驻点和极值点的区别

同学们大家好，我是裴老师，我们都知道啊，数学中啊，有许许多多神奇的点，今天呢，我们就来研究其中的一个函数的注点，这条视频的最后啊，我会提出一个问题，希望同学们能认真看完，然后呢跟我私信交流。我们先来看这个图像， 这个函数图像呢，在 x 零处，他的导数值为零，这样他的切线呢，就平行于了 x 轴，就叫做函数的注点。 那知道什么是注点之后呢？同学们可能会有这样的疑问，我发现注点的定义啊，和我们之前学过的极致点非常相似， 那注点和急支点有什么关系吗？如果一个点是注点，那他是不是急支点呢？答案是否定的。我们来看这个例子，函数 y 等于 x 的三次方， 在零零处，一阶倒为零，所以这个点呢， x 等于零就是他的注点，但很明显，这不是他的极致点，要满足是极致，极致点的话，在这个点的左右两侧，他的导数一定要一号才可以， 那反过来，如果一个点是极致点的话，那么他是不是注点呢？答案也是否定的。我们来看这个例子， y 等于 x 的绝对值，对应起来的话， x 等于零处，他是极致点，但在这个点处，他不可导，所以这个点自然而然一定也不是注点， 所以说注点就是倒数为零的点，注点不一定是极致点，极致点也不一定是注点。那么我有一个问题想问一下大家，注点有没有可能是曲径的端点呢？希望大家在评论区告诉我。

bilibili 第二题主要是一个判断题，写了以下三种情况，让我们判断他的对错。我们来看第一个哈，即直点一定是注点。换一种说法，也就相当于是 s 零为极。直点的话， f s 零撇是等于零的。 那么这个说法是错误的。为什么错误哈，因为刚才我们讲了基指点可能存在于两处，第一个就是注点这一处，第二个还有一个一街道不存在点。 他没有说第二种情况。下面我们看下第二个注点一定是极值点。换一种表达是，如果 f s 零撇是等于零的，说 s 零一定是极值点。那这种 说法是错误的。因为刚才已经说了，极致点可能存在于注点。但是注点并不一定是极致点。因为你除了验证这一点的倒数是等于零的话，而且你要保证左右一号 你比如说 f s 等于 s 三次方。我们换一下它的图像，你对它求导它等于三倍的 s 的平方，让它等于零，可以得到。重点是 s 等于零这一处。 那么我们来看一下 s 等于零这一处，他并不是及时点。因为在这个 s 等于零这一处，左边是 f 撇大于零，右边也是 f 撇大于零，都是单调递增的。 所以说尽管他为注点，但是他并不是极致点。好，下面我们看下第三种说法哈。可导的函数极致点一定是注点， 那么这句话就是对的，因为他一共存在于两处。然后这句话他把这个不可导点已经排除在外了。那么只剩下第一种情况，那就是注点。 所以说他只可能是注点。好。这三个经常会考选择题啊，大家自己记一下啊。

极致的概念是在微观层面上定义的，在某一个领域内的最大值称作极大值，最小值称作极小值。什么意思呢？在某一个小局部上的最大小值称作极大小值。好了，极大小值统称为极值， 极大小值所对应的点称作极大小值点，极大小值点统称为极值点。注点的概念比较简单，同时满足偏道数为零的点称作注点。

第二题主要是一个判断题，写了以下三种情况，让我们判断他的对错。我们来看第一个哈，极致点一定是注点，换一种说法，也就相当于是 s 零为极致点的话， f s 零撇是等于零的，那么这个说法是错误的。 为什么错误哈？因为刚才我们讲了极致点可能存在于两处，第一个就是注点这一处，第二个还有一个一阶倒不存在点， 他没有说第二种情况，下面我们看下第二个注点一定是机制点。换一种表达是，如果 fs 零撇是等于零的， 说 s 零一定是极致点，那这种说法是错误的。因为刚才已经说了，极致点可能存在于注点，但是注点并不一定是极致点， 因为你除了验证这一点的导数是等于零的话，而且你要保证左右一号，你比如说 f s 等于 s 三四方，我们换一下它图像， 你对他求导他等于三倍的 s 的平方，让他等于零，可以得到重点是 s 等于零这一处， 那么我们来看一下 s 等于零这一处，他并不是极致点，因为在这个 s 等于零这一处，左边是 f 撇大于零，右边也是 f 撇大于零，都是单调递增的，所以说尽管他为注点，但是他并不是急止点。 好，下面我们看下第三种说法哈，可导的函数机制点一定是注点，那么这句话就是对的，因为他一共存在于两处，然后这句话他把这个 不可导点已经排除在外了，那么只剩下第一种情况，那就是注点，所以说他只可能是注点。 好，这三个经常会考选择题啊，大家自己记一下啊。

