老师一起用指挥来作图吧！ 第一步，任意取一点 k， 十点 k 和点 c 在 ab 的两旁。第二步，以点 c 为圆心， ck 长为半径，画弧交 ab 与点 b 合一。 第三步，分别以点滴和点翼为圆心，大于二分之一，第一的长为半径，做壶，两壶相交于点 f。 第四步，做直线 cf， 直线 cf 就是所求做的垂线。同学们有没有疑惑，为什么 直线 cf 就是所求做的垂线呢？由作图之 cd 等于 ceo 等于 ckdf 等于 ef， 因此点 cf 到线段第一的两端点第一的距离分别相等， 所以 zf 是线段 d、 e 的垂直平分线，所以 cf 垂直于 ab， 所以直线 cf 就是所求做的垂线。 有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你们能准确的做出轴对称图形的对称轴吗？ 我们知道，如果两个图形成轴对称，其对称轴又是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。因此我们只要找到 一对对应点，做出连接他们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对阵轴。如图，已知线段 ab， 求做 ab 的垂直平分线。 第一步分别以点 a 和点 b 为圆心大于二分之一， ab 的长为半径，做壶，两壶相交于 cd 两点。第二步做直线， cdcd 就是 ab 的垂直平分线，也是这两个图形的对称轴。 同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，做出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。如图中的五角星，我们可以找到他的一对 对应点， a 和 a 撇连接 aa 撇做出线段 aa 撇的垂直评分线 l 则 l 就是这个五角星的一条对称轴。 类似的，同学们可以在课后做出这个五角星的其他对称轴哦。怎么样，同学们，我们本节课程到这里就结束了。