第一个就是这个就是注点一定是极致点，那这个说法是错误的。首先我们要知道什么叫做注点，注点的定义就是一阶倒数为零的点， 那么这句话注点一定为极致点，那是不对的。你比如说这个函数就是 y 等于 s 三次方，他的函数图像是这个样子的， 如果你求他的注点，那就相当于一阶倒数为零，那么对，他先求倒，他的倒数是等于三的 s 平方，你让他等于零以后，你解出来这个点应该是 s 等于零， y 等于零， 那对应的注点应该就是零零点，那就相当于这一点，就我鼠标指的这个位置，但是这个零零点并不是他的极致点，因为这个函数它整体的都是单调递增的， 这里的主要原因就在这，这个歪片等于三倍的 s 平方，他永远都是大于等于零的，也就相当于他是单调递增的，因为在这个零零点助点左右，他这个 y 撇都是大于零的。 他如果是极致点，你必须在这个点一侧，他是正曲间，一侧是减曲间，或者说一侧是减前一侧是增曲间。 好，下面我们看下第二点，他说极致点一定是注点，这句话也是错误的。虽然说我们求极致的时候，首先要求导，也就求助点， 但是啊，极致点不一定只是注点，极致点存在于两个地方，就下面这两个地方，他有可能存在于注点，也有可能存在这个一阶岛说不存在的点。那么对于第二点来讲的话，就是一阶岛说不存在的点， 一般情况下我们不讨论，因为一般情况下不考好。下面第三点，他说可导函数的极致点一定是注点，那么这就是对的，因为他把这个第二种情况给去掉了。这三句话一般情况下会考选择题啊，大家注意一下。

三分钟拿下高数考点值，即值与最值。首先是函数的单调性，这个支点同学们在高中的时候就已经学过，大学中同样也是考试考察的重点。函数的单调性我们也可以理解为函数的增减性，分为单调递增和单调递减。 单调性的第二个内容是注点，若函数可导，且在 x， 零数的导数为零， x 零即为 fx 的注点， fx 零即为函数的极值。需要注意的是，注点与单调性没有必然的联系，导数不存在和没有注点的情况下，函数也有可能存在单调性， 如 y 等于 x 的绝对值。在 x 等于零时，倒数不存在，但是同样 x 小于零，单调递减， x 大于零，单调递增。单调性的第三个内容是单调性的判断， 倒数大于零，函数单调递增，倒数小于零，函数单调递减。要注意的是，在判断一个函数的单调性时，不能仅考虑某个区间，而要考虑整个定义遇上的单调性，而注点和间断点都是单调性改变的可疑点。 要判断函数的单调性，第一步要求导数 fxp 及函数的定义，于这个就用到了前面的导数公式以及我们高中所学过的函数有意义的条件。第二步，求注点， 令 fx 撇等于零，解出 x 等于负一。第三步，用定义语和注点结合，导出正负，画出表格，这样我们就能直观的得到函数的图像和单调性了。 集直与最直第二部分内容是凹凸性，这是描述图像弯曲方向的一个性质。左图为凸函数，右图为 凹函数。拐点是若函数在 x 零数的二次倒数等于零，且在 x 零两边变号 x 零即为 fx 的拐点。一个函数可以有多个拐点或没有拐点。 凹凸性的判断方法是，在一个区间内，若二次导数大于零，即函数在该区间上的图形是凹的。若二次导数小于零，即函数在区间 ab 上的图形是凸的。 在判断一个函数的凹凸性时，不能仅考虑某个区间，要考虑整个定义率上的凹凸性。下面立题判断函数在一到正无穷的凹凸性。 第一步，我们先求出导数和二阶导数，这里就需要备出上面的求导攻势，求导后是这两个式子。第二步，再求出拐点，因为拐点会直接影响凹凸性，求拐点就是 二次导数等于零，求得自变量 x 等于负二，也就是拐点就是负二。最后，我们再根据拐点来划分区间，判断在子区间内二次导数的正负。本题导数为正，所以在该区间内为凸函数 还是即值与最值部分。因为大家在高中阶段就有所接触学习，所以这部分内容相对来说较为简单。

大家好，今天呢我们就要把这个一元函数未分学里面的几个点来系统的梳理一下，然后这个考点一般会出现在选择题的第一第二道题里面， 但是呢他相对于导数而言呢，就是考察的频率会比较低一点，同时呢他的难度等级也不会太高，可是他出现的位置又比较特殊，就在第一道题和第二道题里面，对吧，非常的决定你接下来做题的整个心态，所以大家复习的时候一定要力争就是非常准确，非常理解，同时非常快把 把它秒杀出来。好，那首先呢，我们把这几个定义都来梳理一下，对吧？零点他其实在高中的一个范围内考察比较多，因为高中那些难题最喜欢考，就是结合这个单调性 看，他一共有几个零点，同时这个零点的范围，对吧？但他在考研里面呢，这个考察就相对来说比较弱一点。然后这个注点他的这个定义就是 fep x 等于零的点，那么这个注点呢，他跟即是点他是有区别的。我们接下来讲啊，大家要注意一个问题啊，注点他不一定说你这个注点的左右两侧他的单调性一定会改变，有人说他说那，那比如说我举这样的一个例子，对吧？那你这个点就是 f ep 这个 x 等于零，哦，他就是一个注点， 这个单调性就改变，你左边是递针，右边是递减，为什么他这个单调性不一定改变呢？比如说我们举一个例子，对吧？你这个 y 等于这个 a， 在整个定义上他的这个 全部都是注点，可是他的这个单调性由始至终都是不变的好。第三呢就是一个极致点，大家 记住啊，你要在你的脑袋里面像是用橡皮擦一样，把这个极致点就是 feps 等于零的这个点这个观念给它擦掉。为什么呢？因为极致点它的本质定义就是在某个领域内一个最大或者最小值，也就是说它是这个 领域里面的一个尖尖。那么其实点它可能会出现在两个地方，第一个地方就是这个倒数为零的点，第二个地方就是不可导点，比如说我们昨天那节课举的一个例子，对吧？ y 等于这个 x 的绝对值， ix 等于零这个地方它显然就是一个极小，之 但是他是一个不可导点。我们在求这个指点的时候呢，你就要把这两种情况全部都概括进去，对吧？好比如说第一种情况就是 fx， 如果是可导的话，你就把它一届导等于零的这些点求出来。同时假如说他的二届导也是存在的话，那么你就把这些 一届导的这个零点带到这个二届导里面去。假如说这个 f 两 ps 零是大于零的好，那我们看 f 两 px 零大于零，就意味着在这个 x 零这个地方，这个小小的领域内，他的这个切线的这个值慢慢的增加，对吧？所以他是一个极小值。 如果你这个 f 两 px 零他是小零的话，那么他就是一个极大值。然后有的图形呢？他也开动他的小脑筋说你这里只能保证他一个点呢，某一个点他的这个值是大于零呢？你怎么能够保证他在这个零月内都会有这个变化趋势呢？我们昨天课程有所设计的吧，你不管是球极限 还是求导数还是求连续性，他全部都在一段函数里面来说的，如果你在某一点可导的话，那么在这点一定连续，在这点连续的话，那么也就因为他左右两边都是存在的。 好，那如果现在 fx 依然是可导的，你还是把他这个导数的这个零点求出来，可是他这个二阶导呢？你带进去他也不存在，这个时候你不要武断的就说他这个及时点，不是这个点，你要回归这个定义，看他是不是在某个领域内的一个尖尖。对，另外一种情况就是这个 fx 本 本来就是一个不可倒的话，那你就更加要回归这个电影来看，他是不是一个尖尖的。好，那接着呢就是一个拐点，大家要记住啊，拐点也不是说是二街道为零的点，一定要在你的脑袋里面把这个观念给他擦掉。 拐点的本质定义是凸壶与凹壶的一个分界点，其实说白了就是这样的，对吧？就是你在这个点，如果他这个拐点的话，你的切线会这样穿过这两条壶， 那么拐点可能会出现在两个地方，第一个地方就是二街道为零的地方，第二个地方就是二街道不存在地方，所以同理我们依然可以得。 如果你现在一阶倒，他是可倒的，那么也就说你二阶倒函数是存在，对吧？你就把这二阶倒函数的这个零点求出来，然后假如说他三阶倒函数依然存在，你就带进去，如果他这个三阶倒函数他不为零的话呢？那么他 他就是他的一个拐点。那有的同学就想知道，为什么如果我们把它写在这里，就是二阶倒等于零，对吧？你三阶倒 不等于零，好，那你不等于零，我假设他是大于零的，他如果是一个大于零的话，那么他肯定在这个 x 零附近，因为他可挡吗？他就是一个连续的， 他们在 x 零附近，不仅连续，而且是单调递增，单调递增就意味着在 x 零处他取得了这个零，那他小于这个 x 零部分呢？那他肯定是小零的，大于 x 零部分呢？他有大于零的，那么你左右两边他的这个导航数，他的这个符号是一个一号的，他不就恰恰满足他是一个拐点吗？ 那接着还有一种情况，就是你的二街道是存在的，三街道他就不存在，不存在。这个时候呢，你还是要回归到定义里面去，如果你的二街道都不存在的话，那么你就更要回归到定义 里面去了。然后接下来这道题呢，就是二零二一年数学一的考研真题第一道选择题，然后这道题呢，因为他比较简单，我们就不讲了，我会把答案放在下面的这个评论里面，大家可以去看啊。然后接着呢，我们就要复习一下这个函数的一个突凹信，关于这个突凹信呢，很多同学都会把这个图形记法 一定要记住，他不管是凸的还是凹的，是对于上方来说的好，那比如说你是以这个向上这个方向为基点的话，那这个肯定就是凹的，对吧？那这个就是一个凸的， 那么如果你是一个凹的话，那么这个函数的这个切线的这个值显然是越来越大的，那么也就说明他这个一阶倒的，他是一个单吊地针的， 如果他一阶倒是一个单调递增的，那么他二阶倒呢，就是一个大于零的，所以这边就同你，对吧？但凸凹性呢？还有一点，然后这个性质呢，大家千万不要去背，如果你把这 这个凸凹性的图形记住了，你就不能很快的把这个性质记住，为什么呢？因为这个 f 里面这一坨，对吧？就代表他是这个 f 的一个自变量，那么你这样的话，也就说明你这个点呢，他就是在这个函数图形上面的，那他肯定是小于右边这一坨的，那如果你是一个凸函数的话， 那你这个函数上的这个一一个点呢，肯定是大于这个直线上的这一点的。然后接着我们再来看一下二零一四年考研数学一的第二道选择题，然后这个题就考的比较难的，他首先告诉你的 fx 有二阶倒数，然后又有这么一个关系， 所以现在他让你比较就 fx 和 gx 的一个大小。好，那有些同学第一反应就是构造函数，对吧？那我就是 fx 减去这个 gx， 就等于这个 fx 减去 f 零，然后乘以一减 x， 然后减去 f e 背的这个 x， 然后就等于这个 f x， 然后减去 f 零，然后加上这个 x 背的 f 零，然后减去 f 一。好，那我就想知道这个它跟这个零的一个大小关系，那我再来求到，对吧？ h e p x 呢，就等于 f e p x， 然后呢加上这个 f 零，然后减去 f 一，但是其实你做到这一步，你会发现这个方法根本就不奏效，为什么呢？假如说你现在有 fepx 是大于等于零的， 那么就说明你这个 fx 是单调递增的，那么 f 零它就小于等于 f 一，那么这边是一个负号，对吧？这边又是一个正号，所以你根本就没有办法判断出 h a p x 到底是大于零还是小于零。那有人想，那既然你这个四个选项里面还有 f 两 px， 那我就继续求答， 然后我求导求到这个就是 f 两 px， 如果你现在 f 两 px 是大于零的话，那么你 h 两 px 也是大于零的，那么你 h e p x 就是一个单调递增的。如果你这个 h e p x 是单调递增的话，因为这一坨你可以看成是一个长数，对吧？那所以你 f e p x 也是单调递增的，那么 so what？ 你还可以得穿什么呢？我现在关键是想知道这个函数他跟您的关系，而我并不是想知道他是一个单调递增还是一个单调递减的， 所以你在考场上如果用这个方法来做的话，其实根本就做不出来，我就觉得你可以直接放弃了。然后再有的同学呢，他也动动他的小脑筋，对吧？他就发现呢，你这个机灵，他是等于 f 零， 然后加上这个零，然后你这个 g 一呢，它是等于这个 f 一，所以你这个 hx 呢，就等于 fs 减 去 gx， 那么他们在这个零和一这个区间的这个两个端点上呢，他们分别都为零，那么你就可以得出来，这个函数可能啊，他是这个样子的，然后你根据中值定理呢，就有 h e p absolute 等于零， 那你这个知道又有什么关系呢？我现在关键是想知道，在零到一的这个范围内，他是大于等于零的，你这些求来求去都是某一个点或者某个局部的性质， 他根本就不足以对我解题构成任何有意义的影响。如果前面这两种方法都行不通的话，我们再来回过头来看这个题目给的条件，他说具有二阶倒数，你只要说到二阶倒数，那么你要想两个东西，第一就是函数的脱毫性， 然后第二就是泰勒公式，那这个题目泰勒公式肯定是用不上的，你要用韩式的土豪信，比如说我现在呢就可以领 ahx 等于 fx 减去 gf， 然后这个 h h e p x 呢，就等于 f e p x 加上 f 零减去 f 一 h 两 p x 呢，就等于 f 两 p x。 如果 f 两 p x 现在假如说它是一个大于等于零的话，那么就意味着 他这个函数是一个这样的，同时你还有这个 h 零，就等于这个 f 零，然后减去这个机零就等于这个零， 还有 h 一就等于这个 f 一，减去这个 g 一就等于零，那么他这个首尾两端他又是等于零的，那么他接下来就全部都是小于等于零的，那么你就有 f x 小于等于这个 g x， 所以这个题目的正确选项就是这个低选项。然后大家看这个题他就出的比较新颖，就是我们以前求这个谁跟谁大，对吧？谁跟谁小，一般都是用单调性，然后这一次呢， 他是用这个突凹信，所以考研的时候出题那几个老头，他想出一些坏心事的话，真的是非常非常容易，大家还是那句话，把基础掌握牢就不会逃出你的五指山的。好，那我们今天的分享就到这里了，希望大家有所收获，再见。

同学们，今天我们用一道题解决求多项式零点、注点及止点和拐点个数的问题。看到这道题，一些同学可能会直接用这些特殊点的定义进行求解，实际上，运用好这两个定理，我们可以快速的解决这道题。 定理一是大家熟悉的罗尔定理，定理二为，如果 x 零是多项式 f x 的 k 重零点，则 x 零是 f x 一阶岛的 k 减一重零点。首先我们来求零点，很容易就能得到 x 等于一、二、三、四，分别是 f x 的一、二、三、四重零点。 我们回顾一下初高中学习的穿针引线法，遵循基串偶不穿的原则，从横轴右上角开始， x 等于四是偶数，从零点所以不穿过。而 x 等于三是基数，从零点所以穿过，以此类推。有图我们可以得知， x 大于三或小于一时， f x 为正， x 小于三且大于一时， f x 为负。然后我们来求注点，注点是 f x 一阶导数为零的点。注意了，第一步，我们使用定理一罗尔定理可知，由于 f 一等于 f 二，所以 f x 的一阶导存在零点 call 一 同理，由于 f 二等于 f 三， f 三等于 f 四，可以推出 f x 的一阶岛存在零点 catchy 二， catchy 三。 第二步，我们使用定理二可知， f x 的一重零点求导后消失， f x 的二、三、四重零点对应相应位置上， f x 一接导存在的一、二、三重零点。 由表格可以看出， f x 的一阶倒存在六个零点及六个注点。再由穿针引线法 f x 一阶倒在 x 等于三处没有变好，所以六个注点中除去 x 等于三， 其余点都为极致点及五个极致点。一部分长得比较好看的同学应该会发现，这里的基数从零点就是我们要求的极致点。最后我们来求拐点，拐点是 fx 二阶导数为零 且左右两边变号的点。一、葫芦画瓢，先使用定理一，推出 f x 的二阶岛存在零点 c 特一到 c 特五，这五个零点分别处于 f x 的一阶岛的两两零点之间。 再使用定理二，将 fx 的一阶岛的 k 重零点变为 fx 的二阶岛的 k 减一重零点，并将重数小于一的零点舍弃， 最终得到 f x 的二阶岛存在七个零点。除了 x 等于四不变号，其余六个 f x 的二阶岛的零点都是 f x 的拐点。怎么样，学会了吗？会了就点个赞吧，下期见！拜拜！

好，紧随其后，我们来看第七题，第七题说函数 fx 等于 ax 方加 bx 在 x 等于一处的，其值是二。 好，那么这种问题同学们，我们也是，呃，做过好几题了，对不对？第一个，我们可以利用 x 等于一的表面身份叫做什么？身份叫做极致点的身份， 那么得到 f 一是不是等于二？同学们，因为在 x 等于一处的其实是二，其实是不是就是函数值，对不对？只不过是特殊的函数值，所以 x 等于一十， 这个这个这个这个 y 等于二，对不对？这是利用 x 等于一是其实点的身份，那么同学们，这个 x 等于一，还有个身份叫做什么？什么叫做 注点？因为什么？因为对于这个函数来说，他还是一个可导函数。哎，我说你信不信？你求一下椰岛数吗？ f 一片是不是等于二？ a x 再加 b， x 是不是属于啊？对不对？任意取 是这意思吧，所以对于这个函数来说，他还是一个可导函数。那么我们说可导函数的极致点还有一个身份叫什么？叫注点， 哎，对不对？什么叫注点？注点是不是就是一页倒等于零的点？所以说在一处的一页倒函数等于零，这是利用 s 等于一是注点的身份，那么两个身份就可以列出来两个方程， 把一带入到函数里面，我啊，导函数里面我们就得到二， a 加 b 是不是等于零？那么把一带入到原函数里面，我们得到，是不是？这个这个这个这个 a 加 b 应该等于二，对不对？那么这样来的朋友们，我们连立一下是不是就得到了？ 呃，你就就就就相减一下就得到 a 是不是等于负二？那么 b 是不是应该等于四，对吧？ a 等于负二， b 等于四 就做出来了，对不对？这种题出的是不错的啊，但是我们，呃已经做过很多次了，相对来说就很简单了，是这意思吧？好，这是我们第七题。

有了函数的单调性，我们说一个函数用倒数等于零的点和倒数不是三点，可以把地域区间分成若干个小区间， 在这若干个小区里面可以讨论函数的单调性。那么把函数分成递增和递减的点又是什么点呢？这就是我们说的函数的机制。 看图，如果一个函数图像这样的，而根据前面我们讲的极值点定义，极值是一个局部概念。如果在一个小的领域里面，函数是比周围 一个领域的值都得要小，那么这一点是极小值，如果都得要大，这一点是极大值。所以极值是一个局部概念，他并不能决定， 所以即值是一个局部概念，他并不能决定极小值一定是小于极大之点。通过图形可以看着这一点， x 五这一点是取得极小之点，而 x 二这一点取得之极大之点， 很显然 x 二这点函数值是大于 x 一这点的函数值的，所以我们说极小值并不一定非得小于极大值他，因为他是一个局部概念。同时 如果说函数在这一点连续，但是不磕倒，例如 x 这点他也是机制点，所以由于这一点函数不磕倒，他也是机制点。 而这些点 x 二、 x 五可以直观的看出来它有水平且线， 所以我们说把这样点称为是函数的注点。这样通过尺图可以看着函数的极致点可能在不可导点或者是 在函数的重点出现，所以在求函数的极致的时候，我们通常情况下是求助函数的注点和不可导点，然后 判定这一点的左右两者函数的一阶倒数是否变号，这就是我们说的第一充分性。 这还是 fx 零的连续在 x 零的某一领域类，可谓如果 x 在 x 零零二捡到的到 x 零时，也就是说 x 在 x 零的主领域类。 e 接导说大一点，在 x 零的右领域内，易接导说小于零，那么 fx 零就是函数的极大指点。也就我们通常说的，在 x 零的左边，函数是单调递增的，在 x 零的右边，函数是单调递减， 那么这一点就是极大之点。同样，如果在左边 x 型，左边是函数是递减的，右边函数是递增的，那么这一点就是极小值。 如果函数在 x 零的左边和右边一阶倒数不变号，那么这一点就不是机制。所以通过一阶倒数在这一点的左右两侧的符号，可以确定这一点是集字点还是还是不是集字点。 举个例子，求函数 fx 等于 x 三分的一致密乘以一减 x 括弧的三分之二十米的机制。先求一减导数，可以看着 全球的三分离是函数点，注点分母等于零点，一个是零，一个是一，所以 x 得零和 x 得一是函数的不可导点。这样的话有三个点，三分之一零一就把地域区间负无穷大到正物价分成了四个区间。我们列表可以看出来， 一个区间是父兄的刀零，一个是零，刀三分之一，一个是三分之一刀 e， 一个是一到正经。在零这一点和一这一点，函数是夜导入，不存在在 x 的三分之一这点，函数是零，他是注点。然后再判定 各个区间里面一截倒数的符号负向到零，正零到三分之一，正三分零到一，负 一到正无穷是正脸，那么这样的话，在富无穷道里还是单雕。地震零到三分离，寒水也是单刁。地震 三分离到一，函数单调递减，一到正无穷函数单调递增，这样的话呢，由零三分之一一就有可能把函数的增减性发生了改变，但是也可能不发生改变 啊，所以我们看，先看发生改变的三分之一，左边和右边函数 由针边减，椰岛是由带林边效力，所以这点是 极大。由一的左右两侧三分之一到一这个区间里面含数是单调递减的，一到中间这个区间含数单调递，真的，所以这一点是技巧。再看您这一点， 这一点你左右两侧函数的单调性没有法式改变，所以这一点就不是 极致点，所以这是你极大值，就是带进去就等于三分之三，这个月啊，四极小值带进就是这样。所以通过这一题可以看出来，要求函数的极致点就找注点和不可 导点，看这些点的左右两侧一结倒数是否 变号，如果变号的话，这一点就是机智点，如果不变号，这一点就不是 及时点。所以当函数用一阶倒数，如果等于零的时候，也就是在注点的时候，还可以使用二阶导数的符号来判断。这就我们说的第二充分性，这函数 fx 在 x 零中具有二阶导数 啊，一阶倒数和二级导数符号，那么都可以了，则当 二角书小于零的时候，函数在这里取得及大值，二角数大于零的时候，函数在这里取 的极小制，也就是要通过二注点处理二级导数的符号， 注点出的二阶导出的符号来判定函数是极大还是极小，证明我们只证明第一种情况，第二种情况实际上是一样的 啊，有导数的定义，二阶倒数定义，通过一阶导数来判断。由于二阶导数是小于零的，有极限的保号性得到存在一个领域，在这个领域里，这个是小于零的， 如果 x 在 x 零的左边分母是小于零，所以分子是大于零。如果 x 在 x 零的右边 分母是大于零，所以分子应该小一点，所以在 x 零的左右两侧一接导受发生啊 变化，也就是由真到减。那么同样，这由第一重复微信可以得到，这一点是极大值。所以通过驻点出的二级导数的符号可也可以来判定这个函数在这点是否取得 极大值，还是取得极小值。但是这个定理要注意，它不使用于不可导点， 如果一级导入不存在，二级导入肯定也是啊，不存在的。所以第二重威信具有局限性，他 只能来判定重点是否是急制点。但是还要有个条件，这个函数必须具有二阶倒数，而且在二阶倒数不得你任何情况下可以判断。如果二阶倒数等于零， 那么这个定理也是不行的，所以此定理具有一定的局限性，这时候第二重温性不能用的时候我们，所以我们只能用第一重温性来判定。举个例子， fx 等于负 x 四十万，加上二倍的 x 平方的，其实求注点， 一个是负一，一个是零，一个是正一，再求二级导数负十二个平方加四，然后把 把各个注点的都求出二级导数值，在负一和一的时候等于负八，零的时候等于四，所以在负一和一的是二级的导数是小于零的， 所以这点是极大值。在零这一点的二岛是大于零点，所以他是极小值。